新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形的判定(三)》导学案

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人教版九年级数学下册第二十七章27.2.1相似三角形的判定教学设计(附学案)

E DC B AHG F1EDC'B'A'CBA附件1：27.2.1相似三角形的判定导学案【环节一】温故知新1.已学的相似三角形的判定方法有： ⑴ 由定义可知：如果，那么ABC ∆∽'''C B A ∆.⑵ .如右图，数学语言为：∵ ∴ ⑶ 如上图，若FGH ∆≌ADE ∆,则ABC FGH ∆∆和是否相似？ 2．如右图，若'B B ∠=∠，''B A AB =,''C A AC =, 则'''C B A ABC ∆∆和是否全等？3．如右图，'A A ∠=∠,1∠=∠B ,D A AB '=,''//C B DE .求证：ABC ∆∽'''C B A ∆. 证明：【环节二】探究新知 1.【思考】除已学的判定方法外，还有没有其它的简便方法？C'B'A'CBAC'B'A'2.【探究】变式一：如图，在'''CBAABC∆∆和中，'AA∠=∠，'BB∠=∠.问：'''CBAABC∆∆和是否相似？请证明你的结论.变式二：如图，在'''CBAABC∆∆和中，‘AA∠=∠，''''CABA=.变式三：如图，在'''CBAABC∆∆和中，''''''CBCABA==.问：'''CBAABC∆∆和是否相似？请证明你的结论.3.【小结】⑴证明思路：构造相似证明全等转化相似.98°27403926y°x60D EC BA ⑵ 相似三角形判定方法：①相似三角形定义（太繁，不常用） ②平行线相似定理 ③ ④ ⑤【环节三】知识应用典例讲解：根据已知条件：cmC A cm C B cm B A cm AC cm BC cm AB 21,18,127,6,4''''''======，判断'''C B A ABC ∆∆和是否相似，并说明理由.解：（一）模仿练习：1．根据下列条件，判断'''C B A ABC ∆∆和是否相似，并说明理由. ⑴cmC A cm B A A cm AC cm AB A 6,3,12014,7,120'''''0===∠===∠ ；⑵''0062,7048,70=∠=∠=∠=∠C A B A .解：⑴ ⑵2．如图，根据已知条件，判断EDC ABC ∆∆和是否相似，并求出x 和y .（人教版54P .3）解：21D EB A EDFEDCBA（二）变式练习：1.(2012山东菏泽) 如图，21∠=∠，请你再补充一个条件，使得ABC ∆∽ADE ∆，并说明理由. 解：2．已知：如图，D 、E 分别是ABC ∆两边AB 、AC 上的点，试问在下列条件下 ACB ADE ∆∆和是否相似，并说明理由. ⑴00050,70,60=∠=∠=∠AED C A ；⑵2,4,5,3====EC AE BD AD . 解：⑴ ⑵【环节四】课后作业1.如图，ABC ∆内接于⊙O ，弦CD=BC ，弦AC 与BD 相交于点P. 求证：CBP ∆∽CAB ∆.2. 如图，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P.求证：.PBPCPD PA =(人教版46P .例2)3.（2010珠海）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且B AFE ∠=∠. ①求证：DEC ∆∽ADF ∆；②若AB=4，AD=33，AE=3，求AF 的长.人教版九年级数学下册第二十七章27.2.1相似三角形的判定教学设计（附学案）11 / 11C4. 如图，在ABC∆中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q 同时出发，经过几秒钟后以点P、B、Q为顶点的三角形与ABC∆相似？解：。

人教版九年级数学下册： 27.2.1《相似三角形的判定》教学设计3

人教版九年级数学下册： 27.2.1《相似三角形的判定》教学设计3一. 教材分析本节课的主题是《相似三角形的判定》，是人教版九年级数学下册第27.2.1节的内容。

相似三角形是几何中的一个重要概念，它是学习更复杂几何知识的基础。

本节课的内容包括相似三角形的定义、性质和判定方法。

通过本节课的学习，学生将对相似三角形有更深入的理解，并能够运用相似三角形的知识解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、角的度量等基础知识，对几何图形有一定的认识。

但是，他们对相似三角形的理解和应用还比较模糊，需要通过本节课的学习来进一步明确相似三角形的概念和判定方法。

此外，学生可能对一些抽象的概念和证明过程感到困难，需要教师在教学过程中进行耐心引导和解释。

三. 教学目标1.理解相似三角形的定义和性质。

2.学会使用相似三角形的判定方法判断两个三角形是否相似。

3.能够运用相似三角形的知识解决实际问题。

四. 教学重难点1.相似三角形的定义和性质。

2.相似三角形的判定方法。

3.运用相似三角形的知识解决实际问题。

五. 教学方法本节课采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题、展示案例、引导学生进行小组讨论和合作，激发学生的思考和探究欲望，培养学生的动手操作能力和团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图片。

2.准备教学课件和板书设计。

3.准备练习题和作业题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾三角形的基本性质和角的度量知识。

激发学生对相似三角形的兴趣和好奇心。

2.呈现（10分钟）展示一些相似三角形的案例，让学生观察和分析，引导学生发现相似三角形的特征。

引导学生通过小组讨论，总结出相似三角形的定义和性质。

3.操练（10分钟）让学生通过实际操作，使用尺子和直尺来画出相似三角形。

引导学生通过小组合作，探索并验证相似三角形的判定方法。

4.巩固（10分钟）让学生解答一些相似三角形的练习题，巩固他们对相似三角形的理解和应用。

新人教版九年级数学下册《第二十七章相似》全章教案

新人教版九年级数学下册《第二十七章相似》全章教案本文已经没有格式错误和明显有问题的段落了，但是可以对每段话进行小幅度的改写，以增强文章的流畅性和可读性。

第一节课重点讲解了相似图形的概念和运用方法。

通过一些日常生活中的例子，让学生们理解了相似图形的形状和大小可以不同，但是它们的形状相同。

同时，老师还通过线段的长度比例的例子，让学生们理解了相似图形的比例关系。

在例题讲解中，老师通过选择题的形式，让学生们运用相似图形的特征，判断哪个图形与左边的图形相似。

同时，老师还给出了一道关于比例尺的例题，让学生们运用相似图形的知识，计算出实际距离。

第二节课重点讲解了相似多边形的主要特征和识别方法。

老师让学生们了解到相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

通过一些实例，让学生们学会了如何识别相似多边形，并运用其性质进行计算。

总的来说，本章节的教学目标是让学生们掌握相似图形和相似多边形的概念和运用方法。

通过一些生动的例子和实例，让学生们更好地理解和掌握知识点。

在研究第26页的内容时，学生需要了解判别两个多边形是否相似的条件。

这些条件包括对应角是否相等，对应边的比是否相等，这两个条件缺一不可。

如果要说明两个多边形不相似，则必须说明各角无法对应相等或各对应边的比不相等，或者举出合适的反例。

在解决这个问题时，依靠直觉观察是不可靠的。

课堂引入：1.对于图中的两个相似的四边形，它们的对应角和对应边的比是否相等。

2.相似多边形的特征是对应角相等，对应边的比相等。

如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

3.相似比是相似多边形对应边的比。

4.当相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形。

例1（补充）（选择题）：下列说法正确的是D。

因为任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似。

例（教材P26例题）：要求相似多边形中的某些角的度数和某些线段的长，可以根据相似多边形的对应角相等，对应边的比相等来解题。

九年级数学下册 27.2.1 相似三角形的判定(第3课时)教案 (新版)新人教版

27.2.1 相似三角形的判定第三课时一、教学目标 1．核心素养通过相似三角形的判定的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力． 2．学习目标（1）掌握相似三角形的判定方法3：两角分别相等的两个三角形相似．（2）掌握两个直角三角形相似的判定（HL ）:斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．（3）会利用相似三角形的基本图形证题，掌握证比例式或等积式技巧． 3．学习重点相似三角形的判定方法3和两个直角三角形相似的判定（HL ）及其应用．会利用相似三角形的基本图形证题，掌握证比例式或等积式技巧． 4．学习难点探究相似三角形的判定方法3和两个直角三角形相似的判定（HL ）．会利用相似三角形的基本图形证题，掌握证比例式或等积式技巧．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1 阅读教材P35，思考：两角分别相等的两个三角形相似吗？如何证明？任务2 阅读教材P36，思考：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？如何证明？ 2．预习检测1．两角分别的两个三角形相似．斜边和一条直角边________的两个直角三角形相似． 2．已知△ABC 的两个角分别是60°和72°，C B A '''∆的两个角分别是60°和48°，则△ABC 和C B A '''∆ ．3.已知在Rt △ABC 和Rt C B A '''∆中，︒='∠=∠90C C ，且B A ABC A AC ''=''，则Rt △ABC 和Rt C B A '''∆ ．（二）课堂设计 1．知识回顾1．全等三角形的判断方法：AAS,ASA,HL ．2．相似三角形预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．3．三角形相似的判定方法1:三边成比例的两个三角形相似．4．三角形相似的判定方法2:两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似． 2．问题探究问题探究一两角分别相等的两个三角形相似吗？重点、难点知识★▲ ●活动1 导入新知，类比探究引入：小文同学不小心把学校实验室的玻璃打碎成三块，如图，现在，李文同学要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，为了省事，李文决定只带其中一块去做模型．小颖说：带第①块去．小明说：带第②块去．小华说：带第③块去．思考片刻后，李文同学决定接受小华的建议，带第③块去．这是因为在第③块中保留有原三角形的两角及夹边，果然，去配回的三角形的玻璃与原三角形的玻璃一模一样．这件事给我们的启示是：有两角及夹边对应相等的两个三角形全等；那么，有两个角对应相等的三角形是否相似呢？相似三角形的判定是否有类似全等三角形的判定方法呢？ ●活动2 感悟新知：观察两副三角尺（如图），其中有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．提出问题：如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？延伸问题：作∆ABC 与∆A 1B 1C 1，使得∠A=∠A 1，∠B=∠B 1，这时它们的第三角满足∠C=∠C 1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算11AB A B ﹑11BC B C ﹑11ACA C ，你有什么发现？（学生独立操作并判断）分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足∠C=∠C 1，11AB A B =11BC B C =11ACA C ．探究：分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断．）教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素．由此能得出三角形相似的判定定理：两个角分别相等的两个三角形相似．几何语言：如图，在△ABC 与∆A 1B 1C 1中， ∵∠A ＝∠A 1，∠B ＝∠B 1， ∴△ABC ∽ △A 1B 1C 1．●活动3 例题讲解，相似三角形判定3的应用例：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8．E 是AC 上一点，AE=5，ED ⊥AB,垂足为D,求AD 的长．【知识点：相似三角形判定3；数学思想：数形结合】解：∵ ED ⊥AB ， ∴ ∠EDA=90°．又∠C=90 °， ∠A=∠A ， ∴△AED ∽△ABC ．.AD AEAC AB ∴=854.10AC AE AD AB •⨯∴===点拨：两个直角三角形，当有一个锐角相等时，它们相似．利用相似求线段长是常用方法． ●活动4 应用练习1．如图，已知点D ，E 分别在AB ，AC 或它们的延长线上，且∠1=∠2，分别指出图中的相似三角形．【知识点：相似三角形判定3】解：△ADE ∽ △ACB ； △ADC ∽ △ACB ； △ADE ∽ △ABC ； △ADE ∽ △ACB 2．如图，过平行四边形ABCD 的一个顶点A 作一直线分别交对角线BD 、边BC 、边DC 的延长线于点E ，F ，G ．图中相似的三角形共有（） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对【知识点：相似三角形判定3】解：C2．已知：如图，ΔABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：AF EFBF FD=．【知识点：相似三角形判定3】解：∵AD ⊥BC 、BE ⊥AC ，∴︒=∠=∠90FEA FDB ， ∴AFE BFD ∠=∠，∴BFD ∆∽AFE ∆，∴AF EFBF FD=．问题探究二两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？重点、难点知识★▲ ●活动1 类比探究思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定．那么，满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似吗？论证：事实上，这两个直角三角形相似．下面让学生讨论，得出证明．如图，在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中， ∠C ＝90°， ∠C′＝90°，,AB ACA B A C =''''求证： Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′．分析：要证Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′ ，可设法证.BC AB ACB C A B A C ==''''''==.AB AC BCk k A B A C B C =''''''若设，则只需证==,=.AB ACk AB kA B AC kA C A B A C ''''=''''设，则证明：BC B C ''==由勾股定理，得.BC k B C k B C B C ''•∴====''''.BC AB ACB C A B A C ∴==''''''∴Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′．归纳：直角三角形相似的判定定理： (1)有一锐角相等的两个直角三角形相似； (2)有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似； (3)斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．数学表达式：在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，(1)∵∠C ＝∠C′＝90°，∠A ＝∠A′，∴Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′； (2)∵∠C ＝∠C′＝90°，.AC BC A C B C ∴='''' ∴Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′．（3）∵∠C ＝90°，∠C′＝90°，,AB ACA B A C =''''∴ Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′． ●活动2 例题讲解，直角三角形相似的判定（HL ）的应用例1、在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠C ＝∠F ＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( )A ．∠A ＝55°，∠D ＝35°B ．AC ＝9，BC ＝12，DF ＝6，EF ＝8 C ．AC ＝3，BC ＝4，DF ＝6，DE ＝8D ．AB ＝10，AC ＝8，DE ＝15，EF ＝9 【知识点：直角三角形相似的判定】解析：选项A ：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝55°，∴∠B ＝35°， ∵∠D ＝35°，∴∠B ＝∠D ，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF （有一锐角相等的两个直角三角形相似）；选项B ：∵AC ＝9，BC ＝12，DF ＝6，EF ＝8，∴43129==BC AC ，4386==EF DF ，∴EFDFBC AC =，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF （两组直角边对应成比例的两直角三角形相似）；选项C ：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∴AC ：BC ：AB ＝3：4：5，在Rt △DEF 中，∠F ＝90°，DF ＝6，DE ＝8，∴EF ＝726822=-， ∴EE ：DF ：DE ＝72：6：8=7：3：4，故Rt △ABC 与Rt △DEF 不相似；选项D ：在Rt △DEF 中，∠F ＝90°，DE ＝15，EF ＝9，∴DF=1291522=-，∴541512==DE DF ，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，∴54108==AB AC ， ∴DEDF AB AC =，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF （斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似）．故选C ．例2、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．【知识点：直角三角形相似的判定】射影定理：1．直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项; 2．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．已知：如图，在RtΔABC 中，CD 是斜边AB 上的高．（1）求证：ΔACD∽ΔABC∽ΔCBD（2）求证：DB AD CD ⋅=2；AB AD AC ⋅=2； AB BD BC ⋅=2．证明:（1） ∵ ∠A=∠A ，∠ADC=∠ACB=90°， ∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两三角形相似）同理 ΔCBD ∽ ΔABC． ∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD．此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用．（2）由ΔCBD∽ΔACD，得DB CD CD AD =，∴DB AD CD ⋅=2．由ΔACD∽ΔABC，得AB AC AC AD =，∴AB AD AC ⋅=2．由ΔCBD∽ΔABC，得DBBC BC AB =，∴AB BD BC ⋅=2．以上三个结论称为“射影定理”，今后可以直接使用．例3、已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP ．【知识点：直角三角形相似的判定】解：设PC 的长为a ，则BP ＝3a ，正方形ABCD 的边长为4a ，DQ ＝2a ，AD ＝4a ，QC ＝2a ， ∴DQ AD ＝PC CQ ＝12，又∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP ．点拨：当题中条件已知线段之间的关系时，可找出成比例的线段，又其夹角相等时，可得三角形相似． ●活动3 应用练习1．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( )A ．∠B ＝∠B 1 B ．AB A 1B 1＝AC A 1C 1 C ．AB A 1B 1＝BC B 1C 1 D ．AB B 1C 1＝AC A 1C 1【知识点：直角三角形相似的判定】解：D2．在△ABC 和△A′B′C′中，∠C ＝∠C′＝90°，AC ＝12，AB ＝15， A′C′＝8，则当A′B′＝____________时，△ABC ∽△A′B′C′．【知识点：直角三角形相似的判定】解：10问题探究三如何利用相似三角形的基本图形证题？引入：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．活动1 合作探究，归纳总结思考：相似三角形的基本图形有哪些？学生讨论后归纳，相似三角形的几种基本图形如下：如图：称为“平行线型”的相似三角形．（有“A 型”与“X 型”图）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形．（有“反A 共角型”、 “反A 共角共边型”、“蝶型”）如图：称为“垂直型”．（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”、“三垂直型”）④如图：∠1=2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形．活动2 合作探究，归纳总结思考：怎么利用这些基本图形解题呢？在学生讨论的基础上总结，几种基本图形的具体应用：若DE ∥BC （A 型和X 型），则△ADE ∽△ABC ．射影定理若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形），则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=AD ·AB，CD 2=AD ·BD，BC 2=BD ·AB．E A D CBEA DCBAD CBEADBEB (D )EC A满足：ⅰ、AC 2=AD·AB，ⅱ、∠ACD=∠B ，ⅲ、∠ACB=∠ADC ，都可判定△ADC ∽△ACB ． ④当ABAEAC AD或AD·AB=AC·AE 时，△ADE ∽△ACB ．活动3 例题讲解，巧用“基本图形”探索相似条件（1）平行线型例1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D ． (1)求证：AE·BC＝BD·AC；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．【知识点：相似三角形的判定与性质，三角形面积；数学思想：数形结合】分析：要证AE·BC＝BD·AC，需证AE AC ＝BDBC ．又由ED ∥BC ，有△ADE ∽△ABC ，可得AE AC ＝DEBC ，因此只需证DE ＝BD 即可．详解：(1)证明：∵ED ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ．∴AE AC ＝DEBC．∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC ． ∵ED ∥BC ，∴∠DEB ＝∠EBC ．∴∠DBE ＝∠DEB ．∴DE ＝BD ．∴AE AC ＝BDBC ，即AE·BC＝BD·AC．(2)解：设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高， h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高， h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高．∵S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，∴S △ADE S △BDE ＝h △ADE h △BDE ＝32． ∴h △ADE h △ABC ＝35．∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝h △ADE h △ABC ＝35．∵DE ＝6，∴BC ＝10．点拨：将乘积式转化为比例式，再利用比例式找三角形相似是常用之法．（2）斜交型例2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DOCO，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．【知识点：相似三角形的判定与性质】分析：由EO BO ＝DOCO ，及夹角相等，易得△BOE ∽△COD ，△DOE ∽△COB ，再设法证∠ADE ＝∠ABC即可．解：相似．理由如下：因为EO BO ＝DOCO ，∠BOE ＝∠COD ，∠DOE ＝∠COB ，所以△BOE ∽△COD ，△DOE ∽△COB ．所以∠EBO ＝∠DCO ，∠DEO ＝∠CBO ．因为∠ADE ＝∠DCO ＋∠DEO ， ∠ABC ＝∠EBO ＋∠CBO ．所以∠ADE ＝∠ABC ．又因为∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC ．（3）垂直型例3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F ．求证：AB AC ＝DFAF ．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：由“垂直型”相似，可得△ABC ∽△DBA ，有AB AC ＝DBDA ，需证DB AD ＝DFAF ，应证△DBF ∽△ADF ．证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAC ＝∠ADB ＝90°．又∵∠CBA ＝∠ABD ，∴△ABC ∽△DBA ．∴AB AC ＝DBDA ，∠BAD ＝∠C ．∵AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，∴DE ＝EC ． ∴∠BDF ＝∠CDE ＝∠C ．∴∠BDF ＝∠BAD ．又∵∠F ＝∠F ，∴△DBF ∽△ADF ．∴DB AD ＝DF AF ．∴AB AC ＝DFAF．点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”．有时还可用“等积替换法”．（4）旋转型例4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC ．求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BDCE ．【知识点：相似三角形的判定与性质】证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC ．又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC ．(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝AB AC ． ∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC ．∴AD AE ＝BD CE．点拨：由“旋转型”，易得对应的角相等．问题探究四证比例式或等积式有哪些技巧？证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．活动1 合作探究，证比例式或等积式的技巧技巧1 构造平行线法例1．如图，过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和点E ．求证：AE•ED＝2AF•FB．【知识点：相似三角形的判定与性质】分析：图中无三角形相似，应作辅助性构造三角形相似,作平行线是常用之法．证明：如图，过点B 作BN ∥CF 交AD 的延长线于点N ．∴AF FB ＝AE EN，∠ECD ＝∠NBD ．又∵∠CDE ＝∠BDN ，∴△EDC ∽△NDB ．∴ED DN ＝CD BD． ∵BD ＝CD ，∴ED ＝DN ＝12EN ． ∴AF FB ＝AE 2ED．∴AE•ED＝2AF•FB．点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．技巧2 “三点定型”找三角形相似法例2．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E ．求证：AM 2＝MD·ME．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：要证AM 2＝MD·ME，即证AM MD ＝ME AM ．横看知，需证△AME 与△DMA 相似．证明：∵DM ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＋∠BEM ＝90°，∠D ＋∠DEA ＝90°．∵∠BEM ＝∠DEA ，∴∠B ＝∠D ．又∵M 为BC 的中点，∠BAC ＝90°，∴BM ＝AM ．∴∠B ＝∠BAM ．∴∠BAM ＝∠D ．又∵∠AME ＝∠DMA ．∴△AME ∽△DMA ． ∴AM MD ＝ME AM ．∴AM 2＝MD·ME．点拨：由比例式找三角形相似，可运用“三点定型法”找相似三角形，口诀是：横看、竖看定相似．技巧3 构造相似三角形法例3．如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N ．求证：BP·CP＝BM·CN．【知识点：相似三角形的判定与性质】分析：要证BP·CP＝BM·CN，即证BP CN ＝BM CP，由横看知，需证△BPM ∽△CNP ，因此应连接PM 、PN ，构造出△BPM 和△CNP ．证明：如图，连接PM ，PN ． ∵MN 是AP 的垂直平分线，∴MA ＝MP ，NA ＝NP ．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．又∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝∠1＋∠3＝60°．∴∠2＋∠4＝60°．∴∠5＋∠6＝120°．又∵∠6＋∠7＝180°－∠C ＝120°．∴∠5＝∠7．∴△BPM ∽△CNP ．∴BP CN ＝BM CP，即BP·C P ＝BM·CN．点拨：通过要证的比例式，用“三点定型法”找到需证明的相似三角形，若这两三角形不存在，就应通过作辅助线构造出来．技巧4 等比过渡法例4．如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP 于点G ，交CE 于点D ．求证：CE 2＝DE·PE．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：由“垂直型”相似，可利用射影定理得CE 2＝AE·BE,要证CE 2＝DE·PE，就需证DE·PE＝AE·BE,就需证△DEB ∽△AEP ．证明：∵BG ⊥AP ，PE ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠BED ＝∠AGB ＝90°．∴∠P ＋∠PAB ＝90°，∠PAB ＋∠ABG ＝90°．∴∠P ＝∠ABG ．∴△AEP ∽△DEB ． ∴AE DE ＝PE BE ，即AE·BE＝PE·DE．又∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°．又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＋∠CBE ＝90°．∴∠ACE ＝∠CBE ．∴△AEC ∽△CEB ．∴AE CE ＝CE BE，即CE 2＝AE ·BE．∴CE 2＝DE·PE．点拨：当要证的等积式中的三条线段在同一条线段上时，找不出需证的相似三角形，就可以采用“等比过渡法”证明．技巧5 等积代换法例5．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：AE AF ＝AC AB．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：要证AE AF ＝AC AB，可证AE·AB＝AF·AC，又由“垂直型”相似，可利用射影定理得AE·A B ＝AD 2，AF·AC= AD 2，故得证．证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AED ＝90°．又∵∠BAD ＝∠DAE ，∴△ADE ∽△ABD ，得AD 2＝AE·AB，同理可得AD 2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴AE AF ＝AC AB．点拨：要证的比例式，不能直接通过证三角形相似得到，可将比例式转化为乘积式，利用“等积代换法”来证．技巧6 等线段代换法例6．已知：如图，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P ．求证：PD 2＝PB·PC．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：由EP 垂直平分AD ，可连接AP ，有PA=PD ．要证PD 2＝PB·PC，可证PA 2＝PB·PC，需证△PAC ∽△PBA ．证明：如图，连接PA ，则PA ＝PD ，∴∠PDA ＝∠PAD ．∴∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAP ．又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC ．∴∠B ＝∠CAP ．又∵∠APC ＝∠BPA ，∴△PAC ∽△PBA ，∴PA PB ＝PC PA ，即PA 2＝PB·PC，∴PD 2＝PB·PC．点拨：当要证的等积式中的三条线段在同一条线段上时，找不出需证的相似三角形，也可把其中的一条线段替换成与它线段的线段，再找三角形相似来证明．活动2 巩固练习1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC的延长线于点F ，求证：AE·CF＝BF·EC．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】证明：如图，过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M ．∵CM ∥AB ，∴△CMF ∽△BDF ．∴BF CF ＝BD CM．又∵CM ∥AD ，∴△ADE ∽△CME ．∴AE EC ＝AD CM．∵D 为AB 的中点， ∴BD CM ＝AD CM ．∴BF CF ＝AE EC，即AE·CF＝BF·EC． 2．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F ．求证：BF BE ＝AB BC ．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】证明：易得∠BAC ＝∠BDF ＝90°．∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠DBF ，∴△BDF ∽△BAE ，得BD AB ＝BF BE ． ∵∠BAC ＝∠BDA ＝90°，∠ABC ＝∠DBA ．∴△ABC ∽△DBA ，得AB BC ＝BD AB ，∴BF BE ＝AB BC． 3．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE·PF．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】证明：连接PC ，如图．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BC ，∠ABC ＝∠ACB ，∴BP ＝CP ，∴∠1＝∠2，∴∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2，即∠3＝∠4．∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F ，∴∠4＝∠F ．又∵∠CPF ＝∠CPE ，∴△CPF ∽△EPC ，∴CP PE ＝PF CP，即CP 2＝PF·PE．∵BP ＝CP ，∴BP 2＝PE·PF． 3．课堂总结【知识梳理】（1）相似三角形的判定3：两角分别相等的两个三角形相似．（2）两个直角三角形相似的判定定理（HL ）：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．（3）三角形相似的基本图形有：“平行线型”、“斜交型”、“垂直型”、“旋转型”．（4）证明比例式或等积式的常用技巧有：构造平行线法、“三点定型”找三角形相似法、构造相似三角形法、等比过渡法、等积代换法、等线段代换法．【重难点突破】（1）两角分别相等的两个三角形相似，是判断两三角形是否相似的常用方法之一．当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找夹等角的两边对应成比例．找角相等时应注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角（或补角）等．（2）找对应角的方法：对顶角一定是对应角；公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；对应角所对的边一定是对应边；对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．（3）判定两直角三角形相似的方法：一个锐角对应相等，两组直角边对应成比例，斜边和一直角边对应成比例．（4）常用的重要结论：①母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似；②射影定理：直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．(5)熟悉三角形相似的基本图形,掌握证比例式或等积式的技巧，并会熟练应用．4．随堂检测1．下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是( )A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝35°，∠B′＝55°C．∠A＝∠B，∠A′＝∠B′D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B′，∠A－∠B＝∠A′－∠B′【知识点：相似三角形判定3】2．下列说法：①有一个110°角的两个等腰三角形相似；②所有的等腰直角三角形都相似；③有一个60°角的两个等腰三角形相似；④有一个70°角的两个等腰三角形相似；⑤有一个底角相等的两个等腰三角形相似．其中正确的个数是( )A．5 B．4 C．3 D．2【知识点：相似三角形判定3】3．已知点R在直角三角形的直角边上，过点R作直线使截得的三角形与原三角形相似，则这样的直线最多可作的条数是（）A．4条 B．3条 C． 2条 D． 1条【知识点：相似三角形判定3】4．已知点M、N分别是矩形ABCD的边CD、BC上的点，AM⊥MN，则一定有（）A．ΔADM∽ΔAMN B．ΔMCN∽ΔAMNC．ΔAMN∽ΔABN D．ΔADM∽ΔMCN【知识点：两直角三角形相似的判定】5．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若AB=12，BC=18，则CD的长是（）A．6 B．8 C．10 D．12【知识点：两直角三角形相似判定的应用】（三）课后作业基础型自主突破1．下列说法正确的是（）A.两个相似三角形全等 B．两个顶角为80°的等腰三角形相似C．两个直角三角形相似 D．所有等腰三角形都相似【知识点：相似三角形的判定】2．下列各对三角形中一定不相似的是（）A．△ABC中，∠A=46°，∠B=74°；△A′B′C′中，∠C′=60°，∠B′=74°B．△ABC中，∠B=90°，AB=10，AC=26; △A′B′C′中，∠B′=90°，A′B′=5a，B′C′=12aC．△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm; △A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=24cm，B′C′=30cm D．△ABC中，∠C=90°，∠A=48°; △A′B′C′中，∠C′=90°，∠A′=42°【知识点：相似三角形的判定】中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，则图中的相似三角形有（）3．如图，在ABCA 4对B 3 对C 2 对D 1对【知识点：相似三角形的判定3】4．如图，MN∥EF，MF、EN交于O，MO=6，FO=8，EN=21，则EO长为（）A．8 B．9 C．10 D．12【知识点：相似三角形的判定3及应用；数学思想：数形结合】5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，AC=30，AD=18，则BC= ．【知识点：直角三角形相似的判定及应用，勾股定理；数学思想：数形结合】6．如图，在△ABC 中，AB=9，AC=6，BC=12，点M 在AB 边上，且AM=3，过点M 作直线MN 与AC 边交于点N ，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= ．MCB A【知识点：相似三角形的判定及应用；数学思想：数形结合、分类讨论】能力型师生共研7．如图，矩形ABCD 中，AB ＝12，BC ＝6，点E 在AB 上，点F 在CD 上，点G ，H 在对角线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是( )A ．35B ．295 C ．7．5 D ．9【知识点：相似三角形的判定及应用，矩形、菱形性质；数学思想：数形结合】8.如图，正方形ABCD 中，AE=BE ，AF ⊥DE 于点G ，则______ DGAG ．【知识点：直角三角形相似的判定及应用，正方形性质】9．如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC=15．D 为AC 上一点，AD=2CD ，CH ⊥BD 于H ，点G 是AB 中点，连接GH ，则GH= ．【知识点：相似三角形的判定及应用，三角形全等，等腰直角三角形性质；数学思想：数形结合】10．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 分别是BC ，AC 边上的点，且∠AEF ＝∠B ．(1)求证：AC·CF＝CE·BE；(2)若AB ＝10，BC ＝12，当EF ∥AB 时，求BE 的长．【知识点：相似三角形的判定及应用；数学思想：数形结合】探究型多维突破11．如图，五边形ABCDE 是正五边形，其边长为2，对角线BE ，CE 与对角线AD 分别交于点F ，G ．给出下列结论：①∠AFE=108°；②AD AF AG ⋅=2；③FG=3﹣；④S △EBC =2﹣1．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点：相似三角形的判定及应用，勾股定理，正五边形的性质；数学思想：数形结合】12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 上，AE=EC ，AB 延长线与ED 延长线交于点F ．求证：AB·AF＝AC·DF．【知识点：相似三角形的判定及应用；数学思想：转化思想】自助餐1．下列各组条件中，能推得△ABC 与△GMN 相似的是（）A ．∠A=∠M 且∠G=∠NB ．∠A=∠B 且∠G=∠NC ．∠A=∠M 且MG AC AB MN =D ．∠A=∠M 且MGBC AB GN = 【知识点：相似三角形的判定】2．如图，在△ABC 中，∠A=78°，AB=8，AC=12．下列图中阴影三角形与原三角形不相似．．．的是（）【知识点：相似三角形的判定；数学思想：数形结合】3．如图，在△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠EBC ＝∠EAC ，AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于( )A ．154B ．125C ．203D ．174【知识点：相似三角形的判定3及应用；数学思想：数形结合】4．如图，FGA BAC ∆≅∆，∠BAC=∠FGA=90°，AB=AC ，下列不正确的是（）A ． △DAE ∽△DCAB ． △EAD ∽△EBAC ． △BAE ∽△CDAD ． △BAD ∽△CAE 【知识点：相似三角形判定3，等腰直角三角形性质】5．如图，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 、DC 上，且DE ⊥AF 于M ，∠BAE=∠EAF ，BE=3，AE=2，则MF 的长是（）A ．B ．C ．1D ．【知识点：直角三角形相似的判定及应用，正方形性质，勾股定理；数学思想：数形结合】 6．如图，E 为矩形ABCD 的边DC 中点，AD=23AB ，BP=2CP ，连接EP 并延长，交AB 的延长线于点F ，AP 、BE 相交于点O ．下列结论：①EP 平分∠CEB ； ②EF PB BF ⋅=2；③22AD EF PF =⋅；a ④PO AO EP EF ⋅=⋅4．其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．③④【知识点：直角三角形相似的判定及应用，矩形性质；数学思想：数形结合】 7.如图，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，BC=24，CD=18，则AD= ．DC BA【知识点：直角三角形相似的判定及应用；数学思想：数形结合】8．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在边CD 上，AD=4，AB=10，要使△ADE 与△BCE 相似，则DE 的长为= ．【知识点：直角三角形相似的判定及应用；数学思想：数形结合、分类讨论】9．如图，在△ABC 中，∠BAD=∠CAD ，延长BC 到E ，EF ⊥AD 于点F ，FG=FD ，连接EG 交AC 于点H ．若AB ：AC=5：4，点H 是AC 的中点，则AG:FD 的值为．【知识点：三角形全等，等腰三角形，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定及应用；数学思想：数形结合】10.已知：如图，在△ABC 中，CM ⊥AB 于M ，BN ⊥AC 于N ．求证：△AMN ∽△ACB ．【知识点：相似三角形的判定及应用】11．如图，在直角△ABC中，斜边AB=100，AC=80，点M从A点出发沿AB边以每秒10个单位的速度向点B运动，同时点N从C点出发沿CA边以每秒8个单位的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜10），连接MN．（1）若△AMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接BN，CM，若BN⊥CM，求t的值；（3）试证明：MN的中点在△ABC的一条中位线上．【知识点：相似判定及应用；数学思想：数形结合】12．如图，在△ABC中，AM垂直平分BC，AM=16，BC=20．点G从点B出发沿线段BC以每秒6个单位长度的速度向点C运动，与此同时，平行于BC的直线m从底边BC出发，以每秒4个单位长度的速度沿MA方向平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点G到达点C时，点G与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接ME、MF，求证：四边形AEMF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△GEF的面积存在最大值，当△GEF的面积最大时，求线段BG的长；（3）是否存在某一时刻t，使△GEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．【知识点：菱形的判定与性质，相似三角形判定及应用，勾股定理；数学思想：数形结合、分类讨论】图2图1NACMNMCA五．参考答案预习自测 1．相等成比例 2．相似 3．相似随堂检测 1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 课后作业基础型 1．B 2．C 3．A 4．D5． 40 由射影定理，得AB AD AC ⋅=2，即AB ⨯=18302，AB=50，∴BC=40．6． 4或6 如图1，当MN ∥BC 时，则△AMN ∽△ABC ，故AM:AB=AN:AC=MN:BC ，则3：9=MN:12，解得：MN=4，如图2所示：当∠ANM=∠B 时，又∵∠A=∠A ，∴△ANM ∽△ABC ，∴AM:AC=MN:BC ，即3：6=MN:12，解得：MN=6，故答案为：4或6．能力型7．C 由四边形EGFH 是菱形，则EF ⊥GH ，假设线段EF 、GH 交于点O,则O 为AC 中点，则5321==AC AO ，又ABC ∆∽AOE ∆，则5612==AC AB AE AO ，解得AE=7．5．故选C ． 8．21 由EAD ∆∽AGD ∆，得21G ==AD AE DG A ． 9．53 在BD 上截取BE=CH ，连接CG ，GE ， ∵∠ACB=90°，CH ⊥BD ，∵AC=BC=15，CD=5，∴BD=510，∴△CDH ∽△BDC ， ∴，.2102103==∴DH CH ，易证△CHG ≌△BEG ，∴GE=GH ，∠BGE=∠HGC ，∵GC ⊥BG ，∴∠EGH=90°，即△HGE 是等腰直角三角形，，1032103210105=--=--=CH DH BD EH Θ.5322=⨯=∴EH GH10．(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ， ∵∠AEF ＝∠B ，∴∠AEF ＝∠B ＝∠C ，∵∠AEC ＝∠BAE ＋∠B ，∠AEC ＝∠AEF ＋∠FEC ， ∴∠BAE ＝∠FEC ，∴△ABE ∽△ECF ， ∴CEABCF BE =，∴AB·CF＝CE·BE， ∵AB ＝AC ，∴AC·CF＝CE·BE (2)∵EF ∥AB ，∴∠AEF ＝∠BAE ，。

九年级数学下册第二十七章相似 27.2 相似三角形 27.2.2 相似三角形的性质导学案 (新版

27.2.2 相似三角形的性质一、学习目标：1．理解相似三角形的性质；2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．二、学习重难点：重难点：利用相似三角形的性质解决简单的问题．探究案三、教学过程复习巩固(1)什么叫相似三角形？(2)如何判定两个三角形相似？课堂探究知识点一：相似三角形对应线段的比三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？归纳总结例题解析例1 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形 EFGH内接于△ABC，且长边FG 在BC上，矩形相邻两边的比为1∶2，若BC＝30 cm，AD＝10 cm，求矩形EFGH的周长．归纳总结小试牛刀，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD、AE相交于F点．(1)求△BEF与△A FD的周长之比；(2)若S△BEF＝6cm2，求S△AFD.2.若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为( )A．1∶2 B.2∶2C．1∶4 D.2∶13.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE 的面积分别为18和8，DE＝3，求AC边上的高．课堂探究知识点二：相似三角形周长和面积的比某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的0米缩短成18米(如图)．问题是：它的周长是多少？归纳总结例题解析例2 已知两个相似三角形的最短边分别为9 cm和6 cm. 若它们的周长之和为60 cm，则这两个三角形的周长分别是多少？归纳总结小试牛刀，PN ∥BC ，AD ⊥BC 交PN 于E ，交BC 于D. (1)若AP∶PB＝1∶2，S △ABC ＝18，求S △A PN ； (2)若S △APN ∶S 四边形PB ＝1∶2，求AEAD的值．，已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积是四边形P ABQ 面积的13时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长．随堂检测1.若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm，则另一个三角形对应角平分线长为cm．2.如果两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm和5 cm，且较小三角形的周长为15 cm，那么较大三角形的周长为cm.3.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝.4．已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD ＝4 cm，C′D′＝10 cm，AE是△ABC的一条高，AE＝4.8 cm.求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20 cm和25 cm，且BC＝5 cm，DF＝4 cm，求EF和AC的长．课堂小结1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．我的收获___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________参考答案合作探究如图，分别作△ABC和△A′B′C′的对应高AD和A′ D′ .解：∵ △ABC∽△A′B′C′，∴ ∠B= ∠B′ .又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，∴△ ABD∽ △A′B′D′.∴AAA′A′=AAA′A′=A.类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于k. 归纳总结相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形对应线段的比等于相似比.例题解析例1解：设HG ＝x cm ，则EH ＝2x cm. 易得AP ⊥EH. ∵AD ＝10 cm ， ∴AP ＝(10－x) cm. ∵四边形EFGH 为矩形， ∴EH ∥BC ， ∴△AEH ∽ △ABC ． ∴ APAD=EHBC ,即10－x 10=2x30. 解得x=6．∴HG ＝6 cm ，EH ＝12 cm.∴矩形EFGH 的周长为36 cm. 小试牛刀1.解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解．解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴△BEF ∽△AFD.又∵BE＝12BC ，∴BE AD ＝BF DF ＝EF AF ＝12，∴△BEF 与△AFD 的周长之比为BE ＋BF ＋EF AD ＋DF ＋AF ＝12； (2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比为12，∴S △BEF S △AFD ＝(12)2，∴S △AFD ＝4S △BEF ＝4×6＝24cm 2.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．2.B.方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 3.解：过点B 作BF⊥AC，垂足为点F.∵AD⊥BC, CE ⊥AB ，∴Rt △ADB ∽Rt △CEB ，∴BDBE ＝AB CB ，即BD AB ＝BE CB ，且∠ABC＝∠DBE，∴△EBD ∽△CBA, ∴S △BED S △BCA ＝(DE AC )2＝818.又∵DE＝3，∴AC ＝4.5.∵S △ABC ＝12AC ·BF ＝18, ∴BF ＝8.方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答．知识点二：相似三角形周长和面积的比解：将上面生活中的问题转化为数学问题是：如图，已知DE ∥BC ，AB =30 m ，BD =18 m ，△ABC 的周长为80 m ，求△ADE 的周长. ∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AA AA=AA AA=AAAA, 由比例的性质可得，AA +AA +AA AA +AA +AA=AAAA, 而△ADE 的周长=AD ＋AE ＋DE , △ABC 的周长=AB ＋AC ＋BC ， ∴△AAA的周长80=30－1830, ∴△ADE 的周长=32 m. 例题解析例2解：设△ABC ∽△A 1B 1C 1，且△ABC 中的最短边AC ＝9 cm ，△A 1B 1C 1中的最短边A 1C 1＝6 cm.则AAA 1A 1=96=32,∴△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为32. 设△ABC 的周长为x cm ，则△A 1B 1C 1的周长为(60－x )cm. ∴A 60－A=32,解得x ＝36，60－x ＝24.∴△ABC 的周长为36 cm ，△A 1B 1C 1的周长为24 cm. 小试牛刀1.解：(1)因为PN∥BC，所以∠APN＝∠B，∠ANP ＝∠C，△APN ∽△ABC ，所以S △APN S △ABC ＝(AP AB )2.因为AP∶PB＝1∶2，△ABC ＝18，所以S △APN S △ABC ＝(13)2＝19，所以S △APN ＝2；(2)因为PN∥BC ，所以∠APE＝∠B，∠AEP ＝∠ADB，所以△APE∽△ABD，所以AP AB ＝AEAD ，S △APN S △ABC ＝(AP AB )2＝(AE AD )2.因为S △APN ∶S 四边形PB ＝1∶2，所以S △APN S △ABC ＝13＝(AE AD )2，所以AE AD ＝13＝33.方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．2.解：(1)∵PQ∥AB，∴△PQC ∽△ABC ，∵S △PQC ＝13S 四边形PABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶4，∵14＝12，∴CP ＝12CA ＝2； (2)∵△PQC∽△ABC，∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，∴CP 4＝CQ 3，∴CQ ＝34CP.同理可知PQ ＝54CP ，∴C △PCQ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C四边形PABQ＝PA ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP)＋AB ＋(3－CQ)＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP ，∴12－12CP ＝3CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247.方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键．随堂检测1. 8∶9,2742. 253.24.解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD 是AB 边上的中线，C ′D ′是A′B′边上的中线，且AE ，A ′E ′是对应的高线，∴AE A′E′＝CDC′D′. ∴4.8A′E′＝410. ∴A ′E ′＝12 cm.5.解：∵相似三角形周长的比等于相似比， ∴EF BC ＝2520. ∴EF ＝54BC ＝54×5＝254(cm)．同理AC DF ＝2025，∴AC ＝45DF ＝45×4＝165(cm)．word11 / 11 ∴EF 的长是254cm ，AC 的长是165cm.。

九年级数学下册《27.2.3 相似三角形的判定》导学案新人教版

《27.2.3 相似三角形的判定（四）》导学案一、学习目标：1．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、学习重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”三、学习难点：三角形相似的判定方法3的运用．一、预习交流（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．二、互助探究如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？三角形相似的判定方法3如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．三、分层提高例已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长四、总结归纳五、巩固反馈 1 、填一填（1）如图3，点D在AB上，当∠＝∠时，△ACD∽△ABC。

（2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件，就可以使△AD E与原△ABC相似。

2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．ABD图3●AB CE图43. 如图，△ABC 中， DE ∥BC ，EF ∥AB ，试说明△ADE ∽△EFC .4．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．5 、图1中DE ∥FG ∥BC ，找出图中所有的相似三角形。

2 、图2中AB ∥CD ∥EF ，找出图中所有的相似三角形。

3 、在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果∠A ＝80°，∠C ＝60°，∠A ′＝80°，∠B ′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？4 、已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：FD EF BF AF ．5．已知：如图，BE 是△ABC 的外接圆O 的直径，CD 是△ABC 的高．（1）求证：AC•BC=BE•CD；（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O 的直径BE 的长．FA C D G E图 1 A B 图 2 C F DE O A EFB C D6 .已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °求证：AD·AB= AE·AC7、如图：在Rt △ ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D ，若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，求证：AB : BC=DF : BFA BDCEF。

九年级数学下册第二十七章相似相似三角形的判定导学案新人教版

1相似三角形的判定一．自主预习1、什么样的三角形是相似三角形？几何语言：（如右图） C C ’∵____________________∴____________________ A B A ’ B’2、平行线分线段成比例：l 1 l 2 l 3 已知：直线543////l l l ，直线1l 和直线2l A D l 4 分别与这三条平行线相交，你 B E 能发现什么？ C F l 5结论1：________________________________________________ A E DD E A B C B C如上图，你还得发现什么结论?结论2：_________________________________________________3、自学课本30页思考，并证明.三角形相似的定理一：_______________________________________________________二、合作探究1、如图，DE ∥BC ，若D 是AB 的中点，DE=6，试求BC 的值.学习目标1、掌握三角形相似的定义、利用平行线判定三角形相似的判定方法及应用2、经历探索相似三角形的判定方法的过程，锻炼学生观察探究、主动学习的能力，培养逻辑推理能力. 学习重点掌握相似三角形的定义、判定方法1及应用学习难点相似三角形判定方法1的推导及应用22、如图，DE ∥BC ，过点E 作EF ∥AB ，EF 交BC 于点F ， AD:DB=2：3， BC=10, 求（1）CFBF(2)CF 的长。

三、展示交流1.△ABC 与△DEF 相似，且相似比为32，则△DEF 与△ABC 的相似比是 2.如图，DE ∥BC.（1）AD =2，DB=1，DE=2.5，求BC ；（2）AD:DB=2:1,DE=2.5，求BC ；（3）DE:BC=3:5,AD=2, 求BD.四、随堂检测1.在△ABC 中，AB=6，AC=9，点D 在边AB 所在的直线上，且AD=2，过点D 作DE ∥BC 交边AC 所在直线于点E ，则CE 的长为．2.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证△ADE ∽△EFC.3. 如图，DE ∥BC ，AE=50cm ，EC=30cm ，BC=70cm ，∠BAC=45º， ∠ACB=40º。

人教版九年级数学下册《第二十七章相似》教案

人教版九年级数学下册《第二十七章相似》教案一. 教材分析人教版九年级数学下册《第二十七章相似》主要讲述了相似图形的性质和判定方法。

本章内容包括相似图形的定义、相似比、相似多边形的性质、相似三角形的性质和判定、相似圆的性质和判定等。

这些内容是学生学习几何学的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形有了一定的认识。

但是，对于相似图形的定义和性质，学生可能还比较陌生，需要通过具体的例子和实践活动来加深理解。

此外，学生对于图形的变换和判定方法可能还不够熟练，需要通过大量的练习来提高。

三. 教学目标1.理解相似图形的定义和性质，能够判断两个图形是否相似。

2.掌握相似三角形的性质和判定方法，能够应用到实际问题中。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力。

四. 教学重难点1.相似图形的定义和性质的理解。

2.相似三角形的性质和判定方法的掌握。

3.图形变换的熟练运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和积极性。

2.利用多媒体和实物模型，进行直观演示和操作，帮助学生建立直观的空间想象能力。

3.提供丰富的练习题，进行巩固和拓展，提高学生的解题能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.实物模型和图片。

3.练习题和答案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些相似的图形，如字母“A”和“a”，让学生观察和思考，引出相似图形的概念。

2.呈现（10分钟）讲解相似图形的定义和性质，通过具体的例子和实物模型进行演示，让学生理解和掌握相似图形的特征。

3.操练（10分钟）让学生进行一些类似的练习题，巩固对相似图形的理解和判断能力。

可以提供一些提示和指导，帮助学生解决问题。

4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生应用相似图形的性质和判定方法，解决实际问题。

教师可以给予一些帮助和指导，鼓励学生独立思考和解决问题。

九年级数学下册 27.2 相似三角形判定导学案(无答案) 新人教版

A
D F B 4.如图，弦 AB 和 CD 相交于⊙O 内一点 P，求证：PA·PB=PC·PD E C
5.已知： ACB 为等腰直角三角形， Δ ∠ACB=90 延长 BA 至 E，延长 AB 至 F， ∠ECF=135 证：Δ EAC∽Δ CBF
0
0
求
6.如图，Δ ABC 与Δ ADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，若图中的两个直角三角形相似ห้องสมุดไป่ตู้求 AD 的长.
1
A.两个等腰三角形相似 B.两个直角三角形相似 C.有一个锐角是 30 的两个等腰三角形相似 D.有一个内角是 30 的两个直角三角形相似 5.如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC∽△ACB，那么可添加的条件是。 6.在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，作 CD⊥AB 于点 D，则图中相似的三角形有________ 对，它们分别是____________________________________________________________。
AB BC AC ﹑ ﹑ ，你有什么发现？ A1 B1 B1C 1 A1C 1 AB BC 探究二.RT∆ABC 与 RT∆A1B1C1，∠C=∠C1=90º，若 = ，你有什么发现？ A1 B1 B1C 1
吗？分别度量两个三角形的边长，计算（三）.归纳总结： 1.判定定理 3：如果两个三角形的两组角分别应用格式： ∵∠A=∠A1,∠B=∠B1 ∴ ∆ABC∽∆A1B1C1 2.直角三角形相似判定方法：HI 应用格式： ∵∠C=∠C1=90º，，那么这两个三角形相似。
7.如图， 1 3，B D，AB DE 5，BC 4 （1） ABC ∽ ADE 吗？说明理由。 .求 AD 的长。 . （2）

人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定(3)》教案

人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定（3）》教案一. 教材分析人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定（3）》是相似三角形章节的一部分，主要介绍了相似三角形的判定方法。

本节课的内容是在学生已经掌握了相似三角形的定义和性质的基础上进行的，目的是让学生进一步理解相似三角形的判定方法，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于相似三角形的概念和性质已经有了一定的了解。

但是，学生在运用判定方法解决问题时，可能会出现理解不深刻、应用不熟练的情况。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生深入理解判定方法，提高运用能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的判定方法，能够运用判定方法解决问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：相似三角形的判定方法。

2.难点：运用判定方法解决问题，理解判定方法的本质。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，引导学生主动探究相似三角形的判定方法。

2.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。

3.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对判定方法的理解。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。

2.学具准备：三角板、直尺、圆规。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些生活中的相似图形，如建筑物的立面图、服装设计图等，引导学生观察并思考：这些图形为什么说是相似的？激发学生的学习兴趣，引出相似三角形的概念。

2.呈现（10分钟）介绍相似三角形的判定方法，引导学生通过观察、操作、思考，总结出判定方法。

方法一：三边法如果三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似。

方法二：两边及其夹角法如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形相似。

人教版九年级数学下册 27.2.1 相似3角形的判定精品导学案1 新人教版

相似三角形的判定学习目标：1、知识和技能：（1）掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。

（2）会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题2、过程和方法：经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力。

3、情感、态度、价值观：经历探究活动，发展学生学习数学的兴趣。

学习重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理学习难点：三角形相似的预备定理的应用导学方法：自主探索法课时：3课时导学过程一、课前预习预习教材P40-P42的有关内容，完成《导学案》中的教材导读和自主测评。

二、课堂导学1.导入用有关相似的实例导出新课，如《导学案》中的问题导学2.出示任务，自主学习相似多边形的主要特征是什么？问题：三条直线截两条直线，是否有对应线段的比相等？三条平行线截两条直线，对应线段的比相等？问题：把平行线分线段成比例定理应用到三角形中会出现哪些情况？请归纳你所得到的结论。

问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？问题：证明教材P41“思考”中两个三角形相似时的思路是什么？平行线起到了什么作用？得到什么结论？3．合作探究探究：1、平行线分线段成比例定理：探究：2、三角形相似的预备定理：归纳：思路是相似三角形的定义（对应角相等，对应边的比相等）。

平行线可以得到一些角相等，一些对应线段的比相等。

结论是平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三、展示反馈归纳：三条平行线截两条直线，所得对应线段的比相等。

归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。

归纳：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

归纳：思路是相似三角形的定义（对应角相等，对应边的比相等）。

人教版九年级下册数学教案：27.2.1相似三角形的判定(三)

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（相似的判定方法1）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（相似的判定方法2）系。

提出问题：观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。

如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？延伸问题：作∆ABC 与∆A 1B 1C 1，使得∠A=∠A 1，∠B=∠B 1，这时它们的第三角满足∠C=∠C 1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算11AB A B ﹑11BC B C ﹑11ACA C ，你有什么发现？（学生独立操作并判断）分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？探究3分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。

）学生回答。

通过观察同样角度的两副三角尺，可以发现：两个三角尺大小可能不同，但它们的形状相同。

学生从实物的比较中容易直观地得到：如果两个三角形有两组角对应相等，它们很可能相似。

分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足∠C=∠C 1，11AB A B =11BC B C =11ACA C 。

利用刻度尺和量角器，让学生先行小组合作再作出具体判断。

归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（定理的证明由学生独立完成）若∠A=∠A 1，∠B=∠B 1 则⇒∆ABC ∽∆A 1B 1C 1作图并动手进行尺规实验来探索命题成立的可能性，让学生经历定理的重发现过程，有助于对定理的理解。

让学生进行协同式小组合作可以提高实验的效率，并培养学生的合作能力。

把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究结合起来，丰富学生的探究体验，帮助学生深入理解定理的内涵。

2019-2020学年九年级数学下册-相似判定(三)导学案-新人教版

2019-2020学年九年级数学下册相似判定（三）导学案新人教版自研课（时段：晚自习时间： 10分钟）旧知连接：相似三角形的判定二：三组对应边的比相等的两个三角形. 相似、全等三角形的传递性在证明中的应用.新知自研：课本第44页的内容相似三角形探究三.展示课（时段：正课）【学习主题】1、利用相似三角形判定一和相似全等的传递性学习“探究3”，掌握相似三角形判定三：“如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似”；2、能运用上述判定方法解决简单的计算与证明问题. 【定向导学·互动展示·当堂反馈】导学流程自研自探环节合作探究环节展示提升环节质疑评价环节总结归纳环节自学指导（内容·学法·时间）互动策略（内容·学法·时间）展示方案（内容·学法·时间）随堂笔记（成果记录·知识生成·同步演练）问题探究与定理生成（40分钟）【探究3指导】认真阅读课本第44页“探究3”内容阅读探究题干·明确内容·标明探究的已知条件和探究问题结合上面的图形，写出已知与求证.已知：求证：△ABC∽△C B A'''·证明指导：通过辅助线将将△ABC移至△C B A'''中，可在B A''边上截取AD=AB，过点D作DE∥C B''交C A''于点E.可知：△DEA'∽△C B A'''，若能证△DEA'≌△ABC根据全等、相似三角形的传两人帮扶对建议解决以下问题：探究3指导内容·已知和求证内容；·结合证明指导，交流证明思路.关注:·辅助线作法和价值·全等的证明过程·全等相似的传递五人互助组在小组长的带领下，利用思考攻关内容提示：·作图分析单元一·主题型展示素材：文中第44页探究3方式：全班大展示方案预设：·图形再现，呈现展示主题；·明确探究的已知和问题；·板书呈现证明全过程，利用过程理清证明步骤，关注到“辅助线”“用比例式证线段相等”“用全等传递相似”·总结相似判定定理三；·思考攻关引导全班互动型大展示同类演练:图中的两个三角形是否相似BCA'B'C'A递性可证明结论.证明：【“思考”攻关】认真阅读文中44页的思考，比对探究3，条件发生了哪些改变？还能证明两个三角形相似吗？可联系全等中的“SSA”进行思考.（12min）·联系SSA说理十人共同体·获得任务后，3名同学进行展示板面规划·有问题的同学继续寻求帮助·剩余同学展示预展（13min）（15min）同类演练（`20分钟）请大家抽起小黑板，独立自主完成同类演练.请关注：·应用今天所学到的判定（三）证明·需要计算哪些量从而证明相似另：每组派一名代表上主黑板演练展示，最大限度暴露最有价值价值问题.（10min）单元二·反馈型展示展示流程：①目光聚焦主黑板，全班搜索问题，并争抢纠错；②对子间相互纠错，补充完善；③规范完成同类演练，并整理、完善学道.（10min）训练课（时段：晚自习，时间：30分钟）“日日清巩固达标训练题”自评：师评：基础题：发展题：提高题：1、今晚你需要培辅吗？（需要，不需要）2、效果描述：1、病题诊所：2、精题入库：【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！！！。

人教版九年级下册数学第3课时相似三角形的判定(3)(导学案)

27.2.1相似三角形的判定原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！落红不是无情物，化作春泥更护花。

出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》上信中学陈道锋第3课时相似三角形的判定（3）——相似三角形的判定3和直角三角形相似的判定一、新课导入1.课题导入情景：拿一个含30°角的三角尺，让学生判断其内、外轮廓构成的两个含30°角的直角三角形是否相似.问题1：你是怎么判定的？能用前面学习的判定定理判定它们相似吗？问题2：我们由三角形全等的SSS和SAS的判定方法类似地得到了三角形相似的判定定理，那么能否同样地由三角形全等的ASA或AAS类比得到相应的三角形相似的判定方法呢？（板书课题）2.学习目标(1)知道两角分别相等的两个三角形相似；知道斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似.(2)能证明结论“斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似”.(3)能灵活选择适当的方法证明两个三角形相似.3.学习重、难点重点：相似三角形的判定方法3以及直角三角形相似的判定方法.难点：定理的证明.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P35.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：仿照上课时探究1,2完成探究提纲.（4）探究提纲：①探究：与同伴合作,一人先画△ABC,另一人再画△A ′B ′C ′，使得∠A=∠A ′，∠B=∠B ′.a.操作判断：分别测量这两个三角形的边长，计算,,AB AC BC A B A C B C ''''''的值，你有什么发现？∠C=∠C ′ 吗？由此你得到一个什么样的猜想？b.交流比较：把你的结果跟你周围的同学比较，你们的结论相同吗？c.归纳猜想：两角分别相等的两个三角形相似.d.推理证明：已知△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在A ′B ′上截取A ′D=AB,过D 作DE ∥B ′C ′交A ′C ′于点E. ∵DE ∥B ′C ′,∴△A ′DE ∽△A ′B ′C ′.又∵∠A=∠A ′,∠B=∠B ′,DE ∥B ′C ′,AB=A ′D,∴∠A ′DE=∠B ′=∠B.∴△ABC ≌△A ′DE.∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.e.推理格式：∵∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.②教材P5例2：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E 是AC 上一点，AE=5，ED ⊥AB,垂足为D,求AD 的.a.AB,AC,AE,AD 分别是哪两个三角形的边？这两个三角形相似吗？b.怎样证明这两个三角形相似？由此可以得到关于AB,AC,AE,AD 的一个怎样的比例式？c.写出你的解答过程.AB,AC 是△ABC 的边，AE,AD 是△AED 的边，这两个三角形相似.∵ED ⊥AB,∴∠EDA=90°,又∵∠C=90°,∠A=∠A,∴△AED ∽△ABC.∴AD AE AC AB =.∴AD=·AC AE AB=4.③如图，若B=∠AED，则△ADE∽△ACB吗？为什么？△ADE∽△ACB.理由：∵∠B=∠AED,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB.④底角相等的两个等腰三角形相似吗？顶角相等的两个等腰三角形相似吗？证明你的结论.（相似，证明略）2.自学：学生参照自学指导进行自学.3助学（1）师助生：①明了学情：了解学生对三角形相似的判定定理3的掌握情况.②差异指导：根据学情进行指导.（）助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′△ABC∽△A′B′C′.1.自学指导1）自学内容：教材P36.（2）自学时间: 6分钟.（3）自学方法:注意怎样根据已知条件选择合适的定理.(4)自学参考提纲：①由已知∠C=C′=90°，错误!未找到引用源。

九年级数学下册第二十七章相似相似三角形的判定导学案新人教

相似三角形的判定一、自主学习1、相似比为1的两个相似三角形有怎样的关系2、三角形相似的判定定理1：_________________________________________________________________3、如图，△A1B1C1的各边长是△ABC各边长的k倍，这两个三角形相似吗？三角形相似的判定定理2：几何语言表示判定定理2：∵______________________∴______________________ 跟踪练习：图中的两个三角形是否相似？如相似，相似比多少？4、如图，△A1B1C1和△ABC中，有两边成比例且夹角相等，它们相似吗？三角形相似的判定定理3：几何语言表示判定定理3：∵______________________∴______________________跟踪练习：图2中的两个三角形是否相似？二、合作探究1、如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AD=3，BD=4，AE=6，EC=8，DE=4，BC=328，能否得到DE∥BC？2、根据下列条件，判断△ABC和△A1B1C1是否相似，并说明理由：∠A=40°AB=8， AC=15, ∠A1=40°，A1B1=16，A1C1=30学习目标1、掌握三角形相似判定方法2（利用三边）及应用；2、经历探索相似三角形的判定方法的过程，锻炼学生观察探究、主动学习的能力。

学习重点掌握相似三角形判定方法2及应用学习难点相似三角形判定方法2的推导及应用如果不是夹角呢？三、展示交流1、△ABC 的三边长分别为2、、10和2，△A 1B 1C 1的两边长分别为1和5，如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，那么△A 1B 1C 1的第三边长应等于（）．A ．22 B ．2 C ．2 D ．222、如图，AB•A E =AD•A C ，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△ADE ．四、随堂检测班级姓名 1、根据下列条件： AB=4cm ， BC=6cm ， AC= 8cm,A 1B 1=12cm, B 1C 1=18cm, A 1C 1=21cm判断△ABC 和△A 1B 1C 1是否相似，并说明理由；若不相似，要使两个三角形相似，不改变AC 的长，A 1C 1的长应改为 2、如图若OAOB=_____，则△OAC ∽△OBD ，∠A=________． 3、如图，12∠=∠，添加一个条件使得ADE ∆∽ACB ∆ .4、要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？5、图中的两个三角形是否相似，并求出x 和y.6、在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：AB ＝______，BC ＝_______,AC= ,DE ＝______，DF ＝_______,EF= .（2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？1A中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．下列各式：①a 0=1 ②a 2·a 3=a 5 ③ 2–2= –14④–(3－5)＋(–2)4÷8×(–1)=0⑤x 2+x 2=2x 2，其中正确的是 ( ) A ．①②③ B ．①③⑤ C ．②③④ D ．②④⑤【答案】D【解析】根据实数的运算法则即可一一判断求解.【详解】①有理数的0次幂，当a=0时，a 0=0；②为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；③中2–2= 14，原式错误；④为有理数的混合运算，正确；⑤为合并同类项，正确．故选D.2．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是( )A ．6πB ．3πC ．2π-12D ．12【答案】A【解析】先根据勾股定理得到2S 扇形ABD ，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△AC B ，于是S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD -S △ABC =S 扇形ABD ．【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1， 2 ∴S 扇形ABD =2302=3606ππ⨯，又∵Rt△ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD −S △ABC =S 扇形ABD =6π，故选A. 【点睛】本题考查扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键. 3．用配方法解方程2230x x +-=时，可将方程变形为（） A ．2(1)2x +=B ．2(1)2x -=C ．2(1)4x -=D ．2(1)4x +=【答案】D【解析】配方法一般步骤：将常数项移到等号右侧,左右两边同时加一次项系数一半的平方,配方即可.【详解】解：2230x x+-=223x x+=2214x x++=()214x+=故选D.【点睛】本题考查了配方法解方程的步骤,属于简单题,熟悉步骤是解题关键.4．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N 为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1 【答案】B【解析】试题分析：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，∴2a+b=﹣1．故选B．5．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝1．则∠BDC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】只要证明△OCB是等边三角形，可得∠CDB=12∠COB即可解决问题.【详解】如图，连接OC，∵AB=14，BC=1，∴OB=OC=BC=1，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠CDB=12∠COB=30°，故选B ．【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型．6．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＜0）与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n ），则下列结论：①4a+2b ＜0； ②﹣1≤a≤23； ③对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立；④关于x 的方程ax 2+bx+c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a ，进而可得出4a+2b=0，结论①错误；②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a 可得出a=-3c，再结合抛物线与y轴交点的位置即可得出-1≤a≤-23，结论②正确；③由抛物线的顶点坐标及a ＜0，可得出n=a+b+c ，且n≥ax 2+bx+c ，进而可得出对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立，结论③正确；④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n 只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x 的方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．【详解】：①∵抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1，n ）， ∴-2ba=1， ∴b=-2a ，∴4a+2b=0，结论①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1，0）， ∴a -b+c=3a+c=0，∴a=-3c ．又∵抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3，∴-1≤a≤-23，结论②正确；③∵a＜0，顶点坐标为（1，n），∴n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；④∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，又∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．7．为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【答案】D【解析】根据方差反映数据的波动情况即可解答.【详解】由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差．故选D．【点睛】本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．8．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=－x2＋23x的顶点为A点，且与x 轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP＋12AP的最小值为（）. A．3 B．23C．32214+D323+【答案】A【解析】连接AO,AB,PB,作PH⊥OA于H,BC⊥AO于C,解方程得到－x2＋3得到点B,再利用配方法得到点A，得到OA的长度，判断△AOB为等边三角形，然后利用∠OAP=30°得到PH= 12AP,利用抛物线的性质得到PO=PB,再根据两点之间线段最短求解.【详解】连接AO,AB,PB,作PH⊥OA于H,BC⊥AO于C,如图当y=0时－x2＋23x=0，得x1=0,x2=23,所以B（23,0），由于y=－x2＋23x=-(x-3)2+3,所以A（3,3）,所以AB=AO=23,AO=AB=OB，所以三角形AOB为等边三角形，∠OAP=30°得到PH=1 2AP,因为AP垂直平分OB,所以PO=PB，所以OP＋12AP=PB+PH，所以当H,P,B共线时，PB+PH最短，而BC=32AB=3，所以最小值为3.故选A.【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质和最短途径的解决方法是解题的关键.9．如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( ) A．48 B．60C．76 D．80【答案】C【解析】试题解析：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，22226810AE BE++=∴S阴影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102-1682⨯⨯=100-24=76.故选C.考点：勾股定理.10．已知一组数据1、2、3、x、5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】先由平均数是3可得x的值，再结合方差公式计算．【详解】∵数据1、2、3、x、5的平均数是3，∴12355x++++=3，解得：x=4，则数据为1、2、3、4、5，∴方差为15×[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2，故选B．【点睛】本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义．二、填空题（本题包括8个小题）11．边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放,则图中阴影部分的面积为_________.【答案】1a1．【解析】结合图形，发现：阴影部分的面积=大正方形的面积的+小正方形的面积-直角三角形的面积．【详解】阴影部分的面积=大正方形的面积+小正方形的面积-直角三角形的面积=（1a）1+a1-12×1a×3a=4a1+a1-3a1=1a1．故答案为：1a1．【点睛】此题考查了整式的混合运算，关键是列出求阴影部分面积的式子．12．因式分解：2xy4x-=．【答案】．【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式x后继续应用平方差公式分解即可：()()()22xy4x x y4x y2y2-=-=+-．13．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为__________ ．【答案】16【解析】设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有：π·4=8180n ，解得360πn = 所以22360S ==16360360扇形π4πr π=n 14．分解因式：3m 2﹣6mn+3n 2＝_____．【答案】3（m-n ）2【解析】原式=2232)m mn n -+（=23()m n - 故填：23()m n -15．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm ），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为__________2cm ．【答案】16π【解析】分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．详解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm ，底面半径为2cm ，故表面积=πrl+πr 2=π×2×6+π×22=16π（cm 2）．故答案为：16π．点睛：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．16．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______【答案】【解析】如图,连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′,∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，∵∠C=90∘,AC=BC=，∴AB==2，∴BD=2×=，C′D=×2=1，∴BC′=BD−C′D=−1. 故答案为：−1.点睛: 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．17．已知a，b，c，d是成比例的线段，其中3cma=，2cmb=，6cmc=，则d=_______cm．【答案】4【解析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．【详解】已知a，b，c，d是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad＝cb，代入a＝3，b＝2，c＝6，解得：d＝4，则d＝4cm．故答案为：4【点睛】本题主要考查比例线段的定义．要注意考虑问题要全面．18．如图，AB∥CD，BE 交CD 于点D ，CE⊥BE 于点E ，若∠B=34°，则∠C 的大小为________度．【答案】56【解析】解：∵AB∥CD,34B ∠=， ∴34CDE B ∠=∠=，又∵CE⊥BE，∴Rt△C DE 中,903456C ∠=-=，故答案为56.三、解答题（本题包括8个小题）19．先化简，再求值：()()()2(2)5x y x y x y x x y ++-+--，其中21x =，21y =．【答案】9【解析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】()()()2(2)5x y x y x y x x y ++-+--222224455x xy y x y x xy =+++--+9xy =当21x =，21y =时，原式)92121=()921=⨯-91=⨯9=【点睛】本题考查整式的化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．20．先化简再求值：a b a -÷（a ﹣22ab b a-），其中a ＝2cos30°+1，b ＝tan45°．【答案】1a b -；33【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由特殊锐角的三角函数值得出a 和b 的值，代入计算可得．【详解】原式＝a b a -÷(2a a ﹣22ab b a-)＝222a b a ab b a a--+÷＝()2•a b a a a b -- ＝1a b-，当a ＝2cos30°+1＝2×32+1＝3+1，b ＝tan45°＝1时，原式1311=+-＝33．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式，也考查了特殊锐角的三角函数值．21．计算：131|13|2sin 60(2016)83π-︒︒⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭．先化简，再求值：2344111x x x x x ++⎛⎫-+÷⎪++⎝⎭，其中22x =-．【答案】 (1)1；（2）22-1.【解析】（1）分别计算负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根；（2）先把括号内通分相减，再计算分式的除法，除以一个分式，等于乘它的分子、分母交换位置.【详解】(1)原式=3+3﹣1﹣2×32+1﹣2=3+3﹣1﹣3+1﹣2=1．（2）原式=[31x +﹣(1)(1)1x x x +-+]•21(2)x x ++=(2)(2)1x x x -+-+•21(2)x x ++=22xx -+，当x=2﹣2时，原式=222222-+-+ =422-=22-1.【点睛】本题考查负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根以及分式的化简求值，解题关键是熟练掌握以上性质和分式的混合运算.22．某校为了解本校学生每周参加课外辅导班的情况，随机调査了部分学生一周内参加课外辅导班的学科数，并将调查结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整统计图（其中A ：0个学科，B ：1个学科，C ：2个学科，D ：3个学科，E ：4个学科或以上），请根据统计图中的信息，解答下列问题：请将图2的统计图补充完整；根据本次调查的数据，每周参加课外辅导班的学科数的众数是个学科；若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生一周内参加课外辅导班在3个学科（含3个学科）以上的学生共有人．【答案】（1）图形见解析；（2）1；（3）1.【解析】（1）由A的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其它类别人数求得B的人数即可补全图形；（2）根据众数的定义求解可得；（3）用总人数乘以样本中D和E人数占总人数的比例即可得．【详解】解：（1）∵被调查的总人数为20÷20%＝100（人），则辅导1个学科（B类别）的人数为100﹣（20+30+10+5）＝35（人），补全图形如下：（2）根据本次调查的数据，每周参加课外辅导班的学科数的众数是1个学科，故答案为1；（3）估计该校全体学生一周内参加课外辅导班在3个学科（含3个学科）以上的学生共有2000×105100+＝1（人），故答案为1．【点睛】此题主要考查了条形统计图的应用以及扇形统计图应用、利用样本估计总体等知识，利用图形得出正确信息求出样本容量是解题关键．23．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E求证：△ACD≌△AED；若∠B=30°，CD=1，求BD的长．【答案】（1）见解析（2）BD=2【解析】解：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．∵在Rt△ACD和Rt△AED中，AD AD{CD DE==，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1，∴DC=DE=1．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可．（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．24．某校计划购买篮球、排球共20个．购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同．篮球和排球的单价各是多少元？若购买篮球不少于8个，所需费用总额不超过800元．请你求出满足要求的所有购买方案，并直接写出其中最省钱的购买方案．【答案】（1）篮球每个50元，排球每个30元. （2）满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个；②购买篮球9，排球11个；③购买篮球2个，排球2个；方案①最省钱【解析】试题分析：（1）设篮球每个x元，排球每个y元，根据费用可得等量关系为：购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同，列方程求解即可；（2）不等关系为：购买足球和篮球的总费用不超过1元，列式求得解集后得到相应整数解，从而求解．试题解析：解：（1）设篮球每个x元，排球每个y元，依题意，得：2319035x yx y+=⎧⎨=⎩解得5030xy=⎧⎨=⎩：．答：篮球每个50元，排球每个30元．（2）设购买篮球m个，则购买排球（20-m）个，依题意，得：50m+30（20-m）≤1．解得：m≤2．又∵m≥8，∴8≤m≤2．∵篮球的个数必须为整数，∴m只能取8、9、2．∴满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个，费用为760元；②购买篮球9，排球11个，费用为780元；③购买篮球2个，排球2个，费用为1元．以上三个方案中，方案①最省钱．点睛：本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用；得到相应总费用的关系式是解答本题的关键．25．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4)，抛物线与y轴交于点B（0，3），与x 轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点．求此抛物线的解析式；求C、D两点坐标及△BCD的面积；若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD =12S△BCD，求点P的坐标.【答案】 (1)y=﹣（x﹣1）2+4；(2)C（﹣1，0），D（3，0）；6；(3)P（10，3 2），或P（11032）【解析】（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；（2）令y=0，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；（3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标．【详解】解：(1)、∵抛物线的顶点为A（1，4），∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4，把点B（0，3）代入得，a+4=3，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；(2)由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；令y=0，则0=﹣（x﹣1）2+4，∴x=﹣1或x=3，∴C（﹣1，0），D（3，0）；∴CD=4，∴S△BCD=12CD×|yB|=12×4×3=6；(3)由(2)知，S△B CD=12CD×|yB|=12×4×3=6；CD=4，∵S△PCD=12S△BCD，∴S△PCD=12CD×|yP|=12×4×|yP|=3，∴|yP|=32，∵点P在x轴上方的抛物线上，∴yP＞0，∴yP=32，∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；∴32=﹣（x﹣1）2+4，∴x=1±102，∴P（1+ 102，32），或P（1﹣102，32）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 26．如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．求二次函数y=ax2+2x+c 的表达式；连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；当点P运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）（2+102，32）（3）当点P的坐标为（32，154）时，四边形ACPB的最大面积值为758【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得9603,a cc++=⎧⎨=⎩解得13,ab=-⎧⎨=⎩二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，∵C（0，3），∴30,2E ，⎛⎫ ⎪⎝⎭∴点P 的纵坐标32，当32y =时，即23232x x -++=，解得12210210.22x x +-==，（不合题意，舍）， ∴点P 的坐标为2103,22；⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭（3）如图2，P 在抛物线上，设P （m ，﹣m 2+2m+3），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得3303,k b +=⎧⎨=⎩解得13.k b =-⎧⎨=⎩直线BC 的解析为y=﹣x+3，设点Q 的坐标为（m ，﹣m+3）， PQ=﹣m 2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m 2+3m ．当y=0时，﹣x 2+2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3， OA=1，()314AB =--=， S 四边形ABPC =S △ABC +S △PCQ +S △PBQ111,222AB OC PQ OF PQ FB =⋅+⋅+⋅ ()2114333,22m m =⨯⨯+-+⨯ 23375228m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当m=32时，四边形ABPC 的面积最大．当m=32时，215234m m -++=，即P 点的坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．当点P 的坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭时，四边形ACPB 的最大面积值为758．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．实数21-的相反数是（）A．21-B．21+C．21--D．12-【答案】D【解析】根据相反数的定义求解即可．【详解】21-的相反数是-21+，故选D．【点睛】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（）A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣7 【答案】C【解析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-1代入y=2x+b可得答案．【详解】∵当x=7时，y=6-7=-1，∴当x=4时，y=2×4+b=-1，解得：b=-9，故选C．【点睛】本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．3．下列叙述，错误的是( )A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形【答案】D【解析】根据正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定定理对选项逐一进行分析，即可判断出答案．【详解】A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，不符合题意；B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，不符合题意；C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；D. 对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项错误，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定等，熟练掌握相关判定定理是解答此类问题的关键．4．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（）A．1806x+=1206x-B．1806x-=1206x+C．1806x+=120xD．180x=1206x-【答案】A【解析】分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：1806x+=1206x-．故选A．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．5．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有( )个〇．A．6055 B．6056 C．6057 D．6058【答案】D【解析】设第n个图形有an个O(n为正整数),观察图形,根据各图形中O的个数的变化可找出"an=1+3n(n为正整数)",再代入a=2019即可得出结论【详解】设第n个图形有an个〇(n为正整数)，观察图形，可知：a1＝1+3×1，a2＝1+3×2，a3＝1+3×3，a4＝1+3×4，…，∴an＝1+3n(n为正整数)，∴a2019＝1+3×2019＝1．故选：D．【点睛】此题考查规律型：图形的变化，解题关键在于找到规律6．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．详解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：A．点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．7．若关于x的不等式组324x ax a<+⎧⎨>-⎩无解，则a的取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3【答案】A【解析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可．【详解】∵不等式组324x ax a<+⎧⎨>-⎩无解，∴a﹣4≥3a+2，解得：a≤﹣3，故选A．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.8．关于x的不等式2(1)4xa x＞＜-⎧⎨-⎩的解集为x＞3，那么a的取值范围为（）A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3D．a≤3【答案】D【解析】分析：先解第一个不等式得到x＞3，由于不等式组的解集为x＞3，则利用同大取大可得到a的范围．详解：解不等式2（x-1）＞4，得：x＞3，解不等式a-x＜0，得：x＞a，∵不等式组的解集为x＞3，∴a≤3，故选D．点睛：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．9．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依次规律，第7个图形的小圆个数是( )A．56 B．58 C．63 D．72【答案】B【解析】试题分析：第一个图形的小圆数量=1×2+2=4；第二个图形的小圆数量=2×3+2=8；第三个图形的小圆数量=3×4+2=14；则第n个图形的小圆数量=n(n+1)+2个，则第七个图形的小圆数量=7×8+2=58个.考点：规律题10．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于_____．【答案】40°．【解析】∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，∵∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°﹣25°=65°，∴∠BDC=∠B′DC=180°﹣45°﹣65°=70°，∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°．故答案为40°．12．如图，点A在双曲线1y=x上，点B在双曲线3y=x上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．【答案】2【解析】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线1y=x上，∴四边形AEOD的面积为1∵点B在双曲线3y=x上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝213．如图,在△ABC中,AB≠AC．D,E分别为边AB,AC上的点.AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:______,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)【答案】//DF AC或BFD A∠=∠【解析】因为3AC AD =，3AB AE =,A A ∠=∠ ，所以ADE ∆ACB ~∆ ,欲使FDB ∆与ADE ∆相似，只需要FDB ∆与ACB ∆相似即可，则可以添加的条件有：∠A=∠BDF，或者∠C=∠BDF,等等，答案不唯一.【方法点睛】在解决本题目，直接处理FDB ∆与ADE ∆，无从下手，没有公共边或者公共角，稍作转化，通过ADE ∆ACB ~∆，FDB ∆得与ACB ∆相似.这时，柳暗花明，迎刃而解.14．有下列等式：①由a=b ，得5﹣2a=5﹣2b ；②由a=b ，得ac=bc ；③由a=b ，得a b c c=；④由23a bc c=，得3a=2b ； ⑤由a 2=b 2，得a=b ．其中正确的是_____．【答案】①②④【解析】①由a=b,得5﹣2a=5﹣2b,根据等式的性质先将式子两边同时乘以-2,再将等式两边同时加上5,等式仍成立,所以本选项正确,②由a=b,得ac=bc,根据等式的性质,等式两边同时乘以相同的式子,等式仍成立,所以本选项正确, ③由a=b,得a bc c=,根据等式的性质,等式两边同时除以一个不为0的数或式子,等式仍成立,因为c 可能为0,所以本选项不正确,④由23a bc c=,得3a=2b, 根据等式的性质,等式两边同时乘以相同的式子6c,等式仍成立,所以本选项正确,⑤因为互为相反数的平方也相等,由a 2=b 2,得a=b,或a=-b,所以本选项错误, 故答案为: ①②④.15．甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位：环)根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是______(填“甲”或“乙”)【答案】甲【解析】由图表明乙这8次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这8次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，则S2甲<S2乙，即两人的成绩更加稳定的是甲．故答案为甲．16．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以点C 为圆心，以CB 长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点D ，连结BD ，若∠A=32°，则∠CDB 的大小为_____度．。

九年级数学《相似三角形的判定(3)》教案

《相似三角形（3）》教学设计教学评价评价量规：随堂提问、动手实践、操作演练、练习反馈；评价策略：坚持“及时评价与激励评价相结合，定量化评价与定性化评价相统一”的原则，最大限度地做到面向全体学生，充分关注学生的个性差异，将学生自评、生生互评和教师概括引领、激励式点评有机结合，既有即兴评价，又有概要性评价；既有学生的自评，又有师生、生生之间的互评，力求在评价中帮助学生认识自我、建立自信，使其逐步养成独立思考、自主探索、合作交流的学习习惯。

教学流程活动流程活动内容及目的活动一创设情境，导入新课（3——5分钟）学生借助已有的知识和经验感知和体会数学的应用价值。

活动二演示操作，形成假设（10——15分钟）探究实践，总结发现自己观察到的结论。

并加以推理证明。

活动三验证假设，获得定论（10——15分钟）将自己发现的结论加以证明。

类比活动2探究结论，运用所学勾股定理加以证明。

活动四运用新知，解决问题（3——5分钟）应用所学知识来解决实际问题活动五回顾总结，推荐作业（3——5分钟）通过归纳、作业，巩固自己所学知识，形成技能技巧。

教学程序问题与情境师生互动媒体使用与设计意图活动1：创设情境导入新课问题：（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．(3)观察两副三角尺，同样角度的两个三角尺的三个内角有什么关系？这两个三角形相似吗？如果两个三角形有两组对应角相等，它们相似吗？——引出课题．教师通过提出问题，引导学生复习学过的知识，在此基础上激发学生学习新知的欲望。

学生思考回答，同时教师将学生的回答整理板书到黑板上。

本次活动教师应重点关注：学生能否熟练回答三角形相似的判定定理，相似三角形的判定方法和性质是否熟练。

用已学的知识能否顺利完成练习。

【媒体使用】播放图片，依次出示相关内容。

【设计意图】复习旧知，承前启后；通过本环节的复习和情景创设，让学生达到复习旧知，为新课做好铺垫的目的。

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新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形的判定（三）》
导学案
课题27.2.1 相似三角形的判定（三）课型新授主备人
备课组审核级部审核学生姓名
教师寄语学而不思则罔，思而不学则殆。

学习目标1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展同学们的探究、交流能力．2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
一、新知链接
1．复习提问：
（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，
那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．
（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题．
（4）教材P48的探究3 ．
二、合作探究
例1（教材P48例2）．
例2（补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE 于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
解：
三、课堂练习
1．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．
2．下列说法是否正确，并说明理由．
（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；
（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．
3.已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．
求证：
FD
EF BF AF ．
4．已知：如图，BE 是△ABC 的外接圆O 的直径，CD 是△ABC 的高．
（1）求证：AC •BC=BE •CD ；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O 的直径BE 的长．
四、课堂小结：本节课的收获是什么？
自我评价专栏(分优良中差四个等级)
自主学习：合作与交流：书写：综合：。