北京市第四中学2019届高三高考调研卷(二)文科数学试题
2019年北京市东城区高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2019年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x﹣2≥0}，则A∪B＝（）A．{x|x＜﹣1或x≥2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|2≤x＜3}D．R2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x3B．y＝cos x C．y＝e x D．y＝|x|+13．（5分）执行如图所示的程序框图，输入a＝2，b＝5，那么输出的a，b的值分别为（）A．7，﹣3B．﹣3，﹣3C．5，﹣3D．5，24．（5分）若x，y满足2x﹣1≤y≤x，则点（x，y）到点（﹣1，0）距离的最小值为（）A．B．C．D．5．（5分）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm），则此构件的体积为（）A．34000mm3B．33000mm3C．32000mm3D．30000mm3 6．（5分）已知m，n，p，q为正整数，且m+n＝p+q，则在数列{a n}中，“a m•a n＝a p•a q”是“{a n}是等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为，C（﹣1，0）．若∠BOC＝，则cos（β﹣α）的值是（）A．B．C．D．8．（5分）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V和K满足一个线性关系，即（其中v0，k0是正数），则以下说法正确的是（）A．随着车流密度增大，车流速度增大B．随着车流密度增大，交通流量增大C．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D．随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2＝1的渐近线方程为．10．（5分）复数的实部为；虚部为．11．（5分）在△ABC中，，a2+b2﹣c2＝ab，c＝3，则∠C＝；a＝．12．（5分）已知a＝log29，b＝log3m，c＝log515，则满足a＞b＞c的一个正整数m为．13．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，的值为；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值为．14．（5分）已知直线l过点（1，1），过点P（﹣1，3）作直线m⊥l，垂足为M，则点M到点Q（2，4）距离的取值范围为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）设数列{a n}满足：a1＝1，a n+1+2a n＝0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若等差数列{b n}满足b1＝a4，b2＝a2﹣a3，问：b37与{a n}的第几项相等？16．（13分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，m]，f（x）≥1恒成立，求m的最大值．17．（13分）某工厂的机器上存在一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修．现有甲、乙两名工人同时从事这项工作，如表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数．（Ⅰ）从这10天中，随机选取一天，求甲维修的元件数不少于5件的概率；（Ⅱ）试比较这10天中甲维修的元件数的方差s甲2与乙维修的元件数的方差s乙2的大小．（只需写出结论）；（Ⅲ）由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，请利用上表数据估计最少需要增加几名工人．18．（14分）如图所示的五面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，AE⊥DE，AE＝DE，AB∥CD，AB⊥BC，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4．（Ⅰ）求四棱锥E﹣ABCD的体积；（Ⅱ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅲ）设点M为线段BC上的动点，求证：EM与AM不垂直．19．（13分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：（x﹣1）f（x）≥0．20．（14分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率为．A 为椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上异于A的两个动点，直线AP，AQ与直线l：x＝4分别交于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△P AF与△PMF的面积之比为，求M的坐标；（Ⅲ）设直线l与x轴交于点R，若P，F，Q三点共线，求证：∠MFR＝∠FNR．2019年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：B＝{x|x﹣2≥0}＝{x|x≥2}，则A∪B＝{x|x≥2或x＜﹣1}，故选：A．2．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x3，为奇函数，不符合题意；对于B，y＝cos x，在区间（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，y＝|x|+1，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；故选：D．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得：a＝2，b＝5，不满足a＞b，a＝2+5＝7，b＝7﹣5＝2a＝7﹣2＝5．输出a，b的值分别为5，2．故选：D．4．【解答】解：由x，y满足2x﹣1≤y≤x，作出可行域如图，点（﹣1，0）到点（x，y）的最小距离为D到P的距离．即：＝．故选：C．5．【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm3）．故选：C．6．【解答】解：若“{a n}是等比数列”，则a m•a n＝a12q m+n﹣2，a p•a q＝a12q p+q﹣2，∵m+n＝p+q，∴a m•a n＝a p•a q成立，即必要性成立，若a n＝0，则{a n}是等差数列，当m+n＝p+q时，由“a m•a n＝a p•a q”成立，但“{a n}是等比数列”不成立，即充分性不成立，则“a m•a n＝a p•a q”是“{a n}是等比数列”的成立的必要不充分条件，故选：B．7．【解答】解：由三角函数的定义可知，cos，sinα＝，β＝，∴cos（β﹣α）＝cos cosα+sin sinα＝＝故选：C．8．【解答】解：因为（其中v0，k0是正数），则随着车流密度增大，流速度减小，交通流量先增大，后减小，故A、B、C错误，D正确，故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：∵双曲线的a＝2，b＝1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y＝±∴双曲线的渐近线方程为y＝±故答案为：y＝±10．【解答】解：∵＝，∴复数的实部为；虚部为．故答案为：；．11．【解答】解：∵a2+b2﹣c2＝ab，∴可得cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝，∵，c＝3，∴由正弦定理，可得：＝，解得：a＝．故答案为：，．12．【解答】解：因为a＝log29＞log28＝3，c＝log515＜log525＝2，即当m＝27时，b＝log3m＝log327＝3满足a＞b＞c，故满足a＞b＞c的一个正整数m为27．故答案为：27．13．【解答】解：矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，＝||cos∠POB＝2×1＝2；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值，＝||cos∠POB，P应该在线段AD上，此时＝||cos∠POB＝2×（﹣1）＝﹣2；故答案为：2；﹣2．14．【解答】解：设A（1，1）依题意点M的轨迹是以AP为直径的圆，圆心C的坐标为（0，2），半径为，∵|CQ|＝＝2，∴|CQ|﹣≤|MQ|≤|CQ|+，即≤|MQ|≤3．故答案为[，3]三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）∵数列{a n}满足：a1＝1，a n+1+2a n＝0．∴依题意，数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝﹣2a n，∴{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列．∴{a n}的通项公式为，前n项和．………………………．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，b1＝﹣8，b2＝﹣6，因为{b n}为等差数列，d＝b2﹣b1＝2．所以{b n}的通项公式为b n＝2n﹣10．所以b37＝2×37﹣10＝64．令64＝（﹣2）n﹣1，解得n＝7．所以b37与数列{a n}的第7项相等．…………………..（13分）16．【解答】（本题满分共13分）解：（Ⅰ）由图象可知，A＝2．因为，所以T＝π．所以．解得ω＝2．又因为函数f（x）的图象经过点，所以．解得．又因为，所以．所以．…………………………………………………………．（7分）（Ⅱ）因为x∈[0，m]，所以，当时，即时，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（0）＝1，符合题意；当时，即时，f（x）单调递减，所以，符合题意；当时，即时，f（x）单调递减，所以，不符合题意；综上，若对于任意的x∈[0，m]，有f（x）≥1恒成立，则必有，所以m的最大值是．………………………………………..（13分）17．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“从这10天中，随机选取一天，甲维修元件数不少于5”．根据题意，．……………………………………………………．（4分）（Ⅱ）．……………………．（8分）（Ⅲ）设增加工人后有n名工人．因为每天维修的元件的平均数为：．所以这n名工人每天维修的元件的平均数为．令．解得．所以n的最小值为4．为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人．………．（13分）18．【解答】（Ⅰ）解：取AD中点N，连接EN．在△ADE中，∵AE＝DE，∴EN⊥AD．∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，EN⊂平面ADE，∴EN⊥平面ABCD．又∵AE⊥DE，AD＝4，∴EN＝2．∵AB∥CD，AB⊥BC，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4，∴．∴；（Ⅱ）证明：∵AB∥CD，AB⊂平面ABFE，CD⊄平面ABFE，∴CD∥平面ABFE．又∵CD⊂平面CDEF，平面ABEF∩平面CDEF＝EF，∴CD∥EF．∵CD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD；（Ⅲ）证明：连接MN，假设EM⊥AM．由（Ⅰ）知EN⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴EN⊥AM．∵EM⊥AM，且EN∩EM＝E，∴AM⊥平面ENM．∵MN⊂平面ENM，∴AM⊥MN．在△AMN中，AN＝2，AM≥4＞AN，∴∠AMN＜∠ANM．∴∠AMN＜90°．这与AM⊥MN矛盾．∴假设不成立，即EM与AM不垂直．19．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）f（x）定义域为（0，+∞），f（1）＝0.．f'（1）＝2．所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣0＝2（x﹣1）．即y＝2x﹣2．……………．（5分）（Ⅱ）证明：记.．由g'（x）＝0解得x＝1．g（x）与g'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：所以g（x）在x＝1时取得最小值g（1）＝2．所以．所以f'（x）＞0．所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．又由f（1）＝0知，当0＜x＜1时，f（x）＜0，x﹣1＜0，所以（x﹣1）f（x）＞0；当x＞1时，f（x）＞0，x﹣1＞0，所以（x﹣1）f（x）＞0．所以（x﹣1）f（x）≥0．………………………………（13分）20．【解答】（Ⅰ）解：由题意得c＝1，又，解得a＝2，c＝1．∵a2﹣b2＝c2，∴b2＝3．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）解：∵△P AF与△PMF的面积之比为，∴，则．设M（4，m）（m≠0），P（x0，y0），则，解得．将其代入，解得m＝±9．∴M的坐标为（4，9）或（4，﹣9）；（Ⅲ）证明：设M（4，m），N（4，n），P（x0，y0），若m＝0，则P为椭圆C的右顶点，由P，F，Q三点共线知，Q为椭圆C的左顶点，不符合题意．∴m≠0．同理n≠0．直线AM的方程为．由消去y，整理得（27+m2）x2+4m2x+（4m2﹣108）＝0．△＝（4m2）2﹣4（27+m2）（4m2﹣108）＞0成立．由，解得．∴．得．当|m|＝3时，|n|＝3，，即直线PQ⊥x轴．由椭圆的对称性可得|MR|＝|FR|＝|NR|＝3．又∵∠MRF＝∠NRF＝90°，∴∠MFR＝∠FNR＝45°．当|m|≠3时，|n|≠3，直线FP的斜率．同理．∵P，F，Q三点共线，∴，得mn＝﹣9．在Rt△MRF和Rt△NRF中，，，∴tan∠MFR＝tan∠FNR．∵∠MFR，∠FNR均为锐角，∴∠MFR＝∠FNR．综上，若P，F，Q三点共线，则∠MFR＝∠FNR．。
2019届高三入学调研考试卷文科数学(二)含答案
平均气温（℃）
2
3
5
6
销售额（万元）
20
23
27
30
根据以上数据，求得 y 与 x 之间的线性回归方程 y b x a 的系数 b 则 a ________．
12 ，
5
15．已知某三棱柱的三视图如图所示， 那么该三棱柱最大侧面的面积为 __________．
16．如图为函数 f x Asin 2 x
A． 2 3
B．2
C． 3
D．1
6．已知函数 f x 2sin x ，
0,0
的部． 1,3 4
B ． 2, 4
C． 3 4
D． 2 4
7．若过点
2,0 有两条直线与圆
2
x
2
y 2x 2y
m 1 0 相切， 则实数 m 的取值
范围是（
）
A． , 1
B ． 1,+
C． 1,0
(A 0,
x2 a,b ，若 f x1 f x2 ，都有 f x1 x2
) 的部分图象，对于任意的 2
x1 ，
2 ，则 等于 __________．
三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）
C． 1,1
2． i 为虚数单位，复数 z 2i 在复平面内对应的点所在象限为（ i1
A ．第二象限
B ．第一象限
C ．第四象限
D ． 1,2 ）
D ．第三象限
3．甲乙两名同学 6 次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为
x甲 、
x乙 ，标准差分别为 甲 , 乙 ，则（
）
装号 证 考 准
只
2019年北京市西城区高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2019年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．下列函数中，既是奇函数又在R上单调递减的是（）A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x3D．y=lnx3．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是（）A．B．C．﹣D．14．执行如图所示的程序框图，如果输出的S=，那么判断框内应填入的条件是（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜65．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）A．B．C．D．6．“m＞n＞0”是“曲线mx2+ny2=1为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元8．设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x﹣2）2+y2=2，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ=90°，则a的取值范围是（）A．[﹣18，6]B．[6﹣5，6+5]C．[﹣16，4]D．[﹣6﹣5，﹣6+5]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知复数z=（2﹣i）（1+i），则在复平面内，z对应点的坐标为．10．设平面向量，满足||=||=2，•（+）=7，则向量，夹角的余弦值为．11．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为．12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．13．设函数f（x）=那么f[f（﹣）]=；若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优，若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片，那么在这5部微电影中，最多可能有部优秀影片．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．16．已知数列{a n}的前n项和S n满足4a n﹣3S n=2，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等比数列；（Ⅱ）设b n=a n﹣4n，求数列{b n}的前n项和T n．17．如图，在周长为8的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点．将矩形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°．设G为AF上一点，且满足CF∥平面BDG．（Ⅰ）求证：EF⊥DG；（Ⅱ）求证：G为线段AF的中点；（Ⅲ）求线段CG长度的最小值．18．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．19．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f′（a）=1，求a的值；（Ⅱ）设a≤0，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．20．已知抛物线C：x2=4y，过点P（0，m）（m＞0）的动直线l与C相交于A，B两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线AQ，BQ与x轴分别相交于点E，F．（Ⅰ）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：点Q在直线y=﹣m上；（Ⅲ）判断是否存在点P，使得四边形PEQF为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2019年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A的补集，从而求出其和B的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x＞0}，∴={x|x≤0}，∵B={x|x＜1}，∴（∁U A）∩B={x|x≤0}，故选：B．2．下列函数中，既是奇函数又在R上单调递减的是（）A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x3D．y=lnx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据反比例函数的单调性，奇函数图象的对称性，指数函数和对数函数的图象，以及奇函数定义，减函数的定义便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．反比例函数在R上没有单调性，∴该选项错误；B.，图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；C．y=﹣x3的定义域为R，且﹣（﹣x）3=﹣（﹣x3）；∴该函数为奇函数；x增大时，x3增大，﹣x3减小，即y减小，∴该函数在R上单调递减；∴该选项正确；D．对数函数y=lnx的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选C．3．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是（）A．B．C．﹣D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x+3y得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大，，解，即A（，），代入目标函数z=x+3y，得z=+3×=．故z=x+3y的最大值为．故选：B．4．执行如图所示的程序框图，如果输出的S=，那么判断框内应填入的条件是（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜6【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，模拟运行过程，根据程序输出的S值，即可得出判断框内应填入的条件．【解答】解：进行循环前i=2，S=1，计算S=，应满足循环条件，i=3；执行循环后S=，应满足循环条件，i=4；执行循环后S=，应满足循环条件，i=5；执行循环后S=，应不满足条件循环条件，输出S=；故判断框内应填入的条件是i＜5；故选：C．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由内角和定理及诱导公式知sin（A+B）=sinC=，再利用正弦定理求解．【解答】解：∵A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinC=，又∵a=3，c=4，∴=，即=，∴sinA=，故选B．6．“m＞n＞0”是“曲线mx2+ny2=1为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由“m＞n＞0”，知“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”；由“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆”，知“n＞m＞0”．所以“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x 轴上的椭圆”的既不充分也不必要条件．【解答】解：∵“m＞n＞0”⇒“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”，“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆”⇒“n＞m＞0”，∴“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆”的既不充分也不必要条件．故选D．7．某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，若四月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为（）A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元【考点】函数的值．【分析】根据待定系数法求出A、B、C的值，求出f（x）的表达式，从而求出f（20）的值即可．【解答】解：由题意得：C=4，将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：，解得，∴f（x）=，故x=20时：f（20）=11.5，故选：A．8．设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x﹣2）2+y2=2，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ=90°，则a的取值范围是（）A．[﹣18，6]B．[6﹣5，6+5]C．[﹣16，4]D．[﹣6﹣5，﹣6+5]【考点】圆的切线方程．【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=2，圆心为：（2，0），半径为，∵在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ=90°，∴在直线l上存在一点M，使得M到C（2，0）的距离等于2，∴只需C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，故2，解得﹣16≤a≤4，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知复数z=（2﹣i）（1+i），则在复平面内，z对应点的坐标为（3，1）．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数z，则在复平面内，z对应点的坐标可求．【解答】解：z=（2﹣i）（1+i）=3+i，则在复平面内，z对应点的坐标为：（3，1）．故答案为：（3，1）．10．设平面向量，满足||=||=2，•（+）=7，则向量，夹角的余弦值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量数量积的运算性质将•（+）=7展开得出=3，代入向量的夹角公式计算．【解答】解：∵•（+）==7，即4+=7，∴=3，∴cos＜＞==．故答案为：．11．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD=AB=2、BC=1，PA⊥底面ABCD，且PA=2，∴该四棱锥最长棱的棱长为PC===3，故答案为：3．12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线和a，b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求λ，即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，∴=，即==e2﹣1=，则e2=，则e=，设双曲线方程为﹣y2=λ，λ＞0，∵若点（4，2）在C上，∴λ==8﹣4=4，即双曲线方程为﹣y2=4，即，故答案为：13．设函数f（x）=那么f[f（﹣）]=；若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+∞）．【考点】函数零点的判定定理；函数的值．【分析】由分段函数可知f（﹣）=，则f[f（﹣）]=f（）=，画出分段函数的图象，数形结合得答案．【解答】解：由分段函数可知f（﹣）=，∴f[f（﹣）]=f（）=；由y=f（x）﹣k=0，得f（x）=k．令y=k与y=f（x），作出函数y=k与y=f（x）的图象如图：由图可知，函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是．故答案为：；（，+∞）．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优，若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片，那么在这5部微电影中，最多可能有5部优秀影片．【考点】进行简单的合情推理．【分析】记这5部微电影为A1﹣A5，设这5部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部，以此类推可知：这5部微电影中，优秀影片最多可能有5部．【解答】解：记这5部微电影为A1﹣A5，设这5部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部；再考虑3部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量＞A3的点播量，且A3的专家评分＞A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有3部．以此类推可知：这5部微电影中，优秀影片最多可能有5部．故答案为：5．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由二倍角公式和两角和的正弦公式对函数化简，利用周期公式求得函数的最小正周期．（2）根据x 的范围确定2x +的范围，进而利用正弦函数的性质求得函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为{x |x ≠+k π，k ∈Z }，∵f （x ）=（1+tanx ）cos 2x=cos 2x +sinxcosx ，=cos2x +sin2x +=sin （2x +）+，∴f （x ）的最小正周期为T=π．（Ⅱ）∵x ∈（0，），∴＜2x +＜，∴sin （2x +）∈（﹣，1]，∴f （x ）∈（0，]，即当x ∈（0，）时，求函数f （x ）的值域为（0，]．16．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足4a n ﹣3S n =2，其中n ∈N *． （Ⅰ）求证：数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）设b n =a n ﹣4n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系利用作差法即可证明数列{a n }成等比数列； （Ⅱ）求出数列{a n }的通项公式，利用累加法即可求出{b n }的通项公式． 【解答】（Ⅰ）证明：因为4a n ﹣3S n =2，① 所以当n=1时，4a 1﹣3S 1=2，解得a 1=2； 当n ≥2时，4a n ﹣1﹣3S n ﹣1=2，②…3 分由①﹣②，得4a n ﹣4a n ﹣1﹣3（S n ﹣S n ﹣1）=0， 所以a n =4a n ﹣1，由a 1=2，得a n ≠0，故{a n }是首项为2，公比为4的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得a n =2×4n ﹣1．所以b n =a n ﹣4n=4n ﹣1﹣4n ，则{b n }的前n 项和T n =（40+41+…+4n ﹣1）﹣4（1+2+3+…+n ）=﹣4×=﹣2n 2﹣2n ﹣．17．如图，在周长为8的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点．将矩形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°．设G为AF上一点，且满足CF∥平面BDG．（Ⅰ）求证：EF⊥DG；（Ⅱ）求证：G为线段AF的中点；（Ⅲ）求线段CG长度的最小值．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由E，F分别为BC，DA的中点，可证EF⊥FD，EF⊥FA，从而EF⊥平面DFA，即可得证EF⊥DG．（Ⅱ）由AB∥EF∥CD，易证四边形ABCD为平行四边形．连接AC，设AC∩BD=O，则AO=CO，又由CF∥平面BDG，利用线面平行的性质可证CF∥OG，可证OG为中位线，即G为线段AF的中点．（Ⅲ）由已知可得△DFA为等边三角形，且DG⊥FA，又EF⊥DG，可得DG⊥平面ABEF，设BE的中点为H，连接GH，CH，可得CG2=GH2+CH2，设DF=x，由题意得CG2=（4﹣2x）2+（x）2=x2﹣16x+16，利用二次函数的图象和性质即可得解线段CG长度的最小值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为在折起前的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，所以EF⊥FD，EF⊥FA，又因为FD∩FA=F，所以EF⊥平面DFA．…又因为DG⊂平面DFA，所以EF⊥DG．…（Ⅱ）证明：因为在折起前的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，所以在立体图中，AB∥EF∥CD．即在立体图中，四边形ABCD为平行四边形．连接AC，设AC∩BD=O，则AO=CO．…又因为CF∥平面BDG，CF⊂平面ACF，平面ACF∩平面BDG=OG，所以CF∥OG，所以在△ACF中，OG为中位线，即G为线段AF的中点．…（Ⅲ）解：因为G为线段AF的中点，∠DFA=60°．所以△DFA为等边三角形，且DG⊥FA，又因为EF⊥DG，EF∩FA=F，所以DG⊥平面ABEF．设BE的中点为H，连接GH，CH，易得四边形DGHC为平行四边形，所以CH⊥平面ABEF，所以CG2=GH2+CH2．…设DF=x，由题意得CH=DG=x，GH=CD=4﹣2x，所以CG2=（4﹣2x）2+（x）2=x2﹣16x+16，…所以当x=时，CG2min=．所以线段CG长度的最小值为．…18．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值．（Ⅱ）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名，从而求出所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有450人，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有420人．由此能求出该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有多少人．（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，利用列举法能求出至少抽到1名高中生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得（0.005+0.020+a+0.040）×10=1，∴a=0.03．…（Ⅱ）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名．…∵初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.02+0.005）×10=0.25，∴所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.25×1800=450人，…同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.03+0.005）×10=0.35，学生人数约有0.35×1200=420人．∴该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人．…（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，…初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人．高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×40=2人．…记这3名初中生为A1，A2，A3，这2名高中生为B1，B2，则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），而事件A的结果有7种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），∴至少抽到1名高中生的概率P（A）=．…19．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f′（a）=1，求a的值；（Ⅱ）设a≤0，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）问题转化为f（x）不存在最小值，通过讨论a的范围求出函数的单调性，判断函数有无最小值，从而确定a的范围即可．【解答】（Ⅰ）解：函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R且x≠﹣a}，由题意，f′（a）有意义，所以a≠0．求导，得f′（x）=﹣．…所以f′（a）==1，解得：a=±．…（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），等价于“f（x）不存在最小值”．…①当a=0时，由f（x）=，得f（x）无最小值，符合题意．…②当a＜0时，令f′（x）=0，得x=﹣a 或x=3a．…x f x f x所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，3a），（﹣a，+∞），单调递增区间为（3a，﹣a）．因为当x＞a时，f（x）=＞0，当x＜a时，f（x）＜0，所以f（x）min=f（3a）．所以当x1=3a时，不存在x2使得f（x2）＜f（x1）．综上所述，a的取值范围为a∈{0}．…20．已知抛物线C：x2=4y，过点P（0，m）（m＞0）的动直线l与C相交于A，B两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线AQ，BQ与x轴分别相交于点E，F．（Ⅰ）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：点Q在直线y=﹣m上；（Ⅲ）判断是否存在点P，使得四边形PEQF为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）直接根据抛物线的定义即可求出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为y=kx+m，构造方程组，根据根与系数关系和导数的几何意义得到抛物线在点A，B处的切线方程，得到x=（x1+x2），代入即可证明；（Ⅲ）假设存在点P，使得四边形PEQF为矩形，由四边形PEQF为矩形，得EQ⊥FQ，AQ ⊥BQ，根据直线的斜率得到P（0，1），再利用斜率相等验证PEQF为平行四边形即可．【解答】（Ⅰ）解：焦点坐标为（0，1），准线方程为Y=﹣1．…（Ⅱ）证明：由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为y=kx+m．由方程组得x2﹣4kx﹣4m=0，由题意，得△=16k2+16m＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，…由抛物线方程x2=4y，得y=x2，所以y′=x，所以抛物线在点A处的切线方程为y﹣=x1（x﹣x1），化简，得y=x 1x ﹣同理，抛物线在点B 处的切线方程为y=x 2x ﹣ …联立方程，得x 1x ﹣=x 2x ﹣即（x 1﹣x 2）x=（x 1﹣x 2）（x 1+x 2），因为x 1≠x 1，所以x=（x 1+x 2），代入，得y=x 1x 2=﹣m ，所以点Q （（x 1+x 2），﹣m ），即Q （2k ，﹣m ） 点Q 在直线y=﹣m 上．…（Ⅲ）解：假设存在点P ，使得四边形PEQF 为矩形， 由四边形PEQF 为矩形，得EQ ⊥FQ ，AQ ⊥BQ∴k AQ •k BQ =﹣1， x 1x 2=﹣1，∴x 1x 2=（﹣4m ）=﹣1，∴m=1，P （0，1）下面验证此时的四边形PEQF 为平行四边形即可．令y=0，得E （x 1，0）．同理得F （x 2，0）．所以直线EP 的斜率为k EP ==，直线FQ 的斜率k FQ ==，…所以k EP =k FQ ，即EP ∥FQ ．同理PF ∥EQ ．所以四边形PEQF 为平行四边形． 综上所述，存在点P （0，1），使得四边形PEQF 为矩形．…2019年7月29日。
数学试卷2019.4北京市试题(文科)答案
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 （文科） 2019.04 阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A2. C3. D4. D5.B6. B7. C8. B 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 1 10. 6,11. 4812. (1,2)-（答案不唯一） 13.,22,[0,)+∞三、解答题: 本大题共6小题，共80分. 15.（共13分）解：（I ）因为522a a +=，2d =所以11252102a d a +=+=，所以14a =- 所以26n a n =-(II) 21()52m m a a mS m m +==- 又912a =，1524a =因为915,,m S a a 是等比数列，所以2915()m a S a =所以 2560m m --= 6,1m m ==- 因为*m ∈N ，所以6m =解：（Ⅰ）π(0)sin()cos014f a =+=12a += 所以1a =-（Ⅱ）()cos()cos 14f x x x π=--(2sin 2cos )cos 1x x x =+-22sin cos 2cos 1x x x =+-sin2cos2x x =+π)4x =+由图象得0ππ242x += 所以0π8x = 函数()f x 的单调增区间为31(ππ,ππ)88k k -+，k ∈Z解：（I ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，11A B AB又因为,D E 分别为1111,AC B C 的中点，所以DE 11A B于是DEABAB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF 所以AB平面DEF(II) 在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥ 又AC BC ⊥1BCCC C =，1,BC CC ⊂平面11C BC B所以AC ⊥平面11C BC BEF ⊂平面11C BC B所以AC EF ⊥ 又因为12BC CC ==， 1CC BC ⊥，所以侧面11C BC B 为正方形，故11BC CB ⊥ 而,E F 分别为111,B C BB 的中点，连结1BC ，所以EF ‖1BC 所以1EF CB ⊥ ，又1AC CB C =，1,AC CB ⊂平面1ACB所以EF ⊥平面1ACB又EF ⊂平面DEF所以平面1ACB ⊥平面DEF（Ⅲ） 1111233E ACB A ECB ECB V V S AC --∆==⋅=解：(Ⅰ) 人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省(Ⅱ) 设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为事件A在十个地区中，有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%， 则3()10P A =（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为1234,,,a a a a ，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即12,a a从4个地区中任取2个地区共有6种情况，()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，()()()()()1213142324,,,,,,,,,a a a a a a a a a a则5()6P B =19．（共13分） 解：（Ⅰ）当6,0a x =>时，3215()6132f x x x x =-+-所以2'()56(2)(3)f x x x x x =-+=--， 令'()0,f x =得2x =，或3x =. 当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在(0,+)∞上的单调递增区间是(0,2)，(3,)+∞，单调递减区间是(2,3)(Ⅱ)当0a <时，若0x <，则3215()132f x x x ax =---， 所以2'()5(5)f x x x a x x a =--=-- 因为0,0x a <<，所以'()0f x > 若0x >，则3215()132f x x x ax =-+-， 所以2'()5f x x x a =-+ 令'()0,f x = 2540a ∆=->，所以有两个不相等的实根12,x x ，且120x x < 不妨设20x >，所以当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：因为函数()f x 图象是连续不断的，所以当0a <时，()f x 即存在极大值又有极小值20.（共13分）解：（Ⅰ）因为(2,0)A -，所以2a =因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以b c = 又222b c a +=所以b c = ，所以椭圆方程为22142x y +=（Ⅱ）方法一： 设(,)m m M x y 1m MP m y k x =-，=2m AM m yk x + 1AM MP k k ⋅=-22112142m m m mm m y y x x x y ⎧⋅=-⎪-+⎪⎨⎪+=⎪⎩m m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩20m m x y =-⎧⎨=⎩（舍）所以AM 方法二： 设(,)m m M x y ， 因为AM 与MN 垂直，所以点M 在以AP 为直径的圆上， 又以AP 为直径的圆的圆心为1(,0)2-，半径为32，方程为2219()24x y ++=222219()24142m m m m x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，m mx y =⎧⎪⎨=⎪⎩20m m x y =-⎧⎨=⎩（舍）所以AM 方法三：设直线AM 的斜率为k ，:(2)AM l y k x =+ ，其中 0k ≠22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得2222(12)8840k x k x k +++-=当0∆>时，228412A M k x x k -⋅=+得222412M k x k -=+ ，2421Mk y k =+ 显然直线,AM MN 存在斜率且斜率不为0.因为AM 与MN 垂直，所以222421=24112MPkk k k k+=--+1k=- 得212k =，2k =±， 0M x =所以2M AM + （Ⅲ）直线NQ 恒过定点(2,0) 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由题意，设直线MN 的方程为1x my =+，由 221,240x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(2)230m y my ++-=，显然，0∆>，则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+，因为直线PQ 与AM 平行，所以112PQ AM y k k x ==+， 则PQ 的直线方程为11(1)2y y x x =-+， 令52x =，则111133222(3)y y y x my ==++，即1135(,)22(3)y Q my + 121122112232(3)2635(3)(23)2NQ y y my my y y y k my my x -++-==+--， 直线NQ 的方程为12212221221263()2639my y y y y y x x m y y my my +--=-+--12211221222212211221263(263)(1)26392639my y y y my y y y my y x y m y y my my m y y my my +-+-+=-++--+--122112212212211221263215326392639my y y y my y y y x m y y my my m y y my my +-+-=-+--+-- 令0y =，得122112212153263my y y y x my y y y +-=+-因为121223()my y y y =+，故221829y x y ==， 所以直线NQ 恒过定点(2,0). 古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
2019年最新北京市高考数学二模试卷(文科)及答案解析
北京市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|0≤x≤1}2．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=B．y= C．y=log0.5x D．y=e x3．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=04．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则•（）A．20 B．16 C．15 D．126．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=（）x﹣1．则不等式f（x）﹣x2≥0的解集是（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．小王的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（）A．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日B．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量C．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大D．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．复数的虚部为______．10．在△ABC中，已知AB=2，BC=5，cosB=，则△ABC的面积是______．11．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为______．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为______；若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±x，则此双曲线的方程为______．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______．14．为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了“步步夺金”活动．活动规则：①使用平安好医生APP计步器，每天走路前1000步奖励0.3元红包，之后每2000步奖励0.1元红包，每天最高奖励不超过3元红包．②活动期间，连续3天领钱成功，从第4天起走路奖金翻1倍（乘以2），每天最高奖励不超过6元红包．某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功．这五天他走的步数统计如下：三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．16．在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|（n ∈N*）．17．2015年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限．为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区600名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“+”表示选，“﹣”表示不选．结果如表所示：（2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率；（3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？18．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．（Ⅰ）求证：PA∥GH；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；（Ⅲ）求几何体M﹣BDC的体积．19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．20．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP；（Ⅲ）设△ABC的面积与△APC的面积之比为q，求q的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】根据集合交集的概念求解即可．【解答】解：∵B={x||x|≤1}={x|﹣1≤x≤1}，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选A．2．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=B．y=C．y=log0.5x D．y=e x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的性质判断选项中函数的单调性即可．【解答】解：对于A，y=是定义域[0，+∞）上的增函数，不满足题意；对于B，y=在（﹣∞，1）和（1，+∞）上是单调减函数，不满足题意；对于C，y=log0.5x在（0，+∞）是单调减函数，满足题意；对于D，y=e x在（﹣∞，+∞）是单调增函数，不满足题意．故选：C．3．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的标准方程．【分析】算出直线3x+2y+1=0的斜率k=﹣，结合题意可得所求垂线的斜率为k'=．求出已知圆的圆心C的坐标，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到经过已知圆心与直线3x+2y+1=0垂直的方程．【解答】解：圆x2+（y﹣1）2=4，∴圆心的坐标为C（0，1），∵直线3x+2y+1=0的斜率k=﹣，∴与直线3x+2y+1=0垂直的直线的斜率为k'=．因此，经过圆心C且与直线3x+2y+1=0垂直的直线方程是y﹣1=x，整理得2x﹣3y+3=0．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】首先分析程序框图，循环体为“当型“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1满足条件i＜4，执行循环体，S=2，i=2满足条件i＜4，执行循环体，S=6，i=3满足条件i＜4，执行循环体，S=14，i=4不满足条件i＜4，S=4，输出S的值为4．故选：B．5．如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则•（）A．20 B．16 C．15 D．12【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意把用表示，代入•，展开后由向量的数量积运算得答案．【解答】解：∵ABCD为边长是4正方形，∴，∵=3，∴，∴，则•==．故选：D．6．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=0，即cosα﹣sinα=0或c osα+sinα=0，即cosα=sinα或cosα=﹣sinα，∴“cos2α=0”是“sinα=cosα”的必要不充分条件，故选：B．7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=（）x﹣1．则不等式f（x）﹣x2≥0的解集是（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】设g（x）=f（x）﹣x2，由题意可得g（x）是定义在R上的偶函数，求出x≥0，不等式f（x）﹣x2≥0等价于（）x﹣1≥x2，可得0≤x≤1，即可解不等式．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x2，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（x）是定义在R上的偶函数，∴x≥0，不等式f（x）﹣x2≥0等价于（）x﹣1≥x2，∴0≤x≤1∴不等式f（x）﹣x2≥0的解集为[﹣1，1]．故选：B．8．小王的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（）A．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日B．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量C．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大D．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】求出平均数判断A，求出估计的总流量判断B，通过图象判断C、D．【解答】解：对应A：（6.2+12.4+14+11.6+4.8+6.2+5.5+9.5+10+11.2）=9.14，故A错误；对于B：11×20+91.4=311.4＞300，这个月总流量就超过套餐流量，故B错误；对于C、D，结合图象C正确，D错误；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．复数的虚部为 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1+i，再由i 的幂运算性质进行化简即可．【解答】解：∵==i，∴它的虚部是1，故答案为：1．10．在△ABC中，已知AB=2，BC=5，cosB=，则△ABC的面积是3．【考点】正弦定理．【分析】根据同角的三角公式求得sinB，再由三角形面积公式可求得结果．【解答】解：cosB=，sinB==，△ABC的面积S=AB•BC•sinB=×2×5×=3．故答案为：3．11．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出平面区域，利用目标函数的几何意义求z的最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：当直线y=﹣2x+z经过C时z最大，并且C（2，3），所以z的最大值为2×2+3=7；故答案为：712．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为y2=8x ；若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±x，则此双曲线的方程为=1 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，求出p，可得抛物线的方程，确定抛物线的性质，利用双曲线的性质，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，∴p=4，∴抛物线C的方程为y2=8x；抛物线的焦点坐标为（2，0），∴c=2，∵渐近线方程为y=±x，∴=，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为=1．故答案为：y2=8x；=1．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是放倒一个直三棱柱，由三视图求出几三棱柱底面边长、高，由三棱柱的结构特征和面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个直三棱柱、底面在左右，由侧视图知，底面是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是2，则斜边是2，由正视图知，三棱柱的高是3，∴该几何体的表面积S==，故答案为：．14．为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了“步步夺金”活动．活动规则：①使用平安好医生APP计步器，每天走路前1000步奖励0.3元红包，之后每2000步奖励0.1元红包，每天最高奖励不超过3元红包．②活动期间，连续3天领钱成功，从第4天起走路奖金翻1倍（乘以2），每天最高奖励不超过6元红包．某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功．这五天他走的步数统计如下：为 1.0 元，为8.0 元．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意得到第1、2、3天的奖励红包都是0.3+×0.1；第4、5天的奖励红包都是2（0.3+×0.1）．【解答】解：因为每2000步奖励0.1元红包，所以依（x﹣1000）是2000的整数倍，依题意得：第1天红包奖励：0.3+×0.1=0.9（元）．第2天红包奖励：0.3+×0.1=1.0（元）．第3天红包奖励：0.3+×0.1=1.1（元）．第4天红包奖励：2×（0.3+×0.1）=2.4（元）．第5天红包奖励：2×（0.3+×0.1）=2.6（元）．所以这5天的红包奖励为：0.9+1.0+1.1+2.4+2.6=8.0（元）．故答案是：1.1；8.0．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．【考点】正弦函数的图象．【分析】（I）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+），再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值．【解答】解：（I）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得=﹣，求得ω=2，∴最小正周期T==π．再根据五点法作图可得2•+φ=π，求得φ=．（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+），在区间[﹣，]上，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，当2x+=﹣时，即x=﹣，函数f（x）取得最小值为﹣．当2x+=时，即x=，函数f（x）取得最大值为1．16．在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|（n ∈N*）．【考点】等比数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q．由a1=1，a4=8，求出q=2，问题得以解决；（II）先等差数列{b n}的通项公式b n=b1+（n﹣1）d=﹣26+6（n﹣1）=6n﹣32，可得当n≤5时b n≤0且当n≥6时b n≥0．因此分两种情况讨论，并利用等差数列的求和公式加以计算，可得|b1|+|b2|+…+|b n|的表达式．【解答】解：（I）设等比数列的公比为q．由a1=1，a4=8所以a4=a1q3=8所以q=2所以等比数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1，n∈N*．（II）因为a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，所以b6=a3=4，b8=a5=16，设等差数列{b n}的公差为d解得，b1=﹣26，d=6，所以等差数列{b n}的通项公式b n=b1+（n﹣1）d=﹣26+6（n﹣1）=6n﹣32因为当6n﹣32≤0时，n≤5．（1）当n≤5时，可得|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=﹣（b1+b2+…+b n）=﹣3n2+29，（2）当n≥6时，|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=﹣（b1+b2+…+b5）+b6+b7+…+b n=70+（3n2﹣29n+70）=3n2﹣29n+140；综上所述：|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=17．2015年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限．为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区600名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“+”表示选，“﹣”表示不选．结果如表所示：（2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率；（3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）根据图表求得既选课程三，又选了课程四的人数，与总人数的比值；（2）观察图表查出选3项课程的总人数，与600的比值；（3）分别求得选课程一、三和四的概率，进行比较，选出最大的概率．【解答】解：（1）学生既选了课程三，又选了课程四的概率为：=，（2）学生在五项课程中，选了三项课程的概率为：=，（3）某学生已经选了课程二，再选课程一的概率为：=；再选课程三的概率为：=；再选课程四的概率为：=；所以，某学生已经选了课程二，那么该学生选择课程四的可能性最大．18．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．（Ⅰ）求证：PA∥GH；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；（Ⅲ）求几何体M﹣BDC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）连接MO，则MO∥PA，于是PA∥平面BDM，根据面面平行的性质得出PA∥GH；（II）计算DO，MO，DM，根据勾股定理的逆定理得出DO⊥MO，又DO⊥AC，得出DO⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面BDM；（III）由勾股定理的逆定理得出PA⊥PC，于是MO⊥PC，利用平面PAC⊥平面BDM的性质得出CM⊥平面BDM，于是V M﹣BDC=V C﹣BDM=【解答】（I）证明：连接MO．∵四边形ABCD是菱形，∴O为AC的中点，∵点M为PC的中点，∴MO∥PA．又MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面BDM．又∵平面APG∩平面平面BDM=GH，PA⊂平面APG，∴PA∥GH．（II）证明：∵△PCD是边长为2的等边三角形，M是PC的中点．∴DM=．∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△ABD是边长为2的等边三角形，∴DO=BD=1，又MO==，∴DO2+MO2=DM2，∴BD⊥MO．∵菱形ABCD中，BD⊥AC，又MO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，MO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．又BD⊂平面BDM，∴平面PAC⊥平面BDM．（III）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，∴AC=2AO=2．在△PAC中，∵PA=2，AC=2，PC=2，∴PA2+PC2=AC2，∴PA⊥PC，∵MO∥PA，∴PC⊥MO，又平面PAC⊥平面BDM，平面PAC∩平面BDM=MO，PC⊂平面PAC，∴PC⊥平面BDM．∴V M﹣BDC=V C﹣BDM====．19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（I ）令f′（x ）=0求出f （x ）的极值点，得出f （x ）的单调性与单调区间，从而得出f （x ）的极值；（II ）对x 和a 的范围进行讨论得出f （x ），g （x ）在（0，+∞）上的单调性，利用单调性及最值判断f （x ），g （x ）的零点个数，从而得出h （x ）的零点个数． 【解答】解：（ I ）f′（x ）=3ax 2﹣6x=3x （ax ﹣2）． 令f′（x ）=0，得x 1=0，x 2=． ∵a ＞0，x 1＜x 2，f′（x ）及f （x ）符号变化如下， ，） （，∴f （x ）的极大值为f （0）=1，极小值为f （）=﹣+1=﹣+1．（ II ）令g （x ）=lnx=0，得x=1．当0＜x ＜1时，g （x ）＜0；x=1时，g （x ）=0；当x ＞1时，g （x ）＞0． （1）当x ＞1时，g （x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）上无零点． 所以h （x ）=max{f （x ），g （x ）}在（1，+∞）上无零点． （2）当x=1时，g （1）=0， 所以1为g （x ）的一个零点． f （1）=a ﹣2，①当a=2时，1是f （x ）的一个零点．所以当a=2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}有一个零点． ②当0＜a ＜2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}有一个零点． ③当a ＞2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}无零点．（3）当0＜x ＜1时，g （x ）＜0，g （x ）在（0，1）上无零点．所以h （x ）=max{f （x ），g （x ）}在（0，1）上的零点个数就是f （x ）在（0，1）上的零点个数．当a ＞0时，由（ I ）可知f （x ）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，且f （0）=1，f （1）=a ﹣2，f （）=﹣+1=．①当，即0＜a＜2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a﹣2＜0，f（0）=1＞0．所以f（x）在（0，1）上有1个零点，即h（x）有1个零点．②当，即a=2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a﹣2=0，所以f（x）在（0，1）上无零点，即h（x）无零点．③当，即a＞2时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，1）上为增函数，f（）=﹣+1=＞0，所以f（x）在（0，1）上无零点．即h（x）无零点．综上，当0＜a＜2时，h（x）有2个零点，当a=2时，h（x）有1个零点，当a＞2时，h（x）无零点．20．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP；（Ⅲ）设△ABC的面积与△APC的面积之比为q，求q的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意知c=1，b=，求得a=2，进而得到椭圆方程和离心率；（II）设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），将A，P代入椭圆方程．两式相减，由点B，C，P三点共线，可得直线PB，BC的斜率相等，化简整理求得k AB•k PA=﹣1，即可得证；或求得k PA•k PB=﹣，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．（III）方法一、设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP，BP方程解得x1，将k=代入得x1，q===3+（﹣1），运用y0的范围，即可得到所求范围；方法二、设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP，BP方程解得x1，将=k代入x1，可得q===3+，由k的范围，即可得到所求范围．【解答】解：（I）由题意知c=1，b=，则a2=b2+c2=4，所以椭圆M的方程为+=1，椭圆M的离心率为e==；（II）证明：设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），由点A，P在椭圆上，所以+=1①，+=1②点A不是椭圆M的顶点，②﹣①可得=﹣，法一：又k PB=，k BC==，且点B，C，P三点共线，所以=，即=，所以k AB•k PA=•=•==•（﹣）=﹣1．即AB⊥AP．法二：由已知AB，AP的斜率都存在，k PA•k PB=•==﹣，又k PB=k BC=，可得k PA=﹣，则k AB•k PA=•（﹣）=﹣1，即AB⊥AP．（III）法一：设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP与BP方程，解得x1=，将k=代入得x1==．q=====3+（﹣1），因为y02∈（0，3），所以q∈（3，+∞）．法二：设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP与BP方程：，解得x1===x0（1+），q====3+，因为k2∈（0，+∞），所以q∈（3，+∞）．。
北京市第四中学2019届高三高考调研卷(二)文科数学试题
北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题（二）教师版页数：4页 题数：20题 满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，{|1}A x x =>，2{|1}B x x =>，那么()U A Bð等于 CA .{|11}x x -<≤B .{|11}x x -<<C .{|1}x x <-C .{|1}x x -≤2. 在复平面内，复数12ii z +=对应的点位于 DA . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. 已知曲线1:y sinx C =，22:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是 CA ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C4. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确．．．的是 DA . 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B . 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C . 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D . 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟. 5．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 A A . 3:1 B . 4:1 C . 5:1D . 6:16.若n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是 DA ．若ββα⊥⊥m ,，则α//m ；B ．若m n m ⊥,//α，则α⊥n ；C ．若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα⊥；D ．若n m m =⊂βααβ ,,//，则n m // 7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 CA ．152π；B ．203π；C ．1521π-；D ．2031π-8. 若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：12x x y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x =+>； ②()()ln 0f x x x e =<<； ③()cos f x x =； ④()24f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为 B A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分． 9．曲线()2x f x xe =+在点()()0,0f 处的切线方程为 20x y -+= ．10．若变量,x y 满足则目标函数20,20,360,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为28 ．11．将数列3，6，9，……按照如下规律排列，记第m 行的第n 个数为,m na ，如3,215a =，若,2019m n a =，则m n += 44 ．12. 已知函数()|ln |f x x =，实数,m n 满足0m n <<，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值是2，则nm 的值为 xe .13．设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈，则λ=__－3__．14．若圆221x y +=与圆22680x y x y m +---=相切，则m 的值为 911-或 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，()2*2n n nS a a n N =+∈． （1）求数列{}n a的通项公式；（2）若()*0n a n N >∈，令()12n n n b a a =+，求数列{}n b的前n 项和n T ．解：（1）1(1)n n a -=-或n a n =；（2）32342(1)(2)n n T n n +=-++．详细分析：（1）当1n =时，21112S a a =+，则11a =当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-，即111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-或11n n a a -=+1(1)n n a -∴=-或n a n =（2）由0n a >，n a n ∴=，1111()(2)22n b n n n n ==-++1111111111323[(1)()()][1]2324222+1242(+1)(2)n n T n n n n n n +∴=-+-++-=+--=-+++16.设函数)2π2π,0)(sin(3(<<->+=ϕωϕωx x f ）的图象的一个对称中心为），（012π，且图象上最高点与相邻最低点的距离为124π2+.（1）求ω和ϕ的值；（2）若)2π0(4312π2(<<=+αα）f ，求)4πcos(+α的值．16.解：（1）解：(1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为1242+π得41212||22πωπ+=+）（∴2=ω函数()f x x ωϕ=+）的图象的一个对称中心为），（012π∴2,12k k Zπϕπ⨯+=∈22πϕπ<<-∴6πϕ=-(2) 由（1）知：)62sin(3(π-=x x f ）∴43sin 3]6)122(2sin[3122(==-+=+αππαπα）f∴41sin =α20πα<<∴415cos =α∴8230411522)cos sin 22)4cos(-=-⨯=-=+ααπα（17. 某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量y （百件）与该天返还点数x 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.(参考公式及数据：①回归方程y=bx+a ，其中ni ii=1n22ii=1x y -nxyb=,a=y-bxx-nx∑∑；②5i i i=1x y =18.8∑.)17.（1）易知123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455x y ++++++++====，522222211234555i i x ==++++=∑ ，ni ii=1n222i i=1x y -nxy18.853 1.04b==0.325553x -nx-⨯⨯=-⨯∑∑，a=y-bx 1.040.3230.08=-⨯=则y 关于x 的线性回归方程为0.320.08y x =+，当6x =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. （2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x 人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y 人，由分层抽样的定义可知6301020x y ==，解得2,4x y ==在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为12A A ，，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为1234,,,B B B B ，则所有的抽样情况如下：{}{}{}{}{}{}{}{}121122123124112113114123,,,,A ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A B A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}{}{}{}{}124134212213214223224234,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}123124134234,,,,,B ,,,,,,B B B B B B B B B B B 共20种,其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A 为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则16()0.820P A ==18．如图，四棱锥P ABCD -中，22,BC//AD,AB AD,PBD AB AD BC ===⊥∆为正三角形．且PA =(1)证明：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且//PB 平面ACE ，求四面体A CDE -的体积．(1)证明：∵,2AB AD AB AD ⊥==，∴BD =又PBD ∆为正三角形，所以PB PD BD ===又∵2,AB PA ==AB PB ⊥， 又∵,//AB AD BC AD ⊥，∴,AB BC PBBC B ⊥=，所以AB ⊥平面PBC ，又因为AB ⊥平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PBC .6分 (2)如图，连接AC 交BD 于点O ，因为//BC AD ， 且2AD BC =，所以2OD OB =，连接OE ，因为//PB 平面ACE ，所以//PB OE ，则//2DE PE ， 由(1)点P 到平面ABCD 的距离为2，所以点E 到平面ABCD 的距离为24233h =⨯=， 所以111482233239A CDE E ACD ACD V V S h --∆⎛⎫===⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭， 即四面体ACDE -的体积为89.12分19.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B两点．若OAB △的面积为，求直线l 的方程．（1）因为椭圆C 的焦点为12(FF ，可设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以222231143a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于()()0000,0,0P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由22000143x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640xy x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C有且只有一个公共点，所以()()()()22222200000024443644820x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为)．②因为三角形OAB的面积为，所以1262AB OP=，从而7AB =． 设()()1122,,,A x y B x y ，由（*）得1,20024x x y =+，所以()()()()2222200201212222200048214y x x AB x x y y y x y -⎛⎫=-+-=+ ⎪+⎝⎭．因为22003x y +=， 所以()()2022216232491x AB x-==+，即42002451000x x -+=，解得()22005202x x ==舍去，则212y =，因此P 的坐标为22⎛ ⎝⎭．综上，直线l 的方程为y =+．20．已知函数()()32ln ,g x a x f x x x bx==++.(1)若()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，求实数b 的范围；(2)若对任意[]1,x e ∈，都有()()22g x x a x≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0b =时，设()()(),1,1f x x F x g x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．(1)由()32f x x x bx=++，得()232f x x x b'=++，因()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，所以()232f x x x b'=++在[]1,2上最大值大于0，最小值小于0，()221132333f x x x b x b ⎛⎫'=++=++-⎪⎝⎭， ∴()()max min 16050f x b f x b '⎧=+>⎪⎨'=+<⎪⎩，∴165b -<<-. (2)由()()22g x x a x≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-，∵[]1,e x ∈，∴ln 1x x ≤≤，且等号不能同时取，∴ln x x <，即ln 0x x ->，∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min 2ln x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭， 令()[]()22,1,e ln x x t x x x x -=∈-，求导得()()()()2122ln ln x x x t x x x -+-'=-，当[]1,e x ∈时，10x -≥，0ln 1x ≤≤，22ln 0x x +->，从而()0t x '≥，∴()t x 在[]1,e上是增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-.(3)由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩- 11 - 假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧， 不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠，∵POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ =，∴()()2320t F t t t -++= (*)是否存在,P Q 等价于方程(*)在0t >且1t ≠是否有解，①当01t <<时，方程(*)为∴()()232320t t t t t -+-++=，化简4210t t -+=，此方程无解； ②当1t >时，方程(*)为()232ln 0t a t t t -++=，即()11ln t t a =+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t '=++， 显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数， ∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解，∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上.。
北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试卷(一)(含解析)
北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共20小题，满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0，1，，，即，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2.复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：化简复数z，写出它的虚部即可．详解：∵复数z====﹣i，∴z的虚部是﹣1．故选：D．点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到正方形的顶点A、B、C的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．详解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形=×16=4，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S阴影=2π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：P=1﹣=1﹣π，故选：A．点睛：几何概型问题时，首先分析基本事件的总体，再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就是度量比，一般是长度、面积、体积.4.阅读如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的k值是（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行；第二次运行；…∴第次运行，当输入时，由得，程序运行了次，输出的值为．考点：程序框图.5.已知三棱柱的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图①所示，，，分别是三边的中点）后得到的几何体如图②，则该几何体的侧视图为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为平面平面，所以几何体的左视图为直角梯形，且直角腰在左视图的左侧，故选A．6.中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了A. 60里B. 48里C. 36里D. 24里【答案】D【解析】【分析】每天行走的里程数是公比为的等比数列，且前和为，故可求出数列的通项后可得.【详解】设每天行走的里程数为，则是公比为的等比数列，所以，故（里），所以（里），选C. 【点睛】本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题.7.的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则角（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正弦定理可得，可得，，由，可得，，由为三角形内角，可得，由正弦定理可得由，可得，故选D.8.已知直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为（）A. 或B. 或C.D.【答案】B【解析】∵直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得.故选B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.若变量，满足不等式组则的最大值为__________．【答案】1【解析】表示到的斜率，由可行域可知，过点或时，斜率最大，即。
2019年北京市东城区高三二模数学文科试卷-答案
北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）数学（文科）参考答案及评分标准 2019.5一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）D （3）D （4）C （5）C （6）B （7）C （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）2x y =?（10）2-；1 （11）3π（12）10 （答案不唯一） （13）2；2- （14） 三、解答题（共6小题，共80分） （15） （共13分）解: （Ⅰ）依题意，数列{}n a 满足：11=a ，12n n a a +=-，所以{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列. 则{}n a 的通项公式为1(2)n n a -=-，前n 项和1[1(2)]1(2)1(2)3n nn S ⨯----==--. ………………………. 7分（Ⅱ）由 (Ⅰ) 可知，81-=b ， 62-=b ，因为{}n b 为等差数列， 212d b b =-=. 所以{}n b 的通项公式为210n b n =-. 所以372371064b =⨯-=. 令1)2(64--=n ，解得7=n .所以37b 与数列{}n a 的第7项相等. …………………..13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由图象可知，2A =. 因为51264Tππ-=，所以T =π.所以2ππ=ω. 解得2ω=. 又因为函数()f x 的图象经过点(,2)6π，所以2sin(2)26ϕπ⨯+= . 解得=+2()6k k Z ϕππ∈. 又因为2ϕπ<，所以=6ϕπ. 所以()2sin(2)6f x x π=+. …………………………………………………………. 7分（Ⅱ）因为 []0,x m ∈ ，所以2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 当2662x πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，时，即0,6x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时， ()f x 单调递增， 所以()(0)1f x f ≥=，符合题意； 当52,626x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦时，即,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递减， 所以()()13f x f π≥=，符合题意； 当532,662x πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦时，即2,33x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递减， 所以()()13f x f π<=，不符合题意；综上，若对于任意的[]0,x m ∈，有()1f x ≥恒成立，则必有03m π<≤， 所以m 的最大值是3π. ………………………………………..13分 （17）（共13分） 解：（Ⅰ）设A 表示事件“从这10天中，随机选取一天，甲维修元件数不少于5”． 根据题意，51()102P A ==． …………………………………………………….4分 （Ⅱ）22s s >甲乙. ……………………………………………………………………………………….8分（Ⅲ）设增加工人后有n 名工人.因为每天维修的元件的平均数为1[354+64+6+3+7+8+4+4+7+4+5+5+4+5+5+4+7]=10.10+++（）（） 所以这n 名工人每天维修的元件的平均数为10n. 令103n ≤. 解得103n ≥. 所以n 的最小值为4． 为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人……….13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）取AD 中点N ，连接EN ． 在△ADE 中，AE DE =， 所以EN AD ⊥.因为平面ADE ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，EN ⊂平面ADE ,所以EN ⊥平面ABCD ．又因为AE DE ⊥，4AD =，所以2EN =.因为AB ∥CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=，4AB AD ==， 所以ABCD S =梯形所以123-E ABCD V =⨯=. …………….5分 （Ⅱ）因为AB ∥CD ，AB ⊂平面ABFE ，CD ⊄平面ABFE ， 所以CD ∥平面ABFE ．又因为CD ⊂平面CDEF ，平面ABEF 平面CDEF EF =，所以CD ∥EF ．因为CD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD ．…………….10分（Ⅲ）连接MN ，假设EM AM ⊥.由（Ⅰ）知EN ⊥平面ABCD ，因为AM ⊂平面ABCD ,所以EN AM ⊥．因为EM AM ⊥, 且ENEM E =，所以AM ⊥平面ENM ． 因为MN ⊂平面ENM ， 所以AM MN ⊥．在△AMN 中，2,4AN AM AN =≥>， 所以AMN ANM ∠<∠. 所以90AMN ∠<． 这与AM MN ⊥矛盾．所以假设不成立，即EM 与AM 不垂直．…………….14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞，(1)0f =.2211'()2(1ln )112ln f x x x x x=+-+=++. '(1)2f =. 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-. 即22y x =-.…………….5分（Ⅱ）记21()12ln g x x x=++. 33222(1)(1)'()x x g x x x x +-=-=. 由'()0g x =解得1x =．()g x 与'()g x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以()g x 在1x =时取得最小值(1)2g =．所以21()12ln 20g x x x =++≥>.所以'()0f x >. 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增. 又由(1)0f =知，当01x <<时，()0f x <，10x -<，所以(1)()0x f x ->； 当1x >时，()0f x >，10x ->，所以(1)()0x f x ->. 所以(1)()0x f x -≥. ………………………………13分（20）（共14分）解：（I ）由题意得1,1,2c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩解得2,1.a c =⎧⎨=⎩因为222a b c -=，所以23b =.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ………………………………4分 （II ）因为ΔPAF 与ΔPMF 的面积之比为15， 所以1||||5AP PM =. 所以16AP AM =. 设00(4,)(0),(,)M m m P x y ≠，则001(2,)(6,)6x y m +=， 解得001,6m x y =-=. 将其代入22143x y +=，解得9m =±. 所以M 的坐标为(4,9)或(4,9)-. ……………………………… 8分（III ）设00(4,),(4,),(,)M m N n P x y ，若0m =，则P 为椭圆C 的右顶点，由,,P F Q 三点共线知，Q 为椭圆C 的左顶点， 不符合题意.所以0m ≠.同理0n ≠. 直线AM 的方程为(2)6my x =+. 由22(2),6143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得2222(27)4(4108)0m x m x m +++-=. 2222(4)4(27)(4108)0m m m Δ=-+->成立.由2024108227m x m --=+，解得20254227m x m-=+. 所以00218(2)627m m y x m =+=+. 所以22254218(,)2727m mP m m-++. 当3m =时，3n =，2254227m m-+=1，即直线PQ x ⊥轴. 由椭圆的对称性可得||||||3MR FR NR ===. 又因为90MRF NRF ∠=∠=︒， 所以45MFR FNR ∠=∠=︒. 当3m ≠时，3n ≠，直线FP 的斜率2222180********27FPmm m k m m m -+==---+. 同理269FQ nk n =-. 因为,,P F Q 三点共线，所以226699m nm n =--.所以9mn =-.在Rt MRF Δ和Rt NRF Δ中，||||tan ||3MR m MFR FR ∠==，||3||tan ||||3FR m FNR NR n ∠===， 所以tan tan MFR FNR ∠=∠. 因为,MFR FNR ∠∠均为锐角， 所以MFR FNR ∠=∠.综上，若,,P F Q 三点共线，则MFR FNR ∠=∠. ………………………………14分。
北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题(二)(教师版)
A. 第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需要的时间至少 80 分钟
B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高 C. 这 40 名工人完成任务所需时间的中位数为 80 D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是 80 分钟.
1 正视图
1 侧视图
5．一个棱长为 2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三
北京市第四中学 2019 年高考调研卷
文科数学试题（二） 教师版
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位 号。用 2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
（2）若 an 0(n N ) ，令 b n
1 ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn．
a n ( a n +2)
解：（ 1） an ( 1)n 1 或 an n ；（ 2） Tn 3
2n 3 ．
4 2( n 1)(n 2)
解析：（ 1）当 n 1 时， 2S1 a12 a1 ，则 a1 1
3 ．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案 无效。
4 ．考生必须保持答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有
15
B． 3 ； 20
2019年北京市高考数学试卷(文科)(解析版)
2019年北京市高考数学试卷（文科）（解析版）绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =A. （–1，1）B. （1，2）C. （–1，+∞）D. （1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ，∴(1,)A B ⋃=+∞ ，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.2.已知复数z =2+i ，则z z ⋅=A. B. C. 3 D. 5【答案】D【解析】【分析】 题先求得z ，然后根据复数的乘法运算法则即得. 【详解】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..3.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 A. 12y x = B. y =2x - C. 12log y x = D. 1y x= 【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可..【详解】函数122,log x y y x -==， 1y x= 在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.4.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.【详解】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ， 运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ， 运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ， 结束循环，输出=2s ，故选B .【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.5.已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =A. B. 4 C. 2 D. 12【答案】D【解析】【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解.【详解】 ∵双曲线的离心率c e a==，c =，=， 解得12a =， 故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断.【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m 1的星的亮度为E 2（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1 【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg ( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选：A【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.8.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβC. 2β+2cosβD.2β+2sinβ【答案】B【解析】【分析】阴影部分的面积S=S△P AB+ S1- S△OAB.其中S1、S△OAB的值为定值.当且仅当S△P AB取最大值时阴影部分的面积S取最大值.【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为βr2+S△POB+ S△POA=4β+12|OP||OB|s in（π-β）+12|OP||OA|Sin（π-β）=4β+2Sinβ+2Sinβ=4β+4 Sinβ，故选B.【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019届北京市第四中学高三调研(一)数学(文)试题(解析版)
2019届北京市第四中学高三调研（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0，1，，，即，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2．复数的虚部是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：化简复数z，写出它的虚部即可．详解：∵复数z====﹣i，∴z的虚部是﹣1．故选：D ．点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：求出满足条件的正三角形ABC 的面积，再求出满足条件正三角形ABC 内的点到正方形的顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．详解：满足条件的正三角形ABC 如下图所示：其中正三角形ABC 的面积S 三角形=×16=4，满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示， 则S 阴影=2π，则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于2的概率是： P=1﹣=1﹣π，故选：A ．点睛：几何概型问题时，首先分析基本事件的总体， 再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就是度量比，一般是长度、面积、体积. 4．阅读如图所示的程序框图，若输入a 的值为178，则输出的k 值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 【答案】B【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行10213s k =+=⨯，；第二次运行11031335s k =++=⨯⨯，；…∴第n次运行()()111013352121s n n =+++⋯+⨯⨯-+111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭11122121n n n ⎛⎫=⨯-= ⎪++⎝⎭，当输入817a =时，由n a >得8n >，程序运行了9次，输出的k 值为10． 【考点】程序框图.5．已知三棱柱HIG EFD -的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图①所示， A ， B ， C 分别是GHI ∆三边的中点）后得到的几何体如图②，则该几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】 因为平面DEHG ⊥平面，所以几何体的左视图为直角梯形，且直角腰在左视图的左侧，故选A ．6．中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了 A ．60里 B ．48里C ．36里D ．24里【答案】D【解析】每天行走的里程数是公比为的等比数列，且前和为，故可求出数列的通项后可得.【详解】设每天行走的里程数为，则是公比为的等比数列，所以，故（里），所以（里），选C.【点睛】本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题.7．ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知cos b a C C ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2a =， 3c =C =（ ） A ．34π B ．3π C ．6π D ．4π【答案】D 【解析】cos ,b a C C ⎛⎫=∴ ⎪ ⎪⎝⎭由正弦定理可得sin sin cos sin B A C A C =+，可得()s i nc o s3si nAC A +==，cos sin sin A C A C ∴=，由sin 0C ≠，可得sin A A =，tan A ∴=，由A 为三角形内角，可得,2,3A a c π===， ∴由正弦定理可得sin sin c A C a ⋅==∴由c a <，可得4C π=，故选D.8．已知直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为（ ） A ．或B ．或C ．D ．【答案】B 【解析】∵直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得.故选B ．二、填空题9．若变量x ， y 满足不等式组20,{5100, 80,x y x y x y -+≥-+≤+-≤则2yz x =+的最大值为__________． 【答案】1【解析】2yz x =+表示(),x y 到()2,0-的斜率， 由可行域可知，过点()0,2或()3,5时，斜率最大，即max 1z =。
2019年4月北京市西城区高三二模数学试题(文科)
2019年4月北京市西城区高三二模数学试题（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =（ ） （A ）1i22+ （B ）1i 22- （C ）1i 22-+ （D ）1i 22--2．给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ） （A ）① ② （B ）③ ④ （C ）① ③ （D ）② ④3．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①2x y =； ②2xy =-； ③1()f x x x -=+； ④1()f x x x -=-． 则输出函数的序号为（ ） （A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④4．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且,m n α⊂. 则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件5．已知双曲线221x ky -=的一个焦点是(5,0)，则其渐近线的方程为（ ） （A ）14y x =± （B ）4y x =± （C ）12y x =±（D ）2y x =±6．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ） （注：标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）（A ）12x x >，12s s > （B ）12x x <，12s s < （C ）12x x >，12s s < （D ）12x x <，12s s >7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ．则S 最小时，电梯所停的楼层是（ ） （A ）7层 （B ）8层（C ）9层（D ）10层8．已知集合1220{,,,}A a a a =，其中0(1,2,,20)k a k >=，集合{(,)|,B a b a A =∈,}b A a b A ∈-∈，则集合B 中的元素至多有（ ）（A ）210个 （B ）200个（C ）190个（D ）180个第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在△ABC 中，3BC =，2AC =，π3A =，则B =_____．10．设变量x ，y 满足11,11,x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 则2x y +的最小值是_____．11．已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,3}， 那么⊥a b 的概率是_____．12．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)f x x -<的解集为_____．13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_____．14．已知曲线C 的方程是22||||()()8x y x y x y-+-=，给出下列三个结论： ① 曲线C 与两坐标轴有公共点；② 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形；③ 若点P ，Q 在曲线C 上，则||PQ 的最大值是62. 其中，所有正确结论的序号是_____．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数()sin()3cos()f x x x ωϕωϕ=+++的部分图象如图所示，其中0ω>，ππ(,)22ϕ∈-．AD CB E（Ⅰ）求ω与ϕ的值； （Ⅱ）若554)4(=αf ，求αααα2sin sin 22sin sin 2+-的值．17．（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD E -中，EA EB =，AB ∥CD ，BC AB ⊥，CD AB 2=． （Ⅰ）求证：ED AB ⊥；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使DF // 平面BCE ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为36，且经过点31(,)22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最 大值．20．（本小题满分14分）若正整数*12(,1,2,,)n k N a a a a k n =+++∈=N ，则称12n a a a ⨯⨯⨯为N 的一个“分解积”．（Ⅰ）当N 分别等于6,7,8时，写出N 的一个分解积，使其值最大；（Ⅱ）当正整数(2)N N ≥的分解积最大时，证明：*()N k a k ∈中2的个数不超过2； （Ⅲ）对任意给定的正整数(2)N N ≥，求出(1,2,,)k a k n =，使得N 的分解积最大．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．D ； 6．B ； 7．C ； 8．C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．π4； 10．2-； 11．16； 12．0，{|12}x x <<； 13．13，3π； 14．② ③．注：12、13题第一问2分，第二问3分;14题少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d ．依题意 3827()26a a a a d +-+==-，从而3d =-． ………………2分 所以 2712723a a a d +=+=-，解得 11a =-． ………………4分所以数列{}n a 的通项公式为 23+-=n a n ． ………………6分 （Ⅱ）解：由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，得 1-=+n n n c b a ，即123-=++-n n c b n ，所以 123-+-=n n c n b ． ………………8分GF OADCB E所以 21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++21(31)(1)2n n n c c c --=+++++． ………………10分从而当1=c 时，2(31)322n n n n nS n -+=+=； ………………11分 当1≠c 时，(31)121n n n n c S c--=+-． ………………13分16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：π()2sin()3f x x ωϕ=++． ………………2分 设()f x 的最小正周期为T ．由图可得 πππ()2442T =--=，所以 πT =，2=ω． ………………4分 由 2)0(=f ，得 πsin()13ϕ+=，因为 ππ(,)22ϕ∈-，所以 π6ϕ=． ………………6分（Ⅱ）解：π()2sin(2)2cos 22f x x x =+=． ………………8分由 5542cos2)4(==ααf ，得 5522cos =α， ………………9分 所以 5312cos 2cos 2=-=αα． ………………11分 所以2sin sin 22sin (1cos )1cos 12sin sin 22sin (1cos )1cos 4αααααααααα---===+++． ………………13分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为 EA EB =，所以 AB EO ⊥． ……………2分因为 AB ∥CD ，CD AB 2=， 所以 BO ∥CD ，CD BO =．又因为 BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为矩形，所以DO AB ⊥． ………………4分因为 O DO EO = ，所以 ⊥AB 平面EOD ． ………………5分 所以 ED AB ⊥． ………………6分 （Ⅱ）解：点F 满足12EF EA =，即F 为EA 中点时，有DF // 平面BCE ．……………7分 证明如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ． ………………8分因为F 为EA 中点，所以FG ∥AB ，AB FG 21=． 因为AB ∥CD ，AB CD 21=，所以FG ∥CD ，CD FG =． 所以四边形CDFG 是平行四边形，所以 DF ∥CG ． ………………11分 因为 ⊄DF 平面BCE ，⊂CG 平面BCE ， ………………12分 所以 DF // 平面BCE ． ………………13分 18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当1a =时，22()1xf x x =+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分 由 (0)2f '=， 得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………4分 （Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………6分① 当0a =时，22()1xf x x '=+．所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………7分当0a ≠，21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a =，()f x 与()f x '的情况如下：故)(x f 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-．………10分 ③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a -∞；单调减区间是1(,)a a--，(,)a -+∞．………………13分 综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1(,)a +∞单调递减；在1(,)a a-单调递增.x1(,)x -∞ 1x 12(,)x x2x 2(,)x +∞ ()f x ' -+-()f x↘1()f x ↗2()f x ↘x2(,)x -∞2x 21(,)x x 1x 1(,)x +∞()f x ' +-+()f x↗2()f x↘1()f x↗0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1(,)a-∞，(,)a -+∞单调递增；在1(,)a a-单调递减．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解： 由 222222213a b b e a a -==-=， 得 13b a =． ① ………………2分 由椭圆C 经过点31(,)22，得2291144a b +=． ② ………………3分 联立① ②，解得 1b =，3a =． …………4分所以椭圆C 的方程是 2213x y +=． …………5分 （Ⅱ）解：易知直线AB 的斜率存在，设其方程为2+=kx y ．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得 0912)31(22=+++kx x k ． ………………7分令2214436(13)0k k ∆=-+>，得21k >．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221213k x x k +=-+，122913x x k =+． ……………9分 所以 1212122AOB POB POA S S S x x x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=-． ………………10分 因为 22221212122222123636(1)()()4()1313(13)k k x x x x x x k k k --=+-=--=+++， 设 21(0)k t t -=>， 则 21223636363()16(34)4169242924t x x t t t t t-==≤=+++⨯+． ……………13分 当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时△AOB 面积取得最大值23． ………………14分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：633=+，分解积的最大值为339⨯=； ………………1分732234=++=+，分解积的最大值为3223412⨯⨯=⨯=； ………………2分 8332=++，分解积的最大值为33218⨯⨯=． ………………3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，(1,2,,)k a k n =中可以有2个2． ………………4分当(1,2,,)k a k n =有3个或3个以上的2时，因为22233++=+，且22233⨯⨯<⨯，所以，此时分解积不是最大的．因此，*()N k a k ∈中至多有2个2． ………………7分 （Ⅲ）解：① 当(1,2,,)k a k n =中有1时，因为1(1)i i a a +=+，且11i i a a ⨯<+，所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大． ………………8分 ② 由（Ⅱ）可知，(1,2,,)k a k n =中至多有2个2．③ 当(1,2,,)k a k n =中有4时，若将4分解为13+，由 ① 可知分解积不会最大； 若将4分解为22+，则分解积相同；若有两个4，因为44332+=++，且44332⨯<⨯⨯，所以将44+改写为332++，使得分解积更大． 因此，(1,2,,)k a k n =中至多有1个4，而且可以写成22+． ………………10分 ④ 当(1,2,,)k a k n =中有大于4的数时，不妨设4i a >，因为2(2)i i a a <-，所以将i a 分解为2(2)i a +-会使得分解积更大． ………………11分 综上所述，(1,2,,)k a k n =中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．于是，当*3()N m m =∈N 时，333m N =+++个使得分解积最大； …………12分当*31()N m m =+∈N 时，(1)(1)333223334m m N --=+++++=++++个个使得分解积最大； ………………13分 当32()N m m =+∈N 时，3332m N =++++个使得分解积最大．………………14分。
2019届北京市海淀区高三第二次调研试卷数学(文)(含详解)
2019届北京市海淀区高三第二次调研试卷文科数学（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设常数a ∈R ，集合A={}0)a ()1(≥--x x x ，B={}1-≥a x x .若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） （A ）（－∞，2） （B ）（－∞，2] （C ）（2，+∞） （D ）[2，+∞） 2.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞3.将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π64.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q5.函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1- (B)(C)(D) 06.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．23C ．1321D ．6109878.下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）9.方程x 31139x=+-的实数解为 . 10.学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 .1||a12. 已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .13. 在四边形CD AB 中，()C 2,4A =，()D 2,1B =-，则该四边形的面积为_______14.设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 。
北京市第四中学2019届高三数学调研卷(二)文(含解析)
北京市第四中学2019届高三数学调研卷（二）文（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1。
已知全集,，，那么等于（）A。
B.C. D。
【答案】C【解析】【分析】可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】由题得或，,。
故选：C【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得:z=2−i，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：z=1+2ii =i+2i2i2=i−2−1=2−i，则复数z对应的点为(2,−1)，位于第四象限。
本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则,各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知曲线C1:y=sinx，C2:y=sin(2x−2π3)，则下面结论正确的是( ）A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C2C。
把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2D。
把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C2【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【详解】对于选项A, 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线y=sin12(x−π3)=sin(12x−π6),所以选项A是错误的；对于选项B, 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线y=sin12(x+π3)=sin(12x+π6),所以选项B是错误的；对于选项C，曲线C1:y=sinx,把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变,得到y=sin2x，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2:y=sin(2x−2π3),所以选项C是正确的；对于选项D, 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线y=sin2(x+π3)=sin(2x+2π3)，所以选项D是错误的。
2019年北京卷文科数学高考真题及参考答案.docx
【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=（A）（–1，1）（B）（1，2）（C）（–1，+∞）（D）（1，+∞）（2）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A）3（B）5（C）3 （D）5（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（A）12y x=（B）y=2x-（C）12logy x=（D）1yx=（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（5）已知双曲线2221x y a-=（a >0）的离心率是5，则a =（A ）6（B ）4（C ）2（D ）12（6）设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10.110-（8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019届北京市第四中学高三第三次调研考试数学(文)试题及答案
经过定点（ -4,0），
，则点
，
因为点 B 在圆
上，
故有
，
化简整理得：
，
所以点 M 的轨迹是圆心为（ -3,0），半径为 1 的圆，
圆心（ -3,0）到直线 所以点 M 到直线
的距离为
，
的最大距离为 4。
故选 B。
【】
本题考查了直线与圆的位置关系、 动点轨迹等问题， 解决动点轨迹常见的方法有直译法、
含的条件 .
2．下列函数中 ,与函数 A．
的单调性和奇偶性相同的函数是 B．
C．
D．
【答案】 D
【】 可以判断函数
是定义在 R 上的奇函数、单调增函数，从定义域角度可以分析
出选项 A 、 B、 C 均不能成立，由此可以得出正确选项。
解：函数
的定义域为 R，
因为
，
所以得到
为奇函数，
又因为
恒成立，
故
在 R 上为单调递增函数，
活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的
. 其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方
向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化
.
第三步：求结果 .
4．设 满足约束条件
则下列不等式恒成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
的标准形
10 ．已知数列
的前 项和为
是公差为 2 的等差数列，则数列
， 的通项公式为 __________．
【答案】
，若数列
【】 分析：由
，求得数列
是公差 的等差数列，再求得
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北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题（二）教师版页数：4页 题数：20题 满分：150分 时间：120分钟出卷人：高三数学教研室老师 高级教师 李玉坤审核人：高三数学教研室主任 特级教师 杨二环一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，，，那么等于 C U =R {|1}A x x =>2{|1}B x x =>()U A B ðA .B .{|11}x x -<≤{|11}x x -<<C .C .{|1}x x <-{|1}x x -≤2. 在复平面内，复数对应的点位于 D12ii z +=A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. 已知曲线，，则下面结论正确的是 C1:y sinx C =22:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭A ．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个1C 3π单位长度，得到曲线2C B ．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个1C 3π单位长度，得到曲线2C C ．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个1C 123π单位长度，得到曲线2C D ．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个1C 123π单位长度，得到曲线2C 4. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确的是 DminA . 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B . 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C . 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D . 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.5．一个棱长为的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部2分与剩余部分体积的比为 A A . B . C . D .3:14:15:16:16.若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 Dn m ,βα,A ．若，则； B ．若，则；ββα⊥⊥m ,α//m m n m ⊥,//αα⊥n C ．若，则； D ．若，则n m n m ⊥⊥,//,βαβα⊥n m m =⊂βααβ ,,//n m //7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 CA ．；B ．；C ．；D ．152π203π1521π-2031π-8. 若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：()f x ()()1122,,,A x y B x y的最大值为0，则称为“柯西函数”，121x x y +()f x 则下列函数：①； ②；()()10f x x x x =+>()()ln 0f x x x e =<< ③； ④．()cos f x x=()24f x x =-其中为“柯西函数”的个数为 BA . 1B . 2C . 3D . 42、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．曲线在点处的切线方程为 ．()2x f x xe =+()()0,0f 20x y -+=10．若变量满足则目标函数则目标函数的最大值为 28 ．,x y 20,20,360,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩4z x y =+11．将数列3，6，9，……按照如下规律排列，记第行的第个数为，如，若，则 44 ．m n ,m na 3,215a =,2019m n a =m n +=12.已知函数，实数满足，且，若在区()|ln |f x x =,m n 0m n <<()()f m f n =()f x 间上的最大值是，则的值为 .2[,]m n 2nm x e 13．设为所在平面内一点，，若，则D ABC ∆1433AD AB AC =-+ ()BC DC R λλ=∈ __－3__．λ=14．若圆与圆相切，则的值为 911-或 . 221x y +=22680x y x y m +---=m 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若数列的前项和为，且，．{}n a n n S 10a >()2*2n n nS a a n N =+∈（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，令，求数列的前项和．()*0n a n N >∈()12n n n b a a =+{}n b n n T 解：（1）或；（2）．1(1)n n a -=-n a n =32342(1)(2)n n T n n +=-++解析：（1）当时，，则1n =21112S a a =+11a =当时，，2n ≥2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-即或111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-11n n a a -=+或1(1)n n a -∴=-n a n=（2）由，，0n a >n a n ∴=1111((2)22n b n n n n ==-++1111111111323[(1()([1]2324222+1242(+1)(2)n n T n n n n n n +∴=-+-++-=+--=-+++ 16.设函数的图象的一个对称中心为，且图象)2π2π,0)(sin(3(<<->+=ϕωϕωx x f ）），（012π上最高点与相邻最低点的距离为.124π2+（1）求和的值；ωϕ（2）若，求的值．)2π0(4312π2(<<=+αα）f )4πcos(+α16.解：（1）解：(1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为1242+π得41212||22πωπ+=+）（∴2=ω函数的图象的一个对称中心为 ()f x x ωϕ=+）），（012π∴2,12k k Zπϕπ⨯+=∈ 22πϕπ<<-∴6πϕ=-(2) 由（1）知：)62sin(3(π-=x x f ）∴43sin 36)122(2sin[3122(==-+=+αππαπαf∴41sin =α20πα<< ∴415cos =α∴8230411522)cos sin 224cos(-=-⨯=-=+ααπα（17. 某商场营销人员进行某商品市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品M 当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：反馈点数x 12345销量（百件）0.50.611.41.7（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量（百件）与该天返还点数y x 之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测若返回6y x y bx a =+个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：返还点数预期值区间（百[1,3)[3,5[5,7)[7,9)[9,11[11,1频数206060302010将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.(参考公式及数据：①回归方程，其中；②.)y=bx+a ni ii=1n22ii=1x y -nxyb=,a=y-bxx-nx∑∑5i i i=1x y =18.8∑ 17.（1）易知， ，123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455x y ++++++++====522222211234555i i x ==++++=∑， ni ii=1n222i i=1x y -nxy18.853 1.04b==0.325553x -nx-⨯⨯=-⨯∑∑a=y-bx 1.040.3230.08=-⨯= 则关于的线性回归方程为，y x 0.320.08y x =+当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. 6x = 2.00y =（2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取人，x y 由分层抽样的定义可知，解得6301020x y ==2,4x y == 在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为，4名“欲望紧缩型”12A A ，消费者分别记为，则所有的抽样情况如下：1234,,,B B B B {}{}{}{}{}{}{}{}121122123124112113114123,,,,A ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A B A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}{}{}{}{}124134212213214223224234,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B 共20种,其中至少有1名“欲望膨胀型”消费{}{}{}{}123124134234,,,,,B ,,,,,,B B B B B B B B B B B 者的情况由16种记事件A 为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则16()0.820P A ==18．如图，四棱锥中，为正三角P ABCD -22,BC//AD,AB AD,PBD AB AD BC ===⊥∆形．且.PA =(1)证明：平面平面；PAB ⊥PBC (2)若点到底面的距离为2，是线段上一点，且平面，求四面P ABCD E PD //PB ACE 体的体积．A CDE -(1)证明：∵，∴，,2AB AD AB AD ⊥==BD =又为正三角形，所以，PBD ∆PB PD BD ===又∵，2,AB PA ==AB PB ⊥又∵，∴，,//AB AD BC AD ⊥,AB BC PB BC B ⊥=所以平面，又因为平面，AB ⊥PBC AB ⊥PAB 所以平面平面.6分PAB ⊥PBC (2)如图，连接交于点，因为，AC BD O //BC AD 且，所以，连接，2AD BC =2OD OB =OE 因为平面，所以，则，//PB ACE //PB OE //2DE PE 由(1)点到平面的距离为2，P ABCD 所以点到平面的距离为，E ABCD 24233h =⨯=所以，111482233239A CDE E ACD ACD V V S h --∆⎛⎫===⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭A 即四面体的体积为.12分A CDE -8919.在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，圆的直径为xOy C 1)212(F F O ．12F F （1）求椭圆及圆的方程；C O （2）设直线与圆相切于第一象限内的点．l O P ①若直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；l C P ②直线与椭圆交于两点．若，求直线的方程．l C ,A B OAB△l （1）因为椭圆的焦点为12(F F ，可设椭圆的方程C C 为．又点在椭圆上，所以，解得，因此，()222210x y a b a b +=>>12⎫⎪⎭C 222231143a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩2241a b ⎧=⎨=⎩椭圆的方程为．因为圆的直径为，所以其方程为．C 2214x y +=O 12F F 223x y +=（2）①设直线与圆相切于，则，所以直线的方程为l O ()()0000,0,0P x y x y >>22003x y +=l ，即．由，消去，得()0000x y x x y y =--+0003x y x y y =-+22000143x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩y ．（*）()222200004243640xy x x x y +-+-=因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以l C ．()()()()22222200000024443644820x x y y y x ∆=--+-=-=因为，所以．因此，点的坐标为．00,0x y >001x y ==P )②因为三角形，所以，从而．OAB12AB OP =A AB =设，由（*）得，()()1122,,,A xy B x y 1,2x =所以．因为，()()()()2222200201212222200048214y x x AB x x y y y x y -⎛⎫=-+-=+ ⎪+⎝⎭A22003x y +=所以，即，解得，则，()()2022216232491x AB x -==+42002451000x x -+=()22005202x x ==舍去2012y =因此的坐标为．综上，直线的方程为．Pl y =+20．已知函数.()()32ln ,g x a x f x x x bx ==++(1)若在区间上不是单调函数，求实数的范围；()f x []1,2b (2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；[]1,x e ∈()()22g x x a x≥-++a (3)当时，设对任意给定的正实数，曲线上是否存0b =()()(),1,1f x x F x g x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩a ()y f x =在两点，使得是以(为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜,P Q POQ ∆O O 边中点在轴上？请说明理由．y (1)由，()32f x x x bx=++得，因在区间上不是单调函数，()232f x x x b'=++()f x []1,2所以在上最大值大于0，最小值小于0，()232f x x x b'=++[]1,2，()221132333f x x x b x b ⎛⎫'=++=++-⎪⎝⎭∴，∴.()()max min 16050f x b f x b '⎧=+>⎪⎨'=+<⎪⎩165b -<<-(2)由，得，()()22g x x a x≥-++()2ln 2x x a x x -≤-∵，∴，且等号不能同时取，∴，即，[]1,e x ∈ln 1x x ≤≤ln x x <ln 0x x ->∴恒成立，即，22ln x x a x x -≤-2min 2ln x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭令，求导得，()[]()22,1,e ln x x t x x x x -=∈-()()()()2122ln ln x x x t x x x -+-'=-当时，，，，从而，[]1,e x ∈10x -≥0ln 1x ≤≤22ln 0x x +->()0t x '≥∴在上是增函数，∴，∴.()t x []1,e ()()min 11t x t ==-1a ≤-(3)由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，()y F x =,P Q ,P Q y 不妨设，则，且，()()(),0P t F t t >()32,Q t t t -+1t ≠∵是以为直角顶点的直角三角形，∴，∴ POQ ∆O 0OP OQ = A ()()2320t F t t t -++=(*)是否存在等价于方程(*)在且是否有解，,P Q 0t >1t ≠①当时，方程(*)为01t <<∴，化简，此方程无解；()()232320t t t t t -+-++=4210t t -+=②当时，方程(*)为，即，1t >()232ln 0t a t t t -++=()11ln t t a =+设，则，()()()1ln 1h t t t t =+>()1ln 1h t t t '=++显然，当时，，即在上为增函数，1t >()0h t '>()h t ()1,+∞∴的值域为，即，∴当时，方程总有解，()h t ()()1,h +∞()0,+∞0a >(*)∴对任意给定的正实数，曲线上存在两点，使得是以(为坐标原a ()y F x =,P Q POQ ∆O O 点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上.y。