幻方常规解法汇总

幻方常规解法汇总

没法，组合数学还考幻方构造。这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。

奇数阶幻方（罗伯法）

奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是：

把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：

1、每一个数放在前一个数的右上一格；

2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；

3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；

5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例，用该填法获得的5阶幻方：

双偶数阶幻方（对称交换法）

所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。

双偶数阶幻方的对称交换解法：

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：

内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（16，11）（7，10）互换即可。

对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

以8阶幻方为例：

(1) 先把数字按顺序填。然后，按

(2)

单偶数阶幻方（象限对称交换法）

以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2

（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在A象限，D象限，B 象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。

（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。

（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。

下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2，这时k＝1

三阶幻方的解法

第一种：杨辉法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。

1

2 4

3 5 7

6 8

9

2 9 4

7 5 3

6 1 8

第二种：九宫图也是幻方的别称，三阶幻方就是著名的洛书，他的排列是：：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央（9在上中，1在下中。3在左中，7在右中，2在左上，4在右上，6在左下，8在右下）

第三种：罗伯法：最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样

8 1 6

3 5 7

4 9 2

四阶幻方的解法

1、先把这16个数字按顺序从小到到排成一个4乘4的方阵

2、内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即

（1，16）（4，13）互换

（6，11）（7，10）互换

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 1

5 1

另：对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

五阶幻方的解法：罗伯法：最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样。

17 24 1 8 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22

10 12 19 21 3

11 18 25 2 9

（在最上一行的中间填1,接着在1的右上方填2,由于1在最上一行,

所以1的右上方应该是第五行的第四个,

接下来在2的右上方填3,3的右上方应该是第三行第一个,所以在此填4,在4的右上方填5,

在5的下方填6,接着按前面五个数的填法依次填7,8,9,10;

在10的下方填11,然后按上面的方法填,

每次填五个数,直到完成.

无论从上到下还是从左到右都是五排,

所以每排的五个数之和为(1+2+3+4+…+25)÷5=65,

因此,你可以验算一下是否每个和都是65.

此法适合于一切奇阶幻方.）