2020版高考数学复习第四单元专题探究2平面向量的综合应用练习文(含解析)新人教A版

专题探究2平面向量的综合应用
1.[2018·株州模拟]在△ABC中,(+)·=||2,则△ABC的形状一定是()
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
2.[2018·揭阳模拟]已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足·=x2,则点P的轨迹是
()
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
3.△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且(+)·=0,则△ABC的形状为()
A.钝角三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
4.已知O是坐标原点,点A(-2,1),若点M(x,y)为平面区域内的一个动点,则·的取
值范围是()
A.[-1,0]
B.[-1,2]
C.[0,1]
D.[0,2]
5.在菱形ABCD中,若AC=4,则·= .
6.[2018·成都龙泉一中、新都一中等九校联考]已知向量m=(1,cosθ),n=(sinθ,-2),且m ⊥n,则sin2θ+6cos2θ的值为()
A.B.2
C.2
D.-2
等于 ()
7.在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则△
△
A.B.
C.D.
8.[2018·台州实验中学模拟]已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点E是椭圆C
上的动点,则·的最大值、最小值分别为()
A.9,7
B.8,7
C.9,8
D.17,8
9.[2018·安徽师大附中模拟]已知函数f(x)=sinωx(ω>0)的部分图像如图Z2-1所示,A,B分别是图像上的最高点、最低点,O为坐标原点,若·=0,则函数f(x+1)是()
图Z2-1
A.周期为4的奇函数
B.周期为4的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
10.[2018·资阳4月模拟]如图Z2-2所示,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB∥DC,AB=2,AD=DC=1,图中圆弧所在圆的圆心为点C,半径为,且点P在图中阴影部分(包括边界)内运动.若=x+y,其中x,y∈R,则4x-y的取值范围是()
图Z2-2
A. B.
C.-
D.-
11.[2018·山西四大名校联考]设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=0,则||+||+||= .
12.已知向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(cosθ,sinθ),实数m,n满足ma+nb=c,则(m-1)2+(n-1)2的最小值为.
13.已知点P(0,-3),点A在x轴上,点Q在y轴的正半轴上,点M满足·=0,=-,当点A在x 轴上移动时,求动点M的轨迹方程.
14.[2018·酒泉质检]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-c)·=c·.
(1)求角B的大小;
(2)若|-|=,求△ABC的面积的最大值.
15.[2018·大庆一模]已知共面向量a,b,c满足|a|=3,b+c=2a,且|b|=|b-c|.若对每一个确定的向量b,记|b-ta|(t∈R)的最小值为d min,则当b变化时,d min的最大值为()
A.B.2
C.4
D.6
16.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,正三角形ABC内接于圆O:x2+y2=4,直线l:x-ky=0交边AB于点P,交边AC于点Q,且PQ∥BC,则·的值为.
专题集训(二)
1.C[解析] 由(+)·=||2,得·(+-)=0,即·(++)=0,2·=0,∴ ⊥,∴A= 0°.又根据已知条件不能得到||=||,故△ABC一定是直角三角形.
2.D[解析]∵ =(-2-x,-y),=(3-x,-y),∴ ·=(-2-x)(3-x)+y2=x2,∴y2=x+6,即点P的轨迹是抛物线.
3.B[解析] 由内角A,B,C成等差数列,得B= 0° 由(+)·=0,可得△ABC为等腰三角形.综上可得,△ABC为等边三角形.
4.B[解析]·=-2x+y,画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.平移直
线y=2x易知,当点M的坐标为(1,1)时,·取得最小值-1,当点M的坐标为(0,2)时,·取得最大值2.故选B.
5.-8[解析] 设∠CAB=θ,AB=BC=a,由余弦定理得a2=16+a2-8a cosθ,∴a cosθ=2,∴ ·=4·a·cos(π-θ)=-4a cosθ=-8.
6.B[解析] 由题意可得m·n=sinθ-2cosθ=0,cosθ≠0,则tanθ=2,所以
=2.故选B.
sin2θ+6cos2θ== a
a
7.B[解析] 如图,由已知构造▱AFDE,可得点D在△ABC中与AB平行的中位线上,且在靠近
=.
BC边的三等分点处,从而有S△ABD=S△ABC,S△ACD=S△ABC,S△BCD=1--S△ABC=S△ABC,所以△
△
8.B[解析] 由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0),设E(x,y)(-3≤x ≤3),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以·=x2-1+y2=x2-1+8-x2=+7.当x=0时,·有最小值7,当x=±3时,·有最大值8,故选B.
9.B[解析] 由题图可得A,,B,-,由·=0得-3=0,又ω>0,所以ω=,所以f(x)=sin x,所以f(x+1)=sin(x+1)=cos x,它是周期为4的偶函数.故选B.
10.B[解析] 以A点为坐标原点,,的方向为y轴、x轴正方向建立平面直角坐标系(图略),设点P的坐标为(m,n),A(0,0),B(2,0),C(1,1).由题意可知=x(2,0)+y(-1,1),据此可得-则设z=4x-y,则z=2m+n,其中z为直线n=-2m+z的纵截距,当直线与圆相切时,
目标函数z取得最大值3+,当直线过点,1时,目标函数z取得最小值2,则4x-y的取值
范围是2,3+.
11.6[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F(1,0),所以++=(x1+x2+x3-3,y1+y2+y3)=0,得x1+x2+x3=3.由抛物线定义可得||+||+||=(x1+1)+(x2+1)+(x3+1)=6.
12.3-2[解析] 因为ma+nb=c,所以m(1,1)+n(1,-1)=(cosθ,sinθ),所以-
则(m+n)2+(m-n)2=2,即m2+n2=1,所以点P(m,n)在以原点O为圆心,1为半径的圆上,(m-1)2+(n-1)2是圆上的点P到点M(1,1)的距离的平方,由圆的性质知(m-1)2+(n-1)2的最小值是(-1)2=3-2.
13.解:设M(x,y)为所求轨迹上任一点,
设A(a,0),Q(0,b)(b>0),
则=(a,3),=(x-a,y),=(-x,b-y),
由·=0,得a(x-a)+3y=0①
由=-,得(x-a,y)=-(-x,b-y)=x,y-b,
∴-
-
∴
-
∵b>0,∴y>0,
把a=-代入①中,得-x++3y=0,
整理得y=x2(x≠0).
∴动点M的轨迹方程为y=x2(x≠0).
14.解:(1)由题意得(a-c)cos B=b cos C.
根据正弦定理得(sin A-sin C)cos B=sin B cos C,
所以sin A cos B=sin(C+B),
即sin A cos B=sin A.
因为A∈(0,π),所以sin A>0,
所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=.
(2)因为|-|=,所以||=,
即b=,根据余弦定理及基本不等式,得6=a2+c2-ac≥2ac-ac=(2-)ac(当且仅当a=c 时取等号),即ac≤3(2+),
故△ABC的面积S=ac sin B≤,
即△ABC的面积的最大值为.
15.B[解析] 固定向量a=(3,0),则向量b,c分别在以(3,0)为圆心,r为半径的圆上的直径两端运动,其中,=a,=b,=c,如图,易得点B(r cosθ+3,r sinθ).因为|b|=|b-c|,所以OB=BC,
即(r cosθ+3)2+r2sin2θ=4r2,整理为r2-2r cosθ-3=0,可得cosθ=-.令=ta,则=b-ta,当⊥
时,|b-ta|取得最小值,所以d min=r sinθ=- 0-=--≤2,所以d min的最大值是2,故选B.
16.-[解析](1)因为圆心O为正三角形ABC的中心,所以△ABC的边长为2,由于直线l:x-ky=0交边AB于点P,交边AC于点Q,且PQ∥BC,因此由三角形重心的性质可得,=,=,·=(+)·(+)=+·+=·+·+·+·=6+-8-8=-.。