数学奥林匹克高中训练题(21)(精编)
【精品】数学奥林匹克竞赛高中训练题集【共36份】
目 录
数学奥林匹克高中训练题（01） ........................................................................................................................... 1 数学奥林匹克高中训练题（02） ........................................................................................................................... 3 数学奥林匹克高中训练题（03） ........................................................................................................................... 4 数学奥林匹克高中训练题（04） ........................................................................................................................... 6 数学奥林匹克高中训练题（05） ........................................................................................................................... 8 数学奥林匹克高中训练题（06） ...........................................................
数学奥林匹克高中训练题(1)
２
中 等 数 学
模 拟 锹 穰
数学奥林 匹克高 中训练题 （） １
第 一 试
一
｛，， ， ｝ １２ … ｎ 上的单调递增函数 ， 且对任何 、
、
选 择题 （ 小题 ６分 ， ３ ） 每 共 ６分
ｙ ， ））么 ） ∈有 ： ． ， ＿ Ａ炙 Ｙ （ ． 那
ｎＩ＋ ｎ ＋ … ＋ ｎ ２ ＾ ｎ
（ （ （ （ Ａ Ｂ ｃ 。 ） ） ） ） 譬 譬
６设 ｎ＞１ （ 是定义在有限集合 Ａ＝ ． ， ） ｆ
ｏ ｎＩ ｎ … ・ ＾≤ ｎ ≤ － ２・ ｎ
五 、２ ） 直线 与 函数 Ｙ＝ 一 ＋ （０分 设
的图像恰 有两个不 同的公共点 ． 求出所有
（） Ａ ｎ＝２ （ ） Ｂ ｎ＝３ （ ） Ｃ ｎ＝４ （ ｎ ５ Ｄ） ＞ １
１ 设 ｆ ） ， ＋Ｃ Ｉ ０ Ｉ １ ． （ ：Ｏ ＋ Ｘ ， ｆ（ ） ≤ ，
Ｉ（ ）≤１ ｔ 一１ Ｉ ． 么 ，ｆ ２ Ｉ 最 ｆ １ Ｉ ，ｆ（ ） ≤１那 Ｉ（ ） 的 大值 为 （
故∑
１
１ ０ ０ ０
１
一
ＩＧ ０ Ｏ
．
（ ＋一 ） － ｗ ｉ
ｉ １ ＝
１０ ｏ ０
一 ９ ５． ． Ｄ
令 ： ‘ ， 于是 ，
参 考 答 案
第 一 试
１ Ｃ． ．
ｙ＝
＋２
＋ ｌ
ｔ ＝
＋
志
≤
ｔ
＋
＝
＋
Ｉ２Ｉ ４ ） ＝１ａ＋２ ６＋ｃ Ｉ
（ ） Ａ５
二 、 空题 （ 填 每小 题 ９分 ， ５ ） 共 ４分
数学奥林匹克高中训练题(232)
概 率 为— — ．
二 、解 答 题 （共 ５６分 ） ９．（１６分 ）由点 Ｐ 向椭 圆 ４ ＋５， ＝２０ 作 出的两 条 切 线 互 相 垂 直．求 点 Ｐ 的 轨 迹 方 程 ． １０．（２Ｏ分 ）数 列 ｛Ⅱ ｝的前 ｎ项 和 Ｓ 满 足
＝ ２∑ ｃ ７ －－２（ｍｏｄ ７２）．
５． ．
２ｋ－１ａ（ａ为 奇数 ，ｋ使 得 ２ ａ≤２ ０１８＜２ｋａ） 的各项仅有两种情况 ：
若 ａ∈Ａ，则 ２ａ ＥＡ，２２ａ∈ Ａ，…依 次确
由于抛物线 上 点 的横 坐 标 不小 于 １，即 到 Ｙ轴 的距离不 小于 １，于是 ，椭 圆的左顶 点 到左 准线 的距 离不小于 １．
注意 到 ，正 八 边 形 Ａ Ａ …Ａ 的 四条 边 １ ２ 、 ３ ４ 、 ５ ６ 、Ａ７ ８所 在 的 直 线 围 成 一 个
边长 为√ ＋１的正方形．
３ＬＡｉＡｊ· 。Ａ 为４ 在正方形一条边上的
投影 ，显然 ，不超过 边 长 ＋１．当 取Ａ８Ａ３
时 ，投 影长为√ ＋１，故最大值为 ＋１．
。 ＝ ÷＋÷√Ｔ两 （ｎ≥２）．
又 ｎ，＝１，求 数列的通项公式． １１．（２０分 ）已知 非 负 实数 、Ｙ、 满 足
＋ｙ＋ ：１．求 ，＋２ｙｚ＋ 的 最 大 值－Ｈ Ｆ ２
小 值 ．
加 试
一 、 （４０分 ）对平 面 上 的简 单 ３００边 彤 （不 自交 ），求它所 有 的内角 中直角 个数 的最 大 值 ．
若首项系数为1的实系数四次多项式有四个虚根其中的两个乘积为32i另两个的和为7i则二次项的系数为
Ｉ１等 数 学
2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(214)
2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（214）
______年______月______日
____________________部门
第一试
一、填空题
1.已知点A(3,1),，且的四个顶点均在函数的图像上，则的面积为 。
2.设集合，若集合A中所有四元子集的四个元素之积组成的集合为，则集合A中的元素和为 。
7.在四面体ABCD中，，AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的体积为 。
8.设为定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，均有，则实数的取值范围是 。
二、解ห้องสมุดไป่ตู้题
9.已知函数，设为正实数，且。证明：
10.设抛物线的焦点为F，过F且垂直于轴的直线与抛物线E交于S、T两点，以为圆心的圆过点S、T，且。
二、设为正整数，为素数。求所有满足的三元数组（）
三、将编号为1，2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球。设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求使S达到最小值的放法的概率。
四、已知正实数满足有一组不全为0的实数解且。证明：
（1）求抛物线的方程。
（2）设M上的点，过点M且垂直于FM的直线与抛物线E交于A、B两点，证明：。
11.记表示不超过实数的最大整数，已知数列满足。设，求
加试
一、如图1，过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线与圆交于C、D两点，C在P、D之间，在弦CD上取一点Q，使得，证明：QP平分.
3.在中，，点D在边AB上，BD=1，AC=，DA=DC，则
4.椭圆上任意两点P、Q，O为坐标原点，若，则面积的最小值为 。
5.现安排七名同学去参加五个运动项目，要求甲、乙两名同学不能参加同一个项目，每个项目均有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同方案数为 。
高中数学竞赛模拟试题及参考答案(可编辑)
数学奥林匹克高中训练题第一试一、填空题（每小题8份，共64分）1.函数3()2731xx f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,113a =,且12[]n n n a a a +=-,则20092010a a +=_____. 3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____. 4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____. 5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,,则在该四面体的表面上与点A 距离为2的点形成的曲线长度之和为_____.7.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2kk e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.8.某校进行投篮比赛,共有64人参加.已知每个参赛者每次投篮的命中率均为34,规定只有连续命中两次才能被录取,一旦录取就停止投篮,否则一直投满4次.设ξ表示录取人数,则E ξ=_____.二、解答题（共56分）9.(16分)设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上点F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.10.(20分)是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.(20分)设函数32()f x ax bx cx d =+++的图像Γ上有两个极值点,P Q ,其中P 为坐标原点, (1)当点Q 的坐标为(1,2)时,求()f x 的解析式；(2)当点Q 在圆22(2)(3)1x y -+-=上时,求曲线Γ的切线斜率的最大值.加试一、(40分)设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.二、(40分)已知周长为1的i i i A B C ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c .设2224i i i i i i i p a b c a b c =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、(50分)是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、(50分)对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.参 考 答 案 第一试一、1.53-.令3xt =,[0,3]x ∈,则有3()()271f x g t t t ==-+,[1,27]t ∈,而2'()3273(3)(3)g t t t t =-=-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.2.2009. 由已知可得113a =,223a =,343a =.下面用数学归纳法证明:21n n a a +-=,1n n a a n ++=.显然,当1n =时,结论成立.假设当n k =时,结论成立,即是有21k k a a +-=,1k k a a k ++=.则当1n k =+时,3122222[](2[])2()([][])2[1][])1k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a ++++++-=---=---=-+-=（. 121(1)1k k k k a a a a k ++++=++=+. 即,当1n k =+时,结论也成立.综上所述,21n n a a +-=,1n n a a n ++=总成立.故200920102009a a +=.3.84.由题意若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x A B ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.4.4. 由已知得11sin 12cos x n x --=---,而1sin 2cos xx---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得11(0,)3n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4. 5.[0,3).由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2cx a=.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a<=<,从而可得2212||[0,3)x x -∈.6.32π. 如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6π；④在面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632πππππ+++=. 7.122n --.设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k k a c =,2k k k kce a -==,故可得2k k a -=,于是可得121222212n nn a a a ----+++=+++=- ,故这n 个椭圆的长轴之和为12(12)22n n---=-.8.1894. 由于每位参赛者被录取的概率均为331331133189444444444256p =⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=,故录取人数ξ服从二项分布,即189(64,)256B ξ~,所以189189642564E ξ=⨯=.二、9.由已知得(,0)2p F ,设点(,0)A a ,则12FA a p =-,故以FA 为直径的圆为22222()()44a p a p x y +--+=.令1122(,),(,)M x y N x y ,则可知12,x x 是方程2222()2()44a p a p x px +--+=的两个实数根,将该方程化简得:22(23)0x a p x ap --+=,由韦达定理得1223322a p x x a p -+==-.故121131()()()2222FM FN x p x p a p p a p FA +=+++=-+=-=,即FM FN FA +=.10.当(0,)2πθ∈时,函数sin y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=对称,函数tan y x =与cot y x =的图像也关于直线4x π=对称,且当4πθ=时,sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的任一排列均不可能成等差数列.故只需考虑是否存在(0,)4πθ∈使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列即可.假设存在(0,)4πθ∈符合题意,则由sin cos tan cot θθθθ<<<可知cot tan cos sin θθθθ-=-,从而有sin cos sin cos θθθθ+=⋅,故2(sin cos )12sin cos 1sin 2θθθθθ⋅=+⋅=+.而2(sin cos )1θθ⋅<,且1sin 21θ+>,故假设不成立.即,不存在这样的θ,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列.11.因为32()f x ax bx cx d =+++,所以'2()32f x ax bx c =++.因为图像Γ上有一个极值点P 为坐标原点,所以'(0)0f =,且(0)0f =.故0c d ==.(1)当点Q 的坐标为(1,2)时,由'(1)0f =与(1)2f =可得:320a b +=,且2a b +=.解之,得:4,6a b =-=.此时,32()46f x x x =-+.(2)∵'2()32f x ax bx =+,且由题意点Q 在圆22(2)(3)1x y -+-=上知0a <,∴曲线Γ的切线斜率k 的最大值为'()f x 的最大值2max3b k a=-.设点Q 的坐标为(,)m n ,则有'()0f m =,且()f m n =,∴2320am bm +=,且32am bm n +=.∴32b m a =-,23nb m=. ∴2max 332b n k a m =-=⋅. ∵n m表示过原点且与圆22(2)(3)1x y -+-=有公共点的直线的斜率,而过原点且与圆22(2)(3)1x y -+-=有公共点的直线斜率的最大值为2∴2max33(23322b n k a m =-=⋅≤=+∴曲线Γ的切线斜率的最大值为3加 试一、由西姆松定理知,,P Q R 三点共线.由题意易知,,,C Q D R 四点共圆,则有DCA DQR DQP ∠=∠=∠,同样有,,,A P R D 四点共圆,则有D A C D P R D P ∠=∠=∠.故DAC ∆∽DPQ ∆,同理,可得:DAB ∆∽DRQ ∆,DBC ∆∽DPR ∆,因此有:PR DB DA DP PR BA BC QR DC DQ QR BCDB BA⋅===⋅⋅. 从而PR QR =的充要条件是DA BADC BC=.又由三角形的角平分线的性质定理可得,ABC ADC ∠∠的平分线分AC 的比分别为,BA DABC DC.故命题成立. 二、由题意知1i i i a b c ++=,且不妨设i i i a b c ≤≤,则由于三角形的三边关系可得102i i i a b c <≤≤<,于是不难得312121210(12)(12)(12)()327i i i i i i a b c a b c -+-+-<---≤=. 2222222(12)(12)(12)12()4()814()812[()()]812(4)12i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c p ---=-+++++-=-+++-=-+++-++-=-+++=- 从而可得131272i p ≤<,所以121||54p p -<. 三、由640p q r s +++=,且,,,p q r s 是互不相同的素数知,,,p q r s 都是奇数.设2222p qs m p qr n ⎧+=⎪⎨+= ⎪⎩ ①②, 并不妨设s r <,则m n <.由①,②可得()()()()m p m p qsn p n p qr-+=⎧⎨-+=⎩.若1m p ->,则由m p n p n p -<-<+可得m p q n p +==-,故2q m n =+,,s m p r n p =-=+,从而2s r m n q +=+=,故23640p q r s p q q p q +++=++=+=.又由于23s m p q p =-=-≥,故可得90p ≤,逐一令p 为不大于90的素数加以验证便知此时无解.若1m p -=,则21qs m p p =+=+,故12qs p -=.而q m p n p <+<+,故,2q n p r n p p q =-=+=+. 故3(1)3226402qs p q r s p q s q s -+++=++=++=,即是有(32)(34)385771929q s ++==⨯⨯,于是得3419,32729s q +=+=⨯,故5,67s q ==,从而167,401p r ==.综上可得167,67,401,5p q r s ====或167,67,5,401p q r s ====.四、所求的最小正整数26n =.我们分两步来证明,第一步说明25n ≤不行,第二步说明26n =是可以的.首先说明当25n ≤时是不行的.我们构造如下的25个正整数:543215432154321543215432122222;33333;55555;7,7777;1111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①②③④⑤.如上,我们把这25个正整数分成5组,则任意选取六个数都一定会有两个数在同一组,显然在同一组中的这两个数中的一个能整除另一个；另一方面,由于每一组数只有5个,因此所选的六个数必然至少选自两组数,即是说在所选的六个数中不存在其中一个能被另五个整除的数.所以,当25n =时是不行的.对于25n <,也可类似地证明.其次说明当26n =时是可以的.我们首先定义“好数组”.如果一数组中的数都在所给定的26个正整数中,其中最大的一个记为a ,除a 外的25个数中没有a 的倍数,且这25个数中所有a 的约数都在这组数中,那么我们称这个数组为“好数组”.(一个“好数组”中的数可以只有一个).现证这样的“好数组”至多有五个.否则,必存在六个“好数组”,我们考虑这六个“好数组”中的最大数,分别记为,,,,,a b c d e f ,由题知六个数,,,,,a b c d e f 中必然存在一个能整除另一个,不妨记为|b a ,即是说a 的约数b 不在a 所在的“好数组”中,这与“好数组”的定义不符,故“好数组”至多有五个.由于“好数组”至多有五个,而所给的正整数有26个,因此至少存在一个“好数组”中有六个数,考虑这个“好数组”中的最大数,由“好数组”的定义知这个数组中至少另有五个数都能整除该数.综上可得,所求的最小正整数26n =.陕西师范大学附中 王全 710061 wangquan1978@。
数学奥林匹克高中训练题_111及解析
数学奥林匹克高中训练题_111注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.给出下列两个命题：命题P ：存在函数f (x )、g (x )及区间I ，使得f (x )在I 上是增函数，g (x )在I 上也是增函数，但f(g (x ))在I 上是减函数；命题Q ：存在奇函数f (x )(x ∈A )、偶函数g (x )(x∈B )，使得函f (x )g (x )(x ∈A ∩B )是偶函数，那么，（）。
A. P 、Q 都真B. P 、Q 都假C. P 真Q 假D. Q 真P 假 2.△ABC 满足AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 。
则△ABC 是（）。
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3.设曲线f (x )=acosx +bsinx 的一条对称轴为x =π5。
则曲线y =f (π10−x)的一个对称点为（）。
A. (π5,0) B. (2π5,0) C. (3π5,0) D. (4π5,0) 4.设函数f (x )满足：对任何实数x ≥0，有f (2x +1)=√x 。
则这样的函数f (x )（）。
A. 不存在B. 恰有一个C. 恰有两个D. 有无数个5.甲、乙两人做下面的游戏：有一个由两个同轴圆柱组成的有盖容器，如图，里面的实心圆柱底面半径为r ，外面的圆柱面的底面半径为3r ，容器的高为4r 。
在容器内放入6个半径为r 且质地相同的小球，其中红、黄、蓝色各2个，随意翻动容器，然后将容器直立在桌面上。
当小球全部停止后，如果有两个颜色相同的小球相邻，则甲胜，否则乙胜。
那么，甲胜的概率为（）。
A. 12B. 13C. 215D. 4156.有一种特别列车，沿途共有20个车站（包括起点与终点），因安全需要，规定在同一车站上车的旅客不能在同一车站下车。
数学奥林匹克高中训练题(92)
口＋ ＞１ｏ（ 口＞ ０） 则 口＋ 在第 二象限 ． ２ ｏ但 ６￣ ． 于是 ，
ｃｓ口＋ ＝一 １ ０（ ） １
．
６ 程 ３２ ＋ 】 ２ 解 为 ． ［—ｘ 【 ＝ 的 集 方 ］
２设 口 卢 ． 、 都是锐角 ，
ｃｓ口＝ ， Ｉ 口＋／） ｏ ｓｌ ｉ（ ３＝ ．
６ ，６ ＋ 【 ＋ ／ ． １ ， 、 设Ｏ ：５ ： 广
（ ＥＮ ）其 中， ］ ｈ ＋， ［ 表示 的整数部分 ． 则
口 ＋口 ＋… ＋ｔ０的个位数字为（ ｌ ２ ｇ０ ２６
Ｄ： Ｂ— Ａ— Ｄ ．
当新粮 库建 在 曰时 ， 运粮 路线 为 ： 一 Ａ －曰； 一 ｃ
曰：
故 ＝ ０ ２ ３ ６ ４ ４ ３ ２ ３ １× √ ＋ × ＋ （ ＋ √ ） √
＝
故 ＝１ ＋６ ＋８ ２ ＋ ） Ｏ ×５ （
＝
２ ＋３ √ （Ｏ ｔｋ ． ４ ２ ３ １＇ ・ｍ）
一
参 考 答 案
第 一 试
、
１． ． Ｃ
其重叠的 公共部分面积是△Ａ Ｃ Ｂ 面积的｛．
那么 ， 当△ Ａ Ｍ 折 转 到 与 △ Ａ Ｃ 所 在平 面 Ｂ Ｍ 垂 直时 ，ｏ Ｂ Ｃ＝— — ． ｃｓ Ａ
令 ＝１ ｉ ，１ ＝ ＋ｉ ＋ ， （） ３ ． 得
２ Ｂ． ．
注 到０ ＝ ＜＿ 以 ＞￣ 意 ｃａ专 ＿所 ， ６ ｓ 乏 ａ０ １ ， ．
点， Ｐ为椭圆上任意一点 ． ｌ Ｆ １１ 则 ． Ｐ ｌ 的
（） — Ａ ＞
ｑ 毡
（ ） —： ＜ ＜１ Ｂ ＞ 或√
数学奥林匹克高中训练题(119)
参 考 答 案
第 一 试
由柯 西不 等式得
、 口 ＋ ｂ ｘ。
＋， ， ２
二、１ ） （４分 实数 、 ｉ ，，） 足 Ｙ（＝１２３ 满
∑ ∑ｙ ∑ １ ＝ 誓＝ ： ．
Ｉ＝１ １ ｌ １ ｉ
试 求∑ ■ｙ 的 ． 上 一 值
ｉ １３ ＝ ｇｉ 十 １ ２ ３
４ 如 图 ２ 在单位 ． ， 正 四 面体 Ａ Ｃ 中， ＢＤ Ⅳ、 Ｋ分别在 棱 Ａ Ｂ、 Ａ Ｂ 上， 足 Ｂ Ｄ、 Ｄ 满 Ｍ
中 等 数 学
教 学 游 窘鑫 锄徽愚（ ） １９ １
第 一 试
填空题 （ 每小 题 ７分 ， ５ ） 共 ６分 １ 若实数 ｎ ｂｃｄ满 足 ０ ≥ｂ ． 、、、 ≥ｃ ≥ｄ＞ ， ０
一
格 线 已 被 划 去 ） 一 ．
只 青 蛙 停 在 Ａ格 处 ， 从 某 一 时 刻 起 ， 蛙 青 每 隔一秒钟 就跳 到 与
图３
、
则 ｓ＝
为一
＋
＋
＋
的取 值 范 围
２ 如 图 １ 在 △ Ａ Ｃ 的外 部 作 △ Ｂ Ｃ ． ， Ｂ Ｄ 、 Ａ Ａ Ｂ、 Ｅ 使 得 Ｆ Ａ Ｃ Ａ， Ｆ Ａ
△ Ｂ Ｃ ∽ Ａ Ｆ ∽ Ｄ ＡＢ
它所 在方 格有 公 共 边 的另 一 方格 内 ， 至跳 直 到 日格 才停下 ． 青蛙 经 过 每一 个 方 格 不超 若 过 一次 ， 则青蛙 的跳 法总数 为— —＿． ８设 Ａ ． Ｂ是 抛 物 线 ｙ ２ ｘ的 一 条 焦 点 ２＝ ｐ
三 、５ （０分 ） ｎ是 大 于 １的整数 ， 实 数 正
Ｌ ｌ ． Ｅ —Ｉ — 一 Ｉ Ａ ｃ ＦＩ Ｌ
数学奥林匹克高中训练题(22)及答案
数学奥林匹克高中训练题(22)及答案第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题27) 方程1lgsin cos x x -=的实根个数是(A)．(A) 0 (B)1 (C)2 (D) 大于22．(训练题27)22221x y a b+=的切线交x 轴于A 、交y 轴于B ，则AB 的最小值为 (B)．(A)a b + (C)ab 2(D)3．(训练题27)在ABC ∆中，lg tan lg tan 2lg tan A C B +=．则B ∠的范畴是(B)． (A)03B π<∠≤ (B)32B ππ≤∠< (C)06B π<∠≤ (D)62B ππ≤∠<4．(训练题27)设{1,0,1},{2,1,0,1,2}X Y =-=--，且对X 的所有元素x ，有()x f x +均为偶数．则从X 到Y 的映射f 的个数是(C)．(A)7 (B)10 (C)12 (D)155．(训练题27)复数1234,,,z z z z 满足12341z z z z ====，且12340z z z z +++=．则以四个复数对应的点为顶点的四边形一定是(D)．(A) 梯形 (B) 正方形 (C) 平行四边形 (D) 矩形6．(训练题27)一只猴子在一架共有n 级的梯子上爬上爬下，它每次或者上升16级，或者下降9级．假如它能从地面爬到最顶上一级，然后又回到地面则n 的最小值是(C)．(A)22 (B)23 (C)24 (D) 大于24二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题3(1)n +=- 1 ．2．(训练题27)设,m n N ∈，且m n >，集合{1,2,3,,},{1,2,3,,}A m B n ==，又C A ⊂．则满足B C φ≠的C 的个数是 2(21)m n n -- ． 3．(训练题27)如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将DAE ∆和CBE∆分别沿虚线DE 和CE 折起，使AE和BE 重合，记A 与B 重合后的点为P ，则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 30o ．4．(训练题27)设M 为所有满足12x a a -<+的整数x 的集合，N 为所有满足2()x a a N <∈的整数的总和等于 (21)a a - ． 5．(训练题27)在不透亮的正方体的每一个面上都写着一个自然数，假如正方体的几个(一个、两个或三个)面能够同时看见，则求出这几个面上的数之和．用这种方法最多能够的到 26 个不同的数．6．(训练题27)设正整数列1234,,,a a a a 是等比数列，其公比r 不是整数而且1r >．如此的数列中4a 可取到最小值是 27 ．三、(训练题27)(本题满分20分)三棱锥S ABC -的底面是正ABC ∆，那个三角形的边长为4．又已知AS BS ==3CS =．求那个三棱锥的外接球的表面积．26811π 四、(训练题27)(本题满分20分)函数()(1,2,3,)n f x n =定义如下：21()4()(01)f x x x x =-≤≤，11()(())(1,2,3,)n n f x f f x n +==．设在[0,1]上使()n f x 取最大值的x 的个数为n a ，取最小值的x 的个数为n b ．试把n a 和n b 用n 表示，并用数学归纳法证明．五、(训练题27)(本题满分20分) 设22{|,}mn S m n N m n=∈+．求证：假如,x y S ∈，且x y <，那么一定存在z S ∈，使得x z y <<．第二试一、(训练题27)(本题满分50分)设ABCD 是圆内接四边形，,A B ∠∠的角平分线交于E ，过E 作平行于CD 的直线，与AD 交于L ，与BC 交于M ．求证：AL BM LM +=．二、(训练题27)(本题满分50分)已知两条对称轴互相平行的抛物线1L 和2L ，它们相交于两点0A 和0B ，在1L 上任取2n 个点122,,,n A A A ，在2L 上取如此2n 个点122,,,n B B B ，使01011212//,//,A A B B A A B B 212212,//n n n n A A B B --．求证：2020//n n A B B A ．三、(训练题27)(本题满分50分)证明：对任意的,2n N n ∈≥，都存在n 个互不相等的自然数组成的集合M ，使得对任意的a M ∈和b M ∈，a b -都能够整除a b +．。
数学奥林匹克高中训练题(26)及答案
数学奥林匹克高中训练题（26）第一试一、选择题（本题满分36分：每小题6分）1．(训练题59)已知,x y 是两个不等的正数：则2x yA +=：2x y B +=：211C x y=+的大小顺序是(C)．(A)A B C >> (B)A C B >> (C)B A C >> (D)B C A >> 2．(训练题59)函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域：对定义域中任何x ：有()()0f x f x +-=：()()1g x g x -=：且当0x ≠时：()1g x ≠：则2()()()()1f x F x f xg x =+-是(B)．(A)奇函数 (B)偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数 3．(训练题59)已知,a b 为非零常数：若sin cos M a b θθ=+：arctan )bN aθ=+：则对任意的θ(C)．(A)M N = (B)M N ≠ (C)仅当0a >时：M N = (D)仅当0b >时M N = 4．(训练题59)如图1：在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中：点E 、F 分别是面11BB C C 和ABCD 的中心：则异面直线EF 与11AC 的距离为(C)．(A)2a (B)a 22 (C)a 33 (D)a 465．(训练题59)已知周期数列{}n x 满足12(3)n n n x x x n --=-≥：若121,0x x a ==≥：则当该数列的周期最小时：数列的前2002项的和是(B)．(A)2002 (B)1335 (C)1949 (D)14286．(训练题59)设点12,F F 分别为椭圆22221x y a b +=的左右两焦点：l 为右准线：若在椭圆上存在点M ：使12,MF MF ：点M 到l 的距离d 成等比数列：则椭圆离心率e 的取值范围是(A)．(A)1,1)(B)1](C)(D) ABCD FEA 1B 1C 1D 1二、填空题（本题满分54分：每小题9分）1．(训练题59)已知复数12,z z ：满足12121,2,32z z z z ==-=+：则122z z +=937-+ ． 2．(训练题59)已知220,(4)4x x y ≥+-≤：设22222x y w x y ++=+：则w 的取值范围是522w ≤≤ ．3．(训练题59)已知在三棱锥S ABC -中：底面三角形每个顶点处的三个面角和均为180o：底面三角形三边分别是3、2和5：则该三棱锥的体积是． 4．(训练题59)设12()1f x x =+：定义11()[()]n n f x f f x +=：且(0)1(0)2n n n f a f -=+：则100a = 10112- ． 5．(训练题59)已知焦点在x 轴上的椭圆2212x ky +=：点,A B 是过原点的直线与椭圆的两个交点：若数k 使得在椭圆上还存在另一点C ：使ABC ∆为正三角形：则对所有这样的k ：ABC ∆的面积最大值是． 6．(训练题59)已知方程组22150x y a b x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩：有且仅有整数解：则满足题意的实数对(,)a b 的个数是 60 ．三、(训练题59)(本题满分20分)已知i a R +∈：且1,1,2,,1i i a a i n +≥=-：求证：12122312n n a a a na a a a a a +++≥+++．四、(训练题59)(本题满分20分)给定空间不共面的n 个点(4)n ≥．试问：是否一定存在这样一个平面：仅过这n 个点的其中三个？并请证明你的结论．五、(训练题59)(本题满分20分)如果在一条平面曲线上存在四点：使得这四点构成的图形是一个菱形：则称该曲线存在内接菱形．现已知双曲线22122:1x y c a b -=：双曲线22222:1x y c b a -=：其中,0,0a b a b ≠>>．证明：在双曲线1c 与2c 中有且仅有一条存在内接菱形．第二试一、(训练题59)(本题满分50分)如图2：点,P Q 是ABC ∆的外接圆上（异于,,A B C ）的两点：点P 关于直线,,BC CA AB 的对称点分别是,,U V W ：连线,,QU QV QW 分别与直线,,BC CA AB 交于,,D E F ：求证：（1）,,U V W 三点共线：（2）,,D E F 三点共线．二、(训练题59)(本题满分50分)已知0(1,2,,),2i x i n n ≥=≥：且21121ni k j i k j nkx x x j =≤≤≤+=∑∑：试求1nii x =∑的最大值和最小值．三、(训练题59)(本题满分50分)已知12(,,,)n a a a 是自然数1,2,,n 的一个排列：且满足：对任意11i n ≤≤-：均有11i i a i a i ++≤++．(1)若记i x 为数(1)i i n ≤≤在排列中所处位置的序号（如排列(1,3,4,2)中：12341,4,2,3x x x x ====）．求证：对每一个满足题意的排列12(,,,)n a a a ：均有11i i x i x i ++≤++(11)i n ≤≤-成立．(2)试求满足题意的排列的个数()n A ．。
数学奥林匹克高中训练题
AD+BC 的最小值为 PQ = 6 5 (cm) (PQ 的求法同 BD).
( ) 因此，所求的最小值为 6 2 + 5 cm.
( ) 故答案为 6 2 + 5 cm
11．2024
【详解】Q(a + b + c)n = (a + b)n + Cnl (a + b)n-1·c + ××× + Cnncn 共有 n+1 项，但 (a + b)i 中有 i+1 项，
共有
n+1
项,而
(
a
+
b
+
c
)i
的展开式中有
1 2
(
i
A． S Ì T
B．T Ì S
C．S=T
D．S∩T=φ
2．已知
a
Î
éêë0,
p 4
ù úû
, t1
=
( tana )tana
,t2 =
(tan a)
( ) , cot a t3 = cot ,a tana
t4 = (cot )a cota ．则
t1、、t2 、t3 t4 的大小关系是( )．
A． t1＜t＜2 ＜t3 t4
=
a + (-b) + c + d b + (-c) + d + a
=k
= ±1或 ± i .
故答案为 D 5．C
【详解】令 x¢ = x - 59, y¢ = y ,则
y1¢ = f ( x¢ + 40), y2¢ = f (40 - x¢) .
数学奥林匹克高中训练题_120_
2009 年第 8 期
39
b a
1 2 345
y 当且仅当 = x
时 , 取到最小值 .
因此 , a + b = 5. 2 009.
4 016 . 2 009
4 22 3. . 11
如图 2, 设 F 是边 BD 的中点 , 联结 A F、 EF、 CF. 则 d 为点 C 到平 面 A EF 的距离 . 设正 四 面 体 的棱 长 a = 4. 则 其体积
) = ± 则 sin ( 3・ +θ 1, 即 18
述三 个 圆 分 别 交 于 点 D、 D′ , E、 E′ , F、 F′ , 其中 , 点 D、 D′ 在不含点 A 的圆上 , 等等 . 又设 △A EF、 △B FD、 △CD E 的 外 接 圆 交 于 一 点
M , △A E ′ F′ 、 △B F ′ D′ 、 △CD ′ E′ 的外接圆交于
θ= k
+
3
(k
Z) . 1 > 0, 则 Z) . = 3 . 2
又 cosθ = θ= 2 k 因此 ,
+
a +1
2
一点 M ′ . 证明 : OM = OM ′ .
( 50 分 ) 如果一个多项式的系数都是 二、
3
(k
a a +1
2 009
自然数 , 则称为“ 自然多项式 ” . 对正整数 n, 用 A ( n ) 表示满足 P ( 2 ) = n 的不同自然多项 式 P ( x ) 的个数 . 证明 : lim
=1 + t + t = t +
2
f ( 2 009 a + 2 008 ) = - 2 007
数学奥林匹克高中训练题(90)
则其 中任何 四个 不同的数之 和不小于
２ ０ ２＋２ ０ ３＋２ ０ ４＋２ ０ ５＝８ ０ｌ ０ ０ ０ ０ ４＞８ ０ ３． ｌ
维普资讯
４ ２
：
中 等 数 学
Ａ
Ｄ
３￣ ／Ⅱ一１ ＋√ Ⅱ一３ ．
＋３ ．
Ｙ：
则 、 Ｙ的大小 关 系为 （
（ ， ）一ｍ１ 、 ｍ ， ０ 一ｍ ） （ ３ ４０７一ｍ ） ｍｌ４Ｉ７ Ｘ ） （ ２４０ ７ ２ 、ｍ ， ０ ３
（ 中 ｍｌｍ２ ｍ３ 其 、 、 互不相 等 ） 为 ｌ ， ，２ 中 均 ， … Ｘ ２
＝ ．
因此 ，
＝
的 ６ 数． 个 其次 ， 这 ４０６个数 中的 ４０ ４ 数（ ２０ ３ 将 ０ ０ 个 除 ０ 、 ４０６外 ） ０ 分成 ２０ ２ ， ０ 对 每对 数的 和为 ４０６ 每对 数 ０ ， 记作（ ４０６一ｎ ， 中 ｎ＝１２ … ， ０ ． ｎ， ０ ）其 ， ， ２０２ 根据 抽屉原理 知 ， ２０２对数 中 ， 有 １对数 这 ０ 必 （ ｌ４０６一ｎ ） ｎ ， ０ １均为 ｌ ， ， 中的两个数 ． ， … ２ ２ 又根据抽屉 原理知 ， 对于 １ 数（ ４０６ ． 对 ｎ ， ０ 一ｎ ） 至少与 ３对数 （ ， ０ ｍｌ４０ ７一ｍ１ 、 ｍ ， ０ ） （ ２ ４０ ７一ｍ２ 、 ） （ ４０７一ｍ ） ｍ ， ０ ３ 中的 １ （ ４０ ７一ｍ ） 相同 的 对 ｍ ， ０ 无 数， 即这 ２对数 （ ， ０ ｍ。４０ ７一ｍ。 、 ｎ ， ０ ） （ ．４０ ６一ｎ ） ． 中 的 ４个数互不相 同 ， 且和 为 ［ｍ ＋（ Ｘ７ 。］ ｎ ＋（ ６ １］ １． （ ｉ ４Ｉ 一ｍ ） ＋［ ｌ ４ ０ ＋ｎ ） ＝８ ３ ） ０ ０ 因此 ， 所求 的最 小正整数 ｋ＝２０６ ０ ． （ 谢文晓 湖 北省黄 冈中学 ，３００ ４８０ ）
数学奥林匹克高中训练题
≥ 丁 一 ＋ 一 广 ＋ 一 ＋ 一 ≥ ■ 一 筹 Ｙ ‘
≥
１ ６
≥
１ ６
４
故（ ｍ， ｎ ， Ｐ ， ｑ ）
：
（ ９ ， ４， ２ ， ２ ） ， （ ６ ， ５ ， ２ ， ２ ） ， （ ４， ３ ， ３ ， ２ ） ．
； ／ ６ 时 上 式 当且仅当 ｍ＝ ｎ ｐ ｑ ４ 、 ／ ６
ｆ １ 与 椭 圆交 于 Ａ、 Ｂ两 点 ， Ｚ ：与椭 圆交 于 Ｃ、 Ｄ 两点． 若ｔ ： Ｔ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 满足 Ａ Ｃ上 Ａ Ｂ， 且该 椭 圆 的
ｒ ｒ
在 ∈ 【 ０ ， 詈 ］ 有 最 大 值 ２ ． 求 实 数 ｍ 的 值
三、 （ ５ ０分） 设所有满足 下列 条件 的正整数 个数为 Ⅳ：
７ ． 已知两条斜率为 ｌ 的直线 ｆ 。 、 ｚ ： 分别
过 椭 圆ｘ ＋ ＝１ （ ０＞ｂ＞ ０ ） 的 两个 焦 点 ， 且
ａ Ｄ
外心 ． 证明： Ｏ ＭＥ＝ ９ ０ 。 ．
二、 （ ４ ０分 ） 已知 函数
） ＝ ３ （ ｓ ｉ ｎ ＋ｃ ｏ ｓ ） ＋ ｅ（ ｒ ｓ ｉ ｎ ＋ Ｃ Ｏ Ｓ ）
，
（ ２ ） 注意到 ，
等号成 立．
＝
（ ・ 一 ） （ 一 ） （ ， 一 古 ） （ 一 寺 ）
故（ ｍ＋ ｎ ＋ ｐ ＋ ｑ ＝
（ 陈 迁
．
侯 国玺 湖 北 省 浠 水县 余 堰
中学 ． ４ ３ ８ ２ ０ ０ ）
２ ０ １ ３年第 ２期
４１
中 等 数 学
熬蟹
中 图分 类 号 ： Ｇ ４ ２ ４ ． ７ ９
中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答
中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答中国数学奥林匹克（第二十一届全国中学生数学冬令营）试题及解答中国数学奥林匹克是培养和选拔数学人才的一项重要工作，而全国中学生数学冬令营则是为了选拔出更具潜力的数学学子而设立的。
以下是第二十一届全国中学生数学冬令营试题及解答，让我们一起来看一下吧。
试题一：已知正整数n满足n²+5n+6是平方数，求n的个数。
解答：首先，将已知表达式转化为等式，即n²+5n+6=（k+1）²，其中k为正整数。
将等式进行整理得到n²+5n+6=k²+2k+1，继续整理可得n²+3n=（k+1）²-5。
我们注意到等式的左边是个完全平方数，而右边则为一个整数。
因此，我们可以得到等式右边的一个性质：（k+1）²-5也必然是一个完全平方数。
根据这个性质，我们可以列举出一些合适的整数来，并验证其是否满足等式右边的性质。
经过列举和验证，我们可以得到k+1分别为0、4和8时，满足（k+1）²-5为完全平方数。
即k分别为-1、3和7。
那么，n²+3n分别为1、9和25，即n分别为-4、2和5。
但要注意题目要求是正整数n，所以我们只能选取n=2和n=5这两个解。
综上所述，满足已知条件的正整数n的个数为2。
试题二：已知函数f(x)为定义在实数集上的递增函数，且对于任意的实数a和b都有f(a+b)=f(a)+f(b)。
证明f(x)=cx，其中c为某个常数。
解答：首先，我们尝试寻找到题目中给出的性质和函数f(x)之间的关系。
根据已知条件f(a+b)=f(a)+f(b)，我们将a和b分别取为x和0，则得到f(x+0)=f(x)+f(0)。
因为f(0)为常数，所以我们可以将其表示为c，即f(x)=f(x)+c。
接下来，我们将上面得到的性质应用于f(x)和f(-x)之间，得到f(x+f(-x))=f(x)+f(-x)。
数学奥林匹克高中训练题100
合{1 ,2 , …, n}的不同子集 ,满足下列条件 :
(i) i ∈Ai 且 Card ( Ai ) ≥3 , i = 1 ,2 , …, n ;
(ii) i ∈Aj 的充要条件是 j ∈ Ai ( i ≠j ,
i 、j = 1 ,2 , …, n) .
试回答下列问题 :
n
∑ (1) 求 Card ( Ai ) ; i =1
(A) 0 < a < b
(B) a < 0 < b
(C) a < b < 0
(D)
a<
1 2
<
b
2. 已知不等式 22x + a2 x + b ≥0 解的最
小值为 2. 则 a 的取值范围是 ( ) .
(A) ( - ∞,0)
(B) [ 0 , + ∞)
(C) [ 2 , + ∞)
(D) [ - 4 , + ∞)
>
sin (α+β) sinα·sin β
-
2sin (α+β) ·cos(αsin 2α·sin 2β
β)
=
2sin (α+β)
[2cos α·cos sin 2α·sin
β2β
cos (α-
β)
]
=
2sin
(α+ sin
β) ·cos 2α·sin
(α+β) 2β
> 0.
5. B. 由韦达定理得 α+β= - p ,αβ= q. 则 m = (α+β) 2 + 4αβ= 2 (α+β) 2 - (α- β) 2 . 又| α+β| ≤| α| + | β| ≤1 , | α- β| ≤| α| + | β| ≤1 ,
数学奥林匹克高中训练题(18)及答案
数学奥林匹克高中训练题（18）第一试一、选择题（本题满分36分；每小题6分）1．(训练题23)119963+除以19971996⨯所得的余数是(D)．(A) 1 (B) 1995 (C) 1996 (D) 19972．(训练题23)若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ；且该圆与抛物线没有别的公共点；则r 的最大值是(A)．(A)a 21 (B)a1(C)a (D)a 2 3．(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线（共四条线段）；则正确的命题是(B)．(A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边．(B)任何三条线段都可组成一个三角形；其中每个内角都是锐角． (C)任何三条线段都可组成一个三角形；其中必有一个是钝角三角形． (D)任何三条线段都可组成一个三角形；其形状是“锐角的”或者是“非锐角的”；随长方体的长；宽；高而变化；不能确定． 4．(训练题23)若20π<<x ；则11tan cot sin cos x x x x++-的取值范围是(D)．(A)()+∞∞-, (B)()+∞,0 (C)),21(+∞ (D)()+∞,15．(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻；则其可能的排法个数是(A)．(A)!5!7!8⋅ (B)!4!6!7⋅ (C) !7!3!10⋅ (D) !3!7!10⋅ 6．(训练题23)使得11cos 51sin +>n 成立的最小正整数n 是(B)．(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 二、填空题（本题满分54分；每小题9分）1．(训练题23)设R a ∈；若函数310),(+==xy x f y 关于直线x y =对称；且)(x f y =与)lg(2a x x y +-=有公共点；则a 的取值范围是 6a <- ．2．(训练题23)设1,,2-=∈+i R b a 且存在C z ∈；适合⎪⎩⎪⎨⎧≤+=+1z bia z z z 则ab 的最大值等于 18 ．3．(训练题23)设900<<α；若ααsin 1)60tan(31=-+；则α等于 3050o o或 ． 4．(训练题23)设''''D C B A ABCD -是棱长为1的正方体；则上底面ABCD 的内切圆上的点P 与过顶点'''',,,D C B A 的圆上的点Q 之间的最小距离=d． 5．(训练题23)如图；在直角坐标系xOy 中；有一条周期性折线（函数）).(:1x f y l =现把该曲线绕原点O 按逆时针方向旋转45得到另一条曲线2l ；则这两条曲线与y 轴及直线()N n n x ∈=围成的图形的面积等于(12n+-- ．6．(训练题23)设b a ,都是正整数；且100)21(2+=+b a 则b a ⋅的个位数等于 4 ．第二试一、(训练题23)(本题满分25分) 求证：在复平面上；点集}01:{3=++∈=z z C z S 中；除去某一个点外的所有的点都在圆环45313<<z 中． 二、(训练题23)(本题满分25分)已知抛物线),0(22>=p px y 其焦点为F .试问：是否存在过F 点的弦AB （B A ,均在抛物线上；且A 在第一象限内）；以及y ）轴正半轴上的一点P ；使得B A P ,,三点构成一个以P 为直角顶点的等腰直角三角形？证实你的回答.如果回答是肯定的；请求出直线AB 的方程．)2py x =- 三、(训练题23)(本题满分35分)平面上给定321A A A ∆及点0P ；构造点列0P ；1P ； 2P ；使得13+k P 为点k P 3绕中心1A 顺时针旋转150时所到达的位置；而23+k P 和33+k P 为点13+k P 和23+k P 分别绕中心2A 和3A 顺时针旋转 105时所到达的位置； ,3,2,1,0=k .若对某个N n ∈；有03P P n =；试求321A A A ∆的各个内角的度数及三个顶点321,,A A A 的排列方向．四、(训练题23)(本题满分35分)设n ααα≤≤≤< 210；n b b b ≤≤≤< 210；且∑∑==≥ni in i i ba 11又存在)1(n k k ≤≤使得当k i ≤时有i i a b ≤；当k i >时；有i i a b >.求证：∏∏==≥ni ini i ba 11．1。
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二、（本题满分 25 分）空间有 n 个平面( n 4 ),任意两个不平行，任意三个不共线，它们两两交线中，最多 能有多少对异面直线？
三、本题满分 35 分）过圆外两点 C1 , C2 分别作圆的切线 C1 A1 , C1 B1 和 C2 A2 , C2 B2 ( A1 , A2 , B1 , B2 为切点)． （1） 两 弦 A1 B1 和 A2 B2 相 交 于 圆 内 某 点 P 充 要 条 件 什 么 ？ (2 ) 若 A1 B1 和 A2 B2 相 交 于 圆 内 P 点 ， 过 P 作 弦
6
N 1 N 的形式， N 为则自然数。则 N =______________.
6．从 1,2, … , 1996 中，选出 k 个数，使其中任意两数之和不能被这两数之差整除。则 k 的最大可能值 是 ．
第二试 一、（本题满分 25 分） 设 f ( x) 是 x 的整系数多项式 f ( x) 17 有五个互不相同的整数根． 证明： 方程 f ( x) 0 没有整数根．
3． 动直线 l 交 y 轴于 A ，交 x 轴于 B ，设 AOB 面积 S 为定值．过原点 O 作 l 垂线，垂足为 P ( x, y ) ．则 P 点的轨迹方程是 .
4． 正四棱锥 S ABCD ．延长底面一边 CD 至 E ，使 DE 2CD ．过 B, E 和棱 SC 中点 F 作一平面，这个 平面将四棱锥分为两部分．则这两部分体积之比为______________. 5． 把 ( 7 6) 写成
y cot(cos x ) 最小值为 d ．则 a, b, c, d 大小关系是（
(A) d a c b 3．若方程 2a9
sin x
）
(B) c a b d
(C) a d c b (D) b a d c ） (D)
4a3sin x a 8 0 有解，则 a 的取值范围是（
2 2
2．设 M , N 是线段 AB 上两点，
AM 1 AN 3 , ，以 AB 为斜边任作 Rt ABC ．再作 MD BC 于 D ， MB 4 NB 2 MD ME NF NG 则比值 y 之最大可能值_____. ME AC 于 E ，NF BC 于 F ，NG AC 于 G ． AB BC AC
数学奥林匹克高中训练题（21）
第一试 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 1．集合 M 由两个以上连续自然数构成，其元素之和为 1996．这样的集合 M（ (A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 有两个 (D) 有三个以上
） ．
2 ． x [0, ] ， y sin(cos x ) 最 小 值 为 a ， y cos(sin x ) 最 小 值 为 b ， y tan(sin x ) 最 小 值 为 c ，
(B) a 0
2
(A) a 0 或 a 8
(C) 0 a
2
8 31
8 72 a 31 23
）
4． 椭圆长轴为 6， 左顶点在圆 ( x 3) ( y 2) 4 上， 左准线为 y 轴． 则椭圆离心率 e 的取值范围是 （ (A)
3 3 e 8 4
(B)
1 3 e 4 8
(C)
1 1 e 4 2
(D)
1 3 e 2 4
5．设 I {1, 2, ,100} ． M 表示 I 中最大元素为 66 的子集个数， N 表示 I 中最小元素为 33 的子集个数， P 表示 I 中最大元素为最小元素 3 倍的子集个数．则（ ） (A) M N P (B) M P N (C) N P M (D) P M N 6．设复数 z≠1，z13=1．则 z1+z3+z4+z9+z10+z12 的值为（ ） (A) 有理数 (B) 无理数 (C) 虚数 (D) 纯虚数 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 1．设实数 x, y 满足方程 9 x 4 y 3 x 2 y 0 ．则 z 3 x 2 y 的最大值是_____．
AB // C1C2 ．求证： PA PB ．
四、 （本题满分 35 分）某校有微机 n 台，分别放在 n 个房间，各房间开钥匙互不相同。某期培训班有学员 m 人 ( m n )，每晚恰有 n 人机房实习操作，为保证每人一台机，至少应准备多少把钥匙分给这 m 个学员，使得每 晚不论哪 n 个人进机房，都能用自己分到的钥匙打开一间机房的门进去练习，并按分得钥匙少的人先开门的原 则，能保证每人恰可得到一个房间．