威布尔分布介绍培训17页PPT
2019.4.16weibullcalculation
4、练习
根据实际测风数据（EXCEL文件），使用常用的三种 威布尔参数计算方法，分别计算不同高度的威布尔参 数，并比较各种方法的计算精度。
1、直观观察拟合精度； 2、用拟合出的3种概率分布与实测风数据的分布频率
进行相关性分析。
5、总结
1、双参数Weibull分布是一种形式简单且拟合效果较 好的模型；给定参数k和c，风速分布形式即确定；
根据不同的风速统计资料选择 参数估计方法
3、参数估计的方法
（1）最小二乘法
需要完整的风速观测资料； 大量统计工作； 用累积分布函数拟合威布尔分布曲线。
3、参数估计的方法
（1）最小二乘法
3、参数估计的方法
（1）最小二乘法
3、参数估计的方法
（2）平均风速和标准差估计法
根据大量的观测，中国地区k值通常在1.0-2.6之间。
2、威布尔分布的原理
2、威布尔分布的原理
参数变化对线形的影响
尺度参数c控制平均风速的分布：
随着尺度参数c的增大，曲线峰值降低，线形扁平。
c=0.5 c=1 c=3
3、参数估计的方法
参数估计方法
最小二乘法 平均风速和标准差估计法 平均风速和最大风速估计法
用k和c表征风速的分布特性，易于比较和评估。
2、威布尔分布的原理
威布尔（Weibull）分布的概率密度函数表达式为：
其中，k——形状参数；
c——尺度参数。
2、威布尔分布的原理
参数变化对线形的影响
形状参数k控制分布曲线的宽度：
当0<k<1时，密度函数是x轴和y轴为渐近线的曲线； 当k>1时，单峰曲线，峰值随着k的增大而增高，曲线越窄； 当k=1时，分布呈指数型； 当k=2时，分布为瑞利分布； 当k=3.5时，分布接近正态分布。
二参数威布尔分布
二参数威布尔分布
二参数威布尔分布是一种常见的概率分布，也是一种可靠性分析中常用的分布。
它的概率密度函数为：
$$f(x)=frac{beta}{alpha}(frac{x-gamma}{alpha})^{beta-1}exp[ -(frac{x-gamma}{alpha})^{beta}]$$
其中，$alpha$ 和 $beta$ 分别是形状参数和尺度参数，$gamma$ 是位移参数。
二参数威布尔分布的特点是它的故障率函数是单峰的，并且可以描述一些具有逐渐加速的失效率的系统。
该分布在可靠性分析、风险评估、医学统计学等领域有广泛应用。
二参数威布尔分布的参数估计可以使用最大似然估计法或贝叶
斯估计法。
在实际应用中，我们可以使用统计软件对数据进行分析，并得到相应的分布参数，从而进行可靠性分析和风险评估。
- 1 -。
威布尔(Weibull)分布的寿命试验方法
该函数反映了威布尔分布的形状和规模参数对随机变量取值概率的影响。
累积分布函数
累积分布函数
描述威布尔分布的随机变量小于或等于某个值的概率，公式为$F(x;alpha,beta) = 1 - e^{- left( frac{x}{beta} right)^{alpha}}$，其中$x geq 0$，$alpha > 0$，$beta > 0$。
意义
该函数用于评估随机变量在某个值以下或以上的概率。
参数估计
参数估计方法
常见的威布尔分布参数估计方法包括最大似然估计、最小二乘估 计和矩估计等。
参数估计步骤
首先收集寿命试验数据，然后选择适当的参数估计方法，根据数据 计算出参数的估计值，最后进行统计检验和误差分析。
意义
准确的参数估计是威布尔分布应用的必要前提，有助于更好地理解 和预测产品的寿命特性。
特性
03
威布尔分布具有非负性、可加性和无记忆性等特性，适用于描
述各种寿命和可靠性现象。
02
威布尔分布的特性
概率密度函数
概率密度函数
描述威布尔分布的随机变量取某个值的概率，公式为$f(x;alpha,beta) = frac{alpha}{beta} left( frac{x}{beta} right)^{alpha - 1} e^{- left( frac{x}{beta} right)^{alpha}}$，其中$x > 0$，$alpha > 0$，$beta > 0$。
定时/定数寿命试验的缺点是需要耗费较长的时间和 资源，同时对于某些产品来说，可能会在试验结束前 就已经出现大量的失效。
数据分析方法
01
在寿命试验结束后，需要对试验数据进行统计分析，以评估产品 的寿命和可靠性。常用的数据分析方法包括威布尔分布、对数正 态分布、指数分布等概率模型，以及回归分析、方差分析、假设 检验等统计方法。
威布尔分布
机械可靠性设计作为一种新的设计方法只是常规设计 方法的深化和发展，其主要特征就是将常规设计方法中 所涉及到的设计变量不再看作定值，而是看成服从某种 分布的随机变量，然后根据机械产品所要求的可靠性指 标，用概率统计的方法设计出零、部件的主要参数和结 构尺寸。
三．可靠性设计的常用指标
1．概率指标
3．规定的时间 这里所说的时间是广义的，可以是距离、周期
(小时)、循环次数、转数等相当于时间的量。可靠性是 时间性的质量指标，产品只能在一定的时间范围内达 到可靠性指标，不可能永远保持目标可靠性而不降低。 因此，对时间的规定一定要明确。
4．规定的功能 指产品的功能参数指标，如精度、效率、强度、
稳定性等。不同的产品具有不同的功能，对不同的产 品应明确规定达到什么指标才合格，反之，就要明确 规定产品处于什么情况或状态下是失效。
设有N个相同的产品在相同的条件下工作，到任一
给定的工作时间t时，累积有小N f (t) 个产品失效，剩下 N p (t) 个产品仍能正常工作。那么，该产品到时间t的可 靠度 R(t) 为
R(t) N p (t) 1 N f (t) 1 N f (t)
N
N
N
因为 0 N p (t) N
可靠性设计
1.1概述 1.2 可靠性设计原理 1.3 零部件的可靠性设计 1.4 系统的可靠性设计
1.1概述
一．可靠性设计的发展 二．可靠性设计的基本概念 三．可靠性设计的常用指标 四．可靠性设计常用的分布函数
一．可靠性设计的发展
可靠性设计是一种很重要的现代设计方法。 从50年代起，国外就兴起了可靠性技术的研 究。在二次大战期间，美国的通讯设备、航空设 备、水声设备部有相当数量发生失效而不能使用。 因此，美国便开始研究电子元件和系统的可靠性 问题。德国在二次大战中，由于研制v—1火箭的 需要也开始进行可靠性工程的研究。1957年，美 国发表了“军用电子设备可靠性”的重要报告， 被公认为是可靠性的莫基文献。
威布尔分布的形状参数
威布尔分布的形状参数威布尔分布是一种常用的概率分布，它是统计学中的重要工具之一。
该分布的形状参数决定了其概率密度函数的形状，因此对于理解威布尔分布的性质和应用具有重要的指导意义。
首先，让我们来了解一下威布尔分布的形状参数的定义。
形状参数是威布尔分布的一个重要特征，用β表示。
β大于1时，概率密度函数的形状呈现出右偏斜；β小于1时，概率密度函数的形状呈现出左偏斜；β等于1时，概率密度函数的形状为指数分布。
威布尔分布的形状参数不仅影响了概率密度函数的形状，还直接影响了其均值和方差。
具体来说，威布尔分布的均值μ和方差σ²可以通过以下公式计算：μ = γ(1 + 1/β)σ² = γ²(1 + 2/β) - μ²其中，γ为尺度参数，表示概率密度函数的放缩程度。
可以看出，当β大于1时，威布尔分布的均值和方差均增加；当β小于1时，威布尔分布的均值和方差均减小；当β等于1时，威布尔分布的均值和方差保持不变。
威布尔分布的形状参数还与分布的峰度和偏度有密切关系。
峰度描述了概率密度函数的峰值陡峭程度，而偏度则描述了概率密度函数的对称性。
威布尔分布的峰度和偏度分别为：峰度= 3(1 + 1/β)³ / (1 + 2/β)² - 3偏度= 4(β - 1)² / (1 + 2/β)³从以上公式可以看出，当β大于1时，威布尔分布的峰度增加，整体呈现出尾部较重的形态；当β小于1时，威布尔分布的峰度减小，呈现出尾部较轻的形态；当β等于1时，威布尔分布的峰度保持不变。
在实际应用中，威布尔分布经常用于描述随机事件的持续时间、存活时间等。
例如，对于产品的寿命分析，可以使用威布尔分布来估计产品的失效时间。
此外，威布尔分布还常用于可靠性和风险分析领域。
总结来说，威布尔分布的形状参数决定了其概率密度函数的形状，直接影响了分布的均值、方差、峰度和偏度。
了解和理解威布尔分布的形状参数对于正确应用该分布进行数据分析和预测具有重要的指导意义。
2月13日(Weibull分布)-2
今日（2月13号）内容：第二章：概率论基础知识2.3 常用的连续分布2.3.5 Weibull分布Weibull分布是寿命试验和可靠性理论的基础，它是瑞典科学家威布尔（Waloddi Weibull）于1939年为描述材料强度而发现的一种分布，现都以其名字命名此分布。
此分布的重要意义在于，对于瞬时失效率处于浴盆曲线的三个阶段，其寿命的分布都可以统一用Weibull分布给出。
Weibull分布的概率密度函数为：（2-36）Weibull分布比指数分布有更广泛的适应性。
式（2-36）中，a ＞0为尺度参数，b＞0为形状参数。
式（2-36）给出的是两参数的Weibull分布，记为X~W(a，b)。
如果用f(x)和F(x)分别表示一个分布的密度函数和分布函数，称为瞬时失效率函数。
当 b=1时，h(t)是个常数，这一时期失效是属于“偶然失效”，这就是指数分布；当b＜1时， h(t)随t的增长面下降，正好代表“早期失效”状况；b＞1时，h(t)是个递增函数，正好代表“耗损失效”的状况。
尺度参数a起到放大与缩小比例常数的作用。
因此，Weibull 分布是描述可靠性的最理想的分布函数。
对于两参数a,b的Weibull分布，其数学期望和方差分别为：（2-37）如果分布的起始点不为0，可以设定第三个参数：阈值参数（也称为位置参数）。
阈值参数T是一个平移参数，有时又称为最小保证寿命，产品在时刻T以前是不会失效的。
图2-39显示的是尺度参数保持不变，而形状参数变化时（只显示了b＞1）的分布密度状况。
显然形状参数b=1就是我们熟悉的指数分布。
图2-39Weibull分布（尺度参数固定）的分布密度图第二章未完待续······。
系统可靠性理论与威布尔分布PPT
可靠性串联系统
11
可靠性并联系统
系统可靠度为
n
Rs 1 (1 Ri ) i 1
冗余最大 例：双工系统
图7 可靠性并联系统
12
可靠性并联系统
13
k/n表决系统
特例：1/n—串联系统
n/n—并联系统
系统可靠度：
14
k/n表决系统
15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 复杂系统
分析方法：
1. 分解分析方法：选择关键单元， 先分解系统，再组合计算。
6
可靠性方块图 (RBDs—Reliability Block Diagrams)
可靠性方块图 是系统单元及其可靠 性意义下连接关系的 图形表达, 表示单元 的正常或失效状态对 系统状态的影响。在 一些情况下，它不同 于结构连接图。
计算机的简化可靠性方块图
7
可靠性方块
一个方块可以代表零件 （元件）、部件、子系 统或装配件，取决于它 选择的“黑箱”水平 （具体层次）。
21
1.6 可靠性分配和可靠性优化
有两个方法改进系统的
可靠性：故障避免和 故障容错。
避免故障，要求使用高 质量和高可靠性的元件， 通常比故障容错方法的 成本低些。而故障容错， 需要冗余，导致设计难 度加大，成本、重量、 体积等增加。
典型的可靠性增长曲线
22
1.6 可靠性分配和可靠性优化
优化前需要明确规定： a) 成本函数
(1) 系统可靠度估计
引入单元可靠度函数， 运用上述模型即可计算 系统可靠度。
(2) 寿命预测
根据系统可靠度，可以计算 系统的平均寿命、保证寿命、 BX （ 如 ： B10 ） 、 可 靠 寿 命 等。此外，可以计算系统的 寿命分布规律、失效率。
威布尔分布专题
2
4 5
6
Minitab中的威布尔分析
1 1. 点击“Estimate”（估计）按钮 2. 选择“Least Squares”（最小平方）估计 法 3. 在“Estimate survival probabilities for these times”（估计幸存概率时间）输入 “365” 4. 设置置信度 = “70.0” 5. 点击“OK” 6. 点击“OK” 2
平均 取消 时间=764天 在样本数据中： 14份被取消 15份有效
B10 = 260.5 260 5天
100 1000
Life of CSA (Days)
Minitab对话框输出
分布： 威布尔 参数估计 标准 参数 形状 比例 估计 1.88270 860.981 误差 0.343250 113.015 70.0% 低 1.55854 751.468 高 2.27429 986.455 正态 CI
1 3 1. “Variables”（变量）选择“Life of CSA” （客户服务合同寿命） 2. 假设分布选择“Weibull”（威布尔） 3. 点击 点击“Censor Censor”（检查）按钮 4. 选择“CSA Status”（客户服务合同状态） 为检查栏 5. 检查值输入“A” 6. 点击“OK”
Table of Statistics Shape Scale Corr F C 1.31199 8279.35 0.975 10 10 1.72135 1102.39 0.980 15 4
Percent
后
前
10
100
1000
10000
100000
Life (hrs)
技术性定义
• 可靠性是指设备在某一特定的工作条件下、在某一特定的 时期内圆满完成其规定功能（没出现故障）的概率
威布尔模型族——特性、参数估计和应用PPT模板
6.4图形参数估 计方法
6.4.1逐步分离子样法 6.4.2一次子样分离法
6.5数例
09
part one
第七章威布尔竞争风险模型
第七章威布尔竞争风险模型
7.1引言
7.3图形参数估计方法 和应用实例
7.5失效率函数的参数 研究
7.2两重威布尔竞争风 险模型的wpp图
7.4密度函数的参数研 究
7.6n重威布尔竞争风 险模型
第八章威布尔并联模型
8.6n重威布尔并联模型
8.6.1渐近结 果
8.6.2wpp图 和参数估计
8.6.3失效率 函数
11
part one
第九章两重威布尔分段模型
第九章两重威布尔分段模型
9.1引言
1
9.2由两个威布尔分布形
成的分段模型
2
9.3模型Ⅰ的WPP图及参
3
数估计
9.4密度函数的参数特征
化
第二章建模失效数据
2.7模型参数估计
2.7.1图形 法
1
2.7.2解析 方法
2
05
part one
第三章威布尔分布
第三章威布尔分布
3.1引言
3.3二参数和三参数威 布尔模型的概率图
3.5各种参数估计的统 计方法
3.2威布尔分布 3.4建模与参数估计 3.6参数研究
第三章威布尔分布
3.2威布尔分布
9.2.1分段 模型ⅰ
1
9.2.2分段 模型ⅱ
2
第九章两重威 布尔分段模型
9.3模型ⅰ的wpp图及 参数估计
01
02
03
9.3.1wp 9.3.2参 9.3.3实
p图
数估计
威布尔分析方法
第1章威布尔分析1.1 引言：在所有可用的可靠性计算的分布当中，威布尔分布是唯一可用于工程领域的。
在1937，Waloddi Weibull教授（1887－1979）创造性的提出了该种分布，它是用于失效数据分析分布中应用最广泛的分布之一,也用于寿命数据分析，因为系统或部件的寿命周期的测量也需要分析。
一位瑞典的工程师和一位数学家潜心研究冶金的失效，威布尔教授曾指出正态分布要求冶金的初始强度服从正态分布,而情况并非如此。
他还指出对于功能需求可以包含各种分布，其中包括正态分布。
1951年他发表了代表作,“一个具有广泛适用性的统计分布函数”，威布尔教授声称寿命数据可以从威布尔分布族中选择最恰当的分布,然后用合适的参数进行合理准确的失效分析。
他列举七种不同的情况来证明威布尔分布可顺利用于很多问题的分析.对威布尔分布的最初反应是普遍诊断它太过完美以致于不真实。
尽管如此,失效数据分析领域的先驱们还是开始应用并不断改进，直到1975年，美国空军才认可了它的优点并资助了威布尔教授的研究。
今天，威布尔分析涉及图表形式的概率分析以找出对于一个给定失效模式下最能代表一批寿命数据的分布。
尽管威布尔分布在检测寿命数据以确定最合适的分布方面在世界范围内处于领先位置，但其它分布也会偶尔用于寿命数据分析包括指数分布，对数正态分布，正态分布，寿命数据有了对应的统计学分布,威布尔分析对预计产品寿命做了准备。
这种具代表性的样本分布用来估计产品的重要寿命特征，如可靠性，某一时刻的失效率，产品的平均寿命及失效率。
1.1.1威布尔分析的优点:威布尔分析广泛用于研究机械、化工、电气、电子、材料的失效，甚至人体疫病。
威布尔分析最主要的优点在于它的功能:⏹提供比较准确的失效分析和小数据样本的失效预测，对出现的问题尽早的制订解决方案.⏹为单个失效模式提供简单而有用的图表,使数据在不充足时，仍易于理解.⏹描述分布状态的形状可很好的选择相应的分布。
⏹提供基于威布尔概率图的斜率的物理失效的线索。
韦布尔分布 ppt课件
设t1,t2,t3,…,tn为某随机变量t的一组观测值，则为布尔分 布拟合的步骤如下：
1. 计算t的样本均值m和方差s^2，并用下式计算样本分 布的偏倚系数Cs:
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
2. 从表4-7中查出与Cs相对应得1/α、B(α)/A(α),计算出参数α。Βιβλιοθήκη 3. 计算参数β、γ的估计值。
β=m+S*A(α),γ=β-S*B(α) 将参数α、β、γ代入式（4-51），即可以求得韦布尔分布。
三 适用条件 四 应用举例
一 基本公式
韦布尔分布
式中βͺγͺα为分布参数，取正值且β>γ。γ称为起点参 数，α称为形状参数，β称为尺度参数。显然负指数分布 和移位负指数分布是韦布尔分布的特例。
韦布尔分布的概率密度函数为
图4-12是γ=0ͺβ=1的为布尔分布的概 率密度曲线，曲线的形状随着参数α的 大小而变化，可见为布尔分布的适用 范围是比较广泛的。当α=1时即为负 指数分布，α=3或2时，与正态分布没 有多少差异。
Wigner分布PPT课件
Z
2Z
2 e jtd
（3.2.22）
•
（3.2.23）
Wx (t, )
2 2
X (
2) X * (
2)e jt d
第16页/共56页
• 上式积分号中相当于乘了一个从
至 2的矩形2窗。由
• 运算性质5，可得信号x(t)和其解析信号z(t) 的WVD之间的
• 关系，即
•
•
Wz
t,
4
•后两项也是交叉项干扰。一般，若会有 N个分量，那么这些分量之间共产生 个互项的干扰。
N (N 1) 2
第14页/共56页
WVD的时限与带限性质
➢ 若在 切
t，有t和a
t
t时 ， b
xt yt， 即0
xt, y是t时限的，则对一
•
（3.2.18）
W ➢ 由上述结论，若 x, y ，t, 均是0 因果 信t号，t及a 当 和 时t tb
•
则
➢移位加调制 Wx,y t, Wx,y t, 0
（3.2.11）
•令 •则 •
xt xt e j0t , yt yt e j0t
Wx,y t, Wx,y t , 0
（3.2.12）
第10页/共56页
➢时间尺度
•令
xt （x为大t 于零的常数）
•则
•
为瞬时自相关。
rx,y t,
（3.1.6）
第4页/共56页
3．2 WVD的性质
W t, 的奇、偶、虚、实性
➢ 不论xt是 实信号还是复值信号，其自WVD都是t
和 的实函数，即
Wx (t,) R （t,3.2.1）
➢ 若为xt 实信号，则Wx t, 不但是t、 的实函
三参数威布尔分布
三参数威布尔分布引言在统计学和概率论中，分布函数是描述随机变量的概率分布的函数。
三参数威布尔分布是一种常见的概率分布，它被广泛应用于可靠性工程和生物学领域。
本文将详细介绍三参数威布尔分布的定义、特性、参数估计方法以及在实际问题中的应用。
定义和性质三参数威布尔分布是一种连续分布，它由三个参数所决定：形状参数（shape parameter ）k 、尺度参数（scale parameter ）λ和位置参数（locationparameter ）δ。
其概率密度函数（Probability Density Function ，简称PDF ）可以表示为：f (x;k,λ,δ)={k λ(x −δλ)k−1exp [−(x −δλ)k],x ≥δ,0,x <δ,其中，k >0表示形状参数，λ>0表示尺度参数，δ表示位置参数。
三参数威布尔分布的累积分布函数（Cumulative Distribution Function ，简称CDF ）可以表示为：F (x;k,λ,δ)={1−exp [−(x −δλ)k],x ≥δ,0,x <δ.三参数威布尔分布具有以下性质：1. 分布函数单调递增：对于任意两个取值x 1<x 2，若x 1≥δ且x 2≥δ，则F (x 1)≤F (x 2)；2. 形状参数的取值对分布形态的影响：当k >1时，分布函数右偏，而当0<k <1时，分布函数左偏；3. 尺度参数的取值对分布的定位和尺度的变动起到作用：当λ增大时，分布函数向右平移，且尖峰逐渐变宽；4. 位置参数的取值决定了分布函数的起点。
参数估计方法在实际问题中，我们通常需要根据样本数据来估计三参数威布尔分布的参数。
常用的估计方法包括最大似然估计法和矩估计法。
最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，它通过最大化样本的似然函数来估计参数值。
对于三参数威布尔分布，最大似然估计法的步骤如下：1.假设样本X1,X2,...,X n是独立同分布的三参数威布尔分布随机变量；2.构建似然函数L(k,λ,δ)，即样本的联合概率密度函数；3.对似然函数取对数得到对数似然函数l(k,λ,δ)；4.求解对数似然函数的一阶偏导数，令其为零，解得参数的最大似然估计值。
威布尔分布的三个参数
威布尔分布的三个参数
威布尔分布的三个参数是：形状、尺度（范围）和位置。
威布尔分布有多种形式，包括一参数威布尔分布、二参数威布尔分布、三参数威布尔分布或混合威布尔分布，三参数的威布尔分布由形状、尺度和位置三个参数决定。
其中形状参数是最重要的参数，决定分布密度曲线的基本形状，尺度参数起放大或缩小曲线的作用，但不影响分布的形状。
通过改变形状参数可以表示不同阶段的失效情况；也可以作为许多其他分布的近似，如，可将形状参数设为合适的值以近似正态、对数正态、指数等分布。
指数威布尔分布
指数威布尔分布
指数威布尔分布，又称为双参数威布尔分布，是对生存时间的一种概率分布。
该分布最初用于描述化学评估过程中的失效机制，后来逐渐扩展到了其他领域。
这种分布是由威布尔分布和指数分布组合而成，分别表示失效率和失效时间的形态。
指数威布尔分布的概率密度函数如下：
$$ f(t;\lambda,\alpha)=\begin{cases}
\alpha\lambda^{1-\alpha}t^{\alpha-1}e^{-\lambda t^{\alpha}} & t\geq 0 \\ 0 & t<0 \end{cases} $$
其中，$t$ 是失效时间，$\lambda$ 是失效率参数，$\alpha$ 是形态参数，决定失
效率值的时间变化形态。
这个分布的特点是失效率与时间的关系呈现出多种形态，可以是上升指数形式、峰型形式或者下降指数形式，具有较好的拟合性能。
指数威布尔分布的统计分析应用于很多方面，包括制造业的质量控制、生命科学和医学领域的疾病分析、环境监测和环境规划等。
在这些领域中，我们需要了解许多关于失
效时间和失效率的信息，而指数威布尔分布适合用来描述这些信息。
在实际应用中，我们可以采用最小二乘法来拟合指数威布尔分布的参数，从而进行分析。
此外，我们还可以使用一些奇异值分解方法来处理指数威布尔分布中的数据问题，提高模型的精度。
总之，指数威布尔分布是生存时间分析领域中的一个重要工具。
它能够帮助我们更好地了解各种失效机制，对数据进行分析，以提高我们的预测能力和决策效率。
利用的规划求解进行求解威布尔分布参数.完整版PPT资料
i t ； ⑸ 在D2 单元格中输入公式“=C2*C2”，用填充柄填 充D3～D6 单元格，D2～D6 单元 格的值为为2 i x ； ⑹ 在
E2 单元格中输入公式“=(A2-0.3)/5.4”，用填充柄填充 E3～E6 单元格，E2～E6 单 元格的值为为( ) i F t ，这里
( ) i F t 采用中位值算法，即F(t )=(i − 0.3) (n + 0.4) i ； ⑺ 在F2 单元格中输入公式“
，m>0；η 称为尺度参数，η>0；γ 称为位 置参数，也称最小寿 命，表示产品在γ 以前不会 失效，对
于产品寿命有γ ≥ 0 ,γ =0 时退化为二参数 威布尔分布； t 是产品的工作时间， t ≥ γ 。
当m<1 时， 由式( 3 ) 给出的失效率是递减型的，适合于 建模早期失效；当m=1 时， 失效率为常数，即退化为指 数分布，适合于建
威布尔分布是瑞典物理学家Weibull W.分析材料强度时在 实际经验的基础上推导出来 的分布形式[1]，国内外大量 研究表明，用三参数威
布尔分布比用对数正态分布往往能更准确 地描述结构疲
劳寿命或腐蚀损伤的概率分布[2]，物理意义更加合理； 在以损耗为特征的机械 零件寿命评估中，
采用三参数威布尔分布比采用二参数威布尔分布拟合精 度更高。因此，三 参数威布尔分布在强度与环境研究领 域及机械零件磨损寿命评价中得到越来越广泛的
其中到第i 个产品失效时的累计失效概率F(ti )可用中 位秩算
法求得：
F t i i （2） 根据失效时间和累计失效概率即可用各种方法对其参数进 行估计。
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对 y 求 x 的导d数 yb X 得 X X 0 0 b ： -1• 1 X 0dx
➢ Weibull分布被广泛的应用到工程 的实践，
➢ 因为他的多功能性。 ➢ 最初被用在疲劳资料的分析上， ➢ 后来扩展到许多工程技术问题上。
➢ 威布尔累积的分布函数
Fx1expX X X00b
➢ 两个参数的威布尔累积分布函数
Fx1-exp-Xb
➢ 数学运算：
Fx1-1expXb
ln Fx11Xb
lnlnFx11b•lnXb•ln
➢ 数学运算（续）：
由Y ： bZC
令Y ： ln l n F x 1 1 ,Zln X ,C bl n
b是直线的斜率
➢ 在汽车行业中一般应用 B10 寿命。
X 0 变量的最小值，也称位量参数 b 威布尔斜率，也称形状参数
特性值，也称比例参数
威布尔累积的分布函数是:
Fx X X0
fxdx
X
X 0
b 1
b X 0 X X X 0 0 e
x pX X X 0 0 b d
x
假设:
b
X X0 X0
➢ 特性值 = 5.7 105 图形 63.2%
平均寿命 （mean life) 5.1105 57.5%
B 10 寿命 1.26 105
➢ 我们说 B10 寿命4小时，在给定的 条件下试验到4小时，有90%样 品通过，只有10%的样品通不过。
➢ 例子：六个轴承试验寿命为 ➢ （4.0，1.3，9.8，2.7，6.6和5.2） 105
➢ 求：威布尔斜率b ，
特性值 ，
平均寿命 （mean life) 及 B 10寿命。
➢ 威布尔斜率 b = 1.5
➢ Weibull分布被广泛的应用到工程 的实践，
➢ 因为他的多功能性。 ➢ 最初被用在疲劳资料的分析上， ➢ 后来扩展到许多工程技术问题上。
➢ 在log，log表格纸上划出是一条直 线，
➢ 要解释这个图标也是比较简单明 了的。
➢ 他主要是应用在有关室外试验寿 命的分析。
威布尔分布的密度函数是：