2014年高考数学分类汇编：直线方程与圆的方程(有答案)
专题08 直线与圆-2014年高考数学试题分项版解析(原卷版)
专 题8 直线与圆1. 【2014高考安徽卷文第6题】过点(3,1)P -的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π， 2. 【2014高考北京卷文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >， 若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.43.【2014高考大纲卷文第16题】直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值等于 .4. 【2014高考福建卷文第6题】已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+= 5 . 【2014高考湖北卷文第17题】 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则（1）=b ；（2）=λ .6 .【2014高考湖南卷文第6题】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D - 7.【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .8. 【2014高考全国2卷文第12题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （D ）22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9. 【2014高考山东卷文第14题】 圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .10. 【2014高考四川卷文第9题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A 、[5,25]B 、[10,25]C 、[10,45]D 、[25,45]11. 【2014高考浙江卷文第5题】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-12. 【2014高考重庆卷文第14题】已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.13. 【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=. （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？14. 【2014高考全国1文第20题】已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及P O ∆的面积（3）。
14年高考数学真题及解析--圆和直线的位置关系
1、[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＝2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝02．[2014·浙江卷] 已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－83．[2014·安徽卷] 过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π34．[2014·北京卷] 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．45、[2014·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．496．[2014·湖南卷] 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－117．[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．8、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．9、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )A. [－1，1]B. ⎣⎡⎦⎤－12，12 C. [－2，2] D. ⎣⎡⎦⎤－22，2210．[2014·山东卷] 圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．11．[2014·重庆卷] 已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．1、D 2．B 3．D 4．B 5 C6．C [解析] 依题意可得C 1(0，0)，C 2(3，4)，则|C 1C 2|＝33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9.7、25 55 [解析] 由题意可得，圆心为(2，－1)，r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2－2－3|12＋22＝35 5，所以弦长为2r 2－d 2＝2 4－95＝2555 . 8、439、A10．(x －2)2＋(y －1)2＝411．0或6。
2014年文数高考母题题源系列 14直线与圆的位置关系 Word版含解析]
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【母题来源】2014全国II 卷文–12 【母题原题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）⎡⎣ （D ）⎡⎢⎣⎦【命题意图】本题主要考查考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力、化归能力．【方法技巧】1.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法：――――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交，＝0⇔相切，<0⇔相离.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d<r ⇔相交，d ＝r ⇔相切，d>r ⇔相离.2．圆的弦长的常用求法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则(l2)2＝r 2－d 2(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k 21＋x 22－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上．然后设出切线方程，用待定系数法求解．注意斜率不存在情形.【试题拓展】求圆的的切线方程有两种情况，一是求过圆上一点()00,P x y 圆的切线方程，其方法如下：先求斜率（利用圆的切线垂直于经过切点的半径来求），再由点斜式写圆的切线方程；二是求过圆外一点()00,P x y 圆的切线方程，有两条，其方法如下：若斜率存在，可用待定系数法，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可．【拓展一】求过圆2210x y +=上一点(2M 的圆的切线方程．1.【2014高考四川卷文第9题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A 、B 、C 、D 、 【答案】B2.【2014高考浙江卷文第5题】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-3.【2014高考安徽卷文第6题】过点(P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π，4. 【2014高考北京卷文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.45.【黑龙江省佳木斯市第一中学2014届高三第三次调研】圆心在曲线2(0)y x x=>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（ ） A.22(1)(2)5x y -+-= B.22(2)(1)5x y -+-= C.22(1)(2)25x y -+-= D.22(2)(1)25x y -+-=6【北京市西城区2014届高三上学期期末考试数学试题】已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ）（A ）2y x =+-（B ）1y x =+-（C ）2y x =-+ （D ）1y x =+-7．【【百强校】2013-2014学年浙江省嘉兴一中高二下学期期中文科数学卷】两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线1:20l x y a -+=，22:210l x y a -++=,和圆：22240x y x ++-=相切，则实数a 的取值范围是（ ）A ．7a >或3a <-B ．a >a <C ．3a -≤≤7a ≤D ．7a ≥或3a ≤- 【答案】C 【解析】8.【2014高考大纲卷文第16题】直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值等于 .的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=30x y -+=，故选D .考点：圆的方程，直线的垂直，直线方程.10. 【2014高考湖北卷文第17题】 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则（1）=b ；（2）=λ .11.【2014高考湖南卷文第6题】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -12.【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .13.【2014高考山东卷文第14题】 圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .15．【2014高考全国1文第20题】已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积16．【组卷网合作校特供】已知圆22:1O x y +=和点(1,4)M ． （1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线28y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；（3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）：1x =或158170x y -+= （2）22(1)(4)36x y -+-=（3）存在定点R (1,4)--，此时PQ PR 为定值2或定点R 14(,)1717--，此时PQ PR 为定值617．【2013-2014学年福建省清流一中高一下学期第三阶段模块考数学试卷】已知圆22:4O x y +=和圆22:(4)1C x y +-=．（1）判断圆O和圆C的位置关系；（2）过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程；（3）过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，M？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请是否存在这样的圆P，使得圆P经过点(2,0)说明理由．18．【【百强校】2014届甘肃省兰州一中高考模拟四文科数学试卷】给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点O 的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F . （1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，.（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.考点：直线与圆及圆锥曲线的位置关系问题.。
2014届高考数学(理科)专题教学案：直线与圆(含答案)
常考问题11 直线与圆[真题感悟]1．(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析 设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max＝43. 答案 432．(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |， 求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋y －32＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1， 即1≤a 2＋2a －32≤3.整理得－8≤5a 2－12a ≤0.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.[考题分析]高考对本内容的考查主要有：直线和圆的方程；两直线的平行与垂直关系；点到直线的距离；直线与圆的位置关系；直线被圆截得的弦长．多为B 级或C 级要求．1．两直线平行或垂直(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在且l 1与l 2不重合时，l 1∥l 2.(2)两条直线垂直：对于两条直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.特别地，当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零时，l 1⊥l 2. 2．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2；对于二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧B ＝0，A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4AF ＞0.3．直线方程的5种形式中只有一般式可以表示所有的直线．在利用直线方程的其他形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限性．比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊情况．而题中给出直线方程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理．4．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化． 5．直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值．(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值． (3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值．(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题． (5)两圆相离，两圆上点的距离的最值．热点一 直线和圆的方程【例1】 若一三角形三边所在的直线方程分别为x ＋2y －5＝0，y －2＝0，x ＋y －4＝0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为________．解析结合题意，易得三角形的三个顶点分别是(1,2)，(2,2)和(3,1)，作出图形，即可判断该三角形为钝角三角形，而能够覆盖钝角三角形的圆是以钝角的对边(最长边)为直径的圆，而最长边的两个端点坐标分别为(1,2)，(3,1)，即圆的直径为5，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，故其方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝54.答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝54[规律方法] 求圆的方程就是要确定圆心坐标和半径，通常用待定系数法；对于解析几何填空题利用其几何性质往往会起到方便、快捷作用．【训练1】 (2012·南通模拟)已知过某定圆上的每一点均可以作两条相互垂直的直线与椭圆x 216＋y 29＝1的公共点都各只有一个，那么该定圆的方程为________． 解析 易得椭圆x 216＋y 29＝1的外切矩形的四个顶点(±4，±3)必在该定圆上，则该定圆必是该外切矩形的外接圆，方程为x 2＋y 2＝25，可以验证过该圆上除点(±4，±3)的任意一点也均可作两条相互垂直的直线与椭圆x 216＋y 29＝1的交点都各只有一个；故圆方程x 2＋y 2＝25.答案 x 2＋y 2＝25热点二 直线与圆、圆与圆的位置关系【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝4，圆C 2：(x ＋m )2＋(y ＋m ＋5)2＝2m 2＋8m ＋10(m ∈R ，且m ≠－3)．(1)设P 为坐标轴上的点，满足：过点P 分别作圆C 1与圆C 2的一条切线，切点分别为T 1、T 2，使得PT 1＝PT 2，试求出所有满足条件的点P 的坐标；(2)若斜率为正数的直线l 平分圆C 1，求证：直线l 与圆C 2总相交． 解 (1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，圆C 1与圆C 2的半径分别为r 1、r 2， 由题意得PC 21－r 21＝PC 22－r 22，即[(x 0－3)2＋(y 0＋2)2]－4＝[(x 0＋m )2＋(y 0＋m ＋5)2]－(2m 2＋8m ＋10)， 化简得x 0＋y 0＋1＝0，因为P 为坐标轴上的点， 所以点P 的坐标为(0，－1)或(－1,0)；(2)依题意可设直线l 的方程为：y ＋2＝k (x －3)，k ＞0，化简得kx －y －3k －2＝0， 则圆心C 2(－m ，－m －5)到直线l 的距离为|k －1|·|m ＋3|k 2＋1，又圆C 2的半径为2m 2＋8m ＋10，所以“直线l 与圆C 2总相交”等价于“∀m ≠－3，|k －1|·|m ＋3|k 2＋1＜2m 2＋8m ＋10”，即|k －1|k 2＋1＜2m 2＋8m ＋10m ＋32，①记y ＝2m 2＋8m ＋10m ＋32，整理得(y －2)m 2＋2(3y －4)m ＋9y －10＝0，当y ＝2时，m ＝－2；当y ≠2时，判别式Δ＝[2(3y －4)]2－4(y －2)(9y －10)≥0，解得y ≥1； 综上得y ＝2m 2＋8m ＋10m ＋32，m ≠－3的最小值为1，所以①式⇐|k －1|k 2＋1＜1⇔k ＞0，即证．[规律方法] 根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，判定直线与圆的位置关系． 【训练2】 平面直角坐标系xOy 中，直线x －y ＋1＝0截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为6.(1)求圆O 的方程；(2)若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；(3)设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交于x 轴于点(m,0)和(n,0)，问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 解 (1)因为O 点到直线x －y ＋1＝0的距离为12，所以圆O 的半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝2， 故圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)，即bx ＋ay －ab ＝0， 由直线l 与圆O 相切，得|ab |a 2＋b 2＝2，即1a 2＋1b 2＝12，DE 2＝a 2＋b 2＝2(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2≥8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (3)设M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，x 21＋y 21＝2，x 22＋y 22＝2， 直线MP 与x 轴交点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1，0，m ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1，直线NP 与x 轴交点⎝⎛⎭⎪⎫x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1，0，n ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1， mn ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1·x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝x 21y 22－x 22y 21y 22－y 21＝2－y 21y 22－2－y 22y 21y 22－y 21＝2，故mn 为定值2. 热点三 直线、圆与其他知识的交汇【例3】 (2013·南通模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆x 29＋2y 29＝1的右顶点，点D (1,0)，点P ，B 在椭圆上，BP →＝DA →.(1)求直线BD 的方程；(2)求直线BD 被过P ，A ，B 三点的圆C 截得的弦长；(3)是否存在分别以PB ，PA 为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)因为BP →＝DA →且A (3,0)，所以BP ＝DA ＝2，而B ，P 关于y 轴对称，所以点P 的横坐标为1，从而得P (1,2)，B (－1,2) 所以直线BD 的方程为x ＋y －1＝0.(2)线段BP 的垂直平分线方程为x ＝0，线段AP 的垂直平分线方程为y ＝x －1，所以圆C 的圆心为(0，－1)，且圆C 的半径为r ＝10，又圆心(0，－1)到直线BD 的距离为d ＝2，所以直线BD 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝4 2.(3)假设存在这样的两个圆M 与圆N ，其中PB 是圆M 的弦，PA 是圆N 的弦，则点M 一定在y 轴上，点N 一定在线段PC 的垂直平分线y ＝x －1上，当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时，一定有P ，M ，N 在一条直线上，且PM ＝PN .设M (0，b )，则N (2,4－b )，根据N (2,4－b )在直线y ＝x －1上，解得b ＝3.所以M (0,3)，N (2,1)，PM ＝PN ＝2，故存在这样的两个圆，且方程分别为x 2＋(y －3)2＝2，(x －2)2＋(y －1)2＝2.[规律方法] 求圆中弦长问题，多用垂径定理，先计算圆心到直线的距离，再利用弦长公式AB ＝2r 2－d 2；求圆的方程问题常见于找出圆心和半径，对于两圆的位置关系则多借助于几何关系进行判定．【训练3】 如图所示，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)BQ →·BP →是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由． 解 (1)设圆A 的半径为R .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1. 由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP →＝0 ∴BQ →·BP →＝(BA →＋AQ →)·BP → ＝BA →·BP →＋AQ →·BP →＝BA →·BP →.当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－52. 则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，又BA →＝(1,2)，∴BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k .∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k . ∴BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－51＋2k －10k 1＋2k ＝－5.综上所述，BQ →·BP →是定值，且BQ →·BP →＝－5.备课札记：希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。
【备战2014】高考数学 高频考点归类分析 直线与圆(真题为例)
2 再由切割线定理得 BD =CD AD ，即 x 4 x =( ) ，解得 x =
2
8 3
4 4 ，故 CD = 。 3 3
▲ 。[
例 11. （2012 年北京市文 5 分）直线 y x 被圆 x 2 y 2 4 截得的弦长为
3
又已知点 P(1,1) ，则 kOP 1 。故所求直线的斜率为-1。 又所求直线过点 P(1,1) ，故由点斜式得，所求直线的方程为 y 1 x 1 ，即 x y 2 0 。 故选 A。 例 6. （2012 年福建省文 5 分）直线 x＋ 3y－2＝0 与圆 x ＋y ＝4 相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长度等于 【 】 A．2 5 【答案】B。 【考点】直线与圆的位置关系。 【解析】根据圆的方程知，圆的圆心为(0,0)，半径 R＝2，弦心距 d＝ 2 3。故选 B。 例 7.（2012 年辽宁省文 5 分 ）将圆 x2 y 2 2 x 4 y 1 0 平分的直线是【 （ A） x y 1 0 【答案】C。 【考点】直线和圆的方程，曲线上点的坐标与方程的关系。 【解析 】∵ x2 y2 2x 4 y 1 0 x 1 y 2 =4 ，
∴ AOB 面积的最小值为 3 。 例 13. （2012 年江苏省 5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 圆 C 的方程为 x2 y 2 8x 15 0 ， 若直线 y kx 2 上 至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点 ，则 k 的最大值是 ▲ ． 【答案】
同上判别圆心在不在 直线 y =kx 1 上。 还可求圆心到直线 y =kx 1 的距离来判别。 例 2. （2012 年安徽省文 5 分）若直线 x y 1 0 与圆 ( x a) y 2 有公共点，则实数 a 取值范围是
2014高考数学汇编文---直线与圆(含答案与详解)
201高考数学汇编（文）---直线与圆1. 【2014高考安徽卷文第6题】过点(P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π， 2. 【2014高考北京卷文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >， 若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.43. 【2014高考大纲卷文第16题】直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值等于 .4.【2014高考福建卷文第6题】已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=5. 【2014高考湖北卷文第17题】 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则 （1）=b ； （2）=λ .6.【2014高考湖南卷文第6题】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .8. 【2014高考全国2卷文第12题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）⎡⎣ （D ）22⎡-⎢⎣⎦9.【2014高考四川卷文第9题】圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦的长为32，则圆C 的标准方程为_______________10.【2014高考四川卷文第9题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A 、B 、C 、D 、11.【2014高考浙江卷文第5题】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-12.【2014高考重庆卷文第14题】已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.13. 【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=. （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？yx14.【2014高考全国1文第20题】已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积答案与解析：1. 【2014高考安徽卷文第6题】过点(3,1)P -的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π，2. 【2014高考北京卷文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >， 若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.3. 【2014高考大纲卷文第16题】直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值等于 .4.【2014高考福建卷文第6题】已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=5. 【2014高考湖北卷文第17题】 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则 （1）=b ； （2）=λ . 【答案】（1）21-；（2）21【解析】试题分析：设),(y x M ，因为||||MA MB λ=， 所以])2[()(22222y x y b x ++=+-λ，6.【2014高考湖南卷文第6题】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .8. 【2014高考全国2卷文第12题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （D ）22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.【2014高考四川卷文第9题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）学科网A 、[5,25]B 、10,25]C 、10,5]D 、[25,5]11.【2014高考浙江卷文第5题】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8- 【答案】B12.【2014高考重庆卷文第14题】已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.【答案】0或6 【解析】试题分析：圆C 的标准方程为：()()22129x y ++-=,所以圆C 的圆心在()-12，，半径3r = 又直线0x y a -+=与圆C 交于,A B 两点，且AC BC ⊥,所以圆心C 到直线0x y a -+=的距离32d =()22123211a --+=+-33a -=解得：0a =或6a =.考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.13.【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处，（OC为河岸），4 tan3BCO∠=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？yx14.【2014高考全国1文第20题】已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（3）求M 的轨迹方程；（4）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积。
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题11：解析几何1(直线与圆)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题11：解析几何（直线与圆）（一）直线与直线选择题1．（2014•四川文）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．，【考点】函数最值的应用；两条直线的交点坐标【分析】可得直线分别过定点(0,0)和(1,3)且垂直，可得22||||10PA PB +=．三角换元后，由三角函数的知识可得．【解答】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ， 动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点(1,3)B ， 动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=的斜率之积为1-，始终垂直，P 又是两条直线的交点，PA PB ∴⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．设ABP θ∠=，则||PA θ=，||PB θ=， 由||0PA …且||0PB …，可得[0θ∈，]2π||||cos ))4PA PB πθθθ∴++=+，[0θ∈，]2π，[44ππθ∴+∈，3]4π，sin()4πθ∴+∈1]，)4πθ∴+∈，故选：B ．【点评】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题．2．（2018•北京理7）在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】点到直线的距离公式【分析】由题意s i n()2| d==，当s i n()θα+=-时，13maxd=+．由此能求出d的最大值．【解答】解：由题意d==1tanym xα==，∴当sin()1θα+=-时，13maxd=+．d∴的最大值为3．故选：C．【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．填空题1．（2014•四川理）设m R∈，过定点A的动直线0x my+=和过定点B的动直线30mx y m--+=交于点(,)P x y．则||||PA PB的最大值是5．【考点】点到直线的距离公式【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA PB⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB的最大值．【解答】解：由题意可知，动直线0x my+=经过定点(0,0)A，动直线30mx y m--+=即(1)30m x y--+=，经过点定点(1,3)B，注意到动直线0x my+=和动直线30mx y m--+=始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA PB⊥，222||||||10PA PB AB∴+==．故22||||||||52PA PBPA PB+=…（当且仅当||||PA PB===”)故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有22||||PA PB+是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．2．（2016•上海文理）设0a >，0b >，若关于x ，y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围为(2,)+∞ ．【考点】基本不等式及其应用；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a ，b 的方程关系，利用转化法，利用基本不等式的性质进行求解即可．【解答】解：关于x ，y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，∴直线1ax y +=与1x by +=平行，0a >，0b >，∴1111a b =≠， 即1a ≠，1b ≠，且1ab =，则1b a=， 由基本不等式有：12a b a a a a+=+=…，当且仅当1a =时取等，而a 的范围为0a >且1a ≠，不满足取等条件，2a b ∴+>，故答案为：(2,)+∞．【点评】本题主要考查直线平行的应用以基本不等式的应用，考查学生的计算能力．3．（2016•上海文理）已知平行直线1:210l x y +-=，2:210l x y ++=，则1l ，2l 的距离 ． 【考点】IU ：两条平行直线间的距离【专题】11：计算题；29：规律型；5B ：直线与圆 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：平行直线1:210l x y +-=，2:210l x y ++=，则1l ，2l =． 【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．（二）圆与圆1．（2014•湖南文）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则(m = )A ．21B ．19C ．9D ．11-【考点】圆的切线方程；圆与圆的位置关系及其判定【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m 值． 【解答】解：由221:1C x y +=，得圆心1(0,0)C ，半径为1， 由圆222:680C x y x y m +--+=，得22(3)(4)25x y m -+-=-，∴圆心2(3,4)C ．圆1C 与圆2C 外切，∴1=+，解得：9m =． 故选：C ．【点评】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题．2．（2015•新课标Ⅱ文）已知三点(1,0)A ，B ，C 则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为()A ．53B ．3C D ．43【考点】圆的标准方程【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论． 【解答】解：因为ABC ∆外接圆的圆心在直线BC 垂直平分线上，即直线1x =上， 可设圆心(1,)P p ，由PA PB =得||p =得p =圆心坐标为P ，所以圆心到原点的距离||OP == 故选：B ．【点评】本题主要考查圆性质及ABC ∆外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键． 3．（2015•新课标Ⅱ理）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||(MN = )A ．B ．8C ．D ．10【考点】圆的方程，两点间的距离公式【分析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入点的坐标，求出D ，E ，F ，令0x =，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则193016442014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩，2D ∴=-，4E =，20F =-，2224200x y x y ∴+-+-=， 令0x =，可得24200y y +-=，2y ∴=-±||MN ∴=故选：C ．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键． 4．（2015•北京文）圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( ) A ．22(1)(1)1x y -+-= B ．22(1)(1)1x y +++= C ．22(1)(1)2x y +++= D ．22(1)(1)2x y -+-=【考点】圆的标准方程【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程． 【解答】解：由题意知圆半径r =∴圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=．故选：D ．【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．填空题1．（2014•山东文）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x轴所得弦的长为，则圆C 的标准方程为 22(2)(1)4x y -+-= ． 【考点】圆的标准方程【分析】由圆心在直线20x y -=上，设出圆心坐标，再根据圆与y 轴相切，得到圆心到y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r ，由弦长的一半，圆的半径r 及表示出的d 利用勾股定理列出关于t 的方程，求出方程的解得到t 的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为(2,)t t ，半径为|2|r t =，圆C 截x 轴所得弦的长为 2234t t ∴+=， 1t ∴=±，圆C 与y 轴的正半轴相切， 1t ∴=-不符合题意，舍去，故1t =，22t =，22(2)(1)4x y ∴-+-=．故答案为：22(2)(1)4x y -+-=．【点评】此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．2．（2014•陕西理）若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y x =对称，则圆C 的标准方程为22(1)1x y +-= ． 【考点】圆的标准方程【分析】利用点(,)a b 关于直线y x k =±的对称点为(,)b a ，求出圆心，再根据半径求得圆的方程． 【解答】解：圆心与点(1,0)关于直线y x =对称，可得圆心为(0,1)，再根据半径等于1， 可得所求的圆的方程为22(1)1x y +-=， 故答案为：22(1)1x y +-=．【点评】本题主要考查求圆的标准方程，利用了点(,)a b 关于直线y x k =±的对称点为(,)b a ，属于基础题． 3．（2015•湖北文）如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，(B B 在A 的上方），且||2AB =．（1）圆C 的标准方程为 22(1)(2x y -+-= ． （2）圆C 在点B 处切线在x 轴上的截距为 ．【考点】圆的标准方程；圆的切线方程【分析】（1）确定圆心与半径，即可求出圆C 的标准方程；（2）求出圆C 在点B 处切线方程，令0y =可得圆C 在点B 处切线在x 轴上的截距．【解答】解：（1，∴圆C 的标准方程为22(1)(2x y -+=；（2）由（1）知，(0,1B ，∴圆C 在点B 处切线方程为(01)(1)(12x y --++=，令0y =可得1x =-故答案为：22(1)(2x y -+=；1-【点评】本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．4．（2015•湖北理）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，(B B 在A 的上方），且||2AB =．（1）圆C 的标准方程为 22(1)(2x y -+-= ；（2）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于M ，N 两点，下列三个结论：①||||||||NA MA NB MB =； ②||||2||||NB MA NA MB -=； ③||||||||NB MA NA MB += 其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）【考点】命题的真假判断与应用；圆与圆的位置关系及其判定【分析】（1）取AB 的中点E ，通过圆C 与x 轴相切于点T ，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；（2）设(cos ,sin )M αα，(cos ,sin )N ββ，计算出||||MA MB 、||||NA NB 、||||NB NA 的值即可． 【解答】解：（1）圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，∴圆心的横坐标1x =，取AB 的中点E ，||2AB =，||1BE ∴=，则||BC =||r BC ==∴圆心C ，则圆的标准方程为22(1)(2x y -+=，故答案为：22(1)(2x y -+=．（2）圆心C ，E ∴， 又||2AB =，且E 为AB 中点，1)A ∴，1)B ，M 、N 在圆22:1O x y +=上，∴可设(cos ,sin )M αα，(cos ,sin )N ββ，||NA ∴=||NB∴||1||NA NB =，同理可得||1||MA MB =， ∴||||||||NA MA NB MB =，①成立，||||1)2||||NB MA NA MB -==，②正确．||||1)||||NB MA NA MB +==③正确． 故答案为：①②③．【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．5．（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m R ---=∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 22(1)2x y -+= ． 【考点】圆的标准方程；圆的切线方程【分析】求出圆心到直线的距离d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程． 【解答】解：圆心到直线的距离d =1m ∴=，∴所求圆的标准方程为22(1)2x y -+=．故答案为：22(1)2x y -+=．【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础． 6．（2016•浙江文）已知a R ∈，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ．【考点】圆的一般方程【分析】由已知可得220a a =+≠，解得1a =-或2a =，把1a =-代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把2a =代入原方程，由2240D E F +-<说明方程不表示圆，则答案可求． 【解答】解：方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆， 220a a ∴=+≠，解得1a =-或2a =．当1a =-时，方程化为224850x y x y +++-=，配方得22(2)(4)25x y +++=，所得圆的圆心坐标为(2,4)--，半径为5； 当2a =时，方程化为225202x y x y ++++=， 此时2254144502D E F +-=+-⨯=-<，方程不表示圆， 故答案为：(2,4)--，5．【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．7．（2016•天津文）已知圆C 的圆心在x轴正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=的距，则圆C 的方程为 22(2)9x y -+= ． 【考点】圆的标准方程【分析】由题意设出圆的方程，把点M 的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解． 【解答】解：由题意设圆的方程为222()(0)x a y r a -+=>，由点M 在圆上，且圆心到直线20x y -=，得225a r ⎧+=⎪=2a =，3r =．∴圆C 的方程为：22(2)9x y -+=．故答案为：22(2)9x y -+=．【点评】本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．8．（2018•天津文12）在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为 ． 【考点】圆的一般方程【分析】【方法一】根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方程． 【方法二】设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程． 【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆， 其圆心为(1,0)，半径为1， 则该圆的方程为22(1)1x y -+=．【方法二】设该圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 则042020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩， 解得2D =-，0E F ==；∴所求圆的方程为2220x y x +-=．故答案为：22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-=．【点评】本题考查了圆的方程与应用问题，是基础题．（三）直线与圆选择题1．（2014•新课标Ⅱ文）设点0(M x ，1)，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是( ) A ．[1-，1]B ．1[2-，1]2C．[D．[【考点】直线和圆的方程的应用【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点0(M x ，1)，要使圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒， 则OMN ∠的最大值大于或等于45︒时一定存在点N ，使得45OMN ∠=︒， 而当MN 与圆相切时OMN ∠取得最大值， 此时1MN =，图中只有M '到M ''之间的区域满足1MN =， 0x ∴的取值范围是[1-，1]．故选：A ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一． 2．（2014•北京文）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(B m ，0)(0)m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为( ) A ．7B ．6C ．5D ．4【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据圆心C 到(0,0)O 的距离为5，可得圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6．再由90APB ∠=︒，可得12PO AB m ==，可得6m …，从而得到答案． 【解答】解：圆22:(3)(4)1C x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径为1， 圆心C 到(0,0)O 的距离为5，∴圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6．再由90APB ∠=︒可得，以AB 为直径的圆和圆C 有交点， 可得12PO AB m ==，故有6m …， 故选：B ．【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．3．（2014•安徽文）过点(P ，1)-的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是()A ．(0，]6πB ．(0，]3πC ．[0，]6πD ．[0，]3π【考点】直线与圆的位置关系【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得1，由此求得斜率k 的范围，可得倾斜角的范围．【解答】解：由题意可得点(P 1)-在圆221x y +=的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为1(y k x +=，即10kx y -+-=．1，即22311k k -++…，解得0k 剟，故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，]3π，故选：D ．【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．4．（2014•福建文）已知直线l 过圆22(3)4x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是()A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意可得所求直线l 经过点(0,3)，斜率为1，再利用点斜式求直线l 的方程． 【解答】解：由题意可得所求直线l 经过点(0,3)，斜率为1， 故l 的方程是30y x -=-，即30x y -+=， 故选：D ．【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．5．（2014•福建理）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于A ，B 两点，则“1k =”是“OAB ∆的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；直线与圆相交的性质【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 【解答】解：若直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于A ，B 两点，则圆心到直线距离d =，||AB ===，若1k =，则||AB ==d =OAB ∆的面积为1122=成立，即充分性成立．若OAB ∆的面积为12，则2211||||1222112k k S k k ==⨯⨯==++， 即212||k k +=，即22||10k k -+=， 则2(||1)0k -=， 即||1k =，解得1k =±，则1k =不成立，即必要性不成立． 故“1k =”是“OAB ∆的面积为12”的充分不必要条件． 故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．6．（2014•江西理）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π【考点】直线与圆的位置关系【分析】如图，设AB 的中点为C ，坐标原点为O ，圆半径为r ，由已知得||||OC CE r ==，过点O 作直线240x y +-=的垂直线段OF ，交AB 于D ，交直线240x y +-=于F ，则当D 恰为AB 中点时，圆C 的半径最小，即面积最小．【解答】解：如图，设AB 的中点为C ，坐标原点为O ，圆半径为r ， 由已知得||||OC CE r ==，过点O 作直线240x y +-=的垂直线段OF ， 交AB 于D ，交直线240x y +-=于F ，则当D 恰为OF 中点时，圆C 的半径最小，即面积最小 此时圆的直径为(0,0)O 到直线240x y +-=的距离为：d ==此时12r d ==∴圆C 的面积的最小值为：245min S ππ=⨯=． 故选：A ．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．7．（2014•浙江文）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是() A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【考点】直线与圆的位置关系【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a 的值． 【解答】解：圆22220x y x y a ++-+= 即22(1)(1)2x y a ++-=-，故弦心距d再由弦长公式可得224a -=+，4a ∴=-， 故选：B ．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题． 8．（2015•广东理）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是( )A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y ++或20x y +C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -+或20x y --=【考点】圆的切线方程【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为20x y b ++=，则，5b =±，所以所求直线方程为：250x y ++=或250x y +-= 故选：A ．【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．9．（2015•山东理）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-【考点】直线的斜率；圆的切线方程【分析】点(2,3)A --关于y 轴的对称点为(2,3)A '-，可设反射光线所在直线的方程为：3(2)y k x +=-，利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：点(2,3)A --关于y 轴的对称点为(2,3)A '-，故可设反射光线所在直线的方程为：3(2)y k x +=-，化为230kx y k ---=． 反射光线与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，∴圆心(3,2)-到直线的距离1d ==，化为22450240k k ++=， 43k ∴=-或34-．故选：D ．【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．10．（2015•重庆理）已知直线10x ay +-=是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||(AB = )A ．2B ．6C ．D ．【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线:10l x ay +-=经过圆C 的圆心(2,1)，求得a 的值，可得点A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得||AB 的值． 【解答】解：圆22:4210C x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=， 表示以(2,1)C 为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线:10l x ay +-=经过圆C 的圆心(2,1)， 故有210a +-=，1a ∴=-，点(4,1)A --．(AC ==，2CB R ==，∴切线的长||6AB ==．故选：B ．【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．11．（2015•安徽文）直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则(b = ) A ．2-或12 B ．2或12- C ．2-或12- D ．2或12【考点】圆的切线方程【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b 值．【解答】解：由圆222210x y x y +--+=，化为标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，∴圆心坐标为(1,1)，半径为1，直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，∴圆心(1,1)到直线340x y b +-=的距离等于圆的半径，|7|15b -==，解得：2b =或12b =． 故选：D ．【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．12．（2016•新课标Ⅱ文理）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则(a =)A ．43-B ．34-C D ．2【考点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系 【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【解答】解：圆2228130x y x y +--+=的圆心坐标为：(1,4)， 故圆心到直线10ax y +-=的距离1d ==，解得：43a =-，故选：A ．【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．13．（2016•山东文）已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是( ) A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【考点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可． 【解答】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>， 则圆心为(0,)a ，半径R a =， 圆心到直线0x y +=的距离d =圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是∴==24a =，2a =， 则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则MN =， 3R r +=，1R r -=， R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交． 故选：B ．【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．14．（2016•北京文）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为( )A ．1B ．2CD ．【考点】点到直线的距离公式；圆的标准方程【分析】先求出圆22(1)2x y ++=的圆心，再利用点到到直线3y x =+的距离公式求解． 【解答】解：圆22(1)2x y ++=的圆心为(1,0)-，∴圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为：d ==故选：C ．【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．15．（2018•新课标Ⅲ文理8）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[4，8]C ．D ．【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出(2,0)A -，(0,2)B -，||AB =，设(2P θ)θ，点P 到直线20x y ++=的距离：|2sin()4|d πθ++==，由此能求出ABP ∆面积的取值范围．【解答】解：直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴令0x =，得2y =-，令0y =，得2x =-，(2,0)A ∴-，(0,2)B -，||AB ==点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴设(2P θ)θ，∴点P 到直线20x y ++=的距离：|2sin()4|d πθ++==，sin()[14πθ+∈-，1]，|2sin()4|d πθ++∴=，ABP ∴∆面积的取值范围是：1[2⨯1[22⨯=，6]． 故选：A ．【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．填空题1．（2014•新课标Ⅱ理）设点0(M x ，1)，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是 [1-，1] ． 【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：由题意画出图形如图：点0(M x ，1)， 要使圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则OMN ∠的最大值大于或等于45︒时一定存在点N ，使得45OMN ∠=︒， 而当MN 与圆相切时OMN ∠取得最大值， 此时1MN =，图中只有M '到M ''之间的区域满足1MN …， 0x ∴的取值范围是[1-，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一． 2．（2014•大纲版文理）直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为(1,3)，则1l 与2l 的夹角的正切值等于43． 【考点】两直线的夹角与到角问题【分析】设1l 与2l 的夹角为2θ，由于1l 与2l 的交点(1,3)A 在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sin r OA θ=的值，可得cos θ、tan θ 的值，再根据22tan tan 21tan θθθ=-，计算求得结果． 【解答】解：设1l 与2l 的夹角为2θ，由于1l 与2l 的交点(1,3)A 在圆的外部， 且点A 与圆心O之间的距离为OA =圆的半径为r =sin r OA θ∴==，cos θ∴=，sin 1tan cos 2θθθ==， 22tan 14tan 211tan 314θθθ∴===--，故答案为：43． 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．3．（2014•上海文理）已知曲线:C x =:6l x =，若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 [2，3] ． 【考点】直线与圆的位置关系【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=，说明A 是PQ 的中点，结合x 的范围，求出m 的范围即可．【解答】解：曲线:C x =，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且[2P x ∈-，0]， 对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=， 说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标6x =， 6[22Px m +∴=∈，3]． 故答案为：[2，3]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．4．（2014•湖北文）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(B b ，0)(2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则： （Ⅰ）b = 12- ；（Ⅱ）λ= ． 【考点】三点共线【分析】（Ⅰ）利用||||MB MA λ=，可得222222()(2)x b y x y λλ-+=++，由题意，取(1,0)、(1,0)-分别代入，即可求得b ；（Ⅱ）取(1,0)、(1,0)-分别代入，即可求得λ．【解答】解：解法一：设点(cos ,sin )M θθ，则由||||MB MA λ=得22222(cos )sin [(cos 2)sin ]b θθλθθ-+=++，即2222cos 14cos 5b b θλθλ-++=+对任意θ都成立，所以2222415b b λλ⎧-=⎨+=⎩．又由||||MB MA λ=得0λ>，且2b ≠-，解得1212b λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 解法二：（Ⅰ）设(,)M x y ，则 ||||MB MA λ=，222222()(2)x b y x y λλ∴-+=++，由题意，取(1,0)、(1,0)-分别代入可得222(1)(12)b λ-=+，222(1)(12)b λ--=-+， 12b ∴=-，12λ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知12λ=． 故答案为：12-，12．【点评】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（2014•湖北理）直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += 2 ．【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意可得，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的14，|c o s 45==︒，由此求得22a b +的值．【解答】解：由题意可得，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的14，∴cos 45==︒=，222a b ∴+=， 故答案为：2．【点评】cos45==︒是解题的关键，属于基础题．6．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为． 【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出已知圆的圆心为(2,1)C -，半径2r =．利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l 的距离d ，由垂径定理加以计算，可得直线230x y +-=被圆截得的弦长． 【解答】解：圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径2r =， 点C 到直线直线230x y +-=的距离d ，∴根据垂径定理，得直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为==【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．7．（2014•重庆文）已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于A 、B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为 0或6 ．【考点】直线和圆的方程的应用【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论． 【解答】解：圆的标准方程为22(1)(2)9x y ++-=，圆心(1,2)C -，半径3r =， AC BC ⊥，∴圆心C 到直线AB 的距离3d即d ===， 即|3|3a -=， 解得0a =或6a =， 故答案为：0或6．【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．8．（2014•重庆理）已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22(1)()4x y a -+-=相交于A ，B 两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数a = 4± 【考点】直线和圆的方程的应用【分析】根据圆的标准方程，求出心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论． 【解答】解：圆心(1,)C a ，半径2r =， ABC ∆为等边三角形，圆∴圆心C 到直线AB 的距离d =即d ===，平方得2810a a -+=，解得4a =故答案为：4【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．9．（2015•湖南文）若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于A ，B 两点，且120AOB ∠=︒，(O 为坐标原点），则r = 2 ． 【考点】直线与圆相交的性质【分析】若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>交于A 、B 两点，120AOB ∠=︒，则AOB ∆为顶角为120︒的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3450x y -+=的距离12d r =，代入点到直线距离公式，可构造关于r 的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>交于A 、B 两点，O 为坐标原点， 且120AOB ∠=︒，则圆心(0,0)到直线3450x y -+=的距离1201cos 22d r r ︒==，12r =，解得2r =，故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心(0,0)到直线3450x y -+=的距离12d r =是解答的关键．10．（2015•山东文）过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA PB = 32． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算；直线与圆相交的性质【分析】根据直线与圆相切的性质可求PA PB =，及APB ∠，然后代入向量数量积的定义可求PA PB ． 【解答】解：连接OA ，OB ，PO则1OA OB ==，PO =，2，OA PA ⊥，OB PB ⊥，Rt PAO ∆中，1OA =，2PO =，PA = 30OPA ∴∠=︒，260BPA OPA ∠=∠=︒∴13||||cos6022PA PB PA PB =︒== 故答案为：32【点评】本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用，属于基础试题． 11．（2015•重庆文）若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为250x y +-= ．【考点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点P 处的切线的方程．。
高考数学专题08直线与圆-高考数学试题分项版解析(解析版)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作专 题8 直线与圆1. 【2014高考安徽卷文第6题】过点(3,1)P -的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π，2. 【2014高考北京卷文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >， 若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.3. 【2014高考大纲卷文第16题】直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值等于 .4.【2014高考福建卷文第6题】已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=5. 【2014高考湖北卷文第17题】 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则（1）=b ；（2）=λ .【答案】（1）21-；（2）21 【解析】试题分析：设),(y x M ，因为||||MA MB λ=，所以])2[()(22222y x y b x ++=+-λ，6.【2014高考湖南卷文第6题】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .8. 【2014高考全国2卷文第12题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （D ）22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.【2014高考四川卷文第9题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）学科网A 、[5,25]B 、[10,25]C 、[10,45]D 、[25,45]11.【2014高考浙江卷文第5题】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-【答案】B12.【2014高考重庆卷文第14题】已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.【答案】0或6【解析】试题分析：圆C 的标准方程为：()()22129x y ++-=,所以圆C 的圆心在()-12，，半径3r =又直线0x y a -+=与圆C 交于,A B 两点，且AC BC ⊥,所以圆心C 到直线0x y a -+=的距离322d =.所以，()221232211a --+=+-，整理得：33a -=解得：0a =或6a =. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.13. 【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=. （1）求新桥BC的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？yx14.【2014高考全国1文第20题】已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积。
2014届高三数学最后一课试题拆解：直线和圆
直线和圆1. “1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若直线0x y k -+=与圆221x y +=相交,则有圆心(0,0)到直线0x y k -+=的距1<,解得k <<,故选A.2.由直线2+=x y 上的点向圆()()22421x y -++= 引切线，则切线长的最小值为( )A ．30B ．31C ．24D ．33【解析】（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b +=直线30x ky +-=所经过的定点是（3，0），即点F （3，0） ∵椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8 ∴38a += 5a = ∴22216b a c =-=∴椭圆C 的方程为2212516x y +=（2）∵点(,)P m n 在椭圆C 上∴2212516m n +=，22161625m n =-[ ∴原点到直线:1l mx ny +=的距离1d ==∴直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=恒相交222214()4(1)91625L r d m =-=-+∵05m ≤≤L ≤≤4.由直线2+=x y 上的点向圆()()22421x y -++= 引切线，则切线长的最小值为( )A ．30B ．31C ．24D ．33证法1：过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ．若A = 0，则直线l 的方程为C y B =-，此时点P 到直线l 的距离为0||C y B +00||||||By C C y B B +==+，可知结论是成立的． ————5分证法2：若B = 0，则直线l 的方程为Cx A =-，此时点P 到直线l 的距离为0||Cd x A =--==证法３：过点P作直线l的垂线，垂足为H．则直线PH的一个方向向量对应于直线l 的一个法向量，而直线l的一个法向量为(,)A B，又线段PH的长为d，所以,)||PHPH d A BPH→→→==或,)PH A B→=||||PQ vdv→→→∙===因为0000()()()x x A y y B Ax By Ax By-+-=+-+，而点(,)x y满足0Ax By C++=，所以0000()()Ax By Ax By Ax By C+-+=-++．因此||d=．6．已知圆C1的方程为22(2)1x y+-=，定直线l的方程为1y=-．动圆C与圆C1外切，且与直线l相切．（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程；（II ）斜率为k 的直线l 与轨迹M 相切于第一象限的点P ，过点P 作直线l 的垂线恰好经过点A （0，6），并交轨迹M 于异于点P 的点Q ，记S 为∆POQ （O 为坐标原点）的面积，求S 的值． 解（Ⅰ）设动圆圆心C 的坐标为(,)x y ，动圆半径为R ，则1||1CC R ==+，且|1|y R += ————2分 可得|1|1y =++．由于圆C 1在直线l 的上方，所以动圆C 的圆心C 应该在直线l 的上方，所以有10y +>，2y =+，整理得28x y =，即为动圆圆心C 的轨迹M 的方程． ————5分（II ）如图示，设点P 的坐标为200(,)8x x ，则切线的斜率为04x ，可得直线PQ 的斜率为04x -，所以直线PQ 的方程为20004()8x y x x x -=--．由于该直线经过点A（0,6），所以有20648x -=，得2016x =．因为点P 在第一象限，所以04x =，点P 坐标为（4,2），直线PQ 的方程为60x y +-=． —————9分由条件得1112y yx x-+?-，------------------------------------------2’即() 2210 2xy x+=动点P 的轨迹C 的方程为22121222422,1212k k x x x x k k -∴+=-=++-----------------------------12’21．已知圆C 的圆心为(,0)(3)C m m <,半径为5,圆C 与椭圆E :)0(12222>>=+b a b y a x 有一个公共点(3,1)A ,21F F 、分别是椭圆的左、右焦点.(Ⅰ)求圆C 的标准方程;(Ⅱ)若点P 的坐标为(4,4),试探究斜率为k 的直线1PF 与圆C 能否相切,若能,求出椭圆E 和直线1PF 的方程,若不能,请说明理由.∴0112442=+-k k ,解得21211==k k ，或。
【高考复习】高考数学(理数)2014-2018年5年真题分类 第09章 直线和圆(含答案解析)
第九章 直线和圆 考点1 直线与方程1．（2018北京，7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．41.CP 为单位圆上一点，而直线过点A （2，0），所以d 的最大值为OA+1=2+1=3,选C.2.(2014·四川，14)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________.2.5 [易求定点A (0，0)，B (1，3).当P 与A 和B 均不重合时，不难验证P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|P A |·|PB |＝0，故|P A |·|PB |的最大值是5.]3.(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________.3.－3 [由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2 (1).又y ′＝2ax －bx 2，所以在点P处的切线斜率4a －b 4＝－72 (2).由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.]考点2 圆的方程及直线与圆的位置关系1．（2018全国Ⅲ，6）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( ) A ． B ． C ．D ．1.A直线分别与轴，轴交于，两点，,则，点P 在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线距离.故点P 到直线的距离的范围为.则,故选A.2．（2018江苏，12）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．2.3 设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以3.(2016·全国Ⅱ,4)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1,则a ＝( )A.－43B.－34C.3D.23.A [由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2＝1,解之得a ＝－43.]4.(2015·广东,5)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝04.D [设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0,依题有|0＋0＋c |22＋12＝5,解得c ＝±5,所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0,故选D.]5.(2015·新课标全国Ⅱ,7)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M 、N 两点,则|MN |＝( ) A.2 6 B.8 C.4 6 D.105.C [由已知,得AB →＝(3,-1),BC →＝(-3,-9),则AB →·BC →＝3×(-3)＋(-1)×(-9)＝0,所以AB →⊥BC →,即AB ⊥BC ,故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径,得其方程为(x -1)2＋(y +2)2＝25,令x ＝0得(y ＋2)2＝24,解得y 1＝－2－26,y 2＝－2＋26,所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46,选C.]6.(2015·重庆,8)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴,过点A (－4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB |＝( ) A.2 B.4 2 C.6 D.2106.C [圆C 的标准方程为(x -2)2＋(y -1)2＝4,圆心为C (2,1),半径为r ＝2,因此2＋a ×1-1＝0,a ＝-1,即A (-4,-1),|AB |＝|AC |2－r 2＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6,选C.]7.(2015·山东,9)一条光线从点(－2,－3)射出,经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－347.D [圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(-3,2),半径r ＝1.(-2,-3)关于y 轴的对称点为(2,-3).如图所示,反射光线一定过点(2,-3)且斜率k 存在,∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x -2),即kx -y -2k －3＝0.∵反射光线与已知圆相切,∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1,整理得12k 2＋25k ＋12＝0,解得k ＝－34或k ＝－43.]8.(2014·江西,9)在平面直角坐标系中,A ,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切,则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C.(6－25)π D.54π 8.A [由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ,要使圆C 的面积最小,只需圆C 的半径或直径最小.又圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切,所以由平面几何知识,知圆的直径的最小值为点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离,此时2r ＝45,得r ＝25,圆C 的面积的最小值为S ＝πr 2＝45π.]9.（2017•江苏,13）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若 ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________． 9. [-5，1] 根据题意，设P （x 0 ， y 0），则有x 02+y 02=50，=（﹣12﹣x 0 ，﹣y 0）•（﹣x 0 ， 6﹣y 0）=（12+x 0）x 0﹣y 0（6﹣y 0）=12x 0+6y+x 02+y 02≤20，化为：12x 0+6y 0+30≤0，即2x 0+y 0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x 0=﹣5或x 0=1，结合图形分析可得：点P 的横坐标x 0的取值范围是[﹣5 ，1]，故答案为：[﹣5，1]．10.(2016·全国Ⅲ,16)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ,B 两点,过A ,B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点,若|AB |＝23,则|CD |＝________.10.4 [设AB 的中点为M ,由题意知,圆的半径R ＝23,AB ＝23,所以OM ＝3,解得m ＝－33,由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3,3),B (0,23),则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3),BD 的直线方程为y －23＝－3x ,令y ＝0,解得C (－2,0),D (2,0),所以|CD |＝4.]11.(2015·新课标全国Ⅰ,14)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.11.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,－2)三点,(4,0),(0,－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2),令y ＝0,解得x ＝32,圆心为⎝⎛⎭⎫32，0,半径为52.故圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254.]12.(2015·江苏,10)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.12.(x －1)2＋y 2＝2 [直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2,－1),由题意,得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]13.(2014·陕西,12)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称,则圆C 的标准方程为____________.13.x 2＋(y －1)2＝1 [因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称点的坐标为(0,1),即圆心C 为(0,1),又半径为1,∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.]14.(2014·湖北,12)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧,则a 2＋b 2＝____________.14.2 [由题意得,直线l 1截圆所得的劣弧长为π2,则圆心到直线l 1的距离为22,即|a |2＝22⇒a 2＝1,同理可得b 2＝1,则a 2＋b 2＝2.]15.(2014·重庆,13)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a ＝________.15.4±15 [依题意,圆C 的半径是2,圆心C (1,a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于32×2＝3,于是有|1·a ＋a －2|a 2＋1＝3,即a 2－8a ＋1＝0,解得a ＝4±15.]16.(2014·江苏,9)在平面直角坐标系xOy 中,直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________.16.2555 [因为圆心(2,－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35,所以直线x ＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555.]17.(2014·新课标全国Ⅱ,16)设点M (x 0,1),若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ,使得∠OMN ＝45°,则x 0的取值范围是________.17.[－1,1] [由题意可知M 在直线y ＝1上运动,设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1).当x 0＝0即点M 与点P 重合时,显然圆上存在点N (±1,0)符合要求；当x 0≠0时,过M 作圆的切线,切点之一为点P ,此时对于圆上任意一点N ,都有∠OMN ≤∠OMP ,故要存在∠OMN ＝45°,只需∠OMP ≥45°.特别地,当∠OMP ＝45°时,有x 0＝±1.结合图形可知,符合条件的x 0的取值范围为[－1,1].]18．（2018全国Ⅱ，19）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．18.（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或．19.（2017•新课标Ⅲ,20）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．19.方法一：证明：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），则=（2，2），=（2，﹣2），则•=0，∴⊥，则坐标原点O在圆M上；当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），设A（x1， y1），B（x2， y2），，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0，则y1y2=﹣4，由•=x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，综上可知：坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x=my+2，，整理得：y2﹣2my﹣4=0，设A（x1， y1），B（x2， y2），则y1y2=﹣4，则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则•=x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，∴坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4，圆M过点P（4，﹣2），则=（4﹣x1，﹣2﹣y1），=（4﹣x2，﹣2﹣y2），由•=0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4，则x1+x2= ，y1+y2=﹣1，则M（，﹣），半径为r=丨MP丨= = ，∴圆M 的方程（x ﹣ ）2+（y+ ）2=．当直线斜率k=1时，直线l 的方程为y=x ﹣2， 同理求得M （3，1），则半径为r=丨MP 丨= ，∴圆M 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=10，综上可知：直线l 的方程为y=﹣2x+4，圆M 的方程（x ﹣ ）2+（y+ ）2=或直线l 的方程为y=x ﹣2，圆M 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=10．20.(2016·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x ＝6上,求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点,且BC ＝OA ,求直线l 的方程； (3)设点T (t ,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得TA →＋TP →＝TQ →,求实数t 的取值范围. 20.解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25,圆心M (6,7),半径r ＝5, 由题意,设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0).且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5. 解得b ＝1,∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)∵k OA ＝2,∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m ,即2x －y ＋m ＝0. 又BC ＝OA ＝22＋42＝2 5.由题意,圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝⎛⎭⎫BC 22＝25－5＝2 5.即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25,解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15. (3)由TA →＋TP →＝TQ →,则四边形AQPT 为平行四边形,又∵P 、Q 为圆M 上的两点,∴|PQ |≤2r ＝10.∴|TA |＝|PQ |≤10,即（t －2）2＋42≤10, 解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的范围为[2－221,2＋221].21.(2015·广东,20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ,B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ,使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在,求出k 的取值范围；若不存在,说明理由.21.解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.∴圆C 1的圆心坐标为(3,0).(2)设动直线l 的方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋y 2＝4，y ＝kx ⇒(k 2＋1)x 2－6x ＋5＝0,则Δ＝36－4(k 2＋1)×5>0⇒k 2<45.设A ,B 两点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝6k 2＋1.⇒AB 中点M 的轨迹C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 2＋1，y ＝3k k 2＋1，⎝⎛⎭⎫－255<k <255，即轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94,53<x ≤3. (3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋y 2＝0，y ＝k （x －4）⇒(1＋k 2)x 2－(3＋8k )x ＋16k 2＝0.令Δ＝(3＋8k )2－4(1＋k 2)16k 2＝0⇒k ＝±34.又∵轨迹C (即圆弧)的端点⎝⎛⎭⎫53，±253与点(4,0)决定的直线斜率为±257.∴当直线y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点时, k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34.。
高考 专题十三 直线与圆的方程 含答案
1．(2015·广东，5，易)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0【答案】 A 由题意，可设切线方程为2x ＋y ＋b ＝0，则|b |5＝5，解得b ＝±5，故选A.2．(2015·山东，9，中)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23 C ．－54或－45 D ．－43或－34【答案】 D 由题知，反射线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在的直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径为1，且反射光线与该圆相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.1．(2012·浙江，3，易)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A 由l 1∥l 2，得－a 2＝－1a ＋1，解得a ＝1或a ＝－2，代入检验符合，即“a ＝1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件，故选A.2．(2013·课标Ⅱ，12，难)已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1－22，12C.⎝⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12【答案】 B ①当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时(如图1)，由⎩⎨⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1得y E ＝a ＋b a ＋1.又易知x D ＝－b a ，∴|BD |＝1＋b a ，由S △DBE ＝12×a ＋b a ×a ＋b a ＋1＝12得b ＝11＋1a ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.图1②当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时(如图2)，由S △FCG ＝12(x G －x F )·|CM |＝12得b ＝1－221－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1(0＜a ＜1)．图2∵对于任意的a ＞0恒成立， ∴b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∩⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，即b ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－22，12，故选B.方法点拨：本题考查直角坐标系下直线方程的应用，利用数形结合，函数与不等式，分类讨论思想求解，注意考虑问题角度的全面性．3．(2014·四川，14，中)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．【解析】 易得A (0，0)，B (1，3)．设P (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋my ＝0，mx －y －m ＋3＝0，消去m ，得x 2＋y 2－x －3y ＝0，所以点P 在以AB 为直径的圆上，P A ⊥PB ，|P A |·|PB |≤|AB |22＝5.【答案】 54．(2011·安徽，15，难)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．【解析】若x，y为整数，则x＋y也为整数，故直线x＋y＝2既不平行于坐标轴，也不经过任何整点，即①正确．直线y＝2x－2过整点(1，0)，故②错误．若直线l经过无穷多个整点，则一定过两个不同的整点．反之，若直线l经过两个不同的整点M(m1，n1)，N(m2，n2)，其中m1，m2，n1，n2均为整数．当m1＝m2或n1＝n2时，直线l的方程为x ＝m1或y＝n1，显然过无穷多个整点．当m1≠m2且n1≠n2时，直线l的方程为y－n1＝n1－n2m1－m2(x－m1)，则直线l过点((k＋1)m1－km2，(k＋1)n1－kn2)，其中k∈Z.这些点均为整点且有无穷多个，即直线l总过无穷多个整点，故③正确．当x，y为整数时，y－x还是整数，故直线y＝x＋12不经过任何整点，即当k，b为有理数时，并不能保证直线l：y＝kx＋b过无穷多个整点，故④错误．直线y＝3x－3恰经过一个整点(1，0)，故⑤正确．【答案】①③⑤考向1直线及其方程1．表示直线方向的两个量(1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时(取x轴作为基准)，x 轴正方向与直线l向上方向之间所成的角．②范围：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°，故直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(2)直线的斜率①定义：当α≠90°时，tan α表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tan α；当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．每条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率；倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度．②计算公式：给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.2．直线方程的形式及适用条件名称几何条件方程局限性点斜式过点(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式斜率为k，纵截距为b y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含垂直于坐标轴的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线均适用(1)(2015·河南开封调研，6)设A(－1，2)，B(3，1)，若直线y＝kx与线段AB没有公共点，则k的取值范围是()A．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，13D.⎝⎛⎭⎪⎫13，2(2)(2015·江西南昌质检，18，12分)若点P是函数f(x)＝e x－e－x－3x图象上任意一点．①设在点P 处切线的倾斜角为α，求α的取值范围； ②求在点P (ln 2，f (ln 2))处的切线方程．【解析】 (1)如图所示，直线y ＝kx 过定点O (0，0)，k OA ＝－2，k OB ＝13.若直线y ＝kx 与线段AB 没有公共点，则直线OA 逆时针旋转(斜率增大)到OB 都是满足条件的直线．数形结合得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13.故选C. (2)①由导数的几何意义可知，函数y ＝f (x )＝e x －e －x －3x 图象上任意一点P 处切线的斜率等于该点的导函数值，而y ′＝e x ＋e －x －3≥2－3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立， 即tan α≥－1.因为α∈[0，π)，所以倾斜角α的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.②由①知y ′＝e x ＋e －x －3，所以在点P (ln 2，f (ln 2))处的切线斜率为 k ＝eln 2＋e－ln 2－3＝－12.又f (ln 2)＝e ln 2－e －ln 2－3ln 2 ＝32－3ln 2＝32(1－2ln 2)， 由点斜式得在点P 处的切线方程为 y －32(1－2ln 2)＝－12(x －ln 2)， 即x ＋2y －3＋5ln 2＝0.【点拨】 题(1)为斜率范围的求解，求边界的斜率是关键，注意倾斜角为90°时，直线无斜率；题(2)求直线倾斜角的取值范围时，一定要注意正切函数y ＝tan x 在x ∈[0，π)上的图象，借助正切函数的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的；在求直线方程时，应根据条件选择适当的直线方程形式，并注意各种形式的适用条件．1.求倾斜角α的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tan α的取值范围；(2)利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求斜率的常用方法(1)已知直线上两点时，由斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)来求斜率．(2)已知倾斜角α或α的三角函数值时，由k＝tan α(α≠90°)来求斜率．(3)方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)的直线的斜率为k＝－A B.3．求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，具体步骤为：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程．在设直线的斜率为k时，就是默认了直线的斜率存在．注意检验当斜率不存在时是否符合题意．(1)(2014·江苏苏州调研，6)经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.(2)(2014·河北沧州期末，18，12分)根据所给条件求直线的方程：①直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为10 10；②直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；③直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.(1)【解析】如图所示，为使l与线段AB总有公共点，则k P A≤k≤k PB，而k PB>0，k P A<0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．又k P A ＝－2－（－1）1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，故k ∈[－1，1]．又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π. 故倾斜角α的取值范围为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π(2)解：①由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)． 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. ②由题设知截距不为0，设直线方程为xa ＋y12－a＝1， 又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.③当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，符合题意； 当斜率存在时，设斜率为k ， 则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.易错点拨：题(1)在已知斜率的取值范围，求倾斜角的范围时，误认为tan α在[0，π)上为增函数，而得到α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4的错误结果．考向2两直线的位置关系1．两条直线的位置关系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0 相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0平行k1＝k2且b1≠b2⎩⎨⎧A1B2－A2B1＝0，B1C2－B2C1≠0或⎩⎨⎧A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0两条不重合直线平行时，不要忘记两直线的斜率都不存在的情况；判定两条直线垂直时，不要忘记一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零的情况．2．距离距离类型公式点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式；使用两平行线间的距离公式前一定要把两直线中x，y的系数化成分别相等的．(1)(2015·山东菏泽期末，12)已知两直线l 1：x＋y sin α－1＝0和l2：2x sin α＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则α＝________；若l1∥l2，则α＝________.(2)(2015·广东中山检测，20，14分)已知点A(2，－1)，①求过点A且与原点距离为2的直线l的方程；②求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，并求最大距离；③是否存在过点A且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【解析】(1)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z.故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.因为A1B2－A2B1＝0是l1∥l2的充要条件，所以2sin2α－1＝0，所以sin α＝±22.又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1.所以α＝kπ±π4，k∈Z.故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.(2)①过点A的直线l与原点距离为2，而点A的坐标为(2，－1)，当斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时，原点到直线l的距离为2，符合题意；当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得|－2k－1|k2＋1＝2，解得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y－10＝0.综上可知，直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.②过点A且与原点O距离最大的直线是过点A与OA垂直的直线，由l⊥OA，得k l k OA＝－1，所以k l＝－1k OA＝2，由直线的点斜式方程得y＋1＝2(x－2)，|OA|＝（2－0）2＋（－1－0）2＝ 5.即2x－y－5＝0，即直线2x－y－5＝0是过点A且与原点距离最大的直线l 的方程，且最大距离为 5.③不存在，由②可知，过点A不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过点A且与原点距离为6的直线．【点拨】解题(1)的关键是根据两直线的位置关系构建三角方程求解，但应注意角α的不唯一性及k∈Z；题(2)①的易错点在于忽略斜率不存在的情况．两直线的位置关系问题的解题策略(1)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等且纵截距不相等”、“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式判断．(2)符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系有：①与Ax＋By＋C＝0平行的直线系：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；②与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系：Bx－Ay＋m＝0；③过A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)或A2x＋B2y＋C2＝0.(2014·山西太原检测，17，12分)解答下列问题：(1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是3105的直线方程．解：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，则d＝|－2－c|32＋42＝1，∴c＝3或c＝－7.即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.(2)设所求直线方程为3x－y＋c＝0，则|3×（－1）＋c|32＋（－1）2＝3105，∴c＝－3或c＝9.即所求直线方程为：3x－y－3＝0或3x－y＋9＝0.1．(2015·河北石家庄调研，3)已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0【答案】 A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－1k PQ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.2．(2014·山东济南三模，6)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A 由l 1⊥l 2得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件． 3．(2015·湖北武汉一模，5)已知M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a 等于( )A ．－6或－2B ．－6C ．2或－6D ．－2【答案】 A 集合M 表示去掉一点A (2，3)的直线3x －y －3＝0，集合N 表示恒过定点B (－1，0)的直线ax ＋2y ＋a ＝0.因为M ∩N ＝∅，所以两直线平行，或直线ax ＋2y ＋a ＝0过点A (2，3)，因此－a2＝3或2a ＋6＋a ＝0，即a ＝－6或a ＝－2.思路点拨：解答本题的关键是将M ∩N ＝∅转化为两直线的位置关系，进而构建方程求解，注意考虑要全面．4．(2015·安徽合肥期末，8)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A.24，14B.2，22C.2，12D.22，12【答案】 D 由题意，a ＋b ＝－1，ab ＝c ，两条直线之间的距离为d ＝|a －b |2＝（a ＋b ）2－4ab 2＝1－4c 2，又0≤c ≤18，故12≤d ≤22.5．(2014·福建泉州一模，5)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3【答案】 C 方法一：∵点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，∴4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求（m －0）2＋（n －0）2的最小值，而（m －0）2＋（n －0）2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离的最小值为2.∴m 2＋n 2的最小值为4.方法二：由题意知点(m ，n )为直线上到原点最近的点， 直线与两坐标轴交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103，直角三角形OAB 中，OA ＝52，OB ＝103，斜边AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1032＝256，斜边上的高h 即为所求m 2＋n 2的算术平方根． ∵S △OAB ＝12OA ·OB ＝12AB ·h ，∴h ＝OA ·OB AB ＝52×103256＝2，∴m 2＋n 2的最小值为h 2＝4.6．(2015·福建厦门一模，12)已知a ＞0，b ＞0，若直线l 1：x ＋a 2y ＋2＝0与直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0互相垂直，则ab 的最小值是________．【解析】 依题意可得，1×(a 2＋1)＋a 2·(－b )＝0，a 2－a 2b ＋1＝0，∴b ＝a 2＋1a 2，∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a ≥2.当且仅当a ＝1a ，即a ＝1，b ＝2时，ab 取到最小值2. 【答案】 27．(2014·河北秦皇岛检测，14)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．【解析】 由⎩⎨⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)，∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1，2)，由题设知点(1，2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)， ∴直线l 2的方程为x －2y ＝0. 【答案】 x －2y ＝08．(2015·北京东城期末，13)如图所示，已知A (－2，0)，B (2，0)，C (0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围是________．【解析】如图所示，从特殊位置考虑．∵点A(－2，0)关于直线BC：x＋y ＝2的对称点为A1(2，4)，∴直线A1F的斜率kA1F＝4.∵点E(－1，0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2，1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1，4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kA1F＜k FD，即k FD∈(4，＋∞)．【答案】(4，＋∞)方法点拨：解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．1．(2015·课标Ⅱ，7，中)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．2 6 B．8 C．4 6 D．10【答案】 C ∵k AB ＝3－21－4＝－13，k BC ＝2－（－7）4－1＝3，∴k AB ·k BC ＝－1. ∴AB ⊥BC .∴△ABC 为直角三角形且AC 为圆的直径， ∴圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝5，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0， ∴y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20， ∴|MN |＝|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝（－4）2＋80＝4 6.2．(2015·湖南，8，中)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB→＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】 B 由题意AB ⊥BC ，则AC 为圆直径， 则P A →＋PC →＝2PO →(O 为圆心)，∴|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|， 显然当P ，O ，B 共线时模最大， ∴|P A →＋PB →＋PC →|max＝7，故选B. 3．(2015·课标Ⅰ，14，易)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．【解析】 如图所示，设圆心M (a ，0)(a ＞0)， 则|MB 2|＝|A 1M |＝4－a . 在Rt △MOB 2中， |OB 2|2＋|OM |2＝|MB 2|2， 即4＋a 2＝(4－a )2， 解得a ＝32，4－a ＝52. 故所求圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2544．(2015·江苏，10，中)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．【解析】 设圆的半径为r ，根据圆与直线相切的关系得， r ＝|m ＋1|1＋m 2＝m 2＋2m ＋1m 2＋1＝1＋2mm 2＋1， 当m <0时，1＋2m m 2＋1无最大值，且1＋2mm 2＋1<1；当m ＝0时，r ＝1； 当m >0时，m 2＋1≥2m (当且仅当m ＝1时取“＝”)，所以r ≤1＋1＝ 2. 所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 【答案】 (x －1)2＋y 2＝21．(2012·陕西，4，易)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3，0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能【答案】 A 圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然点P (3，0)在圆内，故直线l 与圆C 相交．2．(2012·天津，8，中)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)【答案】 D ∵直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，∴圆心(1，1)到直线的距离为 d ＝|（m ＋1）＋（n ＋1）－2|（m ＋1）2＋（n ＋1）2＝1，∴mn ＝m ＋n ＋1≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22. 设t ＝m ＋n ，则14t 2≥t ＋1，解得t ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)．3．(2013·山东，9，中)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0 【答案】 A 方法一：如图， 圆心坐标为C (1，0)，易知A (1，1)． 又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2.故直线AB 的方程y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，故选A.方法二：直线AB 是以PC 为直径的圆(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54与圆(x －1)2＋y 2＝1的公共弦所在直线，∴直线AB 的方程为2x ＋y －3＝0. 方法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线P A 的方程为(x 1－1)(x －1)＋y 1·y ＝1， 直线PB 的方程为(x 2－1)(x －1)＋y 2y ＝1. 又P A ，PB 都经过P (3，1)， ∴(x 1－1)(3－1)＋y 1×1＝1， ① (x 2－1)(3－1)＋y 2×1＝1， ②由①，②知(x －1)(3－1)＋y ×1＝1经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，而过两点的直线唯一，∴直线AB 的方程为2x ＋y －3＝0.4．(2014·江西，9，中)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34π C ．(6－25)π D.54π【答案】 A 由题意易知∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45， ∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.5．(2014·江苏，9，易)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．【解析】 圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×（－1）－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫3552＝2555.【答案】2555方法点拨：利用圆心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形求解． 6．(2014·湖北，12，易)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝______.【解析】 如图，由题设条件知，∠AOB ＝∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝90˚，∴a ＝1，b ＝－1，a 2＋b 2＝2.【答案】 27．(2014·课标Ⅱ，16，中)设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．【解析】 由已知圆心(0，0)，半径r ＝1，M 位于直线y ＝1上，过M 作圆的切线，切点为C ，D (如图)．则∠OMN ≤12∠CMD ， ∴∠CMD ≥90°.当∠CMD ＝90°时，则△OCM 为等腰直角三角形，故OC ＝CM ＝1. ∴所求x 0的取值范围是－1≤x 0≤1. 【答案】 [－1，1]8．(2014·北京，19，14分，中)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1. 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2， 故直线AB 的方程为x ＝±2. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝2， 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切． 当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t(x －t )， 即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离 d ＝|2x 0－ty 0|（y 0－2）2＋（x 0－t ）2.又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．考向1 圆的方程的确定与应用1．圆的方程(1)圆的标准方程与一般方程 名称 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0) 圆心(a ，b )⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2半径 r12D 2＋E 2－4F (2)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以AB 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.圆的标准方程展开整理即可得到圆的一般方程，而圆的一般方程通过配方亦可转化为圆的标准方程，二者只是形式的不同，没有本质区别．2．点与圆的位置关系圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)． (1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点M 在圆上； (2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔点M 在圆外； (3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔点M 在圆内．(1)(2014·陕西，12)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．(2)(2015·山西长治调研，13)经过点A (5，2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．(3)(2015·江苏盐城检测，17，14分)已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上． ①求x ＋y 的最大值和最小值； ②求yx 的最大值和最小值．【解析】 (1)两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，半径相等． 圆C 的圆心为(0，1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)方法一：由题知k AB ＝2，A ，B 的中点为(4，0)，设圆心为C (a ，b )． ∵圆过A (5，2)，B (3，－2)两点，∴圆心C 一定在线段AB 的垂直平分线上． 则⎩⎪⎨⎪⎧ba －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴C (2，1)．r ＝|CA |＝（5－2）2＋（2－1）2＝10. ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.方法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则⎩⎨⎧2a －b －3＝0，（5－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，r ＝10， 故圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 方法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0.(3)①设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 的纵截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋（－3）－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1.②y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，yx 的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233. ∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.【点拨】 本题(2)中方法一，借助圆的几何性质，求出圆心及半径，直接代入标准方程；方法二、三利用待定系数法求解，设出圆的标准方程，列出方程组求解；(3)中涉及与圆上点有关的最值问题，求解关键是充分利用圆的几何性质，根据所求代数式的几何意义，数形结合求解．1.用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程；(2)根据所给条件，列出关于D ，E ，F 或a ，b ，r 的方程组；(3)解方程组，求出D ，E ，F 或a ，b ，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 3．与圆上点(x ，y )有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如t ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．(1)(2014·湖南衡阳名校联考，13)圆心在直线y ＝－4x 上且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的方程为________．(2)若典型例题1(3)题干不变，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． (1)【解析】 设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2， 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，（3－x 0）2＋（－2－y 0）2＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 【答案】 (x －1)2＋(y ＋4)2＝8 (2)解：x 2＋y 2＋2x －4y ＋5 ＝（x ＋1）2＋（y －2）2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1，2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.考向2 直线与圆、圆与圆的位置关系的确定与应用1．直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.2．圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R >r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：代数特征 无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数4 321在利用判别式Δ判断两圆的位置关系时，Δ＞0是两圆相交的充要条件，而Δ＝0是两圆外切(内切)的必要不充分条件，Δ＜0是两圆外离(内含)的必要不充分条件．(1)(2015·福建泉州四校联考，6)已知m ＝(2cos α，2sin α)，n ＝(3cos β，3sin β)，若m 与n 的夹角为60°，则直线x cos α－y sin α＋12＝0与圆(x－cos β)2＋(y ＋sin β)2＝12的位置关系是( )A ．相交B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离(2)(2014·大纲全国，15)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．(3)(2014·重庆，13)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.【解析】 (1)由向量的夹角公式得cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝12，圆心(cos β，－sin β)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos βcos α＋sin βsin α＋12cos 2α＋sin 2α＝1＞22，∴直线与圆相离． (2)如图所示，|OA |＝12＋32＝10.∵半径为2，∴|AB |＝|OA |2－|OB |2＝10－2＝22，∴tan ∠OAB ＝|OB ||AB |＝2 22＝12，∴所求夹角的正切值为tan∠CAB＝2tan∠OAB1－tan2∠OAB＝2×121－14＝43.(3)圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为|a＋a－2|a2＋1.∵△ABC为等边三角形，∴|AB|＝|BC|＝2，∴⎝⎛⎭⎪⎫|a＋a－2|a2＋12＋12＝22，解得a＝4±15.【答案】(1)D(2)43(3)4±15【点拨】解答本题(1)的关键是利用几何法找到圆心到直线的距离与半径的大小关系；题(2)利用两点间距离公式及相切求△AOB各边，进而利用二倍角公式求夹角的正切值；题(3)关键是根据“半径、弦长AB的一半、圆心距”满足勾股定理，构建关于a的方程．1.有关弦长问题的两种方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长l2，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝⎝⎛⎭⎪⎫l22＋d2；(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.两圆公共弦长要利用某圆心到直线的距离、半径和弦长的一半构成的直角三角形计算，其中公共弦所在直线方程由两圆方程相减得到，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.2．过一点求圆的切线的方法(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．涉及到切线长的计算时，一般放在由切线长、半径及该点与圆心的连线构成的直角三角形中求解．(1)(2012·山东，9)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)(2015·河南洛阳三校联考，5)已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是( )A ．y ＝x ＋2－ 2B ．y ＝x ＋1－12C ．y ＝x －2＋ 2D ．y ＝x ＋1－ 2(3)(2015·河南洛阳模拟，8)已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点．若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．3 B.212 C ．2 2 D ．2(1)【答案】 B 两圆心之间的距离为d ＝（－2－2）2＋（0－1）2＝17，两圆的半径分别为r 1＝2，r 2＝3.则r 2－r 1＝1＜d ＜r 1＋r 2＝5，故两圆相交．(2)【答案】 A 由已知得A (－1，0)，B (0，1)，则易得k AB ＝－1，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1，－22＋1，所以切线斜率为1，故切线方程为y ＋22－1＝x －22＋1，即y ＝x ＋2－ 2.(3)【答案】 D 如图所示，由题意可得圆C 的圆心坐标为(0，1)，半径为1，则由四边形P ACB 的最小面积为2得2×12·|P A |·1＝2，所以|P A |＝2.又P A 是圆C 的切线，由勾股定理得|PC |＝|P A |2＋12＝5，再由点到直线的距离公式得|0·k＋1＋4|k2＋12＝5(k＞0)，解得k＝2.考向3直线与圆的综合问题(2013·江苏，17，14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【思路导引】(1)设出切线方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径求出k；(2)设出点M的坐标，利用两点间距离公式确定M的轨迹为圆，由两圆的位置关系列关于a的不等式求解．【解析】(1)由题意知，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意得，|3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝0或－34，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0. (2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤CD ≤2＋1， 即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R . 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑．(2013·课标Ⅱ，20，12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. 从而y 2＋2＝x 2＋3.故圆心P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)，由已知得 |x 0－y 0|2＝22.。
2014年高考数学真题汇编(含答案)直线与圆
2014年全国高考理科数学试题分类汇编 （纯word 解析版）十二、直线与圆（逐题详解）第i 部分112014年安徽卷（理10）】在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量a,b,|a | | b | 1 ,ab 0 ,｛P|0 r PQ R, r R ｝，若C为两段分离的曲线，则【答案】A【解析】向量a , b 是一组标准正交基，可坐标化向量 OP 所以曲线C 是一个单位圆。
同理区域 是以QC 2, . 2）为圆心、半径范围为［r,R ］的圆环。
因为C为两段分离的曲线，由图易得1 r R 32.【2014年福建卷（理06）】直线I : y=kx+1与圆O x 2+y 2=1相交于A, B 两点，则“ k=1 ” 是“△ OAB 的面积为丄”的（充分而不必要条件充分必要条件【答案】A【解析】若直线I : y=kx+1与圆点Q 满足OQ 2(a b ), 曲线 C {P |OP a cosb sin , 02 ｝，区域(A ) 1 r R 3(B ) 1 r3 R (C) r 1 R 3 (D ) 1 r 3 R必要而不充分条件 既不充分又不必要条件2 2x +y =1相交于A, B 两点,则圆心到直线距离 d=- -~~ , |AB|=2 '厂11+k若 k=1，则 |AB|= ：、 ［:, d=立，即充分性成立.1 V2，则△ OAB 的面积为1 + k 2-成解得k= ± 1,则k=1不成立，即必要性不成立.故“ k =1 ”是“△ OAB 勺面积为二”的充分不必要条件.故选:=1 X 2 x k 2 k 2I2 Vl+k 23 1+k 2 2 Hk 21+k 2工 2 OA B 的面积为=则S3.【2014年天津卷（理06）】如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E ,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：① BD平分CBF :②FB2FD FA :③AE CE BE DE ； @AF BD AB BF .则所有正确结论的序号是A.①②B. ③④C. ①②③D. ①②④【答案】D【解析】如图所示，•••/1 = Z 3,Z 2=Z 4,且/ 1 = Z 2,A Z 4=Z 3,「. BD平分/ CBF•••△ ABF BDF •/AD= BF，••• AB- BF= AF- BD •/囂=4.【2014年江西卷（理09）】在平面直角坐标系中，A, B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x y 4 0相切，则圆C面积的最小值为4 A.—3B.C. (6 2.5)D.5544【答案】A【解析】原点0到直线2x y 4 0的距离为d,则d4■- 5'点C到直线2x y 4的距离是圆的半径r，由题意知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过三个顶点，则在直••• BF= AF- DF故①②④正确.角AOB 中三角形中，圆 C 过原点O,即|0C| r ，圆C 的轨迹为抛物线，O 为焦点, l 为准线，所以r min 2 -75，S min4-，所以选A 。
高三数学 名校试题分省分项汇编专题08 直线与圆(含解
（新课标I 版02期） 2014届高三数学 名校试题分省分项汇编专题08 直线与圆（含解析）理一．基础题组1. 【康杰中学2013—2014学年度第一学期期中考试】圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别是（ ） A ．（0，2）2B ．（2，0）4C ．（－2，0）2D ．（2，0）22. 【康杰中学2013—2014学年度第一学期期中考试】已知两直线0x ky k --=与(1)y k x =-平行，则k 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ．23. 【山西太原五中2013—2014学年度第一学期高二10月月考】已知a,b 满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点( )A. (- 16 , 12 )B. (12 , 16 )C. ( 12 , - 16 )D. (16 , - 12 )【答案】C 【解析】试题分析：由12=+b a 得b a 21-=，代入直线方程得y x b x 3)12(+=-对任意b 恒成立，故有⎩⎨⎧=+=-03012y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==6121y x ，即直线必过定点)61,21(-. 考点：直线方程4. 【山西太原五中2013—2014学年度第一学期高二10月月考】设∆ABC 的一个顶点是A(3,-1), ∠B, ∠C 的平分线所在直线方程分别为x=0,y=x , 则直线BC 的方程为( ) A. y=2x+5 B. y=2x+2 C. y=3x+5 D. y = - 12 x + 525. 【河北衡水中学2014届高三上学期期中考试】过点(1,1)-的直线与圆2224110x y x y +---=截得的弦长为43，则该直线的方程为 .此时，31(1)4y x -=-+，即3410x y +-=， 综上所述，直线l 为1x =-或3410x y +-=. 考点：1.分类讨论思想；2.半弦长2+弦心距2=半径2.6. 【康杰中学2013—2014学年度第一学期期中考试】圆22(4)(1)5x y -+-=内一点P （3，0），则过点P 的最短弦所在直线方程为________.7. 【康杰中学2013—2014学年度第一学期期中考试】以点A （1，4），B （3，－2）为直径的两个端点的圆的方程为___________.8. 【山西太原五中2013—2014学年度第一学期高二10月月考】（10分）解答下列问题： （1）求平行于直线3x+4y-2=0,且与它的距离是1的直线方程； （2）求垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是3105的直线方程.试题解析：解：（1）设所求直线上任意一点P （x ，y ），由题意可得点P 到直线的距离等于9. 【康杰中学2013—2014学年度第一学期期中考试】已知圆222212:420,:240C x y x y C x y y +-+=+--=交于A B 、两点.（1）求过A 、B 两点的直线方程;（2）求过A B 、两点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.10x y --=∴过A 、B 两点的直线方程为10x y --=………………………5分二．能力题组1. 【康杰中学2013—2014学年度第一学期期中考试】与圆222212:26260,:4240C x y x y C x y x y ++--=+-++=都相切的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2. 【康杰中学2013—2014学年度第一学期期中考试】若直线:l x y m +=与曲线2:1c y x =-m 的取值范围是（ ）A ．(2,2)B ．[2,2]C ．2)D ．2]【答案】C 【解析】试题分析：在同一直角坐标系内画出直线:l x y m +=与曲线2:1c y x =-的图象3. 【河北衡水中学2014届高三上学期期中考试】已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py（p＞0）上，该圆经过点A（0，p），且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为．4. 【康杰中学2013—2014学年度第一学期期中考试】已知圆O ：224x y +=，直线l ：x y m +=，若圆O 上恰有3个点到l 的距离为1，则实数m= ____________.5. 【山西太原五中2013—2014学年度第一学期高二10月月考】若直线L 1:y=kx - 3 与L 2:2x+3y-6=0的交点M 在第一象限,则L 1的倾斜角α的取值范围是 .6. 【康杰中学2013—2014学年度第一学期期中考试】已知点(,)P x y 是圆222x y x +=上的点（1）求2x y +的取值范围;（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1) [25,25]-+；（2）[12-+∞，）三、拔高题组1. 【康杰中学2013—2014学年度第一学期期中考试】过点（3， 1）作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为（ ） A ．230x y +-= B ．230x y --= C ．430x y --=D ．430x y +-=2. 【河北衡水中学2014届高三上学期期中考试】如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x mm m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围__________.3. 【山西太原五中2013—2014学年度第一学期高二10月月考】直线L 过点(1,0)且被两条平行直线L 1: 3x+y-6=0和L 2: 3x+y+3=0所截得线段长为91010 ,则直线L 的方程为（写成直线的一般式） 【答案】013=--y x 【解析】4. 【康杰中学2013—2014学年度第一学期期中考试】已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴正半轴上，直线3440x y -+=与圆C 相切 （1）求圆C 的方程;（2）过点(0,3)Q -的直线l 与圆C 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 且为12123x x y y +=时 求：AOB ∆的面积.试题解析：（I ）设圆心为(,0),(0)C a a >，则圆C 的方程为22()4x a y -+=因为圆C 与3440x y -+=相切 22234=+ 解得：1423a a ==-或（舍） 所以圆C 的方程为：22(2)4x y -+=…………………………4分考点：1、直线和圆的位置关系；2、圆的方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式和韦达定理.5. 【康杰中学2013—2014学年度第一学期期中考试】已知ABC ∆的顶点A （0，1），AB 边上的中线CD 所在直线方程为2210x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为0y =.（1）求ABC ∆的项点B 、C 的坐标;（2）若圆M 经过不同的三点A 、B 、P （m 、0），且斜率为1的直线与圆M 相切于点P求：圆M 的方程.考点：1、直线的方程；2、圆的方程；3、两条直线的位置关系.。
备战(浙江版)高考数学分项汇编 专题8 直线与圆(含解析
第八章 直线与圆一．基础题组1. 【2014年.浙江卷.文5】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-【答案】B2. 【2013年.浙江卷.文13】直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于__________． 【答案】：45【解析】：3. 【2012年.浙江卷.文4】设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A4. 【2011年.浙江卷.文12】若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______【答案】1【解析】：121212,,12k k k k m ==-∴⋅=-Q 直线互相垂直,，即12()1,12m m⋅-=-∴= 5. 【2005年.浙江卷.文3】点()1,1-到直线10x y -+=的距离是( )(A)12 (B)32(C)22 (D)322 【答案】D二．能力题组1. 【2012年.浙江卷.文17】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a ＝__________．【答案】9 42. 【2009年.浙江卷.文9】已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C3. 【2007年.浙江卷.文4】直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(A)x＋2y－1＝0 (B)2 x＋y－1＝0（C）2 x＋y－3＝0 (D) x＋2y－3＝04. 【2007年.浙江卷.文5】要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3【答案】CABCD。
高考真题分类汇编——直线与圆 (2)
高考真题分类汇编——直线与圆直线的倾斜角与斜率、直线的方程1.[2014·湖北卷] 设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )，例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b 2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；(2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2ab a ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案：(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数)圆的方程2.[2014·福建卷] 设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2答案：D直线与圆、圆与圆的位置关系3.[2014·安徽卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0＜r ≤|PQ |≤R ，r ＜R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ．1＜r ＜R ＜3B ．1＜r ＜3≤RC ．r ≤1＜R ＜3D ．1＜r ＜3＜R答案：A4.[2014·福建卷] 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A5.[2014·湖北卷] 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.答案：26.[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．答案：437.[2014·陕西卷] 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．答案：x 2＋(y －1)2＝18.[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．答案：59.2014·重庆卷] 已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．答案：4±1510．[2014·江西卷] 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34π C ．(6－25)π D.54π 答案：A .。
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2014年高考数学分类汇编 直线方程与圆的方程一、选择题错误！未指定书签。
．（2013年高考（陕西理））已知圆22:40C xy x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则（ ）A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能错误！未指定书签。
．（2013年高考（天津理））设m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,则+m n 的取值范围是 （ ）A ．[1B ．(,1)-∞∞C ．[2-D ．(,2)-∞-∞错误！未指定书签。
．（2013年高考（重庆文））设A,B 为直线y x =与圆221xy += 的两个交点,则||AB = （ ）A ．1B C D ．2错误！未指定书签。
．（2013年高考（陕西文））已知圆22:40C xy x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则（ ）A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能错误！未指定书签。
．（2013年高考（山东文））圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 （ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离错误！未指定书签。
．（2013年高考（辽宁文））将圆x 2+y 2-2x-4y+1=0平分的直线是（ ） A ．x+y-1=0 B ．x+y+3=0 C ．x-y+1=0 D ．x-y+3=0错误！未指定书签。
．（2013年高考（湖北文））过点(1,1)P 的直线,将圆形区域{}22(,)|4x y xy +≤分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（ ）A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=错误！未指定书签。
．（2013年高考（广东文））(解析几何)在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于（ ）A ．B ．C D ．1错误！未指定书签。
．（2013年高考（福建文））直线20x -=与圆224x y +=相交于,A B两点,则弦AB 的长度等于 （ ）A．B．CD ．1错误！未指定书签。
．（2013年高考（大纲文））正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,13AB BF ==动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 （ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．3错误！未指定书签。
．（2013年高考（安徽文））若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点,则实数a 取值范围是 （ ）A ．[3,1]--B ．[1,3]-C ．[3,1]-D ．(,3][1,)-∞-+∞错误！未指定书签。
．（2013年高考（重庆理））对任意的实数k,直线y=kx+1与圆222=+y x的位置关系一定是 （ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心二、填空题错误！未指定书签。
．（2013年高考（浙江文））定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离,已知曲线C 1:y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2:x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距离,则实数a=_______.错误！未指定书签。
．（2013年高考（天津文））设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于B ,且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2,O 为坐标原点,则AOB ∆面积的最小值为_________.错误！未指定书签。
．（2013年高考（上海文））若)1,2(=是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为__________(结果用反三角函数值表示). 错误！未指定书签。
．（2013年高考（山东文））如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为____.错误！未指定书签。
．（2013年高考（江西文））过直线0x y +-=上点P 作圆221x y +=的两条切线，若两条切线的夹角是60︒,则点P 的坐标是__________。
错误！未指定书签。
．（2013年高考（北京文））直线y x =被圆22(2)4xy +-=截得的弦长为_____________错误！未指定书签。
．（2013年高考（天津理））如图,已知AB 和AC是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ,与AB 相交于点F ,=3AF ,=1FB ,3=2EF ,则线段CD 的长为______________. 错误！未指定书签。
．（2013年高考（浙江理））定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线C 1:y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于C 2:x 2+(y+4) 2=2到直线l:y=x 的距离,则实数a=______________.错误！未指定书签。
．（2013年高考（江苏））在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是____.考答案一、选择题错误！未找到引用源。
解析: 22304330+-⨯=-<,所以点(3,0)P 在圆C 内部,故选A. 错误！未找到引用源。
【答案】D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,重要不等式,一元二次不等式的解法,并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,∴圆心(1,1)到直线的距离为d ,所以21()2m n mn m n +=++≤,设=t m n +,则21+14t t ≥,解得(,2)t ∈-∞-∞ . 错误！未找到引用源。
【答案】:D【解析】:直线y x =过圆221x y +=的圆心(0,0)C 则||AB =2 【考点定位】本题考查圆的性质,属于基础题.错误！未找到引用源。
解析: 22304330+-⨯=-<,所以点(3,0)P 在圆C 内部,故选A. 错误！未找到引用源。
解析:两圆心之间的距离为()17)10(2222=-+--=d,两圆的半径分别为3,221==r r ,则d r r <=-112521=+<r r ,故两圆相交. 答案应选B.错误！未找到引用源。
【答案】C【解析】圆心坐标为(1,2),将圆平分的直线必经过圆心,故选C【点评】本题主要考查直线和圆的方程,难度适中.错误！未找到引用源。
A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点P 的圆的弦长达到最小,所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点(1,1)P ,则1OP k =,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点(1,1)P ,故由点斜式得,所求直线的方程为()11y x -=--,即20+-=x y .故选A.【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用,数形结合思想.本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时,所求直线应与直线OP 垂直,利用这一条件求出斜率,进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.错误！未找到引用源。
解析:B.圆心到直线的距离为1d ==,所以弦AB 的长等于=错误！未找到引用源。
【答案】B【解析】圆心(0,0),半径2r =,弦长||AB ==【考点定位】该题主要考查直线和圆的位置关系,考查计算求解能力. 错误！未找到引用源。
答案B【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用.通过相似三角形,来确定反射后的点的落的位置,结合图像分析反射的次数即可. 【解析】解:结合已知中的点E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到EA 点时,需要碰撞8次即可.错误！未找到引用源。
【解析】选C 圆22()2x a y -+=的圆心(,0)C a 到直线10x y -+=的距离为d则1231d r a a ≤=⇔≤⇔+≤⇔-≤≤错误！未找到引用源。
【答案】C【解析】圆心(0,0)C 到直线10kx y -+=的距离为11d r =<<=,且圆心(0,0)C 不在该直线上.法二:直线10kx y -+=恒过定点(0,1),而该点在圆C 内,且圆心不在该直线上,故选C. 【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与圆的位置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用d 与r 的大小为判断.当0d r ≤<时,直线与圆相交,当d r =时,直线与圆相切,当d r >时,直线与圆相离.二、填空题错误！未找到引用源。
【答案】74【命题意图】本题主要考查了曲线到直线的距离问题,利用单数综合解决曲线到直线的距离转为点到直线的距离.【解析】C 2:x 2+(y+4) 2=2,圆心(0,—4),圆心到直线l:y=x 的距离为:d ==故曲线C 2到直线l:y=x的距离为d d r d '=-=另一方面:曲线C 1:y=x 2+a,令20y x '==,得:12x =,曲线C 1:y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离的点为(12,14a +),74d a '==⇒=. 错误！未找到引用源。
【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为)0,1(),1,0(mB n A ,直线与圆相交所得的弦长为2,圆心到直线的距离d 满足3141222=-=-=r d ,所以3=d ,即圆心到直线的距离3122=+-=n m d ,所以3122=+n m .三角形的面积为mnn m S 211121=⋅=,又312122=+≥=n m mn S ,当且仅当61==n m 时取等号,所以最小值为3.错误！未找到引用源。
[解析] 1=lk ,所以l 的倾斜角的大小为1arctan . 错误！未找到引用源。
答案:(2sin 2,1cos2)-- 解析:根据题意可知圆滚动了2单位个弧长,点P 旋转了2弧度,此时点P 的坐标为)2cos 1,2sin 2(,2cos 1)22sin(1,2sin 2)22cos(2--=-=-+=-=--=y x P P ππ.另解:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ,且223,2-==∠πθPCD , 则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ,即)2cos 1,2sin 2(--=.错误！未找到引用源。