2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——9.数列

9．数列
一、选择题
（2015·5）设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S （ ）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
（2015·9）已知等比数列}{n a 满足4
1
1=
a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （ ） A. 2
B. 1
C. 21
D. 8
1
（2014·5）等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项S n =（ ） A ．(1)n n + B ．(1)n n - C ．(1)2n n + D ．(1)
2n n -
（2012·12）数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（ ）
A ．3690
B ．3660
C ．1845
D ．1830
二、填空题
（2014·16）数列}{n a 满足n
n a a -=
+111，2a = 2，则1
a =_________.
（2012·14）等比数列{n a }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q = .
三、解答题 （2017·17）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1=-1，b 1=1，a 2 + b 2 = 2. （1）若a 3 + b 3 = 5，求{b n }的通项公式；（2）若T 3=21，求S 3.
（2016·17）等差数列{a n }中，a 3 + a 4 = 4，a 5
+ a 7 = 6．
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =[lg a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2.
（2013·17）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+.
（2011·17）已知等比数列{a n }中，113a =，公比13
q =.
（I ）S n 为{a n }的前n 项和，证明：12
n
n a S -=；
（II ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{b n }的通项公式.
9．数列（解析版）
一、选择题
（2015·5）A 解析：13533331a a a a a ++==⇒=，()
15535552
a a S a +=
==. （2015·9）C 解析：由a 42 =a 3·a 5= 4(a 4-1)，得a 4 = 2，所以34182a
q q a ==⇒=，故2112
a a q ==.
（2014·5）A 解析：∵d =2，a 2，a 4，a 8成等比，∴a 42 = a 2·a 8， 即a 42=(a 4-4)(a 4 + 8)，
解得a 4=8，∴a 1=a 4-3×2=2，∴1(1)(1)
22(1)22
n n n n n S na d n n n --=+
=+⨯=+，故选A. （2012·12）D 解析：【法1】有题设知211a a -=①，32a a +=3②，43a a -=5③，54a a +=7，65a a -=9，
76a a +=11，87a a -=13，98a a +=15，109a a -=17，1110a a +=19，121121a a -=，……
∴②－①得13a a +=2，③+②得42a a +=8，同理可得57a a +=2，68a a +=24，911a a +=2，1012a a +=40，…，
∴13a a +，57a a +，911a a +，…，是各项均为2的常数列，24a a +，68a a +，1012a a +，…，是首
项为8，公差为16的等差数列，∴{n a }的前60项和为1
1521581615142
⨯+⨯+⨯⨯⨯=1830.
【法2】14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+
11234151514
1010151618302
b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+⨯=
二、填空题
（2014·16）
2
1解析：由已知得111n n a a +=-，∵82a =，∴781112a a =-=，67111a a =-=-，
561
12a a =-=，4321111222
a a a a ==-==，，，.
（2012·14）-2解析：当q =1时，3S =13a ，2S =12a ，由S 3+3S 2=0得，19a =0，∴1a =0与{n a }是等比数
列矛盾，故q ≠1，由S 3+3S 2=0得，
3211(1)3(1)
011a q a q q q
--+=--，解得q =－2. 三、解答题
（2017·17）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1=-1，b 1=1，a 2 + b 2 = 2. （1）若a 3 + b 3 = 5，求{b n }的通项公式；（2）若T 3=21，求S 3.
（2017·17）解析：（1）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n = -1+(n -1)d ，b n = q n -1 . 由a 2 + b 2 = 2得d +q =3
①，由a 3 + b 3 = 5得2d +q 2=6 ②，联立①和②解得30=⎧⎨=⎩
d q （舍去）12=⎧⎨
=⎩d q ，因此{b n }的通项公式b n =2n +1 . （2）由b 1=1，T 1=21，得q 2+q -20=0. 解得q =-5或q =4，当q =-5时，由①得d =8，则S 3=21；当q =4时，由①得d =-1，则S 3=-6.
（2016·17）等差数列{a n }中，a 3 + a 4 = 4，a 5
+ a 7 = 6．
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =[lg a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2. （2016·17）解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得12
1,5
a d ==
，所
以{}n a 的通项公式为23
5
n n a +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知23[]5n n b +=，当n =1, 2, 3时，23
12,15
n n b +≤<=；当n =4, 5时，2323,25n n b +≤<=；当n =6, 7, 8时，23
34,35
n n b +≤
<=；当n =9, 10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.
（2013·17）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+.
（2013·17）解析：（Ⅰ）设{a n }的公差为d . 由题意，a 112＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )． 于是d (2a 1＋25d )＝0. 又a 1＝25，所以d ＝0（舍去），d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.
（Ⅱ）令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 由(Ⅰ)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝2n (a 1＋a 3n －2)＝2
n
(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .
（2011·17）已知等比数列{a n }中，113a =，公比13
q =.
（I ）S n 为{a n }的前n 项和，证明：12
n
n a S -=；
（II ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{b n }的通项公式.
（2011·17）解析：（Ⅰ）∵1111()()333n n n a -==，11
(1)13331213
n n n S --==
-，∴12n n a S -= （Ⅱ）31323log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+123(1)
2
（）=n n n =-++++-+，∴数列{n b }的通项公
式为(1)
2
n n n b +=-。