大一下学期《高等数学》期末考试试题
大一下学期高数期末试题及答案
大一下学期高数期末试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 极限的定义中,ε的值可以是()。
A. 任意正整数B. 任意正实数C. 固定正整数D. 只有12. 若函数f(x)在点x=a处连续,则以下哪项正确?()A. f(a)为f(x)在x=a处的极限值B. f(a)等于f(x)在x=a处的左极限值C. f(a)等于f(x)在x=a处的右极限值D. 所有上述选项都正确3. 以下级数中,收敛的是()。
A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...B. (1 + 1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6) + ...C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...D. 1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + ...4. 函数y = x^2的导数为()。
A. 2xB. x^2C. 1/xD. -2x5. 微分方程dy/dx = x^2, y(0) = 0的解为()。
A. y = x^3B. y = -x^3C. y = 1/xD. y = -1/x二、填空题(每题2分,共10分)6. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) = _______。
7. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调递增区间为 _______。
8. 定积分∫(0→2) x^2 dx = _______。
9. 曲线y = x^3在点x=1处的切线斜率为 _______。
10. 微分方程d/dx(y^2) = 2xy,y(0) = 0的通解为 y = _______。
三、计算题(每题10分,共30分)11. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5从x=-1到x=3的定积分值。
12. 求函数g(x) = e^(2x)的导数,并计算在区间[0,1]上的定积分值。
13. 求由曲线y = x^2, y = 2x - 1, x = 0所围成的面积。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷(一)一、选择题(共12分)x,2,0,ex,fx(),1. (3分)若为连续函数,则的值为( ). a,axx,,,0,(A)1 (B)2 (C)3 (D)—1fhf(3)(3),,,2。
(3分)已知则的值为( ). limf(3)2,,h,02h1(A)1 (B)3 (C)-1 (D) 2,223. (3分)定积分的值为( )。
1cos,xdx,,,2(A)0 (B)—2 (C)1 (D)2 4。
(3分)若在处不连续,则在该点处()。
xx,fx()fx()0(A)必不可导(B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题(共12分)23x1((3分)平面上过点,且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程(0,1)(,)xy为。
124(sin)xxxdx,,2. (3分) . ,,112xlimsin3. (3分) = 。
x,0x324. (3分) 的极大值为。
yxx,,23三、计算题(共42分)xxln(15),lim。
1. (6分)求 2x,0sin3xxe,y,,2. (6分)设求y. 2x,12xxdxln(1)。
,3。
(6分)求不定积分,x,3,1,x,,fxdx(1),,4。
(6分)求其中()fx,1cos,x,,0x,1,1.ex,,,1yxt5. (6分)设函数由方程所确定,求 edttdt,,cos0yfx,()dy.,,00 26。
(6分)设求 fxdxxC()sin,,,fxdx(23)。
,,,n3,,7。
(6分)求极限 lim1。
,,,,,nn2,,四、解答题(共28分),1. (7分)设且求 fxx(ln)1,,,f(0)1,,fx()。
,,,,2。
(7分)求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋xxyxxcos,,,,,,22,,转体的体积。
323. (7分)求曲线在拐点处的切线方程. yxxx,,,,324194. (7分)求函数在上的最小值和最大值。
大一下学期高数期末试题及答案
大一下学期高数期末试题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1,求f(2)的值。
A) 2 B) 7 C) 9 D) 11答案:B) 72. 函数f(x) = 3x + 4 和 g(x) = 2x - 1,求f(x)与g(x)的交点横坐标。
A) -3/5 B) 0 C) 5/7 D) 1/2答案:A) -3/53. 设a为非零实数,若函数f(x) = x^2 + ax + a 的图像经过点(-1, 4),求a的值。
A) -1 B) 1 C) 2 D) -2答案:C) 24. 设方程x^2 - kx + 1 = 0只有一个实根,求k的取值范围。
A) (-∞, 1) B) (0, 1] C) [0, ∞) D) [1/4, ∞)答案:D) [1/4, ∞)5. 函数f(x) = ax^2 + bx + c 的图像经过点(1, 3),且在x = 2处取得最小值0.求a、b、c的值。
A) a = 1, b = 2, c = 0 B) a = 2, b = -3, c = 2 C) a = 1, b = -2, c = 3 D) a = -1, b = 2, c = 3答案:C) a = 1, b = -2, c = 3二、计算题1. 求不定积分∫(sinx + cosx)dx。
答案: -cosx + sinx + C(C为常数)2. 设函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1,求f(x)的极值点。
答案:极小值点为x = 1,极大值点为x = 33. 设函数y = ln(3x + 1),求其反函数。
答案:y = e^x / 3 - 1/34. 已知曲线y = e^x的斜率为1/2,求曲线上点的坐标。
答案:(ln2, 2)5. 设函数f(x) = √(2x + 1),求f'(1)的值。
答案:1/2三、证明题1. 证明函数y = x^3 - 3x + 2在x = 1处有一个零点。
大一下高等数学期末试题_(精确答案)
一、单选题(共15分,每小题3分)1.设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ,00(,)y f x y 都存在,则 ( )A .(,)f x y 在P 连续B .(,)f x y 在P 可微C . 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D .00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2.若xyz ln =,则dz 等于( ).ln ln ln ln .x x y y y yA x y+ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x xy y C y ydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3.设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域,则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ). 212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰21200cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰21202cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21000cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4. 4.若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ).A . 条件收敛B . 绝对收敛C . 发散D . 敛散性不能确定5.曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1)二、填空题(共15分,每小题3分)1.设220x y xyz +-=,则'(1,1)x z = .2.交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后,I =_____________________.3.设22z xy u -=,则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!n xn x e n ∞==∑,则xxe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题(共54分,每小题6--7分)1.(本小题满分6分)设arctan y z y x =, 求z x ∂∂,zy ∂∂.2.(本小题满分6分)求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程,并求切点处的法线方程.3. (本小题满分7分)求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+方向的方向导数。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷(一)一、选择题(共12分)1. (3分)若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h →--的值为( ).(A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. (3分)定积分22ππ-⎰的值为( ).(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分)1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2. (3分) 1241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. (3分) 201lim sin x x x→= .4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题(共42分)1.(6分)求2ln(15)lim.sin 3x x x x→+2. (6分)设y =求.y '3.(6分)求不定积分2ln(1).x x dx +⎰ 4.(6分)求3(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x xx f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. (6分)设函数()y f x =由方程00cos 0yxte dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6.(6分)设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. (6分)求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题(共28分)1.(7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2.(7分)求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭及x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4.(7分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明1()[()()]()()().22bbaab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰(二)一、填空题(每小题3分,共18分)1.设函数()23122+--=x x x x f ,则1=x 是()x f 的第 类间断点.2.函数()21ln x y +=,则='y.3. =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x x 21lim.4.曲线xy 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线方程为 .5.函数2332x x y -=在[]4,1-上的最大值 ,最小值 . 6.=+⎰dx xx 21arctan . 二、单项选择题(每小题4分,共20分)1.数列{}n x 有界是它收敛的( ) .() A 必要但非充分条件; () B 充分但非必要条件 ;() C 充分必要条件; () D 无关条件.2.下列各式正确的是( ) .() A C e dx e x x +=--⎰; () B C xxdx +=⎰1ln ; () C ()C x dx x +-=-⎰21ln 21211; () D C x dx xx +=⎰ln ln ln 1. 3. 设()x f 在[]b a ,上,()0>'x f 且()0>''x f ,则曲线()x f y =在[]b a ,上.() A 沿x 轴正向上升且为凹的; () B 沿x 轴正向下降且为凹的;() C 沿x 轴正向上升且为凸的; () D 沿x 轴正向下降且为凸的.4.设()x x x f ln =,则()x f 在0=x 处的导数( ).() A 等于1; () B 等于1-;() C 等于0; () D 不存在.5.已知()2lim 1=+→x f x ,以下结论正确的是( ).() A 函数在1=x 处有定义且()21=f ; () B 函数在1=x 处的某去心邻域内有定义;() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义;() D 函数在1=x 处的右侧某邻域内有定义.三、计算(每小题6分,共36分)1.求极限:xx x 1sin lim 20→. 2. 已知()21ln x y +=,求y '. 3. 求函数x x y sin =()0>x 的导数.4. ⎰+dx x x 221. 5. ⎰xdx x cos .6.方程yxx y 11=确定函数()x f y =,求y '.四、 (10分)已知2x e 为()x f 的一个原函数,求()⎰dx x f x 2.五、 (6分)求曲线x xe y -=的拐点及凹凸区间. 六、 (10分)设()()C ex dx x f x++='⎰1,求()x f .(三)一、填空题(本题共5小题,每小题4分,共20分).(1) 210)(cos lim x x x → =_____e 1________.(2)曲线x x y ln =上及直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.(3)已知xx xe e f -=')(,且)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2)(ln 21x _____ .(4)曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 _______.9131-=x y __(5)微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.)1()1(32227+++=x C x y二、选择题 (本题共5小题,每小题4分,共20分).(1)下列积分结果正确的是( D )(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x(2)函数)(x f 在],[b a 内有定义,其导数)('x f 的图形如图1-1所示,则( D ).(A)21,x x 都是极值点. (B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.,())(,22x f x 是拐点(D) ())(,11x f x 是拐点,2x 是极值点. 图1-1(3)函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是( D ).(A )23e .xy y y x '''--= (B )23e .xy y y '''--= (C )23e .xy y y x '''+-=(D )23e .x y y y '''+-= (4)设)(x f 在0x 处可导,则()()000limh f x f x h h →--为( A ).(A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .(5)下列等式中正确的结果是 ( A ).(A) (())().f x dx f x '=⎰ (B) ()().=⎰df x f x (C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰三、计算题(本题共4小题,每小题6分,共24分). 1.求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim1-+-→ 1分=x x x x x ln 1ln lim1+-→ 2分= x x x xx x ln 1ln lim1+-→ 1分= 211ln 1ln 1lim 1=+++→x x x 2分2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数,求dx dy 及22dx y d .解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''= (3分).sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''= (6分)3. 4. 计算不定积分.222 =2arctan 2 =2C =----------------+---------⎰分分(分4.计算定积分⎰++3011dx xx.解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x (3分)35)1(3233023=++-=x (6分)(或令t x =+1)四、解答题(本题共4小题,共29分). 1.(本题6分)解微分方程256xy y y xe '''-+=.212-56012,31r r r r +=----------==----------解:特征方程分特征解.分2.(本题7分)一个横放着的圆柱形水桶(如图4-1),桶内盛有半桶水,设桶的底半径为R ,水的比重为γ,计算桶的一端面上所受的压力.解:建立坐标系如图22022220322203*********RRRP gx R x dx g R x d R x g R x g R ρρρρ=----------=---------=--------=----------------⎰⎰分()分[()]分分3. (本题8分)设()f x 在[,]a b 上有连续的导数,()()0f a f b ==,且2()1b af x dx =⎰,试求()()baxf x f x dx'⎰.222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222b b aab a b b a a xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------⎰⎰⎰⎰解:分分分分4. (本题8分)过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线及曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) (3) 求D 的面积A;(2) (4)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.解:(1) 设切点的横坐标为0x ,则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方xyy1程是).(1ln 000x x x x y -+= ----1分由该切线过原点知 01ln 0=-x ,从而.0e x =所以该切线的方程为 .1x e y =----1分平面图形D 的面积 ⎰-=-=10.121)(e dy ey e A y ----2分(2) 切线xe y 1=及x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π= 2分曲线x y ln =及x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dye e V y 2102)(⎰-=π, 1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ 1分五、证明题(本题共1小题,共7分).1.证明对于任意的实数x ,1xe x ≥+.解法一:2112xe e x x xξ=++≥+ 解法二:设() 1.xf x e x =--则(0)0.f = 1分 因为() 1.xf x e '=- 1分 当0x ≥时,()0.f x '≥()f x 单调增加,()(0)0.f x f ≥= 2分当0x ≤时,()0.f x '≤()f x 单调增加,()(0)0.f x f ≥= 2分所以对于任意的实数x ,()0.f x ≥即1xe x ≥+。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
年夜一第二学期高数期末考试之公保含烟创作一、单项选择题 (本年夜题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不成导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极年夜值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点;(D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点.(A )22x (B )222x +(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本年夜题有4小题,每小题4分,共16分)4. =+→xx x sin 20)31(l i m .5. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7.=-+⎰2212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本年夜题有5小题,每小题8分,共40分)8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 延续,=⎰1()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的延续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本年夜题10分)11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.五、解答题(本年夜题10分)12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本年夜题有2小题,每小题4分,共8分)13. 设函数)(x f 在[]0,1上延续且单调递加,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上延续,且)(0=⎰πx d x f ,cos )(0=⎰dx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个分歧的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本年夜题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本年夜题有4小题,每小题4分,共16分)5.6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本年夜题有5小题,每小题8分,共40分)9.解:方程两边求导0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 11.解:1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12.解:由(0)0f =,知(0)0g =.2()()lim ()lim22xx x xf x f u duA A g x A x→→-'==-=⎰,'()g x 在=0x 处延续.13. 解:2ln dy y x dx x +=1(1),09y C =-=,11ln 39y x x x =- 四、 解答题(本年夜题10分)14.解:由已知且2d xy y x y'=+⎰,将此方程关于x 求导得y y y '+=''2特征方程:022=--r r 解出特征根:.2,121=-=r r其通解为x x e C e C y 221+=-代入初始条件y y ()()001='=,得 31,3221==C C故所求曲线方程为:xx e e y 23132+=-五、解答题(本年夜题10分)15.解:(1)依据题意,先设切点为)ln ,(00x x ,切线方程:)(1ln 000x x x x y -=-由于切线过原点,解出e x =0,从而切线方程为:x e y 1=则平面图形面积⎰-=-=1121)(e dy ey e A y(2)三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1,则2131e V π=曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六、证明题(本年夜题有2小题,每小题4分,共12分)16.证明:1()()qf x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())qqqf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰故有:1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx证毕.证:结构辅佐函数:π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0.其满足在],0[π上延续,在),0(π上可导.)()(x f x F =',且0)()0(==πF F由题设,有⎰⎰⎰⋅+===ππππ0)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ,有⎰=πsin )(xdx x F ,由积分中值定理,存在),0(πξ∈,使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上辨别应用罗尔定理,知存在 ),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈,使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ,即0)()(21==ξξf f .。
大一下学期高数期末试题及答案
大一下学期高数期末试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 设函数f(x)=x^2-4x+3,求f(x)的最小值。
A. 0B. -1C. -4D. 12. 已知数列{an}的前n项和为S_n=n^2,求a_5。
A. 10B. 11C. 12D. 133. 极限lim (n→∞) (1 + 1/n)^n 的值是:A. eB. 1C. 2D. 34. 曲线y=x^3-3x^2+2x在点(1,0)处的切线斜率是:A. 0B. 1C. -2D. 25. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是:A. πC. π/2D. π/46. 已知f(x)=2x-1,求f'(2)的值。
A. 3B. 2C. 1D. 07. 曲线y=x^2与直线y=4x-5的交点坐标是:A. (1,3)B. (2,3)C. (1,1)D. (2,7)8. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是:A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 19. 若f(x)在[a,b]上连续,且∫(a到b) f(x) dx = 0,则f(x)在[a,b]上:A. 恒等于0B. 至少有一个零点C. 恒为正D. 恒为负10. 函数y=ln(x)的原函数是:A. x-1C. x^2D. xln(x) - x + C二、填空题(每题2分,共20分)11. 函数f(x)=x^3的导数是________。
12. 微分方程dy/dx + 2y = 4x的解是________。
13. 已知∫(0到1) x dx = 1/2,那么∫(1到2) x dx =________。
14. 函数f(x)=x^2+1的二阶导数是________。
15. 利用导数求函数f(x)=x^3-2x^2+3x-4在x=2时的切线方程是________。
16. 函数y=e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是________。
17. 定积分∫(0到π/2) sin(x) dx的值是________。
大一高数下考试题及答案
大一高数下考试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 极限的定义中,当x趋近于a时,f(x)的极限为L,是指对于任意给定的正数ε,存在正数δ,使得当0<|x-a|<δ时,|f(x)-L|<ε。
这个定义描述的是()。
A. 函数在某点的连续性B. 函数在某点的可导性C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的间断性答案:C2. 以下哪个函数是偶函数?()A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案:C3. 以下哪个积分是收敛的?()A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(1/x^2)dx 从1到∞C. ∫(1/x^3)dx 从1到∞D. ∫(1/x)dx 从0到1答案:B4. 以下哪个级数是发散的?()A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案:D5. 以下哪个是二阶导数?()A. f''(x) = 2xB. f'(x) = 2xC. f(x) = x^2D. f'(x) = 2答案:A二、填空题(每题4分,共20分)1. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数是________。
答案:02. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。
答案:e^x + C3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是________。
答案:-cos(x) + C4. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分是________。
答案:1/35. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的极值点是________。
答案:x = -1三、计算题(每题10分,共30分)1. 计算极限:lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷(一)一、选择题(共12分)1. (3分)若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--的值为( ).(A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. (3分)定积分22ππ-⎰的值为( ).(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分)1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分)1241(sin )x x x dx -+=⎰.3. (3分) 21lim sinx x x→= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题(共42分) 1. (6分)求2ln(15)lim.sin 3x x x x →+2. (6分)设y =求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. (6分)求3(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x xx f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. (6分)设函数()y f x =由方程0cos 0yxt e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy6. (6分)设2()sin ,f x dx xC =+⎰求(23).f x dx +⎰7. (6分)求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题(共28分)1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. (7分)求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明1()[()()]()()().22bbaab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰(二)一、填空题(每小题3分,共18分)1.设函数()23122+--=x x x x f ,则1=x 是()x f 的第 类间断点.2.函数()21ln xy +=,则='y.3. =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x x 21lim.4.曲线x y 1=在点⎪⎭⎫⎝⎛2,21处的切线方程为 . 5.函数2332x x y -=在[]4,1-上的最大值 ,最小值 .6.=+⎰dx x x21arctan .二、单项选择题(每小题4分,共20分)1.数列{}n x 有界是它收敛的( ) .() A 必要但非充分条件; () B 充分但非必要条件 ;() C 充分必要条件; () D 无关条件.2.下列各式正确的是( ) .() A C e dx e x x +=--⎰; () B C xxdx +=⎰1ln ; () C ()C x dx x +-=-⎰21ln 21211; () D C x dx xx +=⎰ln ln ln 1. 3. 设()x f 在[]b a ,上,()0>'x f 且()0>''x f ,则曲线()x f y =在[]b a ,上.() A 沿x 轴正向上升且为凹的; () B 沿x 轴正向下降且为凹的;() C 沿x 轴正向上升且为凸的; () D 沿x 轴正向下降且为凸的.4.设()x x x f ln =,则()x f 在0=x 处的导数( ).() A 等于1; () B 等于1-;() C 等于0; () D 不存在.5.已知()2lim 1=+→x f x ,以下结论正确的是( ). () A 函数在1=x 处有定义且()21=f ; () B 函数在1=x 处的某去心邻域内有定义;() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义;() D 函数在1=x 处的右侧某邻域内有定义.三、计算(每小题6分,共36分)1.求极限:xx x 1sinlim 2→. 2. 已知()21ln x y +=,求y '.3. 求函数xxy sin =()0>x 的导数.4. ⎰+dx xx 221. 5.⎰xdx x cos .6.方程yxx y 11=确定函数()x f y =,求y '.四、(10分)已知2x e为()x f 的一个原函数,求()⎰dx x f x 2.五、 (6分)求曲线xxe y -=的拐点及凹凸区间.六、 (10分)设()()C ex dx x f x++='⎰1,求()x f .(三)一、填空题(本题共5小题,每小题4分,共20分).(1) 210)(cos lim x x x → =_____e 1________.(2)曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.(3)已知xxxe e f -=')(,且0)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2)(ln 21x _____ .(4)曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 _______.9131-=x y __(5)微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.)1()1(32227+++=x C x y二、选择题 (本题共5小题,每小题4分,共20分). (1)下列积分结果正确的是( D )(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x(2)函数)(x f 在],[b a 内有定义,其导数)('x f 的图形如图1-1所示,则( D ).(A)21,x x 都是极值点.(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.,())(,22x f x 是拐点.(D) ())(,11x f x 是拐点,2x 是极值点.(3)函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是( D ).(A )23e .xy y y x '''--= (B )23e .xy y y '''--= (C )23e .xy y y x '''+-=(D )23e .x y y y '''+-= (4)设)(x f 在0x 处可导,则()()000limh f x f x h h →--为( A ).(A)()0f x'. (B) ()0f x'-. (C) 0. (D)不存在 .(5)下列等式中正确的结果是 ( A ).(A) (())().f x dx f x '=⎰ (B)()().=⎰df x f x(C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰三、计算题(本题共4小题,每小题6分,共24分).1.求极限)ln 11(lim 1x x x x --→. 解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→ 1分 =x x x xx ln 1ln lim1+-→ 2分 = x x x x x x ln 1ln lim1+-→ 1分= 211ln 1ln 1lim 1=+++→x x x 2分2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数,求dx dy 与22dx y d .解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''= (3分).sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''= (6分)3. 4. 计算不定积分.222(1) =2arctan 2 =2d x C =----------+------+---------⎰⎰分分(分4.计算定积分⎰++3011dx xx.解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x⎰+--=30)11(dx x (3分)35)1(3233023=++-=x (6分)(或令t x =+1)四、解答题(本题共4小题,共29分).1.(本题6分)解微分方程256xy y y xe '''-+=.2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解:特征方程分特征解.分 次方程的通解Y =C 分令分代入解得,所以分所以所求通解C 分2.(本题7分)一个横放着的圆柱形水桶(如图4-1),桶内盛有半桶水,设桶的底半径为R ,水的比重为γ,计算桶的一端面上所受的压力.解:建立坐标系如图22022220322203*********RRRP gx R x dx g R x d R x g R x g R ρρρρ=----------=---------=--------=----------------⎰⎰分()分[()]分分3. (本题8分)设()f x 在[,]a b 上有连续的导数,()()0f a f b ==,且2()1b af x dx =⎰,试求()()baxf x f x dx'⎰.222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222bb aab ab b a a xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------⎰⎰⎰⎰解:分分分分4. (本题8分)过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) (3) 求D 的面积A;(2) (4) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .解:(1) 设切点的横坐标为0x ,则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= ----1分由该切线过原点知 01ln 0=-x ,从而.0e x =所以该切线的方程为.1x e y =----1分平面图形D 的面积⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y ----2分xyxyO1e1D(2) 切线xe y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为.3121e V π= 2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dye e V y 212)(⎰-=π, 1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ 1分五、证明题(本题共1小题,共7分).1.证明对于任意的实数x ,1xe x ≥+.解法一:2112xe e x x xξ=++≥+ 解法二:设() 1.xf x e x =--则(0)0.f = 1分 因为() 1.xf x e '=- 1分 当0x ≥时,()0.f x '≥()f x 单调增加,()(0)0.f x f ≥= 2分 当0x ≤时,()0.f x '≤()f x 单调增加,()(0)0.f x f ≥= 2分 所以对于任意的实数x ,()0.f x ≥即1xe x ≥+。
大一下学期高数期末试题及答案
大一下学期高数期末试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 函数$f(x)=x^2-4x+4$的最小值是()A. 0B. 1C. 4D. 3答案:D2. 极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$的值是()A. 0B. 1C. 2D. $\infty$答案:B3. 曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线斜率是()A. 0B. 1C. 3D. 12答案:C4. 微分方程$y''-2y'+y=0$的通解是()A. $y=e^{tx}$B. $y=e^{t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t)$C. $y=e^{tx}(C_1 + C_2x)$D. $y=(C_1 + C_2x)e^{tx}$答案:B二、填空题(每题5分,共20分)5. 函数$f(x)=\ln(x)$的定义域是______。
答案:$(0,+\infty)$6. 函数$f(x)=x^3-3x$的导数是______。
答案:$3x^2-3$7. 函数$f(x)=\frac{1}{x}$的不定积分是______。
答案:$\ln|x|+C$8. 函数$f(x)=\sin x$的原函数是______。
答案:$-\cos x+C$三、计算题(每题10分,共30分)9. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答案:$\frac{1}{3}x^3|_0^1 = \frac{1}{3}$ 10. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$。
答案:$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$11. 求函数$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$的极值。
答案:函数的极值点为$x=1$和$x=3$,其中$x=1$为极大值点,$x=3$为极小值点。
四、证明题(每题10分,共30分)12. 证明:$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、填空题(每小题3分,共18分)
1.设函数 ,则 是 的第类间断点.
2.函数 ,则 .
3. .
4.曲线 在点 处的切线方程为.
5.函数 在 上的最大值,最小值.
6. .
二、单项选择题(每小题4分,共20分)
1.数列 有界是它收敛的().
必要但非充分条件; 充分但非必要条件;
充分必要条件; 无关条件.
二.选择题(每小题4分,4题共16分):
1.设常数 ,则函数 在 内零点的个数为(B).
(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.
2.微分方程 的特解形式为(C)
(A) ;(B) ;
(C) ;(D)
3.下列结论不一定成立的是(A)
(A)(A)若 ,则必有 ;
(B)(B)若 在 上可积,则 ;
(C)(C)若 是周期为 的连续函数,则对任意常数 都有 ;
2.下列各式正确的是().
; ;
; .
3.设 在 上, 且 ,则曲线 在 上.
沿 轴正向上升且为凹的; 沿 轴正向下降且为凹的;
沿 轴正向上升且为凸的; 沿 轴正向下降且为凸的.
4.设 ,则 在 处的导数().
等于 ; 等于 ;
等于 ; 不存在.
5.已知 ,以下结论正确的是().
函数在 处有定义且 ; 函数在 处的某去心邻域内有定义;
大一高等数学期末考试试卷
(一)
一、选择题(共12分)
1. (3分)若 为连续函数,则 的值为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1
2. (3分)已知 则 的值为( ).
(A)1 (B)3 (C)-1 (D)
3. (3分)定积分 的值为( ).
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大一高等数学期末考试试卷一、选择题(共12分)1. (3分)若为连续函数,则的值为( ).2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩a (A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. (3分)已知则的值为( ).(3)2,f '=0(3)(3)lim2h f h f h →--(A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. (3分)定积分的值为().(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. (3分)若在处不连续,则在该点处( ).()f x 0x x =()f x (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分)1.(3分) 平面上过点,且在任意一点处的切线斜率为的曲线方(0,1)(,)x y 23x 程为 .2. (3分) .1241(sin )x x x dx -+=⎰3. (3分) = .201lim sinx x x→4. (3分) 的极大值为 .3223y x x =-三、计算题(共42分)1.(6分)求2ln(15)lim.sin 3x x x x →+2.(6分)设求y =.y '3.(6分)求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4.(6分)求其中3(1),f x dx -⎰,1,()1cos 1, 1.x xx f x xe x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5.(6分)设函数由方程所确定,求()y f x =0cos 0y xte dt tdt +=⎰⎰.dy 6.(6分)设求2()sin ,f x dx x C =+⎰(23).f x dx +⎰7.(6分)求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题(共28分)1.(7分)设且求(ln )1,f x x '=+(0)1,f =().f x 2.(7分)求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭x x 周所得旋转体的体积.3.(7分)求曲线在拐点处的切线方程.3232419y x x x =-+-4.(7分)求函数上的最小值和最大值.y x =+[5,1]-五、证明题(6分)设在区间上连续,证明()f x ''[,]a b 1()[()()]()()().22bbaab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 123 0;4 0.31;y x =+2;3三、 1 解 原式 5分25lim3x x xx→⋅=1分53=2解2分2ln ln ln(1),2xy x ==-+4分21221xy x '∴=-+3 解 原式 3分221ln(1)(1)2x d x =++⎰2分222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰1分2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+4解 令则2分1,x t -=1分321()()f x dx f t dt -=⎰⎰1分1211(1)1cos t tdt e dt t -=+++⎰⎰ 1分210[]t e t =++1分21e e =-+5两边求导得2分cos 0,yey x '⋅+= 1分cos y xy e'=-1分cos sin 1xx =-2分cos sin 1xdy dx x ∴=-6解2分1(23)(23)(22)2f x dx f x d x +=++⎰⎰ 4分21sin(23)2x C =++7解 原式= 4分23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+⎪⎝⎭=2分32e 四、1 解 令则3分ln ,xt =,()1,t t x e f t e '==+=2分()(1)t f t e dt =+⎰.t t e C ++ 2分(0)1,0,f C =∴=1分().x f x x e ∴=+2解3分222cos x V xdx πππ-=⎰2分2202cos xdx ππ=⎰2分2.2π=3解1分23624,66,y x x y x '''=-+=-令得1分0,y ''= 1.x =当时, 当时,2分1x -∞<<0;y ''<1x <<+∞0,y ''>为拐点,1分(1,3)∴该点处的切线为2分321(1).yx =+-4解2分1y '=-=令得1分0,y '=3.4x =2分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭最小值为最大值为2分∴(5)5y -=-+35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭五、证明1分()()()()()()bbaax a x b f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分[()()()]()[2()bb a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分[2()()ba x ab df x =--+⎰1分 {}[2()]()2()bba a x ab f x f x dx =--++⎰ 1分()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰移项即得所证. 1分。
(完整版)大一下学期高等数学期末考试试题及答案
高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】院(系)另寸___________ 班级___________ 学号 _______________ 姓名_________________ 成绩_____________、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上.)r r r r r1、已知向量a、b满足a b o, a 2,b 2,则a b __________ .32、设z xln(xy),贝H ----- _____________ .x y3、曲面x2 y2 z 9在点(1,2, 4)处的切平面方程为_________________________________________ .4、设f (x)是周期为2的周期函数,它在[,)上的表达式为f(x) x,贝U f (x)的傅里叶级数在x 3处收敛于____________ ,在x 处收敛于_________ .5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则Jx y)ds __________ .※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程一…,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级. 、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分)2x2 3y2 z29 亠 _1、求曲线 2 2 2 在点M o (1, 1,2)处的切线及法平面方程.z 3x y2 2 2 22、求由曲面z 2x 2y及z 6 x y所围成的立体体积.n 13、判定级数(1)n ln 是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?n 1 n2x z z4、设z f (xy, ) sin y,其中f具有二阶连续偏导数,求,•y x x y5、计算曲面积分dS,其中是球面x2 y2 z2 a2被平面z h (0 h a)截出的顶部.三、(本题满分9分)抛物面z x y被平面x y z 1截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.四、(本题满分10分)计算曲线积分L(e x siny m)dx (e x cosy mx)dy,其中m为常数,L为由点A(a,0)至原点0(0,0)的上半圆周x2 y2 ax (a 0).五、(本题满分10分)n求幕级数的收敛域及和函数.n 13n n六、(本题满分10分)计算曲面积分| 2x3dydz 2y3dzdx 3(z21)dxdy,其中为曲面z 1 x2 y2(z 0)的上侧.七、(本题满分6分)设f (x)为连续函数,f(0) a , F(t) [z f(x2 y2 z2)]dv,其中t 是由曲面z •, —y2tF(t)与z t2x2y2所围成的闭区域,求limt 0备注:①考试时间为2小时;②考试结束时,请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交; 不得带走试卷。
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试一试卷一、选择题(共12 分)1.( 3 分)若 f ( x)2e x , x 0,为连续函数 , 则a的值为 ().a x, x0(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12.( 3 分)已知f(3) 2, 则lim f (3 h) f (3) 的值为().h02h(A)1 (B)3 (C)-1(D)1 23.( 3 分)定积分212xdx 的值为().cos2(A)0 (B)-2 (C)1(D)24.(3分)若f (x)在x x0处不连续,则 f ( x) 在该点处().(A)必不行导 (B) 必定可导 (C) 可能可导 (D) 必无极限二、填空题(共 12 分)1.(3 分)平面上过点(0,1) ,且在任意一点 ( x, y) 处的切线斜率为 3x2的曲线方程为.2.( 31x4 sin x) dx.分)( x213.( 3分) lim x2 sin1=.x0x4.( 3分) y2x33x2的极大值为.三、计算题(共42 分)1.( 6x ln(15x).分)求 limsin 3x2x02.(6 分)设ye xx2, 求 y .13.( 6分)求不定积分x ln(1 x2 )dx.x 4.( 63f ( x 1)dx, 此中f (x) 1, x 1,分)求cosxe x1,x 1.5. ( 6 分)设函数 yy x f ( x) 由方程e t dtcostdt 0 所确立 , 求 dy.6. ( 6 分)设 f ( x)dxsin x 2 C, 求 f (2 x 3)dx.3 n7. ( 6 分)求极限 lim 1 .2nn四、解答题(共 28 分)1. ( 7 分)设 f (ln x) 1 x, 且 f (0)1, 求 f ( x). 2. ( 7 分)求由曲线 ycos x2x与 x 轴所围成图形绕着 x 轴旋转一周2所得旋转体的体积 .3. ( 7 分)求曲线 y x 3 3x 2 24x 19 在拐点处的切线方程 .4. ( 7 分)求函数 yx1 x 在 [ 5,1] 上的最小值和最大值 .五、证明题 (6 分)设 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续 , 证明b b a1 bf (x)dx[ f (a) f (b)]( x a)( x b) f ( x) dx.a22 a标准答案一、 1 B;2C; 3D; 4 A.二、 1y x31;22 ;3 0;40.3三、 1解 原式limx5x 5 分x 03x 251 分32 解Q ln y lne x x ln( x 2 1),2 分x 2 12y e x[12x] 4 分x 21 2x 2 13 解原式1ln(1 x 2 ) d (1 x 2 )3 分21[(12)ln(12 (12) 12xdx]2xx )xx 22 分1[(1 x 2 )ln(1 x 2 )x 2 ] C1 分24解令 x1 t, 则2 分320 f ( x)dx1 f (t )dt1t2 t11 costdt1 (e 1)dt0 [ e tt ]12e 2 e 15两边求导得 eyy cosx 0,cosxQ ye ycosxsin x 1dycosx dxsin x 16 解f (2 x 3) dx1 f (2 x2 1sin(2 x 3)2 C21 分1 分1 分 1 分2 分1 分1 分2 分3)d(2 x 2)2 分4 分32 n 37 解原式 = lim3 24 分1n2n3= e22 分四、 1 解令 ln xt, 则 xe t ,f (t) 1 e t ,3 分f (t )(1 e t )dt = t e tC.2 分Q f (0)1, C 0,2 分f (x) xe x .1 分2 解V x2 23 分cos xdx222cos 2 xdx2 分2.2 分23 解 y3x 2 6x 24, y6x 6,1 分令 y 0, 得 x 1.1 分当x 1时 , y0; 当 1 x时 , y0,2 分(1,3) 为拐点 ,1 分该点处的切线为 y 3 21(x 1).2 分4 解 y 11x2 1 x 1, 2 分2 12 1 x令 y0, 得 x3 . 1 分4y( 5)56,2.55,y3 5, y(1) 1,2 分44最小值为 y(5)56, 最大值为 y35 . 2 分44五、证明ba)( x b) f(x) ba)( x b) df ( x)1 分(x( xaabb[( x a)( x b) f (x)] aaf ( x)[2 x ( a b)dx1分ba [2 x (a b)df ( x)1分[2 x (a b)] f ( x)(b a)[ f ( a) f (b)]移项即得所证 .b ba2 a f ( x)dx1分b2 a f ( x)dx,1分1分。
大一第二学期高等数学期末考试试卷
高等数学(工科·本)试卷(2)一、填空题(每空3分,共15分)1. 设(,)y f x y x =,则(2,1)x f = .2. 由向量(2,2,1)(4,5,3)a b ==为构成的平行四边形面积为 .3. 曲线积分_______d d 21L =-⎰x y y x ,其中L 是422=+y x 沿顺时针方向一周.4. 设幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛区间是(1,1]-,则幂级数∑∞=-0)1(n n n x a 的收敛区间是 .5. 0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x 的通解为 .二. 单项选择题(把正确的答案填在括号内,每小题3分,共15分)1. 函数),(y x f z =在点),(00y x 处具有偏导数是它在该点存在全微分的( )(A)必要而非充分条件. (B)充分而非必要条件.(C)充分必要条件. (D)既非充分又非必要条件.2. 下列微分方程中,通解为:312()xy c c x e -=+的二阶常系数齐次线性方程是( )(A) 690y y y '''-+= (B) 690y y y '''++=(C) 691y y y '''++= (D) 60y y '''+=3. 二次积分⎰⎰10d ),(d xx y y x f x 改变积分次序后得到( ).(A )⎰⎰1 0 d ),(d y y x y x f y . (B )⎰⎰1 0 2d ),(d y y x y x f y .(C )⎰⎰10 2d ),(d y y x y x f y . (D ) ⎰⎰1 0 d ),(d y y x y x f y 4. 级数πn n n cos 211∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-() (A )发散. (B )条件收敛.(C )收敛,和为1-. (D )为正项级数,和为1.5. 设幂级数∑∞=1n n n x a在2=x 处收敛,则它在1-=x 处( )(A )绝对收敛. (B )条件收敛. (C )发散. (D )不一定收敛.三、计算题(每小题6分,共18分)1. 求⎰⎰D y x yx d d 2,其中D 为1=xy ,x y =及2=x 所围成的区域. (sin )0 .y x x dx xdy -+=2.求微分方程的通解. ),(),( .33dz y x f y x xf y z 为可微函数,求,其中设+=四、计算题(每小题7分,共28分)1. 求曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程 2.求幂级数1n n ∞=∑().3. 将函数1()3f x x=-展开为1x -的幂级数并写出其收敛域. 4. 求微分方程02=+'-''y y y 的一条积分曲线,使其过点)2,0(且在该点有水平切线五、解答题(每小题8分,共24分)1. 设曲线积分222()[()]L xyf x dx x y f x dy ++-⎰与路径无关,其中()f x 有连续导数,且(0)0,f = 求:(1)()f x ;(2) 计算(1,1)22(0,0)2()[()]xyf x dx x y f x dy ++-⎰2. 求向量() () A y z x i x y k =-+- 穿过曲面∑流向指定侧的通量, 其中∑为柱面122=+y x 及平面 3,0==z z 所围成的空间闭区域Ω的整个边界的外侧.3.计算∑⎰⎰,其中∑是由曲线20z y x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面被夹在xoy 面与平面4z =之间的部分.。
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高数
高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】
院(系)别班级学号姓名成绩
大题一二三四五六七
小题12345
得分
一、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上)
1、已知向量、满足,,,则.
2、设,则.
3、曲面在点处的切平面方程为.
4、设是周期为的周期函数,它在上的表达式为,则的傅里叶级数
在处收敛于,在处收敛于.
5、设为连接与两点的直线段,则.
※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级.二、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分)
1、求曲线在点处的切线及法平面方程.
2、求由曲面及所围成的立体体积.
3、判定级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?
4、设,其中具有二阶连续偏导数,求.
5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.
三、(本题满分9分)
抛物面被平面截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.
高数
四、(本题满分10分)
计算曲线积分,
其中为常数,为由点至原点的上半圆周.
五、(本题满分10分)
求幂级数的收敛域及和函数.
六、(本题满分10分)
计算曲面积分,
其中为曲面的上侧.
七、(本题满分6分)
设为连续函数,,,其中是由曲面
与所围成的闭区域,求.
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备注:①考试时间为2小时;
②考试结束时,请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交;
不得带走试卷。
高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】
参考解答与评分标准
一、填空题【每小题4分,共20分】1、;2、;3、;4、3,0;5、.
二、试解下列各题【每小题7分,共35分】
1、解:方程两边对求导,得,从而, (4)
该曲线在处的切向量为 (5)
故所求的切线方程为 (6)
法平面方程为即 (7)
2、解:,该立体在面上的投影区域为. (2)
故所求的体积为 (7)
3、解:由,知级数发散 (3)
又,.故所给级数收敛且条件收敛.【7】4、解:, (3)
【7】
5、解:的方程为,在面上的投影区域为.
又,…..………【3】
故..【7】
三、【9分】解:设为该椭圆上的任一点,则点到原点的距离为 (1)
令,
则由,解得,.于是得到两个可能极值点
(7)
又由题意知,距离的最大值和最小值一定存在,所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得.
故 (9)
四、【10分】解:记与直线段所围成的闭区域为,则由格林公式,得
. (5)
而 (8)
(10)
五、【10分】解:,收敛区间为 (2)
又当时,级数成为,发散;当时,级数成为,收敛. (4)
故该幂级数的收敛域为 (5)
令(),则
,() (8)
于是,()………………….【1 0】
六、【10分】解:取为的下侧,记与所围成的空间闭区域为,则由高斯公式,
有 (5)
(7)
而 (9)
(10)
七、【6分】解: (2)
(4)
故【6】。