同步人教B版高中数学必修第三册练习：第七章 7.2.3 同角三角函数的基本关系式
高中数学人教B版高一数学必修三《7.2.3同角三角函数的基本关系》基础练习含答案
《7.2.3同角三角函数的基本关系》含答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2+x ﹣3＝0的根，则sin α＝（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知211sin cos =-αα，则=+ααcos sin 1（ ）A ．B ．C ．2D ．﹣23．已知sin θ和cos θ是关于x 的方程x 2﹣mx +m +1＝0的两根，则m ＝（ ） A ．3B ．﹣1C ．3或﹣1D ．以上均不对4．0＜α＜π，sin α+cos α＝，则1﹣=+ααtan 1tan （ ）A ．B ．C ．D ．5．如果21cos 1sin =+αα，那么sin α+cos α的值是（ ）A ．B ．C ．1D ．6．化简1－cos 2π15的结果是( )A ．cos π15B ．sin π15C ．－cos π15D ．－sin π157．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为( )A ．－2B ．2 C.2316D ．－23168．化简：1－2sin 10°·cos 10°＝( )A ．cos 10°－sin 10°B ．sin 10°－cos 10°C ．sin 10°＋cos 10°D ．不确定9．若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－cos θ的值为( )A ．－32B ．32C ．－52D.5210．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A.34 B ．±310C.310D ．－310二．填空题（共3小题） 11．若tan α+＝3，则sin αcos α＝ ，tan 2α+＝ ．12．已知θ是第四象限角，tan θ＝﹣，则cos θ＝ ． 13．已知tan α＝﹣，则＝ ．三．解答题（共3小题）14．已知2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1，α∈（﹣，﹣π），求：（1）tan α； （2）．15．已知tan α＝2，求： （1）的值； （2）的值．《7.2.3同角三角函数的基本关系》答案1．【解答】解：∵α是锐角，且tanα是方程4x2+x﹣3＝0的根，解得x＝tanα＝﹣1（舍去），或x＝tanα＝．再根据tanα＝＝，且sin2α+cos2α＝1，sinα＞0，求得sinα＝，故选：B．2．【解答】解：∵sin2α+cos2α＝1，∴cos2α＝1﹣sin2α，∴，∵，∴＝﹣．故选：B．3．【解答】解：若方程x2﹣mx+m+1＝0有实根，则△＝m2﹣4m﹣4≥0解得m≤2﹣2，或m≥2+2，若sinθ、cosθ是关于x的方程x2﹣mx+m+1＝0的两个实根，则sinθ+cosθ＝m，sinθ•cosθ＝m+1，则（sinθ+cosθ）2﹣2（sinθ•cosθ）＝1即m2﹣2（m+1）＝1，m＝﹣1或m＝3（舍去）故选：B．4．【解答】解：2sinαcosα＝（sinα+cosα）2﹣1＝﹣（cosα﹣sinα）2＝1﹣2sinαcosα＝0＜α＜π，cosα＜sinα∴cosα﹣sinα＝﹣，可得cosα＝，sinα＝，∴tanα＝，1﹣＝＝＝．故选：D ． 5．【解答】解：由＝得到：2sin α＝1+cos α，而sin 2α+cos 2α＝1，联立解得sin α＝0（舍去）或sin α＝，所以cos α＝ 则sin α+cos α＝＝故选：A ．6.【解答】∵π15∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴1－cos 2π15＝⎪⎪⎪⎪sin π15＝sin π15. 答案：B7.【解答】由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，分子分母同除以cos α得：tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316. 答案：D8.【解答】原式＝sin 2 10°－2sin 10°·cos 10°＋cos 2 10°＝(sin 10°－cos 10°)2＝|sin 10°－cos 10°|＝cos 10°－sin 10°. 答案：A9.【解答】由题意知θ∈(0，π)，又sin θcos θ＝－18，所以sin θ>0，cos θ<0，θ所以sin θ－cos θ>0，sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝52. 答案：D10.【解答】由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，解得sin θcos θ＝310.答案：C11．【解答】解：由tan α+＝3，即， 可得3sin αcos α＝sin 2α+cos 2α＝1， ∴sin αcos α＝； 由tan α+＝3，两边平方可得tan 2α+＝7．故答案为：；7．12．【解答】解：∵θ是第四象限角，tanθ＝﹣，∴cosθ＝＝．故答案为：13．【解答】解：∵tanα＝﹣，∴＝＝．故答案为：．14．【解答】解：∵2cos2α+3cosαsinα﹣3sin2α＝1，α∈（﹣，﹣π），∴cos2α+3cosαsinα﹣4sin2α＝0，∴1+3tanα﹣4tan2α＝0，解得tanα＝1（舍）或tanα＝﹣．∴tanα＝﹣．（2）＝＝＝﹣．15.【解答】解：∵tanα＝2，（1）∴＝＝＝．（2）∴＝＝＝＝＝﹣．。
高中人教B版数学必修第三册(课件+课后课时精练)7.2.3 同角三角函数的基本关系式
A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知tan α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则cos α＝( )A ．±45 B.45 C ．－45 D.35答案 C解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α<0.由tan α＝sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝－45. 2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1 答案 B解析 由题意，∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0. 1－sin 2α＝－cos α， 1－cos 2α＝－sin α.∴cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.故答案为B. 3．若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 sin α＋sin 2α＝1得sin α＝cos 2α， ∴cos 2α＋cos 4α＝sin α＋sin 2α＝1. 4.⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x 等于( )A ．tan xB ．sin xC ．cos x D.1tan x答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x cos 2x ＝cos 2x sin x cos x ＝1tan x .5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8答案 C解析 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋1tan α＝－8. 二、填空题6．若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，则5sin A ＋815cos A －7＝________.答案 6或－34解析 ∵sin A ＝45>0，∴A 为锐角或钝角． 当A 为锐角时，cos A ＝1－sin 2A ＝35，∴原式＝6. 当A 为钝角时，cos A ＝－1－sin 2A ＝－35，∴原式＝5×45＋815×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－7＝－34.7．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝_______. 答案 π3解析 由2sin A ＝3cos A ，得cos A >0. ∴2sin 2A ＝3cos A,2(1－cos 2A )＝3cos A ， 2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 又∵0<A <π，∴A ＝π3. 8．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是________． 答案 12解析 ∵1＋sin x cos x ＝(1＋sin x )(1－sin x )cos x (1－sin x )＝1－sin 2xcos x (1－sin x )＝cos 2x cos x (1－sin x )＝cos x 1－sin x ＝－12， ∴cos x sin x －1＝12. 三、解答题 9．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.证明 证法一：左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．证法二：∵cos α1＋sin α＝1－sin αcos α＝cos α＋1－sin α1＋sin α＋cos α，sin α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α＋1－cos α1＋cos α＋sin α，∴cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋cos α＋sin α. ∴原式成立．10．已知sin θ＋cos θ＝－105，求： (1)1sin θ＋1cos θ的值； (2)tan θ的值．解 (1)因为sin θ＋cos θ＝－105，所以1＋2sin θcos θ＝25，即sin θcos θ＝－310， 所以1sin θ＋1cos θ＝cos θ＋sin θsin θcos θ＝2103. (2)由(1)，得sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝－103，所以tan 2θ＋1tan θ＝－103，即3tan 2θ＋10tan θ＋3＝0， 所以tan θ＝－3或tan θ＝－13.B 级：“四能”提升训练1．化简下列各式：(1)1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin 210°；(2)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α. 解 (1)原式＝(cos10°－sin10°)2sin10°－cos 210°＝|cos10°－sin10°|sin10°－cos10°＝cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－1. (2)解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23. 解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2sin 2αcos 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2αsin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2αsin 2α]＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 2．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及θ的值．解(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，所以sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)由(1)，知sin θ＋cos θ＝3＋12，将上式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32， 所以sin θcos θ＝34，由(1)，知m 2＝34，所以m ＝32.(3)由(2)可知原方程为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，所以θ＝π3或π6.。
高中数学人教B版高一必修三《7.2.3同角三角函数的基本关系式》(第一课时)课后练习题含答案
《同角三角函数的基本关系式》（第一课时）课后习题含答案一、选择题1.已知3cos sin 8αα⋅=，且ππ42α<<，则cos sin αα-的值是（ ）A.12-B.12C.14- D.142.已知α是第二象限角，5sin 13α=，则cos α= ( )A ．1213-B ．513-C.513D.12133.已知55sin =α，则αα44cos sin -的值为( ) A ．53- B ．51-C ．15 D ．354.已知sin 3cos 22cos sin αααα+=-,则2cos sin cos ααα+=( )A.65B.35C.25 D.35-5.若3sin 5m m α-=+,42cos 5m m α-=+,π(,0)2α∈-,则tan α=( ) A.34-B.1312-C.512-D.125-二、填空题6.已知sin cos αα+=,且()0,πα∈,则 1tan tan αα+=___________.7.若cos 2sin αα+=tan α=__________. 三、解答题8.已知tan 2a =，求下列各式的值. （1）3sin 2cos sin cos a a a a+-；（2）22cos sin αα-9.已知点(,2),(0)P m m -<为角α终边上一点，且cos 3mα=，求sin α和tan α.10.已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos ,(0,2π)θθθ∈.(1)求22sin cos sin cos cos sin θθθθθθ+--的值; (2)求m 值.参考答案1.答案：A解析：∵3cos sin8αα⋅=，∴()21cos sin12sin cos4αααα-=-=，∵ππ42α<<，2.答案：A解析：因为α是第二象限角,所以cos0α<.由同角函数关系式知12cos13α=-,故选A.3.答案：A4.答案：A解析：∵sin3cos tan322cos sin2tanαααααα++==--,∴1tan3α=,则22222cos sin cos1tan6cos sin coscos sin1tan5αααααααααα+++===++.5.答案：A解析：因为22sin cos1αα+=,所以22342()()155m mm m--+=++,所以0m=或8m=. 因为π(,0)2α∈-,所以sin0α<,cos0α>,所以52m-<<,所以0m=.所以3sin5α-=.4cos5α=,3tan4α=-.故选A.6.答案：27.答案：28.答案：（1）3sin2sin3tan2628sin cos tan121a a aa a a+++===---（2）22222222cos sin1tan3cos sincos sin1tan5αααααααα---===-++9.答案：设,,2OP r x m y===-,则cosx mr rα==由已知3x mr=, 3r∴=23,5m=∴=又因为0m<, m∴=2sin,tan3αα=-=10.答案：(1)由根与系数的关系可知sin cosθθ+=①sin cos2mθθ=,则2222sin cos sin cossin cos cos sin sin cosθθθθθθθθθθ-+=---sin cosθθ=+=.(2)由①式平方,得12sin cosθθ+=所以sin cosθθ=所以m=经检验m=满足题意.。
人教B版数学必修第三册(课件+课后课时精练)7.2.3 同角三角函数的基本关系式7.2.3
A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．cos(－1650°)＝( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 C解析 cos(－1650°)＝cos1650°＝cos(4×360°＋210°)＝cos210°＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－32，故选C.2．若sin A ＝13，则sin(6π－A )的值为( ) A.13 B ．－13 C ．－223 D.223 答案 B解析 sin(6π－A )＝sin(－A )＝－sin A ＝－13，故选B. 3．若tan(7π＋α)＝a ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.a －1a ＋1B.a ＋1a －1 C ．－1 D ．1答案 B解析 由tan(7π＋α)＝a ，得tan α＝a ，∴sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin (3π－α)－cos α－sin α＋cos α ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝a ＋1a －1.4．下列三角函数式：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋3π4；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π－π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n －1)π－π3.其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤答案 C解析 ①中sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3.5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，tan(α－7π)＝－34，则sin α＋cos α的值为( ) A ．±15 B ．－15 C.15 D ．－75 答案 B解析 ∵tan(α－7π)＝－tan(7π－α)＝－tan(6π＋π－α)＝－tan(π－α)＝tan α＝－34， α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，且tan α＜0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＞0，cos α＜0.又∵tan α＝sin αcos α＝－34， ① 而sin 2α＋cos 2α＝1, ②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝－45.∴sin α＋cos α＝35－45＝－15.∴选B. 二、填空题6.2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)可化简为________． 答案 1－sin θ 解析 2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)＝2－2sin θ－cos 2θ＝2－2sin θ－(1－sin 2θ) ＝sin 2θ－2sin θ＋1＝(sin θ－1)2＝1－sin θ.7．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________. 答案 1213解析 cos(212°＋α)＝cos [720°－(508°－α)] ＝cos(508°－α)＝1213.8．已知f (x )＝⎩⎨⎧sinπx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为________．答案 －2解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝sin π6＝12；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－12－2＝－52. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝－2.三、解答题9．已知函数f (x )＝6cos (π＋x )＋5sin 2(π－x )－4cos (2π－x )，且f (m )＝2，试求f (－m )的值．解 因为f (x )＝6cos (π＋x )＋5sin 2(π－x )－4cos (2π－x )＝－6cos x ＋5sin 2x －4cos x ，又因为f (－x )＝－6cos (－x )＋5sin 2(－x )－4cos (－x )＝－6cos x ＋5sin 2x －4cos x ＝f (x )，所以f (－m )＝f (m )＝2.10．已知tan(π＋α)＝－12，求下列各式的值： (1)2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (α－2π)＋sin (4π－α)；(2)sin(α－7π)cos(α＋5π)．解 由tan(π＋α)＝－12，得tan α＝－12. (1)原式＝－2cos α－3(－sin α)4cos α＋sin (－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－124－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－79. (2)原式＝sin(－6π＋α－π)cos(4π＋α＋π) ＝sin(α－π)cos(α＋π)＝－sin α(－cos α) ＝sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. B 级：“四能”提升训练1．已知1＋tan(θ＋720°)1－tan(θ－360°)＝3＋22，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·1cos2(－θ－2π)的值．解由1＋tan(θ＋720°)1－tan(θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tanθ＝2＋22，所以tanθ＝2＋224＋22＝22.故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·1cos2(－θ－2π)＝(cos2θ＋sinθcosθ＋2sin2θ)·1cos2θ＝1＋tanθ＋2tan2θ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎪⎫222＝2＋22.2．已知f(α)＝sin(π＋α)cos(2π－α)tan(－α) tan(－π－α)sin(－π－α).(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－31π3，求f(α)的值．解(1)f(α)＝－sinαcos(－α)·(－tanα)(－tanα)sinα＝－cosα.(2)∵sin(α－π)＝－sinα＝1 5，∴sinα＝－15.又α是第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－125＝－265.∴f (α)＝－cos α＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－cos π3＝－12.。
人教B版数学必修第三册(课件+课后课时精练)7.2.3 同角三角函数的基本关系式7.2.3 第2课时
sin32π＋α＝－cosα，cos(2π＋α)＝cosα，
所以原式＝sinα－－tancαosα＋－－sincoαs－ αcosisnαα
＝co1s2α－csoins22αα
＝1－cossi2nα2α＝ccooss22αα＝1.
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[跟踪训练1] 已知 cos(π＋α)＝－12，求 cosπ2＋α的值．
解 ∵cos(π＋α)＝－cosα＝－12， ∴cosα＝12，∴α 为第一或第四象限角． ①若 α 为第一象限角， 则 cosπ2＋α＝－sinα＝－ 1－cos2α ＝－ 1－122＝－ 23；
答案 －275 解析 sinπ2＋θ＝cosθ＝35，从而 sin2θ＝1－cos2θ＝1265，所以 cos2θ－sin2θ ＝－275.
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答案
解析
5．已知 sinπ3－α＝12，求 cosπ6＋αsin23π＋α的值．
＝－ －ttaannαα－ －scionsααcsoinsαα＝1＝右边．
∴原式成立．
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பைடு நூலகம்课后课时精练
答案
金版点睛 三角恒等式的证明策略
对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边 推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆 项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择 巧妙简捷的方法．
解析
题型三 利用诱导公式证明三角恒等式
人教B版高中数学必修第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式
2．做一做
(1)若 sinα＝45，且 α 是第二象限角，则 tanα 的值是(
)
A．－43
B．34
C．±34
D．±43
答案
(2)化简： 1－sin2440°＝____c_o_s_8_0_°___.
sinα－2cosα (3)已知3sinα＋5cosα＝－5，则
tanα＝____－__12_63_____.
2
PART TWO
核心素养形成
题型一 三角函数求值
例 1 (1)已知 cosα＝－45，求 sinα 和 tanα；
4sinα－cosα (2)已知 tanα＝3，求3sinα＋5cosα的值．
[解] (1)sin2α＝1－cos2α＝1－－542＝352， 因为 cosα＝－45<0，所以 α 是第二或第三象限角，
2．利用同角三角函数的基本关系推导出的几个恒等式 (1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ. (2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ. (3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2. (4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ. 上述三角恒等式告诉我们，已知 sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ 三 个式子中的任何一个式子的值，另两个式子的值均可求出．
(2)已知 tanθ 求 sinθ(或 cosθ)常用的求解方法
当角 θ 的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对 角 θ 分区间(象限)讨论．
2．已知角 α 的正切求关于 sinα，cosα 的齐次式的值的方法 (1)关于 sinα，cosα 的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sinα，cosα 的式子且它们的次数之和相同，设为 n 次，将分子、分母同除以 cosα 的 n 次幂，其式子可化为关于 tanα 的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作 1，并将 1 用 sin2α＋cos2α 来代换，将分子、 分母同除以 cos2α，可化为关于 tanα 的式子，再代入求值．
2020-2021学年数学人教B版必修第三册： 7-2-3 同角三角函数的基本关系式
2．若 α 为第三象限角，则 1c－ossαin2α＋ 12－sicnoαs2α的值为( B )
A．3 C．1
B．－3 D．－1
解析：∵α 为第三象限角，∴sinα<0，cosα<0，则 1c－ossαin2α＋
12－sicnoαs2α＝|ccoossαα|＋2|ssiinnαα|＝－1－2＝－3.故选 B．
4 所以 tanA＝csoinsAA＝－535＝－43.
8．若scions2θθ＋＋14＝2，则(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝ 4 . 解析：scions2θθ＋＋14＝2， ∴sin2θ＋4＝2cosθ＋2，即 1－cos2θ＋4＝2cosθ＋2，∴(cosθ ＋3)(cosθ－1)＝0， ∴cosθ＝－3(舍去)或 cosθ＝1，此时 sinθ＝0. 将 sinθ＝0，cosθ＝1，代入所求式，即得结果 4.
所以|2csoisnαα|＋2csoisnαα＝0， 即得 sinα＝0 或|cosα|＝－cosα≠0，
3．(多选)下列计算或化简结果正确的是( ABD )
A．2tasniαncαosα＝2 B．若 sinθ·cosθ＝12，则 tanθ＋csoinsθθ＝2 C．若 sinα＝2 55，则 tanα＝2 D．若 α 为第一象限角，则 1c－ossαin2α＋ 1－sincαos2α＝2
解析：2tasniαncαosα＝2csoisnαα·csoinsαα＝2，A 正确； tanθ＋csoinsθθ＝csoinsθθ＋csoinsθθ＝sinθ1cosθ＝2，B 正确； ∵α 范围不确定，∴tanα 的符号不确定，C 不正确； ∵α 为第一象限角，∴原式＝ccoossαα＋ssiinnαα＝2，D 正确． 综上，A，B，D 正确，故选 ABD．
人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件 第七章 三角函数 7.2.3 同角三角函数的基本关系式
=
cos α=-3sin α,代入所求式得
10sin 5
=- .
-12sin 6
3
2
2sin2 - cossin+5cos2
(2)原式=
将 tan
·cos α=(2tan
cos2
1
α=-3代入,原式=
2×
2
1
1
+
+
5
9
2
×
2
9
10
3
α- tan
2
=
1
α+5)·
.
1+tan2
103
(1)tan
1
α+tan
=
sin
cos
+
2 -1
α=
.
2
cos
sin
=
si n 2 +co s 2
sin cos
=
1
sin cos
=
1
2 -1
2
2
= 2 -1.
(2)sin3α+cos3α=(sin α+cos α)(sin2α-sin αcos α+cos2α)=(sin α+cos α)(1-sin
sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
变式训练3
化简:
1-2sin10 °cos10 °
.
sin10 °- 1-si n 2 10°
解
1-2sin10°cos10°
sin10°- 1-sin2 10°
=
(cos10°-sin10°)2
sin10°-
人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件 第七章 三角函数 同角三角函数的基本关系式 分层作业册
B级 关键能力提升练
cos
11.已知
sin -1
=
1
1+sin
,则
等于(
2
cos
1
A.
2
解析
B )
1
B.2
cos
因为
sin-1
=
1
1+sin
,所以 cos
2
C.2
=
(1+sin)(1-sin)
cos(1-sin)
D.-2
=
1-sin2
cos(1-sin)
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2
=tan2θsin2θ.
(2)(cos α-1)2+sin2α=cos2α-2cos α+1+sin2α=2-2cos α.
(3)sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
17
φ=13①,
7
φ=13②,联立①②可得,sin
12
φ=13.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
sin φ 的值
π
16.已知2 <x<π,sin
x+cos
1
x=5,则
解析 (sin x+cos x) =1+2sin xcos
2
=1-2sin xcos
人教B版高中数学必修第三册7.2.3同角三角函数的基本关系式【课件】
方法归纳
1．已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可 利 用 平 方 关 系 或 商 数 关 系 求 解 ， 其 关 键 在 于 运 用 方 程 的 思 想 及 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，是分析解决问题的突破口．
2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α 的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、 分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．
题型3 应用同角三角函数关系化简
例3
若sin α·tan α<0，化简
1−sin α +
1+sin α
1+sin 1−sin
αα.
【解析】 ∵sin α·tan α<0，∴cos α<0.
原式＝
1−sin α 1+sin α 1+sin α 2
＋
1+sin α 1−sin α 1−sin α 2
＝ cos α + cos α ＝− cos α + − cos α
＝ 2 sin2 α+2sinα ＝2 sin α sin α+1 ＝1+sin α＝右边．
1+2 sin α cos α−1 2 sin α cos α
cos α
所以原等式成立．
状元随笔 解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较．关 键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧．
新教材人教b版必修第三册723同角三角函数的基本关3
7.2.3 同角三角函数的基本关系式
注意体会逻辑推理的过程,加强数学运算核心素养的培养,并注意以下问题: 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式. 2.理解同角三角函数的基本关系式. 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.
第七章 三角函数
证明:(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3. 问题 1.如何证明上述等式? 提示:由左到右推导,即左边展开、化简可得结果. 2.一般我们是怎样证明等式的?(至少举两种证法) 提示:从左向右推导、从右向左推导、证明左右两边的式子都等于同一个式子等.
1.三角函数式的化简过程中常用的方法:
(1)化切为弦,利用tan α= sin α ,将正切化为正弦和余弦,从而达到化简的目的;
的值再代入,那么运算量会很大,问题的解决就会变得烦琐.
asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,通常把分母看作1,然后用sin2α+cos2α代换, 分子、分母同除以cos2α,再求解.
(★★☆)已知sin α cosα =2,计算下列各式的值.
sin α-cos α
(1) 3sin α-cos α ;
第七章 三角函数
解析 (1)∵sin2α+cos2α=1,
∴cos2α=1-sin2α=1-
-
1 5
2
=
24 25
.
又∵α是第三象限角,
∴cos α<0,即cos α=- 2 6 ,
5
∴tan α= sin α
cos α
=-
1 5
×
-
2
5 6
=
6 12
高中数学人教B版必修第三册 第七章 7.2.3
7．2.3 同角三角函数的基本关系式学习目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．知识点 同角三角函数的基本关系式1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin 2α＋cos 2α＝1. 2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sin αcos α＝tan α.思考 同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？答案 平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，它要求α≠k π＋π2，k ∈Z .3．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式 sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α. (2)tan α＝sin αcos α的变形公式sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.1．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝ .答案 －513解析 由条件知sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫12132＝－513. 2．sin 2θ2＋cos 2θ2＝ .答案 13．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝ . 答案 －13解析 由题意得3sin α＝－cos α≠0，∴tan α＝－13.4．若cos α＝35，且α为第四象限角，则tan α＝ .答案 －43解析 因为α为第四象限角， 且cos α＝35，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45， 所以tan α＝sin αcos α＝－43.一、利用同角基本关系式求值例1 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．解 ∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限的角． 如果α是第二象限角，那么 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.如果α是第三象限角，同理可得 sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.反思感悟 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常见的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α是第几象限角，从而判断三角函数值的正负．跟踪训练1 已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＋sin α＝ .答案 －355解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝2， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得sin α＝2cos α，代入②得4cos 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， 所以cos α<0， 所以cos α＝－55，sin α＝－255， 故cos α＋sin α＝－355.二、三角函数式的化简与证明 例2 (1)化简：tan α1sin 2α－1，其中α是第二象限角； 解 因为α是第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0. 故tan α1sin 2α－1＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. (2)证明：1－2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝1－tan α1＋tan α.证明 左边＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝(sin α－cos α)2(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos α－sin αcos α＋sin α＝cos α－sin αcos αcos α＋sin αcos α ＝1－tan α1＋tan α＝右边． 故原等式成立．反思感悟 (1)三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)含有条件的三角恒等式证明的常用方法 ①直推法：从条件直推到结论．②代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明．③换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明． 跟踪训练2 化简：sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α.解 原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·(1－cos α)21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|＝±1.三、齐次式求值问题例3 已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611.(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330.反思感悟 (1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α，转化为关于tan α的式子后再求值．(2)注意例3第(2)问的式子中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式． 跟踪训练3 已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值．(1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1. 解 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3.(1)原式＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.(2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310.sin α±cos α与sin αcos α之间的关系应用典例 已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求：(1)sin θcos θ；(2)sin θ－cos θ. 解 方法一 (1)sin θ＋cos θ＝15，两边平方得1＋2sin θcos θ＝125， 所以sin θcos θ＝－1225，(2)又sin θcos θ<0， 且θ∈(0，π)，∴sin θ>0， ∴cos θ<0， ∴sin θ－cos θ>0，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋2425＝4925，∴sin θ－cos θ＝75.方法二 (1)由sin θ＋cos θ＝15，得cos θ＝15－sin θ.又sin 2θ＋cos 2θ＝1，代入得sin 2θ＋⎝⎛⎭⎫15－sin θ2＝1， 整理，得sin 2θ－15sin θ－1225＝0，即⎝⎛⎭⎫sin θ＋35⎝⎛⎭⎫sin θ－45＝0， 解得sin θ＝－35或sin θ＝45.又θ∈(0，π)， ∴sin θ>0，故sin θ＝45.∴cos θ＝15－sin θ＝15－45＝－35，∴sin θcos θ＝45×⎝⎛⎭⎫－35＝－1225. (2)sin θ－cos θ＝45－⎝⎛⎭⎫－35＝75.[素养提升] sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其它两个，即“知一求二”，注意开方之前要先判断sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的符号，而sin θcos θ的符号能缩小角的范围，加、减、乘之间的相互转化，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．1．如果α是第二象限角，下列各式中不成立的是( ) A ．sin 2α＋cos 2α＝sin 21＋cos 21 B ．cos α＝－1－sin 2α C ．sin α＝－1－cos 2α D ．cos α＝sin αtan α答案 C2．若cos α＝－45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43 答案 B解析 由题意可得sin α＝1－cos 2α＝35，∴tan α＝sin αcos α＝－34.3．已知sin α－cos α＝－54，则sin αcos α等于( )A.74 B ．－916 C ．－932 D.932答案 C解析 由题意得(sin α－cos α)2＝2516，即sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝2516，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴1－2sin αcos α＝2516，∴sin αcos α＝－932.故选C.4．化简1－sin 23π5的结果是( )A ．cos3π5 B ．sin3π5 C ．－cos 3π5D ．－sin3π5答案 C 解析1－sin 23π5＝cos 23π5＝⎪⎪⎪⎪cos 3π5， ∵π2<3π5<π，∴cos 3π5<0，∴⎪⎪⎪⎪cos 3π5＝－cos 3π5， 即1－sin 23π5＝－cos 3π5，故选C.5．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝ .答案 43解析 因为tan α＝－12，所以2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2tan αtan 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫－12⎝⎛⎭⎫－122－1＝43.1．知识清单：(1)同角三角函数基本关系式． (2)三角恒等式的化简与证明． (3)齐次式的化切求值．(4)sin α±cos α与sin αcos α的关系． 2．方法归纳：分类讨论，整体代换．3．常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α是第几象限角进行分类讨论．1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α等于( ) A.34 B ．－34 C.43 D ．－43 答案 B解析 由sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π 得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34，故选B.2．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( ) A.14 B.12 C ．1 D.32 答案 C解析 原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α) ＝sin 2α＋cos 2α＝1.3．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43 B.54 C ．－34 D.45答案 D解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.4．化简cos θ1＋cos θ－cos θ1－cos θ得( )A ．－2tan 2θB.2tan 2θ C ．－2tan θD.2tan θ答案 A 解析cos θ1＋cos θ－cos θ1－cos θ＝cos θ(1－cos θ)－cos θ(1＋cos θ)1－cos 2θ＝－2cos 2θsin 2θ＝－2tan 2θ. 5．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ等于( ) A.23 B ．－23 C.13 D ．－13答案 B解析 由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，得2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，由0<θ<π4，知sin θ－cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝－23. 6．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝ . 答案2211解析 由tan A ＝23>0且角A 是△ABC 的内角可得0<A <π2，又⎩⎪⎨⎪⎧sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A cos A ＝23，解得sin A ＝2211. 7．已知cos α＝－35，且tan α>0，则sin αcos 2α1－sin α＝ .答案 －425解析 由cos α<0，tan α>0知，α是第三象限角， 且sin α＝－45，故原式＝sin α(1－sin 2α)1－sin α＝sin α(1＋sin α)＝－45×⎝⎛⎭⎫1－45＝－425. 8．化简：⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝ .答案 sin α解析 原式＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1＋cos αsin α(1－cos α) ＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. 9．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．解 ∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos 2α＝1，即10cos 2α＝1，∴cos α＝±1010. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010. 10．(1)化简：cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°； (2)求证：sin α1－cos α·cos α·tan α1＋cos α＝1.(1)解 原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)证明 sin α1－cos α·cos αtanα1＋cos α ＝sin α1－cos α·cos α·sin αcos α1＋cos α＝sin α1－cos α·sin α1＋cos α＝sin 2α1－cos 2α＝sin 2αsin 2α＝1.11．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则此三角形是() A ．钝角三角形 B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形答案 A解析 将sin α＋cos α＝23两边平方，得1＋2sin αcos α＝49，即2sin α·cos α＝－59.又α是三角形的内角，所以sin α>0，cos α<0，所以α为钝角，即三角形为钝角三角形．12．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A 的值为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 C解析 由题意知cos A >0，即A 为锐角．将2sin A ＝3cos A 两边平方，得2sin 2A ＝3cos A .∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)， ∴A ＝π3. 13．若π<α<3π2，则1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α的化简结果为( ) A.2tan α B ．－2tan α C.2sin α D ．－2sin α答案 D解析 原式＝(1－cos α)21－cos 2α＋(1＋cos α)21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝2|sin α|， ∵π<α<3π2，∴原式＝－2sin α. 14．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝ . 答案 3或－13解析 因为sin α＋2cos α＝102，又sin 2α＋cos 2α＝1， 联立解得⎩⎨⎧ sin α＝－1010，cos α＝31010或⎩⎨⎧ sin α＝31010，cos α＝1010，故tan α＝sin αcos α＝－13或3.15．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝ ，tan 2α＋1tan 2α＝ . 答案 137 解析 ∵tan α＋1tan α＝3， ∴sin αcos α＋cos αsin α＝3，即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3， ∴sin αcos α＝13， tan 2α＋1tan 2α＝⎝⎛⎭⎫tan α＋1tan α2－2tan α·1tan α＝9－2＝7.16．设α是第三象限角，问是否存在这样的实数m ，使得sin α，cos α是关于x 的方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由．解 倘若存在这样的实数m 满足条件，由题设得，Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0，①∵α是第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，∴sin α＋cos α＝－34m <0，② sin αcos α＝2m ＋18>0.③ 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.把②③代入上式，得⎝⎛⎭⎫－34m 2－2×2m ＋18＝1， 即9m 2－8m －20＝0，解得m 1＝2，m 2＝－109. ∵m 1＝2不满足条件①，舍去，m 2＝－109不满足条件②③，舍去． ∴这样的实数m 不存在．。
新教材2021-2022版高中数学人教B版第三册课时素养评价：7.2.3 同角三角函数的基本关系式
课时素养评价五同角三角函数的基本关系式(20分钟35分)1.cos α=,α∈(0,π),则tan α的值为( )A. B. C.± D.±【解析】选B.因为cos α=,α∈(0,π),所以sin α=.所以tan α=.2.若α为第三象限角,则+的值为( )A.3B.-3C.1D.-1【解析】选B.因为α为第三象限角,所以原式=+=-3.3.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为( )A.-B.-C.D.【解析】选A.sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α) =sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=2×-1=-.4.已知tan α=2,则的值为.【解析】==,代入tan α=2得原式==.答案:5.若sin θ-cos θ=,则tan θ+= .【解析】由已知得(sin θ-cos θ)2=2,所以sin θcos θ=-.所以tan θ+=+==-2.答案:-26.已知sin α+3cos α=0,求sin α,cos α的值.【解析】因为sin α+3cos α=0.又sin2α+cos2α=1,得(-3cos α)2+cos2α=1,即10cos2α=1.所以cos α=±.又由sin α=-3cos α,可知sin α与cos α异号,所以α在第二、四象限.①当α是第二象限角时,sin α=,cos α=-.②当α是第四象限角时,sin α=-,cos α=.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.化简(1+tan2α)·cos2α等于( )A.-1B.0C.1D.2【解析】选C.原式=·cos2α=cos2α+sin2α=1.2.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是( )A. B. C.1 D.【解析】选C.原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.3.(2020·林州高一检测)已知sin αcos α=,且α∈,则cos α-sin α的值是( )A. B.C.-D.±【解析】选C.因为sin αcos α=,且α∈,所以sin α>cos α,所以cos α-sin α=-=-=-.【补偿训练】若α是三角形的最大内角,且sin α-cos α=,则三角形是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【解析】选B.将sin α-cos α=两边平方,得1-2sin αcos α=,即2sin αcos α=.又α是三角形的内角,所以sin α>0,所以cos α>0,所以α为锐角.4.已知=,则等于( )A. B.- C.2 D.-2【解析】选B.因为=,所以====-.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2020·潍坊高一检测)若α是第二象限角,则下列各式中成立的是( )A.tan α=-B.=sin α-cos αC.cos α=-D.=sin α+cos α【解析】选BC.对A,由同角三角函数的基本关系式,知tan α=,所以A错;对B,C,D,因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0,sin α+cos α的符号不确定,所以==sin α-cos α,所以B,C正确;==|sin α+cos α|,所以D错.6.(2020·济南高一检测)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是( )A.θ∈B.cos θ=-C.tan θ=-D.sin θ-cos θ=【解析】选ABD.因为sin θ+cos θ=①,所以=,即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,所以2sin θcos θ=-,因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0,所以θ∈,所以=1-2sin θcos θ=,所以sin θ-cos θ=或-(舍去)②,①加②得sin θ=,①减②得cos θ=-,所以tan θ===-.三、填空题(每小题5分,共10分)7.化简:·sin2x= .【解析】原式=sin2x=sin2x=·sin2x==tan x.答案:tan x【补偿训练】化简(1-cos α)的结果是.【解析】原式=(1-cos α)====sin α.答案:sin α8.已知tan α=,则= ;cos2α-sin2α=. 【解析】因为tan α=,所以===3-2,cos2α-sin2α====.答案:3-2四、解答题(每小题10分,共20分)9.(1)若π<α<,化简:+;(2)求证:=cos2θ-sin2θ.【解析】(1)原式=+=+=,因为π<α<,所以原式=-.(2)===cos2θ-sin2θ.10.(2020·济南高一检测改编)已知sin α=-,且α是第象限角.从①一,②二,③三,④四,这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上,并根据你的选择,解答以下问题:(1)求cos α,tan α的值;(2)化简求值:.【解析】(1)因为sin α=-,所以α为第三象限角或第四象限角;若选③,cos α=-=-,tan α==;若选④,cos α==,tan α==-.(2)原式=====.1.(2020·忻州高一检测)如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),我们把称为α的正割,记作sec α;把称为α的余割,记作csc α. 则sec÷csc=( )A. B.- C. D.-【解析】选B.由题意结合新定义的知识可得===tan α,则sec÷csc=tan=-.2.已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦、余弦,则实数m的值为.【解析】由题意知Δ=4(m+1)2-16m≥0,解得m∈R.不妨设sin A=x1,cos A=x2,A∈,则x1,x2>0,x1+x2=(m+1),x1·x2=m,即sin A+cos A=(m+1),sin Acos A=m,所以1+2×m=(m+1)2,解得m=或m=-.当m=-时,sin Acos A=-<0,不合题意,舍去,故m=. 答案:。
高中数学第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.3第1课时同角三角函数的基本关系式(1)作业b
综合②得m2 ＝
43，所以
m＝
3 2.
由③得 m≤4＋82
3＝2＋4
3，而
3 2＋ 2< 4
3，
所以
m＝
3 2.
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(2)当 m＝ 23时，原方程变为 2x2－( 3＋1)x＋ 23＝0，解得 x1＝ 23， x2＝12.
sinθ＝ 所以
23，
cosθ＝12
cosθ＝ 或
23，
sinθ＝12.
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．三种形状都有可能 解析：∵sinθ＋cosθ＝m，∴1＋2sinθcosθ＝m2. ∵m∈(0,1)，∴2sinθcosθ＝m2－1<0.∵0<θ<π， ∴sinθ>0，cosθ<0，∴θ 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形．
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二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
① ②
把②代入①得 cosα＝nm－＋mn.
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三、解答题(共 25 分) 10．(12 分)已知 cosα＝－187，求 sinα，tanα 的值． 解：∵cosα＝－187<0， ∴α 是第二或第三象限角． 若 α 是第二象限角，则 sinα>0，tanα<0. ∴sinα＝ 1－cos2α＝1157，tanα＝csoinsαα＝－185. 若 α 是第三象限角，则 sinα<0，tanα>0. ∴sinα＝－ 1－cos2α＝－1157，tanα＝csoinsαα＝185.
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13．(多选)(5 分)已知 0＜θ＜2π，且 sinθ＋cosθ＝a，其中 a∈(0,1)，
2021年新教材高中数学第七章7.2.3同角三角函数的基本关系式学案新人教B版必修第三册62
7．2.3 同角三角函数的基本关系式[课程目标] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2．会运用以上两个基本关系式进行化简、求值和证明．3．通过学习同角三角函数的基本关系式，认识事物之间的普遍联系规律，培养辩证唯物主义观．[填一填]1．同角三角函数的基本关系式2.同角三角函数基本关系式的常见变形同角三角函数基本关系式的变形有：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝cos αtan α，cos α＝sin αtan α(tan α≠0)，(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin 2α＋cos 2α＝1等．在三角函数的求值、化简和证明中经常用到同角三角函数的基本关系式及其变形公式，要注意灵活运用，掌握一些转化技巧，如“1”的代换(1＝sin 2α＋cos 2α)，化切为弦⎝⎛⎭⎫tan α＝sin αcos α，化弦为切⎝⎛⎭⎫sin αcos α＝tan α等． [答一答]证明三角恒等式有哪些常用方法？提示：证明恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明方法常用如下几种：(1)从不等式的一边证得它的另一边，一般从比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是等式的传递性；(2)综合法：由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式，其依据是等价转化的思想；(3)证明左、右两边都等于同一个式子(或值)，其依据是等式的传递性； (4)差比法：证明“左边－右边＝0”．类型一 利用同角三角函数的关系式求值[例1] 已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值．[分析] 由tan α得出sin α与cos α的关系，结合sin 2α＋cos 2α＝1，即可得出答案． [解] ∵tan α＝－2，∴α是第二、四象限角， 又由tan α＝－2得sin α＝－2cos α. (1)当α为第二象限角时，⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－2cos α，sin 2α＋cos 2α＝1⇒5cos 2α＝1， ∵cos α<0，∴cos α＝－55，sin α＝－2×⎝⎛⎭⎫－55＝255. (2)当α为第四象限角时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－2cos α，sin 2α＋cos 2α＝1⇒5cos 2α＝1， ∵cos α>0， ∴cos α＝55，sin α＝－2×55＝－255. 综合(1)(2)知：当α为第二象限角时， cos α＝－55，sin α＝255， 当α为第四象限角时，cos α＝55，sin α＝－255.同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意角所在象限，必要时必须进行讨论，另外在本例中要注意体会方程思想的应用.[变式训练1] 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．解：∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限的角． 如果α是第二象限角，那么 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.如果α是第三象限角，同理可得 sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.类型二 条件求值 命题视角1：化简代入求值[例2] 已知tan α＝－13，求下列各式的值：(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)2sin 2α－32sin αcos α＋5cos 2α；(3)11－sin αcos α. [分析] 由于已知条件为切，所求式为弦，故应想办法将切化弦，或将弦化切(这是一种分析综合的思想)．若切化弦，应把条件tan α＝sin αcos α代入所求式，消去其中一种函数名，再进一步求值；若弦化切，应把所求式化成用tan α表示的式子，一般来说，关于sin α和cos α的齐次式都可化为以tan α表示的式子．[解] (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝4×⎝⎛⎭⎫－13－25＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝－56.(2)原式＝2sin 2α－32sin αcos α＋5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－32tan α＋5tan 2α＋1＝2×⎝⎛⎭⎫－132－32×⎝⎛⎭⎫－13＋5⎝⎛⎭⎫－132＋1＝10320.(3)原式＝sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－sin αcos α＝tan 2α＋1tan 2α＋1－tan α＝⎝⎛⎭⎫－132＋1⎝⎛⎭⎫－132＋1－⎝⎛⎭⎫－13＝1013.第(3)题对分母中常数“1”的处理是利用平方关系将其转化为sin 2α＋cos 2α，从而将分母转化为sin α和cos α的齐次式，这是处理三角变换中经常用到的方法.[变式训练2] 已知3sin α－2cos α＝0，求下列各式的值． (1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α. 解析：(1)∵3sin α－2cos α＝0， ∴tan α＝23，cos α≠0，cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α1－tan α＝1－231＋23＋1＋231－23＝265.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α ＝sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813.命题视角2：根据和差求值[例3] 已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值． [解] ∵sin θ＋cos θ＝23， ∴两边平方得sin θcos θ＝－718. 又∵0<θ<π，∴π2<θ<π.∴sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝43.∴解方程组⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝23，sin θ－cos θ＝43，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝2＋46，cos θ＝2－46.∴tan θ＝sin θcos θ＝－9－427.1.sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.2.求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意判断它们的符号. [变式训练3] 已知sin α＋cos α＝13，计算下列各式的值：(1)sin α－cos α；(2)sin 3α＋cos 3α. 解：(1)∵sin α＋cos α＝13，∴sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19.∴2sin αcos α＝－89.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋89＝179.∴sin α－cos α＝±173. (2)∵sin 3α＋cos 3α＝(sin α＋cos α)(sin 2α－sin αcos α＋cos 2α) ＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)，又由(1)知，sin αcos α＝－49，且sin α＋cos α＝13，∴sin 3α＋cos 3α＝13×⎝⎛⎭⎫1＋49＝13×139＝1327. 类型三 三角函数式的证明[例4] 求证：cos α1－sin α＝1＋sin αcos α.[分析] 方法1：因为右边分母为cos α，故可将左边分子、分母同乘cos α，整理化简即可．方法2：只要证明左式－右式＝0即可．[证明] 证法1：左边＝cos 2αcos α(1－sin α)＝1－sin 2αcos α(1－sin α)＝(1－sin α)(1＋sin α)cos α(1－sin α)＝1＋sin αcos α＝右边，∴原式成立．证法2：∵cos α1－sin α－1＋sin αcos α＝cos 2α－(1＋sin α)(1－sin α)cos α(1－sin α)＝cos 2α－(1－sin 2α)cos α(1－sin α)＝cos 2α－cos 2αcos α(1－sin α)＝0， ∴cos α1－sin α＝1＋sin αcos α.关于三角恒等式的证明，一般方法有以下几种： (1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)比较法，即证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．(4)分析法，从被证的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到成立的条件为已知条件或明显的事实为止，就可以判定原式成立．[变式训练4] 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明：∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立． 类型四 综合问题[例5] 设α是第三象限角，问是否存在这样的实数m ，使得sin α，cos α是关于x 的方程8x 2－6mx ＋2m ＋1＝0的根？若存在，求出实数m ；若不存在，说明理由．[分析] 此类题型的求解，一般地，我们先假设存在，再在此基础上求解出m 的值，符合条件则存在，不符合则不存在．[解] 不存在．设存在这样的实数m 满足条件，由题设得 Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0① sin α＋cos α＝34m ，②sin α·cos α＝2m ＋18>0.③又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.④ 把②③代入④得⎝⎛⎭⎫34m 2－2×2m ＋18＝1， 即9m 2－8m －20＝0.解得m 1＝2，m 2＝－109.∵m 1＝2不满足条件①，m 2＝－109不满足条件③，故这样的实数m 不存在．[变式训练5] 已知sin α，cos α为方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个实根，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求m 及α的值．解：因为sin α，cos α为方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个实根， 所以m 2－2m ＋1≥0且sin α＋cos α＝m ，sin αcos α＝2m －14，代入(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α，得m ＝1±32.又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以sin α·cos α＝2m －14<0，即m <12，所以sin α＋cos α＝m ＝1－32，所以sin α＝－32，cos α＝12. 又因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以α＝－π3.1．α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( D )A.15 B ．－15C.513D ．－513解析：解法1：∵α为第四象限角，∴sin α<0，又∵tan α＝－512，∴sin α＝－513.解法2：∵⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－512，解得sin α＝±513. 又∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－513.2．若α是第二象限的角，则下列各式中一定成立的是( B ) A ．tan α＝－sin αcos αB ．cos α＝－1－sin 2αC ．sin α＝－1－cos 2αD ．tan α＝cos αsin α解析：由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝sin αcos α，故A ，D 错误；又因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，故C 错误，B 正确．3．若α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( D )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 解析：由sin α＋cos α＝23平方得：2sin αcos α＝－59<0.又∵α是三角形的一个内角，故sin α>0，∴cos α<0，即α为钝角．4．化简1－2sin4·cos4的结果是cos4－sin4.解析：原式＝(sin4－cos4)2＝|sin4－cos4|＝cos4－sin4.。
高中数学第七章 7.2.3同角三角函数的基本关系式课时素养评价含解析新人教B版必修第三册
同角三角函数的基本关系式(20分钟35分)1.cos α=,α∈(0,π),则tan α的值为( )A. B. C.± D.±【解析】选B.因为cos α=,α∈(0,π),所以sin α=.所以tan α=.2.若α为第三象限角,则+的值为( )A.3B.-3C.1D.-1【解析】选B.因为α为第三象限角,所以原式=+=-3.3.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为( )A.-B.-C.D.【解析】选A.sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=2×-1=-.4.已知tan α=2,则的值为.【解析】==,代入tan α=2得原式==.答案:5.若sin θ-cos θ=,则tan θ+= .【解析】由已知得(sin θ-cos θ)2=2,所以sin θcos θ=-.所以tan θ+=+==-2.答案:-26.已知sin α+3cos α=0,求sin α,cos α的值.【解析】因为sin α+3cos α=0.又sin2α+cos2α=1,得(-3cos α)2+cos2α=1,即10cos2α=1.所以cos α=±.又由sin α=-3cos α,可知sin α与cos α异号,所以α在第二、四象限.①当α是第二象限角时,sin α=,cos α=-.②当α是第四象限角时,sin α=-,cos α=.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.化简(1+tan2α)·cos2α等于( )A.-1B.0C.1D.2【解析】选C.原式=·cos2α=cos2α+sin2α=1.2.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是( )A. B. C.1 D.【解析】选C.原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.3.(2020·林州高一检测)已知sin αcos α=,且α∈,则cos α-sin α的值是( )A. B.C.-D.±【解析】选C.因为sin αcos α=,且α∈,所以sin α>cos α,所以cos α-sin α=-=-=-.【补偿训练】若α是三角形的最大内角,且sin α-cos α=,则三角形是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【解析】选B.将sin α-cos α=两边平方,得1-2sin αcos α=,即2sin αcos α=.又α是三角形的内角,所以sin α>0,所以cos α>0,所以α为锐角.4.已知=,则等于( )A. B.- C.2 D.-2【解析】选B.因为=,所以====-.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2020·潍坊高一检测)若α是第二象限角,则下列各式中成立的是( )A.tan α=-B.=sin α-cos αC.cos α=-D.=sin α+cos α【解析】选BC.对A,由同角三角函数的基本关系式,知tan α=,所以A错;对B,C,D,因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0,sin α+cos α的符号不确定,所以==sin α-cos α,所以B,C正确;==|sin α+cos α|,所以D错.6.(2020·济南高一检测)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是( )A.θ∈B.cos θ=-C.tan θ=-D.sin θ-cos θ=【解析】选ABD.因为sin θ+cos θ=①,所以=,即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,所以2sin θcos θ=-,因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0,所以θ∈,所以=1-2sin θcos θ=,所以sin θ-cos θ=或-(舍去)②,①加②得sin θ=,①减②得cos θ=-,所以tan θ===-.三、填空题(每小题5分,共10分)7.化简:·sin2x= .【解析】原式=sin2x=sin2x=·sin2x==tan x.答案:tan x【补偿训练】化简(1-cos α)的结果是.【解析】原式=(1-cos α)====sin α.答案:sin α8.已知tan α=,则= ;cos2α-sin2α=. 【解析】因为tan α=,所以===3-2,cos2α-sin2α====.答案:3-2四、解答题(每小题10分,共20分)9.(1)若π<α<,化简:+;(2)求证:=cos2θ-sin2θ.【解析】(1)原式=+=+=,因为π<α<,所以原式=-.(2)===cos2θ-sin2θ.10.(2020·济南高一检测改编)已知sin α=-,且α是第象限角.从①一,②二,③三,④四,这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上,并根据你的选择,解答以下问题:(1)求cos α,tan α的值;(2)化简求值:.【解析】(1)因为sin α=-,所以α为第三象限角或第四象限角;若选③,cos α=-=-,tan α==;若选④,cos α==,tan α==-.(2)原式=====.1.(2020·忻州高一检测)如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),我们把称为α的正割,记作sec α;把称为α的余割,记作csc α. 则sec÷csc=( )A. B.- C. D.-【解析】选B.由题意结合新定义的知识可得===tan α,则sec÷csc=tan=-.2.已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦、余弦,则实数m的值为.【解析】由题意知Δ=4(m+1)2-16m≥0,解得m∈R.不妨设sin A=x1,cos A=x2,A∈,则x1,x2>0,x1+x2=(m+1),x1·x2=m,即sin A+cos A=(m+1),sin Acos A=m,所以1+2×m=(m+1)2,解得m=或m=-.当m=-时,sin Acos A=-<0,不合题意,舍去,故m=. 答案:。
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[A 基础达标]
1．若sin α＋sin 2α＝1，那么cos 2α＋cos 4α的值等于( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选B.由sin α＋sin 2α＝1，得sin α＝cos 2α，所以cos 2α＋cos 4α＝sin α＋sin 2
α＝1.
2．已知角α是第三象限的角，cos α＝－12
13，则sin α＝( )
A.513 B ．－5
13
C.512
D ．－512
解析：选B.因为α是第三象限的角， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－
1－⎝⎛⎭⎫－12132
＝－513
. 3．若α∈[0，2π)，且有1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )
A.⎣
⎡⎭⎫0，π2
B.⎣⎡⎦⎤π
2，π C.⎝⎛⎭
⎫π
2，π D.⎣
⎡⎦⎤π，32π 解析：选B.因为1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧sin α≥0，
cos α≤0，又α∈[0，2π)，
所以α∈⎣⎡⎦
⎤π
2，π，故选B.
4．若sin θ·cos θ＝1
2，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )
A ．－2
B ．2
C ．±2
D.1
2
解析：选 B.tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θ cos θ＝1sin θ cos θ＝1
1
2＝2，选
B.
5．若tan α＝3，则2sin αcos α＝( )
A ．±35
B ．－35
C.35
D.45
解析：选C.2sin αcos α＝
2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝610＝3
5
.
6．已知sin αcos α＝1
5
，则sin α－cos α＝________．
解析：(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝1－2sin αcos α＝3
5
，则sin
α－cos α＝±15
5.
答案：±
155
7．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1
tan 2α＝________．
解析：因为tan α＋1tan α＝1
cos αsin α＝3，
所以sin αcos α＝1
3.
又tan 2
α＋1tan 2 α＝⎝
⎛⎭⎫tan α＋1tan α2－2＝9－2＝7， 所以tan 2 α＋1
tan 2 α
＝7. 答案：13
7
8．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π
2，tan α＝2，则cos α＝________．
解析：由α∈⎝⎛⎭⎫π，3
2π及tan α＝2， 得sin α＝2cos α<0，
又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝－55
. 答案：－
55
9．已知tan α＝2
3，求下列各式的值．
(1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α； (2)1
sin αcos α
； (3)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α.
解：(1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α
＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α
1－tan α
＝1－231＋23＋1＋231－23＝265.
(2)1
sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α ＝tan 2α＋1tan α
＝136.
(3)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α ＝sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α
sin 2α＋cos 2α
＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1
＝49－43＋4
49
＋1＝2813.
10．求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
证明：右边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α)＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝左边，
所以2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
[B 能力提升]
11．已知△ABC 中，tan A ＝－5
12，则cos A ＝( )
A.1213
B.513 C ．－513
D ．－1213
解析：选D.因为tan A ＝－5
12，又A 是三角形的内角，
所以A 是钝角． 因为sin A cos A ＝－512，
所以－5cos A ＝12sin A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝－1213
.
12．已知sin θ－cos θ＝1
2，则sin 3θ－cos 3θ＝________．
解析：由已知得，1－2sin θcos θ＝1
4
，
所以sin θcos θ＝3
8
.
所以sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝1
2×⎝⎛⎭⎫1＋38＝1116. 答案：11
16
13．化简：1
cos 2α1＋tan 2α－
1＋sin α
1－sin α
(α为第二象限角)．
解：因为α是第二象限角， 所以cos α<0. 则原式＝
1
cos 2α·1＋sin 2αcos 2
α
－
（1＋sin α）2
1－sin 2α
＝1
cos 2α·cos 2αcos 2α＋sin 2α－1＋sin α
|cos α|
＝
－cos αcos 2α＋1＋sin αcos α＝－1＋1＋sin αcos α＝sin α
cos α
＝tan α.
14．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝1
5，求下列各式的值．
(1)sin x －cos x ； (2)1
cos 2x －sin 2x
. 解：(1)因为sin x ＋cos x ＝1
5，
所以(sin x ＋cos x )2＝⎝⎛⎭⎫
152
， 即1＋2sin x cos x ＝125，
所以2sin x cos x ＝－24
25
.
因为(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝49
25，
又－π
2<x <0，所以sin x <0，cos x >0，
所以sin x －cos x <0，所以sin x －cos x ＝－7
5
.
(2)由已知条件及(1)，可知⎩⎨⎧
sin x ＋cos x ＝
1
5
sin x －cos x ＝－7
5
，
解得⎩
⎨⎧
sin x ＝－
3
5cos x ＝4
5
，所以1cos 2x －sin 2x ＝11625－925＝25
7. [C 拓展探究]
15．(2019·南昌检测)设α是第三象限角，问是否存在实数m ，使得sin α，cos α是关于x 的方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数m 满足条件，由题设得，
Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0，①
因为sin α<0，cos α<0， 所以sin α＋cos α＝－3
4m <0②，
sin αcos α＝2m ＋1
8>0③.
又sin 2α＋cos 2α＝1，
所以(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1. 把②③代入上式得⎝⎛⎭⎫－34m 2
－2×2m ＋18＝1， 即9m 2－8m －20＝0， 解得m 1＝2，m 2＝－10
9
.
因为m 1＝2不满足条件①，舍去； 因为m 2＝－10
9不满足条件②③，舍去．
故满足题意的实数m 不存在．
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