亚纯函数的不动点及其唯一性的推广

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亚纯映射唯一性定理

亚纯映射唯一性定理亚纯映射唯一性定理是复变函数理论的一部分，它研究了亚纯函数的特性和性质。

亚纯映射唯一性定理是指亚纯函数在满足一定条件下的唯一性，这个定理在复分析的研究中起到了重要的作用。

本文将介绍亚纯映射唯一性定理的基本概念、意义和证明方法。

亚纯函数是指由两个解析函数相除所得到的函数，即函数的分子和分母都是解析函数。

在实际应用中，亚纯函数是一类重要的数学工具，被广泛应用于物理学、工程学和自然科学等领域。

亚纯函数具有解析函数的某些特性，例如，在函数定义域内，亚纯函数可以无限次可导，除了可能有一些不可解析点。

亚纯函数的唯一性定理是指在满足一定条件下，亚纯函数在定义域内的唯一性。

具体地说，给定两个亚纯函数f(z)和g(z)，如果它们在一个区域内除了可能在有限个点处相等，那么f(z)和g(z)是相等的。

这个定理的证明方法可以利用解析函数的性质和复变函数的基本定理。

首先，我们知道亚纯函数是可以表示为解析函数的商，即f(z)=h(z)/k(z)，其中h(z)和k(z)分别是解析函数。

根据解析函数的性质，h(z)和k(z)可以展开为它们的幂级数，而且幂级数的收敛半径不为零。

因此，亚纯函数f(z)也可以展开为幂级数的形式。

接下来，我们考虑一个区域D内的两个亚纯函数f(z)和g(z)，它们在D内部除了可能在有限个点处相等。

我们假设f(z)和g(z)不相等，即存在一个点z0使得f(z0)≠g(z0)。

由于f(z)和g(z)是亚纯函数，它们可以展开为幂级数的形式。

那么在z0附近，我们可以把f(z)和g(z)展开为幂级数的形式。

考虑到幂级数的性质，我们可以取其中一个幂级数展开式的前N项和取极限，得到f(z0)和g(z0)的近似值。

如果我们取N足够大，那么f(z0)和g(z0)的近似值将非常接近，即|f(z0)-g(z0)|趋近于零。

这与我们的假设矛盾，因为我们假设在区域D内，f(z)和g(z)在有限个点处不相等。

因此，通过推理和反证法，我们可以得出结论：在满足一定条件下，亚纯函数的唯一性定理成立。

亚纯函数的唯一性定理

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整函数和亚纯函数涉及慢增长函数的唯一性定理

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整函数和亚纯函数涉及慢增长函数的唯一性定理
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有限增长级条件下超越整函数和亚纯函数的一阶差分方程的零点和不动点研究

有限增长级条件下超越整函数和亚纯函数的一阶差分方程的零点和不动点研究章辉梁;高宗升【摘要】对超越整函数和亚纯函数一阶差分方程的零点和不动点的研究,很多的研究结果都是基于函数的增长级σ(f)≤1,而在有限增长级1<σ(f)<∞的情况下,研究结果则相对较少。

利用Nevanlinna的基本理论和方法,探讨了在有限增长级的条件下,超越整函数和亚纯函数一阶差分方程零点和不动点的存在性。

首先,结合Hadmard因子分解定理研究了在一定的条件下超越整函数的一阶差分方程零点和不动点的存在性,证明了其有无穷多个零点和无穷多个不动点。

其次,把对超越整函数的零点和不动点的存在性研究,推广到了亚纯函数,继续探讨了亚纯函数在有限增长级条件下零点和不动点的情况,得出了相应的结论。

【期刊名称】《长江大学学报（自然版）理工卷》【年(卷),期】2016(013)004【总页数】4页(P10-13)【关键词】一阶差分;零点;不动点【作者】章辉梁;高宗升【作者单位】北京航空航天大学数学信息与行为教育部重点实验室，北京100191;北京航空航天大学数学信息与行为教育部重点实验室，北京 100191【正文语种】中文【中图分类】O174.5亚纯函数Nevanlinna理论的一些基本概念和标准记号见文献[1～3]，用T(r,f)表示复平面上亚纯函数f的特征函数，用σ(f)表示f(z)的增长级，用λ(f)表示f(z)的零点收敛指数。

差分算子Δf的具体定义[4]如下：Δf(z)=f(z+1)-f(z)Δn+1f(z)=Δnf(z+1)-Δnf(z)n=0,1,2,…在文献[5]中，Bergweiler 和Langley首先讨论了差分Δf(z)=f(z+c)-f(z)以及差商的零点情况，得到了如下的重要结果。

定理A 设f(z)是超越整函数,若存在，使f(z)的增长级σ(f)、σ满足σ(f)，则有无穷多个零点。

定理B 设f(z)是超越亚纯函数，下级u(f)<1，设c∈C/{0}使得f(z)最多只有有限多个极点zj,zk满足zj-zk=c，则h(z)=f(z+c)-f(z)有无穷多个零点。

特定类型微分方程的亚纯解与亚纯函数的唯一性

特定类型微分方程的亚纯解与亚纯函数的唯一性
现在，随着科学技术日新月异的发展，有关特定类型微分方程的亚纯解与亚纯函数的唯一性问题成为学术界最具挑战性的研究方向之一。

鉴于在相关理论中普遍存在着复杂而又不稳定的存在性，该问题极其考验学者们对于动态数据变化及方程复杂性的理解能力。

首先，针对有关特定类型微分方程的亚纯解与亚纯函数的唯一性问题，分析师们普遍采用的运筹学方法。

其基本思想是通过采用反规模矩乘法、遗传算法、偏微分方程数值方法、原子结构优化等多种先进分析手段，使有关的特定类型微分方程的计算结果更为准确和有效。

其中，最为重要的反规模矩乘法可以准确计算出某一种特定类型微分方程的亚纯解及其唯一性，以此为基础，其他多种分析方法更加方便和有效地探索亚纯函数的唯一性问题。

此外，近期多位学者利用深度学习等技术，提供了新的技术手段来解决复杂情况下的亚纯解与亚纯函数的唯一性问题，这不仅带来了更多精准的计算结果，而且也使在实践应用中受益。

使用深度学习模型，分析师可以更快地计算出某一特定类型微分方程的亚纯解和其唯一性，为后续基于该结果的亚纯函数的研究奠定良好的基础。

综上所述，有关特定类型微分方程的亚纯解与亚纯函数的唯一性问题仍然被视为学术界极具挑战性的研究方向。

为了给该问题带来突出的新思路和获得更准确的算法结果，学者们应多花心思来完善理论方面的研究，并积极探索新的技术手段，以更好地解决该问题。

亚纯映射分担移动目标的唯一性定理

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亚纯映射分担移动目标的唯一性定理
曹廷彬１,阮海洪２
(
南昌大学数学系,江西南昌３３００３１;
陆军步兵学院,江西南昌３３０１０３)
１．
２．
摘要:研究亚纯映射分担移动目标的唯一性问题,在 Quang
ＧAn 所做的关于移动目标的第二基本定理的基础上
考虑重值,获得了带截断重数的第二基本定理,并应用所得的第二基本定理获得了两个带截断重数的亚纯映射分
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２０２３年
南昌大学学报(理科版)
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亚纯函数的一个唯一性定理

亚纯函数的一个唯一性定理
函数是数学中最基本的元素，每一个函数都有独特的特点。

亚纯函数是一种特殊类型的函数，其中输入的参数的值不会影响函数的返回值，也就是说每一个输入值都得到相同的输出值，这种函数对程序的执行具有重要的作用。

亚纯函数的一个唯一性定理是，当两个不同的亚纯函数存在时，它们之间必然存在一个至少为三个参数的不同。

也就是说，当存在并且不等价的两个亚纯函数时，这两个函数在至
少三个参数上必须有所不同，否则它们实际上只有一个函数。

具体来说，假设存在一组参数序列{a[1], a[2],…,a[n]}，他们不等价的两个亚纯函数F(a[1],
a[2],…,a[n])和G(a[1], a[2],…,a[n])。

此时，若a[i]满足F(a[1], a[2],…,a[n]) = G(a[1],
a[2],…,a[n])，则必然存在至少三个参数的不同，且其形式为：F(a[1], a[2],…,a[n])≠G(a[1],
a[2],…,a[n])，a[i]不同。

本定理对亚纯函数的重要性是不可忽视的，它表明了何时有两个不同的函数，以及当必须
改变多少输入参数，才能形成一个新的函数。

此类定理有助于搞清程序中函数的正确性，
从而能正确地根据函数执行程序。

综上所述，亚纯函数的唯一性定理是一种有用的定理，有助于了解程序中多个不同函数之间的联系，以及设计函数的正确性。

本定理的重要性在于，它可以确定在形成新的函数前，必须改变多少输入参数，从而有助于正确定位和执行程序中的函数。

具公共值的亚纯函数的惟一性理论及应用

具公共值的亚纯函数的惟一性理论及应用函数的惟一性理论主要是探讨在何种情况下只存在一个函数满足给定的条件.我们知道确定一个超越亚纯函数与多项式的条件是完全不同的.因此,亚纯函数惟一性问题的研究就显得特别复杂、重要和有趣.涉及亚纯函数惟一性的理论研究起源于芬兰数学家R. Nevanlinna所创立的值分布理论,它奠定了现代亚纯函数惟一性理论的基础,而且对数学许多分支的发展、交叉和融合产生了重大而深远的影响.亚纯函数惟一性理论是近几十年来在国际上比较活跃的课题,随着研究的不断深入和发展,它被赋予了更加丰富的研究内涵.在Nevanlinna本人的得到的5IM公共值理论与4CM公共值理论的基础上,我国数学家熊庆来和杨乐等在这一方面取得了许多深刻的结论.国外的数学家如F. Gross、W. Hayman等也在该领域做出了许多非常出色的研究成果.近二十多年来,仪洪勋教授等主要致力于这方面的研究,1994年,他完全解决了F. Gross提出的一个困惑人们多年的著名问题,并在亚纯函数惟一性理论方面取得了一系列具有创造性的成果,有力地推动了亚纯函数惟一性理论研究的开展.本文主要是作者在导师吕巍然教授的精心指导下,所完成的部分研究工作.全文共分四章.第一章,简要介绍了与本文有关的亚纯函数值分布理论中的一些主要概念,基本结果和常用记号.第二章,研究了一类非齐次线性复微分方程解的增长性,证明了下列结果.定理A微分方程f "+ e ? z f′+ p1 ( z ) e ?zf = p2 ( z)的任意非零解f ( z )都满足ρ( f)=∞,其中p1 ( z )为级小于1/ 2的超越整函数, p 2( z )为级小于1的整函数.第三章,讨论了一类微分多项式分担公共值的亚纯函数惟一性理论,改进了S. S. Bhoosnurmath、R. Dyavanal与张晓宇,林伟川等人得到的结论,证明了下列定理.定理B假设f ( z ), g ( z)为两个超越亚纯函数, n , k ,m为正整数,满足不等式.如果和分担1IM,其中λ和μ为常数,且|λ| + |μ|≠0,并且f , g分担∞IM,则(1)若λμ≠0,则当m > 1且( n , n + m) = 1时,有f≡g;当时,有f ≡g. (2)若λμ= 0,则有f = tg,其中t为常数,满足t n + m= 1,或其中c1 ,c2和c为常数,且满足定理C假设f ( z ), g ( z)为两个超越亚纯函数, n , k ,m 为正整数,且满足不等式n > 9 k + 4 m+ 15.若[ f n ( z )( f ( z ) ? 1) m ]( k)和[ g n ( z )( g ( z ) ? 1) m ]( k)分担1IM,且f , g分担∞IM,则有f≡g或f , g满足方程R ( f , g )≡0,其中R (ω1 ,ω2 ) =ω1 n (ω1 ?1) m ?ω2n (ω2? 1) m .第四章中,研究了一类亚纯函数及其导数分担一个公共值的惟一性问题,改进了已知的结果,得到了几个结论.定理D设F ( z ), G ( z)为两个非常数的亚纯函数,k为正整数,若F ( k)和G ( k)分担1CM,且则F ( k ) G ( k)≡1或者F≡G.定理E设F ( z ), G ( z)为两个非常数的亚纯函数,k为正整数,如果F ( k)和G ( k)分担1IM,且则F ( k ) G ( k)≡1或者F≡G.。

一类微分多项式的唯一性定理

第19卷　增刊数学研究与评论V o l.19Supp 1999年4月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ON A p r.1999一类微分多项式的唯一性定理Ξ邱　淦　亻弟(宁德师专数学系,福建352100)摘　要:本文在涉及慢增长函数的情况下讨论了一类微分多项式的唯一性问题,推广了C.C.Yang及仪洪勋等人的有关结果.关键词:亚纯函数,微分多项式,唯一性.分类号:AM S(1991)30D35,30D30 CL C O174.52文献标识码:A 文章编号:10002341X(1999)增刊201992061　引言及主要结果设f表示一个超越亚纯函数,本文采用亚纯函数N evan linna理论的标准记号[1],特别地,用S(r,f)表示任意满足S(r,f)=o{T(r,f)}(r→∞;r|E)的量,其中E是一个线性测度有穷的r值的集合.另外,用E(a,f)表示在 z ≤r内f-a的零点的集合,每个零点按其重数计算.关于亚纯函数及其导数具有某些共同值时的唯一性问题,1991年,仪洪勋证明了定理A[2]　设f与g是两个非常数亚纯函数,满足∆(∞,f)=∆(∞,g)=1,n是一个非负整数.如果E(0,f)=E(0,g),E(1,f(n))=E(1,g(n))且∆(0,f)>1,则2f≡g或者f(n) g(n)=1.1993年,C.C.Yang与仪洪勋讨论了定理A的更为一般形式的唯一性问题,证明了定理B[3]　设f与g是两个非常数亚纯函数,a( ∞),b( 0,∞)是两个判别的亚纯函数,且b a(n)及T(r,a)+T(r,b)=m in{S(r,f),S(r,g)},如果E(a,f)=E(a,g),E(0,f(n)-b)=E(0,g(n)-b),E(∞,f(n)-b)=E(∞,g(n)-b),且(n+2)((∞,f)+2∆(a,f)>n+3,则f(n)≡g(n)或者(f(n)-a(n))(g(n)-a(n))=(b-a(n))2.本文讨论了一类微分多项式的唯一性问题,进一步推广了上述结果,得到定理1　设f与g是两个非常数亚纯函数,Ξ收稿日期:1995211214P (f )=∑nj =0a jf(j )　(a n 0)(1)是f 的一个微分多项式,a j (j =0,1,…,n )是亚纯函数,满足T (r ,a j )=S (r ,f )(j =0,1,…,n ),再设a ,b 是两个亚纯函数,满足T (r ,a )+T (r ,b )=m in {S (r ,f ),S (r ,g )},a ∞,b 0,∞及b∑nj =0a ja(j )=△Α.如果E (a ,f )=E (a ,g ),E (0,p (f )-b )=E (0,p (g )-b ),E (∞,p (f )-b )=E (∞,p (g )-b ),(2)且(n +2)((∞,f )+2∆(a ,f )>n +3,(3)则p (f )≡p (g )或者(p (f )-Α)(p (g )-Α)=(b -Α)2.2　几个引理引理1[4]　设f 1与f 2为两个非常数亚纯函数,Α1( 0)与Α2( 0)是两个亚纯函数,满足T (r ,Α1)+T (r ,Α2)=o (T (r ))(r →∞;r |E ),若Α1f 1+Α2f 2≡1,则T (r ,f i )<N {(r ,1f1)+N {(r ,1f2)+N {(r ,f i )+o (T (r ))(i =1,2;r |E ),其中T (r )=m ax {T (r ,f 1),T (r ,f 2)}.引理2[5]　设f j (j =1,2,…,n )是n 个线性无关的亚纯函数且∑nj =1f j ≡1,则T (r ,f j )<∑nj =1N(r ,1fj)+N (r ,f j )-∑nj =1N(r ,f j )+N (r ,D )+o (T (r ))(r |E ;j =1,2,…,n ),其中T (r )=m ax 1≤j ≤n{T (r ,f j )},D =f1f 2…f n f′1f′2…f′n…………f (n -1)1f(n -1)2…f (n -1)n. 引理3　设f 与g 是两个非常数亚纯函数,p (f )与p (g )如(1)所定义,则T (r ,p (f ))≤T (r ,f )+nN {(r ,f )+S (r ,f ),(4)及T (r ,p (g ))≤T (r ,g )+nN {(r ,g )+S (r ,g ).(5)证明　首先,由(1)易知N (r ,p (f ))≤N (r ,f )+nN {(r ,f )+S (r ,f ).(6)其次,由于m (r ,p (f ))≤m (r ,p (f )f)+m (r ,f )≤∑nj =0[m (r ,a j)+m (r ,f (j )f)]+m (r ,f )=m (r ,f )+S (r ,f ).(7)结合(6),(7)得T (r ,p (f ))≤T (r ,f )+nN {(r ,f )+S (r ,f ).同理可证得(5).□引理4　设f 与g 为两个非常数亚纯函数,p (f )与p (g )为由(1)定义的f 与g 的两个微分多项式.再设a ( ∞)是一个亚纯函数,满足T (r ,a )=m in {S (r ,f ),S (r ,g )},则N (r ,1p (f )-Α)≤T (r ,p (f ))-T (r ,f )+N (r ,1f -a )+S (r ,f ),(8)及N (r ,1p (g )-Α)≤T (r ,p (g ))-T (r ,g )+N (r ,1g -a)+S (r ,g ),(9)其中Α=∑nj =0a j a (j ).证明　由于p (f )=∑nj =0a jf(j )=∑nj =0aj(f(j )-a (j ))+∑nj =0a ja(j ),从而m (r ,1f -a )≤m (r ,p (f )-Αf -a )+m (r ,1p (f )-Α)≤∑nj =0[m (r ,a j )+m (r ,f(j )-a(j )f -a)]+m (r ,1p (f )-Α)=m (r ,1p (f )-Α)+S (r ,f ).于是T (r ,f )-N (r ,1f -a )≤T (r ,p (f ))-N (r ,1p (f )-Α)+S (r ,f ),此即证得(8)成立.同理可证得(9)成立.□引理5　设f ,g ,p (f ),p (g )及a ,b 均如定理1所设,则T (r ,f )≤N {(r ,f )+N (r ,1f -a )+N (r ,1p (f )-b)+S (r ,f ),(10)及T (r ,g )≤N {(r ,g )+N (r ,1g -a )+N (r ,1p (g )-b )+S (r ,g ).(11)证明　参见文[6]的定理1.引理6　设f 与g 是两个非常数亚纯函数,满足定理1所设条件,则S (r ,f )=S (r ,g )=S (r ,p (f ))=S (r ,p (g )).(12)证明　首先,由引理3的(4),(5)知S (r ,p (f ))≤S (r ,f )及S (r ,p (g ))≤S (r ,g ).(13)其次,由引理5的(10)得[∆(a ,f )+((∞,f )-1]T (r ,f )≤T (r ,p (f ))+S (r ,f ),再由定理1的条件(3)知∆(a +f )+((∞,f )-1>0,于是S (r ,f )≤S (r ,p (f )).(14)同理可得S (r ,g )≤S (r ,p (g )).(15)另一方面,由(10)并考虑到E (0,p (f )-b )=E (0,p (g )-b ),得[∆(a ,f )+((∞,f )-1]T (r ,f )≤T (r ,p (g ))+S (r ,f ),于是S (r ,f )≤S (r ,p (g ))(16)同理可证S (r ,g )≤S (r ,p (f )).(17)结合(13)—(14)诸式便推得(12).□3　定理的证明定理1的证明　以下为了方便起见,(12)中任意一个均用S (r ,f )代替.事实上,由定理1的条件(2)可设p (f )-b p (g )-b=e Β,　Β为整函数.(18)(i )　若e Β≡c (常数),假定c ≠1,由(18)得p (f )-ΑΥ-cΥ(p (g )-Α)=1,(19)其中Υ=(1-c )(b -Α) 0且T (r ,Υ)=S (r ,f ).于是由引理1及引理4得 T (r ,p (f ))<N{(r ,f )+N (r ,1p (f )-Α)+N (r ,1p (g )-Α)+S (r ,f )≤N{(r ,f )+T (r ,p (f ))-T (r ,f )+N (r ,1f -a)+　N (r ,1g -a)+nN {(r ,g )+S (r ,f ).因此T (r ,f )<(n +1)N{(r ,f )+2N (r ,1f -a)+s (r ,f ).由此推得(n +1)((∞,f )+2∆(a ,f )≤n +2.结合条件(3)得((∞,f )>1.这是不可能的.所以c =1.由(18)即得p (f )≡p (g ).(ii )　e Β 常数.由(18)得p (f )-Αb -Α-p (g )-Αb -Αe Β+e Β=1.(20)令f 1=p (f )-Αb -Α,f 2=p (g )-Αb -Αe Β,f 3=e Β,则f 1+f2+f 3≡1.(21)倘若f 1,f 2,f 3线性无关,由引理2得T (r ,p (f ))<N (r ,1p (f )-Α)+N (r ,1p (g )-Α)+N (r ,D )-N (r ,p (g ))+o (T (r )),(22)其中T (r )=m ax 1≤j ≤3{T (r ,f j )},D =f1f 2f 3f ′1f ′2f ′3f″1f ″2f ″3.由(21)知D =1f 2f 30f ′2f ′30f″2f″3,于是N (r ,D )-N (r ,p (g ))≤2N {(r ,f )+o (T (r )).(23)再由(18)易知o (T (r ))=S (r ,f ).将(23)代入(22)得 T (r ,p (f ))≤N (r ,1p (f )-Α)+N (r ,1p (g )-Α)+2N {(r ,f )+S (r ,f )≤T (r ,p (f ))-T (r ,f )+N (r ,1f -a )+N (r ,1g -a)+　(n +2)N{(r ,f )+S (r ,f ),于是T (r ,f )≤(n +2)N{(r ,f )+2N (r ,1f -a)+S (r ,f ),从而(n +2)((∞,f )+2∆(a ,f )≤n +3,与条件(3)矛盾.故f 1,f 2,f 3线性相关,即存在三个不全为零的常数c 1,c 2,c 3使得c 1f 1+c 2f 2+c 3f 3=0.(24)若c 1=0,则c 2与c 3至少有一个不为零.由(24)得c 2p (g )=c 2Α+c 3(b -Α).由b Α知c 2≠0,因此p (g )=(1-c 3c 2)Α+c 3b ,这是不可能的.于是c 1≠0.结合(21),(24)得(c 2c 1-1)p (g )-Αb -Αe Β+(1-c 3c 1)e Β=1,(25)由e Β常数知c 2c 1-1≠0.若1-c 3c 1≠0,则由引理1得T (r ,p (g ))<N {(r ,g )+N (r ,1p (g )-Α)+S (r ,f ).于是由引理4的(9)得T (r ,g )<N {(r ,f )+N (r ,1f -a)+S (r ,f ).(26)另一方面,根据引理5及引理3得 T (r ,f )<N{(r ,f )+N (r ,1f -a )+N (r ,1p (f )-b)+S (r ,f )=N{(r ,f )+N (r ,1f -a )+N (r ,1p (g )-b )+S (r ,f )≤N{(r ,f )+N (r ,1f-a)+T (r ,p (g ))+S (r ,f )≤T (r ,g )+(n +1)N{(r ,f )+N (r ,1f -a)+S (r ,f ).(27)结合(26),(27)得T (r ,f )<(n +2)N {(r ,f )+2N (r ,1f -a)+S (r ,f ),从而(n +2)((∞,f )+2∆(a ,f )≤n +3,也与条件(3)矛盾.因此1-c 3c 1=0.由(25)得p (g )-Αb -Αe Β=c 1c 2-c 1.(28)结合(20),(28)得p (f )-Αb -Α+e Β=c 2c 2-c 1.(29)再由引理1类似于上述证明易知c 2=0.因而由(28),(29)分别可得p (g )-Αb -Α=-e -Β,(30)及p (f )-Αb -Α=-e Β.(31)结合(30),(31)就得(p (f )-Α)(p (g )-Α)=(b -Α)2.定理1得证.参　考　文　献[1]　H aym an W K .M ero m orp h ic F unctions [M ].C larendon P ress ,O xfo rd ,1964.[2]　仪洪勋.关于C .C .Yang 的一个问题[J ].数学年刊A 辑,1991,12:487-491.[3]　Yang C C ,仪洪勋.亚纯函数导数的唯一性定理[J ].数学学报,1993,36:387-396.[4]　仪洪勋.具有两个亏值的亚纯函数[J ].数学学报,1987,30:588-597.[5]　Gro ss F .F actoriz a tion of m ero m orp h ic f unctions [M ].U .S .Govt .M ath .R es .Cen ter .1972.[6]　扈培础.海曼不等式的推广[J ].数学杂志,1990,10:405-412.Un ic ity Theorem of a K i nd of D ifferen ti al Polynom i alQ iu Gand i(D ep t .of M ath .,N ingde T eachers ′Co llege ,Fujian 352100)AbstractT he un icity p rob lem of a k ind of differen tial po lynom ial relate to the s m all functi on s be studied in th is p ap er ,and som e resu lts of C .C .Yang ,Y i Hongxun etc be generalized .Keywords m erom o rp h ic functi on ,differen tial po lynom ial ,un iqueness.。

关于微分多项式亚纯函数唯一性问题

在２００１年，方明亮和Ｗ．ｏｇ２证明了下面的定理．Ｈｎ［＿
．
究了关于某些类型微分多项式分担一个值的唯一ｌ理．详情可参阅文献ｆ，，］生定卜２６８９．定理Ａ设ｆｚ和ｇｚ是两个超越整函数，＇１（）（）ｒ１是一个正整数．如果ｌ（）１ｚ一ｔ厂ｚ（（）厂１ｆ）ｇ（）９））））ｚ和ｎｚ（（一１ｇ（分担ｌＣ那么ｆｚ三ｇｚ．＿Ｍ，（）（）之后，林伟川和仪洪勋［改进了定理Ａ，到了下面的结果．０］得定理Ｂ设ｆｚ和ｇｚ是两个超越亚纯函数，礼１是一个正整数．（）（）２如果ｆ（）＿一ｎ（（）厂１）ｇ（）（））（））（和ｎ（一１分担ｌＣ那么或者ｆｚｆｚ＿９ｇｚＭ，（）三９）或者ｇ＝［（（ｎ＋２（）１一ｈ＋）［ｎ１／礼＋１（一ｈ＋）ｆ＝［＋２ｈ１ｎ１／礼＋１（一ｈ＋）其中ｈ是一个非常］（）１ｎ２，］（ｎ）（一ｈ＋）［］（）１ｎ２．］数亚纯函数．最近，熊维玲和林伟川Ｉ通过证明了下面的定理从而扩展了定理Ａ和定理Ｂ．ｓ］
数学物理学报
ｈｔ：ａｔｍｓｉａ．ｔｆｃａ．ｐｃｎｐｗｍ．ｃ
关于微分多项式亚纯函数唯一性问题
张晓宇。陈俊凡林伟川
（日山形大学大学院理工学研究科日山形９０８６；本本９ —５０。福建师范大学数学系福州３００）５０７

具有borel例外值的亚纯函数的唯一性

具有borel例外值的亚纯函数的唯一性
Borel例外值与亚纯函数的唯一性:
1、什么是亚纯函数？
亚纯函数就是指那些定义在实数集上的函数，但它忽略了实数集上的某些值，即排除了实数集上某些值，也就是所谓的“例外值”。

例如在定义函数时，不考虑零值，那么这个函数就是亚纯函数。

2、Borel例外值的定义
Borel例外值是一类特殊的数学概念，它通常用来表示它们是不可抽象的，即使是在无穷量函数的数学语境下，也不可以被表示或包含在其中，这些例外值也称为特殊数，也称为Borel数。

3、亚纯函数的唯一性
由于Borel例外值的存在，亚纯函数的唯一性只能推定，而不能绝对确定，因此，唯一性的判断首先要确定该函数的定义域上的所有Borel例外值，然后把这些Borel例外值排除在外，再可以进行唯一性的判断。

即若是判断两个亚纯函数的唯一性，则需要将它们的定义域上的所有Borel例外值排除在外，然后再进行判断。

4、具体判断步骤
因此，当给定了亚纯函数时，判断其唯一性的步骤应该是：
（1）、首先确定该函数的定义域。

（2）、然后，在定义域上确定函数的Borel例外值。

（3）、将已经确定的Borel例外值排除在外，在剩下的实数集上，求得亚纯函数的唯一性。

综上所述，Borel例外值与亚纯函数的唯一性有着密切相关性，正确判断亚纯函数的唯一性，必须首先确定该函数的定义域上的所有Borel例外值，将这些Borel例外值作为并入外，然后再进行唯一性判断。

因此，若要对亚纯函数做准确的唯一性分析，必须正确理解Borel例外值的含义，准确地将其纳入到其特性分析中。

亚纯函数的唯一性

）为ｆ的小函ｒｚ，数． ∑ 称为Ｐ的次令ｒ数．
＝ｎＸ）九ｍｉ｛，，称为Ｆ的次数，称为末次数．如果九ｔ０Ｆ称＝．１ｔ０，
为的齐次微分多项式．厂＝＋２令Ｊ。ｑ＋…＋＋１，（）Ｆ＝ｍａ｛，ｒ称为、的权数．ｘＦ），壬，
∑ １．
＝ｌ
如果，，线性无关，则由引理２有
ＴｒＦ）Ｔｒ二）Ｓｒ－（，（，一＋（，）厂
、
一
眦，＋＋，詈 №，）１。）ａ №，＋））
Ⅳ（，） Ⅳ（，）（，），．一＋ｓ，
其中
这四个问题进行研究，并且回答了部分问题．其中，２０年ＬＰ【ｌＹｘＧ将定理Ａ中的６０厂＞＿０４．ｉＪ．．ｕ（，）３ｒ
叶
减弱为８，）告．（厂＞同时对＝非常数亚纯０Ｆ数得到了：
厶
定理ｃ设为非常数亚纯函数，ｋ正整数，ａｚ ∈Ｓｆ）｛｝如果－与ａ没有同级的极点，为（）（＼０，厂
中图分类号：７．２Ｏ１４５文献标识码：Ａ文章编号：０５２８（０２０ —１９０２９—４１２１）２０２．６
１引言及主要结果
本文采用值分布论中的标准符号及术语【．ＪＪ
设为复平面上的非常数亚纯函数，如果亚纯函数口ｚ（。满足Ｔｒａ＝Ｓｒｆ坝称ａｚ为（）） ≠ｏ（，）（，）０（）的小函数．厂的所有小函数组成的集合为（）记＿．厂设和ｇ是复平面上的两个非常数亚纯函数，ＳｆｒＳｇ，ｆ—ａ与ｇ—ａａ∈ （）＾（）如果、具有相同的零点，重数相同，ａ为厂ｇ的Ｃ公共小函数．且则称与Ｍ特别地，当ａ为常数时，ａ则称为厂与ｇ的Ｃ分担值．＝ｏ时，Ｍ当ａｏｆ—ａ的零点意味着厂的极点．

亚纯函数及其导数的唯一性定理的开题报告

亚纯函数及其导数的唯一性定理的开题报告
亚纯函数是指定义在某个复域中的、除去有限个孤立奇点外处处解析的函数。

亚纯函数是复分析中一个非常重要的概念，具有很多重要的性质和应用。

亚纯函数的导数也是一个非常重要的概念。

由于亚纯函数的定义，我们可以知道亚纯函数的导数在除去有限个孤立奇点的点处处存在。

并且，由于亚纯函数的解析性质，亚纯函数的导数也是一个亚纯函数。

在复变函数理论中，亚纯函数及其导数的唯一性定理是非常重要的一个定理。

这个定理表明，如果一个亚纯函数和它的导数在一个区域内等于另一个亚纯函数和它的导数，那么这两个亚纯函数必须在这个区域内相差一个常数。

本文将围绕亚纯函数及其导数的唯一性定理展开讨论。

我们将首先介绍亚纯函数的基本概念和性质，然后讨论它的导数的定义和性质。

接着，我们将详细介绍亚纯函数及其导数的唯一性定理的证明。

在证明唯一性定理时，我们将首先证明亚纯函数及其导数在区域内相等可以推出它们在区域边界上的相等。

然后，我们将利用Mittag-Leffler定理和Laurent展开定理来证明这个定理。

最后，我们将给出一些应用和例子来说明这个定理的重要性和实用性。

总之，本文试图对亚纯函数及其导数的唯一性定理进行一个比较全面的介绍和讨论，以期为读者更好地理解和掌握这个重要的定理。

小学数学数学故事杨—张定理

杨—张定理【杨—张定理】数学家杨乐和张广厚在函数论方面的研究成果被国际上称为“杨—张定理”。

杨乐数学家。

江苏南通人。

1962年毕业于北京大学。

中国科学院数学与系统科学研究院院长、数学研究所研究员。

主要从事复分析研究。

对整函数与亚纯函数亏值与波莱尔方向间的联系作了深入研究，与张广厚合作最先发现并建立了这两个基本概念之间的具体的联系。

在亚纯函数奇异方向进行了深入研究，引进了新的奇异方向并对奇异方向的分布给出了完备的解答。

对全纯与亚纯函数族的正规性问题进行了系统研究，建立了正规性与不动点间的联系。

引进亏函数的概念，证明了有穷下级亚纯函数的亏函数至多是可数的。

与英国学者合作解决了著名数学家立特沃德的一个猜想。

对整函数及其导数的总亏量与亏值数目作出了精确估计。

1980年当选为中国科学院院士（学部委员）。

张广厚（1937—1987年），唐山市东矿区林西人，祖籍山东，是我国著名数学家。

1937年1月22日，张广厚降生在林西一个普通农民的家里，七岁随父兄到矿上当童工，饱受艰辛，从小立下壮志：一定要做个有文化的中国人。

1948年底，唐山市解放了。

张广厚回到了校园，他最终以优异的成绩完成了初、高中的学业，并成为高中三年唯一一名数学次次考试均满分的“数学尖子”。

以优异成绩考入北京大学数学系。

张广厚是大学同届毕业生中唯一保持六年全优成绩的学生。

他的毕业论文，也被刊发在一家知名的数学杂志上。

1962年，在北大教授庄圻泰的悉心指导下，张广厚考入中国科学院数学研究所，师从著名的数学前辈熊庆来教授做研究生，从此，在数学科学的道路上，他又迈上了一个新台阶。

研究生毕业后，他便被留在中国科学院数学所从事研究工作。

1964年下半年，张广厚和杨乐开始合作研究全纯与亚纯函数族。

他们发展了消去原始值的方法，获得了很好的结果。

正当他们全心投入函数理论研究之时，一场史无前例的“文化大革命”开始了。

张广厚被赶到中城涧劳动，后又到天津小站的解放军农场劳动了一年半。

关于分担值的亚纯函数正规族和唯一性问题的研究的开题报告

关于分担值的亚纯函数正规族和唯一性问题的研究的开题报告题目：关于分担值的亚纯函数正规族和唯一性问题的研究研究背景：分担值是亚纯函数理论中的一个重要概念，是指一个亚纯函数在某个点的零点或极点重复次数。

在研究亚纯函数的相关问题中，分担值是一个关键概念，例如研究亚纯函数的零点、极点、亚纯延拓等问题时，都需要利用分担值的概念。

亚纯函数正规族是一个经典的数学概念，指的是一族函数在一个区域内的局部极限一致收敛于某个函数。

在研究亚纯函数的相关问题时，亚纯函数正规族也是一个基本工具。

研究内容：本文的研究内容主要涉及分担值的亚纯函数正规族和唯一性问题。

具体来说，我们将从以下两个方面展开研究：1. 分担值的亚纯函数正规族的构造和性质研究我们将探讨如何构造一个亚纯函数正规族，使得其分担值具有一定的性质。

具体来说，我们将探讨分担值具有多项式增长或指数增长的亚纯函数正规族的构造方法和性质。

同时，我们也将探讨这些亚纯函数正规族的一些重要应用，例如它们在解析数论中的应用等。

2. 分担值的亚纯函数唯一性问题的研究我们将研究分担值的亚纯函数唯一性问题，即在一些特定条件下，亚纯函数的分担值可以唯一确定该函数。

具体来说，我们将研究亚纯函数的局部唯一性和整体唯一性问题。

我们将探讨这些唯一性结果的证明方法、应用以及可能的推广问题。

研究方法：本文将使用数学分析和复变函数理论的基本方法进行研究。

具体来说，我们将运用复变函数的柯西积分公式、留数定理、亚纯函数的极点和零点以及亚纯函数在无穷远处的渐近性质等基本工具，来研究分担值的亚纯函数正规族和唯一性问题。

研究意义：分担值是亚纯函数理论中的一个基本概念，分担值的亚纯函数正规族和唯一性问题是亚纯函数理论中的两个重要方向。

本文的研究结果具有重要的理论意义和应用价值。

对于理解亚纯函数的相关问题、研究亚纯函数的性质以及解析数论等方面都有一定的参考价值。

关于亚纯函数的两个性质

按照它在
z )一 b ( (
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) 内的重级计算
一 1一
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。
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二:
f
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,
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,
,
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,
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’
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关于亚纯映射唯一性问题的推广的开题报告

关于亚纯映射唯一性问题的推广的开题报告1.引言亚纯映射是复变函数论中的一类重要的函数族，它们是解析函数与反解析函数的组合，通常具有重要的几何意义。

自从 Pick 定理的发现以来，亚纯映射已经成为了数学中一个非常热门的话题，其具有很多重要的应用，如齐次空间、流形、代数几何以及数论等。

其中一个极具代表性的问题就是亚纯映射的唯一性问题。

2.问题阐述传统的亚纯映射的唯一性问题通常是研究一个域 $D$ 上的两个亚纯函数 $f$ 和$g$，它们在 $D$ 内处处相等时，是否一定是同一函数。

然而，在现代数学中，亚纯映射已经不仅仅是研究单纯在一个域上的性质了，因为它们常常与其他的数学领域（比如代数几何和数论）有着深刻而有趣的联系。

因此，这个问题的自然推广是研究在更一般的场合下，当两个亚纯映射在整个空间的某些重要子集内处处相等时，是否一定相同。

3.研究背景这个问题与代数几何、流形及数论的广泛交叉领域有关，给出了一个具有深刻意义的一般性问题。

此外，这个问题的研究也会为更广泛领域的研究，如代数曲线和代数靶的几何理论，提供有力的工具。

4.目标和方法本研究的目标是研究在一个更一般化的场合下亚纯映射的唯一性问题。

进一步探讨这个问题具体的几何意义和其在相关领域中的应用。

为达成这个目标，我们将从几何角度出发，研究亚纯映射在一些特殊的复流形上的性质，如 Kahler 流形和 Calabi-Yau 流形。

我们将尝试构造一些新的函数族，并应用数学分析和几何学理论方法求解这个问题。

5.预期结果我们期望通过本研究成果，推进亚纯映射的理论研究，为代数几何、流形及数论等广泛的相关领域的研究提供更深刻的理论基础。

同时，我们也预计在这一领域内取得具有创新性和理论价值的研究成果，为数学研究做出贡献。

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Ｋｅｒｓ：ｍｅｏｒｈｉｕｃｉｎ；ｅｔｒｕｃｉｎ；ｕｎｑｕｎｓ；Ｎｅａｌｎａｔｅｒｉｘｄｐｉｔｙｗｏｄｒｍｏｐｃｆｎｔｏｎｉｅｆｎｔｏｓｉｅｅｓｖｎｉｎｈｏｙ；ｆｅｏｎｓ
第１０卷第６期
２１０１年ｌ２月
广州大学学报（自然科学版）
ＪｕａｏＧａｇｈｕＵｉｒｔ（ａｒｃｅｃｄｔｎｏｒｌｆｕｎｚｏｎｖｓｙＮｔａＳｉｎｅＥｉｏ）ｎｅｉｕｌｉ
Ｖｏ．０Ｎ．１１ｏ６
（ｃｏｌｆｔｅａｉｎｆｒｔｎＳｉｃｓｕｎｚｏｎｖｒｔ，Ｇａｇｈｕ５００ＣｉａＳｈｏｈｍｔｓａｄＩｏｍａｏｃｅｅ，ＧａｇｈｕＵｉｓｙｕｎｚｏ０６ｈｎ）ｏＭａｃｎｉｎｅｉ１
，
Ａｂｔａｔｎｔｅｐｐｒｅｓｕｙｔｅｕｉｕｎｓｎｈｈｒｄｆｅｏｎｓｏｒｍｏｐｉｆｎｔｎｎｍｓｒｃ：Ｉｈａｅ，ｗｔｄｈｎｑｅｅｓａｄｔｅｓａｅｘｄｐｉｔｆｉｍｅｏｒｈｃｕｃｉｓａｄｉｏ
Ｆｕｔｅｅｕｔｏｘｄ－ｉｓａｉｅｅｓｏｅｏｏｐｃｆｃｉｎｓｒｈｒｒｓｌｆｆｅｐｏｎｔｎｄｕｎｑｕｎｓｆｍｒｍｒｈｉｕｎｔｏｉＤＩｉｉＩＣｕｎ —ｎＵｎｊｎＮＧＬ。，ＬＵｈａｇｌ，ＹＡＮＷｅ－ｗｅｉｕ
Ｄｅ．２ｃ０ｌ１
文章编号：６１４２（０１０－０７０１７－２９２１）６００－７
亚纯函数的不动点及其唯一性的推广
丁立维，创林，文俊刘袁
（广州大学数学与信息科学学院，广东广州５００）１０６
摘要：究了亚纯函数的唯一性和分担不动点，研改进了Ｘ的结果，ＵＪＦ等得到主要的结果：ｎ设
Ｌｔｅｏｃｎｔｎｅｏｏｐｉ（ｎｉ）ｅｆｂｎｎｏｓｔｒｍｒｈｃｅｔｅａｍｒ
ｆｎｃｉｎｉｈｏｅｐａｅＷｅｓａｌｕｅｔｅｆｌｗ．ｕｔｏｎｔｅｗｈｌｌｎ．ｈｌｓｈｏｌｏ
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厂）＿；留（）其中ｃ，２ｃｔ满足４ｃｃ）ｃ（ｚ，１ｃ，和是ｎ（１：一１ｔ２或＝１的４个复数．关键词：亚纯函数；函数；一性；Ｎｖｎｉａ整唯ｅａｌｎ理论；不动点ｎ中图分类号：Ｏ１４５７．文献标志码：Ａ
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ｇ（）ｂｗｉｅｏｃｎｔｎｎｉｕｃｉｎｒｍｅｏｒｈｃｆｎｔｎｔｌｐｌｓｒｓｅｔｅｙｉｎｒｇｅｔｏｅｔｒｎｎｏｓｔｅｔｅｆｎｔｓｏｒｍｏｐｉｕｃｉｓｗｉｍｏｅｅｐｃｉｌ（ｇｏｉｈａｒｏｏｈｖｎ
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ｍ和ｌ４２
个正整数ｚ和ｇ是两个非常数整函数或两个分别有ｍ和１）（）个极点的亚纯函数（忽略重数）如果ｎ＞ｘ．ｍａ
｛ｋ２ｋ＋３＋１，ｍ＋ｆ３，厂）和（）Ｃ分担ｚ（ ‘ ）Ｉ分担０则＋｝（Ｍ，厂）和（ ‘ Ｍ１，）＝１ｃｇｚ２一‘ Ｃｅ２（）＝ｃｅ或ｚ