线性变换

§2.2 线性变换的矩阵
1．设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是线性空间 的一组基，T 为V ． 是线性空间V的一组基 的一组基，
的线性变换. 的线性变换 则对任意 ξ ∈ V 存在惟一的一组数
x1 , x2 ,L , xn ∈ P , 使 ξ = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n
则有
y1 x1 y2 x2 M ＝ A M . y x n n
证：由已知有
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A,
x1 x2 ξ＝( ε 1 , 2 ,L , ε n ) , ε M x n y1 y2 σ (ξ ) = ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) . ε M y n
用矩阵表示即为
T ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( T ε 1 , T ε 2 ,L , T ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A
其中
α11 α 21 A= L α n1
L L L α n 2 L α nn
α12 L α1n α 22 L α 2 n ,
ε 于是， 于是，σ (η1 ,η 2 ,L ,η n ) = σ ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) X
= ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) AX = (η1 ,η2 ,L ,η n ) X - 1 AX . ε
由此即得
B= X - 1 AX .
为线性空间V一组基 一组基， 例. 设 ε 1 , ε 2为线性空间 一组基， 线性变换 σ 在
4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系 同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系 定理 设线性空间V的线性变换 σ在两组基 设线性空间 的线性变换
ε 1 , 2 ,L , ε n ε η1 ,η2 ,L ,ηn
(Ⅰ) Ⅰ (Ⅱ) Ⅱ
下的矩阵分别为A、 ， 下的矩阵分别为 、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡 Ⅰ Ⅱ 矩阵矩阵是X， 矩阵矩阵是 ，则
矩阵A称为线性变换 下的矩阵. 矩阵 称为线性变换 T 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵 称为
注： ① A的第 列是 T (ε i ) 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的坐标， 的第i列是 下的坐标， 的第
它是唯一的. 在取定一组基下的矩阵是唯一的. 它是唯一的. 故 T 在取定一组基下的矩阵是唯一的. 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； ② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵； 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；
3．线性变换矩阵与向量在线性变换下的象
下的矩阵为A, 定理 设线性变换 σ在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε下的矩阵为 n
ξ ∈ V 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的坐标为 ( x1 , x2 ,L , xn ),
σ (ξ )在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的坐标为 ( y1 , y2 ,L , yn ),
B = 1 −1 −1 2
) ( )( ) 2 1 2 1 1 −1 = 1 1 . =( 1 1 ) ( − 1 0 ) ( −1 2 ) ( 0 1 )
−1
(
2 1 1 −1 − 1 0 −1 2
（2）由 B= X −1 AX , 有 A= XBX −1 , ）
Ak = XB k X −1 . k 1 −1 ∴ Ak = 1 −1 1 1 −1 2 0 1 −1 2
2
() ( ) x′ = cosθ − sinθ x 这里， 这里， ( y′ ) ( sinθ cosθ ) ( y )
Tθ : R → R , Tθ
2
x = x′ y y′
∀α , β ∈ R 2 , ∀k ∈ R 易验证： 易验证： Tθ (α + β ) = Tθ (α ) + Tθ ( β ) Tθ ( kα ) = kTθ (α )
例.
设线性空间P 的线性变换σ 为
3
σ ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 , x1 + x2 )
求 σ 在标准基 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的矩阵. 下的矩阵 解： Q σ (ε 1 ) = σ (1,0,0) = (1,0,1)
σ (ε 2 ) = σ (0,1,0) = (0,1,1)
B = X AX .
−1
证：由已知，有 由已知，
σ ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) A, ε ε
σ (η1 ,η2 ,L ,ηn ) = (η1 ,η2 ,L ,ηn ) B ,
(η1 ,η2 ,L ,ηn ) = ( ε 1 ,ε 2 ,L , ε n ) X .
例
V = Pn [ x ]
线性变换， 上的求微商是一个 线性变换，
表示， 用D表示，即 表示
D : V → V , D( f ( x )) = f ′( x ), ∀f ( x ) ∈ V
例 闭区间 [a , b]上的全体连续函数构成的线性空间
C [a , b] 上的变换 J : C [a , b] → C [a , b], J ( f ( x ) ) = ∫ f ( t )dt
注意：3的逆不成立，即 T (α1 ) ,T (α 2 ) ,L ,T (α r ) 的逆不成立， 注意： 的逆不成立
线性相关， 未必线性相关. 线性相关， α1 ,α 2 ,L ,α r 未必线性相关 事实上， 事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成 线性相关的向量组. 如零变换. 线性相关的向量组 如零变换
T (α + β ) = T (α ) + T ( β ) T ( kα ) = kT (α )
为线性空间V上的线性变换. 上的线性变换 则称 T 为线性空间 上的线性变换
注：几个特殊线性变换
单位变换(恒等变换)： : V → V , E (α ) = α , ∀α ∈ V 单位变换(恒等变换) E 零变换：0 : V → V , 0(α ) = 0, ∀α ∈ V 零变换： 由数k决定的数乘变换：: V → V , K (α ) = kα , ∀α ∈ V 由数 决定的数乘变换： 决定的数乘变换 K
x a
是一个线性变换. 是一个线性变换
线性变换的简单性质 1．T 为V的线性变换，则 ． 的线性变换， 的线性变换
T (0) = 0, T ( −α ) = −T (α ).
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 ．线性变换保持线性组合及关系式不变， 若 β = k1α1 + k2α 2 + L + krα r , 则 T ( β ) = k1T (α1 ) + k2T (α 2 ) + L + krT (α r ). 3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 ． 的向量组. 的向量组 即
x1 x1 x2 = ( ε , ,L , ε ) A x2 σ (ξ ) = (σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n ) 1 ε2 n M M x x n n
又
y1 x1 y2 x2 ε ε ∴ ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) A M M y x n n y1 x1 y2 x2 ε 线性无关， 由于 ε 1 , 2 ,L , ε n 线性无关，所以 M ＝A M . y x n n
于是
( )( ) ( ) 1 −1 1 k 2 1 = k + 1 k . =( −1 2 ) ( 0 1 ) ( 1 1 ) ( − k − k + 1 )
−1
P 3 中，线性变换 σ 定义如下： 定义如下： 例. 在线性空间 σ (η1 ) = ( −5,0,3) σ (η 2 ) = (0, −1,6) , σ (η3 ) = ( −5, −1,9) η1 = ( −1,0,2) 其中, η2 = (0,1,1) η3 = (3, −1,0)
σ (ε 3 ) = σ (0,0,1) = (0,0,0)
1 0 0 ∴ σ (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) = (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) 0 1 0 1 1 0
2．线性变换运算与矩阵运算 定理 设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 为数域P上线性空间 上线性空间V的一组 为数域 上线性空间 的一组
事实上， 事实上，∀α , β ∈ V ,
∀m ∈ P ,
K (α + β ) = k (α + β ) = kα + k β = K (α ) + K ( β ) , K ( mα ) = kmα = mkα = mK ( α ) .
实数域上二维向量空间)， 例 V = R 2 (实数域上二维向量空间 ，把V中每 实数域上二维向量空间 中每 就是一个线性变换， 一向量绕坐标原点旋转 θ 角，就是一个线性变换， 表示， 用 Tθ 表示，即
P n×n 中 在这组基下， 的每一个线性变换都与 基，在这组基下，V的每一个线性变换都与
的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： 的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： ① 线性变换的和对应于矩阵的和； 线性变换的和对应于矩阵的和； 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； ② 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； ③ 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 可逆线性变换与可逆矩阵对应， ④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应 于逆矩阵. 于逆矩阵