最新两角和与差的正弦课件
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必修4课件_3.1.2两角和与差的正弦正切公式
1必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存 在就不能使用这个公式，
2注意公式的结构，尤其是符号。
二 【探究】
2.T(α±β)公式的推导
cos(＋ ) cos cos －sin sin
cos(－ ) cos cos ＋sin sin
二 【探究】
2.T(α±β)公式的推导
tan tan tan( ) (、、 k ) 1 tan tan 2 tan tan tan( ) (、、 k ) 1 tan tan 2
二 【探究】
1.S(α±β)公式的推导
cos(＋ ) cos cos －sin sin cos(－ ) cos cos ＋sin sin
sin(＋ ) sin cos cos sin sin( - ) sin[ ( )] sin cos cos sin
3.1.2
两角和与差的正弦正切公式
一 【引入】
1、两角和与差的余弦公式
cos(＋ ) cos cos －sin sin cos(－ ) cos cos ＋sin sin
2、使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向 使用.符号判断、角的变形.
β = α +β α
a sin x b cos x
a b sin x
2 2
b tan ，所在象限就是点(a, b)所在象限 a
四
【课堂小结】
1.两角差的余弦公式 C＋是两角和与差的三角 系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就 自然掌握了公式的形成过程. 2.公式S ( a + b )与 S ( a 与T T
即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存 在就不能使用这个公式，
2注意公式的结构，尤其是符号。
二 【探究】
2.T(α±β)公式的推导
cos(＋ ) cos cos －sin sin
cos(－ ) cos cos ＋sin sin
二 【探究】
2.T(α±β)公式的推导
tan tan tan( ) (、、 k ) 1 tan tan 2 tan tan tan( ) (、、 k ) 1 tan tan 2
二 【探究】
1.S(α±β)公式的推导
cos(＋ ) cos cos －sin sin cos(－ ) cos cos ＋sin sin
sin(＋ ) sin cos cos sin sin( - ) sin[ ( )] sin cos cos sin
3.1.2
两角和与差的正弦正切公式
一 【引入】
1、两角和与差的余弦公式
cos(＋ ) cos cos －sin sin cos(－ ) cos cos ＋sin sin
2、使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向 使用.符号判断、角的变形.
β = α +β α
a sin x b cos x
a b sin x
2 2
b tan ，所在象限就是点(a, b)所在象限 a
四
【课堂小结】
1.两角差的余弦公式 C＋是两角和与差的三角 系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就 自然掌握了公式的形成过程. 2.公式S ( a + b )与 S ( a 与T T
两角和与差的正弦课件
两角和与差的正弦公式在解决实际问 题中有着广泛的应用。例如，在物理、 工程、航海等领域中，常常需要用到 两角和与差的正弦公式来解决角度和、 差的问题。
具体应用包括计算振动、波动、电磁 场等物理现象中的角度和、差问题， 以及在航海中计算航向、角度等实际 问题。
利用两角和与差的正弦公式进行三角恒等变换
通过实例理解公式
公式推导
通过具体的实例推导两角和与差的 正弦公式，如sin(α+β)和sin(α-β)， 展示公式的来源和原理。
几何意义
解释公式的几何意义，通过单位 圆上的点来解释两角和与差的正 弦值，有助于理解公式的物理意 义和应用。
记忆公式的技巧和方法
口诀记忆
将公式中的内容编成口诀或顺口溜， 方便记忆和应用。
THANKS
感谢观看
03
两角和与差的正弦公式的 扩展
利用两角和与差的正弦公式推导其他三角函数公式
利用两角和与差的正弦公式，可以推 导出余弦、正切等其他三角函数公式 。例如，利用正弦的和差公式，可以 推导出余弦的和差公式。
推导过程可以通过三角函数的加法定 理和减法定理，结合三角函数的周期 性和对称性进行。
利用两角和与差的正弦公式解决实际问题
关联记忆
将公式与其他三角函数公式、特殊角 三角函数值等关联起来，形成知识网 络，便于记忆和应用。
公式在解题中的灵活运用
角度变换
在解题过程中，通过角度的变换将问题转化为两角和与差的形式，从而应用两角和与差的正弦公式进 行求解。
综合运用
结合其他三角函数公式、诱导公式等，综合运用两角和与差的正弦公式解决复杂的三角函数问题。
公式应用
用பைடு நூலகம்计算两角和的正弦值，简化三角函数计算过 程
具体应用包括计算振动、波动、电磁 场等物理现象中的角度和、差问题， 以及在航海中计算航向、角度等实际 问题。
利用两角和与差的正弦公式进行三角恒等变换
通过实例理解公式
公式推导
通过具体的实例推导两角和与差的 正弦公式，如sin(α+β)和sin(α-β)， 展示公式的来源和原理。
几何意义
解释公式的几何意义，通过单位 圆上的点来解释两角和与差的正 弦值，有助于理解公式的物理意 义和应用。
记忆公式的技巧和方法
口诀记忆
将公式中的内容编成口诀或顺口溜， 方便记忆和应用。
THANKS
感谢观看
03
两角和与差的正弦公式的 扩展
利用两角和与差的正弦公式推导其他三角函数公式
利用两角和与差的正弦公式，可以推 导出余弦、正切等其他三角函数公式 。例如，利用正弦的和差公式，可以 推导出余弦的和差公式。
推导过程可以通过三角函数的加法定 理和减法定理，结合三角函数的周期 性和对称性进行。
利用两角和与差的正弦公式解决实际问题
关联记忆
将公式与其他三角函数公式、特殊角 三角函数值等关联起来，形成知识网 络，便于记忆和应用。
公式在解题中的灵活运用
角度变换
在解题过程中，通过角度的变换将问题转化为两角和与差的形式，从而应用两角和与差的正弦公式进 行求解。
综合运用
结合其他三角函数公式、诱导公式等，综合运用两角和与差的正弦公式解决复杂的三角函数问题。
公式应用
用பைடு நூலகம்计算两角和的正弦值，简化三角函数计算过 程
两角和与差的正弦课件
03
CHAPTER
两角和与差的正弦公式的扩 展
半角公式
半角公式
sin(A/2) = ±√[(1-cosA)/2]
应用
在解三角形问题中，利用半角公式可以求得角度的半角值，进而求得角度的精确值。
积化和差与和差化积公式
积化和差公式
sinAcosB = 1/2[sin(A+B) + sin(A-B)]
05
CHAPTER
两角和与差的正弦公式的注 意事项
公式使用的条件
01
02
03
公式适用范围
两角和与差的正弦公式适 用于角度在$0$到$pi$之 间的情况，超出此范围需 要特别处理。
角度单位统一
在使用公式时，需要确保 角度的单位统一，一般以 弧度为单位。
特殊角的处理
对于一些特殊角，如 $frac{pi}{2}$，需要特别 注意公式的应用，避免出 现错误的结果。
在三角函数图象和性质中的应用
两角和与差的正弦公式在研究三角函数的图象和性质时也 具有重要意义。通过运用正弦公式，可以推导出一些三角 函数的性质，如周期性、奇偶性等。
在绘制三角函数的图象时，可以利用正弦公式计算出不同 角度下的正弦值，从而绘制出完整的正弦函数图象。此外 ，在研究三角函数的对称性和周期性时，也需要用到两角 和与差的正弦公式。
公式推导过程
总结词
详细描述了如何推导两角和与差的正弦公式。
详细描述
首先，利用三角函数的加法公式，将sin(α+β)表示为sinαcosβ + cosαsinβ。然后， 利用三角函数的减法公式，将sin(α-β)表示为sinαcosβ - cosαsinβ。通过这两个公 式，可以方便地计算出任意两个角度的和与差的正弦值。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、 结构形式的差异．
解 原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一 由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成 －β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公 式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程． 答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，
课件8：3.1.2 两角和与差的正弦
题型二 三角函数的化简 例 2 化简：sin(α＋β)cos α－12[sin(2α＋β)－sin β]． 【解】 原式＝sin(α＋β)cos α－12[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α)] ＝sin(α＋β)cos α－12[sin αcos(α＋β)＋ cos αsin(α＋β)－sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α] ＝sin(α＋β)cos α－12×2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β－α)＝sin β.
跟踪训练 已知π2＜β＜α＜34π，cos(α－β)＝1123， sin(α＋β)＝－35，求 sin 2α 的值． 解：因为π2＜β＜α＜34π，所以 0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π. 又 cos(α－β)＝1123，sin(α＋β)＝－35，
所以 sin(α－β)＝ 1－cos2（α－β）＝ 1－（1123）2＝153， cos(α＋β)＝－ 1－sin2（α＋β）＝－ 1－（－35）2＝－45. 所以 sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝153×(－45)＋1123×(－35)＝－5665.
跟综训练 1.设 a＝sin 14°＋cos 14°， b＝sin 16°＋cos 16°，c＝ 26，则 a、b、c 的大小关系 是________(用“＜”连接)．
解析：a＝ 2sin(14°＋45°)＝ 2sin 59°， b＝ 2sin(16°＋45°)＝ 2sin 61°， c＝ 2·23＝ 2sin 60°， 由 y＝sin x 在(0°，90°)上的单调性可知 a<c<b. 答案：a<c<b
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件(人教版)
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β ，其中α，β∈R，简记作S(α－β).
注意点：
(1)注意公式的展开形式，两角和与差”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”.
(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序.
公式巩固
利用两角和与差的正余弦公式，计算下列三角函数的值：
(1) sin15°
(2) cos75°
例2
3
5
已知 sin α＝5，cos β＝－13，且 α 为第一象限角，β 为第二象限角，
求 sin(α＋β)的值.
3
5
因为 α 为第一象限角，β 为第二象限角，sin α＝5，cos β＝－13，
4
12
所以 cos α＝5，sin β＝13，
A. 3
√
3
B. 3
C.3
D.1
1－tan 15° tan 45°－tan 15°
3
＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝ 3 .
1＋tan 15° 1＋tan 45°tan 15°
例2
√
π
3
1
已知 sin α＝5，α∈2，π，tan(π－β)＝2，则 tan(α－β)的值为
3
，(
4
− ) =
12
， (
13
+ ) =
3
− ，
5
跟 踪 训 练 2
已知 ∈
整体法给值求值问题
( , )，(
2
+
)
4
=
3
，则
5
=________.
两角和与差的正弦课件
22
cos(α＋β)＝sinπ2＋α＋β＝sin34π＋β－π4－α ＝sin34π＋βcosπ4－α－cos34π＋βsinπ4－α ＝153×35－－1123×－45＝－3635.
23
解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来． (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知 角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知 角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知 角”． (3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．
6－ 4
2；
(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12；
19
(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－ 3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－ 3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)cos 30°－ sin(θ＋15°)sin 30°－ 3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋ 23cos(θ＋15°)＋ 23cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－ 3cos(θ＋15°)＝0.
asin x＋bcos x
＝
a2＋b2
a a2＋b2sin
x＋
b
a2＋b2cos
x，
令 cos φ＝ a2a＋b2，sin φ＝ a2b＋b2，则有 asin x＋bcos x＝ a2＋b2
(cos φsin x＋sin φcos x)＝__a_2_＋__b_2s_i_n_(x_＋__φ_)_，其中 tan φ＝ba，φ 为辅
cos(α＋β)＝sinπ2＋α＋β＝sin34π＋β－π4－α ＝sin34π＋βcosπ4－α－cos34π＋βsinπ4－α ＝153×35－－1123×－45＝－3635.
23
解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来． (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知 角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知 角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知 角”． (3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．
6－ 4
2；
(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12；
19
(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－ 3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－ 3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)cos 30°－ sin(θ＋15°)sin 30°－ 3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋ 23cos(θ＋15°)＋ 23cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－ 3cos(θ＋15°)＝0.
asin x＋bcos x
＝
a2＋b2
a a2＋b2sin
x＋
b
a2＋b2cos
x，
令 cos φ＝ a2a＋b2，sin φ＝ a2b＋b2，则有 asin x＋bcos x＝ a2＋b2
(cos φsin x＋sin φcos x)＝__a_2_＋__b_2s_i_n_(x_＋__φ_)_，其中 tan φ＝ba，φ 为辅
两角和与差正弦余弦公式课件
于信号的合成、滤波等操作。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
两角和与差的正弦PPT课件
①△ABC中，cosA=3/5, cosB=5/13,则sin(A+B) 的值等于（ A ） A、56/65 B、-56/65 C、16/65 D、 -16/65 ②△ABC中，sinA=3/5 ，(0°＜A＜45° ) cosB=5/13 ( 45°＜B＜90° ) 求sinC与cosC的值
例2：已知 π /2 ＜β ＜α ＜ 3π /4 ，
=－ 7 4
又由cosβ =－3/4 ，β ∈（π ，3π /2 ），得 sinβ =－
1 co s 2
= － 1 (3 / 4) 2
∴sin(α －β )=sinα cosβ －cosα sinβ
= 2/3×(－3/4)－(－ 5 /3 )×(－ =－ 6 + 35 12
7 /4)
练习
小结： 1 ．利用两角和与差的余弦公式得到两角和 与差的正弦公式。 2 ．运用两角和与差的正弦公式进行三角式 的求值化简。 3 ．利用 ”拆角”, ”凑角”变换求三角函数 式的求值。 4 特值代换的数学方法以及化未知为已 知角的化归思 想的使用。 作业布置：P40习题4.6 T1,T5
思考： △ABC中cosA=3/5 ，sinB=5/13 , 求sinC的值。
2
例1：已知sinα = 2/3 ， α ∈（π /2 ，π ） cosβ =－3/4 ，β ∈（π ，3π /2） 求sin (α －β )的值。
四、举例
解：由sinα =2/3 ，α ∈（π /2 ，π ）得 cosα =－ 1 sin a = －
2
1 (2 / 3) 2 = - 5 /3
cos(α －β )= 12/13 ，sin(α +β )=－3/5 , 求sin2α 的值。
两角和与差的正弦、余弦函数-PPT课件
如何求sin 的值？
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
数学人教A版必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
4
22
又因为sin 2 5 , 13
注意 2 的范围
所以cos 2 1 sin2 2 1 ( 5 )2 12 . 13 13
tan 4 sin 4 ( 120) 169 120 . cos 4 169 119 119
练习：课本135页 5(1)(3)
例2 (1) sin15cos15
44 . 117
2
练习：课本223页 3
解：∵sin 2 sin ,sin 2 sin 0,
即：2sin cos sin 0,
∵ ( , ),sin 0,2 cos 1 0,
2
cos 1 , 2 ,
2
3
tan tan 2 3
3
练习：课本223页 4
解：∵tan 2
tan 22.5 （3）1 tan2 22.5 ；
（2）cos2 π sin2 π ；
8
8
（4）2cos2 22.5°－1．
(1).原式=
1 2
sin30°=
1 4
(3).原式=
1 2
tan45°=
1 2
(2).原式=cos
π 4
=
2
2
(4).原式= cos45°=
2
2
3. 2 sin2 2 cos 4的值是( )
变形公式
升幂公式：1＋cos 2 1 cos 2
2 cos2 2sin 2
降幂公式：scions22＝＝11－＋cco2o2ss22
例1. 已知sin 2 5 , ，
13 4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4的值.
分析：先求 cos2的值，再利用公式求值.
解：由 , 得 2 .
两角和与差的正弦公式省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
15.1
两角和与差旳正弦公式
第二课时
一、引入
• 1.用两角和与差旳余弦公式证明：
cos(
) sin
2
sin( ) cos
2
2.这两个式子阐明正弦函数与余弦函数之间有什么 关系？
互余
二、公式推导
将
cos( ) sin
成果？ 2
中旳α换成α+β，能得什么
sin(
)
cos2
(
)
cos(2
)
三、公式
• 两角和旳正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin
• 两角差旳正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin
＋－相同，SCSC
四、例题
• 例1：不用计算器，求下列各式旳值
• （1）sin15 （2） sin105 （3） sin 75
• （4） sin 70 cos 25 cos 70 sin 25 • （5）cos80 sin 40 sin 80 cos 40 • （6）sin 25 sin 20 cos 25 sin 70
• （2）sin( ) sin( ) cos( ) cos( )
6
3
6
3Hale Waihona Puke • （3） sin( )cos cos( )sin
• 例8：已知 sin( ) 3 , ( , 2 )
则求 cos 3
5 63
• 例6：如图，保持点P（3,3）与原点旳距离不变，
并绕原点旋转 60到 P'位置，设点P' 旳坐标为
• (x', y')
• (1)点P与原点之间旳距离是多少？
• （2）向量 OP与' x轴正方向旳夹角是多少？
两角和与差旳正弦公式
第二课时
一、引入
• 1.用两角和与差旳余弦公式证明：
cos(
) sin
2
sin( ) cos
2
2.这两个式子阐明正弦函数与余弦函数之间有什么 关系？
互余
二、公式推导
将
cos( ) sin
成果？ 2
中旳α换成α+β，能得什么
sin(
)
cos2
(
)
cos(2
)
三、公式
• 两角和旳正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin
• 两角差旳正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin
＋－相同，SCSC
四、例题
• 例1：不用计算器，求下列各式旳值
• （1）sin15 （2） sin105 （3） sin 75
• （4） sin 70 cos 25 cos 70 sin 25 • （5）cos80 sin 40 sin 80 cos 40 • （6）sin 25 sin 20 cos 25 sin 70
• （2）sin( ) sin( ) cos( ) cos( )
6
3
6
3Hale Waihona Puke • （3） sin( )cos cos( )sin
• 例8：已知 sin( ) 3 , ( , 2 )
则求 cos 3
5 63
• 例6：如图，保持点P（3,3）与原点旳距离不变，
并绕原点旋转 60到 P'位置，设点P' 旳坐标为
• (x', y')
• (1)点P与原点之间旳距离是多少？
• （2）向量 OP与' x轴正方向旳夹角是多少？
5.5.1两角和差的正弦余弦公式第一课时课件(人教版)
- =-
-()
=-.
因为 tan β=- ,β∈(0,π),所以β∈(,π)且 sin β=- cos β.
2
2
由 sin β+cos β=1 知 sin β=,cos β=-.
所以 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(-)×(-)+×=.
sin cos cos sin
sin cos cos sin .
故两角差的余弦公式为：
sin sin cos cos sin
简记为: S( )
3、两角和与差的正弦、余弦角公式：
sin sin cos cos sin
13
13
13
所以 cos( ) cos cos sin sin
3
5
4
12
33
( ) ( ) ( ) .
5
13
5
13
65
思考：由 cos( ) cos cos sin sin 如何
求: cos( ) ?
分析：注意到 （ ）
所以 cos α=- - =- ,sin β= - = ,
所以 tan α=
=- ,tan β=
=- ,所以 tan(α-β)=
-
+
= .
[例 2] 已知 0<α<β<π,且 cos(α-β)=,tan β=,求 tan α的值.
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件 (共24张PPT) 人教A版(2019)必修第一册
O
x
例1.利用公式C(α-β)证明:
诱导公式反映的是圆的特殊
对称性
y
（2） cos( ) cos .
证明：
(−, )
O
发现上述诱导公式与差角的余弦公式间的联系.
x
探究点二 利用两角差的余弦公式解决给值求值问题
4
5
例2.已知 sin , ( , ), cos , 是第三象限角，
1 1
y
单位圆与x轴非负半轴交于A(1,0)
∠ =∠=α－β
α-β
α-β
O
问题4:你能证明这个式子为何成立吗？
x
新课内容
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
(cos(α-β),sin(α-β)) (1,0)
y
α-β
根据两点间距离公式
α-β
3.常见误区:(1)求角时忽视角的范围;(2)公式的逆用及符号问题.
5
2
13
求cos( - ).
4
4
3
解：由 sin , ( , ), 得 cos 1 sin 2 1 ( ) 2 ，
5
2
5
5
5
又由 cos , 是第三象限角，得
13
5 2
12
sin 1 cos 1 ( ) ，
s ）cos +sin（ ）sin =
3 ） 3 co（
3
3
3
3
26
观察已知角与未知角之间的关系
两角和与差的正弦ppt课件
21
(3)解法1：原式＝sin[(α－β)＋β]＝sinα. 解 法 2 ： 原 式 ＝ (sinαcosβ － cosαsinβ)cosβ ＋
(cosαcosβ＋sinαsinβ)sinβ ＝ sinαcos2β － cosαsinβcosβ ＋ cosαcosβsinβ ＋
sinαsin2β ＝sinα(cos2β＋sin2β) ＝sinα.
＝sin45°cos60°－cos45°sin60°
＝
22·12－
23 2 ·2
＝
2－ 4
6 .
(3)cos152π＝cosπ6＋π4 ＝cosπ6cosπ4－sinπ6sinπ4
＝
23×
22－12×
2 2
＝
6－ 4
2 .
19
例2：计算： (1)sin13°cos17°＋cos13°sin17°；
?????????2sin14cos2???????????5cos2?????????????6cos2???????????复习回顾2sin2?????????3cos2?????????sin???sin?????sin??利用2cossinxx???将正弦转化为余弦2cos?????2cos????????????sin2incos2cos????????sincoscossin??探索新知sin???问题1如何利用的正弦余弦表示??sinsincoscossin?????????探索新知思考如何利用正弦余弦表示????sin??sin????sincoscossinababsin???sinsincoscossin?????????sincoscossinababsinsincoscossin?????????1两角和的正弦公式简记为???s2两角差的正弦公式简记为???ssinsincoscossin?????????两角和差的余弦公式
(3)解法1：原式＝sin[(α－β)＋β]＝sinα. 解 法 2 ： 原 式 ＝ (sinαcosβ － cosαsinβ)cosβ ＋
(cosαcosβ＋sinαsinβ)sinβ ＝ sinαcos2β － cosαsinβcosβ ＋ cosαcosβsinβ ＋
sinαsin2β ＝sinα(cos2β＋sin2β) ＝sinα.
＝sin45°cos60°－cos45°sin60°
＝
22·12－
23 2 ·2
＝
2－ 4
6 .
(3)cos152π＝cosπ6＋π4 ＝cosπ6cosπ4－sinπ6sinπ4
＝
23×
22－12×
2 2
＝
6－ 4
2 .
19
例2：计算： (1)sin13°cos17°＋cos13°sin17°；
?????????2sin14cos2???????????5cos2?????????????6cos2???????????复习回顾2sin2?????????3cos2?????????sin???sin?????sin??利用2cossinxx???将正弦转化为余弦2cos?????2cos????????????sin2incos2cos????????sincoscossin??探索新知sin???问题1如何利用的正弦余弦表示??sinsincoscossin?????????探索新知思考如何利用正弦余弦表示????sin??sin????sincoscossinababsin???sinsincoscossin?????????sincoscossinababsinsincoscossin?????????1两角和的正弦公式简记为???s2两角差的正弦公式简记为???ssinsincoscossin?????????两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦PPT演示文稿
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习 回顾小结
1 sin( 13 17 ) sin 30 2
例题2 化简: (1) sin 13 cos17 cos13 sin 17
(2) sin 160 cos 40 cos160 sin 140
思考：
我们能否用 、 的正、余弦
来表示两角和与差的正弦呢？
复习引入
公式推导
公式记忆
例与练习
回顾小结
公式推导：
sin cos 2
sin cos 2
sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
√
√
3 变式1：在ABC 中， sin A (0 A ), 5 4 5 cos B ( B ), 求 sin C. 13 4 2
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习 回顾小结
练习2 解：
2 5 由sin , ( , )，得 cos . 3 2 3
3 2
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习 回顾小结
练习2
2 3 3 3、 sin , ( , ), cos , ( , ), 3 2 5 2 求 sin( ).
分析：sin( ) sin cos cos sin
用已知角“Leabharlann 体”表示未知 角12 4 变式2：已知 sin （ ） ， cos ， 13 5 且 , （ , ), 求 sin . 2
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习 回顾小结
1 sin( 13 17 ) sin 30 2
例题2 化简: (1) sin 13 cos17 cos13 sin 17
(2) sin 160 cos 40 cos160 sin 140
思考：
我们能否用 、 的正、余弦
来表示两角和与差的正弦呢？
复习引入
公式推导
公式记忆
例与练习
回顾小结
公式推导：
sin cos 2
sin cos 2
sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
√
√
3 变式1：在ABC 中， sin A (0 A ), 5 4 5 cos B ( B ), 求 sin C. 13 4 2
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习 回顾小结
练习2 解：
2 5 由sin , ( , )，得 cos . 3 2 3
3 2
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习 回顾小结
练习2
2 3 3 3、 sin , ( , ), cos , ( , ), 3 2 5 2 求 sin( ).
分析：sin( ) sin cos cos sin
用已知角“Leabharlann 体”表示未知 角12 4 变式2：已知 sin （ ） ， cos ， 13 5 且 , （ , ), 求 sin . 2
复习引入 公式推导 公式记忆 例与练习 回顾小结
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第三章 三角函数
栏目导引
5．若 sinπ2＋θ＝35，则 cos 2θ＝________. 解析： 由 sinπ2＋θ＝35，可得 cos θ＝35， ∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×352－1＝－275. 答案： －275
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第三章 三角函数
栏目导引
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第三章 三角函数
栏目导引
应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和 变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培 养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应 用后，才能真正掌握公式的应用．
第5课时 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
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第三章 三角函数
栏目导引
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第三章 三角函数
栏目导引
1．两角和与差的三角函数公式
sin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β ；
cos(α±β)＝ cos_αcos_β∓sin_αsin_β ；
tan(α±β)＝
tan α±tan β 1∓tan αtan β.
20°＝1－2scions21200°°＝
2.
工具
第三章 三角函数
栏目导引
【变式训练】
2.求值：1＋2sicnos202°0°－sin
10°tan15°－tan
5°.
解析：
原式＝2×2s2icno1s021°0co°s
10°－sin
cos 10°sin
55°°－csoins
5° 5°
＝2csoisn
cos ＝
10°－212cos 10°－ 2sin 10°
3 2 sin
10°＝
23ssinin1100°°＝
3 2.
工具
第三章 三角函数
栏目导引
1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角” 的和或差的形式；
2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角” 的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
∴sinα＋π4＝sin αcosπ4＋cos αsin 4π＝ 22－45－35＝－170 2.
答案： A
工具
第三章 三角函数
栏目导引
4．已知 tanα＋π4＝17，则 tan α＝________.
解析： 由 tanα＋π4＝17得11＋ －ttaann αα＝17， 所以 tan α＝－34. 答案： －34
栏目导引
1．计算 sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( )
1
3
2
3
A.2
B. 3
C. 2
D. 2
解析： sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝12. 故选 A.
答案： A
工具
第三章 三角函数
栏目导引
2．计算 1－2sin2 22.5°的结果等于(
2．二倍角公式
sin 2α＝ 2sin αcos α ；
cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝
tan 2α＝
2tan α 1－tan2α .
2cos2α－1
＝ 1－2sin2α ；
工具
第三章 三角函数
栏目导引
其公式变形为：
sin2α＝
1－cos 2α
2
；
cos2α＝
1＋cos 2α
2
.
工具
第三章 三角函数
1
2
A.2
B. 2
3 C. 3
) 3
D. 2
解析：
1－2sin222.5°＝cos
45°＝
2 2.
答案： B
工具
第三章 三角函数
栏目导引
3．(2010·全国新课标卷)若 cos α＝－45，α 是第三象限的角，则
sinα＋π4＝(
)
A．－710272 B. 10C Nhomakorabea－ 102
2 D. 10
解析： 由于 α 是第三象限角且 cos α＝－45，∴sin α＝－35，
.
其变形为：
tan α＋tan β＝ tan(α＋β)(1－tan_αtan_β) ；
tan α－tan β＝ tan(α－β)(1＋tan_αtan_β) ； tan αtan β＝ 1－tatnanα＋α＋taβnβ .
工具
第三章 三角函数
栏目导引
【注意】 在公式 T(α±β)中，α、β、α±β 必须使等式两端均有意义，即 α、 β、α±β 都不能取π2＋kπ(k∈Z)．否则，利用诱导公式求解．
工具
第三章 三角函数
栏目导引
又 β 为第一象限角，cos β＝153， ∴sin β＝ 1－cos2β＝1123，tan β＝152， ∴tan(2α－β)＝1＋－－2742－ 741×52 152＝220543.
工具
第三章 三角函数
栏目导引
求值：sin
50°1＋ 3tan 10°－cos cos 80° 1－cos 20°
1100°°－sin
cos25°－sin25° 10°·sin 5°cos 5°
＝2csoisn
1100°°－sin
cos 10°·1
10°
2sin 10°
工具
第三章 三角函数
栏目导引
＝2csoisn
1100°°－2cos
10°＝cos
10°－2sin 2sin 10°
20°
＝cos
10°－2sin30°－10° 2sin 10°
20° .
解析： ∵sin 50°(1＋ 3tan 10°)
＝sin
cos 50°·
10°＋ cos
3sin 10°
10°
＝sin
2sin 50°·cos
1400°°＝1，
cos 80° 1－cos 20°＝sin 10° 2sin210°＝ 2sin210°.
∴sin
50°1＋ 3tan 10°－cos cos 80° 1－cos 20°
工具
第三章 三角函数
栏目导引
已知 α∈0，π2，tan α＝12，求 tan 2α 和 sin2α＋π3的值．
解析：
tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×21122＝43.
∵α∈0，π2，2α∈(0，π)，tan 2α＝43＞0，
∴2α∈0，2π，
∴sin 2α＝45，cos 2α＝35，
∴sin2α＋π3＝sin 2α·cos
π3＋cos
π 2α·sin3
＝45×12＋35× 23＝4＋130 3
工具
第三章 三角函数
栏目导引
【变式训练】 1.已知 α 为第二象限角，sin α＝35，β 为第一象限角， cos β＝153.求 tan(2α－β)的值．
解析： tan(2α－β)＝1t＋ant2anα－2αttaannββ， 因为 α 为第二象限角，sin α＝35， 所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－45，∴tan α＝csoins αα＝－34， ∴tan 2α＝1－2tatnanα2α＝－274，