函数定义域求法总结(答案)
考点28 定义域(解析版)
考点28 定义域一．概念定义域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域 二．定义域的求法 （一）具体函数求定义域已知函数解析式求定义域，一般遵循下面原则，列出不等式组解不等式。
1. 分式：分母不为02. 根式：开偶次方根，被开方数大于等于03. 对数：对数的真数大于0，底数大于0且不等于14. 指数：指数的底数大于0且不等于15. 0:1,0x x x =≠ 6. 正切：()2x k k z ππ≠+∈7. 无以上情况定义域为R ，实际应用题实际考虑 （二）抽象函数求定义域未知解析式函数的定义域求解：一般遵循对应法则不变，括号内同范围1.若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；2.若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域考向一 具体函数求定义域【例1】（1）（2021·浙江高三学业考试）函数1()2f x x =+的定义域是（ ） A ．[3,)-+∞B ．(3,)-+∞知识理解考向分析C ．[3,2)(2,)---+∞D ．[3,2)(2,)-⋃+∞（2）（2021·全国高一课时练习）函数y =的定义域是（ ） A ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦B ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】（1）C （2）A 【解析】（1）根据题意可得3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，所以[)()3,22,x ∈---+∞.故选：C.（2）由()0.5log 320320x x ⎧-≥⎨->⎩，即321320x x -≤⎧⎨->⎩，解得213x <≤，所以y =的定义域是2,13⎛⎤⎥⎝⎦故选：A【举一反三】1．（2020·云南省保山第九中学高三开学考试（理））函数y =的定义域是（ ） A ．()1,+∞ B ．()0,∞+C ．[)1,+∞D ．()()0,11,+∞【答案】A【解析】对于函数y =10x x >⎧⎨->⎩，解得1x >，因此，函数y =()1,+∞.故选：A. 2．（2021·山东日照市·高一期末）已知函数()ln(3)f x x =++()f x 的定义域为（ ）A ．(3,)+∞B ．()3,3-C ．(,3)-∞-D ．(,3)-∞【答案】A【解析】要使函数()ln(3)f x x =++3030x x +>⎧⎨->⎩解得3x >所以函数()f x 的定义域为(3,)+∞故选：A3．（2020·福建高三学业考试）函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．()2,3B ．(]2,4C ．()(]2,33,4 D ．()(]1,33,6-【答案】C【解析】由题意得240560330x x x x x ⎧-≥⎪-+⎪>⎨-⎪-≠⎪⎩，即()()2423030x x x x ⎧≤⎪⎪-->⎨⎪-≠⎪⎩，解得4423x x x -≤≤⎧⎪>⎨⎪≠⎩即23x <<或34x <≤所以函数的定义域为(2,3)(3,4].故选：C考向二 抽象函数求定义域【例2】（1）（2020·全国高三专题练习）已知函数()2xy f =的定义域是[1,1]-，则函数()3log f x 的定义域是（ ） A ．[1,1]-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[1,3]D．（2）（2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考（理））已知函数()2y f x =+的定义域是[)2,5-，则函数()31y f x =-的定义域为（ ）A ．[)7,14-B ．(]7,14-C ．18,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．18,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）．（2021·四川资阳市）已知函数()f x 的定义域为[]2,1-，则函数()()2g 13l x f x y -=-的定义域为（ ）A ．[]0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．()0,1【答案】（1）D （2）D （3）D【解析】（1）因为[]1,1x ∈-，所以1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为31log ,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以x ⎤∈⎦，故选：D. （2）∵函数()2y f x =+的定义域是[)2,5-，∵25x -≤<，∵027x ≤+<， ∵函数()f x 的定义域为[)0,7，∵对于函数()31y f x =-，有0317x ≤-<，解得1833x ≤<， ∵()31y f x =-的定义域是18,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：D ．（3）已知函数()f x 的定义域为[]2,1-，对于函数()()2g 13l x f x y -=-，有()232110lg 10x x x ⎧-≤-≤⎪->⎨⎪-≠⎩，即23211011x x x -≤-≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得01x <<.因此，函数()()2g 13l x f x y -=-的定义域为()0,1.故选：D.【举一反三】1．（2020·河南南阳市·高三期中）已知函数()f x 的定义域[]22-,，则函数()1f x -的定义域为（ ） A ．[]22-,B ．[]1,3-C ．[]3,1-D ．[]0,2【答案】B【解析】由题意212x -≤-≤，解得13x -≤≤，所以(1)f x -的定义域是[1,3]-．故选：B ．2．（2020·甘谷县第四中学高三月考）已知函数y =f （x +1）定义域是[-2，3]，则y =f （2x -1）的定义域是（ ） A ．[0，52] B ．[-1，4] C ．[-5，5] D ．[-3，7]【答案】A【解析】函数y =f （x +1）定义域是[-2，3]，则114x -≤+≤，所以1214x -≤-≤，解得502x ≤≤， 所以函数的定义域为[0，52].故选：A 3．（2020·甘肃张掖市第二中学高三月考）已知函数()f x 的定义域为[3,6]，则函数y =的定义域为（ ）A ．3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】由函数()f x 的定义域是[]3,6，得到326x ，故1232620(2)0x x log x ⎧⎪⎪->⎨⎪->⎪⎩即332212x x x ⎧⎪⎪>⎨⎪<<⎪⎩解得：322x <；所以原函数的定义域是：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ． 考向三 根据定义域求参数【例3】（2020·全国高三专题练习）若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．02a << B ．02a ≤≤ C ．02a <≤ D ．02a ≤<【答案】D【解析】由题意可知：当x ∈R 时，不等式2220ax ax -+>恒成立. 当0a =时，22220ax ax -+=>显然成立，故0a =符合题意； 当0a ≠时，要想当x ∈R 时，不等式2220ax ax -+>恒成立， 只需满足0a >且2(2)420a a --⋅⋅<成立即可，解得：02a <<， 综上所述：实数a 的取值范围是02a ≤<.故选：D【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）若函数()f x =的定义域为R ，则实数a 取值范围是（ ）A ．[]2,2- B ．(2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(2,2)- 【答案】A【解析】由题意可知210x ax ++≥对于x R ∈恒成立，所以240a ∆=-≤，所以[]2,2a ∈-.故选A. 2．（2020·上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中）函数y =的定义域是R ，则a 的取值范围是_________． 【答案】[)0,4【解析】由题意可得210ax ax ++>在R 上恒成立． ∵当0a =时，则10>恒成立，0a ∴=符合题意； ∵当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<．综上可得04a ≤<， ∵实数a 的取值范围为[)0,4．故答案为：[)0,4.3．（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（理））已知函数2123y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】0k ≤<3.【解析】当k=0时，13y =，满足条件 当k 0≠时，24120k k -<综上：0k 3≤<．一、单选题1．（2021·广西）函数ln(3)()1x f x x -=-的定义域为（ ）A ．(,1)(1,3]-∞--B ．(,1)(1,3]-∞⋃C ．(,1)(1,3)-∞-⋃-D ．(,1)(1,3)-∞【答案】D【解析】由题意可知30,10,x x ->⎧⎨-≠⎩解得3x <且1x ≠.所以函数()f x 的定义域为(,1)(1,3)-∞故选：D2．（2020·山西太原市·高三期中）函数()ln 1y x += ）A ．[)1,2-B ．()1,2-C ．(]1,2-D ．[]2,1-【答案】B【解析】要使函数()ln 1y x ++=21040x x +>⎧⎨->⎩，解得12x -<<， ∴原函数的定义域为(1,2)-．故选：B ．3．（2020·全国高三专题练习）x ∵[0，2π]，y） A ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．,2ππ⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,22ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】由题意，tan 0cos 002x x x π≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，解得32x ππ≤<，所以函数的定义域为3,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C. 4．（2020·宁夏石嘴山市第一中学高三期中）函数()lg f x x =的定义域是（ ）强化练习A ．{}02x x <≤ B ．{}01x x <≤C ．{}12x x -<≤D ．{}12x x <≤【答案】A【解析】由题意，函数()lg f x x =有意义，则满足200x x -≥⎧⎨>⎩，解得02x <≤，所以函数()f x 的定义域为{}02x x <≤.故选：A. 5．（2020·扬州大学附属中学高三月考）若集合{A x y ==∣，函数()ln 2y x =-的定义域为B ，则A B =（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)2,+∞【答案】C【解析】由题得1{[,)2A xy ===+∞∣，{}()20,2B x x =->=-∞，所以A B =1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C.6．（2020·太原市·山西大附中高三期中）函数()ln 1y x =++ ）A ．[)1,2-B ．1,2C ．1,2D ．[]1,2-【答案】B【解析】要使函数()ln 1y x ++=240010x x ⎧-≥≠+>⎩，解得12x -<<， ∴函数()2ln 14y xx ++-=的定义域是()1,2-.故选：B.7．（2020·陕西省黄陵县中学高三期中（理））函数()()2ln 2f x x x =+-的定义域为（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,2C ．()0,2D ．[]1,2【答案】B【解析】要使函数有意义，则210,20,x x x ->⎧⎨->⎩解得12x <<. 所以函数()()2ln 2f x x x =+-的定义域为()1,2.故选：B8．（2020·安徽高三月考（文））已知函数2()log f x x =()f x 的定义域为（ ） A ．(,4]-∞ B ．(,2]-∞C ．(0,2]D ．(0,4]【答案】C【解析】由题意，函数2()log f x x =有意义，则满足01640xx >⎧⎨-≥⎩，解得02x x >⎧⎨≤⎩， 即02x <≤，所以函数的定义域为(]0,2.故选：C.9．（2020·新疆实验高三月考）已知函数()y f x =定义域是[2,3]-，则(21)y f x =-的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[1,4]-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[5,5]-【答案】C 【解析】()y f x =的定义域是[2-，3]，(21)y f x ∴=-满足2213x --，解得122x -， (21)y f x ∴=-的定义域是1[,2]2-．故选：C ． 10．（2020·南昌市第十九中学）已知函数()f x 的定义域为()3,3-，设()21f x -的定义域为M ，N x y ⎧==⎨⎩，则M N ⋃=（ ） A ．[)7,5- B ．(]7,5-C ．()1,2-D ．(]1,5-【答案】D【解析】因为函数()f x 的定义域为()3,3-，所以在函数()21f x -中有3213x -<-<，解得12x -<< 所以设()21f x -的定义域为{}12M x x =-<<因为N x y ⎧==⎨⎩，所以{}15N x x =<≤所以{}15M N x x ⋃=-<≤故选：D11．（2020·河南南阳市·南阳中学高三月考（文））函数()f x =()32-f x 的定义城是（ ）A ．24,35⎡⎫⎪⎢⎭⎣B ．114,155⎡⎫⎪⎢⎭⎣ C ．1113,1515⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,15⎡⎫+∞⎪⎢⎭⎣【答案】B【解析】因为函数()f x =所以()12log 250250x x ⎧-≥⎪⎨⎪->⎩，解得 1255x ≤<， 所以函数()f x 的定义域为 12[,)55，令123255x ≤-<，解得 114155x ≤< ， 所以()32-f x 的定义城是114[,)155故选：B12．（2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考）已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则()()21f xg x x =-的定义域为（ ） A ．[]0,1 B ．[]0,4C ．[)0,1D ．[)(]0,11,4【答案】C【解析】()g x 有意义需02210x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得01x ≤<，所以()g x 的定义域为[0,1).故选：C.13．（2020·黑龙江牡丹江市·牡丹江一中高三开学考试（理））已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y ＝2f x 的定义域为（ ）A ．[32，＋∞) B ．[32，2) C ．(32，＋∞)D ．[12，2)【答案】B【解析】要使函数y2f x 有意义，需满足3261log (2)02x x ≤≤⎧⎪⎨->⎪⎩332021x x ⎧≤≤⎪⎨⎪<-<⎩∵32≤x <2.故选：B.14．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是（ ） A ．[0,1] B ．(0,1)C ．[0,1)D ．(0,1]【答案】B【解析】由题意，函数()f x 的定义域为[1,1]-，即11x -≤≤， 令1211-≤-≤x ，解得01x ≤≤，又由()f x 满足10x ->且11x -≠，解得1x <且0x ≠， 所以函数()f x 的定义域为(0,1)，故选B ．15．（2020·安徽省涡阳第一中学高三月考（文））已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝(21)ln(1)f x x --的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．(0，1) C ．[0，1) D ．(0，1]【答案】B【解析】由函数f (x )的定义域为[－1，1]，得－1≤x ≤1，令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1， 又由1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，所以函数g (x )的定义域为(0，1)，故选：B.16．（2020·全国高三专题练习（理））函数()f x =f (2x -1)的定义域是（ ）A ．25[,)36B ．11[,)33-C ．12[,]33D ．2[,)3+∞【答案】A【解析】由()f x =12log (23)0230x x -≥⎧⎪⎨⎪->⎩，即0231x <-≤，解得1233x ≤<，即()f x 的定义域为12{|}33x x ≤<，令122133x ≤-<，解得2536x ≤<， 所以(21)f x -的定义域为25[,)36，故选：A二、填空题17．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高一期末）函数()f x 定义域为[1,8]，则函数2()3x f g x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-的定义域为____________． 【答案】[)(]2,33,16【解析】由于函数()f x 定义域为[1,8]，对于函数2()3x f g x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-，有18230x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-≠⎩，解得216x <<且3x ≠.因此，函数2()3x f g x x ⎛⎫⎪⎝⎭=-的定义域为[)(]2,33,16.故答案为：[)(]2,33,16.18．（2021·贵溪市实验中学高三一模）函数12y x=-的定义域是________． 【答案】{1xx ≥-∣且2}x ≠． 【解析】由题设可得1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，故12x -≤<或2x >．故函数的定义域为：{1xx ≥-∣且2}x ≠． 故答案为：{1xx ≥-∣且2}x ≠． 19．（2021·北京高三期末）函数()ln f x x =的定义域为__________.【答案】()0,∞+ 【解析】对于函数()ln f x x =，有10x x +≥⎧⎨>⎩，解得0x >.因此，函数()ln f x x =的定义域为()0,∞+.故答案为：()0,∞+.20．（2020·福建省长乐第一中学高三月考）若函数()y f x =的定义域是[]0,4，则函数()2f x f x =的定义域是__________. 【答案】](1,2【解析】因为函数()y f x =的定义域是[]0,4，所以02402x x ≤≤⇒≤≤，又10x -> 所以12x <≤故答案为：](1,221．（2020·上海市进才中学高三期中）函数()f x =______. 【答案】[-1，2]【解析】由题设可得3210x --≥即213x -≤，故3213x -≤-≤，所以12x -≤≤， 故答案为：[]1,2-.22．（2020·河北高三月考）函数ln(sin )y x =+___________． 【答案】[5,)(0,)ππ--【解析】由题意得：2sin 0250x x >⎧⎨-≥⎩，解得5x π-≤<-或0πx <<.故答案为：[5,)(0,)ππ--. 23．（2020·九龙坡区·重庆市育才中学高三开学考试）已知(1)f x +的定义域为[]0,2，则(2)1f x x -的定义域为___________ 【答案】13[,1)(1,]22【解析】函数(1)f x +的定义域为[]0,2，02x ∴≤≤，113x ∴≤+≤，()f x ∴的定义域为[]1,3，所以(2)1f x x -中：12310x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得112x ≤<且312x <≤ ∴函数(2)1f x x -的定义域为13[,1)(1,]22．故答案为:13[,1)(1,]22． 24．（2020·合肥一六八中学高三月考（理））已知函数()f x 的定义域是1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则()2xf 的定义域是_______．【答案】[1,3]-【解析】因为函数()f x 的定义域是1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1282x ≤≤，得13x -≤≤， 所以()2xf 的定义域为[1,3]-，故答案为：[1,3]-25．（2020·西藏山南二中高三月考）已知函数()f x 的定义域为()3,1-，则函数()21f x -的定义域为______． 【答案】()1,1-【解析】因为函数()f x 的定义域为()3,1-，3211x ∴-<-<，解得11x -<<， 即函数()21f x -的定义域为()1,1-.故答案为：()1,1-.26．（2020·全国高三专题练习）已知函数()24y f x =-的定义域是[]1,5-，则函数()21y f x =+的定义域为______. 【答案】5,102⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】()24y f x =-的定义域是[]1,5-，则[]244,21x -∈-，即函数()f x 的定义域为[]4,21-，令[]214,21x +∈-，解得5,102x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.则函数()21y f x =+的定义域为5,102⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：5,102⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.27．（2020·全国高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域为[]8,1-，则函数(21)()2f xg x x +=+的定义域为______________ 【答案】(]9,22,02⎡⎫--⋂-⎪⎢⎣⎭【解析】【解析】由题意可知，函数()y f x =的定义域为[8,1]-，令8211x -≤+≤，解得902x -≤≤， 又由20x +≠，解得2x ≠-，所以函数()g x 的定义域是9[,2)(2,0]2---.28．（2020·全国高三专题练习）若函数f(x)R ，则a 的取值范围为________．【答案】[－1,0]【解析】因为函数()f x 的定义域为R ，所以22210x ax a+--≥对x R ∈恒成立，即220x ax a +-≥恒成立因此有2440a a =+≤解得10a ≤≤－则a 的取值范围为[]10-，故答案为[]10-，29．（2020·全国高三专题练习）已知函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围是________. 【答案】(]12,0-【解析】由0a =或24(3)0a a a ≠⎧⎨∆=-⨯-<⎩，可得120a -<≤，故答案为：(]12,0-. 30．（2020·全国高三专题练习）若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是__________.【答案】⎣⎦【解析】由函数()f x =R,得221202x ax a---≥恒成立,化简得2210x ax a --+≥恒成立,所以由()24410a a =--≤解得:1122⎡--⎢⎣⎦. 故答案为:⎣⎦.31．（2020·全国高三专题练习）已知函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】.30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】函数f （x）=的定义域为R ，则对任意实数x ，mx 2+4mx +3＞0恒成立， 当m ＝0时，不等式3＞0恒成立；当m ≠0时，要使mx 2+4mx +3＞0恒成立，则20(4)120m m m ⎧⎨-⎩＞＜，解得：034m ＜＜． 综上，实数m 的取值范围是[0，34）． 故答案为：[0，34）． 32．（2020·全国高三专题练习）已知函数2()lg1f x x ax 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．-【答案】[1,1]【解析】函数f（x）＝lg ax）的定义域为R，ax＞0恒成立，-ax恒成立，设y=x∵R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；令y＝﹣ax，x∵R；它表示过原点的直线；由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y=的下方，画出图形如图所示；∵0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，解得﹣1≤a≤1；∵实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．。
函数定义域值域求法(全十一种)
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。
③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。
故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。
例2 求函数2x161x sin y -+=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。
（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。
例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。
解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。
（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
函数的定义域常见求法-含答案
【知识要点】一、函数的定义域的定义函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 二、求函数的定义域的主要依据1、分式的分母不能为零.2(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根(21,)n k k N *=+∈其中中，x R ∈.3、指数函数xy a =的底数a 必须满足01,a a x R >≠∈且.4、对数函数log a y x =的真数x 必须大于零，底数a 必须满足01a a >≠且.5、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.6、正切函数tan y x =的定义域是{|,}2x x k k z ππ≠+∈.7、复合函数的定义域的求法（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.8、求函数()()y f x g x =+的定义域一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A B ，则A B 就是所求函数的定义域.9、求实际问题中函数的定义域不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义. 三、函数的定义域的表示函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式.四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法. 五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则.研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便. 【方法讲评】【例1】求函数y .【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域. 【反馈检测1】求函数y =.B ,A B 就是函数【例2】求函数y =3log cos x 的定义域.【解析】由题得⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-∴⎩⎨⎧>≥-zk k x k x x x 2222550cos 0252ππππ∴}52322235|{≤<<<--<≤-x x x x ππππ或或所以函数的定义域为}52322235|{≤<<<--<≤-x x x x ππππ或或【点评】（1）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先求()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求AB ，则A B 就是所求函数的定义域.（2）该题中要考虑偶次方根的被开方数是非负数，对数函数的真数大于零，列不等式求函数的定义域时，必须考虑全面，不能漏掉限制条件.（3）解不等式cos 0x >时，主要是利用余弦函数的图像解答.（4）求552222x k x k k zππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩的解集时，只需给参数k 赋几个整数值，再通过数轴求交集.（5）注意等号的问题，其中只要有一个错误，整个解集就是错误的，所以要仔细认真. 学科#网【例3】求函数 02)23(3|3|)lg(-+-+-=x x x x y 的定义域.【点评】（1）该题中要考虑真数大于零，分式的分母不能为零，零次幂的底数不能为零，考虑要全面，不要遗漏.（2）求不等式的交集一般通过数轴完成.【例4】求函数log (1)(01)xa y a a a =->≠且的定义域.【解析】由题得 0101=xxa a a ->∴>1a >当时，x>0;当0<a<1时，x<0.1{a ∴>当时，函数的定义域为x|x>0}, 1{a <当0<时，函数的定义域为x|x<0}.【点评】（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论.（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数a 的取值范围，一般要分类讨论.【反馈检测2】求函数ln1)xy a =-+（的定义域.【例5】求下列函数的定义域：（1）已知函数f （x)的定义域为[2,2]-，求函数2(1)y f x =-的定义域； （2）已知函数(24)y f x =+的定义域为[0,1]，求函数f （x)的定义域； （3）已知函数f （x)的定义域为[1,2]-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域.【点评】（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.第1小题就是典型的例子.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.第2小题就是典型的例子.（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求AB ，则A B 就是所求函数的定义域.。
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
定义域的求法1、直接定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义， 而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37-或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x 2 定义域的逆向问题例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题) 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-a ax ax∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于练习：322log+-=mx x y 定义域是一切实数，则m 的取值范围；3 复合函数定义域的求法例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
函数定义域、值域,解析式求法总结
函数定义域、值域，解析式求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒⎩⎨⎧≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
函数定义域值域求法总结精彩
函数定义域值域求法总结精彩GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
常用的求值域的方法：（1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax 第一页∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
高一数学求函数解析式定义域与值域的常用方法(含答案)
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
定义域和值域的求法(经典)
函数定义域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、抽象函数的定义域1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
函数值域求法四种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
求函数定义域和值域方法和典型题归纳
求函数定义域、值域方法和典型例题一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A和B是非空数集，按照某一确定的对应关系f，使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。
则称f:为A到B的一个函数。
2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f）,②集合A的取值范围。
由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。
3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。
（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。
4.值域：是由定义域和对应关系（f）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。
（1）明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x∈A}。
（2）明白定义中集合B是包括值域，但是值域不一定为集合B。
二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
函数定义域值域求法(全十一种)
高中函数 【2 】界说域和值域的求法总结一.常规型即给出函数的解析式的界说域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式（或组）即得原函数的界说域.例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的界说域.解：要使函数有意义,则必须知足⎩⎨⎧≠-+≥--②①08|3x |015x 2x 2由①解得 3x -≤或5x ≥.③ 由②解得 5x ≠或11x -≠④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5.故所求函数的界说域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且.例2 求函数2x 161x sin y -+=的界说域.解：要使函数有意义,则必须知足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π，③由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部分,得π≤<π-≤<-x 0x 4或故函数的界说域为]0(]4(ππ--，，评注：③和④如何求公共部分？你会吗？二.抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规办法求解,一般表示为已知一个抽象函数的界说域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情形.（1）已知)x (f 的界说域,求)]x (g [f 的界说域.（2）其解法是：已知)x (f 的界说域是［a,b ］求)]x (g [f 的界说域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的界说域.例3 已知)x (f 的界说域为［－2,2］,求)1x (f 2-的界说域. 解：令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,是以3|x |0≤≤,从而3x 3≤≤-,故函数的界说域是}3x 3|x {≤≤-.（2）已知)]x (g [f 的界说域,求f(x)的界说域.其解法是：已知)]x (g [f 的界说域是［a,b ］,求f(x)界说域的办法是：由b x a ≤≤,求g(x)的值域,即所求f(x)的界说域.例4 已知)1x 2(f +的界说域为［1,2］,求f(x)的界说域.解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，. 即函数f(x)的界说域是}5x 3|x {≤≤.三.逆向型即已知所给函数的界说域求解析式中参数的取值规模.特别是对于已知界说域为R,求参数的规模问题平日是转化为恒成立问题来解决.例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的界说域为R 求实数m 的取值规模. 剖析：函数的界说域为R,表明0m 8mx 6mx 2≥++-,使一切x ∈R 都成立,由2x 项的系数是m,所以应分m=0或0m ≠进行评论辩论.解：当m=0时,函数的界说域为R;当0m ≠时,08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式,其对一切实数x 都成立的充要前提是1m 00)8m (m 4)m 6(0m 2≤<⇒⎩⎨⎧≤+--=∆>综上可知1m 0≤≤.评注：不少学生轻易疏忽m=0的情形,愿望经由过程此例解决问题.例6 已知函数3kx 4kx 7kx )x (f 2+++=的界说域是R,求实数k 的取值规模.解：要使函数有意义,则必须3kx 4kx 2++≠0恒成立,因为)x (f 的界说域为R,即03kx 4kx 2=++无实数①当k ≠0时,0k 34k 162<⨯-=∆恒成立,解得43k 0<<;②当k=0时,方程左边=3≠0恒成立.综上k 的取值规模是43k 0<≤.四.现实问题型 这里函数的界说域除知足解析式外,还要留意问题的现实意义对自变量的限制,这点要加倍留意,并形成意识.例7 将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式,并求函数的界说域.解：设矩形一边为x,则另一边长为)x 2a (21-于是可得矩形面积.2x ax 21)x 2a (21x y -=-⋅=ax 21x 2+-=.由问题的现实意义,知函数的界说域应知足⎩⎨⎧>->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->0x 2a 0x 0)x 2a (210x2ax 0<<⇒.故所求函数的解析式为ax 21x y 2+-=,界说域为（0,2a ）. 例8 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式,并求界说域.解：由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆构成的图形的面积,如图.因为CD=AB=2x,所以x CD π=⋂,所以2x x 2L 2CD AB L AD π--=--=⋂, 故2x 2x x 2L x 2y 2π+π--⋅= Lx x )22(2+π+-=依据现实问题的意义知2L x 002x x 2L 0x 2+π<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>π--> 故函数的解析式为Lx x )22(y 2+π+-=,界说域（0,2L +π）.五.参数型对于含参数的函数,求界说域时,必须对分母分类评论辩论.例9 已知)x (f 的界说域为［0,1］,求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的界说域.解：因为)x (f 的界说域为［0,1］,即1x 0≤≤.故函数)x (F 的界说域为下列不等式组的解集：⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0,即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a 1x a a 1x a即两个区间［－a,1－a ］与［a,1+a ］的交集,比较两个区间左.右端点,知（1）当0a 21≤≤-时,F （x ）的界说域为}a 1x a |x {+≤≤-; （2）当21a 0≤≤时,F （x ）的界说域为}a 1x a |x {-≤≤; （3）当21a >或21a -<时,上述两区间的交集为空集,此时F （x ）不能构成函数.六.隐含型有些问题从表面上看并不求界说域,但是不留意界说域,往往导致错解,事实上界说域隐含在问题中,例如函数的单调区间是其界说域的子集.是以,求函数的单调区间,必须先求界说域.例10 求函数)3x 2x (log y 22++-=的单调区间.解：由03x 2x 2>++-,即03x 2x 2<--,解得3x 1<<-.即函数y 的界说域为（－1,3）.函数)3x 2x (log y 22++-=是由函数3x 2x t t log y 22++-==，复合而成的. 4)1x (3x 2x t 22+--=++-=,对称轴x=1,由二次函数的单调性,可知t 在区间]1(，-∞上是增函数;在区间)1[∞+，上是减函数,而t log y 2=在其界说域上单调增; 3)[1)[1)31(]11(]1()31(，，，，，，，=∞+--=-∞- ,所以函数)3x 2x (log y 22++-=在区间]11(，-上是增函数,在区间)31[，上是减函数. 函数值域求法十一种1. 直接不雅察法对于一些比较简略的函数,其值域可经由过程不雅察得到.例1. 求函数x 1y =的值域. 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域. 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞2. 配办法配办法是求二次函数值域最根本的办法之一.例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域. 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时,4y min =,当1x -=时,8y max = 故函数的值域是：[4,8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域.解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时,R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时,0x =,而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域.解：双方平方整顿得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的界说域由0)x 2(x ≥-,得2x 0≤≤由0≥∆,仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程（1）有实根,由 0≥∆求出的规模可能比y 的现实规模大,故不能肯定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21.可以采取如下办法进一步肯定原函数的值域.∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1） 解得：]2,0[22222x 41∈-+= 即当22222x 41-+=时, 原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来断定函数的值域时,若原函数的界说域不是实数集时,应分解函数的界说域,将扩展的部分剔除.4. 反函数法直接求函数的值域艰苦时,可以经由过程求其原函数的界说域来肯定原函数的值域.例6. 求函数6x 54x 3++值域. 解：由原函数式可得：3y 5y 64x --= 则其反函数为：3x 5y 64y --=,其界说域为：53x ≠ 故所求函数的值域为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-53,5. 函数有界性法直接求函数的值域艰苦时,可以应用已学过函数的有界性,反宾为主来肯定函数的值域.例7. 求函数1e 1e y x x +-=的值域. 解：由原函数式可得：1y 1y e x -+=∵0e x >∴01y 1y >-+解得：1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-例8. 求函数3x sin xcos y -=的值域.解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-,可化为：y 3)x (x sin 1y 2=β++ 即1y y3)x (x sin 2+=β+∵R x ∈ ∴]1,1[)x (x sin -∈β+ 即11y y312≤+≤- 解得：42y 42≤≤- 故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,42 6. 函数单调性法例9. 求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域. 解：令1x log y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2,10]上都是增函数所以21y y y +=在[2,10]上是增函数当x=2时,8112log 2y 33min =-+=-当x=10时,339log 2y 35max =+= 故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81例10. 求函数1x 1x y --+=的值域.解：原函数可化为：1x 1x 2y -++= 令1x y ,1x y 21-=+=,显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数 所以1y y =,2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时,21y y y +=有最小值2,原函数有最大值222=显然0y >,故原函数的值域为]2,0( 7. 换元法 经由过程简略的换元把一个函数变为简略函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模子,换元法是数学办法中几种最重要办法之一,在求函数的值域中同样施展感化.例11. 求函数1x x y -+=的值域.解：令t 1x =-,)0t (≥则1t x 2+= ∵43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥,由二次函数的性质可知当0t =时,1y min =当0t →时,+∞→y故函数的值域为),1[+∞例12. 求函数2)1x (12x y +-++=的值域.解：因0)1x (12≥+- 即1)1x (2≤+ 故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+ ∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β=1)4sin(2+π+β= ∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0211)4sin(201)4sin(22+≤+π+β≤∴≤π+β≤-∴ 故所求函数的值域为]21,0[+例13. 求函数1x 2x x x y 243++-=的值域. 解：原函数可变形为：222x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯=可令β=tg x ,则有β=+-β=+2222cos x 1x 1,2sin x 1x 2β-=β⨯β-=∴4sin 412cos 2sin 21y 当82k π-π=β时,41y max = 当82k π+π=β时,41y min -=而此时βtan 有意义. 故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41 例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域.解：)1x )(cos 1x (sin y ++=1x cos x sin x cos x sin +++=令t x cos x sin =+,则)1t (21x cos x sin 2-=22)1t (211t )1t (21y +=++-= 由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+= 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 可得：2t 22≤≤∴当2t =时,223y max +=,当22t =时,2243y +=故所求函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++223,2243. 例15. 求函数2x 54x y -++=的值域.解：由0x 52≥-,可得5|x |≤故可令],0[,cos 5x π∈ββ= 4)4sin(10sin 54cos 5y +π+β=β++β=∵π≤β≤04544π≤π+β≤π∴当4/π=β时,104y max += 当π=β时,54y min -=故所求函数的值域为：]104,54[+-8. 数形结正当其题型是函数解析式具有显著的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类标题若应用数形结正当,往往会加倍简略,一目了然,心旷神怡.例16. 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域.解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=上式可以算作数轴上点P （x ）到定点A （2）,)8(B -间的距离之和. 由上图可知,当点P 在线段AB 上时,10|AB ||8x ||2x |y ==++-=当点P 在线段AB 的延伸线或反向延伸线上时,10|AB ||8x ||2x |y =>++-=故所求函数的值域为：],10[+∞例17. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域. 解：原函数可变形为：2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=上式可算作x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,43)12()23(|AB |y 22min =+++==,故所求函数的值域为],43[+∞例18. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域. 解：将函数变形为：2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=上式可算作定点A （3,2）到点P （x,0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差.即：|BP ||AP |y -=由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点'P ,则构成'ABP ∆,依据三角形双方之差小于第三边,有26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-即：26y 26<<-（2）当点P 正好为直线AB 与x 轴的交点时,有26|AB |||BP ||AP ||==-综上所述,可知函数的值域为：]26,26(-注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A.B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B 两点在x 轴的同侧. 如：例17的A,B 两点坐标分离为：（3,2）,)1,2(--,在x 轴的同侧;例18的A,B 两点坐标分离为（3,2）,)1,2(-,在x 轴的同侧.9. 不等式法应用根本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+∈,求函数的最值,其题型特点解析式是和式时请求积为定值,解析式是积时要乞降为定值,不过有时须要用到拆项.添项和双方平方等技能.例19. 求函数4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 22-+++=的值域.解：原函数变形为：52x cot x tan 3xcot x tan 3xsec x ces 1x cos 1x sin 1)x cos x (sin y 22322222222=+≥++=++=+++=当且仅当x cot x tan =即当4k x π±π=时)z k (∈,等号成立故原函数的值域为：),5[+∞例20. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域.解：x cos x sin x sin 4y =x cos x sin 42=2764]3/)x sin 22x sin x [(sin 8)x sin 22(x sin x sin 8xcos x sin 16y 322222224=-++≤-== 当且仅当x sin 22x sin22-=,即当32x sin 2=时,等号成立. 由2764y 2≤可得：938y 938≤≤- 故原函数的值域为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-938,938 10. 一一映射法 道理：因为)0c (d cx b ax y ≠++=在界说域上x 与y 是一一对应的.故两个变量中,若知道一个变量规模,就可以求另一个变量规模.例21. 求函数1x 2x31y +-=的值域. 解：∵界说域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<21x 21x |x 或 由1x 2x 31y +-=得3y 2y 1x +-= 故213y 2y 1x ->+-=或213y 2y 1x -<+-= 解得23y 23y ->-<或 故函数的值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, 11. 多种办法分解应用例22. 求函数3x 2x y ++=的值域. 解：令)0t (2x t ≥+=,则1t 3x 2+=+（1）当0t >时,21t 1t 11t t y 2≤+=+=,当且仅当t=1,即1x -=时取等号,所以21y 0≤<（2）当t=0时,y=0.综上所述,函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0注：先换元,后用不等式法例23. 求函数42432x x 21x x x 2x 1y ++++-+=的值域. 解：4234242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-=2222x 1x x 1x 1++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 令2tan x β=,则β=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2222cos x 1x 1β=+sin 21x 1x 21sin 21sin sin 21cos y 22+β+β-=β+β=∴161741sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-β-= ∴当41sin =β时,1617y max =当1sin -=β时,2y min -= 此时2tan β都消失,故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1617,2 注：此题先用换元法,后用配办法,然后再应用βsin 的有界性. 总之,在具体求某个函数的值域时,起首要细心.卖力不雅察其题型特点,然后再选择适当的办法,一般优先斟酌直接法,函数单调性法和根本不等式法,然后才斟酌用其他各类特别办法.。
(完整版)求函数定义域及值域方法及典型题归纳
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。
则称f:为A 到B 的一个函数。
2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。
由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。
3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。
（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。
4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。
（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。
（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。
二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
函数的定义域和值域知识题型总结(含答案)
函数得定义域与值域一、定义域:1。
函数得定义域就就是使函数式得集合、2。
常见得三种题型确定定义域：①已知函数得解析式，就就是、②复合函数f [g（ｘ)]得有关定义域,就要保证内函数g（x）得域就是外函数ｆ (x)得域、③实际应用问题得定义域,就就是要使得有意义得自变量得取值集合、二、值域：１。
函数y＝ｆ（x)中，与自变量x得值得集合、2．常见函数得值域求法,就就是优先考虑，取决于 ,常用得方法有：①观察法;②配方法;③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法;⑦判别式法；⑧有界性法;⑨换元法（又分为法与法)例如:①形如y＝,可采用法;②y＝,可采用法或法;③y=a［f（x）］2＋ｂf (x)＋ｃ,可采用法;④y=ｘ－，可采用法；⑤y＝x－,可采用法;⑥y=可采用法等、典型例题例１、求下列函数得定义域：(１）ｙ＝；（2)y=; （3）y＝、解:（1)由题意得化简得即故函数得定义域为｛x|x〈0且x≠—１}、（2)由题意可得解得故函数得定义域为｛ｘ|—≤x≤且x≠±｝、（3）要使函数有意义，必须有即∴x≥１,故函数得定义域为［１，+∞）、变式训练1：求下列函数得定义域:（1）ｙ=+(x—1）0 ; （2)y=+(５x－4)０； (３)y=+lgcosx;解:（1）由得所以－３〈x〈2且x≠１、故所求函数得定义域为（—3,1）∪（１，２)、（2）由得∴函数得定义域为（３)由,得借助于数轴，解这个不等式组,得函数得定义域为例2、设函数ｙ＝f（x）得定义域为[0，1］，求下列函数得定义域、(1)y=f（3x）； (2）y=f(）;(３)y=f(； (４)ｙ=f（x+a)+f(x－a)、解：（1)０≤3x≤1，故0≤ｘ≤,ｙ=f（3x)得定义域为［0, ］、（2）仿(１）解得定义域为[1，+∞)、(3）由条件,y得定义域就是f与定义域得交集、列出不等式组故ｙ＝f得定义域为、(4）由条件得讨论:①当即０≤a≤时,定义域为[a，1—a］；②当即－≤ａ≤0时，定义域为［-a,1＋ａ］、综上所述：当0≤a≤时,定义域为［a,1－a］;当—≤a≤0时,定义域为［—a，１+ａ］、（0<a＜）得定义域就是（ ) 变式训练2:若函数f（x）得定义域就是［0，1］,则f(x+a)·f（ｘ—a）A、 B、[ａ，１—a］ C、［—a,１+a]D、［0,1］解: B例3、求下列函数得值域：（1)y= (２)y＝x—；（３)y＝、解：(1)方法一（配方法)∵y=1—而∴0〈∴∴值域为、方法二 (判别式法）由y=得(ｙ-1）∵ｙ=1时，1、又∵R,∴必须＝(1-y）2—4y（y-１）≥0、∴∵∴函数得值域为、（2)方法一（单调性法）定义域，函数y=x,y＝-均在上递增,故y≤∴函数得值域为、方法二 (换元法）令=ｔ，则ｔ≥0，且x=∴y=－（t+1)2+1≤(t≥０），∴y∈(—∞，]、（3）由ｙ=得，ｅx=∵ｅx＞０,即＞0，解得－1＜y＜1、∴函数得值域为{y|—1〈y〈1}、变式训练3：求下列函数得值域：(1）y＝; (２）y=｜x|、解：(１）（分离常数法）y=-，∵≠0,∴y≠-、故函数得值域就是｛y｜ｙ∈Ｒ,且ｙ≠-｝、(２)方法一（换元法）∵１－x2≥0,令ｘ=sin,则有y＝｜ｓincｏs|＝｜sｉn２|,故函数值域为［０,］、方法二y=|x|·∴0≤y≤即函数得值域为、例4.若函数f(x）=ｘ2-x＋a得定义域与值域均为［1，b](b＞1）,求ａ、ｂ得值、解：∵f（x)＝（x－1）2＋a-、∴其对称轴为ｘ=1,即［1,b］为f（x)得单调递增区间、∴f(x）min=f(1）=a—=１①f（x)ｍax=f（b)=b２—b+a=b ②由①②解得变式训练4：已知函数f（x）=x2—4ax+2a+６（x∈R)、(1)求函数得值域为［0,＋∞）时得a得值;(2）若函数得值均为非负值，求函数ｆ(a）=2—ａ|a+3|得值域、解：（１)∵函数得值域为［0,+∞),∴Δ=1６a2—４（2ａ＋６)＝02ａ2－a－3=0∴a=-1或a ＝、(２)对一切x∈R，函数值均非负，∴Δ=8（2a2-a－3)≤0-1≤a≤,∴a+３＞０，∴f(a）＝２-a(a+3）=－a2－3a+2＝－(a+)2+（a）、∵二次函数f(a）在上单调递减，∴ｆ（a)min=f＝—，f(a)max=f（-1)=4，∴f（a）得值域为、小结归纳１。
函数定义域值域求法(全十一种)
实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例 1求函数 y x 22x15| x 3 |8的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足x 22x150①| x 3 |8 0②由①解得x3或 x 5 。
③由②解得x5或 x11④③和④求交集得x3且 x11或x>5。
故所求函数的定义域为{ x | x 3且x11}{ x | x5} 。
例 2求函数 y sin x1的定义域。
16x 2解：要使函数有意义，则必须满足sin x0①16x 20②由①解得2k x2k，k Z③由②解得 4 x4④由③和④求公共部分，得4x或 0x故函数的定义域为(4， ](0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（ 1）已知f (x )的定义域，求f [ g(x )]的定义域。
（ 2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a，b］求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ，即为所求的定义域。
例 3已知 f (x) 的定义域为［－2， 2］，求f ( x 21) 的定义域。
解：令 2 x21 2 ，得 1 x2 3 ，即0 x 23，因此0| x | 3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。
（ 2）已知f [g( x)]的定义域，求f(x) 的定义域。
其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a x b，求g(x) 的值域，即所求f(x) 的定义域。
例 4已知 f (2x1) 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为 1 x2，22x4，32x 1 5 。
即函数 f(x) 的定义域是{ x | 3x5} 。
函数定义域求法及练习题含答案
函数定义域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、抽象函数的定义域1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-+-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法(含答案)
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
函数定义域及其答案
函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析1.求下列函数的定义域： ① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=211)(2.求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=)1()(⑤373132+++-=x x y3.若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围4.若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域5.已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
6.设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域7.已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域答案:1.解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21 同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x2.解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或 ∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或} ③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且 ④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37-或 x>37-∴定义域为：}37|{-≠x x3.解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 4.解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 5.解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，∴－1≤2x －1≤1，解之0≤x ≤1， ∴f(2x －1)的定义域为[0，1]。
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函数定义域求法总结
一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
（1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠
二、抽象函数的定义域
1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域
方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
一、 求函数的定义域
1、求下列函数的定义域：
⑴221533x x y x --=+- ⑵2
11(
)1
x y x -=-+ ⑶021(21)4111
y x x x =
+-+-+-
2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2
的定义域为_
_ _；函数f x ()-2的定义域为________；
3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1
(2)f x
+的定义域为 。
4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数
()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取
值范围。
5、若函数()f x = 3
44
2
++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞)
B 、(0,
43] C 、(4
3
,+∞) D 、[0,
4
3
) 6、若函数2()1f x mx mx =++的定义域为R ，则实数m 的取
值范围是（ ）
(A)04m << (B) 04m ≤≤(C) 4m ≥ (D) 04m <≤
7.已知函数()f x 的定义域为[]1
5-，，求(35)f x -的定义域．
8.若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,21，则)(l o g
2
x f 的定义域为。
9.已知函数2
(22)f x x -+的定义域为[]03，
，求函数()f x 的定义域．
10.已知函数
的定义域为
，则
的定义域为________。
11.
函数
定义域是，则
的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.
12.已知函数f(2x
）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.
13.若()f x 的定义域为[]35-，
，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．
14.已知函
数
的定义域
是
，
求
的定义域。
15.若函数f (x +1)的定义域为[－2
1，2]，求f (x 2
)的定义域．
巩固训练
1. 设函数
的定义域为，则
（1）函数的定义域为________。
（2）函数
的定义域为__________。
2、已知函
数
的定义域
为，
则
的定义域为__________
3、已知函数
的定义域为
，则
y=f(3x-5)的定义域为________。
4、设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求y=f()3
1()3
1-++x f x 定义域。
5
.5、若函数a
ax ax y 1
2+
-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围
1、（1）{|536}x x x x ≥≤-≠-或或 （2）{|0}x x ≥ （3）
1
{|220,,1}2x x x x x -≤≤≠≠≠且
2、[1,1]-； [4,9]
3、5[0,];2 11
(,][,)32
-∞-+∞ 4、
11m -≤≤
DB 7.41033⎡⎤
⎢⎥⎣⎦， 8.{}
42|≤≤x x 9.[]15，．10.
11.
选A12.［2，4］13.[]40-，
．14.
15.{x |－3＜x ＜－
22或22
＜x ＜3}．巩固训练 1.（1）定义域为
（2）定义域为
2.
3.5/3
≤
x
≤
2.4.
定
义
域
为
⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,31.5.⎪⎩
⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402
a a a a a 等价于。