高考数学大一轮复习 第3章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数课时作业 理

课时作业(十八) 任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、选择题
1．(2015·汕头一中质检)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A.π3
B ．2π3
C ． 3
D ． 2
答案：C
解析：半径为r 的圆内接等边三角形的边长为3r ，故圆心角α＝
3r
r
＝ 3.故应选C.
2．(2015·济南四校联考)已知角x 的终边上一点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π
6，cos 5π6，则角x 的
最小正值为( )
A.5π
6
B ．11π6
C ．5π3
D ．2π3
答案：C
解析：因为角x 终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－32，在第四象限，所以角x 是第四象限角，
又tan x ＝－3
212
＝－3，所以角x 的最小正值为5π
3.故应选C.
3．已知角α的终边上一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝1
2y ，则cos α
－
1
tan α等于( ) A.
32或－32 B ．
32
C ．－3
2
D ．
32或－332
答案：D
解析：由已知得r ＝|OP |＝3＋y 2
， ∴sin α＝y 2＝y
3＋y 2
. ∴2＝3＋y 2
，
∴y 2
＝1，∴y ＝±1，
故sin α＝±12，cos α＝－3
2.
tan α＝±
33
. 则cos α－1tan α＝32或－33
2.
故应选D.
4．(2015·临沂模拟)若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案：B
解析：∵A ，B 是锐角△ABC 的两个内角， ∴A ＋B >90°，即A >90°－B . ∴sin A >sin(90°－B )＝cos B ， cos A <cos(90°－B )＝sin B . ∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0. ∴点P 在第二象限． 故应选B.
5．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ值为( )
A.π
4
B ．3π4
C ．3π4或5π4
D ．7π4
答案：D
解析：由sin 3π4>0，cos 3π
4<0知角θ在第四象限，
又 ∵tan θ＝cos
3π4
sin
3π4＝－1，θ∈[0,2π)，
∴θ＝7π4.
故应选D.
6．(2015·日照模拟)若α是第二象限角，则α
3一定不是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
答案：C
解析：因为α是第二象限角，所以π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，则π6＋2k π3<α3<π
3＋
2k π
3
，k ∈Z ， 当k ＝3m ，m ∈Z 时，π6＋2m π<α3<π3＋2m π，m ∈Z ，此时α
3为第一象限角．
当k ＝3m ＋1，m ∈Z 时，5π6＋2m π<α3<π＋2m π，m ∈Z ，此时α
3为第二象限角．
当k ＝3m ＋2，m ∈Z 时，3π2＋2m π<α3<5π3＋2m π，m ∈Z ，此时α
3为第四象限角．故应
选C.
二、填空题
7．已知θ角的终边与480°角的终边关于x 轴对称，点P (x ，y )在θ角的终边上(不是原点)，则
xy
x 2
＋y 2
的值为________．
答案：
3
4
解析：由题意知角θ的终边与240°角的终边相同， 又∵P (x ，y )在角θ的终边上， 所以tan θ＝tan 240°＝3＝y x
，
于是
xy
x 2
＋y 2
＝y x
1＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫y x 2＝31＋3＝3
4
. 8．如果θ是第二象限角，且cos θ
2
－sin
θ
2
＝1－sin θ，那么
θ
2
所在象限为第
________象限．
答案：三
解析：∵cos θ2－sin θ
2＝1－sin θ＝⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
cos θ
2－sin θ2，
∴cos θ2≥sin θ
2
，
∴2k π－3π4≤θ2≤2k π＋π
4，k ∈Z .
又∵2k π＋π
2<θ<2k π＋π，k ∈Z ，
∴k π＋π4<θ2<k π＋π
2，
∴2k π＋5π4<θ2<2k π＋3π
2.
故θ
2
为第三象限角．
9．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－25
5
，则y ＝________.
答案：－8
解析：由P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255
可知y ＜0，|OP |＝42＋y 2
，根据任意角的三角函数的定义得
y
42＋y
2
＝－255，化简得y 2
＝64，解得y ＝－8. 10．当P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2
＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点
的坐标为________．
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
2，32
解析：由题意知点Q 是角2π3的终边与单位圆的交点，设Q (x ，y )，则y ＝sin 2π3＝3
2.x
＝cos 2π3＝－1
2
，
故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，32.
三、解答题
11．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2
，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ， 则⎩⎪⎨⎪⎧
12lr ＝1，l ＋2r ＝4，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
r ＝1，
l ＝2.
∴圆心角α＝l
r
＝2.
过O 作OH ⊥AB 于H . 则∠AOH ＝1弧度．
∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．
12．已知角α终边经过点P (x ，－3)(x ≠0)，且cos α＝2
3
x ，求sin α，tan α的值．
解：∵P (x ，－3)(x ≠0)， ∴P 到原点的距离r ＝x 2
＋3. 又cos α＝2
3
x ， ∴cos α＝
x x 2＋3＝2
3
x ， ∵x ≠0，∴x ＝±62
， ∴r ＝322.
当x ＝
62时，点P 坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫62，－3， 由三角函数定义，有sin α＝－6
3
，tan α＝－ 2. 当x ＝－
62时，点P 坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－62，－3， ∴sin α＝－
6
3
，tan α＝ 2. 13．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．
解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以sin α＝－2a
a 2＋－2a 2＝－25
，
cos α＝
a
a 2＋－2a 2
＝1
5
，
tan α＝－2a
a
＝－2，
sin β＝
a
2a2＋a2
＝
1
5
，
cos β＝
2a
2a2＋a2
＝
2
5
，
tan β＝a
2a ＝
1 2
，
故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β
＝－2
5
·
1
5
＋
1
5
·
2
5
＋(－2)×
1
2
＝－1.。