微分算子法典型例题讲解

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微分算子法

高阶常微分方程的微分算子法撰写摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。

但是有一个例外：常系数线性微分方程。

我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐次方程的特解。

本节主要讨论微分算子法。

1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解记()n n yD y =，将方程写成32230D y D y Dy --=或32(23)0D D D y --=我们熟知，其实首先要解特征方程32230D D D --=得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x xe e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解3123x xy C C e C e -=++注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是1111()()()()()n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++=L 其中系数1(),,()n a x a x L 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成11()(()())n n n L y D a x D a x y -≡+++L()f x =可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。

本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。

2.求解 61160y y y y ''''''-+-=解写成 32(6116)0D D D y -+-=从特征方程3206116D D D =-+-(1)(2)(3)D D D =---解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解23123x x xy C e C e C e =++3.求解 39130y y y y ''''''-++=解写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3xe x ，2sin 3x e x 从而通解是22123cos3sin 3x x xy C e C e x C e x -=++4.求(4)45440yy y y y ''''''-+-+=之通解.解写成432(4544)0D D D D y -+-+=或 22(2)(1)0D D y -+=特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++5.求1(cos )y y x -''+=的通解解本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+设原方程有特解形为*12()cos ()sin y C x x C x x =+其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组12112()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩或12112()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩(方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得1sin ()cos xC x x'=-，2()1C x '=或 1()ln cos C x x =，2()C x x =最后得通解为1*()()()y x y x y x =+12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x=+++ 注对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。

微分方程的算子算法【精选】

(1) P(D)( f1( x) f2 ( x)) P(D) f1(x) P(D) f2 (x)
(2) [P1(D) p2 (D)] f ( x) P1(D) f ( x) p2 (D) f ( x)
(3) P(D) P1(D)P2 (D),则
P(D) f (x) P1(D)[P2 (D) f (x)] P2 (D)[P1(D) f (x)]
10
常系数线性微分方程的算子解法
1
9．算子 P ( D)的基本性质及运算法则
(1)
1 (
P(D)
f1( x)
f2 ( x))
1 P(D)
f1( x)
1 P(D)
f2 ( x)
(2) P(D) P1(D)P2 (D),则
1 f ( x) 1 [ 1 f ( x)] 1 [ 1 f ( x)]
, D2

d2 dx 2
,L
, Dn

DDn1

dn dx n
P(D) Dn p1Dn1
P(D) y 0
3
常系数线性微分方程的算子解法
2．解的结构
线性算子 P(D)( y1 y2 ) P(D) y1 P(D) y2 定理1 方程（1）的通解为：y y(x) y *(x) ，其中y(x)
cos x

cos x P(2 )
(P(2 )

0)
12
常系数线性微分方程的算子解法
1
10．算子 P ( D) 的运算公式
(4)
1 [exv( x)] ex 1 v( x)
P(D)
P( D)
(5) 设fk ( x) b0 b1x L bk xk , P(0) pn 0,则

微分算子法例题

微分算子法例题
微分算子法是微积分中的一种常用方法，用于求解微分方程和函数的导数。

以下是一个微分算子法的例题：
例题：使用微分算子法求解微分方程 y'' - y = 0。

解答：
首先，我们定义微分算子 D 为导数运算，即 D(y) = y'，D^2(y) = y''。

将微分方程 y'' - y = 0 重写为 D^2(y) - y = 0。

现在我们假设 y 的形式为 y = e^(rx)，其中 r 是待定系数。

对 y 进行两次导数得到：
D^2(y) = D^2(e^(rx)) = r^2e^(rx)。

将 D^2(y) 和 y 代入初始微分方程，得到：
r^2e^(rx) - e^(rx) = 0。

将 e^(rx) 提取出来，得到：
e^(rx) * (r^2 - 1) = 0。

根据零乘法则，得到两个解：
e^(rx) = 0 或者 r^2 - 1 = 0。

可以发现，e^(rx) = 0 没有实数解，所以我们只关注第二个解：
r^2 - 1 = 0。

解这个二次方程，得到两个解：
r = 1 或者 r = -1。

根据假设的 y 的形式，我们可以得到两个特解：
y1 = e^x，y2 = e^(-x)。

由于微分方程是线性的，所以通解可以通过特解的线性组合得到：
y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)，
其中 C1 和 C2 是任意常数。

这就是微分算子法求解微分方程 y'' - y = 0 的过程和结果。

微分方程算子法总结

(性质四)
=(1-D )(x2-x+2)=x2-x
5
dy d2y 2 -x +2y=x 例 9、 2 +2 dx dx
e ,则(D +2D+2)y=x2e-x
2
特解 y
*
= ( D + 1) 2 + 1 x2e
-x
1
-x
=e-x ( D -1 + 1)
(1-D )x
2
1
2
2 x +1 2
=e D 2 1 x2=e +
2 2
e2x D1
2
x
2
=
1 4 2x x 12
e
（性质二）
x
-3 ddxy +3 dy dx
*
y=e ,则(D3-3D2+3D-1)y=e
x x
x
特解 y
= 3 3 e =e （D -1 ）（D +1-1 ）
x
1
1
•
1
=e D 3
d3y 例 5、 3 dx
1 •
1=
3
1 3 x x (性质二） 6
2
1 1 sin(ax)= sin(ax) F(-a 2 ) F(D 2 )
1 1 cos(ax) 2 cos(ax)= F(-a 2 ) F(D )
若 F(-a )= 0 ，则按 i.进行求解，或者设-a 为 F(-a )
2 2 2
的 m 重根，则
1 1 m sin(ax)=x sin(ax) F(m) (D2 ) F(D 2 )
1
ix e = -1
4
1 d2y * 2 例 6、 2 +y=cosx ，则(D +1)y=cosx ，特解 y = 2 cosx D +1 dx

关于非齐次线性常系数微分方程特解的微分子解法的若干示例

关于非齐次线性常系数微分方程特解的微分算子解法的若干示例一、表示符号把某函数对于自变量x 的导数写成D ，即D=dxd 。

例如，函数y 对x 的一阶导数为y dxdy '=，可以表示成Dy ，同理，y ''可以写成2D y ，三阶、四阶….以此类推D1则代表着求积分，如D1x ，就是⎰xdx ，参看复习指导二、微分方程的表示如果非齐次方程按降阶写成：)x (f y a y a ya y a n 1n )1n (1)n (0=+'+++-- (1)当然，你也可以写成：)x (f y p y p y p y n 1n )1n (1)n (=+'+++-- ，本质都一样，这种形式相当于（1）方程两边同时除以a 0（0≠）。

这里我们以（1）式为准。

用微分子形式表示方程（1）：)x (f y a Dy a y D a y D a n 1n 1n 1n 0=++++-- 方程左边把公因子y 提出来：f(x))y a D a D a D (a n 1n 1n 1n 0=++++--上式中，把)a D a Da D (a n 1n 1n 1n0++++-- 看作关于D 的一个函数表达式，表示成F （D ）即F （D ）=)a D a Da D (a n 1n 1n 1n 0++++--则方程（1）最终可以写成：F （D ）y=f （x ）三、相关结论 F （D ）kxe=kxe·F （k ）甲也可以写成：)F(k ee )D (F 1kxkx=，（分母不为零时），若分母为零，参见指导书表格内的公式证明：F （D ）kxe =kxn 1n 1n 1n0)ea D a Da D (a ++++--=)(ea )(ea )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++--=kxn kx1n kx1-n 1kxn 0ea kea eka e k a ++++-kxn 1n 1-n 1n0-kx=F （k ）kxe甲注意此处方程左右两端的写法，表达的意义是不一样的，左边F （D ）是求导，具体来说左边是kxn 1n 1n 1n0)ea D a D a D (a ++++-- ，即)(ea )(e a )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++-- ，而方程右边则是)(ekx乘于多项式F （k ）其中，左边的带下划线的部分的函数形式与F （D ）一样，因此写成F （k ）形式，只是字母是常数k ，而不是求导了，意义也就不同了，它只是个关于k 的多项式了。

微分方程的求解方法应用与实例

微分方程的求解方法应用与实例微分方程是数学中的重要分支之一，广泛应用于各个领域，如物理、工程、经济等。

解微分方程是研究微分方程的核心问题之一，掌握微分方程的求解方法对于解决实际问题至关重要。

本文将介绍微分方程的求解方法，并结合实例进行详细说明。

一、初等解法初等解法是解微分方程最常用的方法之一，主要包括分离变量法、参数法、齐次法和常系数线性齐次微分方程方法等。

分离变量法适用于可分离变量的微分方程。

通过将方程中的变量分离并进行分别积分的方式，最终得到微分方程的解。

参数法适用于可以利用某些特定的参数化代换将微分方程化简的情况。

通过给定参数化代换，将原微分方程转化为更简单的形式，并求解得到解。

齐次法适用于齐次线性微分方程。

通过将微分方程中的变量进行替换，使之变为齐次线性微分方程，并通过相应的解法求解得到原微分方程的解。

常系数线性齐次微分方程方法适用于常系数线性齐次微分方程。

通过特征方程的求解，找到微分方程的通解。

二、变量分离法变量分离法是解微分方程常用的方法之一，适用于将微分方程中的未知函数和自变量分离的情况。

以一阶可分离变量的形式为例，设微分方程为dy/dx=f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。

首先将方程两边同时乘以dx和1/g(y)，得到dy/g(y)=f(x)dx。

之后对方程两边同时积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。

最后将等式两边积分得到微分方程的解。

三、常微分方程的解法常微分方程是微分方程中的一种重要类型，是指微分方程中未知函数与变量的最高导数只有一阶，没有更高阶的情况。

常微分方程的解法多种多样，如一阶常微分方程、二阶常微分方程等。

以一阶常微分方程为例，设方程为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。

可以通过变量分离、齐次、恰当微分方程以及一些特殊的解法等方法求解常微分方程。

四、实例分析下面通过一个实例来详细说明微分方程的求解方法。

假设有一辆汽车的速度满足以下条件：在0时刻，汽车的初速度为10m/s，经过1小时，汽车的速度下降到5m/s。

微分方程例题选解

微分方程例题选解1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2x e x xdy y x dx y =+-==。

解：原方程化为x y x x dx dy 1ln 1=+，通解为 ⎰+⎰⎰=-]1[ln 1ln 1C dx e xe y dx x x dx x x⎰+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11ln ln 2y x x =+。

2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。

解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2u u u x u -='+，分离变量得 dx x udu 12=-，积分得C x u+=ln 1，原方程的通解为 ln xy x C=+。

3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。

解：此题为全微分方程。

下面利用“凑微分”的方法求解。

原方程化为 03223=---dy y ydy x dx xy dx x ，由 dy y ydy x dx xy dx x 3223---42222441)(2141dy dy x dx y dx -+-=)2(414224y y x x d --=，得 0)2(4224=--y y x x d ，原方程的通解为 C y y x x =--42242。

注：此题也为齐次方程。

4. 求解微分方程2''1(')y y =+。

解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为21p dxdp+=，分离变量得dx p dp=+21，积分得 1arctan C x p +=，于是 )tan(1C x p y +=='，积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。

5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。

微积分习题讲解与答案

习题8.11.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x (3)0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4)θθ2sin d d =+p p解 (1) 1阶非线性 (2) 1阶线性 (3) 3阶线性 (4) 1阶线性2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) xxy x y y x sin ,cos ==+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) xCe y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x xe C eC y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数)(5) C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x xx x x x xcos sin sin cos 2=+-=右(2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1)1(222=-++---=右(3) 是，左=02=+-xxxCe Ce Ce =右 (4) 是，左=0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x xe C e C e C e C eC e C λλλλλλλλλλλλλλ =右(5) 是，左==-=---y x yx yx y x 222)2(右(6) 是，左=x xy yx xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(22332=0)())(2()()(222222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右3.求下列微分方程的解(1) 2d d =x y; (2) x xy cos d d 22=;(3) 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) yx x y y )1()1(22++=' 解 (1) C x y x y +==⎰⎰2,d 2d (2) 1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''⎰⎰211cos ,d )(sin d Cx C x y x C x x y ++-=+='⎰⎰(3)⎰⎰=+-x y y y d d 11 ⎰⎰=+++-x y y y d d 12)1(解得 ⎰⎰⎰=++-x y y y d d 12d即 C x y y +=++-|1|ln 2(4)⎰⎰+=+dx x xdy y y )1(122解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+整理得 22211C xy =++ 4.已知曲线)(x f y =经过原点，并且它在点),(y x 处的切线的斜率等于22x ，试求这条曲线的方程。

高等数学中用微分算子法求常微分方程的特解的问题

高等数学中用微分算子法求常微分方程的特解的问题微分算子法是解决常微分方程特解的一种重要方法，近年来在数学科学领域内凭借其特有的优势，被越来越多地用于各类理论研究和实践应用。

首先，《高等数学》中微分算子法用于求解常微分方程的特解，比如作为幂微分方程的特解的计算，依靠它来进行方程的解算可以极大简化计算过程，可以提高处理效率。

其具体的基本步骤如下：
1. 将拟合函数的特解的基本思想转换为形如导数的数学模型；
2. 将该模型转换为微分方程，在此步骤中，可以采用不同的算子，例如偏微分算子h和k，将存在微分方程中的求解变量独立化；
3. 通过微积分的定义公式，结合已知参数及边界条件，将求解变量的表达式转化为实际的函数表达式，从而得到常微分方程特解。

微分算子法有很多特点，例如它有着高精度的数值解计算，反应灵敏，运算简单。

在该方法中，所需要解决的参数数目少，微分计算量小，求解效率高，容易于理解，易于运用，可以抽象出满足不同条件的不同微分算子，使用多元或多变量分析技术，从而改变方程维度，帮助数学研究者解决复杂的问题。

总而言之，微分算子法是一种求解常微分方程特解的有效方法，其在常微分方程的解决中扮演着重要角色。

因此，在解决复杂的常微分方程特解问题时，可以采用微分算子的计算方法，以降低运算复杂度，提高求解效率，增加研究的可视性，从而得到准确、有效的解。

(整理)微分方程的例题分析及解法

微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。

一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。

二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。

对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x q e y dx x p dx x p )( 齐次型微分方程)(xy f y =' 令xy u =，则方程化为关于未知数u 与自变量x 的变量可分离的微分方程。

三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1）)(x f y =''，直接积分；（2）),(y x f y '=''，令p y ='，（3）),(y y f y '=''，令p y ='，则p dydp y ='' 这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。

2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程02=++q p λλ求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点)()(x P e x f m x μ=和 []x x p x x P e x f n l ax ββsin )(~cos )()(+= 设置特解*y 的形式，然后使用待定系数法。

四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。

微分算子法求微分方程的特解2022

二阶常系数微分方程的微分算子法求特解二阶常系数非齐次微分方程求特解，在一般的本科教材中均采用设特解再用待定系数法求出待定的系数，计算量往往偏大，考生若掌握了微分算子法，则可以起到事半功倍的效果。

具体做法如下：引入微分算子222222d d d d d d ,,,,,,d d d d d d ====== nn n n n n y y y D Dy D D y D D y x x x x x x因此，n 阶常系数线性非齐次方程()(1)11()−−′++++= n n n n y a y a y a y f x()111()−−⇒++++= n n n n D a D a D a y f x令111()n n n n F D D a D a D a −−=++…++称为算子多项式，则方程*1()()()()⇒=⇒=F D y f x y f x F D【评注】D 表示求导，1D 表示积分.如()21111,cos 2sin 222==x x x x D D ，不要常数.类型1 ()=e kx f x1.若()0F k ≠，则()()11e e ∗==kx kx y F D F k , 2.若()=0F k ，k 为()0F k =的m 重根，则 ()()()()11e e ∗==m kx m kx m m y x x F D F k ,【例1】求223e x y y y ′′′+−=的一个特解【解析】()2222221111e e e e 2322235x x x x y F D D D ∗====+−+×−【例2】求323e x y y y −′′′+−=的一个特解【解析】由与()3=0F −，3−为()0F k =的单根， ()()()3333311111e e e e e 222324∗−−−−−=====−′+×−+x x x x x y x x x x F D F D D ,【例3】求2+e xy y y ′′′−=的一个特解【解析】由于()1=0F ，1为()0F k =的二重根， ()()2221111e e =e e 22∗===′′x x x x y x x x F D F D .类型2 ()=cos f x ax 或()=sin f x ax1.若2()0F a −≠，则()()2211sin sin y ax ax F D F a ∗==− 或()()2211cos cos y ax ax F D F a ∗==−2.若2()=0F a −，则()()2211sin sin y ax x ax F D F D ∗==′ 或()()2211cos cos ∗==′y ax x ax F D F D【评注】()()212211111sin sin cos n n n ax ax ax D D a a a + ==− −− ()()212211111cos cos sin n n n ax ax ax D D a a a +==−− 由此()()11sin cos ax ax F D F D ，可求，例如 221111sin sin sin 2112121x x x D D D D ==+−−+−− ()()21111sin =1sin cos sin 2144D x D x x x D +=−+=−+−【例4】求+4+5sin 2y y y x ′′′=的一个特解【解析】()22111sin 2sin 2sin 245245y x x x F D D D D ∗===++−++ ()21411sin 2sin 28cos 2sin 24116165D x x x x D D −===−−+−【例5】求+4cos 2y y x ′′=的一个特解【解析】()220F −=()21111cos 2cos 2cos 2sin 24222x y x x x x x F D D D ∗====+类型三 ()()=m f x P x 即自由项为x 的m 次多项式 ()()()()1m m y P x Q D P x F D ∗==，其中()Q D 为1除以()F D 按升幂()1n n n aa D D −+++ （即从低次往高次排列）所得商式，其最高次为m 次，超过m 次的求导后全为零，故略去.【例6】求232231y y y x x ′′′−+=−+的一个特解【解析】()()21231y x x F D ∗=−+()22137231248D D x x =++−+ ()()2137231+434248x x x −+−+×23724x x =++ ()()()2221123123132∗=−+=−+−+y x x x x F D D D ()2211231312122−+ −− x x D D()222231311123122222 =+−+−+−+D D D D x x ()222319112312242=+−++−+ D D D x x ()223711231242=+++−+ D D x x ，下同【例7】求233y y x ′′′−=−的一个特解【解析】1）()()()()22113=33y x x F D D D ∗=−−− ()222111111225=3=39273927D D x x x D D −−−−−+−321125=+9927x x x −−2）()()()()()222111113=33333∗ =−−=−− −− y x x x F D D D D D ()()()22223111111133133939393313=−−−−=−++−−−−D D x x x x x D D 2332122111251253393933927981 =−−++−−=−+−+x x x x x x x【评注】数字1除以23D D −是没法直接除的，因为分母没有最低次常数项.类型四 ()()=e kx f x u x ,其中()u x 为x 的多项式或()sin cos ax ax 【移位定理】()()()()11e =e kx kx v x v x F D F D k +【例8】求+32e sin 2x y y y x −′′′−=的一个特解【解析】()()()211e sin 2=e sin 21312x x y x x F D D D ∗−−=−+−− 2211+8=e sin 2e sin 2e sin 24864x x x D x x x D D D D −−−==+−−−()()11e 2cos 28sin 2e cos 24sin 26834x x x x x x −− =−+=−+【例9】求+3+2ex y y y x −′′′=的一个特解【解析】()()()211e =e 1+312∗−−=−−+x x y x x F D D D ()21111=e e e 11−−−==−++xx x x x D x D D D D D ()211e 1e 2−− −=− xx x x x D类型五 ()()=sin m f x P x ax 或()cos m P x ax【评注】此种情况考试考到的概率几乎为零. （可以不看）. 为不加重考生负担，仅讨论()=m P x x ，且()20F a −≠否则，要用到欧拉公式，且计算量不比待定系数法简单！记()()sin cos u x ax ax =，则()()()()()()11F D x u x x u x F D F D F D ′⋅=−【例10】求+cos 2y y x x ′′=的一个特解【解析】()211cos 2cos 21y x x x x F D D ∗==+2222112cos 2cos 21131D D x x x xD D D=−=−− +++1214cos 2+cos 2cos 2sin 233339Dx x x x x x=−⋅=−+−。

微分例题及答案

微分例题及答案微分学是高等数学中的重要分支，其研究的对象是函数的微小变化和导数。

微分学不仅在数学中占有重要的地位，也在自然科学和工程技术中有着广泛的应用。

本文将通过例题和答案来介绍微分学的相关知识。

例题一已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=1$，求 $y=f(\ln x)$ 的导数。

解答：令 $y=f(\ln x)$，则 $x=e^{\ln x}=e^y$，由链式法则得：$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d(\ln x)}\cdot\frac{d(\lnx)}{dx}=\frac{df}{dx}\cdot\frac{1}{x}$$将 $x=e^y$ 代入 $y=f(\ln x)$，得：$$y=f(\ln x)=f(\ln e^y)=f(y)$$由导数的定义可得：$$f'(0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}$$将 $y=\ln x$ 代入得：$$f'(0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(\ln(1+h))-1}{\ln(1+h)}$$令 $t=\ln(1+h)$，则 $h=e^t-1$，上式可化为：$$f'(0)=\lim_{t\to 0} \frac{f(t)-1}{t}=\frac{dy}{dx}|_{x=1}$$因此，$y=f(\ln x)$ 的导数为：$$\frac{dy}{dx}=\frac{f'(0)}{x}$$例题二已知函数 $y=x\sin\frac{1}{x}$，求 $y$ 的导数及 $y$ 的极值。

解答：当 $x\neq 0$ 时，使用乘法公式得：$$y'=x\cos\frac{1}{x}-\sin\frac{1}{x}$$当 $x=0$ 时，使用导数的定义得：$$y'(0)=\lim_{h\to 0} \frac{h\sin\frac{1}{h}-0}{h}=0$$因此，$y$ 在 $x=0$ 处可导，且有 $y'(0)=0$。

高阶常微分方程的微分算子法

高阶常微分方程的微分算子法摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。

但是有一个例外：常系数线性微分方程。

我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐次方程的特解。

本节主要讨论微分算子法。

1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解记()n n yD y =，将方程写成32230D y D y Dy --=或32(23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程32230D D D --=得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,xxe e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解3123xxy C C e C e -=++注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是1111()()()()()n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++=其中系数1(),,()n a x a x 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成11()(()())nn n L y D a x Da x y -≡+++()f x =可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。

本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。

2.求解 61160y y y y ''''''-+-=解写成 32(6116)0D D D y -+-=从特征方程3206116D D D =-+-(1)(2)(3)D D D =---解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解23123x x xy C e C e C e =++3.求解 39130y y y y ''''''-++=解写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+=特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3xe x ，2sin 3x e x 从而通解是22123cos3sin 3x x xy C e C e x C e x -=++4.求(4)45440yy y y y ''''''-+-+=之通解.解写成432(4544)0D D D D y -+-+= 或 22(2)(1)0D D y -+=特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++5.求1(cos )y y x -''+=的通解解本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+设原方程有特解形为*12()cos ()sin y C x x C x x =+其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组12112()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩或12112()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩(方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得1s i n ()cos xC x x'=-，2()1C x '=或 1()ln cos C x x =，2()C x x =最后得通解为1*()()()y x y x y x =+12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x=+++ 注对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。

微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解.docx

微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解李绍刚段复建徐安农(桂林电子科技大学，计算科学与数学系，广西桂林，541004)摘要：木文主要介绍了二阶微分算子的性质及其它在一些求解二阶常系数非齐次线性微分方程的常见运算公式，并对其中的大部分重要公式给出了详细的较为简单的证明，并通过具体而翔实的例子加以说明它在解题中的具体应用，大大简化了二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。

关犍词：线性微分算子非齐次微分方程特解中图分类号：0175.1 引言对于微分方程，尤其是常系数非齐次线性微分方程，算了法求其特解一肓是研究的热点问题，见参考文献［3・9］,有一些是针对一般高阶的常系数非齐次线性微分方程［3-61，文献⑹ 研究了高阶的变系数非齐次线性微分方程的算子特解算法，而［7］是针对二阶的常系数非齐次线性微分方程的算子特解解法，但是理论不是很完善，而微分级数法以及复常系数非齐次线性微分方程在一般教科书很少出现，针对性不够强。

因为在高等数学中，二阶非齐次常系数线性微分方程特解的求法在微分方程屮占有很重要的地位，也是学习的重点和难点，人多高数教材采用待定系数法来求其特解，根据不同情况记忆特解的设法对人多数学生而言述是很有难度的，而且有些题目计算过程非常复朵，本文就针对微分算子法在求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解方而的应用做一些讨论，给出理论的详细证明，并通过例子说明理论的的一些具体应用。

我们考虑如下的二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式y"+py'+q = f(x)其中p,q 为常数。

(1)2 2引入微分算子—= D,^ = D2,则有：y=型二Dydx dx" dx dx~于是(1)式可化为：D’y + pDy + qy = f(x) 即：(D2 + pD + q)y = f(x) (2)令F(D) = D24-pD + q 称其为算子多项式。

则(2)式即为：F(D)y = f(x) 其特解为：y = ^—f(x),在这里我们称为逆算子。

谈谈微分算子

谈谈算子SCIbird适当的引入一些算子可以简洁地展现出数学结构，比如差分算子Δ定义为：()(1)()f x f x f x Δ=+−，2:()f x Δ=ΔΔ，再定义移位算子()(1)Ef x f x =+，以及恒等算子()()If x f x =，则差分算子满足()()()f x E I f x Δ=−，即E I Δ=−容易发现()()mE f x f x m =+，所以00()()()(1)()(1)()n n k n n k n k n k k f x E I f x E f x f x k −−==⎛⎞⎟⎜Δ=−=−=−+⎟⎜⎜⎟⎝⎠∑∑ 类似地，()()()()f x If x E f x ==−Δ，()n n I I E ==−Δ 思考题：令()n f x x =，问()?n f x Δ=，1()?n f x −Δ=以微积分的观点看，利用拉格朗日中值定理，得1()(1)()()f x f x f x f ξ′Δ=+−=然后再利用一次，得12()()()f x f f ξξ′′′ΔΔ=Δ=，这样()()(),(,1)n n n n f x f x x ξξΔ=∈+可惜n ξ的位置不知道，不过对()n f x x =有()()!n f x n =是一个常数。

以拉格朗日中值定理为桥梁，将差分与微分联系起来了。

实际上还可以进一步挖掘联系。

算子的引入很多时候是形式算子，但发现特别好用，莫非是巧合。

深入研究后发现，数学中其实没有那么多巧合，“巧合”后面往往有深层含义。

这方面最具代表性的要数Laplace 变换了，抛开这个吓人的专有名词，先看一个例子。

考虑微分方程：(),(0)0y f x y ′==. 直接利用牛顿莱布尼茨积分公式，得()()x y x f t dt =∫ 英国工程师海维塞德思考上述方法后，提出了一个形式微分算子法，定义算子d D dx =，则微分方程可写成()Dy f x =，于是移项得：1()y f x D= 对比上面的积分过程可知01x D =∫，于是002111x x D D D ==∫∫等等。

微分方程算子法总结

1 1 1 f ( x) = f ( x) f ( x) = F(D) F2 (D) • F1 ( D) F1 (D) • F2 ( D)
(6)性质六:
1 1 1 f1 ( x) + f 2 ( x) ( f1 ( x) + f 2 ( x)) = F(D) F(D) F(D)
三、例题练习例 1.
n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3
记 F(D)=D +a1D +a2D +a3D + ... +an-1D+an 规定特解：y 3、
*
= F(D)
1
f ( x)
1 的性质 F(D)
(1)性质一：
kx 1 F(D)
e = F(k) ekx
1
1
(F(k) 不等于 0）
取实部为特解四）
1
1
y*= 4 (xcosx+x2sinx)
1
(性质二、三、
6
2
x d2y +4y = dx 2
e
则(D +4)y=e
(4)
x
,特解 y*=
1 D2
x x x 1 e = e = e (性质一) 5 1 +4 +4
2
4
1
例 2、 y +y=2cos(3x），则(D +1)y= 2cos(3x）特解 y
*
=
1 D 4 +1
2cos(3x）= 2 cos(3x）=
e
-y=sinx
ix 1 3 D -1
,则(D -1)y=sinx ,特解 y*=

微分方程的算子算法

4
常系数线性微分方程的算子解法 4．思维方法导数的性质及求导法则
P ( D)
求导公式运算公式
原函数的性质及积分法
1 P ( D)
积分公式运算公式
计算原函数计算特解
5
的性质及运算法则
的性质及运算法则
常系数线性微分方程的算子解法
1 x 1 x x e xe xe 2 2 ( D 1）（ 2 D 1） 1 D 3!
x 3
15
常系数线性微分方程的算子解法 11．特解的算子解法及例题类型3 f ( x) fk ( x)e x cos x或f ( x) fk ( x)e x sin x 解法
考虑方程P( D) y e( i ) x fk ( x)特解的实、虚部
例3 求( D2 2D 5) y xe x sin 2 x的特解。解考虑( D2 2D 5) y e(12i ) x x的特解
1 y* 2 e (1 2 i ) x x ( D 2 D 5)
1 类似于原函数的概念，定义算子： P ( D) 1 f ( x )表示这样函数：用P ( D)作用它的结果是f ( x )，即 P ( D) 1 若函数F ( x )使得P ( D) F ( x ) f ( x )，则 f ( x) F ( x) P ( D) 1 1 n f ( x ) f ( x )dx, f ( x ) L f ( x )( dx ) D Dn 1 将D与P ( D)类比，将 f ( x )dx与 f ( x )类比 P ( D)
5．n阶导数的基本性质、运算法则及求导公式
(1) Dn[ f1 ( x) f2 ( x)] Dn f1 ( x) Dn f2 ( x)

微分算子法求二阶常系数微分方程的特解ppt

D2 6D 9
y
e3x
D
32
x1
6 D
3
9
y
e3x
x1 D2
1 x2 x y e3x 2
D
y
e3x
1 6
x3
1 2
x2
例题6 求微分方程 y 4y xcos x的一个特解.
解：D2 4
y
x cos
x
y
xcos x D2 4
y
Re
xeix
D2
4
y
Re
eix
2i去换D分母为0 y ex x sin 2x 2D
y
e
x
x
1 2
1 2
cos
2
x
y 1 xex cos 2x 4
y 1 xex cos 2x 4
例题5 求微分方程 y 6y 9y x 1 e3x 的一个特解.
解：D2 6D 9
y
x
1 e3x
y
x 1 e3x
2x
1 x 11 28
例题3 求微分方程 y 4y sin2x 的一个特解.
解：D2 4
y
sin 2 x
y
sin 2 x D2 4
i2i去换D
y
sin 2 x D2 4
分母为0
y x sin2x 2D
y x 1 sin2x 2D
sin2x积分 y
x
1 2
1 2
cos
4
ex sin
F D
x
位移定理
ex
sin x
FD
D 去换 D
5
ex pn x F D
位移定理
ex

泛函补充题2(微分算子范数)

第一章补充题：记1[0,1]X C =，[0,1]Y C =. 定义:dT X Y dt=→. 证明||||1T =. 解释: dT dt =将有界集1{sin }n n t π∞=映射为无界集1{cos }n n n t ππ∞=.证：(1) 对于任意的1[0,1]x X C ∈=,1[0,1][0,1][0,1][0,1][0,1][0,1][0,1]||||()max |()|max |()|max |()|.C C C t C t t dTx x t dtx t x x t x t x∈∈∈=''=='≤+=因此知道:dT X Y dt=→是有界的, 且||||1T ≤.反之, 我们要证明||||1T ≥. 事实上, 我们可以取特殊的1[0,1]x X C ε∈=如下:1()x t t εεε=,这里,ε是小于1的正数. 则显然11()[0,1]x t t C εεε=∈且容易算出111[0,1][0,1][0,1]11[0,1]||()||max ||max max || 1.C t t t dx t t t dtt εεεεεεεε∈∈-∈=+=+=+因此1[0,1]1[0,1][0,1]11[0,1]11[0,1](1)||||||()||||||||()||||()||||||max || 1.C dC C dt C t T x t T T x t tt εεεεεεε--∈+=≥====由此得到1||||1T ε≥+.又因为ε可以是任意小的正数, 因此||||1T ≥. (2) 解释: :dT X Y dt=→是有界算子, 因此必将有界集映射为有界集. 进而注意到1{s i n }n n t π∞=并不是1[0,1]X C =中的有界集, 因此“dT dt=将有界集1{s i n }n n t π∞=映射为无界集1{cos }n n n t ππ∞=” 是指d T dt =视为由[0,1]C 到[0,1]Y C =的算子(dT dt=的定义域选为()D T =1[0,1]C ). 此时, 1{sin }n n t π∞=和1{cos }n n n t ππ∞=分别是[0,1]C 中的有界集和无界集, 而1{sin }n n t π∞=其实是1[0,1]C 中的无界集.也可解释为:1([0,1],[0,1])1L C C d dt =,([0,1],[0,1])L C C d dt=+∞.1．设M 是距离空间(,)X ρ中的子集，证明M 是疏朗集的充分必要条件是M 的闭包无内点.证：[必要性] 设M 是疏集, 则对于X 中的任何一个非空开集U , U 均有开邻域V 不含M 中的点. 若M ≠∅,即存在某个点y M ∈, 因此存在0δ>, 使得(,)S y M δ⊂.这表明, (,)S y δ中每一个点的任何邻域中都含有M 中的点, 此与M 是疏集相矛盾.[充分性] 设M 的闭包无内点，即M =∅. 设U 是X中的任意一个开集, 如果U 不含M 中的点, 当然也不含M 中的点; 如果U 含M 中的点y ,即y U M ∈⋂,由y 是内点, 因此存在0δ>, 使得(,)S y U δ⊂. 因为M =∅ , 故(,)S y δ中总含有不是M 的点z . 注意到z 不是聚点又不是M 中的点, 因此存在0δδ'<<, 使得(,)(,)S z S y δδ'⊂, 而(,)S z δ'中不含M 中的点,由此而即知M 是疏集. 补充题．设有数列{}k y 满足0k y →, 当k →∞.证明1{(,,)|||||,1,2,}k k k A x x x l x M y k ∞==∈≤=(0M >是个常数)是l ∞中的一个列紧集.证. 只需证明对于任意的0ε>, A 有列紧的ε-网即可. 事实上, 因为0k y →,故存在某个0k , 使得当0k k >以后, 恒有||2k y Mε<.对于正整数0k 和1=(,,,)k x x x A ∈ , 定义0012():=(,,,,0,)k k x x x x .由A 定义如下的集合:00(){()|}k k A x x A =∈.则可断言: 0()k A 是A 的列紧的ε-网. 因此A 是列紧集.(i) 0()k A 是A 的ε-网. 因为对于每一个x A ∈, 取00()()k k x A ∈, 则根据x 和0()k x 之间的关系, 容易算出00012||()||||(0,,0,,,)||k k k l l x x x x ∞∞++-=0011sup ||sup ||2k j k j j j x M y MMεε++≥≥=≤≤<.因此0()k A 是A 的ε-网.(ii) 0()k A 是列紧的. 事实上, 因为数列{}k y 收敛, 因此12(,,,)k y y y y l ∞=∈ , 对于每一个x A ∈,0011||()||sup ||||||sup ||||||k k k l l l k k k x x x x M y ∞∞∞≤≤≥=≤=≤,故A , 进而0()k A , 也是有界集, 且界可取为||||l M y ∞. 若记00001212:{(,,,)|():=(,,,,0,)()}k k k k B x x x x x x x A =∈ ,则显然0k B ⊂R , 且也是有界集, 因此是列紧集(在Euclid范数意义下), 又有限维空间中任何两个范数都等价, 因此B 在极大模(也就是l ∞)范数意义下是列紧的, 故0()k A 在极大模(也就是l ∞)范数意义下是列紧的.补充题．对于取定的12(,,,)k y y y y l ∞=∈ ,定义11:T l l →为: 11(,,)k x x x l =∈ ,1122:(,,,,)k k Tx y x y x y x = .证明: (i) 11(,)T L l l ∈; (ii) 求出||||T ;(iii) 提出条件, 使得T 有有界逆, 求出1T-和1||||T-.证：(i) 由定义11:(,,,)k k Tx y x y x = , 显然,1111||(,,,)||||k k k k l k y x y x y x ∞==∑11sup ||||k k k k y x ∞≥=≤∑1||||||||l l y x ∞=<∞.所以, 映射11:T l l →有意义. 对于任意的数,αβ及(1)(1)(1)(2)(2)(2)111(,,),(,,)k k x x x x x x l ==∈ , 成立 (1)(2)(1)(2)(1)(2)11()(,,)k k T x x T x x x x αβαβαβ+=++ (1)(2)(1)(2)111((),,(),)k k k y x x y x x αβαβ=++ (1)(1)(2)(2)1111(,,,)(,,,)k k k k y x y x y x y x αβ=+ (1)(1)(2)(2)11(,,,)(,,,)k k T x x T x x αβ=+(1)(2)Tx Tx αβ=+,所以T 是线性算子. 进而, 对于任意的1x l ∈,11111||||||(,,,)||||k k k k l l k Tx y x y x y x ∞===∑11sup ||||k k k k y x ∞≥=≤∑1||||||||l l y x ∞=,故T 是有界的, 且||||||||l T y ∞≤.(ii) 断言||||||||l T y ∞=. 只需再证||||||||l T y ∞≥. 事实上, 对于()(0,,0,1,0,)ii x= , 显然1()||||1i l x =. 而11()()||||||||||||||()||i i l l T T x T x =⋅≥ 1||(0,,0,,0,)||||i i l y y == ,其中1,2,i = . 由此易得||||||||l T y ∞≥. (iii) 断言: 如果1inf ||0k k y ≥>, 则T 有有界逆, 且11212111,,,,k k T x x x x y y y -⎛⎫= ⎪⎝⎭. (*)事实上, 当1inf ||0k k y ≥>时,12111:,,,,k y l y y y ∞⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭显然上述定义(*)是有意义的, 不妨记为1212111:,,,,k k Sx x x x y y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.容易看出112212111,,,,k k k TSx y x y x y x y y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭()12,,,,k x x x x == ,所以TS I =, 同理112212111,,,,k k k STx y x y x y x y y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭()12,,,,k x x x x == ,所以ST I =, 因此T 有逆, 且1T S -=.利用上面(ii)中所采用的方法, 容易得到1112111111||||,,,,supinf k k k kl k T y y y y y ∞-≥≥⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 反之, 如果T 有有界逆, 则存在正数m , 使得11111||||||(,,,)||||||k k l l l Tx y x y x m x =≥ .取()(0,,0,1,0,)ii x= , 则1()||||1i l x =. 而1()||()||i l T x 1||(0,,0,,0,)||||i i l y y ==1||||l m x m ≥=.由此得到1inf 0k k y m ≥≥>2．设(,)X ρ是距离空间，A 是X 的子集，对任意的x X ∈，记(,)inf (,)y Ax A x y ρρ∈=，则（1）(,)x A ρ是x 的连续函数.（2）若{}n x 是X 中的点列, 使(,)0n x A ρ→,{}n x 是否为Cauchy 列? 为什么?证：(1) 任意取定12,x x X ∈, 对于任意的y X ∈根据三角不等式, 有1122(,)(,)(,)x y x x x y ρρρ≤+, 2211(,)(,)(,)x y x x x y ρρρ≤+.对两端关于y A ∈取下确界, 可以得到1122inf (,)(,)inf (,)y Ay Ax y x x x y ρρρ∈∈≤+,2211inf (,)(,)inf (,)y Ay Ax y x x x y ρρρ∈∈≤+.即1122(,)(,)(,)x A x x x A ρρρ≤+, 2211(,)(,)(,)x A x x x A ρρρ≤+.由此可得1212|(,)(,)|(,)x A x A x x ρρρ-≤.由此容易证明()f x (,)x A ρ=是X 上的连续函数, 实际上, (,)x A ρ还满足Lipschitz 常数等于1的Lipschitz 条件. (2) 答: 未必是Cauchy 列. 例如取X =R , 其中的距离是Euclid 距离. 对于{1,1}A =-, 对于1,2,n = , 定义点列为1(1).n n x n=-+对于点列{}n x ,不难验证,1(,)0n x A nρ=→; 但显然{}n x 不是Cauchy 列. 这里的原因就在于(,)x A ρ不是点到点之间的距离, 而是点到集合的距离, 当这个集合A 含有不止一个点时, (,)x A ρ不再具有点点之间距离的性质.补充题．证明[,]L a b ∞是不可分空间. 证：记{}[,]()a t K x a t b χ=<<,其中[,]1,,():0,.a t a x t x t x b χ≤≤⎧=⎨<≤⎩显然[,]K L a b ∞⊂, 且只要12,[,]t t a b ∈,12t t ≠, 则有12[,][,],a t a t K χχ∈, 且因为(不妨设12t t <)12(,]t t 的测度为正, 故1212[,][,][,][,][,]||||sup |()()|a t a t a t a t L a b ess x x χχχχ∞-=-1212(,](,]sup |()|1t t x t t x χ∈==.因此, 由(,)a b 是不可数集, 而K 的基数与(,)a b 的基数相同, 故也是不可数集,且K 中任何两个不同元的距离均为1.如果[,]L a b ∞是可分的, 因此有一个可数的稠密子集合{()|1,2,}k A f x k == , 且11(,)3kk S f K ∞=⊇ . 但这是荒谬的, 因为上式左端只有可数多个开球, 右端有不可数多个元, 所以至少有K 中的两个不同的12[,][,],a t a t χχ属于同一个开球01(,)3k S f , 由此得到矛盾:121002[,][,][,][,][,][,][,]1||||||||||||112.333a t a t L ab a t k k a t L a b L a b f f χχχχ∞∞∞=-≤-+-<+= 此矛盾表明[,]L a b ∞不可能是可分的.5．设(,)X ρ是距离空间，,A B 是X 的闭子集，定义(,)inf (,)x AA B x B ρρ∈=.试问:（1）若A B ⋂=∅是否必有(,)0A B ρ>?（2）若,A B 均为X 的紧子集，且A B ⋂=∅是否必有(,)0A B ρ>?为什么?解：(1) 结论是未必. 例如在2R 中定义{}(,0)|1A x x =≥及{}(,1/)|1B x x x =≥.(试在平面直角坐标系中画出这两个集合的图形以加深理解) 则虽然2,A B ⊂R 是互不相交的闭集, 但是二者之间的距离为零：,(,)inf (,)0x A y BA B x y ρρ∈∈==.(2) 当若,A B 均为X 的紧子集，且A B ⋂=∅时, 必有(,)0A B ρ>. 我们证明一个更为一般的结论: 若A 为X 的紧子集而B 为闭集且A B ⋂=∅时, (,)0A B ρ>.事实上,对于每一个y A ∈, 必有(,)0y B ρ>(为什么?试给出证明!). 根据下确界的定义, 我们知道, 存在极小化序列1{}n n x A ∞=⊂使得1(,)(,)n x B A B nρρ<+,因为A 是紧集, 1{}n n x ∞=存在收敛子列1{}k n k x ∞=收敛于A 中的某个元x A ∈. 因此有1(,)(,)(,)kn kA B x B A B n ρρρ≤<+. 令k →∞便可以得到(,)(,)(,)A B x B A B ρρρ≤≤即(,)(,)x B A B ρρ=. 进而(,)0x B ρ>,因此(,)0A B ρ>.14．记S 是复数列全体, 在S 上按自然方式定义加法和数乘:{}{}{}n n n n x y x y +=+, {}{}n n a x ax =;对于任意{}n x x =S ∈, 定义11||||||21||n nn n x x x ∞==+∑. 试证:(1) ||||0x ≥(x ∀S ∈); ||||00x x =⇔=; (2) ||||||||||||x y x y +≤+; (3) ||||||||x x -=(x ∀S ∈);(4) 0lim ||||0n n x αα→=, ||||0lim ||||0n n x x α→=(x ∀S∈α∈C ).通常将定义在线性空间X 上满足(1)~(4)的函数称为X 上的准范数.证明: 按照惯例, 将S 中的元x 记为无穷维向量的形式, 即12(,,,,)k x x x x = ,k x 称为x 的第k 个分量或坐标.(1) 对于x S ∈, ||||0x ≥是显然的. 进而, 如果0x =, 则每一个k x 为零, 显然也有||||0x =. 反之, 设||||0x =, 则11||021||n nn n x x ∞==+∑, 故每一个k x 为零, 因此0x =. (2) 设1(,)x x = ,1(,)y y S =∈ . 注意到连续函数1()111t h t t t==-++对于0t ≥是单调增加函数, 因此 ||(||)1||n n n n n n x y h x y x y ++=++||||(||||)1||||nn n nn n x y h x y x y +≤+=++ ||||1||||1||||n n n n n n x y x y x y =+++++ ||||(||)(||)1||1||n n n n n n x y h x h y x y ≤+=+++. 因此有||||x y +=111||1(||)21||2n n n n n n n n n n x y h x y x y ∞∞==+=+++∑∑[]11(||)(||)2nn n n h xh y ∞=≤+∑ 111||1||21||21||n n n nn n n nx y x y ∞∞===+++∑∑|||||||x y +. (3) 对于x S ∈, ||||||||x x -=是显然的.(4) 先设0n α→(n →∞). 对于任意的0ε>, 存在自然数K , 使得1122k k K ε∞=+<∑. 既然0n α→(n →∞), 存在正整数N , 使得当n N ≥时,11||21||2Kn k kk n kx x αεα=<+∑, 因此成立111||1||||||21||21||Kn k n k n k kk k K n k n k x x x x x ααααα∞==+=+++∑∑ 111||121||2Kn k k k k k K n k x x αα∞==+<++∑∑22εεε<+=.此即表明0lim ||||0n n x αα→=.再设有一列()()()()12(,,,,)n n n n k x x x x S =∈ 满足()||||0n x →(n →∞), 我们要证明()()||||0lim ||||0n n xx α→=. 为此, 我们首先证明||||()(0)n x x ⋅−−→⇔()(0)n k kx x →, 1,2,k = . (即在空间S 中, 按准范数收敛等价于按坐标收敛)事实上, 如果||||()(0)n x x ⋅−−→, 则对于固定的正整数j ,对于任意的0ε>, 不妨设21/2jε<, 存在整数N , 使得当n N ≥时, 有()(0)()(0)()(0)()(0)1||11||21||21||n n j j k k j n k n k j j k kx x x x x x x x ∞=--≤+-+-∑()(0)||||n x x ε=-<,因此()(0)12||212j n j jjjxxεεε+-<<-, 即得()(0)n j j x x →(n →∞, 1,2,j = ).反之, 设()(0)n j j x x →(n →∞, 1,2,j = ). 对于任意的0ε>, 存在自然数K , 使得1122kk K ε∞=+<∑. 既然()(0)n j j x x →(n →∞, 1,2,,j K = ), 存在某个自然数N , 使得当n N ≥时()(0)()(0)11||21||2n Kk k k n k k k x x x x ε=-<+-∑. 由此得到 ()(0)||||n x x- ()(0)()(0)()(0)()(0)111||1||21||21||n n Kk k k k k n kn k k K k k k kx x x x x x x x ∞==+--=++-+-∑∑ ()(0)()(0)111||121||2n Kk k k n k k k K k k x x x x ∞==+-≤++-∑∑ 22εεε<+=.即||||()(0)n x x ⋅−−→.最后我们来证明()()||||0lim ||||0n n xx α→=, 设()||||0n x→(n →∞), 根据上述结论, 有()0n k x → (n →∞, 1,2,k = ),因此()0n k x α→ (n →∞, 1,2,k = ). 再一次用上面的结论, 得到()||||0n x α→(n →∞). (利用如下的不等式:||,||1,1||||||1||||,||1,1||k kk k k kx x x x x x ααααα⎧≤⎪+⎪≤⎨+⎪>⎪+⎩ 也可以证明同样的结论.)18．设H 是内积空间,{}n e 是H 中的正交集, 求证:1(,)(,)||||||||nnn x e y e x y ∞=≤⋅∑, (,x y H ∀∈).证：对于任意的正整数k , 由Cauchy 不等式和Bessel 不等式可以得到22111(,)(,)(,)(,)kkkn n n n n n n x e y e x e y e ===≤⋅∑∑∑2211(,)(,)n n n n x e y e ∞∞==≤⋅∑∑||||||||x y ≤⋅,由k 的任意性, 知正项级数1(,)(,)nnn x e y e ∞=∑收敛, 因此级数1(,)(,)nnn x e y e ∞=∑绝对收敛,并且11(,)(,)(,)(,)||||||||nnnnn n x e y e x e y e x y ∞∞==≤≤⋅∑∑.24．试给出1([,])C a b 中列紧集的判别条件. 证：设子集1([,])A C a b ⊂且0x 是[,]a b 中一个数. 记{()|()}A f x f x A ''=∈及0{()|()}B f x f x A =∈.则A 是1([,])C a b 中的列紧集的充分必要条件是 (i) A '在([,])C a b 中有界;(ii) B 是R 中的有界集;(iii) A '是([,])C a b 中等度连续的集合.[充分性] 设1([,])A C a b ⊂满足条件(i), (ii)和(iii).容易看出, 只需证明A 和A '分别是([,])C a b 中的列紧集即可, 根据Arzela-Ascoli 定理, 这也只需证明A 和A '分别在([,])C a b 中有界且等度连续即可. 事实上, A '在([,])C a b 中有界性和等度连续已由所给条件得到保证. 还需证明A 在([,])C a b 中的有界性和等度连续性. 记A '在([,])C a b 中的一个界为A M ',B 在是R 中的一个界为B M .对于任意的[,]x a b ∈, 利用中值定理, 有 0000|()||()()||()||()()||()|().A B f x f x f x f x f x x f x M b a M ξ'≤-+'=-+≤-+ 此即表明[,]m a x |()|()A B x a b f xM b a M '∈≤-+, 所以A 在([,])C a b 中有界. 进而对于,[,]x y a b ∈|()()||()()|||.A f x f y f x y M x y ξ''-=-≤-由此易知A 具有等度连续性.[必要性] 设A 是1([,])C a b 中的列紧集, 即对于A 的任何点列1{()}n n f x ∞=在1([,])C a b 中的范数(距离)[,][,]||||:max |()|max |()|x a b x a b f f x f x ∈∈'=+意义下都有收敛的子列1{()}k n k f x ∞=. 因此, 1{()}n n f x ∞=和1{()}n n f x ∞='分别在([,])C a b 中有收敛的子列的1{()}k n k f x ∞=和1{()}k n k f x ∞='. 这表明,A 和A '均是([,])C a b 中的列紧集, 因此A 和A '均在([,])C a b 中有界且等度连续, 因此得到(i)和(iii). 由A 的有界性, 可以知道集合0{()|()}B f x f x A =∈对于任意的0x [,]a b ∈都是R 中的有界集, 因此得到(ii).25．设X 是(完备)线性距离空间，M 是X 的子集，M 的凸包指的是M 中元素任何凸组合的全体，即}11Co |1,0,,1,2,,,nni i i i i i i M x x M i n n λλλ==⎧==≥⎨⎩∈=∀∈∑∑N 试证若M 是X 中列紧集，则Co M 也是列紧集.证明: 因为X 是完备的，我们只需证明对任意的0ε>, Co M 存在列紧的ε-网即可. 事实上, 既然M 是X 中列紧集，因此是完全有界集, 故存在有限ε-网:12{,,,}m B z z z ε= .我们可以断言B ε的凸包Co B ε是X 中列紧集且是Co M 的ε-网.(i) 对于任意的Co y M ∈, 存在i x M ∈, 0i λ≥,1,2,i m = , 使得11mii λ==∑且1mi i i y x λ==∑.对于其中的每一个i x , 存在i n z B ε∈, 使得||||,1,2,,.i i n x z i n ε-<=我们构造1imi m i yzλ==∑ . 则显然Co yB ε∈ , 且1111||||||||.ii m mi i i m i i mi i m i mi i y yx zx z λλλλεε====-=-≤-<=∑∑∑∑此即表明Co B ε是Co M 的ε-网.(ii) Co B ε是列紧的. 这是因为如果1{}k k y ∞=是Co B ε中的点列, 则每一个k y 可以表示为()()1mk k k i i i y z λ==∑,其中()()()11,0,,1,2,.mk k k i i i i z B i m ελλ==≥∈=∑注意到()()1{}k k i i k z λ∞=是Co B ε中的点列, 不难证明对于1,2,i m = , 存在公共的收敛子列()()1{}j j k k i i j x λ∞=, 则显然子列1{}j k j y ∞=是收敛的, 因此Co B ε是列紧的.26．设(,)X ρ是紧距离空间，映射:f X X →满足1212((),())(,)f x f x x x ρρ<. (12x x ≠)则(1) f 是否有唯一的不动点?(2) f 是否为压缩映射?解答: (1) f 存在唯一的不动点, 证明如下:(存在性) 定义映射:h X →R 为()(,())h x x f x ρ=.由所给条件知此映射是连续的, 而X 是紧空间表明此映射能在X 中取得上下确界. 因此存在y X ∈, 使得()(,())inf ()x Xh y y f y h x ρ∈==.断言()inf ()0x Xh y h x ∈==，则y 是f 的不动点：()y f y =. 若不然, ()0h y >, 则在所给的条件中取()x f y =有(())((),(()))(,())()h f y f y f f y y f y h y ρρ=<=,此与y 达到()h x 的下确界相矛盾.(唯一性) 若还有z X ∈使得()z f z =但z y ≠. 仍由所给的条件, 有0(,)((),())(,)z y f z f y z y ρρρ<=<.这是个矛盾. 故必有z y =.(2) f 可以不是压缩映射. 反例如下:[反例1] 记[0,1]X =, 其中距离定义为两点之间的Euclid 距离: ,x y X ∀∈, (,):||x y x y ρ=-. 因为X 是R 的闭子集, 因此是完备的, 显然也是紧的.定义映射:T X X →为: 对于x X ∈,():1xT x x =+. 显然T 是自映射, 且有唯一的不动点0.对于任意的,x y X ∈, 设x y ≠, 则,x y 中至少有一个不为零, 由此容易得到||(,)11(1)(1)x y x y Tx Ty x y x y ρ-=-=++++ ||x y <-(,)x y ρ=.所以T 满足所需的条件, 但T 不是压缩映射, 因为,[0,1],[0,1](,)1supsup 1(,)(1)(1)x y x y x yx yTx Ty x y x y ρρ∈∈≠≠==++.因此不存在常数[0,1)α∈, 使得对于所有的,x y X ∈,(,)(,)Tx Ty x y ραρ≤.[反例2] 记1{0}1,2,X n n ⎧⎫=⋃=⎨⎬⎩⎭, 其中距离定义为两点之间的Euclid 距离: ,x y X ∀∈, (,):||x y x y ρ=-. 因为X 是R 的闭子集, 因此是完备的, 显然也是紧的.定义映射:T X X →为: 对于x X ∈,11,,():10,0,x T x n n x ⎧=⎪=+⎨⎪=⎩显然T 是自映射, 且有唯一的不动点0.对于任意的,x y X ∈, 设x y ≠, 如果,\{0}x y X ∈, 则有正整数,m n , m n ≠, 使得11,x y n m==, 且11||(,)11(1)(1)m n Tx Ty n m n m ρ-=-=++++ ||m n nm -<11(,)x y n mρ=-=; 如果,x y 中有一个为零, 例如0x =, 也有11(,)011Tx Ty m m ρ=-=++1m <(,)x y ρ=. 所以T 满足所需的条件, 但T 不是压缩映射, 因为例如对于 11,n m x y n m==, 当,m n →∞时, 成立 11(,)11111(,)(1)(1)n m n m Tx Ty mnn m x y n m n mρρ-++==→++-,即不存在[0,1)α∈, 使得(,)(,)Tx Ty x y ραρ≤.补充题．证明课本20页定理8:对于距离空间(,)X ρ中的任何集合G , G '与G 均是闭集.证：(i) 根据闭集的定义, 仅需证明()G G '''⊆.事实上, 设()y G ''∈, 则对于任意的0ε>((,)\{})S y y G ε'⋂≠∅.设((,)\{})x S y y G ε'∈⋂, 根据极限点的定义, 对于min{(,),(,)}0x y x y δρερ=->,有((,)\{})S x x G δ⋂≠∅.又(,)(,)S x S y δε⊆,因此有((,)\{})((,)\{})S y y G S x x G εδ⋂⊇⋂≠∅.注意到0ε>的任意性, 即可得到y G '∈. 因此G '是闭集.(ii) 需证明的是G G '⊆. 因为G G G '=⋃, 又()A B A B '''⋃⊆⋃,(*)故由(i)中已经证明了的结果, 有()G G G G G G G '''''''=⋃⊆⋃⊆⊆,因此G 是闭集.如下证明(*): 设y A B ''∉⋃, 则y A '∉, 且 y B '∉.由前者知存在某个00ε>, 使得0((,)\{})S y y A ε⋂=∅;由后者知存在某个10ε>, 使得1((,)\{})S y y B ε⋂=∅.取001min{,}δεε=, 则00δ>, 且0((,)\{})()S y y A B δ⋂⋃=∅,所以()y A B '∉⋃, 即(*)得证.补充题. 设A 是([,])C a b 中的一个有界集, 记():()()xa B F x f t dt f x A ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎰.证明B 是([,])C a b 中的列紧集.证：根据Arzela-Ascoli 定理, 需证明B 在([,])C a b 中有界且等度连续即可.(i) B 在([,])C a b 中有界, 即B 作为由函数组成的集合是一致有界的. 事实上, 如果记A 的界为M ,则对于任意取定的()F x B ∈, 有某个()f t A ∈, 使得()()xaF x f t dt =⎰, 由此得知|()|()|()|xxaaF x f t dt f t dt =≤⎰⎰[,]max |()|||||xxC a b a t baaf t dt f dt ≤≤≤=⎰⎰[,]||||()()C a b f b a M b a ≤-≤-.因此B 是([,])C a b 中有界集, 且B 的界为()M b a -. (ii) B 在([,])C a b 中等度连续. 对于()F x B ∈,有某个()f t A ∈, 使得()()xa F x f t dt =⎰. 对于,[,]x xa b ∈ |()()|()()xxaaF x F xf t dt f t dt -=-⎰⎰()|()|xxxxf t dt f t dt =≤⎰⎰[,]max |()|||||xxC a b a t bxxf t dt f dt ≤≤≤=⎰⎰||M x x≤- . 由此易知B 具有等度连续性.(第二周的补充作业) 证明 pl (1p ≤<∞)中的三角不等式(Minkowski 不等式):||||||||||||p p p x y x y +≤+,其中1||||:||p pp kk x x∞==∑,1212(,,,,),(,,,,)p k k x x x x y y y y l ==∈ .证：当1p =时, 不等式显然成立, 以下不妨设1p <<∞, 并记/(1)q p p =-. 对于1(,)p x x l =∈ 和1(,)q y y l =∈ , 不失一般性, 设11||||||0,||||||0pqpqp kq kk k x xy y∞∞===>=>∑∑.在不等式11p q ab a b p q≤+中取||||||k p x a x =, ||||||k qy b y =, 则可得, (1,2,k = )||||1||1||||||||||||||||||p qk k k k p qp q p qx y x y x y p x q y ≤+. 对k 求有限和:111||||1||1||||||||||||||||||p qNN N k k k k p qk k k p q p qx y x y x y p x q y ===≤+∑∑∑ 1111=||||||||||||N Np qk k p qk k p q x y p x q y ==+∑∑ 1111||||||||||||pq k k p q k k p q x y p x q y ∞∞==≤+∑∑ 111p q=+=.令N →∞, 可得1||||1||||||||k k k p qx y x y ∞=≤∑, 整理可得(无穷和的Holder 不等式)1||||||||||||kk p q k xy x y ∞=⋅≤⋅∑.此即表明: 对于11(,),(,)p q x x l y y l =∈=∈ ,1(,,,,)k k k k k k x y x y x y x y l ⋅=∈ ,并且1||||||||||||p q x y x y ⋅≤⋅.以下设11(,,,),(,,,)p k k x x x y y y l ==∈ , 记11(||,,||,)p p q qk k z x y x y =++ , 则q z l ∈. 由上述的结果知道1,x z y z l ⋅⋅∈且1111/||||||||||||||||||||,p qk k k k pq pqqpkkk k k p qp p x z x x y xxy x x y ∞=∞∞==⋅=+≤+=+∑∑∑同理/11||||||||||||||||.pp qqk k k p p k y z y x y y x y ∞=⋅=+≤+∑由此可以得到11/1//11||||||||||||||||||||p p pk k k k k p qk k k k k p qp qk k k k k k k k x y x y x y x y x y x x y y x y ∞-=∞=∞∞==+=++=++≤+++∑∑∑∑//||||||||||||||||p q p qp p p px x y y x y ≤+++ 进而如果||||0p x y +=所欲证明的不等式显然成立, 故不妨设1||||||0pp pkk k x y xy ∞=+=+>∑, 则由上式得/||||p p qpx y -+≤||||||||p p x y +, 其中/1p p q -=, 由此得所欲求.第二章2. 设,X Y 是线性赋范空间， :T X Y →是线性映射，若T 是一对一的满射，则称X 与Y 是同构的.证明: 若X 是有限维线性赋范空间, 则*X 与X 同构. 证明：不妨设X 是n 维的, 1{}n i i e =和||||X ⋅分别是其基底和范数. 定义映射:*X X τ→为：对于任意的*f X ∈1122()()()()n n f f e e f e e f e e X τ=+++∈ .我们通过以下的步骤来证明:*X X τ→是同构.(i) :*X X τ→是映射. 显然.(ii) :*X X τ→是线性映射. 事实上, 对于任意的,*f g X ∈和数,a b , 我们有1111111111()()()()()(()())(()())[()()][()()]()(),n nn n n n n n n n af bg af bg e e af bg e e af e e bg e e af e e bg e e a f e e f e e b g e e g e e a f b g τττ+=++++=++++=+++++=+所以, τ是线性的.(iii) 映射:*X X τ→实际上还是满射. 事实上, 对于任意取定的11n n y y e y e X =++∈ , 我们要证明存在某个*h X ∈，使得()h y τ=. 事实上, 对于x =11n n x e x e ++ X ∈, 我们可规定,11():n n h x x y x y =++ .容易证得h 是X 上线性泛函, 例如线性性质可以验证如下: 对于任意的数,a b 以及(1)(1)(1)11n n x x e x e =++ 和(2)(2)(2)11n n x x e x e =++ X ∈, 成立(1)(2)(1)(2)(1)(2)111()()()n n nh ax bx ax bx y ax bx y +=++++ (1)(1)(2)(2)1111(1)(1)(2)(2)1111(1)(2)()()()().n n n n n n n n ax y ax y bx y bx y a x y x y b x y x y ah x bh x =+++++=+++++=+进而, 根据Cauchy 不等式, 我们有11222211221|()|||||||,n n nnn E h x x y x y y y x x y y K x =++≤++⋅++≤++⋅这里, 我们用到了第3题的结论: 有限维线性赋范空间X 上任意两个范数都是等价的. 因此，鉴于221||||:E n x x x =++也是X 中的一个范数(易于验证，此处从略), 因此||||E ⋅与||||X ⋅等价, 即存在正数0K >, 使得221||||||||E n X x x x K x =++≤ , (x X ∀∈),因此h 是X 上的有界线性泛函, 即*h X ∈且221||||n h K y y ≤++ . 显然112112()(100),()(001).n n n n h e h e e e y h e h e e e y =+++==+++=即h 正是y 在τ作用下的原像.(iii) 映射:*X X τ→实际上还是单射. 事实上, 若有某个*f X ∈, 使得1()000n f e e τ==++ . 即1()0,,()0n f e f e == ,因此对于任意的11n n x x e x e X =++∈11()()()0n n f x x f e x f e =++= .因此, ()0f x ≡(x X ∀∈), 即0f =.(iv) 对于11n n y y e y e X =++∈ 和1,2,,j n = 定义():j j f y y =.则显然*j f X ∈并且线性无关, 因为若有常数1,,n c c , 使得110n n c f c f ++= ,即对于所有的11n n y y e y e X =++∈ , 恒有11()()0n n c f c f y ++≡ ,分别取1,,n y e y e == , 则可得到10n c c === .最后, 对于任意的*f X ∈, f 由在1{}n i i e =上的值所唯一确定, 即对于11n n y y e y e X =++∈ ,11()()()n n f y y f e y f e =++ 11()()()()n n f y f e f y f e =++ 11()()()()n n f e f y f e f y =++ 11[()()]()n n f e f f e f y =++ .即11()()n n f f e f f e f =++ ,所以, 1{,,}n f f 是*X 的一组基底.附加题: 设V 和W 分别是n 和m 维赋范线性空间, 问(,)L V W 与何种空间同构?答: 设V 和W 分别是n 和m 维赋范线性空间, 有序基和范数分别为:1{}n i i v =和||||V ⋅, 1{}m i i w =和||||W ⋅.对于任意的,v V w W ∈∈, 存在唯一的1(,,)n n a a ∈R 和1(,,)m n b b ∈R , 使得1111(,,)(,,),(,,)(,,)T T n n m m v v v a a w w w b b ==设(,)T L V W ∈即:T V W →是有界线性算子, 根据线性代数的知识, 存在唯一一个m n ⨯矩阵()ij m n A A ⨯=, 使得如果将变换:T V W →写为w Tv =, 则T 的坐标表示为11(,,)(,,)T T m n b b A a a = ,基的表示为11(,,)(,,)n m T v v A w w =即1()mj ij i i T v A w ==∑, 1,2,,j n = .由此得知, 如果记{|()}ij m n A A A m n ⨯Γ==⨯是矩阵,赋予矩阵的加法和数乘, 则Γ成为线性空间. 考虑映射::(,)L V W τ→Γ,定义为: 对于(,)T L V W ∈,():T A τ=,则容易证明既单又满的线性映射, 因此(,)L V W 与Γ线性同构. 既然Γ是m n ⨯维线性空间, (,)L V W 亦然,3. 设X 是有限维线性赋范空间，试证：X 上任意两个范数都是等价的.证明一: 不妨设X 是n 维的, 1{}n i i e =是其基底, 1||||⋅和2||||⋅是其上的任意两个范数. 因为“有限维线性赋范空间是完备的”，因此1||||⋅和2||||⋅都完备.在X 中引入一个新的范数||||E ⋅如下：对于11n n x x e x e X =++∈ ，定义1||||:max ||E k k nx x ≤≤=.则容易验证, ||||E ⋅且(,||||)E X ⋅是Banach 空间. 显然, 对于任意的11n n x x e x e X =++∈ , 成立1111111111111111111||||||||||||||||||||||||||||max ||(||||||||)(||||||||)||||.n n n n n n k n k nn E x x e x e x e x e x e x e x e e e e x ≤≤=++≤++=⋅++⋅≤⋅++=++⋅因此范数||||E ⋅强于范数1||||⋅, 根据范数等价性定理, 即知范数||||E ⋅等价于范数1||||⋅. 同理可证范数||||E ⋅等价于范数2||||⋅, 由此易知范数1||||⋅等价于范数2||||⋅. 证明二: 设1||||⋅和2||||⋅是X 上的任意两个范数, 因为X 是有限维线性赋范空间，因此1(,||||)X ⋅和2(,||||)X ⋅都是Banach 空间, 在X 中再引入一个新范数: 对于任意的x X ∈, 定义12||||:||||||||x x x =+.非常容易地可以证明这个新范数也是完备的即(,||||)X ⋅也是Banach 空间. 而新范数||||⋅强于1||||⋅, 即1||||||||x x ≤,(x X ∀∈).因此, 根据范数等价性定理(58页引理1), 新范数||||⋅与1||||⋅等价, 即存在正数|0K >, 使得||||x ≤1||||K x(x X ∀∈).又因为新范数||||⋅强于2||||⋅, 即2||||||||x x ≤, 因此得到2||||||||x x ≤≤1||||K x ,(x X ∀∈).此即表明: 1||||⋅和2||||⋅等价.5．设X 是Banach 空间，,()T S L X ∈，由0TS =能否推出(1) T 与S 至少有一个为零? 或 (2) 0ST =? 答：(1) 由0TS =不能推出T 与S 至少有一个为零. 反例如下: 定义2,()T S L ∈R 分别为: 对于任意的2(,)x y ∈R ,(,)(,0),(,)(0,).T x y x S x y y ==则容易验证, ,T S 都是上的线性算子, 但,T S 都不是零算子, 而(,)(0,)(0,0),TS x y T y ==即0TS =.(在标准基底下, ,T S 分别对应矩阵1000⎛⎫⎪⎝⎭和0001⎛⎫⎪⎝⎭, TS 对应于矩阵乘法1000⎛⎫ ⎪⎝⎭0001⎛⎫ ⎪⎝⎭=0000⎛⎫⎪⎝⎭)(1) 由0TS =不能推出0ST =. 反例如下: 定义2,()T S L ∈R 分别为: 对于任意的2(,)x y ∈R , (,)(0,),(,)(,0).T x y y S x y y ==则容易验证, ,T S 都是上的线性算子, 且,T S 都不是零算子, 而(,)(,0)(0,0),TS x y T y ==即0TS =, 但(,)(0,)(,0)ST x y S y y ==,即0ST ≠. (注意, 也可以习题6为例. (在标准基底下, ,T S 分别对应于矩阵0001⎛⎫⎪⎝⎭和0010⎛⎫⎪⎝⎭, TS 对应于矩阵乘法1000⎛⎫ ⎪⎝⎭0010⎛⎫ ⎪⎝⎭=0000⎛⎫⎪⎝⎭; 而ST 对应于矩阵乘法0010⎛⎫ ⎪⎝⎭1000⎛⎫ ⎪⎝⎭=00001000⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)6．定义2([0,1])L 上算子12,T T 分别为1120()(),()(),T f t tf t T f t tsf s ds ==⎰试证12,T T 是2([0,1])L 上的有界线性算子,但1T 与2T 不可交换, 即121221[,]0T T TT T T =-≠.证：容易证明算子12,T T 都有意义, 且是线性的. 对于任意的2([0,1])f L ∈, 由1T 的定义22121101122()()()(),L L T f T f s dssf s ds f s ds f ==≤=⎰⎰⎰因此1T 是有界的且11T ≤.由2T 的定义22122201122()()()(),L L T f T f s dstsf s ds f s ds f ==≤=⎰⎰⎰因此2T 是有界的且21T ≤.注意到1112121000()()()(),TT f t T tsf s ds t tsf s ds tsf s ds ===⎰⎰⎰1122120()[()]()(),T T f t T tf t tssf s ds t s f s ds ===⎰⎰因此112212210()()()(),TT T T f t tsf s ds t sf s ds -=-⎰⎰显然如果我们取()1f t ≡, 则1122122102()()110.23TT T T f t t sds t s dst t -=-=-≠⎰⎰7．设([0,1])L ϕ∞∈，定义2([0,1])L 上的算子M ϕ为,M f f ϕϕ=试证M ϕ有界线性算子,并求M ϕ的范数.证：因为([0,1])L ϕ∞∈, 其范数定义中的下确界可以达到, 即存在零测集0[0,1]E ⊂, 使得[0,1][0,1]\[0,1]\0:infsup |()|sup |()|L E t Et E mE t t ϕϕϕ∞⊂∈∈===.(i) 算子M ϕ22:([0,1])([0,1])L L →有意义. 这也只需证明对于2([0,1])f L ∈, 2([0,1])M f f L ϕϕ=∈即可. 事实上, 容易得知M f f ϕϕ=是可测函数, 且()20021201222[0,1]\22[0,1]\[0,1]\122()()()()()()()sup ()(),L E E s E L LLM f M f s dss f s dss f s dsf s s dsf s dsfϕϕϕϕϕϕϕ∞∞∈===⎛⎫≤ ⎪⎝⎭==<∞⎰⎰⎰⎰⎰由此得知2([0,1])M f f L ϕϕ=∈.(ii) M ϕ是线性的. 事实上，对于2,([0,1])f g L ∈以及任意的数a 和b ，()[]()().M af bg af bg a f b gaM f bM g ϕϕϕϕϕϕ+=+=+=+所以M ϕ是线性算子. (iii) 断言: L M ϕϕ∞=.对于任意的2([0,1])f L ∈, 由M ϕ的定义212012()()()()L M f M f s dss f s dsϕϕϕ==⎰⎰22[0,1]$)()E s f s ds ϕ=⎰()00222[0,1]\[0,1]\122()sup ()(),E s E LL L f s s dsf s dsfϕϕϕ∞∞∈⎛⎫≤ ⎪⎝⎭==⎰⎰因此M ϕ是有界的且L M ϕϕ∞≤.反之, 我们要证明L M ϕϕ∞≥. 不失一般性, 可假设0L ϕ∞>. 因为L ∞范数中的下确界可以达到, 不妨设有零测集0[0,1]E ⊂, 使得[0,1]\sup |()|L t E t ϕϕ∞∈=.对于任意的0L εϕ∞<<, 由上确界的定义,存在正测度的子集0[0,1]\E E ⊂,使得|()|L t ϕϕε∞≥-, t E ∈.(若不然, 如果使得|()|L t ϕϕε∞≥-的点t E ∈所组成的集合E 是零测集, 则在集合0([0,1]$\E E 上恒有|()|L t ϕϕε∞<-,此与L ϕ∞的定义相矛盾). 定义1,,()0,[0,1]\.t E f t mEt E ε⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩则2()([0,1])f t L ε∈且22121||||()1L Ef f t dt dt mEεε===⎰⎰. 根据算子范数的性质, 我们可以得到2||||||||||||L M f M ϕεϕ=2222||()||||||1()L L EM f f t dt mEϕεεϕϕ≥==⎰221()L Et dt mEϕε∞≥-⎰()21()().L EL t dt mEt ϕεϕε∞∞=-=-⎰鉴于ε的任意性, 我们最终得到L M ϕϕ∞≥.[附加练习] 设([0,1])L ϕ∞∈，再设1p ≤≤∞, 定义([0,1])p L 上的算子M ϕ为,M f f ϕϕ=试证M ϕ有界线性算子,并求M ϕ的范数.[附加练习] 设12(,,,,)k y y y y l ∞=∈ ，定义2l 上的算子y M 为: 对于任意的212(,,,,)k x x x x l =∈ ,1122:(,,,,)y k k M x y x y x y x = .试证y M 有界线性算子,并求y M 的范数.(提示: ||||||||y l M y ∞=.)[附加练习] 设([0,1])qL ϕ∈，其中1q <<∞. 设p 满足111p q+=. 对于任意的([0,1])p f L ∈, 定义 [0,1]():()()T f t f t dt ϕ=⎰.试证*(([0,1]))pT L ∈,并求T 的范数. (提示: [0,1]||||||||q L T ϕ=.)[附加练习] 设qy l ∈，其中1q <<∞. 设p 满足111p q+=. 对于任意的p x l ∈, 定义 1122():k k T x x y x y x y =++ .试证*()p T l ∈,并求T 的范数. (提示: ||||||||q l T y =.)8．定义2l 上的算子S 为1212(,,,,)(0,,,,,)n n S x x x x x x = .试证S 有左逆, 但无右逆.证： (i) S 的左逆算子是左位移算子T :1223(,,,,)(,,,,)n n T x x x x x x = .事实上, 对于任意的212(,,,,)n x x x x l =∈ ,121212()(,,,,)(0,,,,,)(,,,,)().n n n TS x TS x x x T x x x x x x x I x =====即TS I =, 因此S 有左逆算子为T .(ii) 因为S 不是满射, 因此S 无右逆算子. 若不然, 设S 存在右逆算子是T , 则ST I =. 但是, 对于例如2(1,0,0,,0,)y l =∈ ,记12()(,,,,)n T y y y y = , 则1212()(,,,,)(0,,,,,)(1,0,,0,).n n ST y S y y y y y y y ==≠=由此产生的矛盾表明ST I =是不可能的. 9．试证微分算子1:([0,1])([0,1])dT C C dt=→有右逆, 但无左逆. 证： (i) dT dt=的右逆算子是积分算子0t P =⎰: 即对于任意的()([0,1])x t C ∈()()tP x x d ττ=⎰.显然([0,1])C TP I =, 因为对于任意的()([0,1])x t C ∈()()0()()()().t t TP x Tx d dx d dtx t ττττ===⎰⎰(ii) 因为T 不是单射, 因此T 无左逆算子. 若不然, 设T 存在左逆算子是Q , 则1([0,1])C QT I =. 但是, 对于例。