高中数学 第五节余弦函数教案 北师大版必修4
余弦函数教案北师大版
4.鼓励学生参与数学社团或数学竞赛，与其他学生交流和学习余弦函数的知识。通过与其他学生的交流和竞争，学生可以更好地巩固和提高自己的数学能力。
2.通过生动有趣的实例和实际问题，激发学生的学习兴趣，提高他们对三角函数的认知。
3.注重培养学生的逻辑推理、数学建模、数学抽象和直观想象等核心素养，提高他们的数学能力。
4.针对学生的行为习惯，教师应加强课堂管理，提高学生的注意力；同时，鼓励学生课后的自主学习和团队合作，提高学习效果。
教学资源准备
1.教材：确保每位学生都有北师大版高中数学必修五第二章“三角函数”中的第一节“余弦函数”的教材或学习资料，以便于学生跟随教学进度进行学习和复习。
（2）学生在课后的复习和练习方面存在差距，部分学生可能缺乏自律，导致知识掌握不牢固。
（3）学生在团队合作和交流方面表现不一，部分学生可能过于内向，不愿意与他人讨论和分享。
针对以上学情分析，本节课的教学设计应注重以下几点：
1.结合学生的知识基础，从简单的初中阶段函数知识入手，逐步引导他们过渡到高中阶段的三角函数学习。
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的正弦函数内容，帮助学生建立知识之间的联系。
提出问题，检查学生对正弦函数的掌握情况，为余弦函数新课学习打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解余弦函数知识点，结合实例帮助学生理解。
突出余弦函数重点，强调余弦函数难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。
重点题型整理
1.题型一：余弦函数的定义与表示
正弦、余弦函数的图像教案
4.五点法作正弦函数图像
5.变换法作 的图像
6.五点法作余弦函数图像
7.例1
例2
演练反馈
总结提炼
作业
优化设计1.4.1
课后反思
在教学中注重了学生的作图，让学生进行了讨论和思考。还要适当加强练习。
简洁写出作法
用类比的方法引出余弦函数的图象的做法，再用诱导公式及平移得到图象
教学重点
教师归纳
改用另一种方法作图，提高学生的发散思维能力
一、情景设置
为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象.问题：怎样作出正弦函数的图象？
（1）让学生展开讨论，如何使 “竖”在 处？
（2）经过讨论，师生总结，边示范边完成图像
本节重点是正弦函数、余弦函数的图像与性质（定义域、值域、周期性、单调性及奇偶性）；数形结合的思想方法贯穿始终。
本节的难点是正弦函数与余弦函数之间的关系。关键是让学生熟练把握三角函数图像的形状特征，并能在图像的直观性下研究函数的性质。
教学过程
目标达成
教师活动
学生活动
开门见山引入
教学难点
讲清作法，边讲边示范
正弦曲线向左平移 个单位得到，即：
3．五点法作图 ， ；
自变量
函数值
y
0
1
0
-1
0
五点法作图 ，
三．数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ应用
例1.用五点法画出下列函数在 的图像
⑴ ；⑵
四．练习
1、作出下列函数在 的图像
⑴ ；⑵
2、说出 的单调区间
3、说出 的奇偶性
五．作业
1、用五点法作函数 的简图
2、观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的 的区间.
余弦函数的性质 教案 高中数学必修四北师大版
余弦函数的性质学习目的：1、要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；2、掌握余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出余弦函数的单调区间。
学习重点：余弦函数的奇、偶性和单调性；学习难点：余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用授课类型：新授课学习模式：启发、诱导发现学习．教 具：多媒体、实物投影仪学习过程：一、讲解新课：1．奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。
例如： f(-3π)=21,f(3π)=21 ,即f(-3π)=f(3π)；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x)．以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。
定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
例如：函数f(x)=x 2+1, f(x)=x 4-2等都是偶函数。
余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2kπ］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1．3．有关对称轴观察余弦函数的图形，可知y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z（1）写出函数x y 2sin 3=的对称轴；（2）)4sin(π+=x y 的一条对称轴是（ C ） (A) x 轴， (B) y 轴， (C) 直线4π=x ， (D) 直线4π-=x4．例题讲解例1 判断下列函数的奇偶性(1)1sin cos ();1sin cos x x f x x x +-=++ (2) f(x)=sin 4x-cos 4x+cos2x;(3)()lg(sin f x x =（4）2|2|)1lg()(2---=x x x f （5）⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+=)0()0( )(22x x x x x x x f ； 例2 (1)函数f (x )＝sin x 图象的对称轴是 ；对称中心是 ．(2)函数()cos f x x x +图象的对称轴是 ；对称中心是 ．例3 已知f(x)=ax+bsin 3x+1(a 、b 为常数)，且f(5)=7,求f(-5)． 例4 已知121sin ()log .1sin x f x x -=+已知 (1) 求f(x)的定义域和值域；(2) 判断它的奇偶性、周期性；(3) 判断f(x)的单调性．三、小结：本节课学习了以下内容：1．余弦函数的周期性2．余弦函数的奇偶性。
高中数学 1.4正弦函数、余弦函数教学案 北师大版必修4
7.求下列各角的正弦、余弦和
（1）0；（2）π；（3） ；（4） .
四课后反思
五课后巩固练习
1.已知角α的终边经过 （ ），求 的值
2.已知角α的终边已知 是第三象限角，试判断 的符号。
年级高一
学科数学
课题
任意角的正弦、余弦函数
授课时间
撰写人
时间
学习重点
任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
学习难点
任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
学习目标
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；
2.理解任意角的三角函数不同的定义方法；
3.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.
教学过程
一自主学习
问题1：将点取在使线段 的长 的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为：
；
；
如图，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 ，那么：
（1）叫做 的正弦(sine)，记做 ；
（2）叫做 的余弦(cossine)，记做 ；
（3） 叫做 的正切(tangent)，记做 .
即： ， ，
试试：角 与单位圆的交点坐标为，则 ， ，
反思：
①当 时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标 都等于，
所以无意义.
②如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点 （除了原点）的坐标为 ，它与原点的距离为 ，则：
数学必修四北师大版1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计
1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》一、教学目标1．知识与技能目标（1）了解任意角的正弦函数、余弦函数定义产生的背景和应用；（2）掌握任意角的正弦函数与余弦函数的定义，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，并能应用．2.过程与方法目标（1）通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合理猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想．（2）培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力．3．情感、态度、价值观目标在学习中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性．感悟数学的本质，培养追求真理的精神．通过本节的学习，使同学们对正弦函数与余弦函数有了一个全新的认识，通过对定义的应用，提高学生分析、解决问题的能力．二、教学重难点教学重点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义（包括定义域和函数值在各象限的符号）及其应用.难点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义及其构建过程的理解.三、教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法结合多媒体课件四、教学过程（一）问题引入【投影展示】问题１：初中我们学过锐角 的正弦函数与余弦函数，同学们还记得它是怎样表示的吗？借助右图直角三角形，复习回顾. sin s rαα==的对边斜边，cos h rα=＝α的邻边斜边．问题２：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，那么该比值会随着三角形的大小而改变吗？为什么？（根据相似三角形的知识可知该比值不会发生改变）（二）新知探究我们所学角的范围已经扩充到任意角，如果角α为任意角，显然初中正弦函数与余弦函数的定义已经不能满足我们的需求，我们必须重新定义正弦函数、余弦函数．今天，我们将在直角坐标系中，对此作深入探讨．【投影展示】问题3：如图,在直角坐标系中，我们作出一个以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，该圆称为单位圆．设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边与单位圆交于点(,)P u v ，你能求出sin α与cos α的值吗？该值与点P 的坐标有什么关系呢？由学生自己探究，得出结论，sin v v rα==，cos uu rα==． 归纳总结：一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点(,)P u v ，那么点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数，记作sin v α=；点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数，记作cos u α=．通常，我们用x 表示自变量，即x 表示角的大小，用y 表示函数值，则得到任意角的正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =．【投影展示】问题4：在上述定义中，正、余弦函数的定义域与值域分别是什么？说明：x 表示角的大小，故可为全体实数，而在单位圆中显然[1,1]y ∈-，故值域为[1,1]-．【投影展示】问题5 如果知道角终边上一点P ,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?（由学生探讨）说明：三角函数的值与点(,)P x y 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.根据三角形相似对应边成比例可知，我们只需计算点(,)P x y到原点的距离r =,那么sin y rα==cos x rα=＝．因此任意角的正弦函数与余弦函数是以角度为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故它们也可以看成以实数为自变量的函数.【投影展示】问题6 当角α分别在第一、第二、第三、第四象限时，你能确定角α的正弦函数值、余弦函数值的正负吗？完成课本P14页表格．三角函数说明：正弦函数符号与所在象限记忆法则，从函数出发来记，“正弦上为正，余弦右为正，正切一、三正”；也可以从象限出发来记忆，即“一全为正，二正弦正，三正切正，四余弦正”．（三）新知应用【投影展示】例1在直角坐标系的单位圆中，4πα=-，（1）画出角α；（2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标；（3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值．（课本P14页例1）分析：只需求出交点坐标，套用定义即可求解． 变式训练1判断65sinπ与65cos π的符号，并通过计算进行验证． 【投影展示】例2已知角α终边上一点(3,2)P -，求角α的正弦函数值、余弦函数值．分析：该点并不是角的终边与单位圆的交点，所以应先计算||r OP =，再利用sin y r α=，cos xrα=求解．解：r ==所以siny r α===，cos x r α=== 【投影展示】变式训练2已知角α终边上一点(2,3)(0)P a a a -≠，求角α的正弦函数值、余弦函数值．【投影展示】变式训练3已知角α终边与直线1(0)3y x x =≤重合，求角α的正弦函数值、余弦函数值．若去掉“0x ≤”这个条件呢？说明：变式2中由于未注明a 的正、负，故需分情况讨论，旨在让同学们学会分类讨论思想，而变式3中并没有给出终边上一点的坐标，需要自己任意选取一特殊点的坐标求解，也可以作出单位圆与该射线或直线的交点，借助方程组的思想求出交点坐标，套用定义求解．（四）反思升华由学生自己从以下三方面进行反思小结，教师从知识层面和思想方法层面帮助学生整理本节课的小节：①本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同？ ②你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? ③正弦函数与余弦函数的定义在应用时应注意什么呢？ （五）作业布置【投影展示】课本P16页练习3，4，5填书上，P20页A 组1，3，做作业本上．补充作业：已知角α终边与直线2y x =重合，求sin cos αα+的值． （六）板书设计五、教学反思本节课整体效果是不错的，从熟知的初中的锐角三角函数到高中的任意三角函数，从旧知识到新知的扩展，对学生来讲较容易接受．课堂中的变式训练也使新知识能够以充分的应用，锻炼了学生的思维能力、考虑问题周密性，整节课学生始终处于探索与应用中．。
高中数学必修四正弦、余弦函数的图象教案北师大版Word版
正弦、余弦函数的图象1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象.(重点)3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质.(重点、难点)[基础·初探]教材整理 正弦曲线、余弦曲线阅读教材P 26～P 28图1-3-3以上的部分，完成下列问题． 1．正弦曲线、余弦曲线正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线．图1-3-32．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)． 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．3．正弦、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦曲线的图象向左右无限延展．( )(2)y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同．( ) (3)余弦曲线向右平移π2个单位得到正弦曲线．( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√[小组合作型](1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]． (2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]． (3)y ＝－1－cos x ，x ∈[0,2π]．【精彩点拨】 先分别取出相应函数在[0,2π]上的五个关键点，再描点连线． 【自主解答】 (1)列表如下：图(1)(2)列表如下：图(2)(3)列表：图(3)1．“五点法”中的五点即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节．[再练一题]1.用“五点法”作出函数y＝3＋2cos x在一个周期内的图象.【解】按五个关键点列表；描点并将它们用光滑的曲线连接起来．【精彩点拨】 作出正弦函数y ＝sin x 在一个周期内的图象，然后借助图象求解．【自主解答】 首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知，在[0,2π]上，当π6＜x ≤π3，或2π3≤x ＜5π6时，不等式12＜sin x ≤32成立，所以12＜sin x ≤32的解集为利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤为：(1)画出正弦函数y ＝sin x 或余弦函数y ＝cos x 在[0，2π]上的图象； (2)写出适合不等式的在区间[0，2π]上的解集； (3)把此解集推广到整个定义域上去.[再练一题] 2．求函数y ＝log 21sin x －1的定义域．【解】 为使函数有意义，需满足正弦函数图象如图所示，∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤2k π＋π6，k ∈Z∪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z. [探究共研型]【提示】 先画出y ＝sin x 的图象，然后将其x 轴下方的对称到x 轴的上方(x 轴上方的保持不变)即可得到y ＝|sin x |的图象，如图．探究2 方程|sin x |＝a ，a ∈R 在[0,2π]上有几解？【提示】 当a ＜0时，方程|sin x |＝a 无解； 当a ＝0时，方程|sin x |有三解； 当0＜a ＜1时，方程|sin x |＝a 有四解； 当a ＝1时，方程|sin x |＝a 有两解； 当a ＞1时，方程|sin x |＝a 无解．在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数．【精彩点拨】 作图―→看图―→交点个数―→sin x ＝lg x 解的个数 【自主解答】 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连结得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求参数的范围问题.[再练一题]3．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．【解】 f (x )＝{ 3sin x ，0≤x ≤π， －sin x ，π＜x ≤2π的图象如图所示，故由图象知1＜k ＜3.。
《余弦函数的图象》教案 高中数学必修四北师大版
余弦函数的图象学习目的：（1）作出R x x y ∈=,cos 的图象；（2）用“五点法”作出余弦函数的简图，利用图象解决一些有关问题； 学习重点：作余弦函数的图象； 学习难点：作余弦函数的图象，周期性； 1、复习（1） 关于作函数[]0,2x π∈的图象，你学过哪几种方法？（2） 观察我们上一节课用几何法作出的函数[]sin ,0,2y x x π=∈的图象，你发现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用？为什么？ （用几何画板显示通过平移正弦线作正弦函数图像的过程）2、“五点（画图）法”试用“五点（画图）法”作函数[]cos ,0,2y x x π=∈的图象。
解：按五个关键点列表：描点、连线，画出简图。
1.510.5-0.5-1123456Oπ2π32π2πf x () = cos x ()例1：画出下列函数的简图： （1） y ＝－cosx ，[]0,2x π∈(2)按五个关键点列表：描点、连线，画出简图。
●探究2如何利用y=cos x ，[]0,2x π∈的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 y ＝-cosx ，[]0,2x π∈的图象？ 小结：这两个图像关于x 轴对称。
●探究3如何利用y=cos x ，[]0,2x π∈的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 y ＝2-cosx ，[]0,2x π∈的图象？小结：先作 y=cos x 图象关于x 轴对称的图形，得到 y ＝-cosx 的图象， 再将y ＝-cosx 的图象向上平移2个单位，得到 y ＝2-cosx 的图象。
●探究4不用作图，你能判断函数y=sin( 32x π-)和y=cosx 的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。
小结：sin(32x π-)= sin[(32x π-) +2π] =sin(x+2π)=cosx 这两个函数相等，图象重合。
归纳小结1、五点（画图）法（1）作法 先作出五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。
数学必修四北师大版1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计
数学必修四北师大版1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》一、教学目标1．知识与技能目标（1）了解任意角的正弦函数、余弦函数定义产生的背景和应用；（2）掌握任意角的正弦函数与余弦函数的定义，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，并能应用．2.过程与方法目标（1）通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合理猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想．（2）培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力．3．情感、态度、价值观目标在学习中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性．感悟数学的本质，培养追求真理的精神．通过本节的学习，使同学们对正弦函数与余弦函数有了一个全新的认识，通过对定义的应用，提高学生分析、解决问题的能力．二、教学重难点教学重点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义（包括定义域和函数值在各象限的符号）及其应用.难点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义及其构建过程的理解.三、教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法结合多媒体课件四、教学过程（一）问题引入【投影展示】问题１：初中我们学过锐角 的正弦函数与余弦函数，同学们还正弦函数，记作sin v α=；点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数，记作cos u α=．通常，我们用x 表示自变量，即x 表示角的大小，用y 表示函数值，则得到任意角的正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =．【投影展示】问题4：在上述定义中，正、余弦函数的定义域与值域分别是什么？说明：x 表示角的大小，故可为全体实数，而在单位圆中显然[1,1]y ∈-，故值域为[1,1]-．【投影展示】问题5 如果知道角终边上一点P ,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?（由学生探讨）说明：三角函数的值与点(,)P x y 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.根据三角形相似对应边成比例可知，我们只需计算点(,)P x y 到原点的距离22r x y =+,那么22sin y r x y α==+cos x r α=22x y +．因此任意角的正弦函数与余弦函数是以角度为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故它们也可以看成以实数为自变量的函数.【投影展示】问题 6 当角α分别在第一、第二、第三、第四象限时，你能确定角α的正弦函数值、余弦函数值的正负吗？完成课本P14页表格． x y (,P x y O αM象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限sin αcos α说明：正弦函数符号与所在象限记忆法则，从函数出发来记，“正弦上为正，余弦右为正，正切一、三正”；也可以从象限出发来记忆，即“一全为正，二正弦正，三正切正，四余弦正”．（三）新知应用【投影展示】例1在直角坐标系的单位圆中，4πα=-，（1）画出角α；（2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标；（3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值．（课本P14页例1）分析：只需求出交点坐标，套用定义即可求解．变式训练1判断65sin π与65cos π的符号，并通过计算进行验证． 【投影展示】例2已知角α终边上一点(3,2)P -，求角α的正弦函数值、余弦函数值．分析：该点并不是角的终边与单位圆的交点，所以应先计算||r OP =，再利用sin y r α=，cos x rα=求解． 解：22(3)213r =-+=所以2sin 131313y r α===3cos 131313x r α=== 【投影展示】变式训练2已知角α终边上一点(2,3)(0)P a a a -≠，求角α的正弦函数值、余弦函数值．三角【投影展示】变式训练3已知角α终边与直线1(0)3y x x =≤重合，求角α的正弦函数值、余弦函数值．若去掉“0x ≤”这个条件呢？说明：变式2中由于未注明a 的正、负，故需分情况讨论，旨在让同学们学会分类讨论思想，而变式3中并没有给出终边上一点的坐标，需要自己任意选取一特殊点的坐标求解，也可以作出单位圆与该射线或直线的交点，借助方程组的思想求出交点坐标，套用定义求解．（四）反思升华由学生自己从以下三方面进行反思小结，教师从知识层面和思想方法层面帮助学生整理本节课的小节：①本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同？②你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?③正弦函数与余弦函数的定义在应用时应注意什么呢？（五）作业布置【投影展示】课本P16页练习3，4，5填书上，P20页A 组1，3，做作业本上．补充作业：已知角α终边与直线2y x =重合，求sin cos αα+的值．（六）板书设计五、教学反思 本节课整体效果是不错的，从熟知的初中的锐角三角函数到高中的任意三角函数，从旧知识到新知的扩展，对学生来讲较容易接1.41.任意角的正弦函数、余弦函数 例1 例2定义：受．课堂中的变式训练也使新知识能够以充分的应用，锻炼了学生的思维能力、考虑问题周密性，整节课学生始终处于探索与应用中．。
(北师大版)高中数学必修四：1.4《余弦函数诱导公式》教案(1)
余弦函数的概念和诱导公式一、教学目标： 1、知识与技能：（1）了解任意角的余弦函数概念； （2）理解余弦函数的几何意义； （3）掌握余弦函数的诱导公式；（4）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、过程与方法：类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定义推广到更加一般的情况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式。
3、情感态度与价值观：使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点重点:余弦函数的概念和诱导公式。
难点: 余弦函数的诱导公式运用。
三、学法与教法我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。
用五点作图的方法作出y ＝cosx 在[0，2π]上的图像，并由图像直观得到其性质。
教法：自主合作探究式 四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sin α＝斜边邻边。
同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可以得到余弦函数的定义。
下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30—P31. （二）、探究新知1．余弦函数的定义：在直角坐标系中，设任意角α与单位圆交于点P （a ，b ）,那么点P 的横坐标a 叫做角α余弦函数，记作：a ＝cos α(α∈R). 通常我们用x ，y 分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示，b)为y ＝cosx(x∈R).如图，有向线段OM 称为角α的余弦线。
北师大版高中数学必修四余弦函数的图像与性质教案
§6余弦函数的图像与性质一、 教学思路【创设情境，揭示课题】在上一次课中，我们知道正弦函数y ＝sinx 的图像，是通过等分单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以采用五点作图法得到。
那么，对于余弦函数y ＝cosx 的图像是不是也是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？【探究新知】1．余弦函数y ＝cosx 的图像由诱导公式有：与正弦函数关系 ∵y ＝cosx ＝cos(－x)＝sin[2π－(－x)]＝sin(x ＋2π) 结论：（1）y ＝cosx, x ∈R 与函数y ＝sin(x ＋2π) x ∈R 的图象相同 （2）将y ＝sinx 的图象向左平移2π即得y ＝cosx 的图象 （3）也同样可用五点法作图：y ＝cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) （4）类似地，由于终边相同的三角函数性质y ＝cosx x ∈[2k π,2(k+1)π] k ∈Z,k ≠0的图像与 y ＝cosx x ∈[0,2π] 图像形状相同只是位置不同（向左右每次平移2π个单位长2．余弦函数y ＝cosx 的性质观察上图可以得到余弦函数y ＝cosx 有以下性质：（1）定义域：y=cosx 的定义域为R（2）值域： y=cosx 的值域为[－1,1]，即有 |cosx|≤1（有界性）(3)最值：1︒对于y ＝cosx 当且仅当x ＝2k π,k ∈Z 时 y max ＝1当且仅当时x ＝2k π＋π, k ∈Z 时 y min ＝－12︒当2k π-2π<x<2k π+2π (k ∈Z)时 y=cosx>0当2k π+2π<x<2k π+23π (k ∈Z)时 y=cosx<0 (4)周期性：y ＝cosx 的最小正周期为2π(5)奇偶性cos(－x)R)是偶函数(6)单调性增区间为[（2k －1）π， 2k π]（k∈Z），其值从－1增至1；减区间为[2k π，（2k ＋1）π]（k∈Z），其值从1减至－1。
《余弦函数的图像》公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】
《余弦函数的图像》教学设计◆教材分析通过本节课的学习，可以培养学生数形结合的思想方法，从特殊到一般，从局部到整体的逻辑思维能力等，为学生在专业学习中进行简单的正弦的计算打下基础。
◆教学目标【知识与能力目标】1.通过类比正弦函数图像的作图方法,会用几何法画出余弦函数的图像;通过诱导公式能用图像平移的方法得到余弦函数的图像.2.观察函数y=cosx,x∈［0,2π］的图像上,哪些点起着关键作用,并会用关键点画出函数y=cosx在x∈［0,2π］上的简图.【过程与方法目标】通过类比、知识迁移的学习方法,提高探究新知的能力,并通过正弦函数和余弦函数的图像的对比,理解两种函数的区别及内在联系.【情感态度价值观目标】通过正弦函数和余弦函数的图像的对比,理解两种函数的区别及内在联系，培养学生类比思维能力。
◆教学重难点【教学重点】会通过平移得到余弦函数的图像,并会用五点法画出余弦函数的图像【教学难点】余弦函数的图象应用。
◆课前准备多媒体课件◆教学过程（一）引入课题我们在研究了正弦函数的图像,你能类比正弦函数图像的作法作出余弦函数的图像吗？从学生画图像、观察图像入手,由此展开余弦函数性质的探究. 有哪些方法画出正弦函数的图像？（二）新知探究你知道函数y=f(x+a)（a ＞0）的图像与函数y=f(x)的图像有什么关系？那么函数y=sinx 图像与函数y=sin(x+π2)图像有什么关系？想想该如何画y=cosx 图像？先让学生充分思考、交流后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他按自己的思路继续探究;对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导.在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须掌握的基本功.因此在研究余弦函数图像与性质时,教师要引导学生充分挖掘余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的.因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.对问题①学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它们的变化趋势.由诱导公式y=cosx=cos(-x)=sin ［2π-(-x)］=sin(2π+x)可知,y=cosx 的图像就是函数y=sin(2π+x)的图像.从而,余弦函数y=cosx 的图像可以通过将正弦曲线y=sinx 向左平移2π个单位长度得到(如图).思考：有没有其他方法画余弦函数y=cosx 的图像？五点法适用么？应该如何作图？ 再带领学生利用五点法进行余弦函数图象的绘制，步骤：列表-描点-连线。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 6.2余弦函数性质》
首先复习一下正弦函数的图像及性质，请同学们以小组为单位，利用五点作图法来描绘正弦函数的图像，并回顾表述它的性质课堂上提出以下问题：
1）研究函数的性质从哪几个方面入手？
2）能否用类似的方法来研究余弦函数的性质？
利用类比的方法，帮助学生明确研究函数的一般方法，并获得研究余弦函数的性质的思路
分析问题
解决问题
类比正弦函数的图像及性质研究，通过小组合作学习，同学们总结出，研究函数一般可以考虑：定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性，有的函数可能还具有对称性等。我们就试着用类似的思路来研究余弦函数的性质。同学们通过小组合作学习得出了关于余弦函数的性质，并请一个小组派代表来给同学们分享
把问题作为教学的出发点，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲，为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境，关注学生动手能力培养
1）类比推理；
2）数形结合
1.总结学习的知识；
2.讨论渗透的数学思想方法及其对学生学习的重要性
方法拓展
在小结之后，要求学生利用单位圆的方法来研究余弦函数的性质，这从研究方法上进行了有效的拓展
拓展延伸
板书设计
课题
幻灯片展示1、画余弦函数图像（五点作图）
2、余弦函数的性质
展现重点
教学反思
利用类比推理的方法，给同学们介绍余弦函数的性质，这种方法对学生来说并不陌生，而且，学生容易接受
利用余弦函数的图像及直线 之间的关系，采用数形结合的方法容易确定实数 的集合简单分析之后，请一位同学来讲解
例2比较 与 的大小
由于 不是特殊角，要直接计算它们的函数值不容易，那么如何比较它们余弦值的大小呢？将问题给学生，引发学生思考的兴趣和动机，让他们经过小组讨论获得比较的方法：即，利用余弦函数的单调性来判断。当然，这两个角属于一个单调区间 ，判断起来还比较方便。之后，教师提出问题，如果比较的角不在同一个单调区间，那么它们的余弦值的大小如何比较，请同学们课后思考。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 6.1余弦函数的图像》30
《余弦函数的图象和性质》教学设计教学目标（1）知识与技能目标：了解平移法，掌握五点法做余弦函数图象，利用余弦函数的图象进一步研究余弦函数的性质，并解决简单余弦函数问题；（2）过程与方法目标：类比正弦函数性质获得余弦函数的性质，体会类比的思想方法；（3）情感态度与价值观目标：通过类比、知识迁移的学习方法，提高探究新知的能力，了解正弦函数、余弦函数的区别与内在联系。
教学重点和难点教学重点：余弦函数的图象与性质。
教学难点：利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。
余弦函数的图象与性质的应用。
那么克服本节课的难点的关键在于复习好正弦函数图象的作法，充分利用图象讲清余弦函数的性质，梳理好讲解顺序，使学生通过适当的练习正确理解概念、图象、性质、实现教学目标和进一步提高学生的学习探索能力，充分发挥学生的主体作用。
二、教学过程课前学生活动：为了学生在自学时有目的性，设计了三个课前活动。
课前活动1：复习回顾：（1）正弦函数作图的方法是什么？（2）正弦函数的性质有哪些？课前活动2：提出如何得到余弦函数图象的问题。
课前活动3：根据正弦和余弦函数的图象，请同学们比较这两者的性质。
（定义域、值域、周期、奇偶性、单调性）课堂内容（一）知识回顾：1．正弦函数作图的方法是什么？2．正弦函数的性质有哪些？（展示）（二）、交流讨论余弦函数图像如何得到？余弦函数性质如何得到？三例题讲解例1 请根据余弦函数性质研究函数 3cos 1y x =-+ 的性质。
（四）当堂检测1．要得到函数sin y x =的图象，可以将cos y x =的图象（ ）.A 向左平移π个单位 .B 向右平移π个单位.C 向左平移2π个单位 .D 向右平移2π个单位 2 求下列函数的奇偶性：（1）cos 2y x =+ （2）sin cos y x x = 3 比较大小：5cos 4π 和7cos()5π- （五）归结反思知识方面：（1）余弦函数的图象①平移法②五点法（注与正弦五点对比）（2）余弦函数的性质（与正弦函数性质对比记忆）思想方法：类比，数形结合，转化与化归的思想。
《余弦函数的性质》示范公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】
《余弦函数的性质》教学设计教材通过类比正弦函数的性质的推导得出余弦函数的性质，锻炼学生类比推理的能力。
【知识与能力目标】掌握余弦函数的性质及应用。
【过程与方法目标】类比正弦函数得出余弦函数的性质。
【情感态度价值观目标】通过图像得出余弦函数性质的过程，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神。
【教学重点】掌握余弦函数的性质。
【教学难点】余弦函数的性质的应用。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、复习导入。
画出余弦函数y＝cos x，x∈R的简图(如图162)。
图162◆教材分析◆教学目标◆教学重难点◆课前准备◆教学过程二、探究新知。
余弦函数的性质图像定义域 R 值域 [－1,1]最大值，最小值 当x ＝2k π(k ∈Z ) 时，y max ＝1； 当x ＝2kπ＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1周期性周期函数，T ＝2π单调性 在[2k π－π，2k π](k ∈Z ) 上是增加的； 在[2k π，2k π＋π](k ∈Z ) 上是减少的奇偶性偶函数，图像关于y 轴对称三、例题解析。
例题1 画出13y cosx ＝－在[]0,2π上的简图，并指出其最值和单调区间。
【解】 列表：x0 π2 π 32π 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－3cos x－2141－2由图像可知，函数13y cosx ＝－在[]0,2π上的最大值为4，最小值为-2，单调增区间为[]0,π，单调减区间为[],2ππ。
巩固练习1 作出函数11cos 3y x =-在[]2,2ππ-上的图像。
【解】 ①列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝cos x 1 0 －1 0 1 y ＝1－13cos x23143123②作出1cos 3y x =-在x ∈[]0,2π上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y 轴对称的图像，从而得出11cos 3y x =-在x ∈[]2,2ππ-上的图像。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014高中数学 第五节余弦函数教案 北师大版必修4
一、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）了解任意角的余弦函数概念；（2）理解余弦函数的几何意义；（3）掌握余弦函数
的诱导公式；（4）能利用五点作图法作出余弦函数在[0，2π]上的图像；（5）熟练根
据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质；（6）能区别正、余弦函数之间的关系；（7）
掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、 过程与方法
类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角
函数定义推广到更加一般的情况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主
探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，
并能结合图像分析得到余弦函数的性质。
3、 情感态度与价值观
使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的
思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自
身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的
有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点:余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。
难点: 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。
三、学法与教学用具
我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把
锐角的正弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正弦函数的概念作比较，得出余
弦函数的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。
用五点
作图的方法作出y ＝cosx 在[0，2π]上的图像，并由图像直观得到其性质。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 余弦函数的概念和诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sin α＝
斜边邻边。
同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可以得到余弦函数的定义。
下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30—P31.
【探究新知】
1．余弦函数的定义
在直角坐标系中，设任意角α与单位圆交于点P （a ，b ）,
那么点P 的横坐标a 叫做角α余弦函数，记作：a ＝cos α(α∈R).
通常我们用x ，y 分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示
为y ＝cosx(x∈R).
如图，有向线段OM 称为角α的余弦线。
其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角α
的终边上任意一点P 的坐标（a ，b ），求出|OP|，记为r ，则
角α的正弦和余弦分别为：sin α＝r b ，cos α＝r
a .
在今后的解题中，我们可以直接运用这种方法，简化运算过程。
2．余弦函数的诱导公式
从右图不难看出，角α和角2π＋α，2π－α，（－α）的终边 与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；
角α和角π＋α，π－α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数，
所以，它们的余弦函数值互为相反数。
由此归纳出公式：
cos(2π＋α)＝cos α
cos(－α) ＝ cos α
cos(2π－α) ＝cos α
cos(π＋α) ＝－cos α
cos(π－α) ＝－cos α
请同学们观察右图，角α与角2
π＋α的正弦、余弦函数值有什么关 系？由图可知，R t⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点P 的横坐标cos α与点P ’的纵坐标sin(
2π＋α) 相等；点P 的纵坐标sin α与点P ’的横坐标cos(2
π＋α)互为相反数。
我们可以得到： sin(2π＋α)＝cos α cos(2
π＋α)＝－sin α 问题与思考：验证公式 sin(2π＋α)＝cos α cos(2
π＋α)＝－sin α 以上公式统称为诱导公式，其中α可以是任意角。
利用诱导公式，可以将任意角的正、
余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。
【巩固深化，发展思维】
1． 例题讲评
例1．已知角α的终边经过点P （2，－4）(如图)，求角α的余弦
函数值。
解：∵x ＝2，y ＝－4 ， ∴ r ＝|OP|＝25
∴cos α＝r x ＝5
5 例2．如果将例1中点P 的坐标改为（2t ，－4t ）(t≠0)，那么怎样求角α的余弦函数
值。
解：(提示：在r ＝|OP|＝25|t|中，分t ＜0和t ＞0两种情况，见教材P31)
例3．求值：
（1）cos 611π （2）cos 89π （3）cos(－4
3π) （4）cos(－1650°) （5）cos(－150°15’) 解：（1）cos
611π＝cos （2π－6π）＝cos 6π＝23 （2）cos 89π＝cos （π＋8π）＝－cos 8
π≈－0.9239 (3)、（4）、（5）略，见教材P33
例4．化简：()()()()()
πααπαπαπαπ---+-+-cos 3cos cos 3cos 2cos 解：（略，见教材P33）
2． 学生练习
教材P31的练习1、2、3 和 P34的练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 余弦函数的图像与性质
一、 教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一次课中，我们知道正弦函数y ＝sinx 的图像，是通过等分单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以采用五点作图法得到。
那么，对于余弦函数y ＝cosx 的图像是不是也是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？
【探究新知】
1．余弦函数y ＝cosx 的图像
由诱导公式有：
与正弦函数关系 ∵y ＝cosx ＝cos(－x)＝sin[
2π－(－x)]＝sin(x ＋2π) 结论：（1）y ＝cosx, x ∈R 与函数y ＝sin(x ＋
2π) x ∈R 的图象相同 （2）将y ＝sinx 的图象向左平移2
π即得y ＝cosx 的图象 （3）也同样可用五点法作图：y ＝cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1) (
2π,0) (π,-1) (2
3π,0) (2π,1)
（4）类似地，由于终边相同的三角函数性质y ＝cosx x ∈[2k π,2(k+1)π] k ∈Z,k ≠0的图像与 y ＝cosx x ∈[0,2π] 图像形状相同只是位置不同（向左右每次平移2π个单位长度）
2．余弦函数y ＝cosx 的性质
观察上图可以得到余弦函数y ＝cosx 有以下性质：
（1）定义域：y=cosx 的定义域为R
（2）值域： y=cosx 的值域为[－1,1]，即有 |cosx|≤1（有界性）
(3)最值：1︒对于y ＝cosx 当且仅当x ＝2k π,k ∈Z 时 y max ＝1
当且仅当时x ＝2k π＋π, k ∈Z 时 y min ＝－1
2︒当2k π-
2π<x<2k π+2π (k ∈Z)时 y=cosx>0 当2k π+2π<x<2k π+2
3π (k ∈Z)时 y=cosx<0 (4)周期性：y ＝cosx 的最小正周期为2π
(5)奇偶性
cos(－x)＝cosx (x∈R) y＝cosx (x∈R)是偶函数
(6)单调性
增区间为[（2k －1）π， 2k π]（k∈Z），其值从－1增至1；
减区间为[2k π，（2k ＋1）π]（k∈Z），其值从1减至－1。
【巩固深化，发展思维】
1． 例题讲评
例1．请画出函数y ＝cosx －1的简图，并根据图像讨论函数的性质。
解：（略，见教材P36）
2．课堂练习
教材P37的练习1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：P38的习题8、9、10、11
四、课后反思。