高等数学教案-不定积分
微积分 不定积分 教案
微积分不定积分教案第一章：不定积分的概念与性质教学目标：1. 理解不定积分的概念；2. 掌握不定积分的性质；3. 学会计算基本的不定积分。
教学内容：1. 不定积分的定义；2. 不定积分的符号表示；3. 不定积分的性质；4. 基本不等式的积分；5. 基本三角函数的积分。
教学活动：1. 引入不定积分的概念，引导学生理解不定积分表示的是一个函数的积累效果；2. 讲解不定积分的符号表示，让学生熟悉积分符号；3. 通过示例演示不定积分的性质，如线性函数的积分是线性函数的常数倍，指数函数的积分是指数函数的倒数等；4. 引导学生掌握基本不等式的积分公式，如\( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)；（n ≠-1）；5. 教授基本三角函数的积分公式，如\( \int \sin x dx = -\cos x + C \)，\( \int \cos x dx = \sin x + C \) 等；6. 进行课堂练习，巩固所学内容。
作业布置：1. 练习计算基本不等式的积分；2. 练习计算基本三角函数的积分；3. 完成课后习题。
第二章：换元积分法教学目标：1. 理解换元积分法的概念；2. 掌握换元积分法的步骤；3. 学会运用换元积分法计算不定积分。
教学内容：1. 换元积分法的定义；2. 换元积分法的步骤；3. 常用换元积分法；4. 换元积分法的应用。
教学活动：1. 引入换元积分法，让学生理解通过变量替换简化积分过程；2. 讲解换元积分法的步骤，如选择合适的换元变量，构造新的函数等；3. 介绍常用的换元积分法，如代数换元法、三角换元法等；4. 通过示例演示换元积分法的应用，如计算\( \int \sqrt{1+x^2} dx \) 等；5. 进行课堂练习，巩固所学内容。
作业布置：1. 练习运用换元积分法计算不定积分；2. 完成课后习题。
第三章：分部积分法教学目标：1. 理解分部积分法的概念；2. 掌握分部积分法的步骤；3. 学会运用分部积分法计算不定积分。
不定积分整章教案
不定积分整章教案1 NO.设是定义在区间上的函数，如果存在函数，对于,f(x)F(x),x,II都有 , 或 , F(x),f(x)dF(x),f(x)dx则称函数为函数在区间上的一个. F(x)f(x)I2,,例如，cosx是的原函数,因为 .又因为, sinx(sinx),cosx(x),2x222,x ,所以x和x，1都是2的原函数. (x，1),2x一个函数若有原函数，原函数是否唯一？（不唯一，无数多个）同一函数的无数多个原函数之间是什么关系？如果，为函数在区间上的任意两个原函数, F(x)G(x)f(x)I,, , , (F(x)),f(x)(G(x)),f(x),于是有 ,,. (G(x),F(x)),G(x),F(x),f(x),f(x),0所以 ,或 .G(x),F(x),CG(x),F(x)，C：任意两个原函数相差一个常数。
函数的所有原函数称为的，记作:. f(x)f(x)f(x)dx,其中“x”称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称f(x)f(x)dx,为积分变量.由前面的讨论可知：如果是的一个原函数,那么 . F(x)f(x)f(x)dx,F(x)，C,dx 求. 2,1，x11,解由于，所以是的一个原函数，因此 (arctanx),arctanx221，x1，x2 NO.dx . ,arctanx，C2,1，x, 求. dxx,1,，1,,，1,,解当,(x),(,，1)x时,我们知道，，亦有 ,,,,1(x),x,，1 11,,，1,,，1即是的一个原函数，因此 ; xxxdx,x，C,,，1,1，11,当时，我们所要求的不定积分为 .因为，因此 ,,,1dx(lnx),,xx1 ． dx,lnx，C,xd1）或 ; ，，f(x)dx,f(x)，，df(x)dx,f(x)dx,,dx2）, 或. F(x)dx,F(x)，CdF(x),F(x)，C,,如果函数在某一区间上连续，则在这区间上函数可积 f(x)f(x),，1x, (1) xdx,，C(,,,1),（是常数）; (2) ; kkdx,kx，C,,,，111 (3) ; (4) ; dx,lnx，Cdx,arctanx，C2,,x1，xdx (5) ,arcsinx，C; (6) ; cosxdx,sinx，C,,21,x(7) ; (8) sinxdx,,cosx，C,dx2; ,secxdx,tanx，C2,,cosxdx2 (9) ,cscxdx,,cotx，C; (10) ; secxtanxdx,secx，C,,2,sinxxx （11）; （12）; cscx,cotxdx,,cscx，Cedx,e，C,,3 NO.xaxadx,，C （13）; （14）; (a,1)shxdx,chx，C,,lna（15）. chxdx,shx，C,（1） [f(x)，g(x)]dx,f(x)dx，g(x)dx,,,,事实上，,,[f(x)dx，g(x)dx],[f(x)dx]，[g(x)dx],f(x)，g(x). ,,,, ：有限个函数的和的情况也有这一性质.（为常数，）. kk,0kf(x)dx,kf(x)dx,,1 求. [3,2x，,5sinx]dx2,x1dx 解 [3,2x，,5sinx]dx,3dx,2xdx，,5sinxdx22,,,,,xx221,，xx ,3(x，C),2(，C)，(，C),5(,cosx，C) 12342,2，112 ,. 3x,x,，5cosx，Cx2xx1，， . dx2,xx(1，)21111xx1，，解 ,(，)dx,dx，dxdx22,,,2,xx1，x1，xxx(1，),. ，Carctanx，lnx4x 求dx. 2,x1，4224,1，1(，1)(,1)，1xxxx 解 dxdxdx== 222,,,x1，1，1，xx4 NO.1122, (x,1，)dx,xdx,dx，dx22,,,,，1，1xx3x ,,x，arctanx，C. 3x2 求 sindx,2x112 解 sindx,(1,cosx)dx,(1,cosx)dx,,,22211 ,. [dx,cosxdx],(x,sinx)，C,,221 已知曲线在其上点的切线斜率，且曲线经过点P(x,y)k,x45y, ，求此曲线方程． (2)2 1 解设曲线方程为,，由假设， y,f(x)f(x),x4x112故 ,= ，，，，fx,fxdx,xdxx，C ,,84图5.1-1 2x5即 y,，C，为常数，曲线经过点（2，），以此点坐标代入方程，得 C82254x y,，2 ，解得 .因此所求方程为. ,，CC,28282 已知某产品的边际收入函数为,xR(x),60,2x,2x(为销售量),求总收入函数. R(x)2解 , R(x),R(x)dx,(60,2x,2x)dx,,223 . ,60x,x,x，C3当时,,从而,于是 x,0R,0C,0223 R(x),60x,x,x35 NO.求． cos2xdx,1解 x,u ，令2，得 cos2xdx,cos2xd(2x),,2111 , cos2xd(2x),cosudu,sinu，C,2221代回原变量，得 . cos2xdx,sin2x，C,2一般的我们有如下结论：设u是的连续函数，且， f(u)f(u)du,F(u)，C,设,,有连续的导数，则=． u,,(x),(x)F[,(x)]，Cf[,(x)],(x)dx,dF[,(x)]证明只需证明 ,即可． ,f[,(x)],(x)dxdF[,(x)]dF[,(x)],,,,，又由，故 ,F[,(x)],(x)F(u),f(u),f[,(x)],(x)dxdx1 求. dx,3,2x解令，则，故 u,3,2xdu,,2dxdx1d(3,2x)1du11. ,,,,,,lnu，C,,ln3,2x，C,,,3,2x23,2x2u22求,tanxdx．sinx解 = 因为， dx,sinxdx,dcosxtanxdx,,cosx设 u,cosx，则，因此， du,,sinxdxsinxdu ,tanxdx,=. dx,,,lnu，C,,lncosx，C,,cosxu练习：． ,cotxdx,lnsinx，C熟练以后，可直接写出结果:1 求. dx22,，ax6 NO.1111x1x1,dx,d(),arctan，C 解 =. dx,2,22,xxaaaaa，ax221，()1，()aadx 求(a>）. 0,22ax,xd()dx1dxxa 解 ,,,arcsin，C. ,,,22aaxxa,x221,()1,()aa1求. dx22,,xa 1111解由于,所以 ,(,)22ax,ax，a2x,adx111111 ,(,)dx,(dx,dx)22,,,,,，,，2axaxa2axaxa,xa111 ,[d(x,a),d(x，a)],,2ax,ax，a1x,a1 ,, ln，C. [lnx,a,lnx，a]，C2ax，a2a3求. sinxdx,322 解 sinxdx,sinxsinxdx,,(1,cosx)d(cosx),,,132 ,=. ,cosx，cosx，C,d(cosx)，cosxd(cosx),,322求与 . cosxdxsinxdx,,1，cos2x11x12 解 =. dx,dx，cos2xdx,，sin2x，Ccosxdx,,,,22224 1,cos2xx12 . sinxdx,dx,,sin2x，C,,224求. cscxdx,7 NO.xxx2d()secd()dxdx222解 ,,,cscxdx,,,,,,xxxxxsinx22sincostancostan22222xd(tan)x2 ,. ,，Clntan,x2tan2xx22sinsin1,cosxx22又 =. ,,cscx,cotxtan,xsinxsinx2cos2所以上述不定积分又可表示为. cscxdx,lncscx,cotx，C,练习： secxdx,lnsecx，tanx，C,求sin2xcos3xdx. ,解利用积化和差公式1 , sin,cos,,,,sin(,，,)，sin(,,,)21得 , sin2xcos3x,,,sin5x,sinx2111所以 sin2xcos3xdx, (sin5x,sinx)dx,sin5xdx,sinxdx,,,,22211 ,. ,cos5x，cosx，C102设函数,,严格单调、可导且，设具有原函x,,(t),(t),0f[,(t)],(t),1数.则,,(x)f[,(t)],(t)dt]，其中是的反函数. x,,(t)f(x)dx,[,1,,t,,(x) ,1 证设 ,,[F(,(x))，C],f(x)，只需证 f[,(t)],(t)dt,F(t)，C,1ddFtdt(),1而 ,,f[,(t)],(t),,f[,(t)],f(x). F,x,,(()),,(t)dxdtdx8 NO.dx求. ,1，x2 解作变量代换 x,t( 以消去根式)，于是，,从而x,tdx,2tdtdxt1 ,2dt,2(1,)dt ,,,1，t1，t1，x,2t,2ln(1，t)，C,2x,2ln(1，x)，C.22求aa,xdx (>). 0,解积分难点在于被积函数中的根号，为去掉根号，令,,22 ， , 则 ,, x,asint,,t,dx,acostdta,x,acost222222 a,xdx,acost,acostdt,acostdt ,,,21，cos2ta12,, ,adt,t，sin2t，C, ,,,222,,22xx,ax回代变量，由cos,，得 ,, sint,t,arcsintaaa222axxa,x22 故有 a,xdx,(arcsin，)，C 2,2aa2axx22 ,arcsin，a,x，C. 22adx 求> (a0),22x，a22解利用三角公式 1，tant,sect来化去根式，,,2 设 dx,asectdt << ,则 , (,)x,atantt22222222 ,于是 x，a,a，atant,a1，tant,asect9 NO.2asectdx,,dt,,sectdt . ,lnsect，tant，C,22asectx，a22x，xa由 sec,，得 , 因此, tant,taa22xx，adx ,ln(，)，C ,22aax，a22 C,C,lna, 其中 . ,ln(x，x，a)，C11dx 求(a> 0),22xa,解设x>，令， 0x,acht22 利用公式cht,sht,1 有222222 ， dx,ashtdtx,a,a(cht,1),asht,ashtdxasht于是有 ,dt,t，C， ,,22ashtx,a22,xaxt注意：,，,，两边取导数得 eshtchtaa22 t,ln(x，x,a),lnadx22所以 ,ln(x，x,a)，CC,C,lna,其中 . 11,22x,adx求 ,x1，e2dtx2 解为化去根式，令x,lnt,2lnt，则，， dx,e,tt21，,ttdx ,dt,2dt ,,,x(1，)(1，)tttt1，e10 NO.11，， ,2,dt,2[lnt,ln1，t]，C ,,,t1，t，，2t,, . ,ln，C,,1，t,,2x，，edxx将回代得 . ,，Ct,eln,,,xx1，e，e1,,，，dx求 . 2,2x，4x，3dx1dx1dx 解 ,,2,,,31222x，4x，322x，2x，(x，1)，22111x，1 ,d(x，1),,2arctan，C,112222(x，1)，()222,arctan2(x，1)，C . 2dx 求 . ,24x，9dx1d(2x)dx 解 ,,,,,2222224x，9(2x)，3(2x)，312 . ,ln(2x，4x，9)，C211 NO.,,,,,, ，移项得, . (uv),uv，uvuv,(uv),uv对这个等式两边求不定积分，得,,. （1） uvdx,uv,uvdx,,简便起见,公式（1）常写成下面的形式：. （2） udv,uv,vdu,,求. xcosxdx,解这个积分用换元积分法不易求得结果。
高等数学教案-不定积分
du
2
f
(
u )d(
u );
（5）
f
(1) u
1 u2
du
f
(1 )d( u
1 ); u
（6）
f
(ln u)
1 u
du
Байду номын сангаас
f
(ln u)d(ln
u);
（7） f (sin u) cos udu f (sin u)d(sin u);
（8） f (cos u) sin udu f (cos u)d(cos u); （9） f (tan u) sec2 udu f (tan u)d(tan u);
f (u)
二．第二换元积分法
1.定理：（第二换元积分法）设 x (t) 是单调的可导函数，且 (t) 0 ，又设 f [ (t)] (t) 的一个原
函数为 (t) ，则 f (x)dx = [ 1(x)] C ,该公式称为第二换元公式．
2.常用的第二换元积分法：
（1）含有根式 n ax b 时，令 n ax b t ；
新知识课
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作业布置 课后习题
教 学 基本内容
一．分部积分法
1．定理：设 u u(x), v v(x) 在区间 I 上都有连续的导数，则有 u(x)v(x)dx u(x)v(x) u(x)v(x)dx ，
简记为 uvdx uv uv dx ，或 udv uv v du ，称为分部积分公式．
数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.
4.定理：设函数 F (x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，那么 f (x) 在区间 I 上的任意一个原函数可以表示 为 F (x) C ，其中 C 是任意常数．
第四章不定积分教案
第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分1．定义1 如果对任一I x ∈，都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。
例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。
2211)1l n ([xx x+='++，即)1ln(2x x ++是211x+的原函数。
2．原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。
注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。
设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。
注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即 C x G x F =-)()( （C 为常数）注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。
3．定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为⎰dx x f )(。
如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则C x F dx x f +=⎰)()(，（C 为任意常数） 例1． 因为 23)3(x x ='， 得⎰+=C x ds x 332例2． 因为，0>x 时，x x 1)(ln ='；0<x 时，xx x x 1)(1])[ln(='--='-，得 xx 1)||(l n ='，因此有 ⎰+=C x dx x ||ln 1例3． 设曲线过点)2,1(，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。
微积分 不定积分 教案
微积分不定积分教案一、教学目标1. 理解不定积分的概念和物理意义。
2. 掌握基本积分公式和积分方法。
3. 能够运用不定积分解决实际问题。
二、教学内容1. 不定积分的定义和性质。
2. 基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的积分。
3. 换元积分法：代数换元、三角换元。
4. 分部积分法。
5. 积分在物理、经济学等领域的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：不定积分的概念、性质和基本积分公式。
2. 难点：换元积分法、分部积分法的运用。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法，讲解不定积分的概念、性质和积分方法。
2. 利用多媒体课件，展示积分过程和应用实例。
3. 引导学生通过讨论、练习，巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：介绍不定积分的定义、性质和基本积分公式。
2. 第二课时：讲解换元积分法。
3. 第三课时：讲解分部积分法。
4. 第四课时：举例分析不定积分在实际问题中的应用。
5. 第五课时：课堂练习和总结。
六、教学评估1. 课堂练习：布置相关的不定积分题目，检查学生对基本积分公式和积分方法的掌握程度。
2. 课后作业：布置综合性的不定积分题目，要求学生在课后完成，以检验学生对课堂内容的理解和应用能力。
3. 课堂讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，提问和解答问题，评估学生对不定积分概念的理解和分析问题的能力。
七、教学资源1. 教材：选用权威的微积分教材，提供系统的理论知识。
2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，通过图像、动画等形式展示积分过程，增强学生的直观理解。
3. 练习题库：整理一套丰富的练习题库，包括不同难度层次的题目，以满足不同学生的学习需求。
4. 应用案例：收集一些实际问题，用于讲解不定积分在实际中的应用。
八、教学建议1. 强化基础知识：在学习不定积分之前，确保学生掌握了函数、极限、导数等基本概念，以便能够顺利理解不定积分的性质和计算方法。
2. 逐步引导：从简单的积分公式开始，逐步引导学生掌握更复杂的积分方法，避免一开始就给出复杂的公式和方法，让学生能够逐步建立信心。
高职高等数学教案第四章不定积分
第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。
例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。
2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。
定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。
例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。
例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。
(完整版)高等数学教案ch 4 不定积分
第四章 不定积分教学目的： 1、 理解原函数概念、不定积分的概念。
2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。
3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
教学重点：1、 不定积分的概念；2、 不定积分的性质及基本公式；3、 换元积分法与分部积分法。
教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。
§4. 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx ,那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数.例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数.又如当x ∈(1, +∞)时,因为xx 21)(=', 所以x 是x 21的原函数. 提问:cos x 和x21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有F '(x )=f (x ).简单地说就是: 连续函数一定有原函数.两点说明:第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数.第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数).定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作⎰dx x f )(.其中记号⎰称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量.根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即⎰+=C x F dx x f )()(.因而不定积分dx x f )(⎰可以表示f (x )的任意一个原函数.例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以C x xdx +=⎰sin cos .因为x 是x21的原函数, 所以C x dx x+=⎰21.例2. 求函数xx f 1)(=的不定积分. 解：当x >0时, (ln x )'x1=, C x dx x+=⎰ln 1(x >0); 当x <0时, [ln(-x )]'xx 1)1(1=-⋅-=, C x dx x+-=⎰)ln( 1(x <0). 合并上面两式, 得到C x dx x+=⎰||ln 1(x ≠0). 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解 设所求的曲线方程为y =f (x ), 按题设, 曲线上任一点(x , y )处的切线斜率为y '=f '(x )=2x ,,即f (x )是2x 的一个原函数.因为 ⎰+=C x xdx 22,故必有某个常数C 使f (x )=x 2+C , 即曲线方程为y =x 2+C .因所求曲线通过点(1, 2), 故2=1+C , C =1.于是所求曲线方程为y =x 2+1.积分曲线: 函数f (x )的原函数的图形称为f (x )的积分曲线.从不定积分的定义, 即可知下述关系: ⎰=)(])([x f dx x f dxd , 或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([;又由于F (x )是F '(x )的原函数, 所以⎰+='C x F dx x F )()(,或记作 ⎰+=C x F x dF )()(.由此可见, 微分运算（以记号d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号⎰表示）是互逆的. 当记号⎰与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数.二、基本积分表(1)C kx kdx +=⎰(k 是常数), (2)C x dx x ++=+⎰111μμμ, (3)C x dx x+=⎰||ln 1, (4)C e dx e x x +=⎰, (5)C aa dx a x x +=⎰ln , (6)C x xdx +=⎰sin cos ,(7)C x xdx +-=⎰cos sin , (8)C x xdx dx x +==⎰⎰tan sec cos 122, (9)C x xdx dx x+-==⎰⎰cot csc sin 122,。
微积分不定积分教案
微积分不定积分教案PPT一、教学目标1. 理解不定积分的概念和物理意义。
2. 掌握基本的不定积分公式和积分方法。
3. 能够应用不定积分解决实际问题。
二、教学内容1. 不定积分的定义和性质2. 基本积分公式3. 换元积分法4. 分部积分法5. 不定积分在实际问题中的应用三、教学方法1. 讲解法：讲解不定积分的概念、性质和积分方法。
2. 示例法：通过具体例子展示积分过程和应用。
3. 练习法：让学生通过练习题巩固所学知识。
四、教学准备1. PPT课件2. 练习题3. 教学视频或案例素材五、教学过程1. 导入：回顾微积分的基本概念，引导学生进入不定积分的学习。
2. 讲解：讲解不定积分的定义、性质和基本积分公式。
3. 演示：通过示例演示换元积分法和分部积分法的应用。
4. 练习：让学生通过练习题巩固所学知识。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学案例分析1. 分析实际问题，引导学生运用不定积分解决。
2. 通过案例分析，让学生理解不定积分在实际问题中的应用。
七、课堂互动1. 提问环节：引导学生思考不定积分的相关问题，解答学生的疑问。
2. 小组讨论：分组讨论练习题，培养学生的合作能力。
八、拓展与延伸1. 介绍不定积分的进一步应用，如定积分、微分方程等。
2. 引导学生思考不定积分在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
九、课堂小结1. 回顾本节课的主要内容和知识点。
2. 强调不定积分在实际问题中的应用价值。
十、作业布置与反馈1. 布置相关练习题，巩固所学知识。
2. 要求学生提交作业，并进行批改和反馈。
3. 鼓励学生提出问题，及时解答学生的疑问。
重点和难点解析一、教学内容1. 不定积分的概念和性质：重点关注不定积分的定义、性质及其与定积分的区别。
2. 基本积分公式：重点掌握常见的积分公式，如幂函数、指数函数、对数函数等的积分。
3. 换元积分法：重点掌握换元积分的原理和方法，以及常见换元积分的技巧。
4. 分部积分法：重点掌握分部积分法的原理和步骤，以及如何灵活运用。
高一数学课程教案初步认识不定积分的应用与计算
高一数学课程教案初步认识不定积分的应用与计算一、引言数学中的积分是一项重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在高一数学课程中，我们将初步认识不定积分的应用与计算方法。
本节课将介绍不定积分的概念及其在数学问题中的应用，并详细讲解如何进行不定积分的计算。
二、不定积分的概念不定积分是定积分的逆运算。
给定一个函数f(x)，其不定积分表示为∫f(x)dx，表示对函数f(x)进行积分，得到的结果是一个与x有关的函数F(x)，即F(x)是f(x)的一个原函数。
三、不定积分的应用1. 函数与曲线的面积计算不定积分可以用来计算函数与曲线所围成的面积。
假设我们有一个函数f(x)，要计算其与x轴之间的面积，可以使用不定积分的方法。
首先，我们找到f(x)的一个原函数F(x)，然后计算F(x)在两个特定的x值之间的差值，即∫f(x)dx = F(b) - F(a)，其中a和b是积分区间的两个端点。
这个差值就是函数f(x)与x轴之间的面积。
2. 函数的定义域和值域不定积分还可以帮助我们确定函数的定义域和值域。
通过计算不定积分，我们可以找到函数的原函数F(x)，然后观察F(x)的性质来确定函数f(x)的定义域和值域。
四、不定积分的计算方法1. 基本积分法基本积分法是一种通过查表或者记忆已知的基本积分公式来进行不定积分计算的方法。
常见的基本积分公式包括幂函数、指数函数、三角函数等的不定积分公式。
我们可以利用这些公式来计算不定积分。
2. 换元积分法换元积分法是一种通过代换变量来简化不定积分计算的方法。
当被积函数的形式复杂或不易进行直接计算时，我们可以通过合理的变量代换来将其转化为简单的形式，从而使得不定积分的计算更加容易进行。
3. 分部积分法分部积分法是一种通过对不定积分的乘积进行分解，然后利用不定积分的性质对各个部分进行处理的方法。
当被积函数是两个函数的乘积时，我们可以使用分部积分法来进行不定积分计算。
五、案例分析例如，我们要计算函数f(x) = x^2的不定积分。
教案4-不定积分new
第四章不定积分§ 4.1不定积分概念微分学的基本问题是：已知一个函数，求它的导数。
但是，在科学技术领域中往往还会遇到与此相反的问题:已知一个函数的导数，求原来的函数，由此产生了积分学。
''积分'是•微分、旳逆运算一、原函数1、原函数定义我们在讨论导数的槪念时，解决了这样一个问题：已知某物体作直线运动时，路程随时间/变化的规律为S = s(t),那么，在任意时刻/物体运动的速度为V(r) = s\t)。
现在提岀相反的问题：例1 已知某物体运动的速度随时间/变化的规律为V = V(r),要求该物体运动的路程随时间变化的规律S = s(0。
显然，这个问题就是在关系式V(r) = S f(t)中，当W/)为已知时，要求$(/)的问题。
例2 已知曲线y = /(x)上任意点(x,y)处的切线的斜率为2x,要求此曲线方程，这个问题就是要根拯关系式y = 2x ,求出曲线y = /(A)。
从数学的角度来说，这类问题是在关系式F\x) = /(x)中，当函数/(x)已知时，求出函数F(x) o由此引岀原函数的槪念。
定义4.1 :设f(x)是左义在某区间/内的已知函数,如果存在一个函数F(x),对于每一点xe/,都有：F3 = f(x)或dFg = f\x) • dx则称函数F(x)为已知函数f(x)在区间/内的一个原函数例如，由于(sinx)' = cosx,所以在(YO,+S)内，sinx是cosx的一个原函数：又因为(sinx + 2)'= cosx ,所以在(Y>,+s)内，sinx+2是cosx的一个原函数：更进一步，对任意常数C,有(sinx + C)'= cosx,所以Id在(Y\+8)内，sinx+C都是cosx的原函数。
2、原函数性质(1)如果函数/(x)在区间/内连续，则/(兀)在区间/内一定有原函数；(2)若F f(x) = /(x),则对于任意常数C, F(A)+C都是/(X)的原函数“即如果/(X)在/上有原函数，则它有无穷多个原函数；(3)若F(x)和G(x)都是/(X)的原函数，则F(x) - G(x) = C，(C为任意常数)。
不定积分教案
第四章 不定积分教学目的： 1、 理解原函数概念、不定积分的概念。
2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。
3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
教学重点：1、 不定积分的概念；2、 不定积分的性质及基本公式；3、 换元积分法与分部积分法。
教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。
§4. 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx ,那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数.例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数.又如当x ∈(1, +∞)时,因为xx 21)(=', 所以x 是x 21的原函数. 提问:cos x 和x21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有F '(x )=f (x ).简单地说就是: 连续函数一定有原函数.两点说明:第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数.第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数).定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作⎰dx x f )(.其中记号⎰称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量.根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即⎰+=C x F dx x f )()(.因而不定积分dx x f )(⎰可以表示f (x )的任意一个原函数.例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以C x xdx +=⎰sin cos .因为x 是x21的原函数, 所以C x dx x+=⎰21.例2. 求函数xx f 1)(=的不定积分. 解：当x >0时, (ln x )'x1=, C x dx x+=⎰ln 1(x >0); 当x <0时, [ln(-x )]'xx 1)1(1=-⋅-=, C x dx x+-=⎰)ln( 1(x <0). 合并上面两式, 得到C x dx x+=⎰||ln 1(x ≠0). 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解 设所求的曲线方程为y =f (x ), 按题设, 曲线上任一点(x , y )处的切线斜率为y '=f '(x )=2x ,,即f (x )是2x 的一个原函数.因为 ⎰+=C x xdx 22,故必有某个常数C 使f (x )=x 2+C , 即曲线方程为y =x 2+C .因所求曲线通过点(1, 2), 故2=1+C , C =1.于是所求曲线方程为y =x 2+1.积分曲线: 函数f (x )的原函数的图形称为f (x )的积分曲线.从不定积分的定义, 即可知下述关系: ⎰=)(])([x f dx x f dxd , 或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([;又由于F (x )是F '(x )的原函数, 所以⎰+='C x F dx x F )()(,或记作 ⎰+=C x F x dF )()(.由此可见, 微分运算（以记号d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号⎰表示）是互逆的. 当记号⎰与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数.二、基本积分表(1)C kx kdx +=⎰(k 是常数), (2)C x dx x ++=+⎰111μμμ, (3)C x dx x+=⎰||ln 1, (4)C e dx e x x +=⎰, (5)C aa dx a x x +=⎰ln , (6)C x xdx +=⎰sin cos ,(7)C x xdx +-=⎰cos sin , (8)C x xdx dx x +==⎰⎰tan sec cos 122, (9)C x xdx dx x+-==⎰⎰cot csc sin 122,(10)C x dx x+=+⎰arctan 112, (11)C x dx x +=-⎰arcsin 112, (12)C x xdx x +=⎰sec tan sec ,(13)C x dx x +-=⎰csc cot csc ,(14)C x dx x +=⎰ch sh ,(15)C x dx x +=⎰sh ch .例4⎰⎰-=dx x dx x 331C x C x +-=++-=+-21321131. 例5 ⎰⎰=dxx dx x x 252C x ++=+1251251C x +=2772C x x +=372. 例6 ⎰⎰-=dx x x x dx 343C x ++-=+-134134C x +-=-313C x+-=33. 三、不定积分的性质性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.这是因为, ])([])([])()(['+'='+⎰⎰⎰⎰dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ).性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k 是常数, k ≠0).例7. ⎰⎰-=-dx x x dx x x )5()5(21252 ⎰⎰-=dx x dx x 21255⎰⎰-=dx x dx x 21255 C x x +⋅-=232732572. 例8 dx x x x dx xx x x dx x x )133(133)1(222323-+-=-+-=-⎰⎰⎰ C x x x x dx xdx x dx dx x +++-=-+-=⎰⎰⎰⎰1||ln 3321113322.例9 ⎰⎰⎰-=-xdx dx e dx x e x x cos 3)cos 3(C x e x +-=sin 3.例10 C e C e e dx e dx e x x x x x x ++=+==⎰⎰2ln 12)2ln()2()2(2. 例11 dx xx dx x x x x dx x x x x )111()1()1()1(122222++=+++=+++⎰⎰⎰ C x x dx x dx x++=++=⎰⎰||ln arctan 1112. 例12 dx x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++-+=++-=+222242411)1)(1(1111 ⎰⎰⎰⎰++-=++-=dx xdx dx x dx x x 222211)111( C x x x ++-=arctan 313. 例13 ⎰⎰⎰⎰-=-=dx xdx dx x dx x 222sec )1(sec tan= tan x - x + C .例14 ⎰⎰⎰-=-=dx x dx x dx x )cos 1(212cos 1 2sin 2 C x x +-=)sin (21. 例15 C x dx x dx xx +-==⎰⎰cot 4sin 142cos 2sin 1222.§4. 2 换元积分法一、第一类换元法设f (u )有原函数F (u ), u =ϕ(x ), 且ϕ(x )可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有d F [ϕ(x ) ]=d F (u )=F '(u )d u = F ' [ϕ(x ) ] d ϕ(x )= F '[ϕ(x ) ]ϕ'(x )d x ,所以 F '[ϕ(x )]ϕ'(x )dx = F '[ϕ(x )] d ϕ(x )= F '(u )d u = d F (u )=d F [ϕ(x ) ],因此 ⎰⎰'='')()]([)()]([x d x F dx x x F ϕϕϕϕ⎰⎰='=)()(u dF du u F C x F x dF +==⎰)]([)]([ϕϕ.即 )(])([)()]([)()]([x u du u f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='=[F (u ) +C ] u = ϕ(x ) = F [ϕ(x )]+C .定理1 设f (u )具有原函数, u =ϕ(x )可导, 则有换元公式⎰⎰⎰+=+==='C x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([ϕϕϕϕϕ .被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待, 从而微分等式ϕ'(x )dx =du 可以应用到被积表达式中.在求积分⎰dx x g )(时, 如果函数g (x )可以化为g (x )= f [ϕ(x )]ϕ'(x )的形式, 那么⎰dx x g )()(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰='=.例1. ⎰⎰'⋅=dx x x xdx )2(2cos 2cos 2⎰=)2(2cos x xdC u udu +==⎰sin cos =sin 2x +C .例2. dx x x dx x ⎰⎰'++=+)23(23121231⎰++=)23(23121x d x C u dx u +==⎰||ln 21121C x ++=|23|ln 21. 例3. ⎰⎰⎰⎰=='=du e x d e dx x e dx xe u x x x )()(222222C e C e x u +=+=2.例4. 22222121)(1211dx x dx x x dx x x ⎰⎰⎰-='-=- C u du u x d x +-=-=---=⎰⎰2321223121)1(121 C x +--=232)1(31.C u du u+-=-=⎰||ln 1 =-ln|cos x |+C .即 C x xdx +-=⎰|cos |ln tan .类似地可得C x xdx +=⎰|sin |ln cot .熟练之后, 变量代换就不必再写出了.例6. dx ax a dx x a ⎰⎰+=+2222)(1111C ax a a x d ax a +=+=⎰arctan 1)(1112. 即 dx x a ⎰+221C a xa +=arctan 1. 例7. C ax a a x d a x a dx a x +==⎰⎰sh ch ch . 例8. 当a >0时,⎰⎰-=-dx a x a dx x a 222)(1111C a x a x d a x +=-=⎰arcsin )(112. 即 dx x a ⎰-221C a x +=arcsin . 例9. ⎰⎰+--=-dx a x a x a dx a x )11(21122]11[21⎰⎰+--=dx a x dx a x a ])(1)(1[21⎰⎰++---=a x d ax a x d a x a C a x a x a ++--=|]|ln ||[ln 21C ax a x a ++-=||ln 21. 即 dx a x ⎰-221C a x ax a ++-=||ln 21. 例10. ⎰⎰⎰++=+=+xx d x x d x x dx ln 21)ln 21(21ln 21ln )ln 21( C x ++=|ln 21|ln 21.xC e x +=332. 含三角函数的积分:例12. ⎰⎰⋅=xdx x xdx sin sin sin 23⎰--=x d x cos )cos 1(2⎰⎰+-=x xd x d cos cos cos 2C x x ++-=3cos 31cos . 例13. ⎰⎰=x xd x xdx x sin cos sin cos sin 4252⎰-=x d x x sin )sin 1(sin 222⎰+-=x d x x x sin )sin sin 2(sin 642C x x x ++-=753sin 71sin 52sin 31. 例14. dx x xdx ⎰⎰+=22cos 1cos 2)2cos (21⎰⎰+=xdx dx ⎰⎰+=x xd dx 22cos 4121C x x ++=2sin 4121. 例15. dx x xdx 224)(cos cos ⎰⎰=⎰+=dx x 2)]2cos 1(21[ ⎰++=dx x x )2cos 2cos 21(412 ⎰++=dx x x )4cos 212cos 223(41 C x x x +++=)4sin 812sin 23(41 C x x x +++=4sin 3212sin 4183. 例16. ⎰⎰+=dx x x xdx x )5cos (cos 212cos 3cos C x x ++=5sin 101sin 21. 例17. ⎰⎰=dx x xdx sin 1csc ⎰=dx x x 2cos 2sin 21C x xxd x x x d +===⎰⎰|2tan |ln 2tan 2tan 2cos 2tan 22=ln |csc x -cot x |+C . 即 ⎰xdx csc =ln |csc x -cot x |+C .例18. ⎰⎰+=dx x xdx )2csc(sec πC x x ++-+=|)2cot()2 csc(|ln ππ =ln |sec x + tan x | + C .即 ⎰xdx sec =ln |sec x + tan x | + C .二、第二类换元法定理2 设x =ϕ(t )是单调的、可导的函数, 并且ϕ'(t )≠0. 又设f [ϕ(t )]ϕ'(t )具有原函数F (t ), 则有换元公式C x F t F dt t t f dx x f +=='=-⎰⎰)]([)()()]([)(1ϕϕϕ.其中t =ϕ-1(x )是x =ϕ(t )的反函数.这是因为)()]([1)()]([)(})]([{1x f t f dtdx t t f dx dt t F x F =='='='-ϕϕϕϕ. 例19. 求dx x a ⎰-22(a >0).解: 设x =a sin t , 22 ππ<<-t , 那么22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos t d t , 于是⎰⎰⋅=-tdt a t a dx x a cos cos 22C t t a tdt a ++==⎰)2sin 4121(cos 222. 因为ax t arcsin =, a x a a x t t t 222cos sin 22sin -⋅==, 所以 dx x a ⎰-22C t t a ++=)2sin 4121(2C x a x a x a +-+=22221arcsin 2.解: 设x =a sin t , 22 ππ<<-t , 那么⎰⎰⋅=-tdt a t a dx x a cos cos 22C t t a tdt a ++==⎰)2sin 4121(cos 222C x a x a x a +-+=22221arcsin 2. 提示:22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos tdt .提示: a x t arcsin =, ax a a x t t t 222cos sin 22sin -⋅==.例20. 求⎰+22a x dx (a >0). 解法一: 设x =a tan t , 22 ππ<<-t , 那么 22a x +t a a 222tan +=t a 2tan 1+==a sec t , dx =a sec 2t d t , 于是⎰+22a x dx ⎰⎰==tdt dt t a t a sec sec sec 2= ln |sec t + tan t |+C . 因为aa x t 22sec +=, a x t =tan , 所以 ⎰+22a x dx = ln |sec t + tan t |+C C a a x a x +++=)ln(22122)ln(C a x x +++=, 其中C 1=C -ln a .解法一: 设x =a tan t , 22 ππ<<-t , 那么 ⎰⎰⎰==+tdt dt t a t a a x dx sec sec sec 222=ln|sec t +tan t |+C C aa x a x +++=)ln(22122)ln(C a x x +++=, 其中C 1=C -ln a .提示:22a x +t a a 222tan +==a sec t , dx =a sec 2t dt ,提示:aa x t 22sec +=, a x t =tan .解法二: 设x =a sh t , 那么⎰+22a x dx C a x C t dt dt t a t a +=+===⎰⎰arsh ch ch C a x a x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1)(ln 2122)ln(C a x x +++=, 其中C 1=C -ln a .提示: 22a x +222a t sh a +==a ch t , dx =a ch t d t .例23. 求⎰-22a x dx (a >0). 解: 当x >a 时, 设x =a sec t (20π<<t ), 那么 22a x -222sec a t a -=1sec 2-=t a =a tan t ,于是⎰-22a x dx ⎰⎰==tdt dt t a t t a sec tan tan sec = ln |sec t + tan t |+C . 因为aa x t 22tan -=, a x t =sec , 所以 ⎰-22a x dx = ln |sec t + tan t |+C C a a x a x +-+=||ln 22122)ln(C a x x +-+=, 其中C 1=C -ln a .当x <a 时, 令x =-u , 则u >a , 于是⎰-22a x dx C a u u a u du +-+-=--=⎰)ln(2222 C a x x +-+--=)ln(22122)ln(C a x x +---=,122222)ln(ln C a x x C aa x x +---=+---=, 其中C 1=C -2ln a .综合起来有⎰-22a x dx C a x x +-+=||ln 22. 解: 当x >a 时, 设x =a sec t (20π<<t ), 那么⎰-22a x dx ⎰⎰==tdt dt t a t t a sec tan tan sec C aa x a x C t t +-+=++=)ln(|tan sec |ln 22 C a x x +-+=)ln(22,其中C 1=C -ln a .当x <-a 时, 令x =-u , 则u >a , 于是⎰-22a x dx C a u u a u du +-+-=--=⎰)ln(2222 C a a x x C a x x +---=+-+--=22222ln )ln( 122)ln(C a x x +---=,其中C 1=C -2ln a .提示:22a x -222sec a t a -=1sec 2-=t a =a tan t .提示:aa x t 22tan -=, a x t =sec . 综合起来有C a x x a x dx +-+=-⎰||ln 2222. 补充公式: (16)C x xdx +-=⎰|cos |ln tan ,(17)C x xdx +=⎰|sin |ln cot ,(18)C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec ,(19)C x x xdx +-=⎰|cot csc |ln csc , (20)C a x a dx x a +=+⎰arctan 1122, (21)C a x a x a dx a x ++-=-⎰||ln 21122, (22)C a x dx x a +=-⎰arcsin 122, (23)C a x x a x dx +++=+⎰)ln(2222,(24)C a x x a x dx +-+=-⎰||ln 2222.§4. 3 分部积分法设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为(uv )'=u 'v +uv ',移项得 uv '=(uv )'-u 'v .对这个等式两边求不定积分, 得⎰⎰'-='vdx u uv dx v u , 或⎰⎰-=vdu uv udv ,这个公式称为分部积分公式.分部积分过程:⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰ vdx u uv vdu uv udv dx v u .例1 ⎰⎰⎰-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cos =x sin x -cos x +C .例2 C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰.例3 ⎰⎰⎰-==2222dx e e x de x dx e x x x x x⎰⎰-=-=x x x x xde e x dx xe e x 2222⎰+-=dx e xe e x x x x 222=x 2e x -2xe x +2e x +C =e x (x 2-2x +2 )+C .例4 ⎰⎰⎰⋅-==dx xx x x xdx xdx x 121ln 21ln 21ln 222 C x x x xdx x x +-=-=⎰22241ln 2121ln 21. 例5 ⎰⎰-=x xd x x xdx arccos arccos arccosdx x x x x ⎰-+=211arccos )1()1(21arccos 2212x d x x x ---=⎰-C x x x +--=21arccos . 例6 ⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x ⎰+⋅-=dx x x x x 2221121arctan 21 ⎰+--=dx x x x )111(21arctan 2122C x x x x ++-=arctan 2121arctan 212. 例7 求xdx e x sin ⎰.解 因为⎰⎰⎰-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin⎰⎰-=-=x x x x xde x e xdx e x e cos sin cos sin⎰+-=x d e x e x e x x x cos cos sin⎰+-=x d e x e x e x x x cos cos sin⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin ,所以 C x x e xdx e x x +-=⎰)cos (sin 21sin .例8 求⎰xdx 3sec .解 因为⎰⎰⎰=⋅=x xd xdx x xdx tan sec sec sec sec 23⎰-=xdx x x x 2tan sec tan sec⎰--=dx x x x x )1(sec sec tan sec 2⎰⎰+-=xdx xdx x x sec sec tan sec 3⎰-++=xdx x x x x 3sec |tan sec |ln tan sec ,所以 ⎰xdx 3sec C x x x x +++=|)tan sec |ln tan (sec 21. 例9 求⎰+=nn a x dx I )(22, 其中n 为正整数. 解 C a x aa x dx I +=+=⎰arctan 1221; 当n >1时，用分部积分法, 有dx a x x n a x x a x dx n n n ⎰⎰+-++=+--)()1(2)()(222122122dx a x a a x n a x x n n n ⎰+-+-++=--])()(1[)1(2)(222122122, 即 ))(1(2)(211221n n n n I a I n a x x I --++=---, 于是 ])32()([)1(2111222---++-=n n n I n a x x n a I . 以此作为递推公式, 并由C ax a I +=arctan 11即可得n I . 例10 求dx e x ⎰. 解 令x =t 2 , 则 , dx =2tdt . 于dx e x ⎰C x e C t e dt te x t t +-=+-==⎰)1(2)1(22.x d e x x d e dx e x x x ⎰⎰⎰==2)(2x d e e x de x x x x ⎰⎰-==222C x e C e e x x x x +-=+-=)1(222.第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分⎰⎰=')()]([)()]([x d x f dx x x f ϕϕϕϕu x =)(ϕ令⎰du u f )(,⎰⎰=')()()()(x dv x u dx x v x u ⎰-=)()()()( x du x v x v x u .哪些积分可以用分部积分法？⎰xdx x cos , ⎰dx xe x , dx e x x ⎰2;⎰xdx x ln , ⎰xdx arccos , ⎰xdx x arctan ;xdx e x sin ⎰, ⎰xdx 3sec .2222⋅⋅⋅===⎰⎰⎰du e dx e dx xe u x x ,2222⋅⋅⋅=-==⎰⎰⎰dx e e x de x dx e x x x x x .§4. 4 几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数:mm m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=----11101110)()(, 其中m 和n 都是非负整数; a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n 及b 0, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b m 都是实数, 并且a 0≠0, b 0≠0. 当n <m 时, 称这有理函数是真分式; 而当n ≥m 时, 称这有理函数是假分式.假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如1111)1(1122223++=+++=+++x x x x x x x x . 真分式的不定积分:求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 例1 求⎰+-+dx x x x 6532. 解 ⎰+-+dx x x x 6532⎰--+=dx x x x )3)(2(3⎰---=dx x x )2536( ⎰⎰---=dx x dx x 2536=6ln|x -3|-5ln|x -2|+C . 提示: )3)(2()32()(23)3)(2(3----++=-+-=--+x x B A x B A x B x A x x x , A +B =1, -3A -2B =3, A =6, B =-5.分母是二次质因式的真分式的不定积分:例2 求⎰++-dx x x x 3222. 解 ⎰++-dx x x x 3222dx x x x x x )3213322221(22++-+++=⎰ dx x x dx x x x ⎰⎰++-+++=321332222122 ⎰⎰+++-++++=2222)2()1()1(332)32(21x x d x x x x d C x x x ++-++=21arctan 23)32ln(212. 提示: 321332221323)22(213222222++⋅-++-⋅=++-+=++-x x x x x x x x x x x . 例3 求⎰-dx x x 2)1(1.解 ⎰⎰-+--=-dx x x x dx x x ])1(1111[)1(122 ⎰⎰⎰-+--=dx x dx x dx x 2)1(1111C x x x +----=11|1|ln ||ln .提示: 222)1(1)1(1)1(1)1(1-+--=-+-=-x x x x x x x x x 22)1(1111)1(1)1(1-+--=-+-+--=x x x x x x x x . 二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数, 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算. 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示, 故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式.用于三角函数有理式积分的变换:把sin x 、cos x 表成2tan x 的函数, 然后作变换2tan x u =: 222122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 222222112sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x +-=-=-=. 变换后原积分变成了有理函数的积分.例4 求⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1. 解 令2tan x u =, 则212sin u u x +=, 2211cos u u x +-=, x =2arctan u , du u dx 212+=. 于是 ⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1⎰+-++++=)111(12)121(2222u u u u u udu u 212+⎰++=du u u )12(21 C u u u +++=|)|ln 22(212C x x x +++=|2tan |ln 212tan 2tan 412. 解 令2tan x u =, 则du uu u u u u udx x x x 2222212)111(12)121()cos 1(sin sin 1+⋅+-++++=++⎰⎰ ⎰++=+++=du uu C u u u )12(21|)|ln 22(212 C x x x +++=|2tan |ln 212tan 2tan 412. 说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分. 例如,⎰⎰++=++=+C x x d x dx x x )sin 1ln()sin 1(sin 11sin 1cos .三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去.例5 求⎰-dx xx 1. 解 设u x =-1, 即12+=u x , 则du u u udu u u dx xx ⎰⎰⎰+=⋅+=-12211222 C u u du u+-=+-=⎰)arctan (2)111(22 C x x +---=)1arctan 1(2.例6 求⎰++321x dx . 解 设u x =+32. 即23-=u x , 则du uu du u u x dx ⎰⎰⎰++-=⋅+=++111331121223 C u u u du u u +++-=++-=⎰|)1|ln 2(3)111(32 C x x x +++++-+=|21|ln 23)2(233332. 例7 求⎰+x x dx )1(3. 解 设x =t 6, 于是dx =6t 5d t , 从而dt t t dt t t t x x dx ⎰⎰⎰+=+=+22325316)1(6)1(C t t dt t +-=+-=⎰)arctan (6)111(62 C x x +-=)arctan (666.例8 求⎰+dx xx x 11. 解 设t xx =+1, 即112-=t x , 于是 dt t t t t dx x x x ⎰⎰--⋅-=+222)1(2)1(11 dt t dt t t )111(212222-+-=--=⎰⎰ C t t t ++---=|11|ln 2 C xx x x x x +++-+-+-=11ln 12.练习1. 求⎰+xdx cos 2. 解: 作变换2tan x t =, 则有dt t dx 212+=, 2211cos t t x +-=, ⎰+x dx cos 2⎰+-++=22211212t t t dt⎰+=dt t 2312⎰+=3)3(11322t d t C t+=3arctan 32C x +=)2tan 31arctan(32. 2. 求⎰dx xx 45cos sin . 解: ⎰dx x x 45cos sin ⎰-=x d x x cos cos sin 44⎰--=x d xx cos cos )cos 1(422 ⎰+--=x d xx cos )cos 1cos 21(42 C x x x ++--=3cos 31cos 2cos . 3. 求⎰+-+dx x x x 23132.解: ⎰+-+dx x x x 23132⎰--+=dx x x x )1)(2(13⎰---=dx x x )1427(⎰-=dx x 217⎰--dx x 114 =7ln|x -2|-4ln|x -1|+C .§4.5积分表的使用积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂. 为了实用的方便, 往往把常用的积分公式汇集成表, 这种表叫做积分表. 求积分时, 可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后, 在表内查得所需的结果.积分表一、含有ax +b 的积分 1．⎰++=+C b ax ab ax dx ||ln 1 2．)1()()1(1)(1-≠+++=++⎰μμμμC b ax a dx b ax 3．C b ax b b ax a dx b ax x ++-+=+⎰|)|ln (124．[]C b ax b b ax b b ax a dx b ax x ++++-+=+⎰||ln )(2)(2112232 5．C x b ax b b ax x dx ++-=+⎰ln 1)( 6．C x b ax b a bx b ax x dx +++-=+⎰ln 1)(22 7．()C b ax b b ax a dx b ax x ++++=+⎰||ln 1)(22 8．()C b ax b b ax b b ax a dx b ax x ++-+-+=+⎰2322||ln 21)( 9．C xb ax b b ax b b ax x dx ++-+=+⎰ln 1)(1)(22 例1求⎰+dx x x 2)43(. 解: 这是含有3x +4的积分, 在积分表中查得公式()C b ax b b ax a dx b ax x ++++=+⎰||ln 1)(22.现在a =3、b =4, 于是 ()C x x dx x x ++++=+⎰434|43|ln 91)43(2. 二、含有b ax +的积分1．C b ax adx b ax ++=+⎰3)(32 2．C b ax b ax a dx b ax x ++-=+⎰32)()23(152 3．C b ax b abx x a a dx b ax x +++-=+⎰322232)()81215(1052 4．C b ax b ax a dx b ax x ++-=+⎰)2(322 5．C b ax b abx x a a dx bax x +++-=+⎰)843(15222232 6．⎰⎪⎩⎪⎨⎧<+-+->+++-+=+)0( arctan 2)0( ln 1b C b b ax bb C b b ax b b ax b b ax x dx 7．⎰⎰+-+-=+b ax x dx b a bx b ax bax x dx 22 8．⎰⎰+++=+bax x dx b b ax dx x b ax 2 9．⎰⎰+++-=+bax x dx a x b ax dx x b ax22 三、含x 2±a 2的积分1．⎰+=+C a x a a x dx arctan 122 2．⎰⎰--+--++-=+1222122222)()1(232)()1(2)(n n n a x dx a n n a x a n x a x dx 3．C ax a x a a x dx ++-=-⎰ln 2122 四、含有ax 2+b (a >0)的积分1．⎪⎩⎪⎨⎧<+-+--->+=+⎰)0( ln 21)0( arctan 12b C bx a b x a ab b C x b a ab b ax dx 2．C b ax adx b ax x ++=+⎰||ln 21223．⎰⎰+-=+b ax dx a b a x dx b ax x 222 4．C b ax x b b ax x dx ++=+⎰||ln 21)(222 5．⎰⎰+--=+dx b ax b a bx b ax x dx 22211)( 6．C bx x b ax b a b ax x dx +-+=+⎰22222321||ln 2)( 7．⎰⎰+++=+dx bax b b ax b x b ax dx 2222121)(2)( 五、含有ax 2+bx +c (a >0)的积分 六、含有22a x + (a >0)的积分1．C a x x C a x a x dx +++=+=+⎰)ln(arsh 22122 2．C a x a x a x dx +++⎰222322)( 3．C a x dx a x x ++=+⎰2222 4．C a x dx a x x ++-=+⎰223221)( 5．C a x x a a x x dx a x x +++-+=+⎰)ln(2222222222 6．C a x x a x x dx a x x +++++-=+⎰)ln()(22223222 7．C x a a x a a x x dx +-+=+⎰||ln 12222 8．C x a a x a x x dx ++-=+⎰222222 9．C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰)ln(222222222 例3求⎰+942x x dx . 解: 因为⎰⎰+=+222)23(2194x x dx x x dx , 所以这是含有22a x +的积分, 这里23=a . 在积分表中查得公式C x a a x a a x x dx +-+=+⎰||ln 12222. 于是 C x x C x x x x dx +-+=+-+⋅=+⎰||2394ln 31||23)23(ln 3221942222. 七、含有22a x -(a >0)的积分1．⎰+-+=+=-C a x x C a x x x a x dx ||ln ||arch ||22122 2．⎰+--=-C a x a x a x dx 222322)( 3．C a x dx a x x +-=-⎰2222 4．⎰+--=-C a x dx a x x 223221)( 5．C a x x a a x x dx a x x +-++-=-⎰||ln 2222222222 6．⎰+-++--=-C a x x a x x dx a x x ||ln )(22223222 7．⎰+=-C x a a a x x dx ||arccos 122 8．⎰+-=-C x a a x ax x dx 222222 9．C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰||ln 222222222 八、含有22x a -(a >0)的积分1．⎰+=-C a x x a dx arcsin 22 2．⎰+--=-C x a a x x a dx 222322)( 3．C x a dx x a x +--=-⎰2222 4．⎰+-=-C x a dx x a x 223221)( 5．C a x a x a x dx x a x ++--=-⎰arcsin 22222222 6．⎰+--=-C a x x a x dx x a x arcsin )(2232227．⎰+--=-C x x a a a x a x dx ||ln 12222 8．⎰+--=-C x a x a x a x dx 222222 9．C ax a x a x dx x a +--=-⎰arcsin 2222222 九、含有)0(2>++±a c bx ax 的积分 十、含有bx a x --±或))((b x a x --的积分 十一、含有三角函数的积分1．C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec2．C x x xdx +-=⎰|cot csc |ln csc3．C x xdx x +=⎰sec tan sec4．C x xdx x +-=⎰csc cot csc5．C x x xdx +-=⎰2sin 412sin 2 6．C x x xdx ++=⎰2sin 412cos 2 7．⎰⎰---+-=xdx nn x x n xdx n n n 21sin 1cos sin 1sin 8．⎰⎰---+=xdx nn x x n xdx n n n 21cos 1sin cos 1cos 9．C x b a b a x b a b a bxdx ax +---++-=⎰)cos()(21)cos()(21cos sin 10．C x b a b a x b a b a bxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin 11．C x b a b a x b a b a bxdx ax +--+++=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos 12．)( 2tan arctan 2sin 222222b a C b a b x a b a x b a dx >+-+-=+⎰13．)( 2tan 2tan ln 2sin 22222222b a C a b b x a a b b x a a b x b a dx <+-++--+-=+⎰ 14．())( 2tan arctan 2cos 22b a C x b a b a b a b a b a x b a dx >++--++=+⎰ 14．)( 2tan 2tan ln 2cos 22b a C a b ba x ab ba x ab b a b a x b a dx <+-+--++-++=+⎰ 例2求⎰-xdx cos 45. 解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式())( 2tan arctan 2cos 22b a C x b a b a b a b a ba xb a dx >++--++=+⎰. 这里a =5、b =-4, a 2>b 2, 于是 () 2tan )4(5)4(5arctan )4(5)4(5)4(52cos 45C x x dx +-+-----+-+=-⎰ ()C x +=2tan 3arctan 32. 例4 求⎰xdx 4sin .解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式⎰⎰---+-=xdx n n x x n xdx n n n 21sin 1cos sin 1sin , C x x xdx +-=⎰2sin 412sin 2. 这里n =4, 于是C x x x x xdx x x xdx +-+-=+-=⎰⎰)2sin 412(43cos sin 41sin 43cos sin 41sin 3234.。
大学不定积分教案
教学目标：1. 理解不定积分的概念和性质。
2. 掌握不定积分的基本方法，包括换元积分法、分部积分法等。
3. 能够运用不定积分解决实际问题。
教学重点：1. 不定积分的概念和性质。
2. 换元积分法和分部积分法的运用。
教学难点：1. 换元积分法和分部积分法的灵活运用。
2. 复杂函数的不定积分计算。
教学过程：一、导入1. 回顾导数的概念和求导法则。
2. 提出问题：如何从导数反求原来的函数？二、不定积分的概念与性质1. 引入不定积分的定义：如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)，那么f(x)在区间I上的不定积分记作∫f(x)dx，其中F(x) + C为f(x)的不定积分。
2. 讲解不定积分的性质：a. 线性性质：∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dxb. 可积性质：如果f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上可积。
c. 积分常数：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x) + C也是f(x)的一个原函数。
三、换元积分法1. 介绍换元积分法的概念：将原积分问题转化为新的积分问题，通过变量替换简化积分计算。
2. 讲解第一类换元法：a. 介绍凑微分法：在原积分中，将微分表达式凑成待积函数的形式。
b. 举例说明第一类换元法的运用。
3. 讲解第二类换元法：a. 介绍根式换元法：将被积函数中含有根式的部分通过换元转化为不含根式的函数。
b. 举例说明第二类换元法的运用。
四、分部积分法1. 介绍分部积分法的概念：利用分部积分公式将原积分问题转化为新的积分问题。
2. 讲解分部积分公式的推导过程。
3. 举例说明分部积分法的运用。
五、巩固练习1. 给出一些不定积分的计算题，让学生运用所学方法进行计算。
2. 对学生的答案进行点评和讲解，帮助学生掌握不定积分的计算方法。
六、总结1. 总结本节课所学的不定积分的概念、性质、基本方法。
2. 强调换元积分法和分部积分法的运用技巧。
七、课后作业1. 完成本节课所学的练习题。
不定积分的概念与基本公式教案
不定积分的概念与基本公式教案引言：不定积分是微积分的重要概念之一，是对函数求导运算的逆运算。
本教案将介绍不定积分的概念、性质以及基本公式，并提供一些练习题来帮助学生巩固所学知识。
一、不定积分的概念不定积分是对函数进行求导运算的逆运算，也可以理解为找到一个函数，使得它的导数等于给定的函数。
记作∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)为不定积分的结果，C为常数。
二、不定积分的性质1. 线性性质：∫[a*f(x) + b*g(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a和b为常数。
2.可积性：如果函数f(x)在区间[a,b]上有不定积分，则在该区间上f(x)一定可积。
3. 反常积分：如果函数f(x)在其中一点x=c处不连续，其中c为[a,b]上的端点，则∫f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。
三、基本不定积分公式1.幂函数的不定积分：(1) ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1(2) ∫1/x dx = ln，x， + C。
(3) ∫e^x dx = e^x + C。
(4) ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠12.三角函数的不定积分：(1) ∫sinx dx = -cosx + C。
(2) ∫cosx dx = sinx + C。
(3) ∫sec^2x dx = tanx + C。
(4) ∫csc^2x dx = -cotx + C。
3.指数函数与三角函数的不定积分：(1) ∫e^ax*sinbx dx = (e^ax)*(asinbx/b - bcosbx/b^2) + C。
(2) ∫e^ax*cosbx dx = (e^ax)*(acosbx/b + bsinbx/b^2) + C。
四、练习题1.求函数y=3x^2的不定积分。
2. 求不定积分∫(4x^3 + 2x - 5)dx。
高等数学教案ch 4 不定积分.
高等数学教案第四章不定积分教学目的：第四章不定积分1、理解原函数概念、不定积分的概念。
2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。
3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。
教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。
§4. 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一x∈I, 都有F '(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.例如因为(sin x)'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数.又如当x ∈(1, +∞)时,因为(x)'=1, 所以x是1的原函数. 2x2x提问:cos x和1还有其它原函数吗？ 2x原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一x ∈I 都有F '(x)=f(x).简单地说就是: 连续函数一定有原函数.两点说明:第一, 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函数,F(x)+C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数.第二, f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则Φ(x)-F(x)=C (C为某个常数).高等数学课程建设组1高等数学教案第四章不定积分定义2 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作⎰f(x)dx.其中记号⎰称为积分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即⎰f(x)dx=F(x)+C.因而不定积分⎰f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数.例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以⎰cosxdx=sinx+C.因为x是1的原函数, 所以 2x例2. 求函数f(x)=1的不定积分. x解：当x>0时, (ln x)'=1, x⎰1dx=lnx+C(x>0); x当x<0时, [ln(-x)]'=1⋅(-1)=1, -xx⎰1dx=ln(-x)+C(x<0). x合并上面两式, 得到⎰1dx=ln|x|+C(x≠0). x例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解设所求的曲线方程为y=f(x), 按题设, 曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为y'=f'(x)=2x,,即f(x)是2x 的一个原函数.因为⎰2xdx=x2+C,高等数学课程建设组2 ⎰1dx=x+C. x高等数学教案第四章不定积分故必有某个常数C使f(x)=x 2+C, 即曲线方程为y=x 2+C.因所求曲线通过点(1, 2), 故2=1+C, C=1.于是所求曲线方程为y=x2+1.积分曲线: 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.从不定积分的定义, 即可知下述关系: d[⎰f(x)dx]=f(x), dx或 d[⎰f(x)dx]=f(x)dx;又由于F(x)是F '(x)的原函数, 所以⎰F'(x)dx=F(x)+C,或记作⎰dF(x)=F(x)+C.由此可见, 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号⎰表示）是互逆的. 当记号⎰与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数.二、基本积分表(1)⎰kdx=kx+C(k是常数), (2)⎰xμdx=1xμ+1+C, +1(3)⎰1dx=ln|x|+C, x(4)⎰exdx=ex+C, x(5)⎰axdx=a+C, lna(6)⎰cosxdx=sinx+C,(7)⎰sinxdx=-cosx+C, (8)⎰1dx=sec2xdx=tanx+C, ⎰cos2x(9)⎰12=⎰csc2xdx=-cotx+C, sinx高等数学课程建设组3高等数学教案第四章不定积分(10)⎰1=arctanx+C, 1+x(11)⎰1=arcsinx+C, -x2(12)⎰secxtanxdx=secx+C,(13)⎰cscxcotdx=-cscx+C,(14)⎰sh x dx=ch x+C,(15)⎰ch x dx=sh x+C.例4例5 ⎰xdx=⎰x-3dx=-3+1x-3+1+C=-2x+C.111⎰x2xdx=⎰5x2dx7+1122=x+C=x2+C=2x3+C. +17725例6 ⎰dx=⎰xx-4x3dx=-4+1x3-+13+C-1=-3x3+C=-3+C. 三、不定积分的性质性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即⎰[f(x)+g(x)]dx=⎰f(x)dx+⎰g(x)dx.这是因为, [⎰f(x)dx+⎰g(x)dx]'=[⎰f(x)dx]'+[⎰g(x)dx]'=f(x)+g(x).性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即⎰kf(x)dx=k⎰f(x)dx(k是常数, k ≠0).例7. ⎰x(x-5)dx=⎰5x2dx-725(x21-5x2)dx 5x2dx-51x2dx =⎰⎰15x2dx3=⎰⎰22 =x2-5⋅x2+C. 7332(x-1)3x-3x+3x-1=(x-3+3-1)dx 例8 ⎰dx=⎰⎰22xx2xx=⎰xdx-3⎰dx+3⎰1dx-⎰1=1x2-3x+3ln|x|+1+C. x2xx高等数学课程建设组4高等数学教案第四章不定积分例9 ⎰(ex-3cosx)dx=⎰exdx-3⎰cosxdx=ex-3sinx+C. 例10 ⎰2xexdx=⎰(2e)xdx=xx(2e)x+C=2e+C. ln(2e)1+ln22x+(1+x2)1+x+x 例11 ⎰=⎰=⎰(12+1)dx 22x(1+x)x(1+x)1+xx=⎰12dx+⎰1dx=arctanx+ln|x|+C. x1+x44(x2+1)(x2-1)+1xx-1+1 例12 ⎰=⎰=⎰dx 1+x21+x21+x2=⎰(x2-1+1dx=⎰x2dx-⎰dx+⎰11+x1+x=1x3-x+arctanx+C. 3例13 ⎰tan2xdx=⎰(sec2x-1)dx=⎰sec2xdx-⎰dx= tan x - x + C .例14 ⎰sin2x dx=⎰1-cosxdx=1⎰(1-cosx)dx 222=例15 1(x-sinx)+C. 2⎰1=4⎰12=-4cotx+C. sinxsin2cos222高等数学课程建设组5高等数学教案第四章不定积分 §4. 2 换元积分法一、第一类换元法设f(u)有原函数F(u), u=ϕ(x), 且ϕ(x)可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有d F[ϕ(x) ]=d F(u)=F '(u)d u= F' [ϕ(x) ] dϕ(x)= F '[ϕ(x) ]ϕ'(x)d x ,所以 F '[ϕ(x)]ϕ'(x)dx= F '[ϕ(x)] dϕ(x)= F '(u)d u= d F(u)=d F[ϕ(x) ],因此⎰F'[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=⎰F'[ϕ(x)]dϕ(x)=⎰F'(u)du=⎰dF(u)=⎰dF[ϕ(x)]=F[ϕ(x)]+C.即⎰f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=⎰f[ϕ(x)]dϕ(x)=[⎰f(u)du]u=ϕ(x)=[F(u) +C] u = ϕ(x) = F[ϕ(x)]+C.定理1 设f(u)具有原函数, u=ϕ(x)可导, 则有换元公式⎰f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=⎰f[ϕ(x)]dϕ(x)=⎰f(u)du=F(u)+C=F[ϕ(x)]+C .被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待, 从而微分等式ϕ'(x)dx =du可以应用到被积表达式中.在求积分⎰g(x)dx时, 如果函数g(x)可以化为g(x)= f[ϕ(x)]ϕ'(x)的形式, 那么⎰g(x)dx=⎰f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=[⎰f(u)du]u=ϕ(x).例1. ⎰2cos2xdx=⎰cos2x⋅(2x)'dx=⎰cos2xd(2x)=⎰cosudu=sinu+C=sin 2x+C .例2. ⎰3+2x=2⎰3+2x(3+2x)'dx=2⎰3+2xd(3+2x) 11111=1⎰1dx=1ln|u|+C=1ln|3+2x|+C. 2u22例3. ⎰2xexdx=⎰ex(x2)'dx=⎰exd(x2)=⎰eudu=eu+C=ex+C.例4. ⎰x-x2dx=1⎰-x2(x2)'dx=1⎰-x2dx2 22=-1⎰-x2d(1-x2)=-1⎰u2du=-1u2+C 223=-1(1-x2)2+C. 3高等数学课程建设组6 3132222高等数学教案第四章不定积分例5. ⎰tanxdx=⎰sinxdx=-⎰1dcosx cosxcosx =-⎰1du=-ln|u|+C u=-ln|cos x|+C .=-ln|coxs|+C. 即⎰tanxdx类似地可得⎰cotxdx=ln|sinx|+C.熟练之后, 变量代换就不必再写出了.例6. ⎰a+xdx=a⎰111dx1+(2a=1⎰1x=1arctanx+C. a1+()2aaaa即 n+C. ⎰a2+x2=aarcta11x例7. ⎰chx=a⎰chxx=a shx+C. aaaa例8. 当a>0时,1=111xdx=⎰dx=arcs+C. ⎰aaaxxa2-x222-(-(aa⎰即⎰1=arcsx+C. 22a-x例9. ⎰x2-a2dx=2a⎰x-a-x+a)dx=2a[⎰x-adx-⎰x+adx] 1111111=1[⎰1d(x-a)-⎰1(x+a)] 2ax-ax+a=1[ln|x-a|-ln|x+a|]+C=1ln|x-a|+C. 2a2ax+a即⎰x-a=2aln|x+a|+C.⎰x(1+2lnx)=⎰1+2lnx=2⎰dxdlnx1d(1+2lnx) 1+2lnx11x-a 例10.=1ln|1+2lnx|+C. 2高等数学课程建设组7高等数学教案第四章不定积分例11. ⎰e=2⎰ed=2⎰e3xdx 3x=2e+C. 3含三角函数的积分:例12. ⎰sin3xdx=⎰sin2x⋅sinxdx=-⎰(1-cos2x)dcosx=-⎰dcosx+⎰cos2xdcosx=-cosx+1cos3x+C. 3例13. ⎰sin2xcos5xdx=⎰sin2xcos4xdsinx=⎰sin2x(1-sin2x)2dsinx=⎰(sin2x-2sin4x+sin6x)dsinx=1sin3x-2sin5x+1sin7x+C. 357例14. ⎰cos2xdx=⎰1+cos2xdx=1(⎰dx+⎰cos2xdx) 22=1⎰dx+1⎰cos2xd2x=1x+1sin2x+C. 2424例15. ⎰cos4xdx=⎰(cos2x)2dx=⎰[1(1+cos2x)]2dx 2=1⎰(1+2cos2x+cos22x)dx 4=1⎰3+2cos2x+1cos4x)dx 422=1(3x+sin2x+1sin4x)+C 428=3x+1sin2x+1sin4x+C. 8432例16. ⎰cos3xcos2xdx=1⎰(cosx+cos5x)dx 2=1sinx+1sin5x+C. 2101dx 例17. ⎰cscxdx=⎰1dx=⎰sinx2sincos22高等数学课程建设组8高等数学教案第四章不定积分dxdtanx=ln|tanx|+C=ln |csc x -cot x |+C . =⎰=⎰2tancos2tan222xdx 即⎰csc=ln |csc x -cot x |+C .例18. ⎰secxdx=⎰csc(x+πdx=ln|csc(x+ π)-cot(x+ π)|+C 222=ln |sec x + tan x | + C.xdx 即⎰sec=ln |sec x + tan x | + C.二、第二类换元法定理2 设x =ϕ(t)是单调的、可导的函数, 并且ϕ'(t)≠0. 又设f [ϕ(t)]ϕ'(t)具有原函数F(t), 则有换元公式⎰f(x)dx=⎰f[ϕ(t)]ϕ'(t)dt=F(t)=F[ϕ-1(x)]+C.其中t=ϕ-1(x)是x=ϕ(t)的反函数.这是因为{F[ϕ-1(x)]}'=F'(t)dt=f[ϕ(t)]ϕ'(t)1=f[ϕ(t)]=f(x). dxdt例19. 求⎰2-x2dx(a>0).解: 设x=a sin t , - π<t< π, 那么a2-x2=2-a2sin2t=acost, 22dx =a cos t d t , 于是⎰a2-x2dx=⎰acost⋅acostdt=a2⎰cos2tdt=a21t+1sin2t)+C. 24因为t=arcsin22x, sin2t=2sintcost=2x⋅a-x, 所以 aaa⎰2a11a-xdx=a(t+sin2t)+C=arcsinx+1xa2-x2+C. 2a224222解: 设x=a sin t , - π<t< π, 那么 22高等数学课程建设组9高等数学教案第四章不定积分⎰a2-x2dx=⎰acost⋅acostdt2 =a2⎰cos2tdt=a21t+1sin2t)+C=aarcsinx+1xa2-x2+C. 2a224提示:2-x2=a2-a2sin2t=acost, dx=acos tdt .22提示: t=arcsinx, sin2t=2sintcost=2x⋅-x. aaa例20. 求⎰dx(a>0). x2+a2解法一: 设x=a tan t, - π<t< π, 那么 22x2+a2=2+a2tan2t=a+tan2t=a sec t , dx=a sec 2t d t , 于是⎰2dxasect=sectdt= ln |sec t + tan t |+C . =⎰⎰asectx2+a222因为sect=x+a, tant=x, 所以 aa⎰dx= ln |sec t + tan t |+C=ln(x+x2+a2)+C=ln(x+x2+a2)+C, 1aax2+a2其中C 1=C-ln a .解法一: 设x=a tan t, - π<t< π, 那么 22⎰dx=asec2tdt=sectdt=ln|sect+tant|+C ⎰asect⎰x2+a222xx+a =+)+C=ln(x+x2+a2)+C1, aa其中C 1=C-ln a .提示:x2+a2=2+a2tan2t=asect , dx=a sec 2t dt ,22提示:sect=x+a, tant=x. aa解法二: 设x=a sh t , 那么高等数学课程建设组10高等数学教案第四章不定积分⎰dx=⎰ach t=⎰dt=t+C=arshx+C ach tax2+a2 ⎛⎫ =ln x+(x)2+1⎪+C=ln(x+x2+a2)+C1, a⎝a⎭其中C 1=C-ln a .提示: x2+a2=2sh2t+a2=a ch t , dx =a ch t d t .例23. 求⎰dx(a>0). x2-a2解: 当x>a 时, 设x=a sec t (0<t< π), 那么 2x2-a2=a2sec2t-a2=a2t-1=a tan t ,于是⎰dx=⎰asecttant=⎰sectdt= ln |sec t + tan t |+C . atantx2-a222因为tant=x-a, sect=x, 所以 aa⎰dx= ln |sec t + tan t |+C =ln|x+x2-a2|+C=ln(x+x2-a2)+C, 1aax2-a2其中C 1=C-ln a .当x<a 时, 令x=-u , 则u>a, 于是⎰dx=-⎰du=-ln(u+2-a2)+C x2-a22-a2=-ln(-x+x2-a2)+C=ln(-x-x2-a2)+C1,22-x-x-a=ln+C=ln(-x-x2-a2)+C1, a其中C 1=C-2ln a .综合起来有⎰dx=ln|x+x2-a2|+C. x2-a2解: 当x>a 时, 设x=a sec t (0<t< π), 那么 2高等数学课程建设组11高等数学教案第四章不定积分⎰dx =⎰asecttant=⎰sectdt22atantx-a22 =ln|sect+tatn|+C=lnx+x-a)+C aa(+x2-a2)+C, =lnx其中C 1=C-ln a .当x<-a 时, 令x=-u , 则u>a, 于是⎰dx=-⎰du=-ln(u+2-a2)+C x2-a22-a22222-x-x-a =-ln(-x+x-a)+C=ln+C a =ln(-x-x2-a2)+C1,其中C 1=C-2ln a .提示:x2-a2=2sec2t-a2=a2t-1=atant .22x-a提示:tant=, sect=x. aa综合起来有⎰dx=ln|x+x2-a2|+C. x2-a2补充公式:(16)⎰tanxdx=-ln|cosx|+C,(17)⎰cotxdx=ln|sinx|+C,(18)⎰secxdx=ln|secx+tanx|+C,(19)⎰cscxdx=ln|cscx-cotx|+C, (20)⎰(21)⎰(22)⎰(23)⎰1=1x+C, aaa+x221=1ln|x-a|+C,2ax+ax-a1=arcsinx+C, aa2-x2 dx=ln(x+x2+a2)+C, x2+a2高等数学课程建设组12高等数学教案第四章不定积分(24)⎰dx=ln|x+x2-a2|+C. x2-a2§4. 3 分部积分法设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为(uv)'=u'v+uv',移项得 uv'=(uv)'-u'v.对这个等式两边求不定积分, 得⎰uv'dx=uv-⎰u'vdx, 或⎰udv=uv-⎰vdu,这个公式称为分部积分公式.分部积分过程:⎰uv'dx=⎰udv=uv-⎰vdu=uv-⎰u'vdx= ⋅⋅⋅.例1 ⎰xcosxdx=⎰xdsinx=xsinx-⎰sinxdx=x sin x-cos x+C .例2 ⎰xexdx=⎰xdex=xex-⎰exdx=xex-ex+C.例3 ⎰x2exdx=⎰x2dex=x2ex-⎰exdx2=x2ex-2⎰xexdx=x2ex-2⎰xdex=x2ex-2xex+2⎰exdx=x2ex-2xex+2ex+C =ex(x2-2x+2 )+C.例4 ⎰xlnxdx=1⎰lnxdx2=1x2lnx-1⎰x2⋅1dx 222x=1x2lnx-1⎰xdx=1x2lnx-1x2+C. 2224例5 ⎰arccosxdx=xarccosx-⎰xdarccosx=xarccosx+⎰x1 -x21- =xarccosx-1⎰(1-x2)d(1-x2)=xarccosx--x2+C. 2例6 ⎰xarctanxdx=1⎰arctanxdx2=1x2arctanx-1⎰x2⋅1dx 2221+x=1x2arctanx-1⎰(1-1dx 221+x高等数学课程建设组13高等数学教案第四章不定积分 =1x2arctanx-1x+1arctanx+C. 222例7 求⎰exsinxdx.解因为⎰exsinxdx=⎰sinxdex=exsinx-⎰exdsinx=exsinx-⎰excosxdx=exsinx-⎰cosxdex=exsinx-excosx+⎰exdcosx=exsinx-excosx+⎰exdcosx=exsinx-excosx-⎰exsinxdx,所以⎰exsinxdx=1ex(sinx-cosx)+C. 2例8 求⎰sec3xdx.解因为⎰sec3xdx=⎰secx⋅sec2xdx=⎰secxdtanx=secxtanx-⎰secxtan2xdx=secxtanx-⎰secx(sec2x-1)dx=secxtanx-⎰sec3xdx+⎰secxdx=secxtanx+ln|secx+tanx|-⎰sec3xdx,cxdx=1(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C. 所以⎰se32例9 求In=⎰dx, 其中n为正整数. (x+a) 解 I1=⎰2dx2=1x+C; ax+aa当n>1时，用分部积分法, 有2dxxx ⎰=+2(n-1)⎰ (x+a)(x+a)(x+a)高等数学课程建设组14高等数学教案第四章不定积分 =x1a2dx, +2(n-1)[-⎰(x+a)(x+a)(x+a)x+2(n-1)(In-1-a2In), 22n-1(x+a)即 In-1=于是 In=1[x+(2n-3)In-1]. 2a(n-1)(x+a)以此作为递推公式, 并由I1=例10 求⎰edx. 1xarctan+C即可得In. aa解令x =t 2 , 则 , dx=2tdt. 于⎰edx=2⎰tetdt=2et(t-1)+C=2e(x-1)+C.⎰edx=⎰ed(x)2=2⎰xed=2⎰xdex=2xex-2⎰exdx=2xe-2e+C=2e(x-1)+C.第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分⎰f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=⎰f[ϕ(x)]dϕ(x)令ϕ(x)=u⎰f(u)du,⎰u(x)v'(x)dx=⎰u(x)dv(x) =u(x)v(x)-⎰v(x)du(x).哪些积分可以用分部积分法？⎰xcosxdx, ⎰xexdx, ⎰x2exdx;⎰xlnxdx, ⎰arccosxdx, ⎰xarctanxdx;⎰exsinxdx, ⎰sec3xdx.⎰2xexdx=⎰exdx2=⎰eudu= ⋅⋅⋅ ,⎰x2exdx=⎰x2dex=x2ex-⎰exdx2= ⋅⋅⋅ .高等数学课程建设组15 22高等数学教案第四章不定积分 §4. 4 几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数:P(x)a0xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an-1x+an , =Q(x)b0xm+b1xm-1+⋅⋅⋅+bm-1x+bm其中m和n都是非负整数; a0, a1, a2, ⋅⋅⋅ , an及b0, b1, b2, ⋅⋅⋅ , bm都是实数, 并且a0≠0, b0≠0. 当n<m时, 称这有理函数是真分式; 而当n≥m时, 称这有理函数是假分式.假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如x3+x+1=x(x2+1)+1=x+1. x2+1x2+1x2+1真分式的不定积分:求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 例1 求⎰解 x+3dx. x2-5x+6x+3⎰x-5x+6dx=⎰(x-2)(x-3)dx=⎰(x-3-x-2)dx x+365=⎰6dx-⎰5dx=6ln|x-3|-5ln|x-2|+C. x-3x-2提示: (A+B)x+(-2A-3B)x+3, =A+B=(x-2)(x-3)x-3x-2(x-2)(x-3)A+B=1, -3A-2B=3, A=6, B=-5.分母是二次质因式的真分式的不定积分:例2 求⎰解 x-2dx. x+2x+32⎰x2+2x+3dx=⎰2x2+2x+3-3x2+2x+3)dx x-212x+21=1⎰22x+2-3⎰21 2x+2x+3x+2x+3d(x2+2x+3)d(x+1)1 =⎰2 -3⎰2x+2x+3(x+1)2+()2=1ln(x2+2x+3)-3arctanx+1+C. 21(2x+2)-3x-2=1⋅x-2-3⋅1=提示: .x+2x+3x+2x+32x+2x+3x+2x+3例3 求⎰1dx. x(x-1)2高等数学课程建设组16高等数学教案第四章不定积分解⎰x(x-1)2dx=⎰[x-x-1+(x-1)2dx 1111=⎰1dx-⎰1dx+⎰12dx=ln|x|-ln|x-1|-1+C. xx-1x-1(x-1)提示: 1=1-x+x=-1+1 x(x-1)(x-1)2x(x-1)2x(x-1)2=-1-x+x+12=1-1+12. x(x-1)(x-1)xx-1(x-1)二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数, 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算. 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示, 故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式.用于三角函数有理式积分的变换:把sin x、cos x表成tanx的函数, 然后作变换u=tanx: 222tanx2tanx==2u, sinx=2sinxcosx=22sec21+tan21+u2221-tan2x=1-u2. cosx=cos2x-sin2x=22sec21+u2变换后原积分变成了有理函数的积分.例4 求⎰1+sinxdx. sinx(1+cosx)2x2u2du. 1-u 解令u=tan, 则sinx=, cosx=, x=2arctan u , dx=2221+u1+u1+u2(1+2u)2du=1(u+2+1)du 于是⎰1+sinxdx=⎰sinx(1+cosx)2⎰u2u(1+1-u1+u1+u1+u21u=(+2u+ln|u|)+C=1tan2x+tanx+1ln|tanx|+C. 2242222解令u=tanx, 则 2高等数学课程建设组17高等数学教案第四章不定积分(1+2u2 ⎰1+sinxdx=⎰⋅22du 2sinx(1+cosx)2u(1+1-u1+u1+u21+u22 =1u+2u+ln|u|)+C=1⎰(u+2+1du 222u=1tan2x+tanx+1ln|tanx|+C. 42222说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分. 例如, 三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去.例5 求⎰x-1dx. x解设x-1=u, 即x=u2+1, 则⎰1+sinxdx=⎰1+sinxd(1+sinx)=ln(1+sinx)+C. cosx1⎰x-1dx=u⋅2udu=2u2⎰u2+1⎰u2+1x=2⎰(1-1)du=2(u-arctanu)+C 1+u=2(x-1-arctanx-1)+C.例6 求⎰dx. 1+x+2 解设x+2=u. 即x=u3-2, 则dx=1⋅3u2du=3u2-1+1du ⎰1++2⎰1+u⎰1+u2 =3⎰(u-1+1du=3(u-u+ln|1+u|)+C 1+u2=3x+2)2-x+2+ln|1+x+2|+C. 2例7 求⎰dx. (1+x)x 解设x=t 6, 于是dx =6t 5d t , 从而高等数学课程建设组18高等数学教案第四章不定积分 dx6t5dt=6t2=6(1-1)dt=6(t-arctant)+C=⎰(1+x)x⎰(1+t2)t3⎰1+t2⎰1+t2=6(x-arctanx)+C.例8 求⎰1+xdx. xx解设+x=t, 即x=21, 于是 xt-1-2t ⎰1+xdx=⎰(t2-1)t⋅xx(t-1)2 =-2⎰tdt=-2⎰(1+1)dt t-1t-1=-2t-ln|t-1|+C t+1=-2+x-ln+x-x+C. x+x+练习1. 求⎰dx. 2+cosx1-t2x2 解: 作变换t=tan, 则有dx=, x=dt, cos1+t221+t22dt221tdx1=⎰1+t2=2⎰⎰ =ddt⎰2t1-t2+cosx3+t31+()22+1+t23=2arctant3+C=231xtan)+C. 232. 求⎰sin5xdx. 4cosx4(1-co2sx)2sin5xsinx 解: ⎰dx=-⎰dcosx=-⎰dcosx cos4xco4sxco4sx21 =-⎰(1-+)dcosx cos2xcos4x=-cosx-3. 求⎰3x+1dx. x2-3x+221++C. 3cosx3cosx高等数学课程建设组19高等数学教案第四章不定积分解: ⎰3x+13x+174=dxdx=(-⎰(x-2)(x-1)⎰x-2x-1)dx x2-3x+211dx-4⎰dx x-2x-1=7ln|x-2|-4ln|x-1|+C.§4.5积分表的使用积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂. 为了实用的方便, 往往把常用的积分公式汇集成表, 这种表叫做积分表. 求积分时, 可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后, 在表内查得所需的结果.积分表一、含有ax+b的积分 =7⎰1．⎰dx=1ln|ax+b|+C ax+ba2．⎰(ax+b)μdx=3．⎰1(ax+b)μ+1+C(μ≠-1) a(μ+1)xdx=1(ax+b-bln|ax+b|)+C ax+ba224．⎰xdx=13[1(ax+b)2-2b(ax+b)+b2ln|ax+b|]+C ax+ba25．⎰6．⎰7．⎰8．⎰9．⎰dx=-1lnax+b+C x(ax+b)bxdx1+alnax+b+C =-x2(ax+b)bxb2xx1(ln|ax+b|+b)+C dx=(ax+b)2a2ax+bx2dx=1ax+b-2bln|ax+b|-b2)+C (ax+b)2a3ax+bdx11lnax+b+C =-x(ax+b)2b(ax+b)b2xxdx. (3x+4)2例1求⎰解: 这是含有3x+4的积分, 在积分表中查得公式x1b⎰(ax+b)2dx=a2(ln|ax+b|+ax+b)+C.高等数学课程建设组20高等数学教案第四章不定积分现在a=3、b=4, 于是x14⎰(3x+4)2dx=9ln|3x+4|+3x+4)+C. 二、含有+b的积分1．⎰ax+bdx=2ax+b)3+C 3a2．⎰x+bdx=22(3ax-2b)ax+b)3+C 15a3．⎰x2+bdx=4．⎰5．⎰2(15a2x2-12abx+8b2)ax+b)3+C 105a3xdx=2(ax-2b)+b+C 3a2+bx2dx=2(3a2x2-4abx+8b2)+b+C 15a3+b1ln+b-+C (b>0)ax+b+ 2arctanax+b+C (b<0)-b-b⎧⎪6．⎰dx=⎨x+b⎪⎩7．⎰dx=-+b-a⎰dx bx2bx+bx2+b8．⎰+bdx=+b+b⎰dx xx+b9．⎰2+bdx=-+b+a⎰dx xx2x+b三、含x2±a2的积分1．⎰2．⎰3．⎰x2+a2dx=1arctanx+C aadxx2n-3dx =+⎰(x2+a2)n2(n-1)a2(x2+a2)n-12(n-1)a2(x2+a2)n-1dx=1lnx-a+C x2-a22ax+aax+C (b>0)b x-b+C (b<0)x+b四、含有ax2+b(a>0)的积分⎧1arctandx=⎪1．⎰2⎨ax+b⎪1ln⎩2ab2．⎰xdx=1ln|ax2+b|+C ax2+b2a高等数学课程建设组21高等数学教案第四章不定积分 3．⎰4．⎰5．⎰6．⎰7．⎰x2dx=x-bdx ⎰2ax+baaax2+bdx1lnx2+C =x(ax2+b)2b|ax2+b|dxx2(ax2+b)1dx =-1-a⎰2bxbax+bdxaln|ax2+b|-1+C =x3(ax2+b)2b2x22bx2dx=x11dx+⎰(ax2+b)22b(ax2+b)2bax2+b五、含有ax2+bx+c (a>0)的积分六、含有x2+a2 (a>0)的积分1．⎰2．⎰3．⎰4．⎰5．⎰6．⎰7．⎰8．⎰dx=arshx+C=ln(x+x2+a2)+C a1x2+a2dxx+C x2+a2)3a2x2+a2x=x2+a2+Cx2+a2x1dx=-+C x2+a2)3x2+a2x2=xx2+a2-a2ln(x+x2+a2)+C 22x2+a2x2xdx=-+ln(x+x2+a2)+C 22322x+a)x+a22dx=1lnx+a-a+C |x|xx2+a2ax22+a2dx=-x2+C ax2+a2 9．⎰x2+a2dx=xx2+a2+aln(x+x2+a2)+C 222例3求⎰dx. xx2+9dxdx=1⎰, xx2+92xx2+(322解: 因为⎰所以这是含有x2+a2的积分, 这里a=3. 在积分表中查得公式 2高等数学课程建设组22高等数学教案第四章不定积分 dx1ln2+a2-a+C. =⎰xx2+a2a|x|x2+(3)2-3dx+C=1lnx2+9-3+C. 于是⎰=1⋅2ln|x|32|x|xx2+923七、含有x2-a2(a>0)的积分1．⎰2．⎰3．⎰4．⎰5．⎰6．⎰7．⎰8．⎰dx=xarch|x|+C=ln|x+x2-a2|+C 1ax2-a2|x|dxx=-+C x2-a2)3a2x2-a2xdx=x2-a2+C 22x-ax1dx=-+C x2-a2)3x2-a2x2dx=xx2-a2+a2ln|x+2-a2|+C 22x2-a2x2xdx=-+ln|x+x2-a2|+C x2-a2)3x2-a2dx=1arccosa+C |x|xx2-a2ax222dx=x2-a+C ax2-a29．⎰2-a2dx=xx2-a2-aln|x+x2-a2|+C 222八、含有2-x2(a>0)的积分1．⎰2．⎰3．⎰4．⎰5．⎰6．⎰dx=arcsinx+C a2-x2dxx=-+C a2-x2)3a22-x2xdx=2-x2+C 22-xx1dx=+C a2-x2)32-x2x2dx=-x2-x2+a2arcsinx+C 22a2-x2x2xdx=-arcsinx+C aa2-x2)32-x2高等数学课程建设组23高等数学教案第四章不定积分 7．⎰8．⎰22dx=1lna--x+C |x|x2-x2ax222dx=-2-x+C ax2-x229．⎰a2-x2dx=x2-x2-aarcsinx+C 22a九、含有ax2+bx+c(a>0)的积分十、含有±x-a或x-a)(x-b)的积分 x-b十一、含有三角函数的积分1．⎰secxdx=ln|secx+tanx|+C2．⎰cscxdx=ln|cscx-cotx|+C3．⎰secxtanxdx=secx+C4．⎰cscxcotxdx=-cscx+C5．⎰sin2xdx=x-1sin2x+C 246．⎰cos2xdx=x+1sin2x+C 247．⎰sinnxdx=-1sinn-1xcosx+n-1⎰sinn-2xdx nn8．⎰cosnxdx=1cosn-1xsinx+n-1⎰cosn-2xdx nn9．⎰sinaxcosbxdx=-1cos(a+b)x-1cos(a-b)x+C 2(a+b)2(a-b)1sin(a+b)x+1sin(a-b)x+C 2(a+b)2(a-b)10．⎰sinaxsinbxdx=-11．⎰cosaxcosbxdx=1sin(a+b)x+1sin(a-b)x+C 2(a+b)2(a-b)atanx+bdx2=arctan+C (a2>b2) 12．⎰2222a+bsinxa-b-b高等数学课程建设组24高等数学教案第四章不定积分atanx+b-2-a2dx=213．⎰ln+C (a2<b2) a+bsinx2-a2atan+b+2-a2214．⎰dxa+barctan(a-btanx)+C (a2>b2) =2a+bcosxa+ba-ba+b2a+b+C (a2<b2) a+bb-atanx+dxa+bln14．⎰=2a+bcosxa+bb-atanx-2例2求⎰dx. 5-4cosxdx2a+barct(a-btax)+C (a2>b2). a-ba+b25+(-4)5-(-4)x)+C arct(ta5-(-4)5+(-4)2解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式 =⎰a+bcoxsa+bdx2这里a=5、b=-4, a 2>b2, 于是 =⎰5-4coxs5+(-4)=2arctan(3tanx)+C. 32例4 求⎰sin4xdx.解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式⎰sinnxdx=-1sinn-1xcosx+n-1⎰sinn-2xdx, ⎰sin2xdx=x-1sin2x+C. nn24这里n=4, 于是⎰sin4xdx=-1sin3xcosx+3⎰sin2xdx=-1sin3xcosx+3x-1sin2x)+C. 444424高等数学课程建设组25。
微积分 不定积分 教案
微积分不定积分教案第一章：不定积分的概念1.1 引言引入不定积分概念，解释其在微积分中的重要性。
举例说明实际问题中的不定积分应用。
1.2 不定积分的定义介绍不定积分的定义和符号表示。
解释不定积分与定积分的区别。
1.3 基本积分公式推导基本积分公式，如幂函数、指数函数、对数函数的积分。
强调记忆和掌握基本积分公式的重要性。
第二章：不定积分的计算方法2.1 换元积分法介绍换元积分法的概念和步骤。
举例说明换元积分法的应用。
2.2 分部积分法介绍分部积分法的概念和步骤。
举例说明分部积分法的应用。
2.3 部分分式积分法介绍部分分式积分法的概念和步骤。
举例说明部分分式积分法的应用。
第三章：不定积分的应用3.1 平面区域的面积介绍平面区域面积的计算方法。
举例说明如何利用不定积分计算平面区域面积。
3.2 曲线的长度介绍曲线长度的计算方法。
举例说明如何利用不定积分计算曲线长度。
3.3 曲线的弧长介绍曲线弧长的计算方法。
举例说明如何利用不定积分计算曲线弧长。
第四章：高阶不定积分4.1 高阶不定积分的定义介绍高阶不定积分的定义和符号表示。
解释高阶不定积分与一阶不定积分的区别。
4.2 高阶不定积分的计算方法推导高阶不定积分的计算方法。
举例说明高阶不定积分的计算应用。
4.3 求解高阶不定积分的一般步骤介绍求解高阶不定积分的一般步骤。
强调记忆和掌握求解高阶不定积分的技巧。
第五章：特殊函数的不定积分5.1 三角函数的不定积分推导三角函数的不定积分公式。
举例说明三角函数的不定积分的应用。
5.2 指数函数的不定积分推导指数函数的不定积分公式。
举例说明指数函数的不定积分的应用。
5.3 对数函数的不定积分推导对数函数的不定积分公式。
举例说明对数函数的不定积分的应用。
第六章：常数项的不定积分6.1 常数项的不定积分的定义引入常数项的不定积分的概念。
解释常数项的不定积分与一般函数的不定积分的区别。
6.2 常数项的不定积分的计算推导常数项的不定积分的计算公式。
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作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握换元积分法
教 学 基 本 内 容
1.定理：（第一换元积分法）设 有原函数 ，且 是可导函数，则 ，该公式称为第一换元公式．
2.几种常用的凑微分求解的积分形式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
3.若 是 在区间 上的一个原函数，即 = ，则 也是 在区间 上的原函数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.
4.定理：设函数 是 在区间 上的一个原函数，那么 在区间 上的任意一个原函数可以表示为 ，其中 是任意常数．
二．不定积分的概念
定义：如果 是 在区间 上的一个原函数，则 在区间 上带有任意常数的原函数 称为 在区间 上的不定积分，记作 ，即 = ，其中， 称为积分号， 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量，任意常数 称为积分常数．
高等数学教学教案
第4章不定积分
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第1节不定积分的概念与性质
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
原函数与不定积分的概念
教学难点
原函数的概念
参考教材
同济七版《高等数学》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
例2.求 ．
例3.求 ．
例4.求 ．
例5.求 ．
例6.求 ．
例7.求 ．
例8求 ．
例9.建立递推公式 .
授课序号04
教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第4节有理函数的积分
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分
例15.求
例16.设 ，且 ，求 .
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第2节换元积分法
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
第一换元积分法与第二换元积分法
教学难点
第二换元积分法
参考教材
同济七版《高等数学》上册武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
2．分部积分法应用的基本步骤可归纳为： = ．
3．分部积分法的关键是合理选取 与 ，一般来说有下列结论：
（1）形如 ，取 ， ．
（2）形如 或 ，取 ， 或 ．
（3）形如 ，取 ， ．
（4）形如 ， ， 或 ，取 为反三角函数， ．
（5）形如 ， ，取 或 ， ；也可以取 ， 或 ．
二．例题讲解
例1.求 .
教学难点
有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分
参考教材
同济七版《高等数学》上册武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.
教 学 基 本 内 容
一．有理函数的积分
1.有理函数的相关概念
三．不定积分的几何意义
对于确定的常数 ， 表示坐标平面上一条确定的曲线；当 取不同的值时， 表示一簇曲线．由 可知， 的不定积分是一簇曲线，这些曲线都可以通过一条曲线向上或向下平移而得到，它们在具有相同横坐标的点处有互相平行的切线．
四．不定积分的性质
性质1.(1) = ，或 = ；
(2) ，或 .
性质2. （ 为非零ห้องสมุดไป่ตู้数）.
例16．求 ．
例17．求 ．
例18．求 ．
例19．求 ．
例20．求 ．
例21．求 .
例22．求 .
四．基本积分公式表
14. ；
15. ；
16. ；
17. ；
18. ；
19. ；
20. ；
21. ;
22. .
授课序号03
教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第3节分部积分法
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
（11）
（12）
二．第二换元积分法
1.定理：（第二换元积分法）设 是单调的可导函数，且 ，又设 的一个原函数为 ，则 = ,该公式称为第二换元公式．
2.常用的第二换元积分法：
（1）含有根式 时，令 ；
（2）同时含有根式 和根式 （ ）时，令 ，其中 是 的最小公倍数；
（3）含有根式 时，令 ；
（4）含有根式 时，令 ；
性质3. .
五．基本积分公式表
1． （ 为常数）；2． （ ）；
3． ；4． ；
5． ；6． ；
7． ；8． ；
9． ；10． ；
11． ；12． ；
13． .
六．例题讲解
例1.求不定积分 (1) ；（2） ．
例2.若池塘结冰的速度由 给出，其中 是自结冰起到时刻 冰的厚度， 是正常数，求结冰厚度 关于时间 的函数．
（1）两个多项式函数的商 称为有理函数，也称为有理分式.有理分式的一般表达式为
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
1．理解原函数概念，理解不定积分的概念。
2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质
教 学 基 本 内 容
1.定义：设 是定义在区间 上的函数，若对任意的 ，都有 ，或 ，则称 是 在区间 上的一个原函数．
2.定理：（原函数存在定理）若函数 在区间 上连续，则在该区间上一定存在可导函数 ，使得对任意 都有 ，即区间上的连续函数一定有原函数．
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
教学难点
参考教材
同济七版《高等数学》上册武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握分部积分法
教 学 基 本 内 容
一．分部积分法
1．定理：设 在区间 上都有连续的导数，则有 ，简记为 ，或 ，称为分部积分公式．
例3.已知某曲线经过点 ，并且该曲线在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试求该曲线的方程．
例4.距离地面 处，一质点以初速度 铅直上抛，不计阻力，求它的运动规律．
例5.求 ．
例6.求 ．
例7.求 ．
例8.求 ．
例9.求 ．
例10.求 ．
例11.求 .
例12.求 ．
例13.求 ．
例14.求 ．
（5）含有根式 时，令 ；
（6）当被积函数的分母次幂较高时，还有经常用倒代换.
三．例题讲解
例1.求 ．
例2.求 ．
例3.求 ．
例4.求 ．
例5.求 ， ．
例6.求 ．
例7.求 ， ．
例8.求 ， ．
例9.求 ， ．
例10.求 ．
例11.求 ．
例12.求 ．
例13.求 ．
例14.求 .
例15．求（1） ； （2） ．