2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案
2013年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2013年全国高中数学联赛一试试题一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
1.设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x x B ∉-∈-=22,，则集合B 中所有元素的和为2.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅，F 是抛物线的焦点，则OFB OFA S S ∆∆⋅=3.在ABC ∆中，已知C B A C B A cos cos 10cos ,sin sin 10sin ⋅=⋅=，则A tan 的值为4.已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为5.设a 、b 为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，有1)(≤x f ，则ab 的最大值为6.从20,,2,1⋅⋅⋅中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x ，y 满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是8.已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i 均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列的个数为二．解答题：本大题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足,,3,2,21⋅⋅⋅=≥-n S S n n 这里n n x x S +⋅⋅⋅+=1. 证明：存在常数0>C ,使得⋅⋅⋅=⋅≥,2,1,2n C x n n10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ， 21,A A 分别为椭圆的左、右顶点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中有两个点R Q ,满足22112211,,,PF RF PF RF PA QA PA QA ⊥⊥⊥⊥, 试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明。
2013年高考理科数学江西卷-答案
2531055()522()()r r r r r r rx x C x －－－－＝－，令1050r -=41040⨯=，故选C .25()52(r r x－－322111k k -=+246t t -+-，2ω=，∴【提示】函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期2【解析】1e 、2e 为单位向量，且1e 和2e 的夹角1211e e ∴=⨯⨯.123a e e =+，12b e =，2121112(3)(2)26235a b e e e e e e ∴=+=+=+=.a ∴在b 上的射影为52||a b b =，故答案为2.【提示】根据题意求得12e e 的值，从而求得a b 的值，再根据a 在b 上的射影为||a bb ，运算求得结果sin 0A ≠（2）1a c +=cos ac B ，即222a c ac +-，01a <<14b ≤<，则）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出正项数列2211416n ⎡+=⎢⎣2111n n ++-+(-)(+)21⎤⎛< ⎥2211416n ⎡+=⎢⎣）在DAB △≌△EDA ∴∠=又PAD △中，PA ⊥平面，AD ⊂平面又EF 、FG （2）以点A x 轴、y 轴、1,2BC ⎛∴= ，32CP ⎛=- ，32CD ⎛=- 的法向量1(1,,m y =1232m BC m CP ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩2，可得21,,33m ⎛⎫- ⎪ ⎪=⎭， 的法向量22(1,,n y z =3232n CD n CP ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得(1,3,2)n =11,||||411349m n m n m n ⨯+<>=++的夹角的余弦值等于2,4m n <>=.ππ为原点，AB 、AD 、P A 分别为的坐标，从而得到BC 、CP 、CD 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出1,m ⎛=- 和(1,3,2)n =m 、n 夹角的余弦，即可得到平面20.【答案】（1）1212132(x x x x x +-+④代入⑤得k k ＋）证明：12f x ⎛+ ⎝12x a ⎫-=⎪⎭2x为函数当31 4xa =12a>，从而有∴当a⎛∈ ⎝。
2013年高考理科数学江西卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013江西，理1)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )．A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i2．(2013江西，理2)函数yln(1－x )的定义域为( )． A ．(0,1) B ． [0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] 3．(2013江西，理3)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )．A ．－24B ．0C ．12D ．244．(2013江西，理4)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5A ．5．(2013江西，理5)5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( )．A ．80B ．－80C ．40D ．－406．(2013江西，理6)若2211d S x x =⎰，2211d S x x =⎰，231e d xS x =⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )．A ．S1＜S2＜S3B ．S2＜S1＜S3C ．S2＜S3＜S1D ．S3＜S2＜S1 7．(2013江西，理7)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )．A ．S ＝2*i －2B ．S ＝2*i －1C ．S=2*iD ．S ＝2*i ＋48．(2013江西，理8)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m＋n ＝( )．A ．8B ．9C ．10D ．119．(2013江西，理9)过点，0)引直线l 与曲线y A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )．A ．3B ．3-C ．3±D ．10．(2013江西，理10)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0＜x ＜π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图像大致是( )．第Ⅱ卷注意事项： 第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．(2013江西，理11)函数y ＝sin 2x＋2x 的最小正周期T 为________．12．(2013江西，理12)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a ＝e1＋3e2，b ＝2e1，则向量a 在b 方向上的射影为________．13．(2013江西，理13)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x ＋ex ，则f ′(1)＝________.14．(2013江西，理14)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线22=133x y -相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分．15．(2013江西，理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2,x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． (2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式211x --≤的解集为________．四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013江西，理16)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos AA )cosB ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．17．(2013江西，理17)(本小题满分12分)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564.18．(2013江西，理18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．19．(2013江西，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝32，连接CE并延长交AD于F.(1)求证：AD⊥平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．20．(2013江西，理20)(本小题满分13分)如图，椭圆C：2222=1x ya b+(a>b>0)经过点P31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率e＝12，直线l的方程为x＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．(2013江西，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝1122a x⎛⎫--⎪⎝⎭，a为常数且a>0.(1)证明：函数f(x)的图像关于直线12x=对称；(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；(3)对于(2)中的x1，x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(x3,0)．记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：C解析：由M ∩N ＝{4}，得z i ＝4，∴z ＝4i＝－4i.故选C.2．答案：B解析：要使函数有意义，需0,10,x x ≥⎧⎨->⎩解得0≤x ＜1，即所求定义域为[0,1)．故选B.3．答案：A解析：由题意得：(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或－1.当x ＝－1时，3x ＋3＝0，不满足题意．当x ＝－3时，原数列是等比数列，前三项为－3，－6，－12，故第四项为－24. 4．答案：D解析：选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01，故选D. 5．答案：C解析：展开式的通项为T r ＋1＝5C r x 2(5－r )(－2)r x －3r＝5C r (－2)r x10－5r.令10－5r ＝0，得r ＝2，所以T 2＋1＝25C (－2)2＝40.故选C.6．答案：B解析：2211d S x x =⎰＝23117|33x =，2211d S x x=⎰＝21ln |ln 2x =，231e d x S x =⎰＝2217e |e e=(e 1)>e>3x =--，所以S 2＜S 1＜S 3，故选B. 7．答案：C解析：当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5； 当i ＝3时，S ＝2×3＋4＝10不满足S ＜10，排除选项D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9；当i ＝5时，选项A ，B 中的S 满足S ＜10，继续循环，选项C 中的S ＝10不满足S ＜10，退出循环，输出i ＝5，故选C. 8．答案：A解析：由CE 与AB 共面，且与正方体的上底面平行，则与CE 相交的平面个数m ＝4.作FO ⊥底面CED ，一定有面EOF 平行于正方体的左、右侧面，即FE 平行于正方体的左、右侧面，所以n ＝4，m ＋n ＝8.故选A.9．答案：B解析：曲线y若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y ＝(k x ，则点O 到l 的距离d =又S △AOB ＝12|AB |·d ＝22111222d d d -+⨯=≤=，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值．所以222112k k =+，∴213k =，∴k =.故选B.10．答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．答案：π解析：∵y ＝sin 2x －cos 2x )π=2sin 23x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴2ππ2T ==.12．答案：52解析：∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝212e ＋6e 1·e 2＝2＋6×12×πcos 3＝5，∴a 在b 上的射影为5||2⋅=a b b .13．答案：2解析：令e x＝t ，则x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝11t+，∴f ′(1)＝2.14．答案：6解析：抛物线的准线方程为2p y =-，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝234p +，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点得||p AB =，即2234344p p ⎛⎫=⨯⨯+ ⎪⎝⎭，所以p ＝6.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分．15．(2013江西，理15)(1)答案：ρcos 2θ－sin θ＝0解析：由参数方程2,x t y t =⎧⎨=⎩得曲线在直角坐标系下的方程为y ＝x 2.由公式cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(2)答案：[0,4]解析：原不等式等价于－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B A cos B ＝0，即有sin A sin B A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B，又0＜B ＜π，所以π3B =.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即有12≤b ＜1.17．(1)解：由2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n .综上，数列{a n }的通项a n ＝2n .(2)证明：由于a n ＝2n ，221(2)n nn b n a +=+，则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435112n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥(-)(+)(+)⎣⎦22221111115111621216264n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+= ⎪⎢⎥(+)(+)⎝⎭⎣⎦.18．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有28C ＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝82287=.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形． 所以X 的分布列为：EX ＝152(2)+(1)+0+114147714-⨯-⨯⨯⨯=-.19．解：(1)在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3，因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ，所以FG ∥PA .又PA ⊥平面ABCD ， 所以CF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C 32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D (00)，P 30,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故1,,022BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，33,222CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)，则11110,22330,222y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得11,32,3y z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即n 1＝21,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)，则22230,2330,222y y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得22 2.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩即n 2＝(1，2)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cos θ＝21124||||||4⋅==n n n n . 20．解：(1)由P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得，2219=14a b +，①依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2，②②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为22=143x y +.(2)方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝22843k k +，x 1x 2＝224343k k (-)+，④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )．从而111321y k x -=-，222321y k x -=-，33312412k k k -==--.注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有121211y y k x x ==--.所以k 1＋k 2＝121212121233311221111211y y y y x x x x x x --⎛⎫+=+-+ ⎪------⎝⎭1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝222222823432438214343k k k k k k k -+-⋅(-)-+++＝2k －1，又k 3＝12k -，所以k 1＋k 2＝2k 3. 故存在常数λ＝2符合题意．(2)方法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为：00(1)1y y x x =--，令x ＝4，求得M 0034,1y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 从而直线PM 的斜率为00302121y x k x -+=(-). 联立00221,11,43y y x x x y ⎧=(-)⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得A 0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，则直线PA 的斜率为：00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为：020232(1)y k x -=-， 所以k 1＋k 2＝00000000225232121211y x y y x x x x -+--++=(-)(-)-＝2k 3， 故存在常数λ＝2符合题意．21． (1)证明：因为12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)，12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)， 有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数f (x )的图像关于直线12x =对称． (2)解：当0＜a ＜12时，有f (f (x ))＝2214,,2141,.2a x x a x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪(-)>⎪⎩所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0，又f (0)＝0，故0不是二阶周期点． 当12a =时，有f (f (x ))＝1,,211,.2x x x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩所以f (f (x ))＝x 有解集12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，又当12x ≤时，f (x )＝x ，故12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭中的所有点都不是二阶周期点． 当12a >时，有f (f (x ))＝2222214,41124,,421412(12)4,,244144.4a x x a a a x x a a a a a x x a a a a x x a ⎧≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎨-⎪-+<≤⎪⎪-⎪>⎩，－，所以f (f (x ))＝x 有四个解0，222224,,141214a a a a a a +++，又f (0)＝0，22()1212a a f a a =++，22221414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，2222441414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，故只有22224,1414a a a a ++是f (x )的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值范围为12a >. (3)由(2)得12214a x a=+，222414a x a =+， 因为x 3为函数f (f (x ))的最大值点，所以314x a =，或3414a x a-=. 当314x a=时，221()4(14)a S a a -=+，求导得： S ′(a )＝221122214a a a ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎝⎭-(+)，所以当a∈11,22⎛+ ⎝⎭时，S (a )单调递增，当a∈12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭时S (a )单调递减； 当3414a x a-=时，S (a )＝22861414a a a -+(+)，求导得： S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)， 因12a >，从而有S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)>0， 所以当a ∈1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭时S (a )单调递增．。
2013年全国高中数学联赛试题及详细解析
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次. 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1. 设集合{}2,0,1,3A =，集合{}2|,2B x x A x A =-∈-∉.则集合B 中所有元素的和为. 答案-5解 易知{}2,0,1,3B ⊆---，当2,3x =--时，222,7x -=--，有22x A -∉；而当0,1x =-时，222,1x -=，有22x A -∈.因此，根据B 的定义可知{}2,3B =--.所以，集合B 中所有元素的和为-5.2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A B 、在抛物线24y x =上，满足4OA OB ⋅=-，F 是抛物线的焦点.则OFA OFB S s ∆∆⋅= . 答案2.解 点F 坐标为()1,0.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2114y x =，2224y x =，故()2121212121416OA OB x x y y y y y y -=⋅=+=+ ，即()21218016y y +=，故128y y =-. 212121112224OFA OFB S S OF y OF y OF y y ∆∆⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3. 在ABC ∆中，已知sin 10sin sin A B C =，cos 10cos cos A B C =,则tan A 的值为 .答案11.解 由于()()s i n c o s 10s i n s i n c o s c o s 10c o s 10c o s A A B C BC B C A -=-=-+=，所以sin 11cos A A =，故tan 11A =.4. 已知正三棱锥P ABC -底面边长为1，则其内切球半径为 .答案解 如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P K M 、、共线，P O H 、、共线，2PHM PKO π∠=∠=，且OH OK r ==,PO PH OH r =-=，MH AB ==PM =, 于是有1sin 5OK MH KPO PO PM ==∠==，解得r =.5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b =+满足：对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤.则ab 的最大值为 . 答案14. 解 易知()()10a f f =-，()0b f =，则()()()()()()()()()()222111101001112444ab f f f f f f f ⎛⎫=⋅-=--+≤≤ ⎪⎝⎭.当()()2011f f ==±，即12a b ==±时，14ab =.故ab 的最大值为14.6. 从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 .答案232323解 设12345a a a a a <<<<取自1,2，…，20，若12345,,,,a a a a a 互不相邻，则123451123416a a a a a ≤<-<-<-<-≤，由此知从1,2，…，20中取5个互不相邻的数的选法与从1,2，…，16中取5个不同的数的选法相同，即516C 种.所以，从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数BCHMAOKP的概率为5552016165520202321323C C C C C -=-=. 7. 若实数,x y满足x -=，则x 的取值范围是 .答案{}[]04,20 .解a =(),0b a b =≥，此时()22x y x y a b =+-=+，且条件中等式化为 2242a b a b +-=，从而,a b 满足方程()()()22215,0a b a b -+-=≥.如图所示，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2为圆心，,0a b ≥的部分，即点O 与弧 ACB 的并集.因此{}0⎡⎣ ，从而{}[]2204,20x a b =+∈ . 8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ==，且对每个{}1,2,,8i ∈ ，均有112,1,2i i a a +⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则这样的数列的个数为 . 答案491解 令()118i i ia b i a +=≤≤，则对每个符合条件的数列{}n a 有 88191111i i i i i a a b a a +=====∏∏，且()12,1,182i b i ⎧⎫∈-≤≤⎨⎬⎩⎭.○1 反之，由符合条件○1的8项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{}n a .记符合条件○1的数列{}n b 的个数为N .显然()18ib i ≤≤中有偶数个12-，即2k 个12-；继而有2k 个2，84k -个1.当给定k 时，{}n b 的取法有22882k kk C C -种，易见k 的可能值只有0,1,2，所以22448684112815701491N C C C C =++=+⨯+⨯=.因此，根据对应原理，符合条件的数列{}n a 的个数为491二、 解答题：本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9. （本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12n n S S -≥，2,3,n = ，这里1n n S x x =++ .证明：存在常数0C >,使得2n n x C ≥⋅，1,2,n = .解 当2n ≥时，12n n S S -≥等价于11n n x x x -≥++ .○1 …………4分对常数114C x =，用数学归纳法证明：2n n x C ≥⋅，1,2,n = .○2 …………8分1n =时结论显然成立.又2212x x C ≥=⋅.对3n ≥，假设2k k x C ≥⋅，1,2,,1k n =- ，则由○1式知()121n n x x x x -≥+++()21122n x C C -≥+⋅++⋅()223122222n n C C -=++++=⋅ ，所以，由数学归纳法知，○2式成立. …………16分10. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，12A A 、分别为椭圆的左、右顶点，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中两个点Q R 、满足11QA PA ⊥，22QA PA ⊥,11RF PF ⊥,22RF PF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.解 令c ，则()1,0A a -，()2,0A a ，()1,0F c -，()2,0F c .设()00,P x y ，()11,Q x y ，()22,R x y ，其中2200221x y a b+=，00y ≠.由11QA PA ⊥，22QA PA ⊥可知()()1110100AQ A P x a x a y y ⋅=+++= ， ○1 ()()2210100A Q A P x a x a y y ⋅=--+=○2 …………5分将○1、○2相减，得()1020a x x +=，即10x x =-，将其代入○1，得220100x a y y -++=， 故22010x a y y -=，于是22000,x a Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.…………10分根据11RF PF ⊥,22RF PF ⊥，同理可得22000,x c R x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………15分因此2222200000x a x c b QR y y y --=-=， 由于(]00,y b ∈，故QR b ≥（其中等号成立的充分必要条件是0y b =，即点P 为()0,b ±）.…………20分11. （本题满分20分）求所有的正实数对(),a b ，使得函数()2f x ax b =+满足：对任意实 数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ++≥.解 已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有()()()()()22222axy b a x y b ax b ay b ++++≥++.○1 先寻找,a b 所满足的必要条件.在○1式中令0y =，得()()22b ax b ax b b ++≥+⋅，即对任意实数x ，有 ()()2120b ax b b -+-≥.由于0a >，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b -≥，即01b <≤.…………5分在○1式中再令y x =-，得()()242ax b b ax b ++≥+，即对任意实数x ，有 ()()2422220a a xabx b b --+-≥.○2将○2的左边记为()g x ，显然20a a -=（否则，由0a >可知1a =，此时()()2222g x bx b b =-+-，其中0b >，故()g x 可取到负值，矛盾），于是 ()()()()22222222ab ab g x a a x b b a a a a ⎛⎫=---+- ⎪--⎝⎭ ()()22222011b b a a x a b a a ⎛⎫=--+--≥ ⎪--⎝⎭ 对一切实数x 成立，从而必有20a a ->，即01a <<. …………10分进一步，考虑到此时01b a >-，再根据()2201b g a b a =--≥-，可得22a b +≤.至此，求得,a b 满足的必要条件如下：01b <≤，01a <<，22a b +≤.○3 …………15分下面证明，对满足○3的任意实数对(),a b 以及任意实数,x y ，总有○1成立，即 ()()()()()222222,122h x y a a x y a b x y axy b b =-+-+++-对任意,x y 取非负值.事实上，在○3成立时，有()10a b -≥，20a a ->，()2201ba b a--≥-，再结合222x y xy +≥-，可得()()()()()()()()()2222222222,12222222011h x y a a x y a b xy axy b b a a x y abxy b b b b a a xy a b a a ≥-+--++-=-++-⎛⎫=-++--≥ ⎪--⎝⎭综上所述，所求的正实数对(),a b 全体为(){},|01,01,22a b b a a b <≤<<+≤.…………20分。
2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案
2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案一、填空题（每题8分）1、若2013的每个质因子都是某个正整数等差数列{}n a 中的项，则2013a 的最大值是 ．2、若,,0a b c >，1231a b c++=，则23a b c ++的最小值为 ． 3、若123!12!3!4!(1)!n nS n n ⎛⎫=⋅++++- ⎪+⎝⎭ ，则2013S = ．4、如果一个正方体X 与一个正四面体Y 的表面面积（各面面积之和）相等，则其体积之比xyV V = ． 5、若椭圆中心到焦点，到长、短轴端点，以及到准线距离皆为正整数，则这四个距离之和的最小值是 ．6、函数()f x = ．7、设合数k 满足：1100k <<，而k 的数字和为质数，就称合数k 为“山寨质数”，则这种“山寨质数”的个数是 ．8、将集合{}1,2,3,4,5,6,7,8中的元素作全排列，使得除了最左端的一个数之外，对于其余的每个数n ，在n 的左边某个位置上总有一个数与n 之差的绝对值为1，那么，满足条件的排列个数为 ．9、（20分）设直线1x y +=与抛物线22(0)y px p =>交于点,A B ，若OA OB ⊥，求抛物线方程以及OAB ∆的面积．10、（20分）如图，四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，P 是对角线BD 上的一点；直线,EP PF 分别交,AB DC 的延长线于,M N ．证明：线段MN 被直线EF 所平分． 11、（20分）在非钝角三角形ABC 中，证明：sin sin sin 2A B C ++>．12、（26分）试确定，是否存在这样的正整数数列{}n a ，满足：20132013a =，且对每个{}2,3,,2013k ∈ ，皆有120k k a a --=或13；而其各项122013,,,a a a 的值恰好构成1,2,,2013 的一个排列？证明你的结论．1、答案：4027．解：201331161=⨯⨯，若3,11,61皆是某正整数等差数列中的项，则公差d 应是1138-=与61358-=的公因数，为使2013a 取得最大，则其首项1a 和公差d 都应取尽可能大的数，于是13,2a d ==，所以2013a 的最大值是320124027d +=．2、答案：36．解：据柯西不等式，()()2123232312336a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎝⎭． 3、答案：12014-． 解：因(1)111(1)!(1)!!(1)!k k k k k k +-==-+++，则123112131(1)1112!3!4!(1)!1!2!3!(1)!(1)!n n n n n ---+-++++=++++=-+++ 所以，11!11(1)!1n S n n n ⎡⎤⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦，故201312014S =-． 4解：记表面面积为12（平方单位），则正方体每个面的面积为2322x V =；正四面体每个面的面积为3，设其边长为a23=，得1423a =⋅； 于是312423y V -=⋅，因此143xyV V ==5、答案：61．解：设椭圆方程为22221x y a b +=，0a b >>，椭圆中心O 到长、短轴端点距离为,a b ，到焦点距离c 满足：222c a b =-，到准线距离d 满足：2a d c=，由于,,a b c 组成勾股数，满足20a ≤的勾股数组有{}{}{}{}{}{},,3,4,5,6,8,10,9,12,15,12,16,20,5,12,13,a b c =以及{}8,15,17，其中只有215259=与2202516=，而(,,,)(15,12,9,25)a b c d =使得 a b c d +++的值为最小，这时有61a b c d +++=．6、答案：[1,2]．解：()f x =[2,3]，故可设22sin (0)2x παα=+≤≤，则()cos 2sin()6f x πααα==+=+，而2663πππα≤+≤，这时1sin()126πα≤+≤，因此12f ≤≤．7、答案：23个． 解：用()S k 表示k 的数字和；而()M p 表示山寨为质数p 的合数的集合．当99k ≤时，()18S k ≤，不大于18的质数共有7个，它们是：2,3,5,7,11,13,17，山寨为2的合数有{}(2)20M =，而{}{}{}(3)12,21,30,(5)14,32,50,(7)16,25,34,52,70M M M ===； {}(11)38,56,65,74,92M =，{}(13)49,58,76,85,94M =，{}(17)98M =；共得23个山寨质数．8、答案：128．（即72个）．解：设对于适合条件的某一排列，排在左边的第一个元素为k ，(18)k ≤≤，则在其余7个数中，大于k 的8k -个数1,2,,8k k ++ ，必定按递增的顺序排列；而小于k 的1k -个数1,2,,1k - ，必定按递降的顺序排列（位置不一定相邻）事实上，对于任一个大于k 的数k n +，设8k n +<，如果1k n ++排在k n +的左边， 则与1k n ++相差1的另一数2k n ++就必须排在1k n ++的左边；同样，与2k n ++相差1的另一数3k n ++又必须排在2k n ++的左边；…，那么，该排列的第二个数不可能与k 相差1，矛盾！因此1k n ++必定排在k n +的右边．用类似的说法可得，小于k 的1k -个数1,2,,1k - ，必定按递降的顺序排列；由于当排在左边的第一个元素k 确定后，右边还有7个空位，从中任选8k -个位置填写大于k 的数，（其余1k -个位置则填写小于k 的数），选法种数为87kC -；而当位置选定后，则填数方法随之唯一确定，因此所有排法种数为87877712kj k k CC -====∑∑．二、解答题9、解：设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由22y px =与1x y +=，得2220y py p +-=，故有111x p y p =+=-以及221x p y p =+=-因OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=，即2222(1)(2)(2)0p p p p p p ⎡⎤⎡⎤+-++-+=⎣⎦⎣⎦，化简得120p -=，因此抛物线方程为2y x =，从而交点,A B坐标为：,A B ⎝⎭⎝⎭，222222112255OA x y OB x y =+=-=+=+，因此12OAB S OA OB ∆=⋅=． 10、证：设EF 交MN 于G ，直线EF 截PMN ∆，则1NG ME PFGM EP FN⋅⋅=；为证G 是线段MN 的中点，只要证，PF PENF ME= … ①， 直线AB 截PDE ∆， 得1PM EA DB ME AD BP ⋅⋅=，即2MP BPME BD = … ②， 直线CD 截PBF ∆，则有1PN FC BDNF CB DP⋅⋅=， 即2NP PD NF BD= … ③， ②③相加得2MP NP ME NF +=，即11NP MP NF ME -=-，也即PF PENF ME=，因此结论得证．11、证一：sin sin sin 2sin sin sin()A B C A B A B ++-=+++2222(sin cos )(sin cos )A A B B -+-+22sin (1sin )sin (1sin )sin()(cos cos )A A B B A B A B =-+-++-+G PN MF ED C B Asin (1sin )sin (1sin )cos (sin cos )cos (sin cos )0A A B B B A B A B A =-+-+-+->．这里用到，在非钝角三角形ABC 中，任两个内角之和不小于090，所以由090A B +≥，得0090,90A B B A ≥-≥-，因此0sin sin(90)cos B A A ≥-=，同理sin cos ,A B ≥ 而1sin A -，1sin B -不能同时为0．从而结论得证．证二：sin sin sin 2sin sin sin()2sin()22A B CA B C A B A B +++-=+++-+ 2sincos 2sin cos 2sin cos 2cos sin 22222222A B A B A B A B A B C A B C+-++++=+--2sin(cos cos )2cos (sin sin )222222A B A B C A B A B C+-++=-+- 4sin sin sin 2cos (cos sin )0222222A B A C B B C A A B C C ++-+-+=+->；（这是由于，锐角三角形ABC ∆中，任两个内角之和大于090，而任一个半角小于045；）所以 sin sin sin 2A B C ++>． 证三：令tan,tan ,tan 222A B Cx y z ===，则1xy yz zx ++=，且 222222sin ,sin ,sin 111x y z A B C x y z===+++； 即要证2222222111x y zx y z++>+++ … ①，因为 21()()x x y x z +=++， 221()(),1()()y y x y z z z x z y +=+++=++，故①式即42()()()x y y z x z >+++，也即()()()2x y y z x z +++<，即 2x y z xyz ++-<… ②而因,,(0,]2224A B C π∈，故,,(0,1]x y z ∈，所以(1)(1)(1)0x y z ---≥， 即 1()()0x y z xy yz xz xyz -+++++-≥． 此式即为 2x y z xyz +++≤ … ③由③立知②式成立（③式强于②式），因此命题得证．12、解：存在．由于201333+=，而332013，（即有20133361=⨯）；我们注意到，“差”运算具有“平移性”，即是说，如果120k k a a --=或13，那么，对任何整数c ，也有1()()20k k a c a c -+-+=或13；为此，先将集合{}1,2,,33 中的数排成一个圈，使得圈上任何相邻两数之差皆为20或13，如图所示．将此圈从任一间隙处剪开，铺成的线状排列1233,,,a a a ，都满足120k k a a --=或13，为将数列锁定，在前面添加一项00a =，使数列01233,,,,a a a a 也满足条件，我们可选择与数33相邻的一个间隙剪开；例如从33右侧间隙剪开，并按顺时针排列，就成为：0；13,26,6,19,32,12,25,5,18,31,11,24,4,17,30,10,23,3,16,29,9,22,2,15，28,8,21,1,14,27,7,20,33；若从33左侧间隙剪开，并按逆时针排列，则成为：0；20,7,27,14,,6,26,13,33 ； 这两种排列都满足120k k a a --=或13；记分段数列0(13,26,6,19,32,12,25,5,18,31,11,24,4,17,30,10,23,3,16,29M =，9,22,2,15,28,8,21,1,14,27,7,20,33)1233(,,,)a a a = ，而分段数列13323333331233(,,)(33,33,,33)k k k k M a a a a k a k a k +++==+++ ，1,2,,60k = ，将这些段作如下连接：01600,,,,M M M ，所得到的数列0122013,,,,a a a a 满足条件． 因为，20133333603333603333602013a a a +⨯==+⨯=+⨯=；对其中任意两个邻项1,k k a a -，若1,k k a a -属于同一个分段，显然有120k k a a --=或13；若相邻项1,k k a a -属于两个相邻段n M 与1n M +，则k a 是1n M +的首项：即133(1)1333(1)k a a n n =++=++，而1k a -是n M 的末项，即133333333k a a n n -=+=+，这时有[][]11333(1)333313k k a a n n --=++-+=，并且1013a a -=，因此，数列122013,,,a a a 满足条件．114277203313266193212255183111244173010233162992221528821。
2013年全国高中数学联赛试题及其解答
2013 年全国高中数学联题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分。
1、设集合A = 2，0，1，3 ，集合B = x| − x ∈ A，2 − x ∉ A ，则集合B中所有元素 的和为 。 解答：易知集合B = −2， − 3 ，所有集合B中所有元素的和为−5。 ⃑ · OB ⃑ = −4，F是抛 2、在平面直角坐标系xOy中，点 A、B 在抛物线y = 4x上，满足OA 物线的焦点，则S△ · S△ = 。 ⃑ · OB ⃑= 解答：根据抛物线解析式知OF = 1。设点A m ，2m ，点B n ，2n ，则OA m n + 4mn = −4 ⇒ mn = −2。于是知S△ · S△ =
| |·| |
·
|
|·|
|
= |mn| = 2。
3、在△ABC 中，已知sin A = 10 sin B sin C，cos A = 10 cos B cos C，则tan A的值 为 。 解答：根据条件知：sin A − cos A = 10(sin B sin C − cos B cos C) = −10 cos(B + C) = 10 cos A ⇒ sin A = 11 cos A ⇒ tan A = 11。 4、已知正三棱锥P − ABC底面边长为1，高为√2，则其内切球半径为 。 解答：设△ABC 外心为 O，O 在 BC、CA、AB 上的垂足分别为 D、E、F，则OD = OE = OF =
10、（本题满分 20 分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为 + = 1（a＞b＞0），A 、A 分别为椭圆 的左、右顶点，F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于A 和A 的任意一点。
交流知识
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1. 设集合{2,0,1,3}A ，集合2{|,2}B x x A x A ．则集合B 中所有元素的和为 ．答案 5−．解 易知{2,0,1,3}B ．当2,3x 时，222,7x ，有22x A ；而当0,1x 时，222,1x ，有22x A ．因此，根据B 的定义可知{2,3}B ． 所以，集合B 中所有元素的和为5−．2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线24y x 上，满足4OA OB ，F 是抛物线的焦点. 则OFA OFB S S ．答案 2．解 点F 坐标为(1,0)．设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ，故21212121214()16OA OB x x y y y y y y ，即2121(8)016y y ，故128y y ． 21212111()2224OFA OFB S S OF y OF y OF y y =（）． 3. 在ABC 中，已知sin 10sin sin ,A B C cos 10cos cos ,A B C 则tan A 的值为 ．答案 11．解 由于sin cos 10(sin sin cos cos )10cos()10cos A A B C B C B C A ，所以sin 11cos A A ，故tan 11A ．4. 已知正三棱锥P ABC 底面边长为1，高为，则其内切球半径为 ．答案解 如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P 、K 、M 共线，P 、O 、H 共线，2PHM PKO ，且,OH OK r PO PH OH r ，MH ABPM ， 于是有1sin5OK MH KPO POPM ，解得r． 5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b 满足：对任意[0,1]x ，有()1f x . 则ab 的最大值为 ．答案14． 解 易知(1)(0),(0)a f f b f ，则2221111(0)((1)(0))(0)(1)(1)(1)2444ab f f f f f f f ． 当2(0)(1)1f f ，即12a b 时，14ab ．故ab 的最大值为14． 6. 从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 ．答案 232323．解 设12345a a a a a <<<<取自1,2，…，20，若12345,,,,a a a a a 互不相邻，则123451123416a a a a a ≤<−<−<−<−≤，由此知从1,2,,20 中取5个互不相邻的数的选法与从1,2,,16 中取5个不同的数的选法相同，即516C 种．所以，从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为5552016165520202321323C C C C C −=−=． 7. 若实数,x y满足x ，则x 的取值范围是 ． 答案 {0}[4,20] ． 解,(,0)a b a b ，此时22()x y x y a b ，且条件中等式化为2242a b a b ，从而,a b 满足方程22(2)(1)5a b (,0)a b ．如图所示，在aOb 平面内，点(,)a b 的轨迹是以(1,2)为,0a b 的部分，即点O 与弧 ACB 的02, ，从而 2204,20x a b ． 8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ，且对每个{1,2,,8}i ，均有112,1,2i i a a，则这样的数列的个数为 ． 答案 491． 解 令1(18)i i ia b i a，则对每个符合条件的数列{}n a ，有 88191111i i i i ia ab a a，且12,1,(18)2i b i ． ① 反之，由符合条件①的8项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{}n a ．记符合条件①的数列{}n b 的个数为N ．显然(18)i b i 中有偶数个12，即2k 个12；继而有2k 个2，84k 个1．当给定k 时，{}n b 的取法有22882C C k kk 种，易见k 的可能值只有0,1,2，所以224486841C C C C 12815701491N ．因此，根据对应原理，符合条件的数列{}n a 的个数为491．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3,n n S S n −≥= ，这里1n n S x x =++ ．证明：存在常数0C >，使得2,1,2,n n x C n ≥⋅=． 解 当2n ≥时，12n n S S −≥等价于11n n x x x −≥++ ． ① …………………4分对常数114C x =，用数学归纳法证明： 2,1,2,n n x C n ≥⋅= ． ②……………………8分1n =时结论显然成立．又2212x x C ≥=⋅．对3n ≥，假设2,1,2,,1kk x C k n ≥⋅=− ，则由①式知()121n n x x x x −≥+++()21122n x C C −≥+⋅++⋅()223122222n n C C −=++++=⋅ ，所以，由数学归纳法知，②式成立．…………………16分10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11QA PA ，22QA PA ，11RF PF ，22RF PF ，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．解 令c ，则1212(,0),(,0),(,0),(,0)A a A a F c F c ．设001122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，其中22000221,0x y y a b．由1122,QA PA QA PA 可知111010()()0A Q A P x a x a y y，① 221010()()0A Q A P x a x a y y． ②…………………5分将①、②相减，得102()0a x x ，即10x x ，将其代入①，得220100x a y y ，故22010x a y y ，于是22000,x a Q x y ． …………………10分 根据1122,RF PF RF PF ，同理可得22000,x c R x y． …………………15分 因此2222200000x a x c b QR y y y ，由于0(0,]y b ，故QR b （其中等号成立的充分必要条件是0y b ，即点(0,)P b 为 ）． …………………20分 11. （本题满分20分）求所有的正实数对(,)a b ，使得函数2()f x ax b 满足：对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ．解 已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有22222()(())()()ax y b a x y b ax b ay b ． ①先寻找,a b 所满足的必要条件．在①式中令0y ，得22()()b ax b ax b b ，即对任意实数x ，有2(1)(2)0b ax b b ．由于0a ，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b ，即01b ． …………………5分在①式中再令y x ，得422()()ax b b ax b ，即对任意实数x ，有2422()2(2)0a a x abx b b ． ②将②的左边记为()g x ．显然20a a （否则，由0a 可知1a ，此时22()2(2)g x bx b b ，其中0b ，故()g x 可取到负值，矛盾），于是 2222222()()()(2)ab ab g x a a x b b a a a a 222()(22)11b b a a x a b a a0 对一切实数x 成立，从而必有20a a ，即01a ． …………………10分进一步，考虑到此时01b a ，再根据(22)01b g a b a，可得22a b ．至此，求得,a b 满足的必要条件如下：01b ，01a ，22a b ． ③…………………15分下面证明，对满足③的任意实数对(,)a b 以及任意实数,x y ，总有①成立，即222222(,)()(1)()2(2)h x y a a x y a b x y axy b b对任意,x y 取非负值．事实上，在③成立时，有2(1)0,0a b a a ，(22)01ba b a，再结合222x y xy ，可得2222(,)()(1)(2)2(2)h x y a a x y a b xy axy b b2222()2(2)a a x y abxy b b22()(22)11b b a a xy a b a a0 ． 综上所述，所求的正实数对(,)a b 全体为{(,)|01,01,22}a b b a a b ． …………………20分。
2013年高考理科数学江西卷试题与答案word解析版
Tn.证明：对于任意的
2013 江西理科数学 第 3 页
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根保通据护过生高管产中线工资敷艺料设高试技中卷术资配0料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高高与中中带资资负料料荷试试下卷卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并中3试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2010-2019历年全国高中数学联赛江西省预赛试题汇总含答案
2019年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、填空题(每小题7分，共56分)1.集全{1,2,...,19}中每两互异的数作乘积，所有这种乘积的各为.2.公差为d ,各项均为正整数的等差数列{}n a ,11919,1949,2019m n a a a ===,则正整数m n +的最小值是.3.设220,7,x x x ->+=则55x x -+的值为.4.三角形ABC 的垂心恰是抛物线24y x =的焦点,其中O 是原点,A,B 在抛物线上,则三角形OAB 的面积是.5.,,a b c 是互异的正整数,使得222{,,}{,(1),(2)}a b a c b c n n n +++=++其中n 是正整数,则222a b c ++的最小值是.6.已知P 是正四棱锥V ABCD -的高VH 的中点,若P 到侧面的距离为3,到底面的距离是5,则重心,则正四棱锥V ABCD -的体积是.7.三角形ABC 中满足39A B C ==.则cos cos cos cos cos cos A B B C C A ++=.8.数列{}n a满足02112,[]{}n n n a a a a a +===+(其中[],{}n n a a 分别代表实数n a 的整数部分与小数部分),则2019a =.9、(14分)设椭圆C 的两焦点为12,F F ，两准线为12,l l ，过椭圆上的一点P ，作平行于12F F 的直线，分别交12,l l 于12,M M ，直线11M F 与22M F 交于点Q .证明：12,,,P F Q F 四点共圆．10、(15分)将正整数数列1,2,3 中凡是被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的数按自小到大的顺序排成数列123,,a a a 再将数列{}n a 中，凡是下标被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的项按自小到大的顺序排成数列123,,b b b 证明：每个大于1的奇平方数，都是数列{}n b 中的两个相邻项的和．2010-2019历年全国高中数学联赛江西省预赛试题汇总含答案11.(15分)试求所有由互异正奇数构成的三元集{},,a b c ，使其满足：2222019a b c ++=．12.(20分),BE CF 分别是锐角三角形ABC ∆的两条高(如右图)，以AB 为直径的圆与直线CF 相交于点,M N ，以AC 为直径的圆与直线BE 相交于点,P Q .证明：,,,M N P Q 四点共圆．2019年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答1.答案：16815．解：所求的和为()()()222211121912193610024701681522⎡⎤+++-+++=-=⎣⎦ 2.答案：15．解：设公差为d ，则()194919191m d =+-，()201919191n d =+-，显然有1,1m n >>，301d m =-，以及1001d n =-，消去d 得,1037m n -=，其通解为13110m t n t =+⎧⎨=+⎩，为使1,1m n >>且d 为正整数，则正整数t 只能在{}1,2,5,10中取值，当1t =时，4,11m n ==为最小，此时15m n +=．3.答案：123．解：2221129x x x x ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，13x x +=，由2242411492x x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则44147x x +=，所以551x x +42421111x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()34771123=-+=4.答案：．解：抛物线的焦点为()1,0F ，因F 为OAB ∆的垂心，则OF AB ⊥，故可设,A B 的坐标为()2,2A a a ，()2,2B a a -，0a >；于是OA 的方程为2ay x =，2OA K a=，BF 的斜率221BF aK a -=-，据1OA BF K K =- ，得5a =，因此AB =，25H a ==，所以OAB S ∆= 5.答案：1297．解：设a b c >>，由于()()()()2a b b c c a a b c +++++=++为偶数，所以三个连续平方数()(){}222,1,2n n n ++中有两个奇平方数，一个偶平方数，于是n 为奇数，而1b c +>，则1n >；若3n =，则()(){}{}222222,1,2=3,4,5n n n ++，且因22250345=++()2a b c =++，则25a b c ++=，另一方面，最大平方数25a b +=，导致0c =，不合；若5n =，据()(){}{}222222,1,2=5,6,7n n n ++，解得30,19,6a b c ===，因此．222222301961297a b c ++=++=.6.答案：750．解：如图，PF VBC ⊥平面，5,10,VP VH ==4VF ===,而PHMFPHMF 共圆，,VP VH VF VM =所以2515,22VM HM ===;则15AB =，所以棱锥体积217503V VH AB == ．7.答案：14-．,3,9,39,,13C B A πθθθθθθπθ===++==解：设由得9339cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos131313131313S A B B C C A ππππππ=++=++112642108cos cos cos cos cos cos 2131313131313ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦注意括号中的诸角度构成公差为213π的等差数列，两边通乘4sin 13π，得到246810124sin 2sin cos cos cos cos cos cos 1313131313131313S ππππππππ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭ 3537597sin sin sin sin sin sin sin sin 1313131313131313ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1191311sin sin sin sin sin 1313131313πππππ⎛⎫⎛⎫+-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以14S =-.8.答案：3130292-+．解：()0131,a =+-113112,231a -=+=+-()22233431,31a =+=+=+--313145.231a -=+=+-归纳易得()23131,k a k =++-213132,2k a k +-=++因此20193130292a -=+.9.证：设椭圆方程为()22221,0x ya b a b+=>>，据对称性知，点Q在Y轴上（如图）；记12,QF QF m ==1122,,PF r PF r ==PQ t=,12,MF MF k ==则有：1121,2,PF e r r a PM =+=为证12,,,P F Q F 四点共圆，据托勒密定理，只要证，1212,mr mr t F F += 22,m c m a t c e t a=== 即也即……………①由1111,QF OF QM HM =即222,m c c e a m k a c⎛⎫=== ⎪+⎝⎭所以21,k e m k=-+在1PM Q ∆中，由斯特瓦特定理，22211m kPF PM PQ mk m k m k=+-++…………………………②即()()22222211211m e r r e t e me e -⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭………………………③因为210e -≠，由③得，222,,m me e t t==即故①成立，因此12,,,P F Q F 四点共圆．（也可不用托勒密定理证：由②得()2PQ m m k =+，则11PQF M QP ∆∆ ，于是11221QPF M M QF F ∠=∠=∠=∠，因此12,,,P F Q F 四点共圆．）10.证：易知2142n a n -=-,241n a n =-,1,2,3n = ，因此，41,82,n n N a n +∀∈=+42434483,86,87n n n a n a n a n +++=+=+=+；在将{}n a 中的项4n a 及41n a +删去之后，所得到的数列{}n b ，其通项为：212283,86n n b n b n ++=+=+,1,2,3n = ；即数列{}n b 的项为：3,6,11,14,19,22,27,32,35,38,43 ，观察易知，222212346710113,5,7,9,b b b b b b b b =+=+=+=+……；若记()12k k k r +=，我们来证明，一般地有：()2121k k r r k b b ++=+,1,2,3k = .由于2222441424382,861,8103,8146;m m m m r m m r m m r m m r m m +++=+=++=++=++所以()()4444122111241,2411,m m m m r r r r b b m b b m +++++=++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()42424343221112421,2431,m m m m r r r r b b m b b m ++++++++=+++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦合并以上四式得，对于每个正整数k ,()2121k k r r b b k ++=+．其中()12k k k r +=．11.解：据对称性，不妨设a b c <<，由于奇平方数的末位数字只具有1,5,9形式，于是222,,a b c 的末位数字，要么是5,5,9形式，要么是1,9,9形式；又知，如果正整数n 是3的倍数，那么2n 必是9的倍数；如果n 不是3的倍数，那么2n 被3除余1．由于2019是3的倍数，但不是9的倍数，因此奇数,,a b c 皆不是3的倍数．注意201944c ⎡⎤≤=⎣⎦，即奇数43c ≤，而222232019c a b c >++=，即2667c >，且c 不是3的倍数，故奇数29c ≥．因此奇数{}29,31,35,37,41,43c ∈；注意如下事实：如果奇数22=N x y +为两个正整数的平方和，那么偶数2N 必可表为两个互异正奇数的平方和．这是由于，()()()222222N x yx y x y =+=-++；若43c =，方程化为：()()222222170285267229a b +==⨯=+=+，因此：2222170113711=+=+．于是得两解：{}{},,1,13,43a b c =，以及{}{},,7,11,43a b c =；若41c =，方程化为：()22222223382132512717a b +==⨯=+=+，由此得：{}{},,7,17,41a b c =；若37c =，方程化为：()()2222222650213522334a b +==⨯⨯=++()()()2222222118261721015=+=+=+因此：22222265017191123525=+=+=+．得到三个解：{}{}{}{},,17,19,37,11,23,37,5,25,37a b c =.若35c =，方程化为：227942397a b +==⨯,而397是一个41N +形状的质数，它可唯一地表为两平方和：22397619=+，所以()22222226191325a b +=+=+，得到一个解：{}{},,13,25,35a b c =.若31c =，方程化为：2211582529a b +==⨯，而23是41N -形状的质数，它不能表为两个正整数的平方和；若29c =，方程化为：22117821931a b +==⨯⨯，而23是41N -形状的质数，它不能表为两个正整数的平方和；综合以上讨论，本题共有七个满足条件的解{},,a b c ，即为：{}{}{}{}{}{}{}1,13,43,7,11,43,13,25,35,5,25,37,11,23,37,17,19,37,7,17,41.12.证：如图设三角形ABC ∆的垂心为H ，则()()MH HN MF HF NF HF =-+ ()()()22222MF HF MF HF MF HF AF FB AH AF AF AB AH =-+=-=--=- 同理有，2PH HQ AE AC AH =- 因BCEF 四点共圆，知AF AB AE AC = ，故由以上两式得MH HN PH HQ = ，所以,,,M N P Q 四点共圆．2018年全国高中数学联赛江西省预赛试题1.a b 、为正整数，满足112018a b-=，则所有正整数对(),a b 的个数为．2.若双曲线L 的两个焦点恰是椭圆22:1169x y T +=的两个顶点，而双曲线L 的两个顶点恰是椭圆T 的两个焦点，则双曲线L 的方程为．3.函数y =+．4.若三个角,,x y z 成等差数列，公差为3π，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=．5.设,,x y z R *∈，满足x y z xyz++=，则函数()()2,,1f x y z x yz =-()()2211y zx z xy +-+-的最小值是．6.正整数数列{}n a 满足32n a n =+,{}n b 满足53n b n =+,n N ∈.在{}1,2,,2018M = 中两数列的公共项的个数是.7.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是一个顶角为60 的菱形，每个侧面与底面的夹角都是60 ，棱锥内有一点到底面及各侧面的距离皆为1，则棱锥的体积为．8.对于正整数n ，将其各位数字之和记为()s n ，各为数字之积记为()p n .若()()s n p n n +=成立，就称为“巧合数”。
2013年全国高考数学理科试卷解析版(江西卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学解析本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题0两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第一卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合M={1,2，zi}，i ，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.-2iB.2iC.-4iD.4i2. 函数ln(1-x)的定义域为A ．（0,1） B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]3. 等比数列x ，3x+3，6x+6，…..的第四项等于A ．-24 B.0 C.12 D.244. 总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A.08B.07C.02D.015. (x 2-32x )5展开式中的常数项为 A.80 B.-80 C.40 D.-406.若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为 A.123S S S << B.213S S S <<C.231S S S <<D.321S S S <<7.阅读如下程序框图，如果输出5i =，那么在空白矩形框中应填入的语句为A.2*2S i =-B.2*1S i =-C.2*S i =D.2*4S i =+8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n +=A.8B.9C.10D.119.过点引直线l 与曲线y =A,B 两点，O 为坐标原点，当∆AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于A.y EB BC CD =++3B.3-C.3±10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线，12,l l 之间l //1l ,l 与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于Ｅ，Ｄ两点，设弧FG 的长为(0)x x π<<，y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是第Ⅱ卷注意事项：第卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
2013年高考理科数学江西卷有答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页,满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2{},i M z =,i 为虚数单位,4{}3,N =,}4{MN =,则复数z = ( )A .2i -B .2iC .4i -D .4i2.函数(1)y x －=的定义域为( )A .(0,1)B .[0,1)C .(0,1]D .[0,1]3.等比数列x ,33+x ,66+x ,…的第四项等于 ( )A .24-B .0C .12D .244.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )A .08B .07C .02D .015.2532()x x-展开式中的常数项为( )A .80B .80-C .40D .40-6.若2211d S x x =⎰,2211d S x x=⎰,231e d x S x =⎰,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( )A .123S S S <<B .213S S S <<C .231S S S <<D .321S S S <<7.阅读如下程序框图,如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A .=22S i -*B .=21S i -*C .=2Si *D .=2S i +4*8.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ∥,正方体的六个面所在的平面与直线CE ,EF 相交的平面个数分别记为m ,n ,那么=+m n( )A.8 B .9 C .10D .119.过点)0引直线l与曲线y A ,B 两点,O 为坐标原点,当AOB △的面积取最大值时,直线l 的斜率等于( )A B . C . D .10.如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线1l ,2l之间,1l l∥,l 与半圆相交于F ,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E ,D 两点.设弧FG 的长为()0πx x <<,y EB BC CD =++,若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是( )A .B .C .D .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.11.函数2sin 2i =n y x x +的最小正周期T 为 . 12.设1e ,2e 为单位向量,且1e ,2e 的夹角为π3,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 .13.设函数()f x 在(0),+∞内可导,且=(e )e x x f x +,则)=(1f ' .14.抛物线20=2()x py p >的焦点为F ,其准线与双曲线22=133x y -相交于A ,B 两点,若ABF △为等边三角形,则=p .三、选做题：请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题共5分.15（1）.（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）,若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为 .15（2）.（不等式选做题）在实数范围内,不等式|2|11x --≤的解集为 . 四、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos cos ()cos C A A B +0=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若=1a c +,求b 的取值范围.17.（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222()10()=n n n n S S n n -+-+-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）令221(2)n nn b n a +=+,数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：对于任意的*n N ∈,都有564n T <.18.（本小题满分12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为：以O 为起点,再从1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A ,7A ,8A （如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若=0X 就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.（Ⅰ）求小波参加学校合唱团的概率； （Ⅱ）求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图,四棱锥P ABCD —中,PA ⊥平面ABCD ,E 为BD 的中点,G 为PD 的中点,DAB △DCB ≌△,===1EA EB AB ,32=PA ,连接CE 并延长交AD 于F .（Ⅰ）求证：AD ⊥平面CFG ；（Ⅱ）求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.20.（本小题满分13分）如图,椭圆2222=1(0)x y a C b a b :+>>经过点()31,2P ,离心率12e =,直线l 的方程为4x =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ）,设直线AB 与直线l 相交于点M ,记PA ,PB ,PM 的斜率分别为1k ,2k ,3k .问：是否存在常数λ,使得123=k k k λ+？若存在,求λ的值；若不存在,说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数1(1|)(|2)2f x x a --=,a 为常数且0a >. （Ⅰ）证明：函数()f x 的图像关于直线12x =对称； （Ⅱ）若0x 满足00()=()f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为函数()f x 的二阶周期点.如果()f x 有两个二阶周期点1x ,2x ,试确定a 的取值范围；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的1x ,2x 和a ,设3x 为函数(())f f x 的最大值点,11()(())A x f f x ，,22()(())B x f f x ，,3(0),C x .记ABC △的面积为()S a ,讨论()S a 的单调性.2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）2535()522()()r r rrrrrxx C x－－－－＝－，令1050r -=的常数项为25(2)41040rC -⨯=⨯=，故选C .5225()52(r r x－－展开式中的常数项.322111k k -=+2621k -+D=线段的下方，对照选项，D 正确，故选D .s3x，2ω=，∴2【解析】1e 、2e 为单位向量，且e 和e 的夹角31211e e ∴=⨯⨯123a e e =+，12b e =，2121112(3)(2)26235a b e e e e e e ∴=+=+=+=.a ∴在b 上的射影为52||a b b =，故答案为52. 【提示】根据题意求得12e e 的值，从而求得a b 的值，再根据a 在b 上的射影为||a bb ，运c o s ，sin 0A ≠）1a c +=1cos B =，cos ac B ，即22a c ac +-，01a <<2114b ≤<，正项数列22416n =⎢⎣21111n n ++-+(-)(+)1⎤⎛<22416n =⎢⎣【考点】数列的求和，等差数列的通项公式）在DAB △≌△EDA ∴∠=又PAD △中，PA ⊥平面，AD ⊂平面又EF 、FG AD ∴⊥平面（2）以点x 轴、y 轴、1,BC ⎛∴=，3CP ⎛=- ，3CD ⎛=- 的法向量(1,,m y =1232m BC m CP ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪2，可得321,,33m ⎛⎫- ⎪ ⎪=⎭， 的法向量(1,,n y z =3232n CD n CP ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪2，(13,2n =11,||||411349m n m n m n ⨯+<>=++与平面DCP 的夹角的余弦值等于2,4m n <>=ππ、P A 分别为x 轴、y 轴、的坐标，从而得到BC 、CP 、CD 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出1,3m ⎛=- ⎪ ⎪⎭和(1,3,2)n =分别为平面利用空间向量的夹角公式算出m 、n 夹角的余弦，即可得到平面【考点】用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法1212132(x x x x x +-+④代入⑤得k k ＋0003⎛⎫19）证明：12f x ⎛+ ⎝12x a ⎫-=⎪⎭2x 为函数当314x a=12a >，从而有∴当1a ⎛∈ ⎝。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(江西卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第一卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M={1,2，zi}，i ，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.-2iB.2iC.-4iD.4i2．函数ln(1-x)的定义域为A ．（0,1） B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]3．等比数列x ，3x+3，6x+6，…..的第四项等于A ．-24 B.0 C.12 D.244．总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为5．(x 2-32x)5展开式中的常数项为 A.80 B.-80 C.40 D.-406．若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为A.123S S S <<B.213S S S <<C.231S S S <<D.321S S S <<7．阅读如下程序框图，如果输出5i =，那么在空白矩形框中应填入的语句为A.2*2S i =-B.2*1S i =-C.2*S i =D.2*4S i =+8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n +=A.8B.9C.10D.119.过点引直线l 与曲线y =A,B 两点，O 为坐标原点，当∆AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于A.y EB BC CD=++ B.- C.± D.10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线，12,l l 之间l //1l ,l 与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于Ｅ，Ｄ两点，设弧FG 的长为(0)x x π<<，y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2013年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2013A1、设集合{}3,1,0,2=A ,集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,|，则集合B 中所有元素的和为◆答案：5-★解析：易得{}0,1,2,3---⊆B ，验证即可得{}2,3--=B ，所以所求为532-=--2013A 2、在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则OFA ∆与OFB ∆的面积之比为◆答案：2★解析：由题意得()0,1F ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,4y y B ，代入4-=⋅OB OA 得821-=y y ，所以OFA ∆与OFB ∆的面积之比为241212=y y OF 2013A 3、在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin ⋅=，C B A cos cos 10cos ⋅=，则A tan 的值为◆答案：11★解析：由于()()A C B C B C B A A cos 10cos 10cos cos sin sin 10cos sin =+-=-=-，即11tan =A 2013A 4、已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为◆答案：62★解析：如图，设球心O 在面ABC 和面ABP 内的射影分别是H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则M K P ,,共线，H O P ,,共线，090=∠=∠PKO PHM ，且r OK OH ==，r OH PH PO -=-=2，6363==AB MH ,635212122=+=+=PH MH PM ,所以51sin 2==∠==-MP MH KPO OP OK rr ,解得62=r 2013A 5、设b a ,为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，都有1)(≤x f ，则ab 的最大值为◆答案：1★解析：由题意得)0()1(f f a -=，)0(f b =所以()41)1(41)1(41)1(21)0()0()1()0(222≤≤+⎪⎭⎫⎝⎛--=-⋅=f f f f f f f ab ，当且仅当1)1()0(2±==f f ，即21±==b a 时，41=ab ，故所求最大值为41。
全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、填空题（每题8分）1若2013的每个质因子都是某个正整数等差数列中的项，则a 2013的最大值是 __________ .答案：4027.解：2013=3 11 61，若3,11,61皆是某正整数等差数列中的项，则公差 d 应是 11 -3 =8与61 - 3 =58的公因数，为使32013取得最大，则其首项31和公差d 都应取尽可能 =2，所以32013的最大值是3 2012^4027 .1- 3=1,则a 2b 3c 的最小值为 a b c答案：36.a 2b 3c "a 2b 3^ J 1 -- la b4、如果一个正方体 X 与一个正四面体 丫的表面面积（各面面积之和）相等，则其体积之比/ =V y答案：4 3 .解：记表面面积为12 （平方单位），则正方体每个面的面积为 2，其边长为.2，所以3爲1V x = 22 ；正四面体每个面的面积为3，设其边长为a ，则由a 2 = 3，得 2 34 ；4大的数，于是a^3,d2、若 a, b,c 0 ,解：据柯西不等式, 2-1 2 336.3、若S n"丄n2! 2 - —3! 4! (n 1)!—1 ,则 S 2013答案:12014解：因 k (k 1)-1 (k 1)! 一 (k 1)!，则1-- — 2! 3! 4! (n 1)!上□□川(n “一1十亠1! 2! 3!(n 1)! (n 1)!所以，S n = n! | 1(n +1)!丿-11，故S?0131 2014于是V y =22 3*，因此呂=347V y5、若椭圆中心到焦点，到长、 之和的最小值是 ________ . 答案：61 .2 2解：设椭圆方程为-y 2 =1 ,a b 0，椭圆中心O 到长、短轴端点距离为 a,b , a b2222a到焦点距离c 满足：c 二a 「b ,至U 准线距离d 满足：d ，由于a,b,c 组成勾股数, c满足 a 空 20的勾股数组有 Ca,b,c1 =乜,4,5丁6,8,10二 9,12,15」12,16,20丁5,12,13二152202以及〈8,15,17?，其中只有25与 25，而(a,b,c,dH(15,12,9,25)使得916a b c d 的值为最小，这时有 a b c 61.6、函数f(x)二.、3x -6 •、3-x 的值域是答案：［1,2］.,, 2兀,故可设 x = 2 sin 2 ：(0 一： _-),则 f (x)二 3s in 2： 1-s in 23si n ^ "cos ：二二 2 二1而 ，这时 "sin( )乞1，因此6 6 3 2 67、设合数k 满足：1 ：：： k :: 100，而k 的数字和为质数，就称合数 k 为“山寨质数”，则这种“山寨质数”的个数是 _________ .答案：23个.解：用S(k)表示k 的数字和；而M(p)表示山寨为质数 p 的合数的集合.当k 乞99时,S(k)乞18，不大于18的质数共有7个，它们是：2,3,5,7,11,13,17，山寨为2的合数有M(2) —20?，而 M(3) —12,21,30?,M (5) —14,32,50^, M (7) —16,25,34,52,70?； M (11)「38,56,65,74,92?, M (13)—49,58,76,85,94? , M(17)・.98?； 共得23个山寨质数.8、将集合”42,3,4,5,6,7,8 ［中的元素作全排列，使得除了最左端的一个数之外，对于其余的每个数n ,在n 的左边某个位置上总有一个数与n 之差的绝对值为1，那么，满足短轴端点，以及到准线距离皆为正整数，贝y 这四个距离解：f(x) =：f 3(x -2).^x 的定义域为[2,3]n/e g ， JI条件的排列个数为__________ .答案：128.（即27个）.解：设对于适合条件的某一排列，排在左边的第一个元素为k , （1乞k 空8），则在其余7个数中，大于k 的8-k 个数k 1,k 2^|,8，必定按递增的顺序排列；而小于k 的k-1 个数1,2川|,k_1，必定按递降的顺序排列（位置不一定相邻）事实上，对于任一个大于 k 的数k • n ，设k • n ：：： 8 ,如果k • n • 1排在k - n 的左边， 则与k • n • 1相差1的另一数k • n • 2就必须排在k • n • 1的左边；同样，与k • n • 2相差 1的另一数k • n • 3又必须排在k • n • 2的左边；…，那么，该排列的第二个数不可能与 k 相差1,矛盾！因此k • n • 1必定排在k - n 的右边.用类似的说法可得，小于 k 的k -1个数1,2J||,k -1,必定按递降的顺序排列；由于当排在左边的第一个元素k 确定后，右边还有 7个空位，从中任选 8-k 个位置填写大于k 的数，（其余k -1个位置则填写小于 k 的数），选法种数为Cy-；而当位置选定后，87则填数方法随之唯一确定，因此所有排法种数为、c 8“ =為c 7 =27.k=1k =0、解答题OA 2 y 2 =5-2 5,OB 2 y ； =5 2 5 ,1因此 s 念AB =2〔OA 'OB =9、（20分）设直线x • y =1与抛物线2y = 2px (p 0)交于点 A, B ，若 OA _ OB ,求抛物线方程以及 OAB 的面积.解：设交点 A （x-|, y 1）, B （x 2, y 2），由2 2y 2 px 与 x y =1，得 y 2py-2p=0,故有 x =1 p - p 2 2p, % = -p p 2 2p , 以及禺二1 p , p 2 2p , y 2 二-p _ t p 2 2p因 OA_OB ，即 OA OB =0，所以 x 1x 2 y 1y^0 ,]1 + p)2 _(p 2 +2p)1 + [p 2 _(p 2 +2p)]=o ，化简得 1—2p=0，因此抛物线方程为2y x ，从而交点A, B 坐标为:10、（20分）如图，四边形ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，P是对角线BD上的一点；直线 EP, PF 分别交AB, DC 的延长线于 M ,N .证明：线段MN 被直线EF 所平分.证：设EF 交MN 于G，直线EF 截，PMN ，则器罟給1；为证G是线段PF PEMN 的中点，只要证，…①,NF ME11、（20分）在非钝角三角形 ABC 中，证明：si nA ，si n B • si nC 2 .证一：sin A sin B si nC -2 二 si nA si n B sin( A B) -(sin 2 A cos 2 A)「(sin 2 B cos 2B) 2 2=sin A(1 -si n A) sin B(1 -si n B) sin (A B) -(cos A cos B)二 sin A(1 -sin A) sin B(1 -sin B) cosB(sin A-cosB) cos A(sin B -cos A) 0 .这里用到，在非钝角三角形 ABC 中，任两个内角之和不小于 900，所以由A • B _ 90° , 得 A _90° -B, B _90° -A ，因此 sin B _si n( 90° - A) =cosA ，同理 sin A- cosB,而1「sin A , 1「sin B 不能同时为0 •从而结论得证. A+ B C证二：sin A si n B sin C-2 =si n A si n B si n( AB)-2s in()2 2c . A+B A —B 丄小.A+B A + B 小■ A + B C A + B . C=2s in cos 2sin cos 2sin cos 2cos sin2 2 2 2 2 2 2 2Sinlsin^Bsin^^ 2cosI(cosC-sinC) 0 ；2 2 2 2 2 2 （这是由于，锐角三角形 =ABC 中，任两个内角之和大于 90°，而任一个半角小于 45° ；）所以 sin A sin B sin C 2 .ABC证三：令 x =tan ,y =tan —,z = tan ，贝y xy yz zx=1，且2 2 2/曰EADB “ 口MP BP-得1,…②MAD BP2ME BDPN FC BD直线CD 截PBF ，则有1 ,NF CB DP前NP PD …③，即2NFBD②③相加得M P NP c NP2，即1-MNFNF也即PF NF PE ME=2si n(sin-si 巧)直线 AB 截 :PDE , MPME EDPB因此结论得证.□(cos 心2 22cos即要证2X2~y 2~~2 - 2 … ①，因为 1 x^ (x y)(x z),1+x 1 +y 1+z2 21 y =(y x)(y z),1 z =(z x)(z y),故①式即2，也即(x y)(y z)(x z) ：：： 2 ,(x + y)(y+z)(x+z)即 x y xyz ：：： 2… ②ABC _ TT _ 而因 2'2(0,4，故 X ，y ，z (0,1］，所以(1 -x )(1 - y)(1 - z) 一0 ,即 1 -(x y z) (xy yz xz) _ xyz _ 0 . 此式即为 xyz xyz _2…③由③立知②式成立（③式强于②式），因此命题得证.12、（ 26分）试确定，是否存在这样的正整数数列，满足：3201^2013，且对每个9,3,|朴,2013｝，皆有a k —a k 』=20或13 ；而其各项印，a ?」" 82013的值恰好构 成1,2, "1,2013的一个排列？证明你的结论.解：存在•由于 20*13=33，而 332013,(即有 2013 = 33 61);我们注意到，“差”运算具有“平移性”，即是说，如果 a k -a k _, =20或13，那么, 对任何整数c ，也有（a k c ） - （a k c ） =20或13 ；为此，先将集合 〈1,2,川,33?中的数排成一个 圈，使得圈上任何相邻两数之差皆为 20或13，如图所示.将此圈从任一间隙处剪开，铺成的线状排列a 1,a 2,il （,a 33，都满足 a k-az =20 或 13,为将数列锁定，在前面添加一项 a 0 = 0，使数 列a 0,a 1,a 2」l （,a 33也满足条件，我们可选择与数33 相邻的一sin A 二 2x7 21 xsin B 2, sin C1 +y2z 1 z 2个间隙剪开；例如从33右侧间隙剪开，并按顺时针排列，就成为：0 ; 13,26,6,19,32,12,25,5,18,31,11,24,4,17,30,10,23,3,16,29,9,22,2,15 , 28,8,21,1,14,27,7,20,33 ;若从33左侧间隙剪开，并按逆时针排列，则成为：0 ; 20,7,27,14,川,6,26,13,33 ；这两种排列都满足a k-a k』=20或13 ；记分段数列M。
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2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案一、填空题（每题8分）1、若2013的每个质因子都是某个正整数等差数列{}n a 中的项，则2013a 的最大值是 ．2、若,,0a b c >，1231a b c++=，则23a b c ++的最小值为 ． 3、若123!12!3!4!(1)!n nS n n ⎛⎫=⋅++++- ⎪+⎝⎭ ，则2013S = ．4、如果一个正方体X 与一个正四面体Y 的表面面积（各面面积之和）相等，则其体积之比xyV V = ． 5、若椭圆中心到焦点，到长、短轴端点，以及到准线距离皆为正整数，则这四个距离之和的最小值是 ．6、函数()f x = ．7、设合数k 满足：1100k <<，而k 的数字和为质数，就称合数k 为“山寨质数”，则这种“山寨质数”的个数是 ．8、将集合{}1,2,3,4,5,6,7,8中的元素作全排列，使得除了最左端的一个数之外，对于其余的每个数n ，在n 的左边某个位置上总有一个数与n 之差的绝对值为1，那么，满足条件的排列个数为 ．9、（20分）设直线1x y +=与抛物线22(0)y px p =>交于点,A B ，若OA OB ⊥，求抛物线方程以及OAB ∆的面积．10、（20分）如图，四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，P 是对角线BD 上的一点；直线,EP PF 分别交,AB DC 的延长线于,M N ．证明：线段MN 被直线EF 所平分． 11、（20分）在非钝角三角形ABC 中，证明：sin sin sin 2A B C ++>．12、（26分）试确定，是否存在这样的正整数数列{}n a ，满足：20132013a =，且对每个{}2,3,,2013k ∈ ，皆有120k k a a --=或13；而其各项122013,,,a a a 的值恰好构成1,2,,2013 的一个排列？证明你的结论．1、答案：4027．解：201331161=⨯⨯，若3,11,61皆是某正整数等差数列中的项，则公差d 应是1138-=与61358-=的公因数，为使2013a 取得最大，则其首项1a 和公差d 都应取尽可能大的数，于是13,2a d ==，所以2013a 的最大值是320124027d +=．2、答案：36．解：据柯西不等式，()()2123232312336a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎝⎭． 3、答案：12014-． 解：因(1)111(1)!(1)!!(1)!k k k k k k +-==-+++，则123112131(1)1112!3!4!(1)!1!2!3!(1)!(1)!n n n n n ---+-++++=++++=-+++ 所以，11!11(1)!1n S n n n ⎡⎤⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦，故201312014S =-． 4解：记表面面积为12（平方单位），则正方体每个面的面积为2322x V =；正四面体每个面的面积为3，设其边长为a23=，得1423a =⋅； 于是312423y V -=⋅，因此143xyV V ==5、答案：61．解：设椭圆方程为22221x y a b +=，0a b >>，椭圆中心O 到长、短轴端点距离为,a b ，到焦点距离c 满足：222c a b =-，到准线距离d 满足：2a d c=，由于,,a b c 组成勾股数，满足20a ≤的勾股数组有{}{}{}{}{}{},,3,4,5,6,8,10,9,12,15,12,16,20,5,12,13,a b c =以及{}8,15,17，其中只有215259=与2202516=，而(,,,)(15,12,9,25)a b c d =使得 a b c d +++的值为最小，这时有61a b c d +++=．6、答案：[1,2]．解：()f x =[2,3]，故可设22sin (0)2x παα=+≤≤，则()cos 2sin()6f x πααα==+=+，而2663πππα≤+≤，这时1sin()126πα≤+≤，因此12f ≤≤．7、答案：23个． 解：用()S k 表示k 的数字和；而()M p 表示山寨为质数p 的合数的集合．当99k ≤时，()18S k ≤，不大于18的质数共有7个，它们是：2,3,5,7,11,13,17，山寨为2的合数有{}(2)20M =，而{}{}{}(3)12,21,30,(5)14,32,50,(7)16,25,34,52,70M M M ===； {}(11)38,56,65,74,92M =，{}(13)49,58,76,85,94M =，{}(17)98M =；共得23个山寨质数．8、答案：128．（即72个）．解：设对于适合条件的某一排列，排在左边的第一个元素为k ，(18)k ≤≤，则在其余7个数中，大于k 的8k -个数1,2,,8k k ++ ，必定按递增的顺序排列；而小于k 的1k -个数1,2,,1k - ，必定按递降的顺序排列（位置不一定相邻）事实上，对于任一个大于k 的数k n +，设8k n +<，如果1k n ++排在k n +的左边， 则与1k n ++相差1的另一数2k n ++就必须排在1k n ++的左边；同样，与2k n ++相差1的另一数3k n ++又必须排在2k n ++的左边；…，那么，该排列的第二个数不可能与k 相差1，矛盾！因此1k n ++必定排在k n +的右边．用类似的说法可得，小于k 的1k -个数1,2,,1k - ，必定按递降的顺序排列；由于当排在左边的第一个元素k 确定后，右边还有7个空位，从中任选8k -个位置填写大于k 的数，（其余1k -个位置则填写小于k 的数），选法种数为87kC -；而当位置选定后，则填数方法随之唯一确定，因此所有排法种数为87877712kj k k CC -====∑∑．二、解答题9、解：设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由22y px =与1x y +=，得2220y py p +-=，故有111x p y p =+=-以及221x p y p =+=-因OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=，即2222(1)(2)(2)0p p p p p p ⎡⎤⎡⎤+-++-+=⎣⎦⎣⎦，化简得120p -=，因此抛物线方程为2y x =，从而交点,A B坐标为：,A B ⎝⎭⎝⎭，222222112255OA x y OB x y =+=-=+=+，因此12OAB S OA OB ∆=⋅=． 10、证：设EF 交MN 于G ，直线EF 截PMN ∆，则1NG ME PFGM EP FN⋅⋅=；为证G 是线段MN 的中点，只要证，PF PENF ME= … ①， 直线AB 截PDE ∆， 得1PM EA DB ME AD BP ⋅⋅=，即2MP BPME BD = … ②， 直线CD 截PBF ∆，则有1PN FC BDNF CB DP⋅⋅=， 即2NP PD NF BD= … ③， ②③相加得2MP NP ME NF +=，即11NP MP NF ME -=-，也即PF PENF ME=，因此结论得证．11、证一：sin sin sin 2sin sin sin()A B C A B A B ++-=+++2222(sin cos )(sin cos )A A B B -+-+22sin (1sin )sin (1sin )sin()(cos cos )A A B B A B A B =-+-++-+G PN MF ED C B Asin (1sin )sin (1sin )cos (sin cos )cos (sin cos )0A A B B B A B A B A =-+-+-+->．这里用到，在非钝角三角形ABC 中，任两个内角之和不小于090，所以由090A B +≥，得0090,90A B B A ≥-≥-，因此0sin sin(90)cos B A A ≥-=，同理sin cos ,A B ≥ 而1sin A -，1sin B -不能同时为0．从而结论得证．证二：sin sin sin 2sin sin sin()2sin()22A B CA B C A B A B +++-=+++-+ 2sincos 2sin cos 2sin cos 2cos sin 22222222A B A B A B A B A B C A B C+-++++=+--2sin(cos cos )2cos (sin sin )222222A B A B C A B A B C+-++=-+- 4sin sin sin 2cos (cos sin )0222222A B A C B B C A A B C C ++-+-+=+->；（这是由于，锐角三角形ABC ∆中，任两个内角之和大于090，而任一个半角小于045；）所以 sin sin sin 2A B C ++>． 证三：令tan,tan ,tan 222A B Cx y z ===，则1xy yz zx ++=，且 222222sin ,sin ,sin 111x y z A B C x y z===+++； 即要证2222222111x y zx y z++>+++ … ①，因为 21()()x x y x z +=++， 221()(),1()()y y x y z z z x z y +=+++=++，故①式即42()()()x y y z x z >+++，也即()()()2x y y z x z +++<，即 2x y z xyz ++-<… ②而因,,(0,]2224A B C π∈，故,,(0,1]x y z ∈，所以(1)(1)(1)0x y z ---≥， 即 1()()0x y z xy yz xz xyz -+++++-≥． 此式即为 2x y z xyz +++≤ … ③由③立知②式成立（③式强于②式），因此命题得证．12、解：存在．由于201333+=，而332013，（即有20133361=⨯）；我们注意到，“差”运算具有“平移性”，即是说，如果120k k a a --=或13，那么，对任何整数c ，也有1()()20k k a c a c -+-+=或13；为此，先将集合{}1,2,,33 中的数排成一个圈，使得圈上任何相邻两数之差皆为20或13，如图所示．将此圈从任一间隙处剪开，铺成的线状排列1233,,,a a a ，都满足120k k a a --=或13，为将数列锁定，在前面添加一项00a =，使数列01233,,,,a a a a 也满足条件，我们可选择与数33相邻的一个间隙剪开；例如从33右侧间隙剪开，并按顺时针排列，就成为：0；13,26,6,19,32,12,25,5,18,31,11,24,4,17,30,10,23,3,16,29,9,22,2,15，28,8,21,1,14,27,7,20,33；若从33左侧间隙剪开，并按逆时针排列，则成为：0；20,7,27,14,,6,26,13,33 ； 这两种排列都满足120k k a a --=或13；记分段数列0(13,26,6,19,32,12,25,5,18,31,11,24,4,17,30,10,23,3,16,29M =，9,22,2,15,28,8,21,1,14,27,7,20,33)1233(,,,)a a a = ，而分段数列13323333331233(,,)(33,33,,33)k k k k M a a a a k a k a k +++==+++ ，1,2,,60k = ，将这些段作如下连接：01600,,,,M M M ，所得到的数列0122013,,,,a a a a 满足条件． 因为，20133333603333603333602013a a a +⨯==+⨯=+⨯=；对其中任意两个邻项1,k k a a -，若1,k k a a -属于同一个分段，显然有120k k a a --=或13；若相邻项1,k k a a -属于两个相邻段n M 与1n M +，则k a 是1n M +的首项：即133(1)1333(1)k a a n n =++=++，而1k a -是n M 的末项，即133333333k a a n n -=+=+，这时有[][]11333(1)333313k k a a n n --=++-+=，并且1013a a -=，因此，数列122013,,,a a a 满足条件．114277203313266193212255183111244173010233162992221528821。