第4章 冲量与动量

1
14
∑ (∫
i
t2
r Fid t +
t2
∫
r f id t ) =
∑
i
r r ( Pi − Pi 0 )
t1
t1
内力冲量之和 再看内力冲量之和
∑∫
i t1
t2
v f idt
同样，由于每个质点的受力时间 同样，由于每个质点的受力时间dt 相同 所以： 所以：
t2 r r ∑∫ fidt = ∫ (∑ fi )dt i t1 t1 i t2
i
质点系
质点系中的重要结论之一
11
外力 external force 系统外部对质点系内部质点的作用力 系统外部对质点系内部质点的作用力 外部对质点系内部 约定： 约定： 系统内任一质点受力之和 系统内任一质点受力之和 r r 写成 F+f
i i
r 质点系 F
外力之和
内力之和
12
二、 质点系的动量定理 动量守恒定律 方法:对每个质点分别使用牛顿定律 然后利用 对每个质点分别使用牛顿定律,然后利用质 方法 对每个质点分别使用牛顿定律 然后利用质 点系内力 内力的特点加以化简 最简形式。 点系内力的特点加以化简 到 最简形式。 使用动量定理： 第1步，对 mi 使用动量定理： 步
r r r 当 F外 = 0 P = C
动量守恒定律
讨论 1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。 .动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。 2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系 17
惯性系中 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它 动量若在某一惯性系 守恒， 一切惯性系中均守恒。 一切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 若某个方向上合外力为 上合外力为零 该方向上动量 守恒， 守恒，尽管总动量可能并不守恒 5.当外力 内力且作用时间极短时（如碰撞） 当外力<<内力且作用时间极短时 如碰撞） 内力且作用时间极短时（ 近似守恒。 可认为动量近似守恒 可认为动量近似守恒。 6.动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本 ，在 动量守恒定律比牛顿定律更普遍 动量守恒定律比牛顿定律更普遍、 宏观和微观领域均适用。 宏观和微观领域均适用。 7.用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统 用守恒定律作题， 过程、 用守恒定律作题 18 和条件。 和条件。
r fi
t2
t2 r r r r ∫ Fid t + ∫ f id t = Pi − Pi 0 t1 t1
mi r
第2步， 步 所有质 对所有质 求和： 点求和：
Fi
r v r v P = miυi P0 = miυi0 i i
∑
i
r ( ∫ Fi d t +
t1
t2
t2
∫
t1
r f id t ) =
0
t
动量定 理写为
r r F ∆t = ∆P
r r 平均力 F = ∆P 写为 ∆t
7 思考：为什么向水泥墙内钉钉子要用锤子呢？ 思考：为什么向水泥墙内钉钉子要用锤子呢？大力士除外
2 棒球质量为
0.14g. 用棒击球的力 随时间的变化如图所 示．设棒球被击前后 速度增量大小为70m 速度增量大小为70m ／s．求力的最大 值．打击时不计重量 。
r r பைடு நூலகம் P = ∑P0 = ∑miυi0 0 i
i i
i
i
则，质点系的动量定理为
t2
r r r 积分形式） ∫ F外dt = P − P0（积分形式）
t1
16
t2
r r r ∫ F外dt = P − P0
t1
动量定理
v v dP F= dt
可以写成 v v F = ma 吗？ 注意后面 的讲解。 的讲解。
[]
r I = [F
][t ] = MLT
−1
= [mυ ]
单位 Ns
r f
r I
I = f∆t
4
r r 定义式 I = f∆t
r r r r 若在∆ 间隔内物体受力 受力依次为 若在∆t 间隔内物体受力依次为 f1 , f 2 , L f i L f n
相应作用时间依次为 相应作用时间依次为 时间 则在∆ 则在∆t 间隔内力的冲量为
r 火箭体质量为M t 火箭体质量为 速度 V M r r t + dt M + dM V + dV r r r u + (V + dV ) 喷出的气体 dm
v 喷气速度（相对火箭体） u ---喷气速度（相对火箭体）
21
r V
u
r t 火箭体质量为 M 速度 V r r M + dM t + dt V + dV r r r 喷出的气体 dm u + (V + dV )
∑
i
r r ( Pi − Pi 0 )
外力冲量之和 内力冲量之和
13
∑
i
r ( ∫ Fi d t +
t1
t2
t2
∫
t1
r f id t ) =
∑
i
r r ( Pi − Pi 0 )
上式： 第3步，化简上式： 步 化简上式
r fi
r 质点系 Fi
r v F外 = ∑ Fi
i
r 外力冲量之和 先看外力冲量之和 ∑∫ Fidt
微分形式
v Fdt = ∫
t0
t
v v P+∆P v P
v dP ∫
积分形式
质点运动的 动量定理
r r I = ∆P
6
讨论
r r I = ∆P
1）定理的形式特征 ） (过程量 状态量的增量) 过程量)=(状态量的增量 过程量 状态量的增量 2）估算平均作用力 ）
v v 将积分用平 Fdt ⇒ F ∆t ∫ 均力代替 t
x
r F
x o
υ0
24
柔软的绳盘在桌面上，总质量为m 总长度l 例1 柔软的绳盘在桌面上，总质量为 0 ，总长度 质量均匀分布，均匀地以速度 提绳。 质量均匀分布，均匀地以速度v0 提绳。 绳子被拉上任一段后，绳端的拉力F 求：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力
x
r F
法一) 解：(法一 取整个绳子为研究对象 法一 取整个绳子为研究对象
三、火箭飞行原理 （rocket） ） 特征: 火箭体在飞行过程中,由于不断地向外喷气 特征 火箭体在飞行过程中 由于不断地向外喷气, 由于不断地向外喷气 所以火箭体的质量不断地变化。飞行速度？ 所以火箭体的质量不断地变化。飞行速度？ 微小过程 过程， 微小的时间间隔 的时间间隔d 取微小过程，即微小的时间间隔 t 系统： 系统：火箭箭体 和dt 间隔内喷出的气体
火箭飞行原理-三、火箭飞行原理 变质量问题
“神州”号飞船升空 神州” 神州
19
变质量问题（低速， 变质量问题（低速，v << c）有两类： ）
▲粘附 ▲抛射
— 主体的质量增加（如滚雪球） 主体的质量增加（如滚雪球） — 主体的质量减少（如火箭发射） 主体的质量减少（如火箭发射）
还有另一类变质量问题是在高速 高速（ 还有另一类变质量问题是在高速（v ∼ c） ） 情况下， 这时即使没有粘附和抛射， 情况下 ， 这时即使没有粘附和抛射 ， 质量也 可以改变— 随速度变化 m = m(v)，这是相对 可以改变 ，这是相对 情形，不在本节讨论之列。 论情形，不在本节讨论之列。 下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。 下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。 20
1
第4章 冲量与动量 章
§1 质点运动的动量定理 §2 质点系的动量定理 动量守恒定律
2
§1 质点运动的动量定理 一、力的冲量 二、 质点运动的动量定理
3
§1 质点运动的动量定理 一、力的冲量
r r r 定义： 定义：力 f 作用时间为 t ， 则 f∆t 称为力 f ∆
时间间隔内的冲量， 在 ∆ t时间间隔内的冲量， r r I = f ∆t SI 记作
∆t1, ∆t2 ,L∆ti L∆tn
r f2∆t2
r f3∆t3 r
r n r I = ∑ f i ∆t i
i =1
r f1∆ t1
若力的变 化连续
r t + ∆t r I = ∫ fd t
t
r I
矢量 冲量 过程量
f4∆t4
5
二、质点运动的动量定理 r r dP 由牛顿第 F= dt 二定律 r r ( Fd t = d P )
0
t + dt
mυ0 υ0dm
dm F = mg + υ0 dt m0 2 m0 F= υ0 + xg l l #
x o
( F − mg )dt = dm υ 0
v υ mg 0
m0 m= x l
dm m0 dx = dt l dt dx = υ0 27 dt
此例中方法2似乎更简便些 此例中方法 似乎更简便些
m0 N = (l − x ) g l
(1)
x
(2 )
r F
x o
υ0
m0 2 m0 F= υ0 + xg l l
#
N
m0 (l − x )g l 26
(法二 类似火箭飞行的方法求解 法二) 类似火箭飞行 火箭飞行的方法求解 法二
系统是： 系统是：
已提升的质量(主体 和将要提升的质量dm 已提升的质量 主体) m 和将要提升的质量 主体 r x mυ 0 F t
因为内力之和为零： 因为内力之和为零：∑ 内力之和为零