拓展资源：一元二次方程备用素材
高中数学 三个“二次”及关系素材
三个“二次”及关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.●难点磁场已知对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x=|a －1|+2的根的取值范围.●案例探究［例1］已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围.命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目. 知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合. 错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.(1)证明：由⎩⎨⎧-=++=bxy c bx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点. (2)解：设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－ab 2,x 1x 2=ac .|A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2]43)21[(4]1)[(44)(4444)2(2222222++=++=---=-=--=a c a c a c a ac c a a ac b a c a b∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0∴a >－a －c >c ,解得a c ∈(－2,－21)∵]1)[(4)(2++=a c a c a c f 的对称轴方程是21-=a c .a c ∈(－2,－21)时，为减函数 ∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3). ［例2］已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义. 错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过) ●锦囊妙计1.二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n .(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21(p +q ). 若－ab2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0,则f (－a b2)=m ,f (q )=M ;若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M ,f (－ab2)=m ;若－ab 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m .2.二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件.(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0; (2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r abac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立.(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p <q )⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a .3.二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0; (2)当a >0时，f (α)<f (β)⇔ |α+a b 2|<|β+a b 2|,当a <0时，f (α)<f (β)⇔|α+ab 2|> |β+ab2|; (3)当a >0时，二次不等式f (x )>0在［p ,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p ab a b f q ab p 或 (4)f (x )>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或 ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞,2] B.[－2,2] C.(－2,2] D.(－∞,－2)2.(★★★★)设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为( ) A.正数 B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能 二、填空题3.(★★★★★)已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________.4.(★★★★★)二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★★)已知实数t 满足关系式33log log aya t a a= (a >0且a ≠1) (1)令t=a x,求y =f (x )的表达式；(2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值.6.(★★★★)如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.7.(★★★★★)二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mrm q m p ++++12=0,其中m >0,求证： (1)pf (1+m m)<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.8.(★★★★)一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？参考答案 难点磁场解：由条件知Δ≤0,即(－4a ）2－4(2a +12)≤0,∴－23≤a ≤2(1)当－23≤a ＜1时，原方程化为：x =－a 2+a +6,∵－a 2+a +6=－(a －21)2+425.∴a =－23时，x mi n =49,a =21时，x max =425.∴49≤x ≤425. (2)当1≤a ≤2时，x =a 2+3a +2=(a +23)2－41∴当a =1时，x mi n =6,当a =2时，x max =12,∴6≤x ≤12.综上所述,49≤x ≤12.歼灭难点训练一、1.解析：当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立.∴a =2,当a －2≠0时，则a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a ≤2.答案：C2.解析：∵f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =21,且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1), ∴m －1＜0,∴f (m －1)>0. 答案：A二、3.解析：只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1.∴p ∈(－3, 23). 答案：(－3，23） 4.解析：由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0. 答案：－2＜x ＜0三、5.解：(1）由log a 33log aya t t =得log a t －3=log t y －3log t a由t =a x知x =log a t ，代入上式得x －3=xx y a 3log -,∴log a y =x 2－3x +3，即y =a 332+-x x(x ≠0).(2)令u =x 2－3x +3=(x －23)2+43 (x ≠0),则y =a u ①若0＜a ＜1,要使y =a u有最小值8，则u =(x －23)2+43在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值.②若a >1,要使y =a u有最小值8，则u =(x －23)2+43,x ∈(0,2]应有最小值∴当x =23时，u mi n =43,y mi n =43a由43a =8得a =16.∴所求a =16,x =23. 6.解：∵f (0)=1>0(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意.(2）当m >0时，则⎪⎩⎪⎨⎧>-≥∆030mm 解得0＜m ≤1综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}. 7.证明：(1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m m pf ++++=+ ])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p m pm pm m r m q m pm pm)2()1(122++-=m m pm ,由于f (x )是二次函数，故p ≠0,又m >0,所以，pf (1+m m)＜0.(2)由题意，得f (0)=r ,f (1)=p +q +r ①当p ＜0时，由(1）知f (1+m m)＜0 若r >0,则f (0)>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(0，1+m m)内有解; 若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(－m r m p -+2)+r =mrm p -+2>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(1+m m,1)内有解.②当p ＜0时同理可证.8.解：(1）设该厂的月获利为y ,依题意得 y =(160－2x )x －(500+30x )=－2x 2+130x －500由y ≥1300知－2x 2+130x －500≥1300∴x 2－65x +900≤0，∴(x －20)(x －45)≤0，解得20≤x ≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.(2）由(1）知y =－2x 2+130x －500=－2(x －265)2+1612.5∵x 为正整数，∴x =32或33时，y 取得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.。
应用一元二次方程资料课件
在电磁学中，一元二次方程被用来描述电场和磁场的行为。
量子力学
在量子力学中，一元二次方程被用来描述粒子的能量和波函数。
04
CATALOGUE
一元二次方程的拓展知识
一元高次方程的概念
一元高次方程的定义
一元高次方程是指含有一个未知数，且未知数的最高次数为n次的方程。其中n 大于等于3。
一元高次方程的标准形式
使用说明
在使用公式法时，需要注意判 别式的定义域，以及根号中的
数值必须是非负数。
因式分解法
总结词
详细描述
通过因式分解将一元二次方程转化为两个 一次方程，从而求解。
因式分解法是一种基于因式分解的一元二 次方程求解方法，通过因式分解将一元二 次方程转化为两个一次方程，从而求解。
公式示例
使用说明
对于方程 $ax^2 + bx + c = 0$，通过因 式分解可以得到 $(x + m)(x + n) = 0$，进 而得到 $x = -m$ 或 $x = -n$。
牛顿迭代法
通过牛顿迭代公式，逐步逼近一元高次方程的解 。
一元高次方程的应用举例
求解实际问题中的一元高次方程
01
例如，求解一个工程问题的数学模型，该模型包含一个一元高
次方程。
在物理学中的应用
02
例如，在研究物体的运动时，需要求解一个一元高次方程来描
述物体的轨迹。
在经济学中的应用
03
例如，在研究商品价格与需求量的关系时，需要求解一个一元
配方法例题解析
总结词
配方法是解一元二次方程的一种常用方法，通过配方将二 次方程转化为一次方程，从而求解出方程的根。
详细描述
九年级数学一元二次方程总复习资料
九年级数学一元二次方程总复习资料一、知识扫描1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.因此，由一元二次方程的定义可知，即一元二次方程必须满足满足以下三个条件：①方程的两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。
这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。
例如：535,53,02,3422222+===-+-x x x x x x x 都是一元二次方程。
而03132=-+x x不是一元二次方程，原因是x1是分式。
2.任何关于x 的一元二次方程的都可整理成)0(02≠=++a c bx ax 的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式，它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax 叫二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
注意b 、c 可以是任何实数，但a 绝对不能为零，否则，就不是一元二次方程了。
化一元二次方程为一般形式的手段是去分母、去括号、移项、合并同类项，整理后的方程最好按降幂排列，二次项系数化为正数。
注意任何一个一元二次方程不可缺少二次项，担可缺少一次项和常数项，即b 、c 均可以为零。
如方程013x 023x 02222=-=-=、、x x 都是一元二次方程。
3．一元二次方程的解. 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根。
如x=1时，022=-+x x成立，故x=1叫022=-+x x的解。
4.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是通过降次转化为一元一次方程，本节共介绍了四种解法。
（1）直接开平方法：方程)0(2≥=a a x的解为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。
它是利用了平方根的定义直接开平方，只要形式能化成()a =2的一元二次方程都可以采用直接开平方法来解。
实用文档之一元二次方程讲义——绝对经典实用
实用文档之"一元二次方程"基础知识1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。
如：24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 200++=≠（），2412x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2. 一元二次方程求根方法 （1）直接开平方法形如x m m 20=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
（2）配方法通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥20（）的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
（3）公式法求根公式：方程ax bx c a 200++=≠（）的求根公式x b b ac ab ac =-±--≥224240（）步骤：1）把方程整理为一般形式：ax bx c a 200++=≠（），确定a 、b 、c 。
2）计算式子b ac 24-的值。
3）当b ac 240-≥时，把a 、b 和b ac 24-的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习 知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。
九年级一元二次方程专题复习.doc
一元二次方程专题复习【知识回顾】1.灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的-•般形式：做2+bx + c = 0(dH0)四种解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，公式法:(戸一4必$0)注意：(1) 一定要注意QHO，填空题和选择题中很多情况下是在此处设陷进;(2)掌握一元二次方程求根公式的推导；(3)主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次” •2.根的判别式及应用(A = &2-4ac)：(1)一元二次方程ax2 +加+ c = 0(a工0)根的情况：①当A>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△ = ()时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根.(2)判定一元二次方程根的情况；(3)确定字母的值或取值范围。
3.根与系数的关系(韦达定理)的应用：b c韦达定理:如一元二次方程ax1 +Z?x + c = 0(«^0)的两根为,则西+无=——，占•匕=— a ~ a适用题型：(1)已知一根求另一•根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)己知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号：(西,召是方程两根)；(6)题冃给出两根Z间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是/?/△的两直角边求斜边等悄况.注意：(1 ) %]2 + =(X] + 兀2)~ — 2兀]• X,(2) (x, -x2)2 = (Xj +x2)2 -4^ -x2；x} -x2 =+x2)2 -4x, -x 2A>0（3）①方程有两正根，贝iJ<X]+兀2>0；-x2 > 0A>0②方程有两负根，贝IJ西+兀；x l-x2>0[A>0③方程冇一正一负两根，贝叽“[x A -x2 < 0[A>0④方程一根人于1,另一根小于1,贝几仃 .、八[（x, — l）（x2 -l）<0（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时, 一•般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以西,吃为根的一元二次方程为X2-U.十兀2）兀+西*2 =0 ；求字母系数的值时，需使二次项系数QH0，同时满足△》（）；求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根Z和坷+乞，两根Z积旺的代数式的形式，整体代入。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程一元二次方程中的思想方法同步辅导素材
1 一元二次方程中的思想方法一、转化思想例1 对于实数a ，b ，我们定义一种运算“※”为：a ※b =a 2-ab ，例如1※3=12-1×3.若x ※4=0，则x =______.分析：观察“新运算”的要求，将新运算转化为我们熟悉的运算，再解方程可得x 的值.解：由题意，得x ※4=x 2-4x =0，解得x 1=0，x 2=4.故答案为0或4.二、整体思想例2 已知x 2-2x -3＝0，则2x 2-4x 的值为 （ ）A ．-6B ．6C ．-2或6D ．-2或30分析：先将条件变形为x 2-2x ＝3，再将2x 2-4x 转化为2（x 2-2x ）的形式，把x 2-2x ＝3整体代入即可．解：将x 2-2x -3＝0，变形为x 2-2x ＝3，所以2x 2-4x ＝2（x 2-2x ）=2×3＝6，故选 B ． 三、分类讨论思想例3 等腰三角形一条边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2-12x＋k =0的两个解，则k 的值是 （ ）A ．27B ．36C ．27或36D ．18分析：题中没有说明已知的边长3是腰还是底边，故需要分腰为3，或底边为3两种情况讨论，分别代入求出k 的值，再根据三角形任意两边之和大于第三边舍去不符合题意的答案.解：当等腰三角形的腰长为3时，则x=3也是一元二次方程x 2-12x ＋k=0的一个解，把x =3代入x 2-12x ＋k =0，解得k =27.此时方程的另一解为9，则三角形的底边长为9.因为3+3＜9，所以不能组成三角形，故k ≠27.当等腰三角形底边长为3时，一元二次方程x 2-12x ＋k=0有两个相等的实数根，则∆=0，即122-4k=0，解得k =36，此时方程的解为x 1=x 2=6，等腰三角形的三边长分别为3，6，6，满足三角形的三边关系.故选B.例4 已知关于x 的方程0342=+-x kx 有实数根,试求k 的取值范围.分析：方程“有实数根”,既可以是“有一个实数根”,也可以是有“有两个实数根”,即方程既可以是一元一次方程,也可以是一元二次方程,故需按0=k 和0≠k 来分类讨论. 解： 当k =0时，原方程为034=+-x ，这时有一个实数根43=x . 当0≠k 时,方程有两个实数根，则34)4(2⋅--=∆k ≥0，解得k ≤34，且k ≠0. 综上所述, k 的取值范围应为k ≤34.。
《一元二次方程的应用》参考课件资料重点
0.8 x1 0.018 1.8%; x2 2.518 0(不合题意,舍去).
答 : 这种储蓄的年利率约是1.8%.
• 列方程解应用题的关键是:
找出相等关系.
• 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关 系:
b （a 1 x）2其中a表示基数,x表示增长
解 : 设每月平均增长率为x, 根据题意, 得
5(1 x)2 11.25.
解这个方程 : (1 x)2 2.25,
(1 x) 1.5, x 11.5,
x1 11.5 50%; x2 11.5 0(不合题意,舍去). 答 : 每月的平均增长率为50%.
用一元二次方程解应用题
4.某种药剂原售价为4元, 经过两次降 价, 现在每瓶售价为2.56元,问平均每次 降价百分之几?
5.小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期 储蓄, 到期后自动转存. 今年到期扣除利息税( 利息税为利息的20%), 共取得5145元. 求这种 储蓄的年利率. (精确到0.1%)
解 : 设这种储蓄的年利率为x, 根据题意, 得
5000(1 80x%)2 5145.
解这个方程 : (1 0.8x)2 1.029,
解 : 设每次平均降价的百分数为x, 根据题意, 得
(1 x)2 1 . 2
解这个方程 : (1 x) 2 , 2
x 1 2 , 2
x1 1
2 2
29.29%; x2
1
2 1(不合题意,舍去). 2
答 : 每次平均降价的百分数约为29.29%.
用一元二次方程解应用题
3.某工厂一月份的产值是5万元, 三月份的产值 是11.25万元, 求月平均增长率是多少?
2022年秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程素材 (新版)湘教版
第2章一元二次方程2.1一元二次方程素材一新课导入设计置疑导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入如图2－1－1，学校活动教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境，结合已知量，你能求四周未铺地毯的条形区域的宽度吗？图2－1－1[说明与建议] 说明：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求．建议：结合情景，鼓励学生小组合作，寻找身边的方程实例，学会找等量关系，为本节课的学习做好铺垫．归纳导入如图2－1－2，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm.在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖长方体铁盒．如果要制作的无盖铁盒的底面积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？图2－1－2[说明与建议] 说明：通过图形的变化让学生感知等量关系的确定，整理所得到的方程，通过观察其特征归纳出一元二次方程的定义．建议：先用多媒体动画演示无盖长方体铁盒的制作过程，感知长方体铁盒的底面积即是中间小长方形的面积，引导学生发现小长方形的长、宽的表示方法．在得到一元二次方程的定义时，抓住三个关键点分析：一是含有一个未知数，二是整式方程，三是未知数的最高次数是2.悬念激趣《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？你能找出题中所涉及的一元二次方程吗？[说明与建议] 说明：通过中国古代提出的问题来调动学生求知的欲望，引导他们分析问题找到等量关系，进而列出一元二次方程．在思考中增强自己的感性认识与经验，进而上升到理性观察、思考与推理论证．建议：留给学生自主思考的时间，然后引导学生进行分析，为进一步学习积累数学活动经验．素材二 教材母题挖掘29页习题2.1T3已知一个数x 与比它大2的数的积等于35，请根据题意，列出关于x 的方程，这个方程是一元二次方程吗？【模型建立】分析：根据两数的积等于35列方程．一个数为x ，另一个比它大2的数为(x ＋2)，所以列方程为：x (x ＋2)＝35，即x 2＋2x －35＝0.根据一元二次方程的定义可知它的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 是常数，a ≠0)，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．【变式变形】1．下列方程中，哪些是一元二次方程？①x 3－2x 2＋5＝0；②x 2＝1；③5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋35；④2(x ＋1)2＝3(x ＋1)；⑤x 2－2x ＝x 2＋1；⑥ax 2＋bx ＋c ＝0.[答案：②③④]2.试判断：关于x 的方程(2a －4)x 2－2bx ＋a ＝0. (1)何时为一元一次方程？(2)何时为一元二次方程？[答案：(1)a ＝2，b ≠0 (2)a≠2]3．写出下列方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．①4x 2－4x ＋1＝0；②5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34.[答案：列表如下：]题号 二次项 二次项系数一次项 一次项系数常数项 ① 4x 24 －4x －4 1 ②4x 24－14.将方程(x ＋1)＋(x －2)(x ＋2)＝1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．[答案：2x 2＋2x －4＝0，二次项为2x 2，二次项系数为2；一次项为2x ，一次项系数为2；常数项为－4.]素材三 考情考向分析[命题角度1] 利用一元二次方程的概念判断利用一元二次方程的概念判断方程为一元二次方程，应紧扣以下三个特征：①只含有一个未知量；②未知量的最高次数是2；③是整式方程．特别要注意在判断一元二次方程时要先把方程整理成一般形式，再进行判断．例 [常宁期中] 下列方程中，一元二次方程有( A )(1)3x 2＝－1；(2)13x2＝3；(3)3x 2＋2y －1＝0；(4)ax 2－2x ＋1＝0(a 是实数)；(5)2x(3x ＋2)＝(x ＋1)(6x －3)． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[命题角度2] 利用一元二次方程的概念求字母系数的值或范围利用一元二次方程的二次项系数不为零或未知数的最高次数为2，求字母系数的值．例 [枣庄模拟] 求证：关于x 的方程(m 2－8m ＋17)x 2＋2mx ＋1＝0，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．证明：因为二次项系数m 2－8m ＋17＝(m －4)2＋1，不论m 取何值，二次项系数都不等于0，所以该方程一定是一元二次方程．[命题角度3] 一元二次方程的一般形式命题方向常要求把非一般形式的一元二次方程化成一般形式；或要求指出一元二次方程的二次项或二次项系数，一次项或一次项系数，常数项；或求与系数有关的代数式的值．特别注意在确定a ，b ，c 的值时要包含它前面的符号．例 [滕州模拟] 一元二次方程a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋c ＝0化为一般形式后为3x 2＋2x －1＝0，试求a 2＋b 2－c 2的算术平方根．解：a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋c ＝0化成一般形式为：ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＋c ＝0，故a ＝3，2a＋b ＝2，a ＋b ＋c ＝－1，所以a ＝3，b ＝－4，c ＝0，故a 2＋b 2－c 2＝25，故其算术平方根为5.[命题角度4] 建立一元二次方程模型读懂题目，审清题意，明确已知和未知以及它们之间的关系，找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出方程．(只列方程)例 [襄阳中考] 用一条长40 cm 的绳子围成一个面积为64 cm 2的长方形．设长方形的一边长为x cm ，则可列方程为( B )A ．x(20＋x)＝64B ．x(20－x)＝64C ．x(40＋x)＝64D ．x(40－x)＝64素材四 教材习题答案P 28练习1．请用线把左边的方程与右边所对应的方程类型连接起来： 2x 2＋5x ＝x 2－3 一元一次方程(x ＋1)2－1＝x 2＋4 一元二次方程 3x ＋5＝2x －11x －2＝3x分式方程 解：第一个是一元二次方程，第二、三两个是一元一次方程，第四个是分式方程． 2．下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x 2＝49；(2)5x 2－2＝3x ；(3)0.01t 2＝2t ；(4)(9y －1)(2y ＋3)＝18y 2＋1.解：(1)是4、0、－49；(2)是5、－3、－2;(3)是0.01、－2、0；(4)不是．P28习题2.11．下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)x2＋5x＝6；(2)3x－4＝x2；(3)(10－2x)(6－2x)＝32；(3)(3x－2)2＝3x(3x－5)．解：(1)是1、5、－6；(2)是1、－3、4；(3)是1、－8、7；(4)不是．2．选择题：(1)某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价率都为x，则平均降价率x应满足的方程为( )A．55(1＋x)2＝35B．35(1＋x)2＝55C．55(1－x)2＝35D．35(1－x)2＝55(2)某超市1月份的营业额为36万元，3月份的营业额为49万元．设第月营业额的平均增长率都为x，则平均增长率x应满足的方程为( )A．49(1＋x)2＝36B．36(1－x)2＝49C．36(1＋x)2＝49D．49(1－x)2＝36解：(1)C(2)C3．已知一个数x与比它大2的数的积等于35.请根据题意，列出关于x的方程，这个方程是一元二次方程吗？[答案] x(x＋2)＝35 是4．如图，将一根长为64 cm的铁丝剪成两段，每段均折成一个正方形．若两个正方形的面积和为160 cm2，且其中一个正方形的边长为x cm.请根据题意，列出关于x的方程．解：x2＋(16－x)2＝160.5．下列方程中，哪些是一元二次方程？(1)3(1＋x)2＝3x＋7；(2)3(1＋x)2＝x(3x＋7)；(3)px2＋x－4＝x(px－1)．解：第一个是，其他都不是．6．如图，在一块边长为x cm的正方形铁皮的四角各截去一边长5 cm的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是2 000 cm 3.请根据题意，列出关于x 的方程．解：5(x －10)2＝20007．长5 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3 m ．已知梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，设梯子顶端向下滑动的距离为x m ．请根据题意，列出关于x 的方程．解：由题意得，未滑动前梯子的顶端离墙的距离为4 m ，则(4－x)2＋(3＋x)2＝52.素材五 图书增值练习 专题 一元二次方程定义的应用1．若x 3－a ＋3x －10＝0和x 3b －4＋6x ＋8＝0都是一元二次方程，求(a ＋b )的值．2．若设a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．且⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －22＋|b －3|＋a ＋b ＋c＝0.请写出关于x 的一元二次方程．3．若(m －2)x |m |＋9x ＋7＝0是一元二次方程，且m 满足不等式4m ＋n ＞0，求n 的取值 范围． 参考答案：1．分析：由一元二次方程的定义，知每个方程x 的最高次数均为2次． 解：依题意⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＝2，3b －4＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴a ＋b ＝3.2．分析：已知条件中的等式是典型的多个非负数之和为0的情形，可利用非负数的性质作为问题的切入点． 解：由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －22＝0.|b －3|＝0，a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝4， b ＝3. 代入a ＋b ＋c ＝0 得c ＝－7. ∴要求的方程为4x 2＋3x －7＝0.3．分析：由一元二次方程的定义可求出m 的值，进而将m 的值代入不等式4m ＋n ＞0中解关于n 的不等式．解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧|m |＝2，m －2≠0，解得m ＝－2.∴原不等式变为4×(－2)＋n ＞0，∴－8＋n ＞0，∴n ＞8.素材六 数学素养提升《巴拿赫的年龄》巴拿赫（ S.Banach ），1892年3月30日生于波兰的克拉科夫，1945年8月31日卒于苏联乌克兰加盟共和国的利沃夫，为了表示对这位杰出数学家的悼念，1960年在波兰召开的泛函分析国际会议上，举行了纪念巴拿赫的仪式，特别编写了一道关于他的生平的智力试题：巴拿赫病故于1945年8月31日。
九年级数学上册244一元二次方程的应用专题一元二方程的有关应用素材(新版)冀教版.docx
专题：一元二方程的有关应用1.考点分析一元二次方程的应用是中考命题的热点，命题形式比较灵活，既可单独成题，又可综合函数來命题，本节考查的主要知识点包括增长率、利润等问题，这些与经济有关的应用题是近几年各地中考的热点，题型包括填空题、选择题、解答题，解答题中，许多题目与函数相关，综合性较高，应用题主要考查收集和处理信息的能力、分析和解决问题的能力及创新实践能力2.典例剖析例1. （2007年安徽省））据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限, 2006年的利用率只有30%,大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%,求每年的增长率.（取V2 ~1.41）分析：本题属于平均增长率问题，可设每年产出的农作物秸杆总量为a,平均增长率为x,那么增长1次后的总量为30%a （1+x）,增长1次后的总量为30%a （1+x）2,再根据题意就很容易列出方程了解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a,合理利用量的增长率是x,由题意得：30%a （1+x）2=60%a,即（1+x）2=2.Axi^O. 41, X2〜一2.41 （不合题意舍去）.・・・x~0. 41.即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%.点评：对于增长率问题，我们可选用公式：a （1+x）“二b,其中a是增长前的基数，b 是增长后的数量，n是增长的次数，x当然就是增长率，当然具体问题还是要具体分析，否则会不合题意出现错误！例2. （2007南充）在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图1①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图1②）•如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽.图1(1) 图 1 (2)分析：只要理解题意，根据等量关系，列出方程即可.解：设金色纸边的宽为才分米，根据题意，得：（2丹6）（2对8） =80. 解得：山=1,牙2=—8 （不合题意，舍去）.答：金色纸边的宽为1分米.点评:本题是一道一元二次方程的实际应用问题，只要注意列方程解应用题的一般步骤: 审、设、列、解、验、答等步骤，同时第（2）又是一个小探究说理题，只要利用根的判别式问题是不难解决的.专练：1.（2007台州）据2007年5月8日《台州晚报》报导，今年“五一”黄金周我市各旅游景点共接待游客约334万人，旅游总收入约9亿元.己知我市2005年“五一”黄金周旅游总收入约6. 25亿元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为（）A. 12%B. 16%C. 20%D. 25%2.（2007安徽）据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用塑十分有限，2006 年的利用率只有30%,大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变, 且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%,求每年的增长率.（取血~1.41）3.（2007宜宾）某商场将某种商品的售价从原來的每件40元经两次调价后调至每件32. 4 元.（1）若该商店两次两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价0. 2元，即可多销售10件.若该商品原来每月可销售500 件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件?4.桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽.5.某商场在“五一节”的假日里实行让利销售，全部商品一律按九销售，这样每天所获得的利润恰是销售收入的20%,如果第一天的销售收入4万元，且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1. 25万元，（1）求第三天的销售收入是多少万元？（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？6.为了把一个长100m宽60m的游泳池扩建成一个周长为600 m的大型水上游乐场，把游泳池的长增加xm,那么x等于多少时，水上游乐场的面积为20000 〃？如果能，求出x的值；如果不能，请说明理由.7.今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税.某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同.（1）求降低的百分率；（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税.8.某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg,销售单位每涨1元，月销售量就减少Wkg ,针对这种水产品的销售情况, 超市在月成本不超过1OOOO元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？参考答案:1.C；2.解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a,合理利用量的增长率是x,由题意得:30%a （1+x） =60%a,即（1+x）2=2, Ax^O. 41, x2^-2. 41 （不合题意舍去）.・・・x~0. 41,即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%.3.由题意得：40 (1-x) =32. 4,解得：Xi=0. 1, x2=1.9 (舍去)；4・解：设台布各边下垂相同宽度为兀米，由题意得：2x6x4 = (6 + 2x)(4 + 2x)解之得：禹=-6 (不符题意，舍去)，所以x = l,答：台布的长是8米和宽是6米5.(1)6.25 (2) 25%6.(1)长增加100米，宽增加40米或长不增加，只把原来的宽增加140米；长增加50米，宽增加90米；不能.° 47.解：(1)设降低的百分率为兀，由题意得：25(1 +兀)2 =16, ・・.l + x = ±—5 4：.x = -l±-, A %, =-0.2 =-20% , x2 =-1.8 = -180% (不符题意，舍去)・••降低的百分率为20%(2)25x(1-02)x4 = 10 (元)，25-10 = 15 (元)，.*.15x4 = 60 (元)(3)略8.解：售价兀元,(%-40)[500-(x-50)• 10] = 8000 , %2-140%+ 4800=0,(% — 60)(% — 80) = 0 , x} = 60,x2 = 80 ,当x = 60时，销售量为：400kg成本：16000元＞10000元(不合题意，舍)，x = 80时，销售量为：200畑，成本为8000兀；答：定价为80兀.。
九年级数学上册 22.1一元二次方程 一元二次方程的根素材 新人教版
一元二次方程的根
能够使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，这与一元一次方程，二元一次方程的解的意义一样.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
检验一个未知数的值是否是一元二次方程的解的方法：将未知数的值代入方程的左，右两边，分别计算结果，再比较左右两边是否相等，如果左右两边相等，则未知数的值是原方程的解，否则就不是原方程的解.
另外，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．。
九年级数学一元二次方程资料
初中数学的重点内容，学好一元二次方程意义深远。
许多同学由于对这一部分内容理解不透，知识掌握不系统，以致学习中形成很大的学习障碍，常出现畏难情绪。
根据笔者的教学经验，我们认为学好一元二次方程应注意以下几个方面。
一、理解一个概念学习一元二次方程，首先要认识一元二次方程，课本中给出的定义是：“在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程”。
其中包含三个方面的意思：一是方程中只含有一个未知数（未知数唯一），二是未知数的最大指数是2，二次项系数不等于0；三是一元二次方程的整式方程（而非分式方程）。
此三者缺一不可，其一般形式为ax bx c 20++=（a ≠0）。
判断一个方程是否是一元二次方程，要将方程化为一般式。
例1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A. x x y 221++= B. x x2110+-= C. x 20= D. ()()x x x ++=-2312分析：方程（A ）含有两个未知数，方程（B ）左边是分式，方程（D ）整理后是5x+7=0，是一元一次方程。
（答案为C ）例2. 关于x 的方程()m x mx ++-=12302是一元二次方程，则m 的取值范围是___________。
解：据一元二次方程定义可知m +10≠即m ≠-1。
二、掌握四种解法一元二次方程的解法是这一部分内容的重点。
一元二次方程有四种解法：即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，其基本思想是降次。
四种解法又各有特点，只有准确把握，解方程时才会得心应手。
直接开平方法适宜于解形如ax b b 20=≥()的方程；配方法与公式法是通法，适合任何形式的一元二次方程，其中求根公式的条件是b ac 240->。
而因式分解法适合的方程是：一边为零而另一边易于分解成两个一次因式的积的方程（其依据是若ab=0，则a=0，或b=0）。
在遇到不同形式的方程时，要根据方程的特点选择恰当的方法求解。
人教版九年级上册数学一元二次方程复习资料.doc
I 一元二次方程一、知识结桁「1'解与-解法一元二次方程=>< 根的判别韦达定理*二、考点精析挎点_、槪态|⑴定义：|①牙含亩一个不纠朝，并且②不卸瑕即最哥姿瑕是2 ,这样的③整戎方程就是一元二次方程。
週M若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：变式：当k 不是1 时,关于X的方程kx2^2x = x2+3是一元二次方程。
2、方程（也+ 2斤岡+ Six + 1 = 0是关于x的--元二次方程，则m的值为 2 。
针对练习：|★ 1、方程8x2 =7的一次项系数是一（）,常数项是一・7 。
★2、若方程（m- 2）x "归=0是关于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程恃点二、方程苗解⑴概念：|使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。
2、关于X的一元二次方程（°一2>2+x + a2-4 = 0的一个根为0,则a的俏为-23、已知关于x的一元二次方程ax2 -hbx + c = 0（a^0）的系数满足a + c = b,则此方程必有根为-1 。
★ 1、已知方程x2+kx-\0 = 0的一根是2,则k为____________________ , -另一根是一-5★★4、已知d 是X2-3X +1= 0 的根，则2a2 -6a= __________ 2★★★6、若2无+ 5y-3 = 0.奶4「32J 8 。
⑴方法：|①直接开方法;②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次 类型一、直接开方法：x 2 = > 0）,=> % = ±4rn ※※对于(x + a)2 =m , (ax + m)2 = (bx + H )2等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程：(1)2/-8 = 0; (2)、9(x -I)2 =16(x + 2)2 (3X1 - %)2 - 9 = 0; 类型二、因式分解法I ：（兀一兀I X 兀一兀2 ） = ° =* X 二尢I ，或X =兀2※［方程特点：|左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”, 典型例题：|例 1、2x （x - 3）= 5（x - 3）的根为（3 或 2|5 ）变式2：若（兀+yX?—兀一『）+3 = 0,贝iJ x+y 的值为 ______变式 3：若无2+xy+y = 14, y 2 + xy + x = 28 ,贝ij x+y 的值为________ H★ ★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数：_⑵写出一个一元二次方程，耍求二次项系数不为1, n 两根互为相反数： _________________, 15、方程：/+2的解是_ 匸负1 。
九年级数学上册44用因式分解法解一元二次方程因式分解法试题资料库素材素材
因式分解法资料库：例1. 用因式分解法解以下方程〔1〕224(3)25(2)0x x ---= 〔2〕22(1)1t t -+=分析：用因式分解法解一元二次方程关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是掌握因式分解两种方法〔提取公因式法、公式法〕.此题中的第〔1〕题，就是利用平方差公式，第〔2〕题就要用到提取公因式法.解：〔1〕原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x ---= 方程左边分解因式得：[2(3)5(2)][2(3)5(2)]0x x x x -+----=整理，得：〔7x －16〕〔－3x ＋4〕＝0∴7x －16＝0或者－3x ＋4＝0 ∴原方程的解是12164,73x x ==〔2〕移项，得22(1)(1)0t t -+-=方程左边分解因式，得：(1)[2(1)1]0t t --+=整理，得：(1)(21)0t t --=∴t －1＝0或者2t －1＝0 ∴原方程的解是1211,2t t ==.例2.用因式分解法解以下方程：. 〔1〕()()t t t -+=342〔2〕()()()21212y y y y +-=-〔3〕()()()232342a a a -=-- 〔4〕x x x x x 233322313+--=-()()解：〔1〕去括号，整理得：t t 2120--=因式分解，得：()()t t -+=430∴-=t 40或者t +=30∴==-t t 1243，〔2〕整理得：32102y y +-=因式分解得：()()y y +-=1310∴+=y 10或者310y -= ∴=-=y y 12113， 〔3〕整理得：a a 2210-+=因式分解得：()a -=102 ∴==a a 121〔4〕整理得：233322312()()()x x x x x +--=- 269662222x x x x x +-+=-27602x x -+=因式分解得：()()x x --=2230∴-=x 20或者230x -= ∴==x x 12232，例3.解方程：3x(x －4)＝5(x －4)解：移项3x(x －4)－5(x －4)＝0提取公因式(x －4)得(x －4)(3x －5)＝0得x －4＝0或者3x －5＝0所以x x 12453==，(2x －1)2－7＝0解：原方程可变形为 [()][()]2172170x x -+--= 21702170x x -+=--=或x x 1212171217=-=+()()，例5. 解以下方程：〔1〕3x 2－16x ＋5＝0；〔2〕3(2x 2－1)＝7x〔3〕2x 2－7x ＋3＝0 解：〔1〕方程左边运用十字相乘，得()()3150x x --=，所以x x 12135==，。
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备用素材
本节课的内容是北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程的第一节的第二课时.对于本节课我刚开始感觉有点无从下手，“夹逼”的思想由何而来？在本节课中有着怎样的应用？我感觉学生不知从何学起，并且抓不到具体的知识点，在认真研读教材查阅资料的基础上，我把本节课的实际教学过程中的几个点写出来，以供老师们参考.
这节课开始我设置了一个问题情境如下：“有一根带有塑料皮长为100m的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速找到这一处断裂处？先让学生进行讨论，然后让各小组代表提出该组讨论出的方法进行比较，后来我总结出方法.用万用表先量出1～50m是否通，这样就能排除50m没有问题的电线，其次再用同样的方法测量1～25m的电线是否有问题，然后又可以排除25m，如此下去，就能很快找到断裂处的范围.我感觉这种设置既贴近学生生活实际，又关注了数学本身的要求.这个实例不但激发了学生的学习兴趣，还能很好地让学生体会和理解“夹逼”的思想.并且我在学生探索的过程中采用鼓励和引导的方法.
通过对上述问题提出的方法进行讨论，培养学生自主探索合作交流等良好的学习习惯.在自主探索合作交流中学生的自豪感和成功感得到升华.通过对上述方法的讨论和对比，自然得到“夹逼”思想解决一元二次方程的方法，并由学生概括得出用“夹逼”思想解一元二次方程的实质及步骤：（1）在未知数x的取值范围内排除一部分取值.（2）根据题意所列的具体情况再次进行排除.（3）列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选.（4）最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.在此基础上，再利用接下来的题目让学生体会“夹逼”思想在具体问题情境中的应用.。