2017学年人教版高中数学选修2-1课时跟踪检测(八) 椭圆的简单几何性质 Word版含解析
2017-2018学年人教B版高中数学选修2-1检测：2.2椭圆课时作业(八)含答案
8．已知椭圆C ：错误!＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P （x 0,y 0)满足0＜错误!＋y 错误!＜1,则｜PF 1|＋|PF 2｜的取值范围是________．解析：由于0＜错误!＋y 错误!＜1，所以点P (x 0，y 0)在椭圆错误!＋y 2＝1内部，且不能与原点重合． 根据椭圆的定义和几何性质知，|PF 1｜＋｜PF 2｜＜2a ＝2错误!，且｜PF 1|＋|PF 2|的最小值为点P 落在线段F 1F 2上，此时|PF 1｜＋｜PF 2|＝2.故|PF 1｜＋|PF 2|的取值范围是［2，2错误!）．答案：［2，22)9．椭圆x 2a2＋错误!＝1（a 为定值，且a ＞错误!)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A ，B ，△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析:如图所示，设椭圆右焦点为F 1，AB 与x 轴交于点H ，则|AF |＝2a －｜AF 1|，△ABF 的周长为2|AF ｜＋2｜AH |＝2（2a －｜AF 1｜＋｜AH |)，∵△AF 1H 为直角三角形，∴|AF 1｜＞｜AH ｜，仅当｜AF 1｜＝B组能力提升11．椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1｜,｜F1F2|,｜F1B｜成等比数列，则此椭圆的离心率为( ）A.14B。
错误!C.错误!D.错误!－2解析：因为A，B为左,右顶点,F1，F2为左,右焦点，所以｜AF1｜＝a－c，|F1F2|＝2c,|F1B｜＝a＋c。
又因为|AF1｜，｜F1F2｜，|F1B|成等比数列，所以(a－c）（a＋c)＝4c2,即a2＝5c2.所以离心率e＝错误!＝错误!，故选B。
答案：B12．如图所示,将椭圆错误!＋错误!＝1的长轴(线段AB）分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2,P3，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点,则｜P1F｜＋｜P2F｜＋…＋｜P7F|＝________.故所求的椭圆离心率的取值范围是错误!＜e＜1。
【创新设计】高中数学(人教版选修2-1)配套练习：2.2.2椭圆的简单几何性质(含答案解析)
2.2.2 椭圆的简单几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b 2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45 B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22C.2－1D.225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0A ．(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______．9．椭圆E ：x 216＋y 24＝1内有一点P(2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为____________． 三、解答题 10.如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2c (c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e.11．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．能力提升12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.1313．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用． 3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．2.2.2 椭圆的简单几何性质知识梳理 1.作业设计1．B [先将椭圆方程化为标准形式：x 29＋y 225＝1，其中b ＝3，a ＝5，c ＝4.] 2．A 3.B4．A [由(a ＋c)2＝a 2＋2b 2＋c 2， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋ac －a 2＝0， ∵e ＝ca ，∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝－1＋52.]5．B [∵4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4. ∴点P(m ，n)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．]∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部， 设点P 为椭圆上任意一点，则|OP|>c 恒成立， 由椭圆性质知|OP|≥b ，其中b 为椭圆短半轴长， ∴b>c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴⎝⎛⎭⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22.又∵0<e<1，∴0<e<22.] 7.x 245＋y 236＝1 解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，将点(－5,4)代入得25a 2＋16b2＝1，又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，解之得a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.8.255解析 由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝c a ＝255.9．x ＋2y －4＝0解析 设弦的两个端点为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2116＋y 214＝1x 2216＋y 224＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k MN ＝－12，由点斜式可得弦所在直线的方程为y ＝－12(x －2)＋1，即x ＋2y －4＝0.10．解 依题意知H ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0，F(c,0)，B(0，b)．设P(x P ，y P )，且x P ＝c ，代入到椭圆的方程， 得y P ＝b 2a.∴P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .∵HB ∥OP ，∴k HB ＝k OP ，即b －00＋a 2c ＝b 2a c.∴ab ＝c 2. ∴e ＝c a ＝b c ，∴e 2＝a 2－c 2c 2＝e －2－1.∴e 4＋e 2－1＝0.∵0<e<1，∴e ＝5－12. 11．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0. 解得－52≤m≤52. (2)设直线与椭圆交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝15(m 2－1)．设弦长为d ，且y 1－y 2＝(x 1＋m)－(x 2＋m)＝x 1－x 2， ∴d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2. ∴当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x. 12．B [由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2， ∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac.∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0. ∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．]13．解 (1)∵a ＝2，c ＝3，∴b ＝a 2－c 2＝1. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P(x 0，y 0)，M(x ，y)，由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12. 又∵x 204＋y 20＝1，∴(2x －1)24＋⎝⎛⎭⎫2y －122＝1 即为中点M 的轨迹方程．。
人教版数学选修2-1第2章 第1课时椭圆的简单几何性质学业分层测评
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为35的椭圆的标准方程是( ) A.x 2100＋y 236＝1 B.x 2100＋y 264＝1 C.x 225＋y 216＝1D.x 225＋y 29＝1【解析】 由题意知2b ＝8，得b ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16，又e ＝c a ＝35，解得c ＝3，a ＝5，又焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1，故选C.【答案】 C2.椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ) A.12 B.13 C.14D.22【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12. 【答案】 A3.曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系是( )【导学号：37792055】A.有相等的焦距，相同的焦点B.有相等的焦距，不同的焦点C.有不等的焦距，不同的焦点D.以上都不对【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.【答案】 B4.如图2-2-4，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为()图2-2-4A.15 B.25C.55 D.255【答案】 D5.已知O是坐标原点，F是椭圆x24＋y23＝1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos∠MON的值为()A.513 B.－513C.21313 D.－21313【解析】由题意，a2＝4，b2＝3，故c＝a2－b2＝4－3＝1.不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以124＋y203＝1，解得y0＝±32，所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫322＝132.由余弦定理知cos∠MON＝|OM|2＋|ON|2－|MN|22|OM||ON|＝⎝⎛⎭⎪⎫1322＋⎝⎛⎭⎪⎫1322－322×132×132＝－513.【答案】 B 二、填空题6.已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________.【导学号：37792056】【解析】 如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12.【答案】 127.设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ·k OM ＝________.【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，得k AB＝y 2－y 1x 2－x 1， k OM ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，k AB ·k OM ＝y 22－y 21x 22－x 21，b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2， 得b 2(x 22－x 21)＋a 2(y 22－y 21)＝0，即y 22－y 21x 22－x 21＝－b 2a 2.【答案】 －b 2a 28.已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________.【解析】 因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.【答案】 [1,2] 三、解答题9.(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程.【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0). 设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0). ∵e ＝c a ＝55，c ＝5， ∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1. (2)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， ∵2c ＝8，∴c ＝4， 又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20. ∴椭圆的方程为x 236＋y 220＝1.10.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OPA ＝120°，求椭圆的离心率.【导学号：37792057】【解】 不妨设A (a,0)，点P 在第一象限内，由题意知，点P 的横坐标是a2，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝34b 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32b ，又∠OPA ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan ∠POA ＝32b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝ca ＝a 2－b 2a＝(3b )2－b 23b＝223. [能力提升]1.设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A.22B.2－1C.2－ 2D.2－12【解析】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由题意得|PF 2|＝b 2a ＝2c ， 即a 2－c 2a ＝2c ，得离心率e ＝2－1，故选B. 【答案】 B2.“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12， 当0<m <4时，4－m 2＝12，得m ＝3， 当m >4时，m －4m＝12，得m ＝163，即“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的充分不必要条件. 【答案】 A3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________.【解析】 由AP →＝2PB →，得|AO |＝2|FO |(O 为坐标原点)，即a ＝2c ， 则离心率e ＝12. 【答案】 124.已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；【导学号：37792058】(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.【解】 (1)由已知可得A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y ).由已知得⎩⎨⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或x ＝－6. 由于y >0，所以只能取x ＝32，于是y ＝52 3. 所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，523.(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，又B (6,0)， 于是|m ＋6|2＝|m －6|， 又－6≤m ≤6，解得m ＝2，设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2 ＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋15，由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取最小值为15.。
人教新课标版数学高二选修2-1课时作业 2-2-2-1椭圆的简单几何性质
课时作业11 椭圆的简单几何性质时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A .3B .32C .83D .23解析：∵a 2＝2，b 2＝m ，e ＝c a ＝1－b 2a 2＝1－m 2＝12，∴m ＝32. 答案：B2．若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1,0)，F 2(3,0)，则其离心率e 是( )A .34B .23C .12D .14解析：由椭圆定义知|OF 1|＋|OF 2|＝2a ，∴2a ＝4，∴a ＝2，又∵c ＝1，∴e ＝c a ＝12.答案：C3．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( )A .2m －1m －1B .－2－m mC .2mm D ．－21－m m －1解析：椭圆方程可简化为x 211＋m ＋y 21m ＝1，由题意知m>0，∴11＋m <1m ，∴a ＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2m m. 答案：C4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)和x 2a 2＋y 2b 2＝k(k>0)具有( )A ．相同的长轴长B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的顶点 解析：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝a 2－b 2a ；x 2a 2＋y 2b2＝k 可化为x 2a 2k ＋y 2b 2k＝1(k>0)，其离心率e 2＝a 2k －b 2ka 2k＝a 2－b 2a.∴e 1＝e 2. 答案：C5．椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个正方形，则此椭圆的离心率为( )A .12B .22C .32 D .33解析：由题意知b ＝c ，a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.答案：B6．(2009·江西高考)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A .22B .33 C .12 D .13图1解析：∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，∴|PF 1|＝12|PF 2|，∴32|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝43a ， |PF 1|＝23a ，在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|2＋|F 1F 2|2＝|PF 2|2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋(2c)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2⇒e ＝c a ＝33，故选B .答案：B二、填空题(每小题8分，共24分)7．椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2的两段，则椭圆的离心率是________．解析：由题意知a ＋c a －c ＝32，即1＋e 1－e ＝32，∴e ＝15.答案：158．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，由2a ＝12知a ＝6.又e ＝c a ＝32，故c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9.∴椭圆的标准方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝19．若椭圆x 2k ＋2＋y 24＝1的离心率e ＝13，则k 的值等于________．解析：当焦点在x 轴上时，a ＝k ＋2，b ＝2，c ＝k －2，e ＝ca＝k －2k ＋2＝13，解得k ＝52；当焦点在y 轴上时，a ＝2，b ＝k ＋2，c＝2－k ，e ＝ca ＝2－k 2＝13，解得k ＝149.所以k ＝52或k ＝149. 答案：52或149三、解答题(共40分)10．(10分)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)； (2)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63.解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)．由已知a ＝3b 且椭圆过点(3，－1)，∴32(3b )2＋1b 2＝1或1(3b )2＋32b 2＝1， ∴⎩⎨⎧a 2＝18，b 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝82，b 2＝829.故所求椭圆的方程为x 218＋y 22＝1或y 282＋x 2829＝1.(2)当椭圆的焦点在x 轴上时， 由题意知a ＝3，c a ＝63，∴c ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3. ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，由题意知b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.图211．(15分)如图2，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解：法1：设焦点坐标为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为(c ，23b)．在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2，而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab.又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.法2：设M(c ，23b)，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.12．(15分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，F 1、F 2分别是它的左、右焦点，如果在椭圆上存在一点M(x 0，y 0)，使得∠F 1MF 2＝π3，求离心率e 的取值范围．解：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，有(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3＝(r 1＋r 2)2－3r 1r 2，又r 1＋r 2＝2a ，∴4a 2－4c 2＝3r 1r 2≤3(r 1＋r 22)2＝3a 2，即a 2≤4c 2，∴e 2＝(c a )2≥14.又0<e<1，∴12≤e<1(当且仅当r 1＝r 2，即△F 1MF 2为等边三角形时等号成立)．。
高中数学选修2-1课时作业12：2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)一、选择题1.已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( ) A.点(－3，－2)不在椭圆上B.点(3，－2)不在椭圆上C.点(－3,2)在椭圆上D.无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上2.椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.233.椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|的值为( ) A.32 B. 3 C.72 D.44.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C.x 2＋4y 2＝1D.x 2＋4y 2＝4或4x 2＋y 2＝165.椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点P 的纵坐标是( ) A.±34B.±32C.±22D.±346.若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为( )A.5－12B.3－12C.32D.5＋12 7.椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系为( ) A.有相等的长、短轴长B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相同的顶点二、填空题8.若点O 和点F 分别为椭圆x 22＋y 2＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则|OP |2＋|PF |2的最小值为________.9.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________.10.若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m ＝________. 三、解答题11.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过点E (a 2c ，0)的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，求椭圆的离心率.13.已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0).(1)求椭圆E的标准方程；(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围.[答案]精析1.C2.A [将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，即a ＝1，c ＝a 2－b 2＝32，故离心率e ＝c a ＝32.] 3.C [由x 24＋y 2＝1知，F 1，F 2的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，即点P 的横坐标为x P ＝－3，代入椭圆方程得|y P |＝12， ∴|PF 1|＝12. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72.] 4.D [若焦点在x 轴上，则a ＝2.又e ＝32，∴c ＝ 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴方程为x 24＋y 2＝1， 即x 2＋4y 2＝4.若焦点在y 轴上，则b ＝2.又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14， ∴a 2＝4b 2＝16，∴方程为x 24＋y 216＝1，即4x 2＋y 2＝16.] 5.B [设椭圆的右焦点为F 2，由题意知PF 2⊥x 轴，因为a 2＝12，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3.所以点P 和点F 2的横坐标都为3.故将x ＝3代入椭圆方程，可得y ＝±32.故选B.] 6.A [依题意得，4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝c a， 即1－e 2＝e .∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值).] 7.B8.2[解析] 设P (x 0，y 0)，而F (－1,0)，∴|OP |2＋|PF |2＝x 20＋y 20＋(x 0＋1)2＋y 20. 又y 20＝1－x 202， ∴|OP |2＋|PF |2＝x 20＋2x 0＋3＝(x 0＋1)2＋2≥2.∴|OP |2＋|PF |2的最小值为2.9.x 25＋y 24＝1 [解析] ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线.∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1.设P (1，12)，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ， ∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2).∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. 10.14或4 [解析] 方程化为x 2＋y 21m＝1，则有m >0且m ≠1. 当1m<1，即m >1时，依题意有1－1m 1＝32， 解得m ＝4，满足m >1；当1m>1，即0<m <1时，依题意有1m －11m ＝32， 解得m ＝14，满足0<m <1. 综上，m ＝14或4. 11.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0). 由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23， ∴a ＝3，c ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0).如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.12.解 由F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |， 得|EF 2||EF 1|＝|F 2B ||F 1A |＝12，从而a 2c －c a 2c ＋c ＝12，整理得a 2＝3c 2. 故离心率e ＝c a ＝33.13.解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2， ∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0， 即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3.∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32.∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1).。
人教新课标版数学高二选修2-1限时练 椭圆的简单几何性质(二)
2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)一、选择题1．线段|AB |＝4，N 为AB 的中点，动点P 满足条件|P A |＋|PB |＝6，当P 点在同一平面内运动时，|PN |的最大值M ，最小值m 分别是( )A ．M ＝4，m ＝ 3B ．M ＝3，m ＝ 5C ．M ＝5，m ＝ 5D ．M ＝3，m ＝ 32．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73C.⎝⎛⎭⎫－23，13D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 3．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( ) A ．2B ．2或83C ．2或6D ．2或84．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最大值的点P 为( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(0,1)或(0，－1)5．已知椭圆：x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B. 2C.32D. 3 6．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，c >0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且c 2＝a 2－b 2.若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．[12，1) B ．(0，12] C ．[22，1) D ．(0，22] 7．已知椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y ＝1相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OM 的斜率为2，则n m的值为( ) A.22 B.12C. 2 D ．2 二、填空题8．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________．9．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．10．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．若ED ＝6DF ，则k 的值为________．三、解答题11．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB ＝2OA ，求直线AB 的方程．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，离心率为63.过点F 2的直线l (斜率不为0)与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程．13．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程．参考答案1．B [由|P A |＋|PB |＝6>|AB |＝4，∴P 的轨迹是以A 、B 为焦点，N 为中心的椭圆．则M ＝|PN |max ＝a ＝3，m ＝|PN |min ＝b ＝a 2－c 2＝9－4＝ 5.]2．C [把y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得3x 2＋4x －2＝0，所以弦的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13.] 3．D [显然m >0且m ≠4，当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上， 则1m －141m ＝22， 解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上， 则14－1m 14＝22， 解得m ＝8.]4．D [由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝4， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2，即P (0，－1)或(0,1)时，取“＝”．]5．D [由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以|AB |的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎫－c ，32，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b2＝1，所以b 24＝94b 2，解得b 2＝3， 所以b ＝ 3.]6．B [圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2c ≤a ，c 2a 2＋c 2b 2≤1，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ≤12，e 4－3e 2＋1≥0，结合e ∈(0,1)，可得0<e ≤12.] 7．A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点M (x 0，y 0)，由题意可得y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 0x 0＝2，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，① 因为A ，B 在椭圆上，所以mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 22＝1， 两式相减可得m (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋n (y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.②所以y 1－y 2x 1－x 2＝－m (x 1＋x 2)n (y 1＋y 2)，即－1＝－m (x 1＋x 2)n (y 1＋y 2)， 所以－1＝－m n ·22，即n m ＝22.] 8．2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧p ＋r ＝a －c ，q ＋r ＝a ＋c ， ∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )，∴2b ＝2(p ＋r )(q ＋r ).9．2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点， 所以|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4， 即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．10.23或38解析 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED ＝6DF 知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，由此解得k ＝23或k ＝38. 11．解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)， 其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4. 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1. (2)方法一 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中， 得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB ＝2OA ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .方法二 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2. 由OB ＝2OA ，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2. 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .12．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，b ＝ 2.故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1. (2)由题意可知直线l 的斜率存在．设其方程为y ＝k (x －2)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (－x 3，－y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －2)，得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，则x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k 1＋3k 2， 所以AB 的中点D 的坐标为(6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2)， 因此直线OD 的方程为x ＋3ky ＝0(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3ky ＝0，x 26＋y 22＝1， 解得y 23＝21＋3k 2，x 3＝－3ky 3， 因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以2F M ·2F N ＝0.即(x 3－2，y 3)·(－x 3－2，－y 3)＝0，所以4－x 23－y 23＝0，所以4－2(9k 2＋1)1＋3k 2＝0.解得k ＝±33. 故直线l 的方程为y ＝±33(x －2)． 13．解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)， 所以1a 2＋94b2＝1.① 又因为离心率为12，所以c a ＝12，所以b 2a 2＝34.② 解①②得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线的倾斜角为π2时， A (－1，32)，B (－1，－32)， 2ABF S ＝12|AB |×|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227. 当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)， 代入x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以2ABF S＝12|y 1－y 2|×|F 1F 2| ＝|k |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝|k | (－8k 24k 2＋3)2－4·4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227， 所以17k 4＋k 2－18＝0，解得k 2＝1(k 2＝－1817舍去)， 所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。
【三维设计】2016-2017学年人教版高中数学选修2-1课时跟踪检测(八) 椭圆的简单几何性质 Word版含解析
课时跟踪检测（八） 椭圆的简单几何性质层级一 学业水平达标1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A ．12B ．32 C ．34D ．64解析：选A 依题意，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A ．3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P ．若AP ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )A ．32B ．22C ．13D ．12解析：选D ∵AP ＝2PB ，∴|AP |＝2|PB |． 又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即aa ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12．5．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0) 解析：选C 化为标准方程是x 2－n ＋y 2－m ＝1，∵m <n <0，∴0<－n <－m ． ∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m ．6．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________．解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3； 当焦点在y 轴上时，m －4m＝12⇒m ＝163． 综上，m ＝3或m ＝163．答案：3或1637．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________．解析：∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2．设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a >0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1．解得a 2＝45．∴椭圆方程为x 245＋y 236＝1．答案：x 245＋y 236＝18．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A ＝5F B 2，则点A 的坐标是________．解析：设A (m ，n )．由1F A ＝5F B 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋625，n 5．又A ，B 均在椭圆上，所以有⎩⎨⎧m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝⎛⎭⎫n 52＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1，所以点A 的坐标为(0,1)或(0，－1)． 答案：(0,1)或(0，－1)9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12，从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12．由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8．故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1．10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22．∴y 2＝ax －x 2．①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1．②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即 (x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0， ∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0<x <a ，∴0<ab 2a 2－b 2<a ，即2b 2<a 2． 由b 2＝a 2－c 2，得a 2<2c 2，∴e >22． 又∵0<e <1，∴22<e <1． 层级二 应试能力达标1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长轴长、短轴长B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的顶点 解析：选B c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝25－9＝16，所以两椭圆有相等的焦距．故选B ．2．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8,6B ．4,3C ．2， 3D ．4,2 3解析：选B 过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3．故选B ．3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A ．x 22＋y 24＝1B ．x 2＋y 26＝1C ．x 26＋y 2＝1D ．x 28＋y 25＝1解析：选B 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝5．又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1．4．(全国丙卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选A 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )， 由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |， 则|MF |＝m (a －c )a ．①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m (a ＋c )2a．②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13．故选A ．5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为________．解析：在Rt △ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2， 得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2．将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0， 即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52．因为e >0，所以e ＝5－12． 答案：5－126．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．解析：由题意，知a ＝10，b ＝8，不妨设椭圆方程为x 2100＋y 264＝1，其上的点M (x 0，y 0)，则|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20．因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64⎝⎛⎭⎫1－x 20100＝64－1625x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝925x 20＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 2＋64≤100，即8≤d ≤10． 答案：[8,10]7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求实数m 的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，由m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，可知m >mm ＋3，所以a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3，由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1．于是椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝32．所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为⎝⎛⎭⎫－32，0，⎝⎛⎭⎫32，0；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝⎛⎭⎫0，－12，⎝⎛⎭⎫0，12．8．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) 的左、右焦点，过点 F 1的直线交椭圆E 于 A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |．(1)若|AB |＝4，△ABF 2 的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1．因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8． 故|AF 2|＝8－3＝5．(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ． 由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ． 在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )．化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ． 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ． 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形． 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22．。
人教版2017高中数学(选修2-1)2.2.2 椭圆的简单几何性质 2 精讲优练课型PPT课件
=8,所以k=-
.
1 2
所以直线l的方程为y-2=- 1 (x-4), 2 即x+2y-8=0.
方法二:设直线l与椭圆的交点为
A(x1,y1),B(x2,y2),
所以
2 2 x1 4y1 36 0, 2 2 有 4y 2 36 0. x 2 , 两式相减
(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.
【解析】由 y x 2， 得 2 2 2x 3y 6 5x2+12x+6=0,所以Δ=144-120>0, 所以交点的个数为2.
答案:2
【方法技巧】判断直线与椭圆交点个数的方法
联立直线与椭圆方程,消去y或x,得到关于x或y的一元
二次方程,记该方程的判别式为Δ ,则(1)直线与椭圆相
焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点,求该椭圆的
2.本例2中判断直线是否与椭圆有公共点,常用什么方
法?
提示:判断直线与椭圆是否有公共点,往往利用判别式
的符号进行判断.
3.本例3中解决的关键是什么? 提示:根据方程组 y x m， 的解的个数判断相应位 2 x 2 y 1 置关系. 4
y kx 1， 【解析】1.方法一:联立方程,得 2 2 x y 5 m 1， 消去y,整理得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0,
公共点坐标,此时直线与Байду номын сангаас圆相交.
<m<
时,Δ>0,
当m=-
或m=
时,Δ=0,
5 5 方程③有两个相等的实数根 ,
代入①可得到一个公共点坐标,此时直线与椭圆相切.
人教新课标版数学高二-数学选修2-1练习 椭圆的简单几何性质
练习四一选择题1．将椭圆C 1∶2x 2＋y 2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C 2，则C 2与C 1有( )A ．相等的短轴长B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．相等的长轴长2．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.14B.12C.22D.323．(2010·广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.154．已知椭圆2x 2＋y 2＝2的两个焦点为F 1，F 2，且B 为短轴的一个端点，则△F 1BF 2的外接圆方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋(y －1)2＝45．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( )A ．[6,10]B ．[6,8]C ．[8,10]D ．[16,20]6．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为( ) A.22 B.32 C.53 D.63二填空题7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为__ ___；8．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点到两焦点的距离分别为d 1、d 2，焦距为2c ，若d 1、2c 、d 2成等差数列，则椭圆的离心率为_______．9．已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为10－5，求这个椭圆的方程．10．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程．1.C ；2.D ；3.B ；4.A ；5.C ；6.A ；7. x 236＋y 29＝1；8. 12；9. [解析] 由于椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，可设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆的对称性知，|B 1F |＝|B 2F |，又B 1F ⊥B 2F ，因此△B 1FB 2为等腰直角三角形，于是|OB 2|＝|OF |，即b ＝c .又|FA |＝10－5即a －c ＝10－5，且a 2＋b 2＝c 2.将以上三式联立，得方程组，⎩⎨⎧b ＝ca －c ＝10－5a 2＝b 2＋c 2解得⎩⎨⎧ a ＝10b ＝5 所求椭圆方程是x 210＋y 25＝1. 10. [解析] 由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2，再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b . 由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎨⎧ a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1， 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.。
人教版高中数学选修2-1练习：2.2.3椭圆的简单几何性质(1)
第二章 2.2 课时作业 15一、选择题1．椭圆 6x 2＋ y 2＝ 6 的长轴端点坐标为 ( )A. ( －1,0)， (1,0)B. ( － 6,0)， (6,0)C. (－ 6， 0)， ( 6， 0)D. (0，－6)， (0， 6)22y2分析： 方程化为标准形式为 x ＋ ＝ 1，其焦点在 y 轴上，因为 a ＝ 6，∴ a ＝ 6.∴长轴的端点坐标为 (0， ± 6)，应选 D.答案： Dx2＋ y 2＝ 1与曲线x 2 ＋ y 2 ＝ 1(k<9) 的()2．曲线 25925－ k 9－ kA ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等分析： 由题意可知两个椭圆的焦点都在 x 轴上，前者焦距 2c ＝ 2 25－ 9＝8，后者焦距 2c ＝ 2 －k －－k＝ 8.答案： D3．已知椭圆的中心在座标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为 1，则椭圆3的方程是 ()x 2y 2x 2y 2A. 144＋ 128＝ 1B.36＋ 20＝ 1x 2 ＋ y 2 ＝ 1 D. x 2 ＋ y 2 ＝ 1C.32 3636 32分析： 由 2a ＝ 12， c a ＝ 13，解得 a ＝6， c ＝ 2，∴ b 2＝ 62－ 22＝ 32. ∵焦点在 x 轴上，2 2∴椭圆的方程为 x ＋ y＝ 1.36 32答案： D224．[2014 山·东省济南一中月考 x＋ y＝1 的上焦点为F ，直线 x ＋ y － 1＝0 和 x]已知椭圆 3 4＋y ＋ 1＝ 0 与椭圆分别订交于点 A 、 B 和 C 、 D ，则 |AF|＋ |BF|＋ |CF|＋ |DF |＝ ()A.2 3B.4 3C.4D.8分析： 此题考察椭圆定义的应用．如图，设F 1 为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连结 AF 1，FD .由椭圆的对称性可知，四边形 AFDF 1 为平行四边形， ∴ |AF 1|＝ |FD |，同理 |BF 1|＝ |CF |，∴ |AF|＋ |BF|＋ |CF|＋ |DF |＝ |AF|＋ |BF|＋ |BF 1 |＋ |AF 1|＝ 4a ＝ 8，应选 D.答案： D 二、填空题35．若椭圆的焦点在 y 轴上，长轴长为 4，离心率 e ＝ 2 ，则其标准方程为 __________ ． 分析： 依题意，得 a ＝ 2，e ＝ c ＝3，因此 c ＝ 3，因此 b 2＝ a 2－ c 2＝ 1，因此椭圆的标a 2准方程为：y 2＋x 2＝1.42答案： y ＋x 2＝14x 2 y 26．已知点 P(3,4)在椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 上，则以 P 为极点的椭圆的内接矩形PABC 的面积是 __________ ．分析： 由对称性知矩形 PABC 的长与宽分别为 6,8，故 S ＝ 48.答案： 487． [2014 江·苏省南京师大附中月考 ]过椭圆x 2 y 22 ＋ 2＝ 1(a>b>0)的左焦点 F 1 作 x 轴的垂线ab交椭圆于点 P ， F 2 为右焦点，若∠ F 1PF 2＝ 60°，则椭圆的离心率为 ________．分析：此题主要考察椭圆的离心率．由题意， △ PF 1F 2 为直角三角形， 且∠ F 1 PF 2＝ 60°，因此 |PF 2|＝2|PF 1|.设 |PF 1 |＝ x ，则 |PF 2|＝ 2x ， |F 1F 2|＝3x ，又 |F 1F 2|＝ 2c ，因此 x ＝ 2c .即 |PF 1|＝ 2c， |PF 2|3 3 ＝ 4c.由椭圆的定义知， |PF 1|＋ |PF 2|＝ 2a ，因此 2c＋4c＝ 2a ，即 e ＝ c ＝33 3 3a3.答案：3 3 三、解答题8．求合适以下条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的 5 倍，且过点 A(5,0)．(2)离心率 e ＝3，焦距为 12.5解： (1)若椭圆焦点在 x 轴上，设其标准方程为x 2 y 2 2＋ 2＝ 1(a>b>0)，由题意得ab2a ＝ 5×2b ，a ＝ 5，25 0解得a 2 ＋b 2＝ 1，b ＝ 1.故所求椭圆的标准方程为 x 2 225 ＋ y ＝ 1；若焦点在 y 轴上，设其标准方程为y 2 x 2 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0)，由题意，得ab2a ＝ 5×2b ，a ＝ 25，22y ＋ x＝ 1 0 25 解得故所求椭圆的标准方程为a2＋b2＝ 1，b ＝ 5.625 25综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2 ＋ y 2＝ 1 或 y 2 ＋ x 2＝ 1.25 625 25c 3(2)由 e ＝ a ＝5， 2c ＝ 12，得 a ＝ 10，c ＝ 6，∴ b 2＝ a 2－ c 2＝ 64.当焦点在 x 轴上时，所求椭圆的标准方程为22x ＋ y ＝ 1；100 64当焦点在 y 轴上时，所求椭圆的标准方程为22y＋x ＝ 1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2 ＋ y 2 ＝ 1 或 y 2 ＋ x 2＝1. 100 64 100 6422xy，F 1、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的9．如右图，已知椭圆a 2＋b 2＝ 1(a>b>0) 上极点，直线AF 2 交椭圆于另一点 B.(1)若∠ F 1AB ＝ 90°，求椭圆的离心率；→→→→3，求椭圆的方程．(2)若 AF 2＝ 2F 2B ，AF 1·AB ＝2解： (1)若∠ F 1AB ＝90 °，则△ AOF 2 为等腰直角三角形，因此有 |OA|＝ |OF 2|，即 b ＝ c.c2因此 a ＝2c ， e ＝ a ＝2.(2)由题知 A(0， b)， F 1(－ c,0)， F 2(c,0)，此中， c ＝ a 2－ b 2，设 B(x ， y)．→ →由 AF 2＝ 2F 2B? (c ，－ b)＝ 2(x － c ， y)，解得 x ＝3c， y ＝－ b ，即 B(3c，－ b)．222222将 B 点坐标代入x2＋ y2＝ 1， a b9 2 b 24c 421＝ 1，得 229c 2a ＋b ＝ 1，即 4a ＋ 4解得 a 2＝3c 2 .①→ →3c3b 3 又由 AF 1·AB ＝ (－c ，－ b) ·(2 ，－ 2 )＝2? b 2－ c 2＝ 1，即有 a 2－ 2c 2＝ 1.②由①，②解得 c 2＝ 1， a 2＝ 3，进而有 b 2＝ 2.x 2 y 2 因此椭圆方程为3 ＋2 ＝1.。
人教新课标版数学高二-数学选修2-1练习 椭圆的简单几何性质(一)
2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)一、基础过关1．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( )A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69) 3．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )A.32B.34 C.22D.234．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33C.12D.135．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是 ( ) A.14 B.12 C ．2D ．46．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k >0，a >0，b >0)具有( )A ．相同的顶点B ．相同的离心率C ．相同的焦点D ．相同的长轴和短轴7．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是_________________________________________________________________．8．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)离心率是23，长轴长是6.(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 二、能力提升9．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m ＝___________________________________. 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________． 11．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e . 三、探究与拓展13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，A (2,0)为长轴的一个端点，过椭圆的中心O 的直线交椭圆于B 、C 两点，且AC →·BC →＝0，|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，求此椭圆的方程．答案1．C 2.D 3.A 4.B 5.A 6.B 7.y 264＋x 248＝1 8．解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)． 由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的 中线(高)，且|OF |＝c ， |A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.9.14或4 10.2－111．解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，∴c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3.由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32，∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为 F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0， 顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 12．解 由A (－a,0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝ba，故AB 所在的直线方程为y －b ＝ba x ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2，又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8⎝⎛⎭⎫c a 2－14c a ＋5＝0， ∴8e 2－14e ＋5＝0， ∴e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率为e ＝12.13．解 ∵|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，∴|BC →|＝2|AC →|.又AC →·BC →＝0，∴AC ⊥BC . ∴△AOC 为等腰直角三角形． ∵|OA |＝2，∴C 点的坐标为(1,1)或(1，－1)， ∵C 点在椭圆上，a ＝2， ∴14＋1b 2＝1，b 2＝43. ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 243＝1.。
人教新课标版数学高二选修2-1限时练 椭圆的简单几何性质(一)
2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)一、选择题1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．7,2，357B ．14,4，357C ．7,2，57D ．14,4，－572．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( ) A. 3 B.32 C.83 D.234．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1B.－2－m mC.2m m D ．－21－m m －15．已知椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，离心率e ＝12，则椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 6．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.457．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9二、填空题8．一椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，线段PF 1与y 轴的交点M是该线段的中点，若|PF2|＝|MF2|，则椭圆的离心率等于________．9．若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________________．10．已知P点是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上异于顶点的任一点，且∠F1PF2＝60°，则这样的点P 有________个．三、解答题11．已知椭圆C1：x2100＋y264＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．12.如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝22.一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|P A|＋|PB|的值不变．(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；(2)试根据(1)所求方程判断曲线是否为椭圆方程，若是，写出其长轴长、焦距、离心率．13．如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q 两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e的取值范围．参考答案1．B [先将椭圆方程化为标准形式：x 249＋y 24＝1， 其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.]2．A [依题意得：c ＝25，a ＋b ＝10 ，又a 2＝b 2＋c 2从而解得a ＝6，b ＝4.]3．B [∵a 2＝2，b 2＝m ，e ＝c a ＝1－b 2a 2＝1－m 2＝12，∴m ＝32.] 4．C [椭圆方程可简化为x 211＋m ＋y 21m＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m ，∴a ＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2m m.] 5．C [因为|F 1F 2|＝2，离心率e ＝12，所以c ＝1，a ＝2，所以b 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.] 6．C [设直线x ＝3a 2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|F 2M |＝3a 2－c ，故cos 60°＝|F 2M ||PF 2|＝32a －c 2c ＝12， 解得c a ＝34，故离心率e ＝34.] 7．B [由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.]8.33解析 ∵M 是线段PF 1的中点，∴OM ∥PF 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∵|PF 2|＝|MF 2|，∴设|PF 2|＝|MF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，则|PF 1|＋|PF 2|＝2x ＋x ＝3x ＝2a ，x ＝2a 3，3x 2＝4c 2， 即3(2a 3)2＝4c 2，则a 23＝c 2，即a ＝3c ， 则离心率e ＝c a ＝c 3c ＝33. 9.x 243＋y 213＝1或y 243＋x 213＝1 解析 由题意可知a ＝2b ，c ＝1，所以1＋b 2＝4b 2，故b 2＝13，a 2＝43， 则此椭圆的标准方程为x 243＋y 213＝1或x 213＋y 243＝1. 10．4解析 依据椭圆的对称性知，四个象限内各有一个符合要求的点．11．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10， 短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35. (2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④离心率：e ＝35. 12．解 (1)以AB 所在直线为x 轴，方向向右，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则 A (－1,0)，B (1,0)．由题设可得|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋22＋⎝⎛⎭⎫222＝2 2. 又因为22>2＝|AB |，所以可设动点P 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝1，所以曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由曲线E 的方程x 22＋y 2＝1知，其为椭圆方程，且长轴长为22，焦距为2，离心率为22. 13．解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋ (2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)如图，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a . 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ， 解得|PF 1|＝4a1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋ [2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2]2＝4c 2，两边除以4a 2，得 4(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成 e 2＝4＋(t －2)2t 2＝8⎝⎛⎭⎫1t －142＋12. 由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13. 进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.。
高中数学选修2-1课时作业3：2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)
2.2.2椭圆的简单几何性质（二）1．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )．A ．±34B ．±32C ．±22D ．±34[解析] 由条件可得F 1(－3，0)，PF 1的中点在y 轴上，∴P 坐标(3，y 0)，又P 在x 212＋y 23＝1的椭圆上得y 0＝±32，∴M 的坐标(0，±34)，故选A. [答案] A2．如下图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )．A.15B.25C.55D.255 [解析] 由条件知，F 1(－2，0)，B (0，1)，∴b ＝1，c ＝2，∴a ＝22＋12＝5，∴e ＝c a ＝25＝255. [答案] D3．已知椭圆x 23＋y 24＝1的上焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝( )．A ．2 3B ．4 3C ．4D ．8[解析] 如图，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF 1、FD .由椭圆的对称性可知，四边形AFDF 1(其中F 1为椭圆的下焦点)为平行四边形，∴AF 1＝FD ，同理BF 1＝CF ，∴AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝AF ＋BF ＋BF 1＋AF 1＝4a ＝8.[答案] D4．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________． [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0. 若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝（4m ）2－4m （3＋m ）>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m <0或m >1. 由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆知，m >0且m ≠3. 综上可知，m 的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．[答案] (1，3)∪(3，＋∞)5．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0. 设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋（12x 1－12x 2）2 ＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54（4＋24）＝35. [答案]35 6．已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程． 解 设直线l 与椭圆的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0. 由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， ∴(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329.即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2)2＝329. 化简，得k 4＋k 2－2＝0，∴k 2＝1，∴k ＝±1.∴所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为( )．A.12 B ．－12 C.13 D ．－13[解析] 设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 12＝b 2－b 2x 12a 2， 所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 12x 2－x 12＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13. [答案] D8．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝( )． A. 2 B ．2 C. 3 D ．3[解析] 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1，∴右焦点F (1，0)．∴由F A →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n . 将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×(43)2＋(13n )2＝1. 解得n 2＝1，∴|AF →|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.所以选A.[答案] A9．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.[解析] 由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5， 可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.[答案] 810．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．[解析] 直线A 1B 2的方程为x －a ＋y b ＝1，直线B 1F 的方程为x c ＋y －b ＝1，二者联立，得T (2ac a －c ，b （a ＋c ）a －c )，则M (ac a －c ，b （a ＋c ）2（a －c ）)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上， ∴c 2（a －c ）2＋（a ＋c ）24（a －c ）2＝1，c 2＋10ac －3a 2＝0，e 2＋10e －3＝0，解得e ＝27－5. [答案] 27－511．已知过点A (－1，1)的直线与椭圆x 28＋y 24＝1交于点B 、C ，当直线l 绕点A (－1，1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程．解 设直线l 与椭圆的交点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，弦BC 中点M (x ，y )，则x 128＋y 124＝1，① x 228＋y 224＝1.② ②－①，得(x 228－x 128)＋(y 224－y 124)＝0. ∴(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋2(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.③当x 1≠x 2时，x 1＋x 22＝x ，y 1＋y 22＝y ，y 2－y 1x 2－x 1＝y －1x ＋1， 又∵③式可化为(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 2－y 1x 2－x 1＝0. ∴2x ＋2·2y ·y －1x ＋1＝0，化简得x 2＋2y 2＋x －2y ＝0. 当x 1＝x 2时，由点M (x ，y )是线段BC 中点，∴x ＝－1，y ＝0，显然适合上式．总之，所求弦中点M 的轨迹方程是x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.12．如图所示，点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解 (1)由已知可得点A (－6，0)，F (4，0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236 ＋y 220＝1，（x ＋6）（x －4）＋y 2＝0.则2x 2＋9x －18＝0, 即得x ＝32或x ＝－6.由于y >0，只能x ＝32，于是y ＝523. ∴点P 的坐标是(32，523)． (2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M 的坐标是(m ，0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2， 于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d ，有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15， 由于－6≤x ≤6.∴当x ＝92时，d 取最小值15.。
高中数学选修2-1课后限时练习10 椭圆的简单几何性质(一)
高中数学选修2－1课后限时练习10 椭圆的简单几何性质(一)一、选择题1．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A ．x 236＋y 216＝1B ．x 216＋y 236＝1C ．x 26＋y 24＝1D ．y 26＋x 24＝1解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝10，2c ＝45，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝4，c ＝2 5.∵焦点在x 轴上，∴椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.答案：A2．若椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，△F 1PF 2是直角三角形，则这样的点P共有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个解析：由x 24＋y 22＝1，知a ＝2，b ＝2，c ＝2，∴当P 为短轴的端点时，∠F 1PF 2＝90°，这样的点有2个；当∠PF 1F 2＝90°时，有2个；当∠PF 2F 1＝90°时，也有2个．因此适合题意的点共有6个．答案：C3．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A ．13B ．33C ．22D ．12解析：2x 2＋3y 2＝m (m >0)化为标准方程得 x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴离心率e ＝c a ＝c 2a 2＝m 6m 2＝13＝33. 答案：B4．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．12C ．32D ．5－12解析：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)， ∵|PF 2|＝|F 1F 2|，P (a ，b )， ∴(a －c )2＋b 2＝2c ，平方整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a－1＝0，即2e 2＋e －1＝0. 解得e ＝－1(舍去)或e ＝12.答案：B5．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A ．x 216＋y 27＝1B ．x 216＋y 27＝1或 x 27＋y 216＝1C ．x 216＋y 225＝1D ．x 216＋y 225＝1或 x 225＋y 216＝1解析：由2a ＝8，得a ＝4，又e ＝c a ＝34，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴当焦点在x 轴上时，其方程为x 216＋y 27＝1；当焦点在y 轴上时，其方程为x 27＋y 216＝1.故选B ． 答案：B 二、填空题6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA ，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为________．解析：由题意知，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ， 在△BAF 中，|AB |＝a 2＋b 2，∵BF ⊥BA ，∴|BF |2＋|BA |2＝|AF |2，即a 2＋a 2＋b 2＝(a ＋c )2.化简得a 2－ac －c 2＝0， ∴e 2＋e －1＝0.解得e ＝－1±52.∵0<e <1，∴e ＝－1＋52.答案：5－127．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点． ∵PM →·AM →＝0， ∴AM →⊥PM →，∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1.∵椭圆的右顶点到右焦点A 的距离最小， ∴|AP →|min ＝2， ∴|PM →|min ＝ 3. 答案：38．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，则其短轴长为________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2， ∴4c 2＋36＝4a 2，∴a 2－c 2＝9， 即b 2＝9，∴b ＝3,2b ＝6. 答案：6 三、解答题9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m ＞0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，∵m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3＞0，∴m ＞m m ＋3，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32得， m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1. ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为⎝⎛⎭⎫－32，0，⎝⎛⎭⎫32，0； 四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝⎛⎭⎫0，－12，0，12. 10.如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的射影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被曲线C 所截得线段的长度．解：(1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(xP ，yP )， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧xP ＝x ，yP ＝54y ， ∵P 在圆x 2＋y 2＝25上， ∴x 2＋⎝⎛⎭⎫54y 2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝45(x －3)代入曲线C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0.Δ＝9＋32＝41>0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴线段AB 的长度|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝4125×41＝415.。
2017-2018学年高中数学选修2-1课时达标检测八 椭圆的
课时达标检测（八） 椭圆的简单几何性质一、选择题1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10， 则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：选A 由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43， ∴a ＝ 3. 又∵e ＝33， ∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25 D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.4．已知椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析：选D ∵AP ―→＝2PB ―→， ∴|AP ―→|＝2|PB ―→|. 又∵PO ∥BF ， ∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23， 即aa ＋c ＝23， ∴e ＝c a ＝12.5．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)解析：选C 化为标准方程是x 2－n ＋y 2－m＝1，∵m <n <0，∴0<－n <－m . ∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －－n ＝n －m .二、填空题6．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是______________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又因为b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1. 答案：x 220＋y 225＝17．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3；当焦点在y 轴上时，m －4m＝12⇒m ＝163. 综上，m ＝3或m ＝163.答案：3或1638．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过点P (－5,4)，则椭圆的方程为__________．解析：∵e ＝c a ＝55， ∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2， 即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a2＝1(a ＞0)．∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1，解得a 2＝45.∴椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝1三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12，从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12.由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.10．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，所以y 2＝ax －x 2.①又因为P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1.②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0， 即(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0. ∵x ≠a ，x ≠0，∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0＜x ＜a ，∴0＜ab 2a 2－b2＜a ，即2b 2＜a 2.由b 2＝a 2－c 2，得a 2＜2c 2，所以e ＞22. 又∵0＜e ＜1，∴22＜e ＜1， 即椭圆离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.。
高中数学人教版选修2-1课时达标检测(八) 椭圆的简单几何性质 Word版含解析
课时达标检测（八）椭圆的简单几何性质一、选择题．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是()，另一个顶点是(－)，则焦点坐标为()．(±) ．(，±)．(，±) ．(，±)解析：选由题意知椭圆焦点在轴上，且＝，＝，则＝＝，故焦点坐标为(，±)．．已知椭圆：＋＝(＞＞)的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交于，两点．若△的周长为，则的方程为( )＋＝＋＝＋＝＋＝解析：选由椭圆的性质知＋＝，＋＝，又∵△的周长＝＋＋＋＝，∴＝.又＝，∴＝.∴＝－＝，∴椭圆的方程为＋＝.．已知椭圆＋＝与椭圆＋＝有相同的长轴，椭圆＋＝的短轴长与椭圆＋＝的短轴长相等，则( )．＝，＝．＝，＝．＝，＝或＝，＝．＝，＝解析：选因为椭圆＋＝的长轴长为，焦点在轴上，椭圆＋＝的短轴长为，所以＝，＝.．已知椭圆＋＝(＞＞)的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且⊥轴，直线交轴于点.若＝，则椭圆的离心率是( )解析：选∵＝，∴＝.又∵∥，∴＝＝，即＝，∴＝＝.．过椭圆＋＝(＞＞)的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若∠＝°，则椭圆的离心率为( )解析：选法一：将＝－代入椭圆方程可解得点－，±，故＝，又在△中∠＝°，所以＝，根据椭圆定义得＝，从而可得＝＝.法二：设＝，则在△中，＝，＝.所以＋＝＝，离心率＝＝.二、填空题．与椭圆＋＝有相同焦点，且短轴长为的椭圆方程是．解析：椭圆＋＝可化为＋＝，因此可设待求椭圆为＋＝.又＝，故＝，得＋＝.答案：＋＝．椭圆＋＝的离心率为，则＝.解析：当焦点在轴上时，＝⇒＝；当焦点在轴上时，＝⇒＝.综上，＝或＝.答案：或．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过(－)，则椭圆的方程为．解析：∵＝＝，∴＝＝，∴－＝即＝.设椭圆的标准方程为＋＝(＞)，∵椭圆过点(－)，∴＋＝.解得＝.∴椭圆的方程为＋＝.答案：＋＝三、解答题．在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，且△的周长为，求椭圆的标准方程．。
2017年高中数学课时达标训练八椭圆的简单几何性质新人教A版选修2_120170925222
课时达标训练（八）椭圆的简单几何性质[即时达标对点练]题组1由椭圆的标准方程研究几何性质1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5、3、0.8 B．10、6、0.8C．5、3、0.6 D．10、6、0.62．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为()A．(±13，0) B．(0，±10)C．(0，±13) D．(0，±69)x2 y2 x2 y2 x2 y2 y2 3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆a2 b2 25 16 a2 b2 21x2＋＝1的短轴长相等，则()9A．a2＝25，b2＝16B．a2＝9，b2＝25C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D．a2＝25，b2＝9题组2由椭圆的几何性质求标准方程4．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是()x2 y2 x2 y2A. ＋＝1B. ＋＝181 72 81 9x2 y2 x2 y2C. ＋＝1D. ＋＝181 45 81 36x2 y25．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于()10－m m－2A．4 B．5 C．7 D．836．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和2F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.则椭圆G的方程为_______________________．题组3椭圆的离心率7．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为()3 3 2 2A. B. C. D.2 4 2 38．椭圆的短半轴长为3，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为()15 3 4 12A. B. C. D.13 5 5 139．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．[能力提升综合练]1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是()1 1A. B. C．2 D．44 2x2 y22．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2 a2 b2＝60°，则椭圆的离心率为()5 3 1 1A. B. C. D.2 3 2 3x2 y23．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，a2 b2直线AB交y轴于点P.若，则椭圆的离心率是()3 2 1 1A. B. C. D.2 23 24．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4 5 的椭圆方程是________．55．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5，4)，则椭圆的方5程为________．6．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．4 37．中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M(1，2)，N(－2，2)两点，求椭圆的标3 2准方程．38．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、2焦点坐标、顶点坐标．答案即时达标对点练x2 y21. 解析：选B把椭圆的方程写成标准方程为＋＝1，知a＝5，b＝3，c＝4.∴2a＝9 25c10，2b＝6，＝0.8.a2. 解析：选D由题意知，其焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69.2x2 y2 y2 x23. 解析：选D因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短25 16 21 9轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.14. 解析：选A因为2a＝18，2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.35. 解析：选D由题意得m－2>10－m且10－m>0，于是6<m<10，再由(m－2)－(10－m)＝22，得m＝8.x2 y26. 解析：依题意可设椭圆G的方程为＋＝1，a>b>0，a2 b2半焦距为c，3 ∵椭圆G的离心为率为，2c 3 3∴＝⇒c＝a.a 2 2∵椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，∴2a＝12⇒a＝6.∴c＝3 3，b＝a2－c2＝3，x2 y2∴椭圆G的方程为＋＝1.36 9x2 y2答案：＋＝136 9x2 c 37. 解析：选A化为标准方程为＋y2＝1，a2＝4，b2＝1，c2＝3，∴e＝＝.4 a 2b＝3，b＝3，8. 解析：选C由题意，得{a－c＝9，)或{a＋c＝9.)当a－c＝9时，由b2＝9得a2－c2＝9＝(a－c)(a＋c)，a＋c＝1，则a＝5，c＝－4(不合题意)．a＝5，4当a＋c＝9时，解得{c＝4，)故e＝.59. 解：如图，连接BF2.∵△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，∴F2B⊥AF1.又∵∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，∴|BF1|＝c，|BF2|＝3c，3根据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，即c＋3c＝2a，c∴＝3－1.a∴椭圆的离心率e为3－1.能力提升综合练1 11. 解析：选A由题意可得2 ＝2×2，解得m＝.m 42c4c2. 解析：选B记|F1F2|＝2c，则由题设条件，知|PF1|＝，|PF2|＝，则椭圆的离心3 32c|F1F2| 2c 3率e＝＝＝＝.2a|PF1|＋|PF2| 2c4c 3＋3 33. 解析：选D|PA| |AO| 2又∵PO∥BF，∴＝＝，|AB| |AF| 3a 2 c 1即＝，∴e＝＝.a＋c 3 a 2x2 y24. 解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，4 9x2 y2因此可设待求椭圆为＋＝1.m m＋5x2 y2又b＝2 5，故m＝20，得＋＝1.20 25x2 y2答案：＋＝120 25c 55. 解析：∵e＝＝，a 5c2 a2－b2 1∴＝＝，a2 a2 5∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.x2 5y2设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，a2 4a225 5 × 16∵椭圆过点P(－5，4)，∴＋＝1.a2 4a2x2 y2解得a2＝45.∴椭圆方程为＋＝1.45 36x2 y2答案：＋＝145 36x2 y26. 解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．a2 b24因为，所以MF1⊥MF2，所以点M的轨迹是以O为圆心，c为半径的圆．因为点M总在椭圆内部，所以c<b，所以c2<b2＝a2－c2，1 2所以2c2<a2，所以e2< ，所以0<e< .2 2答案：(0，22)x2 y27. 解：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).a2 b24 3将点M(1，2)，N(－2，2)代入上式，得3 24 2( 2 )123＋＝1，a2 b2{＝1，)3 2(－2)2（2）2＋a2 b2a2＝9，解得{b2＝4.)x2 y2此时椭圆的标准方程为＋＝1.9 4y2 x2当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．a2 b24 3将点M(1，2)，N(－2，2)代入上式得3 24 2( 2 )312 ＋＝1，a2 b2{＝1，)3 2(－2)（2）2 2＋a2 b2a2＝4，)解得{b2＝9.因为a>b>0，所以舍去，x2 y2所以椭圆的标准方程为＋＝1.9 4x2 y28. 解：椭圆方程可化为＋＝1，m mm＋35m m由m>0，易知m> ，∴a2＝m，b2＝.m＋3 m＋3m（m＋2）∴c＝a2－b2＝.m＋33 m＋2 3由e＝，得＝，解得m＝1，2 m＋3 2y2 ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.141 3∴a＝1，b＝，c＝.2 2∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，3 3两焦点坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)，2 21 1顶点坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1(0，－2)，B2(0，2 ).6。
高中数学 课时分层作业8 椭圆的简单几何性质 新人教A版选修2-1
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题课时分层作业(八) 椭圆的简单几何性质(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A ．x 236＋y 216＝1 B ．x 216＋y 236＝1 C ．x 26＋y 24＝1D ．y 26＋x 24＝1A [由题意知⎩⎨⎧a ＋b ＝10c ＝25c 2＝a 2－b2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝4因此所求椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.]2．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距D [由25－9＝(25－k )－(9－k )知，两椭圆有相等的焦距．]3．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )【导学号：46342074】A ．12B ．13C ．14D ．22A [由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为( )A ．22 B ．32 C ．3－12 D ．5－12D [在Rt△ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2.将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0, 解得e ＝－1±52，因为0<e <1，所以e ＝5－12.故选D.] 5．如图226，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的左焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝( )图226A ．35B ．30C ．25D ．20A [设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性，知|P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，所以原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋|P 4F |＝7a ＝35.]二、填空题6．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________．12 [如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12.] 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________．x 245＋y 236＝1 [设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25a 2＋16b 2＝1c a ＝55，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45b 2＝36因此所求椭圆方程为x 245＋y 236＝1.]8．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________.【导学号：46342075】[1,2] [因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.]三、解答题9．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P在椭圆上，且∠OPA ＝120°，求椭圆的离心率．[解] 不妨设A (a,0)，点P 在第一象限内，由题意知，点P 的横坐标是a 2，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝34b 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32b ，又∠OPA ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan∠POA ＝32b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝(3b )2－b 23b ＝223.10．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D (2,0)．设点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程．(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程.【导学号：46342076】[解] (1)因为a ＝2，c ＝3，所以b ＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12.又因为x 24＋y 20＝1，所以(2x －1)24＋⎝⎛⎭⎪⎫2y －122＝1，即为中点M 的轨迹方程．[能力提升练]1．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x轴，若|PF |＝14|AF |，则该椭圆的离心率是( )A.14 B ．34 C ．12 D.32 B [由于PF ⊥x 轴，则令x ＝－c ，代入椭圆方程，解得，y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b4a2，y ＝±b 2a ，又|PF |＝14|AF |，即b 2a ＝14(a ＋c )，即有4(a 2－c 2)＝a 2＋ac ， 即有(3a －4c )(a ＋c )＝0，则e ＝c a ＝34，故选B.]2．“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，当0<m <4时，4－m 2＝12，得m ＝3， 当m >4时，m －4m＝12，得m ＝163， 即“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的充分不必要条件．]3．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为________．x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3a －c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，则b 2＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________．12 [由AP →＝2PB →，得|AO |＝2|FO |(O 为坐标原点)，即a ＝2c ，则离心率e ＝12.] 5．已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.【导学号：46342077】[解] (1)由已知可得A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或x ＝－6.由于y >0，所以只能取x ＝32，于是y ＝523.所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，523.(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，又B (6,0)，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎪⎫x －922＋15，9 2时，d取最小值为15.由于－6≤x≤6，所以当x＝。
高中数学人教A版选修2-1课时训练8椭圆的简单几何性质.docx
课时训练8 椭圆的简单几何性质一、综合题1.已知点(3,2)在椭圆=1上,则( ).A.点(-3,-2)不在椭圆上B.点(3,-2)不在椭圆上C.点(-3,2)在椭圆上D.无法判断以上各点是否在椭圆上答案:C解析:由椭圆的对称性知(-3,2)必在椭圆上.2.椭圆=1与椭圆=1有( ).A.相同短轴B.相同长轴C.相同离心率D.以上都不对答案:D解析:由于椭圆=1中,焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,所以无法确定两个椭圆的长轴长、短轴长的关系,且离心率也不一定相同.3.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为( ).A.=1B.=1C.=1和=1D.=1和=1答案:D解析:依题意2a+2b=18,2c=6,所以a+b=9,c=3.而c2=a2-b2,所以a2-b2=9,于是a-b=1,解得a=5,b=4,故方程为=1或=1.4.椭圆=1的离心率为,则k的值为( ).A. B.-3C.或-3D.-3或答案:C解析:若焦点在x轴上,则=1-,∴k=;若焦点在y轴上,则,∴k=-3.5.中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为,且过点(2,0)的椭圆的方程是( ).A.+y2=1B.+y2=1或x2+=1C.x2+4y2=1D.x2+4y2=4或4x2+y2=16答案:D解析:若焦点在x轴上,则a=2.又e=,∴c=.∴b2=a2-c2=1,∴方程为+y2=1,即x2+4y2=4;若焦点在y轴上,则b=2.又e=,∴=1-,∴a2=4b2=16,∴方程为=1,即4x2+y2=16.6.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为( ).A.2B.3C.6D.8答案:C解析:由题意得F(-1,0),设点P(x0,y),则=3(-2≤x≤2),·=x0(x+1)++x++x+3(x+2)2+2,当x=2时,·取得最大值为6.7.已知椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率等于.答案:解析:根据题意得2b=6,a+c=9或a-c=9(舍去).所以a=5,c=4,故e=.8.若AB为过椭圆=1的中心的线段,F1为椭圆的焦点,则△F1AB的面积的最大值为.答案:12解析:如图,=2.又∵OF1=c=3为定值,∴点A与(0,4)重合时,OF1边上的高最大.此时的最大值为×4×3=6.∴的最大值为12.9.椭圆=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=,|PF2|=.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A,B两点,且A,B关于点M对称,求直线l的方程.解:(1)∵点P在椭圆C上,∴2a=|PF1|+|PF2|=6,即a=3.在Rt△PF1F2中,|F1F2|==2,故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2-b2=4, 即椭圆C的方程为=1.(2)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5, 因此,圆心M的坐标为(-2,1).设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由题意x1≠x2,且=1,①=1,②由①-②得=0,③∵A,B关于点M对称,∴x1+x2=-4,y1+y2=2.代入③得,即直线的斜率为,故直线l的方程为y-1=(x+2),即8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意)10.如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.解:(1)如题图所示,设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0).因△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=,结合c2=a2-b2得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e=.在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2.由题设条件=4得b2=4,从而a2=5b2=20, 因此所求椭圆的标准方程为=1.(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1·y2=-,又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-+16=-.由PB2⊥QB2,得·=0,即16m2-64=0,解得m=±2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.。
2017_2018学年高中数学课时跟踪训练八椭圆的几何性质新人教B版选修1_1
由三角形AF1F2为正三角形，
可得2c＝a，又a－c＝ ，
∴a＝2 ，c＝ ，
∴b2＝(2 )2－( )2＝9.
∴椭圆的方程是 ＋ ＝1.
答案： ＋ ＝1
6．解析：由题意知椭圆核心在x轴上，
∴在直线方程x＋2y－2＝0中．
令y＝0得c＝2；令x＝0得b＝1.
∴a＝ ＝ .∴e＝ ＝ .
⇒b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①，②解得c2＝1，a2＝3，
从而有b2＝2.
因此椭圆方程为 ＋ ＝1.
A．3B．－3
C．－ D.
5．若是椭圆的对称轴为坐标轴，核心在x轴上，短轴的一端点与两核心的连线组成一个正三角形，且a－c＝ ，那么椭圆的方程是________．
6．直线x＋2y－2＝0通过椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的一个核心和一个极点，那么该椭圆的离心率等于________．
7.如下图，F1、F2别离为椭圆的左、右核心，椭圆上点M的横坐标等于右核心的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的 ，求椭圆的离心率．
又c2＝a2－b2，因此3b＝2a.因此 ＝ .
∴e2＝ ＝ ＝1－ ＝ ，
∴e＝ .
法二：设椭圆方程为
＋ ＝1(a>b>0)，
则M(c， b)在椭圆上，
代入椭圆方程，得 ＋ ＝1，因此 ＝ ，
因此 ＝ ，即e＝ .
8．解：(1)假设∠F1AB＝90°，那么△AOF2为等腰直角三角形，
因此有OA＝OF2，即b＝c.
3．(新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E： ＋ ＝1(a＞b＞0)的左、右核心，P为直线x＝ 上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，那么E的离心率为( )
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课时跟踪检测（八） 椭圆的简单几何性质层级一 学业水平达标1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A ．12B ．32 C ．34D ．64解析：选A 依题意，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A ．3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P ．若AP ＝2PB，则椭圆的离心率是( )A ．32B ．22C ．13D ．12解析：选D ∵AP ＝2PB ，∴|AP |＝2|PB|．又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23， 即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12．5．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)解析：选C 化为标准方程是x 2－n ＋y 2－m ＝1，∵m <n <0，∴0<－n <－m ．∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m ． 6．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________．解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3； 当焦点在y 轴上时，m －4m＝12⇒m ＝163． 综上，m ＝3或m ＝163． 答案：3或1637．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________．解析：∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2．设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a >0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1． 解得a 2＝45．∴椭圆方程为x 245＋y 236＝1．答案：x 245＋y 236＝18．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A ＝5F B 2 ，则点A 的坐标是________．解析：设A (m ，n )．由1F A ＝5F B 2 ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋625，n 5． 又A ，B 均在椭圆上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝⎛⎭⎫n 52＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1，所以点A 的坐标为(0,1)或(0，－1)． 答案：(0,1)或(0，－1)9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12，从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12．由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8．故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1．10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22．∴y 2＝ax －x 2．①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1．②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即 (x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0， ∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0<x <a ，∴0<ab 2a 2－b2<a ，即2b 2<a 2．由b 2＝a 2－c 2，得a 2<2c 2，∴e >22． 又∵0<e <1，∴22<e <1． 层级二 应试能力达标1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长轴长、短轴长B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的顶点解析：选B c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝25－9＝16，所以两椭圆有相等的焦距．故选B ．2．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8,6B ．4,3C ．2， 3D ．4,2 3解析：选B 过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3．故选B ．3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A ．x 22＋y 24＝1B ．x 2＋y 26＝1C ．x 26＋y 2＝1D ．x 28＋y 25＝1解析：选B 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝5．又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1．4．(全国丙卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选A 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )， 由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |， 则|MF |＝m (a －c )a ．①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m (a ＋c )2a．②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13．故选A ．5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为________．解析：在Rt △ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ， 由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2， 得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2．将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0， 即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52． 因为e >0，所以e ＝5－12． 答案：5－126．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．解析：由题意，知a ＝10，b ＝8，不妨设椭圆方程为x 2100＋y 264＝1，其上的点M (x 0，y 0)，则|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20．因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64⎝⎛⎭⎫1－x 20100＝64－1625x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝ 925x 20＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 2＋64≤100，即8≤d ≤10． 答案：[8,10]7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求实数m 的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，由m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，可知m >m m ＋3， 所以a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝ m (m ＋2)m ＋3， 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1． 于是椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝32．所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为⎝⎛⎭⎫－32，0，⎝⎛⎭⎫32，0；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝⎛⎭⎫0，－12，⎝⎛⎭⎫0，12．8．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) 的左、右焦点，过点 F 1的直线交椭圆E 于 A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |．(1)若|AB |＝4，△ABF 2 的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1．因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8． 故|AF 2|＝8－3＝5．(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ． 由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ． 在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)·(2a－k)．化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k．于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k．因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝22a，所以椭圆E的离心率e＝ca＝22．。