2019版高考数学一轮复习题组训练选修4-4 坐标系与参数方程(含最新模拟题) Word版含答案
2019版高考数学一轮复习坐标系与参数方程课时训练选修4_4.docx
选修4-4坐标系与参数方程第1课时坐标系1. (1)将点M 的极坐标(4,斗■兀[化成直角坐标；(2)将点N 的直角坐标(4, 一4羽)化成极坐标(PMO, 0^ 0 <2 JI ). A 14 解：(1) 丁 x = 4cos — n =4cos 2羽，・•・点M 的直角坐标是(一2,2^3).(2)・・・ P =店+ (—4羽)J, tan 0=二^=—击，0 e[0, 2 兀)，又点(4, 一低币)在第四象限，・・・()=¥，・•・点N 的极坐标为(8,节)2. 已知圆C 的极坐标方程为P ‘ + 2迈P sin(o —4 = 0,求圆心的极坐标.解：以极坐标系的极点为直角坐标系的原点0,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy. *.* 圆 C 的极坐标方程为 P 1 2+2P sin 0 —2 P cos 0—4=0,•I 圆 C 的直角坐标方程为 x'+yJ2x + 2y —4 = 0,即(x —I)2+ (y+l)2 = 6. ・・・圆心的直角坐标为(1, -1),则其极坐标为(、但，牛|・3. (2017 •省扬中等七校联考)在极坐标系中，已知点P (2£L 直线1： Pcos^O +—^ = 2^/2,求点P 到直线1的距离.解：点P 的直角坐标为(3,寸5),直线1的普通方程为x —y —4 = 0,从而点P 到直线1 的距离为3—黑一仁密並4.已知点P(—1+寸^cos a, y[2.sin a )(其中a e [0, 2 Ji))，点P 的轨迹记为曲线 Ci,以坐标原点为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.点Q 在曲线C 2： p =于是所求线段氏为2^9^ = 472.6. (2017 •金陵中学质检)在极坐标系中，已知圆C 的极坐标方程为「_4血 cosf 0 ― j + 7 = 0,直线1的极坐标方程为3 P cos 0 —4 P sin 0 +a=0.若直线1与圆C1 求曲线G 的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；2 当P NO, owe <2兀时，求曲线G 与曲线C2的公共点的极坐标.解：(1)曲线G ： (x+l)'+y2 = 2,极坐标方程为P 2+2PCOS 0 -1=0,曲线C2的 直角坐标方程为y = x — l.(2)曲线G 与曲线C2的公共点的坐标为(0, -1),极坐标为(1, *■) 5. 在极坐标系中，求圆P 2—4 P sin 0—5 = 0截直线0=*(pwR)所得线段长. 解：以极点0为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy.则圆P 2-4 P sin 0兀— 5 = 0化为普通方程为x 2+y 2-4y-5 = 0,即x 2+ (y-2)2 = 9.直线0 =§( P GR)化为普通2 n ( 1> .14 , . 2 兀-y=4XI —- l= —2, y = 4sin — Ji =4sin 飞~= 上・方程为y=£x,即y/3x — y=0.圆心(0, 2)到直线£x —y=0的距离为d = 1^3X0-21=1,y[^cos相切，求实数3的值.解：圆C 和直线1的直角坐标方程分别为(x —2)~+(y —2)'= 1, 3x —4y + a = 0. 因为圆C 与直线1相切， 所以d= ~~=1,解得a=—3或a=7.□7. 在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4, 0),半径为4,点M 为圆A 上异于极点0的 动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程.解：由题意知，圆A 的极坐标方程为P =8cos 0 , 设弦0M 中点为N(P , 0),则M(2P , ()),因为点M 在圆A 上，所以2P =8COS 即P =4cos 0 . 又点M 异于极点0,所以P H0,所以弦0M 中点的轨迹的极坐标方程为P =4cos 6 ( P HO).&在极坐标系中，设直线()=丁与曲线P 3 4—10 P cos ()+4=0相交于A, B 两点，求 线段AB 中点的极坐标.解：(解法1)将直线()=才化为普通方程，得y=V3x,将曲线P 2-10P cos 8+4 = 0化为普通方程，得x 2+y 2-10x + 4 = 0,[V 并消去 y,得 2x'—5x+2 = 0, x 2 + y--10x+4 = 0 解得 X]=*, X2=2,所以AB 中点的横坐标为驾出岭 纵坐标为扌萌, 化为极坐标为(导‘彳(解法2)联立直线1与曲线C 的方程，得JT < 0=亍、P ‘一10 P cos ()+4=0,消去 8 ,得 P 2—5 p +4 = 0,解得 P i=l, P 2=4,/pi+p2 了5所以线段AB 中点的极坐标为( ---- ,即怎，-yj.(注：将线段AB 中点的极坐标写成(魯y+2knj(kGZ)亦可)(3 n9. 在极坐标系屮，已知三点A (4, 0), Bl 4,—3 若A, B, C 三点共线，求P 的值；4 求过0(坐标原点)，A, B 三点的圆的极坐标方程.解：(1)由题意知点A, B 的直角坐标分别为A(4, 0), B(0, -4),所以直线AB 的方 寻，所以+1).(2)因为A(4, 0), B(0, —4), 0(0, 0),所以过0, A, B 三点的圆的标准方程为(x — 2)'+(y+2)'=8,整理得 x' + y2—4x+4y = 0,即极坐标方程为 P 2—4 P cos 9 +4 P sin 9 =0,整理得 P =4cos 6 —4sin 9 .10. 在极坐标系中，设圆C 经过点P (、尽 圆心是直线Psin 仔一0卜平与极轴 的交点，求圆C 的极坐标方程.联立 程是X —y —4 = 0.因为点C 的直角坐标为*一4 = 0,所以 P =4(^/3解：因为圆心为直线psin£~o ）=半与极轴的交点，所以令（）=0,得p=l,即 圆心是（1, 0）.又圆C 经过点P&5,所以圆的半径r=寸3+1-2血。
2019版高考数学一轮复习考点突破训练选修4-4 坐标系与参数方程(含最新模拟题) Word版含答案
选修坐标系与参数方程考点坐标系.[江西()分]若以直角坐标系的原点为极点轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段(≤≤)的极坐标方程为().ρ≤θ≤.ρ≤θ≤.ρθθ≤θ≤.ρθθ≤θ≤.直线经过变换后的直线方程为..在平面直角坐标系中,曲线的方程为(),直线的方程为.以坐标原点为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系.()分别写出曲线与直线的极坐标方程;()在极坐标系中,极角为θ(θ∈(,))的射线与曲线、直线分别交于两点(点异于极点),求的最大值.考点参数方程.[湖南分][文]在平面直角坐标系中,曲线:(为参数)的普通方程为..已知直线:(为参数),曲线:(θ为参数).()试判断与的位置关系;()若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值..已知曲线的参数方程是(θ为参数),以坐标原点为极点轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程是ρθ(>),曲线周长为π.()求曲线与的交点的平面直角坐标;()若是曲线与的交点,点在曲线上,求△面积的最大值.答案(≤≤)的极坐标方程为ρθρθ,即ρ,由≤≤,得≤≤,所以θ∈[,].故选.由变换得代入直线方程, 得××,即'', 所以变换后的直线方程为..()由ρθρθ,得曲线的极坐标方程为ρθ,直线的极坐标方程为ρθρθ.()由题意得θ,因为ρθρθ,所以,所以(θ),因为θ∈(,),所以θ∈(,),所以(θ)∈(],所以的最大值为,此时θ.直接化简,两式相减消去参数,得,整理得普通方程为..()由题易知的普通方程为的普通方程为,所以的圆心到直线的距离为>,所以直线与曲线相离. ()易知曲线:设点( θθ),则点到直线的距离是,所以当θπ∈,即θπ∈时取得最小值,最小值为.故点到直线的距离的最小值为..()由(θ为参数),得(θ为参数),消参可得()①.故曲线是圆心为(),半径为的圆.由ρθ,得ρρθ,则,即(),故曲线是圆心为(,),半径为的圆.易知曲线的周长为π×ππ,所以.故曲线的方程为②.由①②,得③,联立②③,解得或故曲线与的交点的平面直角坐标为(),().()由()可知,且直线的方程为.则圆心()到直线的距离,所以点到直线的距离的最大值为.所以△面积的最大值为××().。
2019年高考数学一轮复习(文理通用) 选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲
4． (2017· 北京， 5 分)在极坐标系中， 点 A 在圆 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0 上，
1 点 P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为________. 导学号 58533659
[ 解析] 将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2＋y2－2x－4y＋4＝0， 即(x
－ 1)2 ＋ (y － 2)2 ＝ 1 ，圆心为 (1,2) ，半径 r ＝ 1. 因为点 P(1,0) 到圆心的距离 d ＝ 1－12＋0－22＝2>1，所以点 P 在圆外，所以|AP|的最小值为 d－r＝2－1＝1.
圆心的极坐标 (0,0) 圆的极坐标方程
r ρ＝________(0 ≤θ＜2π)
图形
(r,0)
π π 2 r cos θ ρ＝________(－2≤θ＜2)
圆心的极坐标 π (r，2)
圆的极坐标方程图形Fra bibliotek2rsinθ ρ＝__________(0 ≤θ＜π)
(r，π)
3π π － 2 r cos θ ρ＝__________(2≤θ＜ 2 )
α π＋α 过极点，倾斜 θ＝_______( ρ∈R)或 θ＝________( ρ∈R)
角为 α
α π＋α (θ＝________ 和 θ＝________( ρ≥0))
直线
极坐标方程 ________ ＝a ρcosθ π π (－2＜θ＜2)
图形
过点(a,0)，与 极轴垂直
π 过点(a， 与 2)， 极轴平行
1 2
知 识 梳 理 考 点 突 破
4
思 想 方 法
知 识 梳 理
xλ＞0， • 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 x′＝λ· yμ＞0 y′＝μ· • 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ： _______________的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′， 伸缩 y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称 ________变换．
2019大一轮高考总复习理数文档：选修4-4 坐标系与参数
第二节 参数方程(对应学生用书P 175)1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )叫作这条曲线的参数方程，变数t 叫作参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程.2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心为点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．提醒：在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2－t (t ≥1)表示的曲线为直线．( )(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋m ，y ＝sin θ－m ，当m 为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆．( )(3)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 30°，y ＝1＋t sin 150°(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )(4)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ⎝⎛⎭⎫θ为参数且θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2表示的曲线为椭圆．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．解：∵x ＝t ，且y ＝t －a ， 消去t ，得直线l 的方程y ＝x －a ， 又 x ＝3cos φ且y ＝2sin φ，消去φ， 得椭圆方程x 29＋y 24＝1，右顶点为(3,0)，依题意0＝3－a ，∴a ＝3.3．已知圆M 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0，求ρ的最大值． 解：原方程化为ρ2－42ρ·⎝⎛⎭⎫22cos θ＋22sin θ＋6＝0， 即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0.故圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0. 圆心为M (2,2)，半径为 2.故ρmax ＝|OM |＋2＝22＋2＝3 2.(对应学生用书P 176)参数方程与普通方程的互化[明技法]将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解． [提能力]【典例1】 (2014·湖北卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析：曲线C 1为射线y ＝33x (x ≥0)． 曲线C 2为圆x 2＋y 2＝4. 设P 为C 1与C 2的交点， 如图，作PQ 垂直x 轴于点Q .因为tan ∠POQ ＝33， 所以∠POQ ＝30°，又∵OP ＝2，所以C 1与C 2的交点P 的直角坐标为(3，1)． 答案：(3，1)【典例2】 (2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45.当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.[刷好题]1．(2015·湖北卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0.曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：直线l 和曲线C 在直角坐标系中的方程分别为y ＝3x 和y 2－x 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝322，或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－322.故|AB |＝⎝⎛⎭⎫22＋222＋⎝⎛⎭⎫322＋3222＝2 5.答案：2 52．已知曲线C 的方程y 2＝3x 2－2x 3，设y ＝tx ，t 为参数，求曲线C 的参数方程． 解：将y ＝tx 代入y 2＝3x 2－2x 3，得t 2x 2＝3x 2－2x 3， 即2x 3＝(3－t 2)x 2，当x ＝0时，y ＝0； 当x ≠0时，x ＝3－t 22，从而y ＝3t －t 32.∵原点(0,0)也满足⎩⎨⎧x ＝3－t 22，y ＝3t －t32，∴曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－t 22，y ＝3t －t32(t 为参数)．直线与圆的参数方程的应用 [明技法]将参数方程中的参数消去便可得到曲线的普通方程，消去参数时常用的方法是代入法，有时也可根据参数的特征，通过对参数方程的加、减、乘、除、乘方等运算消去参数，消参时要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响．[提能力]【典例】 已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)的距离的最小值． 解：(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1， 曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝⎛⎭⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. 曲线C 3为直线x －2y －7＝0， M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.[刷好题]已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.参数方程与极坐标方程的综合问题 [明技法]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[提能力]【典例】 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1. [刷好题](2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)． (2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.。
2019版理科数学一轮复习高考帮试题：选修4-4 坐标系与
选修4-4坐标系与参数方程考点1坐标系1.[2014江西,11(2),5分] [理]若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A.ρ=1cosθ+sinθ,0≤θ≤π2B.ρ=1cosθ+sinθ,0≤θ≤π4C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π2D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π42.直线3x-2y+1=0经过x'=3x,y'=2y变换后的直线方程为.3.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的方程为(x-2)2+y2=4,直线l的方程为x+y-12=0.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别写出曲线C与直线l的极坐标方程;(2)在极坐标系中,极角为θ(θ∈(0,π2))的射线m与曲线C、直线l分别交于A,B两点(点A异于极点O),求|OA||OB|的最大值.考点2参数方程4.[2014湖南,12,5分]在平面直角坐标系中,曲线C:x=2+22t,y=1+22t(t为参数)的普通方程为.5.已知直线l:x=2+22t,y=22t(t为参数),曲线C1:x=cosθ,y=sinθ(θ为参数).(1)试判断l与C1的位置关系;(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的12,纵坐标压缩为原来的32,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.6.已知曲线C1的参数方程是x=-2+2cosθ,y=2sinθ(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=a sin θ(a>0),曲线周长为4π.(1)求曲线C 1与C 2的交点的平面直角坐标;(2)若A ,B 是曲线C 1与C 2的交点,点D 在曲线C 1上,求△ABD 面积的最大值.答案1.A y=1-x (0≤x ≤1)的极坐标方程为ρsin θ=1-ρcos θ,即ρ=1sin θ+cos θ,由0≤x ≤1,得0≤y ≤1,所以θ∈[0,π2].故选A.2.x-y+1=0 由变换 x '=3x ,y '=2y 得 x =x '3,y =y '2,代入直线方程, 得3×x '3-2×y '2+1=0,即x'-y'+1=0, 所以变换后的直线方程为x-y+1=0.3.(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,得曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ, 直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ 3ρsin θ-12=0. (2)由题意得|OA|=4cos θ,因为ρcos θ+ 3ρsin θ-12=0,所以|OB|=cos θ+3sin θ,所以|OA ||OB |=cos θ(cos θ+ 3sin θ)3=16+13sin(2θ+π6),因为θ∈(0,π2),所以2θ+π6∈(π6,7π6),所以sin(2θ+π6)∈(-12,1],所以|OA ||OB |的最大值为12,此时θ=π6.4.x-y-1=0 直接化简,两式相减消去参数t ,得x-y=1,整理得普通方程为x-y-1=0.5.(1)由题易知l 的普通方程为x-y-2=0,C 1的普通方程为x 2+y 2=1,所以C 1的圆心到直线l 的距离为d=2= 2>1,所以直线l 与曲线C 1相离.(2)易知曲线C 2: x =12cos θ,y = 32sin θ.设点P (12cos θ, 32sin θ),则点P 到直线l 的距离是d= |12cos θ- 32sin θ-2| 2=|sin (π6-θ)-2|2,所以当π6-θ=π2+2k π,k ∈Z,即θ=-π3-2k π,k ∈Z 时,d 取得最小值,最小值为 22.故点P 到直线l 的距离的最小值为 22.6.(1)由x=-2+2cosθ,y=2sinθ(θ为参数),得x+2=2cosθ,y=2sinθ(θ为参数),消参可得(x+2)2+y2=4①.故曲线C1是圆心为C1(-2,0),半径为r1=2的圆.由ρ=a sin θ,得ρ2=aρsin θ,则x2+y2=ay,即x2+(y-a2)2=a24,故曲线C2是圆心为C2(0,a2),半径为r2=a2的圆.易知曲线C2的周长为2π×a2=πa=4π,所以a=4.故曲线C2的方程为x2+y2=4y②.由①-②,得y=-x③,联立②③,解得x=0,y=0或x=-2,y=2,故曲线C1与C2的交点的平面直角坐标为(0,0),(-2,2).(2)由(1)可知,|AB|=(0+2)2+(0-2)2=2且直线AB的方程为x+y=0.则圆心C1(-2,0)到直线AB的距离d=2=2,所以点D到直线AB的距离的最大值为d+r1=2+2.所以△ABD面积的最大值为12×22×(2+2)=2+22.。
高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题（含详解）
高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题（含详解）数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A组]一、选择题x?1?2t1．若直线的参数方程为?(t为参数)，则直线的斜率为（）y?2?3t?A．C．2332B．? D．?2332x?sin2?(?为参数)上的点是（） 2．下列在曲线?y?cos??sin??A．(, B．(?2131,) C． D． 422x?2?sin?3．将参数方程?(?为参数)化为普通方程为（） 2y?sin?A．y?x?2 B．y?x?2 C．y?x?2(2?x?3) D．y?x?2(0?y?1) 4．化极坐标方程?2cos0为直角坐标方程为（）A．x2?y2?0或y?1 B．x?1 C．x2?y2?0或x?1 D．y?1 5．点M的直角坐标是(?，则点M的极坐标为（）A．(2,3) B．(2,?3) C．(2,2?3) D．(2,2k??3),(k?Z)6．极坐标方程?cos??2sin2?表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆 D．一个圆二、填空题 1．直线?x?3?4t?y?4?5t(t为参数)的斜率为______________________。
t?t??x?e?e2．参数方程?(t为参数)的普通方程为__________________。
t?ty?2(e?e)3．已知直线l1:?x?1?3t?y?2?4t(t为参数)与直线l2:2x?4y?5相交于点B，又点A(1,2)，则AB?_______________。
1?x?2?t??2224．直线?(t为参数)被圆x?y?4截得的弦长为______________。
y??1?1t??25．直线xcos??ysin??0的极坐标方程为____________________。
三、解答题1．已知点P(x,y)是圆x2?y2?2y上的动点，（1）求2x?y的取值范围；（2）若x?y?a?0恒成立，求实数a的取值范围。
2019版高考数学文精准备考一轮全国讲义：选修44 坐标系与参数方程 含答案 精品
选修4—4 坐标系与参数方程第1课坐标系[过双基]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).4．常见曲线的极坐标方程1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，－π3. 答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 2．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为________． 解析：把圆ρ＝2cos θ的方程化为(x －1)2＋y 2＝1知，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，从而得这两条切线的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2.答案：θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝23．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________．解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心为(1,2)，半径r ＝1.因为点P (1,0)到圆心的距离d ＝(1－1)2＋(0－2)2＝2>1，所以点P 在圆外，所以|AP |的最小值为d －r ＝2－1＝1.答案：14．(2017·天津高考)在极坐标系中，直线4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ 的公共点的个数为________．解析：依题意，得4ρ⎝⎛⎭⎫32cos θ＋12sin θ＋1＝0，即23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，所以直线的直角坐标方程为23x ＋2y ＋1＝0. 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， 即x 2＋(y －1)2＝1，其圆心(0,1)到直线23x ＋2y ＋1＝0的距离 d ＝|2×1＋1|(23)2＋22＝34<1，则直线与圆相交， 故直线与圆的公共点的个数是2.答案：25．在极坐标系中，过点A ⎝⎛⎭⎫1，－π2引圆ρ＝8sin θ的一条切线，则切线长为________． 解析：点A ⎝⎛⎭⎫1，－π2的极坐标化为直角坐标为A (0，－1)， 圆ρ＝8sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－8y ＝0， 圆的标准方程为x 2＋(y －4)2＝16， 点A 与圆心C (0,4)的距离为|AC |＝5， 所以切线长为|AC |2－r 2＝3. 答案：3[清易错]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一点的坐标． 1．若圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3－1＝0，若以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy ，则在直角坐标系中，圆心C 的直角坐标是________．解析：因为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3－1＝0，所以ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ－1＝0，即x 2＋y 2－2x －23y －1＝0，因此圆心坐标为(1，3)．答案：(1，3)2．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的极坐标为________． 解析：将方程 ρ＝5cos θ－53sin θ两边都乘以ρ得： ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0. 圆心的坐标为⎝⎛⎭⎫52，－532，化成极坐标为⎝⎛⎭⎫5，5π3. 答案：⎝⎛⎭⎫5，5π3(答案不唯一)平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] (1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得到的直线l ′的方程．[解] (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，－2， 于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求．(2)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝⎛⎭⎫13x ′，∴y ′＝x ′，即y ＝x 为所求． [方法技巧]伸缩变换的解题方法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)的作用下得到的方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．[即时演练]1．求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y 后的曲线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.2．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线 y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.极坐标与直角坐标的互化[典例] 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝22，直线与曲线C ：ρsin 2θ＝8cos θ相交于不同的两点A ，B ，求|AB |的值．[解] l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝22⇒22ρcos θ－22ρsin θ＝22⇒x －y －1＝0，C 的直角坐标方程是y 2＝8x .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x －y －1＝0，可得x 2－10x ＋1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝10，x 1x 2＝1， 所以AB 的长为1＋1·102－4＝8 3. [方法技巧]1．极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的非负半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标的注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．[即时演练]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1(0≤θ<2π)，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．极坐标方程的应用[典例] 已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．[解] (1)C 1：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32，C 2：ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)∵M (3，0)，N (0,1)， ∴P⎝⎛⎭⎫32，12，∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝⎛⎭⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝⎛⎭⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1. [方法技巧]曲线的极坐标方程的求解策略在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．[即时演练]在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)因为圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1， 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3. 设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2(sin θ2＋3cos θ2)＝33，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝3，θ2＝π3. 由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝2，即线段PQ 的长为2.1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.2．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.3．(2016·北京高考改编)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，求|AB |.解：∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0. ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2(sin 2θ＋cos 2θ)＝2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2x .∴圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. ∵圆心(1,0)在直线x －3y －1＝0上， ∴AB 为圆的直径，∴|AB |＝2.4．(2015·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值．解：圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ， 化为直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16， 直线 θ＝π3即tan θ＝3，化为直角坐标方程为3x －y ＝0， 圆心(0,4)到直线的距离为|－4|4＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.5．(2015·北京高考改编)在极坐标系中，求点⎝⎛⎭⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离． 解：点⎝⎛⎭⎫2，π3的直角坐标为()1，3， 直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0. 所以点(1，3)到直线的距离d ＝|1＋3×3－6|12＋(3)2＝22＝1.1．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0， 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5， 所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5， 所以圆心C 到直线的距离为 |1＋2＋a |2＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1. 故实数a 的值为－5或－1.2．在极坐标系中，求直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．解：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2， 即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ， 得4x 2－83x ＋12＝0， 即x 2－23x ＋3＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)， 化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6. 3．(2018·长春模拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 4．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 相交于异于原点的两点 A ，B ，求△AOB的面积．解：(1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ. (2)在极坐标系中，C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ， ∴由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π6，ρ＝4cos θ＋2sin θ，得|OA |＝23＋1，同理：|OB |＝2＋ 3. 又∵∠AOB ＝π6，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝8＋534，即△AOB 的面积为8＋534.5．在坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，直线l ：ρcos θ－π3＝32，C 与l 有且只有一个公共点．(1)求a 的值；(2)若原点O 为极点，A ，B 为曲线C 上两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．解：(1)由已知在直角坐标系中，C ：x 2＋y 2－2ax ＝0⇒(x －a )2＋y 2＝a 2(a >0)； l ：x ＋3y －3＝0.因为C 与l 只有一个公共点，所以l 与C 相切， 即|a －3|2＝a ，则a ＝1. (2)设A (ρ1，θ)，则B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π3， ∴|OA |＋|OB |＝ρ1＋ρ2＝2cos θ＋2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6. 所以，当θ＝－π6时，(|OA |＋|OB |)max ＝2 3.6．在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1：3x ＋y －4＝0，曲线C 2：x 2＋(y －1)2＝1，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若曲线C 3的极坐标方程为θ＝α⎝⎛⎭⎫ρ>0，0<α<π2，且曲线C 3分别交C 1，C 2于点A ，B ，求|OB ||OA |的最大值．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴C 1：3ρcos θ＋ρsin θ－4＝0，C 2：ρ＝2sin θ. (2)曲线C 3为θ＝α⎝⎛⎭⎫ρ>0，0<α<π2， 设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，ρ1＝43cos α＋sin α，ρ2＝2sin α，则|OB ||OA |＝ρ2ρ1＝14×2sin α(3cos α＋sin α) ＝142sin2α－π6＋1， ∴当α＝π3时，⎝⎛⎭⎫|OB | |OA |max＝34. 7．平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 23＋y 2＝1，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，射线OM 的极坐标方程为θ＝α0(ρ≥0)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线OM 平分曲线C 2，且与曲线C 1交于点A ，曲线C 1上的点满足∠AOB ＝π2，求|AB |.解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，曲线C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4. (2)曲线C 2是圆心为(3，1)，半径为2的圆， ∴射线OM 的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)，代入ρ2＝31＋2sin 2θ，可得ρ2A ＝2. 又∠AOB ＝π2，∴ρ2B＝65， ∴|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝ρ2A ＋ρ2B ＝455. 8．已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．解：(1)作出图形如图所示，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得， 4＋ρ2－4ρcos θ－π3＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3. (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，设M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点， 得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.第2课参数方程[过双基]1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．[小题速通]1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝－1－2t (t 为参数)与极坐标方程ρ＝sin θ所表示的图形分别是________．解析：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝－1－2t 消去参数t ，得2x －y －5＝0，对应图形为直线．由ρ＝sin θ，得ρ2＝ρsin θ，即x 2＋y 2＝y ， 即x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝14，对应图形为圆． 答案：直线、圆2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)与直线y ＝x ＋2的交点坐标为________． 解析：曲线的直角坐标方程为y ＝x 2.将其与直线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ＋2，∴x 2－x －2＝0，∴x ＝－1或x ＝2.由x ＝sin θ知，x ＝2不合题意．∴x ＝－1，y ＝1，∴交点坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)3．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为________． 解析：∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝9， ∴圆心(2，－1)到直线l 的距离 d ＝|2＋3＋2|1＋9＝710＝71010.又∵71010<3，141010>3，∴有2个点．答案：24．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)化为普通方程为________．解析：∵x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 21＋t 2＝4－3x .又x ＝2t 21＋t 2＝2(1＋t 2)－21＋t 2＝2－21＋t 2∈[0,2)， ∴x ∈[0,2)，∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))． 答案：3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))[清易错]1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，否则不等价． 2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.1．直线y ＝x －1上的点到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ上的点的最近距离是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋2，sin θ＝y －1，∴(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，∴圆心坐标为(－2,1)， 故圆心到直线x －y －1＝0的距离d ＝42＝22， ∴直线上的点到圆上的点的最近距离是d －r ＝22－1. 答案：22－12．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．解析：直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有 3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b 2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，所以b ＝±3a ，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝ba ，所以tan α＝±3，因此切线的倾斜角π3或2π3. 答案：π3或2π3参数方程与普通方程的互化[典例] 已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t ，(t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．[解] (1)椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l ：x －3y ＋9＝0.(2)设P (2cos θ，3sin θ)， 则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，点P 到直线l 的距离 d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝⎛⎭⎫－85，335.[方法技巧]将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解． [即时演练]将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k21＋k2(k 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)． 解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入x ＝3k1＋k 2，得x ＝3·y 2x 1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2， 化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]，故所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．参数方程[典例] 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋2t ，y ＝－4＋2t(t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N ，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．[解] 曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)，将直线l 的参数方程化为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ′，y ＝－4＋22t ′(t ′为参数)，代入曲线C 的方程得：12t ′2－(42＋2a )t ′＋16＋4a ＝0， 则Δ>0，即a >0或a <－4.设交点M ，N 对应的参数分别为t 1′，t 2′， 则t 1′＋t 2′＝2(42＋2a )，t 1′t 2′＝2(16＋4a )， 若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列， 则|t 1′－t 2′|2＝|t 1′t 2′|， 解得a ＝1或a ＝－4(舍去)， 所以满足条件的a ＝1. [方法技巧](1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)．当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [即时演练]已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为3π4，所以它的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos3π4，y ＝2＋t sin 3π4(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，把它代入抛物线的方程，得t 2＋2t －2＝0， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－2， 由参数t 的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝10， |MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.[典例] (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5. [方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[即时演练]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρ＝4cos θ1－cos 2θ，直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α.(α为参数，0≤α<π)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线与曲线C 交于两点A ，B ，且线段AB 的中点为M (2，2)，求α. 解：(1)曲线C ：ρ＝4cos θ1－cos 2θ，即ρsin 2θ＝4cos θ，于是有ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，化为直角坐标方程为y 2＝4x .(2)法一： 把x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α代入y 2＝4x ， 得(2＋t sin α)2＝4(2＋t cos α)， 即t 2sin 2α＋(4sin α－4cos α)t －4＝0.由AB 的中点为M (2,2)得t 1＋t 2＝0，有4sin α－4cos α＝0，所以k ＝tan α＝1. 由0≤α<π，得α＝π4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2⇒(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝4，∴k 1＝tan α＝y 1－y 2x 1－x 2＝1， 由0≤α<π，得α＝π4.1．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.2．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为 ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2， 将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以直线l 的斜率为153或－153. 法二：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为kx －y ＝0. 由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知， 圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得 |－6k |1＋k 2＝25－⎝⎛⎭⎫1022，即36k 21＋k 2＝904，整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即直线l 的斜率为±153. 3．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)， 其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 4．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆． 因为G 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.1．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离 d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45.当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值455.2．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)的距离的最小值． 解：(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M －2＋4cos θ，2＋32sin θ.曲线C 3为直线x －2y －7＝0， M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|，从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.3．在平面直角坐标系xOy 中，C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0.(1)说明C 2是哪种曲线，并将C 2的方程化为普通方程；(2)C 1与C 2有两个公共点A ，B ，点P 的极坐标⎝⎛⎭⎫2，π4，求线段AB 的长及定点P 到A ，B 两点的距离之积．解：(1)C 2是圆，C 2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0， 化为普通方程为x 2＋y 2－2x －3＝0，即(x －1)2＋y 2＝4. (2)点P 的直角坐标为(1,1)，且在直线C 1上，将C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)代入x 2＋y 2－2x －3＝0，得⎝⎛⎭⎫1－22t 2＋⎝⎛⎭⎫1＋22t 2－2⎝⎛⎭⎫1－22t －3＝0，化简得t 2＋2t －3＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－3， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝2＋12＝14，定点P 到A ，B 两点的距离之积|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝3.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－2t ，y ＝3－t(t 为参数)，定点P (1,1)．(1)以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；(2)已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||PA |－|PB ||的值． 解：(1)依题意得圆C 的一般方程为(x －1)2＋y 2＝4， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式得ρ2－2ρcos θ－3＝0， 所以圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－3＝0.(2)因为定点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧x ＝1－255t ，y ＝1－55t (t 为参数)．代入(x －1)2＋y 2＝4，得t 2－255t －3＝0. 设点A ，B 分别对应的参数为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝255，t 1t 2＝－3. 所以t 1，t 2异号，不妨设t 1>0，t 2<0， 所以|PA |＝t 1，|PB |＝－t 2， 所以||PA |－|PB ||＝|t 1＋t 2|＝255.5．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的32倍，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．解：(1)由已知得l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1解得l 与C 1的交点为A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，－32，则|AB |＝1.(2)由题意，得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)，故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12cos θ，32sin θ， 从而点P 到直线l 的距离是d ＝⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝342sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋2， 当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为23－64. 6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2θ.(1)直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程； (2)设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0， 曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3. (2)∵曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3， 即x 2＋y 23＝1，∴曲线C 上的点的坐标可表示为(cos α，3sin α)， ∴d ＝|cos α－3sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＋32＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＋32.∴d 的最小值为12＝22，d 的最大值为52＝522.∴22≤d ≤522，即d 的取值范围为⎣⎡⎦⎤22，522.7．平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m,0)，且倾斜角为π6，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝2x ，即ρ2＝2ρcos θ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0， 所以t 1t 2＝m 2－2m ， 由题意得|m 2－2m |＝1，解得m ＝1或m ＝1＋2或m ＝1－ 2.8．已知直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. (1)求圆心C 的直角坐标；(2)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 解：(1)∵ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22cos θ－22sin θ， ∴ρ2＝22ρcos θ－22ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＋22y ＝0， 即(x －2)2＋(y ＋2)2＝4， ∴圆心的直角坐标为(2，－2)．(2)直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为⎝⎛⎭⎫22t －22＋⎝⎛⎭⎫22t ＋42＋22－4 ＝t 2＋8t ＋48＝(t ＋4)2＋32≥42，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值为4 2.。
2019年高考数学一轮总复习选修4-4【坐标系与参数方程】课时精讲卷
2 2
7. 在极坐标系中，已知圆 A 的圆心为(4，0)，半径为 4，点 M 为圆 A 上异于极点 O 的动点，求弦 OM 中点的轨迹的极坐标方程． 解：由题意知，圆 A 的极坐标方程为ρ＝8cos θ， 设弦 OM 中点为 N(ρ，θ)，则 M(2ρ，θ)， 因为点 M 在圆 A 上，所以 2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ. 又点 M 异于极点 O，所以ρ≠0， 所以弦 OM 中点的轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≠0)． π 8. 在极坐标系中，设直线θ＝ 与曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0 相交于 A，B 两点，求线段 AB 中 3 点的极坐标． π 解：(解法 1)将直线θ＝ 化为普通方程，得 y＝ 3x， 3 将曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0 化为普通方程，得 x2＋y2－10x＋4＝0， 联立 y＝ 3x，
－4＝0.因为点 C 的直角坐标为
(2) 因为 A(4，0)，B(0，－4)，O(0，0)，所以过 O，A，B 三点的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋ 2)2＝8， 整理得 x2＋y2－4x＋4y＝0， 即极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋4ρsin θ＝0， 整理得ρ＝4cos θ－4sin θ. π π 3， －θ 3 6 ，圆心是直线ρsin 3 ＝ 与极轴的交点，求 2
(1) 求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程； (2) 当ρ≥0，0≤θ<2π时，求曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的极坐标． 解：(1) 曲线 C1：(x＋1)2＋y2＝2，极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－1＝0，曲线 C2 的直角坐标方 程为 y＝x－1. 3π 1， 2 . (2) 曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的坐标为(0，－1)，极坐标为 π 2 5. 在极坐标系中，求圆ρ －4ρsin θ－5＝0 截直线θ＝ (ρ∈R)所得线段长． 3 解：以极点 O 为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy.则圆ρ2－4ρsin θ－5＝0 化 π 为普通方程为 x2＋y2－4y－5＝0，即 x2＋(y－2)2＝9.直线θ＝ (ρ∈R)化为普通方程为 y＝ 3x，即 3 | 3×0－2| 2 3x－y＝0.圆心(0， 2)到直线 3x－y＝0 的距离为 d＝ ＝1， 于是所求线段长为 2 9－d ＝ 3＋1 4 2. π θ－ 4 ＋7＝ 6. (2017·金陵中学质检)在极坐标系中，已知圆 C 的极坐标方程为ρ －4 2ρcos
选修4-4坐标系与参数方程高考真题汇总
坐标系与参数方程姓名： 班级：（2020全国Ⅰ）22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标。
（2020全国Ⅱ）22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,(4sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩：为参数），21,(1x t t C t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩：为参数）， （1） 将12,C C 的参数方程化为普通方程：（2） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.（2020全国Ⅲ）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．（2019全国Ⅱ）22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.（2019全国Ⅲ）22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =P 的极坐标.2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos 3sin 110ρθρθ+=在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.（2018全国Ⅱ）22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．（2018全国Ⅲ）22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ(0，αl O ⊙A B ，αAB P（2017全国Ⅰ）22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.（2017全国Ⅱ）22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．（2017全国Ⅲ）22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．。
2019年高考数学一轮复习(文理通用) 选修4-4 坐标系与参数方程 考案14
考案[14]选修4－4 综合过关限时检测(时间：45分钟 满分100分)一、选择题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知直线l的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋32t (t 为参数)，则其直角坐标方程为导学号 58535518( B )A ．3x ＋y ＋2－3＝0B ．3x －y ＋2－3＝0C ．x －3y ＋2－3＝0D ．x ＋3y ＋2－3＝0[解析] ∵⎩⎨⎧x －1＝t 2，y －2＝32t ，∴y －2＝3(x －1)．即3x －y ＋2－3＝0.2．(2018·山西省太原市高三上学期期中数学试题)在极坐标系中，点(1,0)与点(2，π)的距离为导学号 58535519( B )A ．1B ．3C ．1＋π2D ．9＋π2[解析] 点(1,0)与点(2，π)分别化为直角坐标：P (1,0)，Q (－2,0)，即可求出点(1,0)与点(2，π)的距离解：点(1,0)与点(2，π)分别化为直角坐标：P (1,0)，Q (－2,0)． ∴点(1,0)与点(2，π)的距离为3.故选B ．3．(2018·宁夏固原一中高三上学期第一次月考数学试题)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)和极坐标方程ρ＝－6cos θ所表示的图形分别是导学号 58535520( D )A ．圆和直线B ．直线和直线C ．椭圆和直线D ．椭圆和圆[解析] 将极坐标方程、参数方程化为普通方程，再去判断即可．解：极坐标ρ＝－6cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－6ρcos θ， 化为普通方程为x 2＋y 2＝－6x ，即(x ＋3)2＋y 2＝9. 表示以C (－3,0)为圆心，半径为3的圆．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，利用同角三角函数关系消去θ，化为普通方程为x 24＋y 2＝1，表示椭圆．故选D ．[点拨] 本题考查了极坐标方程、普通方程以及转化，曲线的普通方程．属于基础题．4．(2018·北京西城期末)已知M 为曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)上的动点，设O 为原点，则|OM |的最大值为导学号 58535536( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由题意知|OM |＝x 2＋y 2＝(3＋cos θ)2＋sin 2θ＝10＋6cos θ≤4(θ＝2k π(k ∈Z )时取等号)，故选D ．5．(2018·宁夏固原一中高三上学期第一次月考数学试题)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t ＋1(t 为参数)，圆C ：ρ＝2cos θ，则圆心C 到直线l 的距离是导学号 58535521( C )A ．2B ． 3C ． 2D ．1[解析] 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t ＋1(t 为参数)的普通方程为x －y ＋1＝0，圆C ：ρ＝2cos θ的普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，由此能求出圆心C 到直线l 的距离．解：直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t ＋1(t 为参数)的普通方程为：y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0，∵圆C ：ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x ＝0， ∴圆C 的圆心C (1,0)，∴圆心C 到直线l 的距离是d ＝|1－0＋1|1＋1＝2，故选C ．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上)6．(2017·北京西城模拟)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝1＋sin θ(θ为参数)与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，则|AB |＝__2__.导学号 58535537[解析] 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝1＋sin θ(θ为参数)的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝0，即直线过圆心，∴|AB |＝2.7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρsin(θ＋π3)＝1，则两曲线交点间的距离是导学号 58535522[解析] 由线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t，平方相减可得y 2－x 2＝4.曲线C 2的极坐标方程是ρsin(θ＋π3)＝1，∴ρ(12sin θ＋32cos θ)＝1.∴y ＋3x ＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3x ＝2，y 2－x 2＝4，消去y ，得x 2－23x ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝－4，则两曲线交点间的距离为12＋62＝4 3.8．(2018·湖北稳派名校模拟)在极坐标中，圆C 1的方程为ρ＝－22cos(θ－π4)，以极点为坐标原点，原轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋m cos θ，y ＝2＋m sin θ(θ为参数，m ≠0)，若圆C 1与C 2外切，则实数m 的值为__.导学号 58535523[解析] 圆C 1的方程可化为ρ＝－2cos θ－2sin θ，化简得ρ2＝－2ρcos θ－2ρsin θ，故其普通方程为x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0，即(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2， 其圆心C 1(－1，－1)，半径r 1＝2； 圆C 2的普通方程是(x －2)2＋(y －2)2＝m 2， 所以圆心C 2(2,2)，r 2＝|m |.因为两圆外切， 所以|m |＋2＝|C 1C 2|＝(2＋1)2＋(2＋1)2＝32，所以m ＝±2 2.三、解答题(本大题共3个小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 9．(本小题满分20分)(2018·黄冈模拟)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线C 1的方程为ρsin(θ－π6)＋23＝0，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ.导学号 58535524 (1)将C 1的方程化为直角坐标方程；(2)若点Q 为C 2上的动点，P 为C 1上的动点，求|PQ |的最小值． [解析] (1)由已知得ρ·32sin θ－ρ·12cos θ＋23＝0，即x －3y －43＝0. (2)由曲线C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ可得x 2＋y 2＝1， ∴圆心为C 2(0,0)，半径为1.又圆心到直线C 1的距离为d ＝23， ∴|PQ |的最小值为23－1.10．(本小题满分20分)(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.导学号 58535525(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．[解析] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 11．(本小题满分20分)(2018·山西省太原市高三上学期期中数学试题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ＋cos θ.导学号 58535526(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；(2)已知点P ，Q 分别是线C 1，C 2的动点，求|PQ |的最小值．[解析] (1)根据同角三角函数关系式，消去参数，可得C 1直角坐标方程．利用ρsin θ＝y ，ρcos θ＝x 化简可得C 2的直角坐标方程；(2)设P 的坐标(3cos α，sin α)，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界限，求解|PQ |的最小值．解：(1)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，可得：x3＝cos α，sin α＝y ， 则x 23＋y 2＝1，故得C 1直角坐标方程x 23＋y 2＝1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ＋cos θ.则ρsin θ＋ρcos θ＝4 ∵ρsin θ＝y ，ρcos θ＝x ， ∴x ＋y ＝4.故得C 2的直角坐标方程为：x ＋y －4＝0.(2)设P (3cos α，sin α)，d ＝|3cos α＋sin α－4|2＝|2sin (α＋π3)－4|2，d min ＝22＝ 2.即|PQ |的最小值为 2.。
2019年高考数学(理)一轮复习精品课时练习：选修4-4 坐标系与参数方程 Word版含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品课时练习选修4－4坐标系与参数方程第一节 坐 标 系本节主要包括2个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；极坐标系.突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换[基本知识]设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[基本能力]1．判断题(1)平面直角坐标系中点P (－2,3)在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y的作用下得到的点为P ′(－1,1)．( )(2)已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝－12y ，经φ变换得到点A ′(2,4)，则原来点的坐标为A (4，－2)．( )答案：(1)√ (2)× 2．填空题(1)直线l ：x －2y ＋3＝0经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝2y 变换后得到的直线l ′方程为________________．解析：设l ′上的任一点P (x ′，y ′)由题得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝12y ′，代入x －2y ＋3＝0得x ′－y ′＋3＝0，直线l ′的方程为x －y ＋3＝0.答案：x －y ＋3＝0(2)已知平面直角坐标系中点A (－2,4)经过φ变换后得A ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，2，则伸缩变换φ为________．解析：设伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12＝－2λ，2＝4μ，解得⎩⎨⎧λ＝14，μ＝12.∴φ：⎩⎨⎧x ′＝14x ，y ′＝12y .答案：φ：⎩⎨⎧x ′＝14x ，y ′＝12y[全析考法][典例] 求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标．[解] 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 则所求焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．[方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P 的坐标(x ，y )与变换后的点P ′的坐标(x ′，y ′)，再利用伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)建立联系． (2)已知变换后的曲线方程f (x ，y )＝0，一般都要改写为方程f (x ′，y ′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．[全练题点]1．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得到的直线l ′的方程．解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝⎛⎭⎫13x ′，所以y ′＝x ′，即直线l ′的方程为y ＝x .2．在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入第二个方程，得2λx －μy ＝4，与x －2y ＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ，y ′＝4y .因此，经过变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y后，直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4.3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36， 即x ′29＋y ′24＝1.所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．突破点(二) 极坐标系[基本知识]1．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化[基本能力]1．判断题(1)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ.( ) (2)tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线．( )(3)点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为⎝⎛⎭⎫2，3π4.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2.填空题(1)点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，－π3. 答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 (2)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ在点M (2,0)处的切线的极坐标方程为________． 解析：如图，∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x .由图象可知圆在点M (2,0)处的切线的直角坐标方程为x ＝2，即ρcos θ＝2.答案：ρcos θ＝2(3)在极坐标系中A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3两点间的距离为________． 解析：法一：在极坐标系中，A ，B 两点如图所示，|AB |＝|OA |＋|OB |＝6.法二：A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3的直角坐标为A (1，－3)，B (－2,23)． ∴|AB |＝(－2－1)2＋(23＋3)2＝36＝6.答案：6(4)圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的极坐标为________． 解析：将方程 ρ＝5cos θ－53sin θ两边都乘以ρ得： ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0. 圆心的坐标为⎝⎛⎭⎫52，－532，化成极坐标为⎝⎛⎭⎫5，5π3. 答案：⎝⎛⎭⎫5，5π3(答案不唯一) (5)在极坐标系中，直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 解析：直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得2r 2－d 2＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝4 3.答案：4 3[全析考法]1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x ，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x ，y )对应的极坐标的一般步骤：[例1] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. [方法技巧]1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的正半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．极坐标方程的应用[例2] (2018·安徽合肥模拟)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求出圆C 的直角坐标方程；(2)已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )(m ≠0)对称的直线为l ′.若直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°，求实数m 的最大值．[解] (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0，故圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.(2)l ：y ＝2x 关于点M (0，m )对称的直线l ′的方程为y ＝2x ＋2m ，而AB 为圆C 的直径，故直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°的充要条件是直线l ′与圆C 有公共点，故|4＋2m |5≤2，解得－2－5≤m ≤5－2，于是，实数m 的最大值为5－2.[易错提醒]用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．[全练题点]1.[考点一、二]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． 解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝2，由坐标变换公式，得直线l 的直角坐标方程为y ＋x ＝1，即x ＋y －1＝0.由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以点A 到直线l 的距离d ＝|2－2－1|2＝22.2.[考点二]在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2.(1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 2上的点到直线C 3：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2的距离的最大值． 解：(1)设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4. 消去ρ1，得曲线C 2 的极坐标方程为ρ＝2sin θ(ρ≠0)．(2)将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2.C 2是以点(0,1)为圆心，以1为半径的圆(坐标原点除外)．圆心到直线C 3的距离d ＝322，故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.2．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2， 则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.[课时达标检测] 1．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.2．设M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，求M ，N 的最小距离．解：因为M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，即M ，N 分别是圆x 2＋y 2＋2y ＝0和直线x ＋y －1＝0上的动点，要求M ，N 两点间的最小距离，即在直线x ＋y －1＝0上找一点到圆x 2＋y 2＋2y ＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x ＋y －1＝0的距离减去半径，故最小值为|0－1－1|2－1＝2－1.3．(2018·扬州质检)求经过极点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫6，π2，B ⎝⎛⎭⎫62，9π4三点的圆的极坐标方程． 解：点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3)，半径为32， 圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18， 即x 2＋y 2－6x －6y ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程， 得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0， 即ρ＝62cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 4．(2018·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解：(1)曲线C ：ρ2＝31＋2sin 2θ，即ρ2＋2ρ2sin 2θ＝3，从而ρ2cos 2θ3＋ρ2sin 2θ＝1.∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，当θ＝π6时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4， 此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.5．(2018·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ， 即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋22k 2＝k 2， 所以圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ，－22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，所以⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，22. 6．已知曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ－8cos θ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l 过点(2,0)．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)设点Q 和点G 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，3π2，(2，π)，若直线l 经过点Q ，且与曲线C 相交于A ，B 两点，求△GAB 的面积．解：(1)曲线C 的极坐标方程化为ρ2sin 2θ－8ρcos θ＝0，再化为直角坐标方程为y 2＝8x .直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．(2)点Q ⎝⎛⎭⎫2，3π2的直角坐标为(0，－2)． 因为直线l 过点P (2,0)和Q (0，－2)， 所以直线l 的倾斜角α＝π4.所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎫22t 2＝8⎝⎛⎭⎫2＋22t .整理，得t 2－82t－32＝0.Δ＝(－82)2＋4×32＝256>0.设t 1，t 2为方程t 2－82t －32＝0的两个根， 则t 1＋t 2＝82，t 1·t 2＝－32， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝256＝16.由极坐标与直角坐标互化公式得点G 的直角坐标为(－2,0)． 点G 到直线l 的距离为d ＝|PG |sin 45°＝4×22＝22， 所以S △GAB ＝12×d ×|AB |＝12×16×22＝16 2.7．(2018·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3. (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点， 得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)， ∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.8．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a 为半径)， 将D ⎝⎛⎭⎫2，π3 代入，得2＝2a ×12， ∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ.∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0.∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.第二节 参数方程本节主要包括2个知识点： 1.参数方程； 2.参数方程与极坐标方程的综合问题.突破点(一) 参数方程[基本知识]1．参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．[基本能力]1．判断题(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形是直线．( )(2)直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为1.( )答案：(1)√ (2)× 2．填空题(1)若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．解析：∵y －2x －1＝－3t 2t＝－32，∴tan α＝－32.答案：－32(2)椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |min ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)得，x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值．∴|AB |min＝2×95＝185.答案：185(3)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ－1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ－1(θ为参数)消去参数θ得y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)．答案：y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)(4)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)的离心率为________．解析：由椭圆的参数方程可知a ＝5，b ＝2.故c ＝52－22＝21，故椭圆的离心率e ＝ca＝215. 答案：215[全析考法]1．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值；(2)解题的一般步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；第二步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ));第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝ψ(t ))，问题得解．[例1] 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． [解] (1)∵⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1，∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t ，∴x ≠0.当t ≥1时，0<x ≤1，当t ≤－1时，－1≤x <0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎨⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2，∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0.∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3， ∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． [易错提醒](1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x ，y 的取值范围，保证消参前后方程的一致性．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x ，y 的取值范围的影响．直线与圆锥曲线的参数方程及应用1．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下： (1)把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； (2)根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1＋t 2，t 1·t 2，得到|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2.[例2] (2018·石家庄质量检测)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．[解] (1)l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得l 与C 1的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32，所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫0＋322＝1.(2)C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)，故点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫12cos θ，32sin θ，从而点P 到直线l 的距离d ＝|32cos θ－32sin θ－32 ＝34⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋2， 由此当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为64()2－1.[方法技巧]求解直线与圆锥曲线参数方程问题的方法(1)解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)的直线的参数方程，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．[全练题点]1.[考点二](2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程． 得⎝⎛⎭⎫3－22t 2＋⎝⎛⎭⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.2.[考点一、二](2018·郑州模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x22＋y 2＝1，对曲线C 1，令y ＝0，得x ＝1，所以l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋3t 2，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35.突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：,(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.,(2)应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.,(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.,(4)参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x ，y 的取值范围，即注意两者的等价性.[全析考法]参数方程与极坐标方程的综合问题[典例] (2018·广东五校协作体联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到曲线C 2上点的距离的最小值．[解] (1)由曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α得曲线C 1的普通方程为x 22＋y 2＝1.由曲线C 2：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42得22ρ(sin θ＋cos θ)＝42， 即曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －8＝0. (2)由(1)知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点P (2cos α，sin α)到直线x ＋y －8＝0的距离为 d ＝|2cos α＋sin α－8|2＝|3sin (α＋φ)－8|2，所以当sin(α＋φ)＝1时，d 取得最小值82－62.[方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[全练题点]1．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ， (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 2．(2018·南昌十校模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数，π≤α≤2π)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22t . (1)求C 2的直角坐标方程；(2)当C 1与C 2有两个公共点时，求实数t 的取值范围． 解：(1)∵曲线C 2的极坐标方程为ρ⎝⎛⎭⎫22cos θ＋22sin θ＝22t ，∴曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －t ＝0.(2)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1(0≤x ≤2,0≤y ≤1)，为半圆弧， 如图所示，曲线C 2为平行于直线x ＋y ＝0的直线，或为直线x ＋y ＝0，当直线C 2与曲线C 1相切时，由|1＋1－t |2＝1，解得t ＝2－2或t ＝2＋2(舍去)， 当直线C 2过A ，B 两点时，t ＝1，由图可知，当2－2<t ≤1时，曲线C 2与直线C 1有两个公共点.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917 .由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.2．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.3．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以直线l 的斜率为153或－153. 4．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)． 因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.[课时达标检测]1．(2018·河南息县第一高级中学段测)已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)．(1)求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －m )2＝1.由x ＝1＋55t ，得55t ＝x －1，代入y ＝4＋255t ，得y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为2x －y ＋2＝0.(2)圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝⎛⎭⎫2552＝1，解得m ＝3或m ＝1.2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值． 解：(1)O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过点O ，A ，B 的圆的普通方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (2)圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)对应的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心为(－1，－1)，半径为|a |，而圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝(－1－1)2＋(－1－1)2，解得a ＝±2.3．(2018·湖北宜昌模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．解：(1)将C 的参数方程化为普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1，极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.直线l ：y ＝x 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)．(2)圆心到直线的距离d ＝|－1＋2|2＝22，∴|MN |＝21－12＝2， ∴△CMN 的面积S ＝12×2×22＝12.4．(2018·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解：(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516.由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0， 故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.5．(2018·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy 中，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k (t －1)(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.。
2019年高考理科数学一轮复习精品练习含答案第二十六单元 选修4-4 坐标系与参数方程(选用) A卷
19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线 的方程为 ．以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）写出曲线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，求 的最大值．
由 ，解得 或 ，所以 ， ，
从而以 为直径的圆的直角坐标方程为 ，
即 ．将其化为极坐标方程为： ，
即 ，故选A．
12．【答案】C
【解析】 所以 ，故选C．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】直线一般方程为 ，利用点到直线距离公式 ，填 ．
7．点 的直线坐标为 ，则它的极坐标可以是（）
A． B． C． D．
8．圆半径是1，圆心的极坐标是 ，则这个圆的极坐标方程是（）
A． B． C． D．
9．若曲线 （ 为参数）与曲线 相交于 ， 两点，则 的值为（）
A． B． C． D．
10．已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），则该曲线离心率为（）
13．在直角坐标系中，点 到直线 （ 为参数）的距离是__________．
14．极坐标方程 化为直角坐标方程是_______
15．在极坐标系中，直线 与圆 相切，则 __________．
16．点 在椭圆 上，求点 到直线 的最大距离是_______________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
第二十六单元选修4-4坐标系与参数方程
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
2019年高考数学一轮复习坐标系与参数方程课时训练选修4
的距离为 |3 －
3－ 4| ＝ 2
2＋ 2
6 .
4. 已知点 P( －1＋
C1 ，以坐标原点为极点，
1
2cos
θ
＋
π 4
上．
2cos α ， 2sin α )( 其中 α ∈[0 ， 2π )) ，点 P 的轨迹记为曲线
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点
Q 在曲线 C2 ： ρ ＝
(1) 求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程； (2) 当 ρ ≥0， 0≤ θ <2π时，求曲线 C1 与曲线 C2 的公共点的极坐标．
| 3×0－ 2|
方程为 y＝ 3x，即 3x－y＝ 0. 圆心 (0 ，2) 到直线 3x－ y＝ 0 的距离为 d＝
＝ 1，
3＋ 1
于是所求线段长为 2 9－ d2＝ 4 2.
6. (2017 ·金陵中学质检 ) 在极坐标系中，已知圆
C 的极坐标方程为 ρ 2－ 4 2 ρ
π cos θ － 4 ＋ 7＝ 0，直线 l 的极坐标方程为 3ρcos θ －4ρ sin θ ＋ a＝ 0. 若直线 l 与圆 C
最新中小学教案、试题、试卷
1. (1)
选修 4-4 坐标系与参数方程
第 1 课时 坐 标 系 14 将点 M的极坐标 4， 3 π 化成直角坐标；
(2) 将点 N 的直角坐标 (4 ，－ 4 3) 化成极坐标 ( ρ ≥0， 0≤ θ <2π ) ．
14
2π
1
14
2π
解： (1) ∵ x ＝ 4cos 3 π ＝ 4cos 3 ＝4× － 2 ＝－ 2， y＝ 4sin 3 π ＝ 4sin 3 ＝
2 3，∴ 点 M的直角坐标是 ( － 2， 2 3) ．
2019版高考数学一轮复习训练 坐标系与参数方程课时训练 选修4-4
选修坐标系与参数方程第课时坐标系. () 将点的极坐标化成直角坐标；() 将点的直角坐标(，－)化成极坐标(ρ≥，≤θ<π)．解：() ∵ ＝π＝＝×＝－，＝π＝＝，∴点的直角坐标是(－，)．() ∵ ρ＝＝，θ＝＝－，θ∈[，π)，又点(，－)在第四象限，∴θ＝，∴点的极坐标为.. 已知圆的极坐标方程为ρ＋ρ－＝，求圆心的极坐标．解：以极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.∵圆的极坐标方程为ρ＋ρθ－ρθ－＝，∴圆的直角坐标方程为＋－＋－＝，即(－)＋(＋)＝.∴圆心的直角坐标为(，－)，则其极坐标为.. (·省扬中等七校联考)在极坐标系中，已知点，直线：ρ＝，求点到直线的距离．解：点的直角坐标为(, ), 直线的普通方程为－－＝, 从而点到直线的距离为＝.. 已知点(－＋α，α)(其中α∈[，π))，点的轨迹记为曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点在曲线：ρ＝上．() 求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；() 当ρ≥，≤θ<π时，求曲线与曲线的公共点的极坐标．解：() 曲线：(＋)＋＝，极坐标方程为ρ＋ρθ－＝，曲线的直角坐标方程为＝－.() 曲线与曲线的公共点的坐标为(，－)，极坐标为.. 在极坐标系中，求圆ρ－ρθ－＝截直线θ＝(ρ∈)所得线段长．解：以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.则圆ρ－ρθ－＝化为普通方程为＋－－＝，即＋(－)＝.直线θ＝(ρ∈)化为普通方程为＝，即－＝.圆心(，)到直线－＝的距离为＝＝，于是所求线段长为＝. . (·金陵中学质检)在极坐标系中，已知圆的极坐标方程为ρ－ρ＋＝，直线的极坐标方程为ρθ－ρθ＋＝.若直线与圆相切，求实数的值．解：圆和直线的直角坐标方程分别为(－)＋(－)＝，－＋＝.因为圆与直线相切，所以＝＝，解得＝－或＝.. 在极坐标系中，已知圆的圆心为(，)，半径为，点为圆上异于极点的动点，求弦中点的轨迹的极坐标方程．解：由题意知，圆的极坐标方程为ρ＝θ，设弦中点为(ρ，θ)，则(ρ，θ)，因为点在圆上，所以ρ＝θ，即ρ＝θ.又点异于极点，所以ρ≠，所以弦中点的轨迹的极坐标方程为ρ＝θ(ρ≠)．. 在极坐标系中，设直线θ＝与曲线ρ－ρθ＋＝相交于，两点，求线段中点的极坐标．解：(解法)将直线θ＝化为普通方程，得＝，将曲线ρ－ρθ＋＝化为普通方程，得＋－＋＝，联立并消去，得－＋＝，解得＝，＝，所以中点的横坐标为＝，纵坐标为，化为极坐标为.(解法)联立直线与曲线的方程，得θ＋＝，))消去θ，得ρ－ρ＋＝，解得ρ＝，ρ＝，所以线段中点的极坐标为，即.(注：将线段中点的极坐标写成(∈)亦可). 在极坐标系中，已知三点(，)，，.() 若，，三点共线，求ρ的值；() 求过(坐标原点)，，三点的圆的极坐标方程．解：() 由题意知点，的直角坐标分别为(，)，(，－)，所以直线的方程是－－＝.因为点的直角坐标为，所以－－＝，所以ρ＝(＋)．() 因为(，)，(，－)，(，)，所以过，，三点的圆的标准方程为(－)＋(＋)＝，整理得＋－＋＝，即极坐标方程为ρ－ρθ＋ρθ＝，整理得ρ＝θ－θ. . 在极坐标系中，设圆经过点，圆心是直线ρ＝与极轴的交点，求圆的极坐标方程．解：因为圆心为直线ρ＝与极轴的交点，所以令θ＝，得ρ＝，即圆心是(，)．又圆经过点，所以圆的半径＝(π))＝，所以圆过原点，所以圆的极坐标方程是ρ＝θ. . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为φ，＝φ))(＞＞，φ为参数)，且曲线上的点(，)对应的参数φ＝.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．() 求曲线的普通方程；() 若(ρ，θ)，是曲线上的两点，求)＋)的值．解：() 将(，)及对应的参数φ＝代入φ，＝φ))(>>，φ为参数)，得(π)，,()＝ (π)，))所以所以曲线的普通方程为＋＝.解：() 将(，)及对应的参数φ＝代入φ，＝φ))(>>，φ为参数)，得(π)，,()＝ (π)，))所以所以曲线的普通方程为＋＝.() 曲线的极坐标方程为＋＝，将(ρ，θ)，代入得θ)＋θ)＝，θ)＋θ)＝，所以)＋)＝.第课时参数方程. 已知在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ－ρθ＋＝.点在直线上，点在曲线上，求的取值范围．解：直线的普通方程为－＋＝；曲线的直角坐标方程为(－)＋＝，曲线是圆心为(，)，半径为的圆．圆心到直线的距离＝＝，第课时参数方程. 已知在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ－ρθ＋＝.点在直线上，点在曲线上，求的取值范围．解：直线的普通方程为－＋＝；曲线的直角坐标方程为(－)＋＝，曲线是圆心为(，)，半径为的圆．圆心到直线的距离＝＝，所以的取值范围是.. 已知直线的参数方程为曲线的极坐标方程为ρ＝θ，试判断直线与曲线的位置关系．解：直线的普通方程为－－＝；曲线的直角坐标方程为＋(－)＝，它表示圆．由圆心到直线的距离＝＝＜，得直线与曲线相交．. 在平面直角坐标系中，求过椭圆φ，＝φ))(φ为参数)的右焦点，且与直线(为参数)平行的直线的普通方程．解：由题意知，椭圆的长半轴长为＝，短半轴长为＝，从而＝，所以右焦点为(，)．将已知直线的参数方程化为普通方程得－＋＝，故所求的直线的斜率为，因此所求的直线方程为＝(－)，即－－＝. . 在平面直角坐标系中，已知直线：(为参数)与椭圆：θ，＝θ))(θ为参数，＞)的一条准线的交点位于轴上，求实数的值．解：直线：＋＝，椭圆：＋＝(＜＜)，准线：＝±.由＝，得＝.. 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程是(为参数)，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是ρ＝，求曲线与的交点在直角坐标系中的直角坐标．。
2019年高考文科数学一轮单元卷：第二十三单元选修4-4坐标系与参数方程(选用)A卷(含答案)
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ） 第二十三单元 选修4-4 坐标系与参数方程注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线113x ty t =+=-+⎧⎪⎨⎪⎩的斜率为（ ）A ．1B ．1-C 3D ．32．点A 的极坐标为5π2,6⎛⎫⎪⎝⎭,则A 的直角坐标为（ ）A ．()1,3-B ．()1,3-C ．()3,1-D ．()3,1-3．在极坐标系中，方程sin ρθ=表示的曲线是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线4．参数方程()sin cos222sin x y αααα⎧=+⎪⎨⎪=+⎩为参数的普通方程为（ ） A ．221y x -=B ．221x y -=C ．(2212y x x -=D ．()2212x y x -=≤5．点M 的直角坐标是()3-，则点M 的极坐标为（ ）A ．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()π2,2π3k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z6．与极坐标2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示的不是同一点的极坐标是（ ）A ．72,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．132,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭7．点P 的直线坐标为()3,1-，则它的极坐标可以是（ ）A ．26π⎛⎫⎪⎝⎭，B ．26π⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．526π⎛⎫⎪⎝⎭，D ．526π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 8．圆半径是1，圆心的极坐标是()1,π，则这个圆的极坐标方程是（ ） A ．cos ρα=-B ．sin ρα=C ．2cos ρα=-D ．2sin ρα=9．若曲线21x ty t =-=-+⎧⎨⎩（t 为参数）与曲线22ρ=B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A 30B 15C 30D 6010．已知曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数），则该曲线离心率为（ ）A 3B ．34C 2D ．12 11．在极坐标系中，设圆:4cos C ρθ=与直线():4l θρπ=∈R 交于A ，B 两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ）A ．22sin 4ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．22sin 4ρθπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．22cos 4ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．22cos 4ρθπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线:2cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是（ ） A ．k ∈R B ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．在直角坐标系中，点()21-，到直线2:x tl y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数）的距离是__________．14．极坐标方程()cos sin 10ρθθ+-=化为直角坐标方程是_______15．在极坐标系中，直线()cos sin 0a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________． 16．点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离是_______________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）在极坐标系下，已知曲线1C ：cos sin ρθθ+＝和曲线2C ：(sin )242ρθπ-＝．（1）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）当()0θ∈π，时，求曲线1C 和曲线2C 公共点的一个极坐标．18．（12分）已知曲线1C 的极坐标方程是1ρ=，在以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线1C 所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线2C ． （1）求曲线2C 的参数方程； （2）直线l 过点()1,0M ，倾斜角为4π，与曲线2C 交于A 、B 两点，求MA MB ⋅的值．19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线1C 的方程为2219x y +=．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=． （1）写出曲线1C 的参数方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最大值．20．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 的普通方程；（2）极坐标方程为2sin 333ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的直线l 与1C 交P ，Q 两点，求线段PQ 的长．21．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22221x y =-=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2232cos 1ρθ=+． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求MON △的面积．22．（12分）在直角坐标系xOy 中．直线1C ：2x ＝-，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4θρπ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ） 第二十三单元 选修4-4 坐标系与参数方程一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】由113x t y t=+=-+⎧⎪⎨⎪⎩，可得331y x =-，斜率3k =C ．2．【答案】D【解析】设点(),A x y ，根据直角坐标与极坐标之间的互化公式， 可得52cos36x π==-，52sin 16y π==，即点A 的坐标为()3,1-，故选D ． 3．【答案】B【解析】方程sin ρθ=，可化简为：2sin ρρθ=，即22x y y +=． 整理得2211y 24x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，表示圆心为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为12的圆．故选B ．4．【答案】C【解析】由题意可知：21sin x α=+，2222sin 1y y x α=+⇒-=，且2sin 3y α⎡=+⎣，据此可得普通方程为(2212y x x -=．故选C ．5．【答案】C【解析】由于222x y ρ=+，得24ρ=，2ρ=，由cos x ρθ=，得1cos 2θ=-，结合点在第二象限，可得23θπ=，则点M 的坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，故选C ．6．【答案】B【解析】点2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭在直角坐标系中表示点()3,1-，而点72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭在直角坐标系中表示点()3,1-，所以点2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭和点72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示不同的点，故选B ．7．【答案】C 【解析】()22312ρ=-+=，3tan θ= 因为点在第二象限，故取526k θπ=π+，k ∈Z ，故选C ． 8．【答案】C【解析】极坐标方程化为直角坐标方程可得圆心坐标为：()1,0-， 则圆的标准方程为：()2211x y ++=，即2220x y x ++=，化为极坐标方程即：22cos 0ρρθ+=，整理可得：2cos ρα=-．故选C ． 9．【答案】C【解析】曲线21x t y t =-=-+⎧⎨⎩的普通方程为10x y +-=，曲线22ρ=228x y +=，圆心O 到直线的距离为22d =又22r =，∴()222222302BC ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，故选C ． 10．【答案】A【解析】由题得曲线C 的普通方程为221164x y +=，所以曲线C 是椭圆，4a =，23c =．所以椭圆的离心率为233e ==．故选A ． 11．【答案】A【解析】以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程2240x y x +-=，直线的直角坐标方程y x =． 由2240x y x y x +-==⎧⎨⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩，所以()00A ，，()22B ，， 从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为()()22112x y -+-=，即2222x y x y +=+．将其化为极坐标方程为：()22cos sin 0ρρθθ-+=，即()2cos sin 22sin 4ρθθθπ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故选A ．12．【答案】C【解析】()2222:2cos 211C x y x x y ρθ=⇒+=⇒-+=所以223141k k k +<⇒<-+，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．2【解析】直线一般方程为20x y +-=，利用点到直线距离公式122d -==，填22． 14．【答案】10x y +-=【解析】极坐标方程即：()cos sin 10ρθθ+-=，则直角坐标方程是10x y +-=．15．【答案】12+【解析】圆2cos ρθ=，转化成22cos ρρθ=，用222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，转化成直角坐标方程为()2211x y -+=， 把直线()cos sin a ρθθ+=的方程转化成直角坐标方程为0x y a +-=， 由于直线和圆相切，∴利用圆心到直线的距离等于半径， 112a -=，解得12a =0a >，则负值舍去，故12a =12+16．【答案】()12225+ 【解析】设点P 的坐标为()4cos 3sin θθ，， 则点P 到直线3424x y -=的()22122cos 2412cos 12sin 244534d θθθ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭=+π=-， 由1cos 14θπ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴当cos 14θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取得最大值为()max 12225d =+，故答案为()12225+． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）1C ：220x y x y +--＝，2C ：10x y -+＝；（2）1,2π⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】（1）圆O ：cos sin ρθθ+＝，即2cos sin ρρθρθ+＝， 曲线1C 的直角坐标方程为：22x y x y ++＝，即220x y x y --＋＝， 曲线2C ：2sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 1ρθρθ-＝，则曲线2C 的直角坐标方程为：1y x -＝，即10x y -+＝． （2）由22010x y x y x y ⎧-⎨-+⎩+-＝＝，得0x y ⎧⎨⎩＝＝1，则曲线1C 和曲线2C 公共点的一个极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭．18．【答案】（1）3cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，（θ为参数）；（2）85．【解析】（1）曲线1C 的直角坐标方程为221x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为2219x y +=．∴曲线2C 的参数方程为3cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，（θ为参数）．（2）设l 的参数方程为21cos 14220sin 42x t t y t t π=+=+π⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩， 代入曲线2C 的方程2219x y +=化简得25280t t +-=，∴1285MA MB t t ⋅==．19．【答案】（1）1C ：3cos sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩（ϕ为参数），2C ：()2241x y +-=；（2）331．【解析】（1）曲线1C 的参数方程为3cos sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩（ϕ为参数）， 2C 的直角坐标方程为228150x y y +-+=，即()2241x y +-=．（2）由（1）知，曲线2C 是以()20,4C 为圆心，1为半径的圆． 设()3cos ,sin P ϕϕ，则()()()()222223cos sin 491sin sin 8sin 16PC ϕϕϕϕϕ=+-=-+-+218sin 272ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭当1sin 2ϕ=-时，2PC 2733又因为21PQ PC ≤+，当且仅当P ，Q ，2C 三点共线，且2C 在线段PQ 上时，等号成立． 所以331max PQ =．20．【答案】（1）()2214x y -+=；（2）2．【解析】（1）曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数），可得1cos 2x θ-=，sin 2y θ=．因为22sin cos 1θθ+=，可得：()2214x y -+=． 即曲线1C 的普通方程：()2214x y -+=．（2）将2sin 333ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 化为普通方程可得：2sin cos2cos sin 3333ρθρθππ+=333y x +=， 因为直线l 与1C 交P ，Q 两点，曲线1C 的圆心()10，，半径2r =， 圆心到直线l 的距333313d -==+所以线段PQ 的长2222432r d =--=．21．【答案】（1）2213y x +=；（2）34． 【解析】（1）因为()222232cos 132cos 1ρρθθ=⇒+=+， 所以曲线C 的直角坐标方程为2213y x +=．（2）将直线l 的参数方程2221x y ==-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程，得272502t -+=，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则12722t t +=，125t t ⋅=， 于是()21212324MN t t t t ⋅+-， 直线l 的普通方程为10x y +-=，则原点O 到直线l 的距离00122d +-==， 所以1324MON S MN d =⋅=△． 22．【答案】（1）1C ：cos 2ρθ=-，2C ：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12． 【解析】（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）将4θπ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=， 得22240ρρ-+=，解得122ρ=22ρ= 故122ρρ-2MN = 由于2C 的半径为1，所以2C MN △是直角三角形，其面积为12．。
2019版高考数学(人教版A版)练习：第十一章 选修4-4 坐标系与参数方程 Word版含解析
课时规范练 A 组 基础对点练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解析：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1. 将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得 (1＋12t ) 2＋(32t )24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167. 2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解析：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3,0)．3．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解析：(1)C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为(1＋cos π3，sin π3)，即(32，32)．4．(2018·厦门模拟)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ，(φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解析：(1)圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1， 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2cos θ，θ＝π3，得ρ1＝1，θ1＝π3，设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，θ＝π3，得ρ2＝3，θ2＝π3，所以PQ ＝2.B 组 能力提升练1．(2018·南昌模拟)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝10，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α，(α为参数)，其中α∈[0,2π)． (1)试写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； (2)若点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 解析：(1)因为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝10， 所以ρsin θ－ρcos θ＝10，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋10＝0.曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，消去参数可得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)由(1)可知，x 2＋(y －2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2.圆心到直线l 的距离为d ＝|1×0－1×2＋10|12＋(－1)2＝42，所以点P 到直线l 距离的最大值为42＋2.2．(2018·商丘模拟)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为(1＋sin 2θ)ρ2＝2.(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若点P 为(1,0)，求1|P A |2＋1|PB |2的值． 解析：(1)消去参数t 得直线l 的普通方程为3x －y －3＝0. 曲线C 的极坐标方程ρ2＋ρ2sin 2 θ＝2化为直角坐标方程为x 2＋2y 2＝2，即x 22＋y 2＝1. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C ：x 2＋2y 2＝2，得7t 2＋4t －4＝0.设A ，B 两点在直线l 的参数方程中对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－47，t 1t 2＝－47.所以1|P A |2＋1|PB |2＝1|t 1|2＋1|t 2|2＝t 21＋t 22(t 1t 2)2＝(t 1＋t 2)2－2t 1t 2(t 1t 2)2＝92，即1|P A |2＋1|PB |2的值为92.3．(2018·太原模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．(1)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的值； (2)求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．解析：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，左焦点F (－22，0)代入直线AB 的参数方程，得m ＝－22，直线AB 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－22＋22t ，y ＝22t(t 为参数)代入椭圆方程得t 2－2t －2＝0，所以t 1·t 2＝－2，所以|F A |·|FB |＝2.(2)椭圆x 212＋y 24＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23cos θ，y ＝2sin θ，根据椭圆和矩形的对称性可设椭圆C 的内接矩形的顶点为(23cos θ，2sin θ)，(－23cos θ，2sin θ)，(23cos θ，－2sin θ)，(－23cos θ，－2sin θ)⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，所以椭圆C 的内接矩形的周长为83cos θ＋8sin θ＝16sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， 当θ＋π3＝π2时，即θ＝π6时椭圆C 的内接矩形的周长取得最大值16.4．已知圆锥曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α是参数)和定点A (0，3)，F 1，F 2分别是曲线C 的左、右焦点．(1)以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求直线AF 2的极坐标方程． (2)若P 是曲线C 上的动点，求|PF 1→|·|PF 2→|的取值范围． 解析：(1)曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1，所以F 2(1,0)，所以直线AF 2的斜率k ＝－3，所以直线AF 2的直角坐标方程为y ＝－3x ＋ 3. 所以直线AF 2的极坐标方程为 ρsin θ＝－3ρcos θ＋ 3.(2)P 是曲线C ：x 24＋y 23＝1上的动点，所以1≤|PF 2→|≤3. 因为|PF 1→|＋|PF 2→|＝4， 所以|PF 1→|＝4－|PF 2→|， 所以|PF 1→|·|PF 2→| ＝(4－|PF 2→|)×|PF 2→| ＝－|PF 2→|2＋4|PF 2→| ＝－(PF 2→－2)2＋4.所以当|PF 2→|＝2时，|PF 1→|·|PF 2→|取得最大值4， 当|PF 2→|＝1或3时，|PF 1→|·|PF 2→|取得最小值3. 所以|PF 1→|·|PF 2→|的取值范围是[3,4]．。
2019届高三数学(文)一轮复习：选修4-4 坐标系与参数方程 61
课时跟踪训练(六十一)[基础巩固]1．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α，(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．[解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. ∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1时，d 的最小值为2，此时α＝π6＋2k π，k ∈Z ，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，12.2．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； (2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1. a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上， 所以a ＝1.3．(2018·湖北七市联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3.(1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； (2)若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值．[解] (1)对于曲线C 2有ρ＝8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，即ρ2＝4ρcos θ＋43ρsin θ，因此曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －43y ＝0，其表示一个圆．(2)联立曲线C 1与曲线C 2的方程可得t 2－23sin α·t －13＝0，|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(23sin α)2－4×(－13)＝12sin 2α＋52，因此|AB |的最小值为213，最大值为8.4．(2017·东北三省四市二模)已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t(t 为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，曲线C 1上的点P 的极角为π4，Q 为曲线C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 的距离的最大值．[解] (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，由直线l 的参数方程消去参数t 得直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0.(2)因为点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，直角坐标为(2,2)， 点Q 的直角坐标为(2cos α，sin α)， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos α，1＋12sin α，点M 到直线l 的距离d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|5＝105⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，当α＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，即α＝π4＋k π(k ∈Z )时，点M 到直线l 的距离d 的最大值为105.5．(2017·西宁统一测试)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.[能力提升]6．(2017·陕西西安地区高三八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)的距离最短，并求出点D 的直角坐标．[解] (1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π]，可得ρ2＝2ρsin θ. 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0(或x 2＋(y －1)2＝1)．(2)因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)，消去t 得直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋5.因为曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以G (0,1)为圆心、1为半径的圆，(易知C 、l 相离)设点D (x 0，y 0)，且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于－1，即y 0－1x 0×(－3)＝－1，又x 20＋(y 0－1)2＝1，可得x 0＝－32(舍去)或x 0＝32，所以y 0＝32，即点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.7．(2017·湖南五市十校高三联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|P A |·|PB |的值． [解](1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，332. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得 (cos 2α－sin 2α)t 2＋6t cos α＋8＝0，则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8cos 2α－sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8(1＋tan 2α)1－tan 2α， 由已知得tan α＝2，故|P A |·|PB |＝403.8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，其中a >b >0.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2cos θ，射线l ：θ＝α(ρ≥0)．若射线l 与曲线C 1交于点P ，射线l 与曲线C 2交于点Q ，当α＝0时，|PQ |＝1；当α＝π2时，|OP |＝ 3.(1)求曲线C 1的普通方程；(2)设直线l ′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝3t (t 为参数，t ≠0)与曲线C 2交于点R ，若α＝π3，求△OPR 的面积．[解] (1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，且a >b >0，所以曲线C 1的普通方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，而其极坐标方程为ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θb 2＝1.将θ＝0(ρ≥0)代入ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θb 2＝1，得ρ＝a ，即点P 的极坐标为(a,0)，将θ＝0(ρ≥0)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2，即点Q 的坐标为(2,0)． 因为|PQ |＝1，所以|PQ |＝|a －2|＝1，所以a ＝1或a ＝3. 将θ＝π2(ρ≥0)代入ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θb 2＝1，得ρ＝b ，即点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2， 因为|OP |＝3，所以b ＝3，因为a >b >0，所以a ＝3， 所以曲线C 1的普通方程为x 29＋y 23＝1.(2)因为直线l ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ≠0)，所以直线l ′的普通方程为y ＝－3x (x ≠0)，而其极坐标方程为θ＝－π3(ρ∈R ，ρ≠0)，所以将直线l ′的方程θ＝－π3代入曲线C 2的方程ρ＝2cos θ，得ρ＝1，即|OR |＝1.因为将射线l 的方程θ＝π3(ρ≥0)代入曲线C 1的方程ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ3＝1，得ρ＝3105，即|OP |＝3105，所以S △OPR ＝12|OP ||OR |·sin ∠POR ＝12×3105×1×sin π3＝33020.。
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选修坐标系与参数方程
题组极坐标
.[北京分]在极坐标系中,直线ρθρθ与圆ρθ交于两点,则.
.[ 北京分]在极坐标系中,点(,)到直线ρ( θθ)的距离为.
.[全国卷Ⅰ分][文]在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数>).在以坐标原点为极点轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:ρθ.
(Ⅰ)说明是哪一种曲线,并将的方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)直线的极坐标方程为θα,其中α满足α,若曲线与的公共点都在上,求.
.[全国卷Ⅱ分][文]在直角坐标系中,圆的方程为().
(Ⅰ)以坐标原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;
(Ⅱ)直线的参数方程是(为参数)与交于两点,求的斜率.
.[ 新课标全国Ⅰ分][文]在直角坐标系中,直线,圆:()(),以坐标原点为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线的极坐标方程为θ(ρ∈),设与的交点为,求△的面积.
题组参数方程
.[ 广东分][文]在平面直角坐标系中,以原点为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为ρ( θθ),曲线的参数方程为(为参数),则与交点的直角坐标为.
.[全国卷Ⅲ分][文]在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).设与的交点为,当变化时的轨迹为曲线.
()写出的普通方程;
()以坐标原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系,设:ρ( θθ)为与的交点,求的极径.
.[全国卷Ⅲ分][文]在直角坐标系中, 曲线的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为ρ(θ).
(Ⅰ)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点在上,点在上,求的最小值及此时的直角坐标.
.[新课标全国Ⅰ分][文]已知曲线,直线:(为参数).
(Ⅰ)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;
(Ⅱ)过曲线上任意一点作与夹角为°的直线,交于点,求的最大值与最小值.
组基础题
. [广东七校联考]已知曲线的参数方程为(α为参数),以直角坐标系的原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系.
()求曲线的极坐标方程;
()设:θ:θ,若与曲线相交于异于原点的两点,求△的面积.
.[湖北省八校第一次联考]已知曲线的极坐标方程为ρ的参数方程为(为参数).
()将曲线与的方程化为直角坐标系下的普通方程;
()若与相交于两点,求.
.[湖南省益阳市、湘潭市高三调考]在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(α为参数).以直角坐标系的原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为ρ(θ),直线与曲线交于两点.
()求直线的直角坐标方程;
()设点(),求·的值.
.[南昌市三模]在平面直角坐标系中,以原点为极点轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的参数方程为(θ为参数).
()求曲线的极坐标方程;
()若曲线向左平移一个单位长度,再经过伸缩变换得到曲线',设()为曲线'上任意一点,求的最小值,并求相应点的直角坐标.
组提升题
.[湘东五校联考]平面直角坐标系中,倾斜角为α的直线过点(),以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为ρθθ.
()写出直线的参数方程(α为常数)和曲线的直角坐标方程;。