天津高三上学期月考理科数学试卷
天津一中高三第一次月考数学(理)试卷
天津一中2016-2017-1高三年级第一次月考数学（理）试卷一、选择题：1．设全集U =R ,集合A ={x|x 2-2x ≥0},B ={x|y =log 2(x 2-1)},则(∁U A )∩B =（ B ） A.D.(-∞,-1)∪2. 在复平面上，复数2ii+对应的点在（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设函数23()xxf x e -=（e 为自然底数），则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是（ A ）A.01x <<B.04x <<C. 03x <<D. 34x <<4．下列命题中是假命题的是（ C ） A.m R ∃∈，使243()(1)m m f x m x-+=-⋅是幂函数B. ,R αβ∃∈，使cos()cos cos αβαβ+=+C. R ϕ∀∈，函数()sin()f x x ϕ=+都不是偶函数D. 0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点5．设变量x ，y 满足：34,2y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z=|x-3y|的最大值为（ B ）A ．3B ．8C ．134 D ．926．在如图所示的程序框图中，若输出i 的值是3，则输入x 的取值范围是（A ） A ．（4，10] B ．（2，+∞）C ．（2，4]D ．（4，+∞）7．函数f (x )=(x 2-2x )e x 的大致图象是（ A ）A.B.C.D.8．已知函数()2,11,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩,若1212,,x x R x x ∃∈≠,使得()()12f x f x =成立, 则实数a 的取值范围是（ A ）A ．2a <B ．2a >C ．22a -<<D ．2a >或2a <-二、填空题：9.若（2x+）dx=3+ln2（a ＞1），则a 的值是 ．210.已知函数f (x )=224,0,4-,0,x x x x x x ⎧+≥⎨<⎩若f (2-a 2)>f (a ),则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】(-2,1)11.在直角ABC ∆中， 90=∠C ， 30=∠A ， 1=BC ， D 为斜边AB 的中点，则⋅= . -112.如图，PB 为△ABC 外接圆O 的切线，BD 平分PBC ∠，交圆O 于D ，C,D,P共线．若AB BD ⊥,PC PB ⊥,1PD =，则圆O 的半径是 ．-2 13.已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2c o s ()2πρθ=-+，cos()104πθ-+=，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远距离为14.已知函数||)(xxe x f =，方程)(01)()(2R t x tf x f ∈=++有四个实数根， 则t 的取值范围为)12ee +-∞-，（三、解答题：15.已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--，x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.解：(Ⅰ) ∵sin2coscos2sinsin2co ()=333scos23sincos2f x x x x x x ππππ⋅+⋅+⋅-⋅+sin2cos224x x x π=+=+（），……………………4分 ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==。
天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题(解析版)
天津一中2022-2023-1高三年级第三次月考数学试卷（答案）本试卷总分150分，考试用时120分钟。
考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合3{Z |Z}1A x x=∈∈-，2{Z |60}B x x x =∈--≤，则A B ⋃=（ ） A ．{2} B ．}{2,0,2- C ．{}2,1,0,1,2,3,4-- D ．}{3,2,0,2,4--【详解】{A x =∈2Z |x x --{2,1,0,1,2,3,4--．，b ，c 为非零实数，则“A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的基本性质可判定“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，然后利用列举法判定“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，从而可得结论．【解答】解：∵a ＞b ＞c ，∴a ＞c ，b ＞c ，则a +b ＞2c ， 即“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，但满足a +b ＞2c ，取a ＝4，b ＝﹣1，c ＝1，不满足a ＞b ＞c ， 即“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，所以“a ＞b ＞c ”是“a +b ＞2c ”的充分不必要条件， 故选：A ．3、已知2log 0.8a =，0.12b =，sin 2.1c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b<c<a 【答案】B【详解】因为22log 0.8log 10<=，0.10122>=，0sin 2.11<<， 所以a c b <<， 故选：B 4、函数2sin ()1x xf x x -=+的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值来确定正确选项. 【详解】由题意，函数2sin ()1x xf x x -=+的定义域为R ， 且22sin()sin ()()()11x x x xf x f x x x -----===--++，所以函数()f x 奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C 、D 项，2120212f πππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以排除B 项． 故选：A5、已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为 （ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C．y = D．y =【答案】C【解析】由题意，1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，且满足1221:||:2:3:4F F F M F M =，可得122F F c =，23F M c =，14F M c =， 由双曲线的定义可知21243a F M F M c c c =-=-=，即2c a =，又由b ==，所以双曲线的渐近线方程为y =．故选：C ．6、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34S =，4566a a a ++=，则96S S = （ ）A ．32B ．1910 C ．53D ．196【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则456133a a a a S ++==，矛盾． 所以，1q ≠，故()()33341345631111a q a q q a a a q S qq--++===--，则332q=， 所以，()()()63113631151112a q a q S q S qq--==+⋅=--， ()()()9311369311191114a q a q S q q S qq--==++=--， 因此，9363192194510S S S S =⋅=．故选：B ． 7、直线1y kx =-被椭圆22:15x C y +=截得最长的弦为（ ） A ．3 B ．52C ．2D【答案】B【解析】联立直线1y kx =-和椭圆2215xy +=，可得22(15)100k x kx +-=，解得0x =或21015kx k =+，则弦长21015kl k =+，令215(1)k t t +=≥，则10l === 当83t =，即k =，l 取得最大值55242⨯=， 故选：B8、设函数()sin()(0)4f x x πωω=->，若12()()2f x f x -=时，12x x -的最小值为3π，则（ ）A ．函数()f x 的周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数为奇函数 C ．当(,)63x ππ∈，()f x的值域为D ．函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个 【答案】D【解析】由题意，得23T π=，所以23T π=，则23T πω==，所以()sin(3)4f x x π=-选项A 不正确； 对于选项B ：将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数是 ()sin[3()]cos344f x x x ππ=+-=为偶函数，所以选项B 错误；对于选项C ：当时(,)63x ππ∈，则33444x πππ<-<，所以()f x的值域为，选项C 不正确；对于选项D ：令()0,Z 123k f x x k ππ=⇒=+∈，所以当3,2,1,0,1,2k =---时，[,]x ππ∈-，所以函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个，D 正确， 故选：D ．9、设函数()(),01,,10,1xx mf x x x m x ⎧≤<⎪⎪=⎨-⎪-<<+⎪⎩，()()41g x f x x =--.若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]11,1,4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]1,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}11,15⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】C 【详解】令()()410g x f x x =--=，则()41f x x =+，当01x ≤<时，41xx m=+，即4x mx m =+，即函数1y x =与24y mx m =+的交点问题，其中24y mx m =+恒过A 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.当10x -<<时，()411x x m x -=++，即1114mx m x -+=++，即函数3111x y =-++与24y mx m =+的交点问题 分别画出函数1y ，2y ，3y 在各自区间上的图象： 当2y 与3y 相切时，有且仅有一个零点，此时()411xx m x -=++，化简得：()24510mx m x m +++=，由()2251160m m ∆=+-=得：11m =-，219m =-（舍去）当直线2y 的斜率，大于等于直线1y 的斜率时，有且仅有一个零点，把()1,1B 代入24y mx m =+中，解得：15m =，则15m ³综上，m 的取值范围是{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10、已知复数z 满足()2i i z -=，则5i z -=___________．【答案】3【解析】因为圆22:20(0)C x ax y a -+=>的标准方程为：()222x a y a -+=，所以圆必坐标为(,0)a ，半径为a ，由题意得：32a a += 解得：3a = ，故答案为：3.12、已知3π3sin 85α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 【答案】725-【解析】2πcos 2cos 22cos 1488ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦232cos 182ππα⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦223372sin 1218525πα⎛⎫⎛⎫=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：725- 13、直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，l 过抛物线2:4C y x =的焦点，交C 于A ，B 两点，若||5AB =，则E 的离心率为_______．【详解】依题意，点F 的坐标为(1,0)，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得：2440y my --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124y y m +=，124y y =-，则2212||()4(1)5AB y y m ++=，解得：12m =±，∴直线l 的方程为220x y +-=或220x y --=；直线的斜率为：2±．直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，可得2b a =，所以22224b a c a ==-，1e >，解得e =故14、已知1a >，1b >，且lg 12lg a b =-，则log 2log 4a b +的最小值为_______． 【答案】9lg2【解析】由已知，令lg 2log 2lg a m a ==，lg 4log 4lg b n b==， 所以lg 2lg a m =，lg 42lg 2lg b n n ==，代入lg 12lg a b =-得：lg 24lg 21m n+=， 因为1a >，1b >，所以lg 24lg 24log 2log 4()1()()5lg 2(lg 2lg 2)a b m nm n m n m n n m+=+⨯=++=++ 2lg 25lg 25lg 24lg 29lg 2n m≥+=+=．当且仅当4lg 2lg 2m n n m=时，即1310a b ==时等号成立． log 2log 4a b +的最小值为9lg2． 故答案为：9lg2．15、在Rt ABC 中，90C ∠=，若ABC 所在平面内的一点P 满足0PA PB PC λ++=，当1λ=时，222PA PB PC+的值为 ；当222PA PB PC+取得最小值时，λ的值为 ．【答案】5；-1【解析】（1）如图5-26，以C 为坐标原点建立直角坐标系， 因为0PA PB PC λ++=，所以点P 为ABC 的重心，设BC a =，AC b =，所以(),0A b ，()0,B a ，易得,33a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222222222411499991199a b a b PA PBPC b a ++++=+5=． （2）设(,)P x y ,则(,),(,),(,)PA b x y PB x a y PC x y =--=--=--, 所以2,2,b x x a y y λλ-=⎧⎨-=⎩可得(2),(2),b x a y λλ=+⎧⎨=+⎩于是222222222||||()()||PA PB x b y x y a x y PC +-+++-=+()222222222x y bx ay a b x y +--++=+ 22222222(2)(2)2(2)2(2)2x y x y x y λλλλ+++-+-+=++()()222222222x y x y λλλλ+++=++ 2222(1)11λλλ=++=++…当1λ=-时取等号,所以222||||||PA PB PC +的最小值为1． 故答案为：5；-1．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、如图，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos cos 0B a C c A ++=． （1）求B ；（2）若2AB CD ==，ABC 的面积为2，求AD ． 【答案】（1）34B π=；（2）4=AD ．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到cos B=出B；（2）由三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求出AC，即可求出cos CAB∠，依题意cos cosCAB CAD∠=∠，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；【详解】（1）cos cos cos0B aC c A++=，cos sin cos cos sin0B B AC A C++=，()cos sin0B B A C++=，cos sin0B B B+=，因为0Bπ<<，所以sin0B>，所以cos B=34Bπ=．（2）因为ABC的面积2S=，所以1sin22==ABCS ac B，2=，所以a=由余弦定理得AC==所以222cos2AB AC BCCABAB AC+-∠==⋅因为AC平分BAD∠，所以cos cosCAB CAD∠=∠，所以2222cosCD AC AD AC AD CAD=+-⋅⋅∠，所以24202AD AD=+-⨯28160AD AD-+=，所以4=AD．17、如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，DF⊥平面ABEF，//CD EF，2DF=，22EF CD==，2EN NC=，2BM MA=．（1）求证：//MN平面ACF；（2）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（3）求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2；（3）45【详解】（1）证明：在EF上取点P，使2EP PF=，因为2EN NC=，所以//NP FC，于是//NP平面ACF，因为2BM MA=，四边形ABEF为正方形，所以//MP AF，所以//MP平面ACF，因为MP PN P =，所以平面//MNP 平面ACF ，因为MN ⊂平面MNP ，所以//MN 平面ACF ；（2）解：因为DF ⊥平面ABEF ，所以DF FA ⊥，DF EF ⊥， 又因为四边形ABEF 为正方形，所以AF EF ⊥，所以FA 、FE 、FD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， (2AD =-，0，2)，(2EB =，0，0)，(0EC =，1-，2)，设平面BCE 的法向量为(m x =，y ，)x ， 2020EB m x EC m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，(0m =，2，1)， 所以直线AD 与平面BCE所成角的正弦值为||2||||22AD m AD m ⋅=⋅⋅ （3）解：(2FA =，0，0)，(0FC =，1，2)， 设平面ACF 的法向量为(n u =，v ，)w ，2020FA n u FC n v w ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1w =-，(0n =，2，1)-， 由（1）知平面BCE 的法向量为(0m =，2，1)， 设平面ACF 与平面BCE 所成二面角的大小为θ，||33cos ||||55m n m n θ⋅===⋅⋅，4sin 5θ==．所以平面ACF 与平面BCE 所成二面角的正弦值为45． 18、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，且212PF F F ⊥，12tan PF F ∠=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在点M ，满足234OA OB OM +=，试求椭圆C 的方程．【答案】（1）e =（2）22551164x y +=．【分析】（1）由212tan 2b a PF F c ∠==222a c b -=，建立关于e 的方程，即可得到结果； （2）设()()()112200,,,,,A x y B x yM x y ，由（1）可知224a b =，可设椭圆方程为22244x y b +=，根据234OA OB OM +=，可得120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，设1:(1)2AB y k x =--将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点M 满足椭圆方程，可求出2b ，进而求出结果.【详解】（1）解：因为2212tan 22b b a PF F c ac ∠==26b =，即()226a c -=， 则()261e -=，解得e =（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由22234c e a ==，得2243a c =，所以222221134b a c c a =-==，所以224a b =设2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=由于,A B 在椭圆上，则2221144x y b +=，2222244x y b +=，①由234OA OB OM +=，得120120234234x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，即120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由M 在椭圆上，则2220044x y b +=,即212222144232344x x y y b ⎛⎫+= ⎪++⎛⎫ ⎪⎝⎝⎭⎭， 即()()()222211121222441249464x y x x y y x y b +++++=，②将①代入②得：212124x x y y b +=，③线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:(1)2AB y k x =--可知()22211244y k x x y b⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ ()()22222148444410k x kk x k k b +-+++-+=212284121142k k x x k k ++==⨯⇒=+， 所以222220x x b -+-=，其中0∆>，解得212b >， 所以21222x x b ⋅=-，AB 方程为112y x =-又()2121212121111111122422b y y x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=--=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，④ 将④代入③得：22221422425b b b b --+⋅=⇒=， 经检验满足212b >， 所以椭圆C 的方程为22551164x y +=. 19、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且455=S 455=S ，40342=+a a .数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T 413=+)(*N n ∈.（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）若1)23(+⋅-=n n n n n a a a b c ，求数列}{n c 的前n 项和n R ； （3）设n n n b S d =，求证：11248-=+-<∑n n k k n d . 【答案】（1）32+=n a n ，14-=n n b ；（2）51524-+=n R n n ；（2）证明见详解． 【详解】（2）；（3）124n n n n n b c b b ++=， 112(3)44n n n n n n b n n c b b +-++∴==， 则12124)2(444--+=++<n n n n n n c ，122-+<n n ． 设1122n n k k k S '-=+=∑， 11123422122nn k n k k n S '--=++∴==++⋯+∑ 213422222n n n S +'∴=++⋯+ 12111(1)121112422334122222221()2n n n n n n n n n S ---+++'∴=-+++⋯+=-+=--，1482n n n S -+'∴=- 综上，11248-=+-<∑n n k k n c ． 20、已知函数()e cos x f x x =，()cos (0)g x a x x a =+<，曲线()y g x =在π6x =处的切线的斜率为32．（1）求实数a 的值；（2）对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0f x g x -≥恒成立，求实数t 的取值范围； （3）设方程()'()f x g x =在区间()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 内的根从小到大依次为1x 、2x 、…、n x 、…，求证：12n n x x +->π．【答案】（1）1a =-；（2）1t ≥；（2）证明见详解．【分析】（1）由'π362g ⎛⎫= ⎪⎝⎭来求得a 的值. （2）由()'()0f x g x -≥，对x 进行分类讨论，分离常数t 以及构造函数法，结合导数求得t 的取值范围.（3）由()'()f x g x =构造函数()e cos sin 1x x x x ϕ=--，利用导数以及零点存在性定理，结合函数的单调性证得12n n x x +->π.【详解】（1）因为()cos (0)g x a x x a =+<，则()'1sin g x a x =-， 由已知可得'π131622g a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-． （2）由（1）可知()'1sin g x x =+，对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0tf x g x -≥恒成立， 即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立， 当2x π=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立； 当π02x -<≤时，cos 0x >，则1sin e cos x x t x+≥， 令1sin ()e cos x x h x x +=，其中π02x -<≤， ()()2'2e cos e (cos sin )(1sin )e cos x x x x x x x h x x --+=2(1cos )(1sin )0e cos x x x x-+=≥且()'h x 不恒为零， 故函数()h x 在π,02⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，则max ()(0)1h x h ==，故1t ≥． 综上所述，1t ≥．（3）由()'()f x g x =可得e cos 1sin x x x =+，e cos 1sin 0x x x --=，令()e cos sin 1x x x x ϕ=--，则()'e (cos sin )cos x x x x x ϕ=--， 因为()ππ2π,2π32x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，则sin cos 0x x >>，所以，()'0x ϕ<，所以，函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减，因为π2π3ππ2πe cos 2π33n n n ϕ+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 2π13n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭π2π31e 12n +=π2π3e 102+≥>，π2π202n ϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭， 所以，存在唯一的()ππ2π,2π32n x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，使得()0n x ϕ=， 又1ππ2(1)π,2(1)π32n x n n +⎛⎫∈++++ ⎪⎝⎭()n +∈N ，则()1ππ2π2π,2π32n x n n n ++⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭N 且()10n x ϕ+=， 所以，()()12π112πe cos 2πn x n n x x ϕ+-++-=-()1sin 2π1n x +---12π11e cos sin 1n x n n x x +-++=--112π11e cos e cos n n x x n n x x ++-++=-()112π1e e cos 0n n x x n x ++-+=-<()n x ϕ=， 因为函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减， 故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π．。
天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷
天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知集合{}R 13P x x =∈≤≤，{}2R 4Q x x =∈≥，则()R P Q =U ð（ ）A ．{}2x x >B ．{}23x x -<≤C ．{}12x x ≤<D ．{}21x x x ≤-≥或2．设x ∈R ，则“1x <”是“ln 0x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数y =2sin 2x x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．4．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -=A ．15B C D ．15．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）A ．0.6小时B ．0.9小时C ．1.0小时D ．1.5小时6．已知()1e ,1x -∈，记ln ln 1ln ,,e 2⎛⎫=== ⎪⎝⎭xx a x b c ，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<7．等差数列 a n 的前n 项和为n S ，其中77S =，又2，1b ，2b ，3b ，8成等比数列，则2352b a a +的值是（ ） A ．4B ．4-C ．4或4-D ．28．已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，则下列正确个数有（ ）①()f x 关于点π(,3)6对称；②()f x 关于直线π3x =对称； ③()f x 在区间π5π[,]26上单调递减；④()f x 在区间5ππ(,)1212-上的值域为(1,3)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在ABC V 中，π3BAC ∠=，2AD DB =u u ur u u u r ，P 为CD 上一点，且满足13AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r，若4AB AC ⋅=u u u r u u u r，则AP u u u r 的最小值为（ ）A ．2B ．3 CD ．32二、填空题10．已知i 是虚数单位，化简113i12i+-的结果为． 11．8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为. 12．已知13a <<，则131a a a +--的最小值是. 13．甲罐中有4个红球、2个白球和2个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．以1A 表示由甲罐取出的球是红球的事件，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则()1P M A =；()P M =． 14．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，且3AB C D =，M ，N 分别为线段DC 和AB 的中点，若AB a u u u r r=，AD b u u u r r =，用a r ，b r 表示MN =u u u u r .若MN BC ⊥u u u u r u u u r，则DAB ∠余弦值的最小值为.15．函数(){}2min 2,,2f x x x x =-+，其中{}min ,,x y z 表示x ，y ，z 中的最小者.若函数22()2()9y f x bf x b =-+-有12个零点，则b 的取值范围是.三、解答题16．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos tan b C c B C +=. (1)求角C ；(2)若4b a =，ABC V 的面积为①求c②求()cos 2A C -.17．已知函数()4tan sin cos ππ23f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求()f x 的定义域与最小正周期；(2)讨论()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.(3)若()065f x =，0π5π,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0sin2x 的值.18．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB DC ，AB AD ⊥，112CD AD AB ===，45PAD ∠=o ，E 是PA 的中点，G 在线段AB 上，且满足CG BD ⊥.(1)求证：//DE 平面PBC ；(2)求平面GPC 与平面PBC 夹角的余弦值.(3)在线段PA 上是否存在点H ，使得GH 与平面PGCAH 的长；若不存在，请说明理由.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，*n ∈N .数列{}n b 满足()()111n n nb n b n n +-+=+，*n ∈N ，且11b =.(1)证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若21n n d a -=数列{}n d 的前n 项和为n M ，对任意的*n ∈N ，都有22n3n n M S a >+，求实数a 的取值范围； (3)记11m m c a -=，{}m c 的前m 项和记为m T，是否存在m ，*N t ∈，使得111m m t T t T t c +-=-+成立？若存在，求出m ，t 的值；若不存在，请说明理由.20．已知函数()2e cos222xf x x x x =+++-.()()2ln 2g x a x x a x =+-+，其中R a ∈.(1)求()f x 在0x =处的切线方程，并判断()f x 零点个数. (2)讨论函数()g x 的单调性；(3)求证：()()ln 21f x x ≥+；。
天津市南开中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试卷
答案第31 页，共22 页
【详解】设{an
-
n}
的公比为
q
，则
q
=
a2 a1
-2 -1
=
11- 2 4 -1
=
3
，
所以 an - n = (a1 -1) × qn-1 = (4 -1) ×3n-1 = 3n ，则 an = n + 3n ，
所以 a4 = 4 + 34 = 85 ，
所以落在区间[4,85] 内的偶数共有 41 个，故t (a4 ) = 41 .
11．在
æ çè
3x2
-
2 x
ö5 ÷ø
的展开式中，
x
的系数是
．
三、双空题
12．已知直线 l : y = kx - 2(k > 0) 与圆 x2 + y2 = 1 相切，且被圆 x2 + ( y + a)2 = 4(a > 0) 截
得的弦长为 2 3 ，则 k = ； a = ．
四、填空题
13．锐角a
(2)求数列{anbn} 的前 n 项和 Sn ；
å (3)若数列{dn} 满足 d1 = 1 ， dn + dn+1 = bn ，记Tn =
n
dk
m ．是否存在整数 ，使得对
b k =1 2k
任意的 n Î N * 都有1 £
mTn
-
dn b2n
<
m 2 成立？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
故选：C. 9．B
【分析】根据三角函数的变换规则求出 g ( x) 的解析式，再根据正弦函数的性质判断
A、C、D，利用诱导公式判断 B.
天津市第一中学2022届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案
天津一中2021-2022高三班级一月考本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟同学务必讲答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。
一、选择题：1.=+2)21(i （ ）i A 223.+ i B 223.- i C 221.-- iD 221.+-2.对任意的实数x ，若][x 表示不超过x 的最大整数，则11<-<-y x 是][][y x =的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件3. 把函数)(sin R x x y ∈=的图象上全部的点向左平移3π个单位长度，再把全部图象上全部点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ）R x x y A ∈-=),32sin(.πRx x y B ∈+=),62sin(.πR x x y C ∈+=),32sin(.π Rx x y D ∈+=),322sin(.π4. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点为F ，离心率为2，若经过F 和)40(，P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （ ）144.22=-y x A 188.22=-y x B 184.22=-y x C148.22=-y x D5. 已知函数)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，且)(x f 的图象关于1=x 对称，当]1,0[∈x 时，12)(-=xx f ,则)2018()2017(f f +的值为 （ ）2.-A 1.-B 0.C 1.D6. 若函数)cos (sin )(x a x e x f x+=在)2,4(ππ上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） ]1,.(-∞A )1,.(-∞B )1.[∞+，C )1.(∞+，D7. 已知函数1)(2+++=x x ae x f x 经过点)2,0(，且与)(x g 的图象关于直线032=--y x 对称，Q P ,分别是函数)(x f ,)(x g 上的动点，则PQ的最小值是（ ）55.A 5.B 552.C 52.D8. 已知函数x e ax x f ln )(+=与x e x x x g ln )(2-=的图象有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ）e a A -<. 1.>a B e a C >. 13.>-<a a D 或二、填空题：9. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 .10. 已知nx )31(+的开放式中含有2x 项的系数是54，则=n . 11. 在极坐标系中，点A 在圆04sin 4cos 22=+--θρθρρ上，则点P的坐标为)10(，，则AP的最小值为 .12. 曲线2x y =与直线x y =所围成的封闭图形的面积为 .13. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，在区间)0,(-∞上单调递减，且0)1(=f ，若实数a 满足)(log )(log 515a f a f ≥，则实数a 的取值范围为 .14. 若关于x 的不等式0<+-a ax xe x的解集为)0)(,(<n n m ，且),(n m 中只有两个整数，则实数a 的取值范围为 .15.已知函数1cos 2cos sin 6)42sin(2)(2+-++-=x x x x x f π，R x ∈（I ）求)(x f 的最小正周期；（II ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值和最小值.16.在锐角ABC ∆中，C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列. （I ）求角B 的值； （II ）若3=a 且b a ≤，求b 的取值范围.17.一对父子参与一个亲子摸奖玩耍，其规章如下：父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球相互独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色状况与他们获得的积分对应如下表： 所取球的状况 三个球均为红色 三个球均不同色 恰有两球为红色 其他状况所获得的积分1809060（I ）求一次摸奖中，所猎取的三个球中恰有两个是红球的概率；（II ）设一次摸奖中，他们所获得的积分为X ，求X 的分布列及均值（数学期望）)(X E . （III ）依据以上规章重复摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率.18. 已知()ax x x x f -+=2ln 2 （I ）当5=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程及()x f 的单调区间（II ）设()()2211,,,y x B y x A 是曲线()x f y =图象上的两个相异的点，若直线AB 的斜率1>k 恒成立，求实数a 的取值范围19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21,43111++==--n n n a S S a （*∈N n 且2≥n ），数列{}n b 满足：4371-=b 且131+=--n b b n n （*∈N n 且2≥n ）（I ）求数列{}n a 的通项公式（II ）求证：数列{}n n a b -为等比数列（III ）求数列{}n b 的前n 项和的最小值20. 已知函数()()()021ln >+++=a a x ax x f（I ）争辩函数()x f 在()∞+，0上的单调性 （I I ）设函数()x f 存在两个极值点，并记作21,x x ，若()()421>+x f x f ，求正数a 的取值范围（III ）求证：当1=a 时，()1111++>+x e x f x （其中e 为自然对数的底数）参考答案： 一. 选择题1. D2.B3.C4.B5.D6.A7.D8.B 二.填空题9. 12+π 10.4 11.1 12.61 13.[]5,1510 ⎥⎦⎤ ⎝⎛， 14.⎪⎭⎫⎢⎣⎡2332,43e e三.解答题15.（I ）()xx x x x f 2cos 2sin 34sin2cos 24cos2sin 2-+⋅-⋅-=ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42sin 22πx 所以()x f 的最小正周期为π=T（II ）由于()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡830π，上是增函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡283ππ，上是减函数，又()20-=f ， 22,2283=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππf f故函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值为22，最小值为2-16. （I ）由于A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列，所以B b A c C a cos 2cos cos =+ 由正弦定理得B B A C C A cos sin 2cos sin cos sin =+ 即()B B B C A cos sin 2sin sin ==+由于21cos ,0sin =∴≠B B又π<<B 0，所以3π=B（II ）3sin sin πbA a =，A b sin 23=∴ 30,π≤<∴≤A b a32π=+C A ,又ABC ∆是锐角三角形，6π>∴A36ππ≤<∴A ,23sin 21≤<∴A 33<≤∴b17. （I ）解：设所取三个球恰有两个是红球为大事A ，则大事A 包含两类基本大事：父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球，其概率为9113122422=⋅C C C C 父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红球其概率为921311241212=⋅C C C C C故()319291=+=A P（II ）解：X 可以取0,60,90,180，取各个值得概率分别为：()1811180132422=⋅==C C C X P , ()9219013241212=⋅==C C C C X P()313132602412122422=⋅+⋅==C C C C C X P , ()187319218110=---==X P故X 的分布为：X 1809060P1819231187X 的均值为：()50187031609290181180=⨯+⨯+⨯+⨯=X E（III ）由二项分布的定义知，三次摸奖中恰好获得60个积分的次数⎪⎭⎫⎝⎛313~，B Y 则()()()2773131322333223=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==+==≥C C Y P Y P Y P18. （I ）当5=a 时，()()()()0212522,>--=-+=x x x x x x x f分别解不等式()0,>x f 与()0,<x f ，可得函数()x f 的单调递增区间为()∞+⎪⎭⎫⎝⎛，，，2210， 单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛221，（II ）()()()[]()[]()()x x f x g x x x x f x x f x x x f x f -=⇒>----⇒>--011211221212在()∞+，0上单调递增 由()0,≥x g 在()∞+，0上恒成立，可得3≤a19. （I ）由2111++=--n n n a S S 得2111+=---n n n a S S ，即211=--n n a a （2≥n 且*∈N n ）则数列{}n a 为以21为公差的等差数列，所以()412121143+=⨯-+=n n a n （II ）由于()2131≥+=--n n b b n n ，所以()()2131311≥++=--n n b a b n n n ，所以()()24121311216131412113131111≥⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-=--++=----n n b n b n n b a b n n n n n ()()24121411211111≥+-=---=-----n n b n b a b n n n n所以()()23111≥-=---n a b a b n n n n01011≠-=-a b所以（III ）所以数列{}n na b -是以10-为首项，31为公比的等比数列（III ）由（II ）得13110-⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=-n n n a b所以11311041213110--⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=n n n n n a b()21131104112131104121---⎪⎭⎫⎝⎛⨯+---⎪⎭⎫⎝⎛⨯-+=-n n n n n n b b ()203120211≥>⎪⎭⎫⎝⎛⨯+=-n n当1=n 时，010431<-=b 当2=n 时，0310452<-=b 当3=n 时，0910473>-=b所以数列{}n b 从第3项起的各项均大于0，故数列{}n b 的前2项之和最小记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则334-10-4510-432=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=T20. （I ）()()()()()222,121211a x x a a x a x a x x f ++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯++= ()⨯当2≥a 时，()()()()012,022,>++-+=∴>a x x a a x x f x ，函数()x f 在()∞+，0上是增函数 当20<<a 时，由()0,=x f 得()022=-+a a x ，计算得出()a a x --=21（负值舍去） ()a a x -=22所以当()2,0x x ∈时，()022<-+a a x ，从而()0,<x f ，函数()x f 在()2,0x 上是减函数；当()+∞∈,2x x 时，()022>-+a a x ，从而()0,>x f ，函数()x f 在()+∞,2x 上是增函数综上，当2≥a 时，函数()x f 在()∞+，0上是增函数；当20<<a 时，函数()x f 在()()a a -20，上是减函数，在()()+∞-,2a a 上是增函数（II ）由（I ）知，当2≥a 时，()0,>x f ，函数()x f 无极值点 要使函数()x f 存在两个极值点，必有20<<a ，切极值点必为()a a x --=21，()a a x -=22又由函数定义域知1->x ，则有()12->--a a 即()12<-a a 化为()012>-a ，所以1≠a所以，函数()x f 存在两个极值点时，正数a 的取值范围是()()2,11,0由()⨯式可以知道，()⎩⎨⎧-=⋅=+202121a a x x x x()()()()a x ax a x a x x f x f +++++++=+22112121ln 21ln()()()22121212121221ln a x x a x x a x x a x x x x +++++++++=()[]()222241ln a a a a a +-+-= ()[]2121ln 2--+-=a a不等式()()421>+x f x f 化为()[]02121ln 2>--+-a a令()()()2,11,01 ∈=-a t a 所以()()1,00,1 -∈t当()0,1-∈t 时，()()()02,0ln ,22ln 2<<--+-=t t t t t g ，所以()0<t g ，不合题意当()1,0∈t 时，()22ln 2-+=t t t g()()012121222,<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=t t t t t g所以()t g 在()1,0上是减函数，所以()()02121ln 21=-+=>g t g ，适合题意，即()2,1∈a综上，若()()421>+x f x f ，此时正数a 的取值范围是()2,1（III ）当1=a 时，()()121ln +++=x x x f不等式()1111++>+x e x f x 可化为()11111ln +>+++x e x x所以要证不等式()1111++>+x e x f x ，即证()11111ln +>+++x e x x ，即证xe x x 11ln >+设()x x x h 1ln +=，则()22,111x x x x x h -=-=在()1,0上，()0,<x h ，()x h 是减函数；在()∞+，1上，()0,>x h ，()x h 是增函数，所以()()11=≥h x h设()x e x 1=ϕ，则()x ϕ是减函数，所以()()10=<ϕϕx所以()()x h x <ϕ，即x e x x 11ln >+所以当1=a 时，不等式()1111++>+x e x f x。
天津市武清区天和城实验中学2024-2025学年高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年天津市武清区天和城实验中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={1,2,3}，B ={x|x 2−2x−2<0}，则A ∩B =( )A. {1}B. {1,2}C. {1,2,3}D. ⌀2.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点P(1,2)，则sinα=( )A. 2 55 B. 55 C. 2 D. 123.将函数f(x)=2sin(2x +π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位得到函数g(x)的图象，则“φ=3π8”是“函数g(x)为偶函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=|a−b |=2，则|a +b |=( )A. 6B. 5C. 2D. 15.△OAB ，点P 在边AB 上，AB =3AP ，设OA =a ,OB =b ，则OP =( )A. 1a +23bB. 2a +13bC. 13a−23bD. 2a−13b6.设a =log 20.3，b =log 120.4，c =0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. c <a <bC. b <c <aD. a <c <b7.在等差数列{a n }中，a 2=4，且a 1，a 3，a 9构成等比数列，则公差d =( )A. 0或2B. 2C. 0D. 0或−28.若函数f(x)=lnx +x 2−ax 在其定义域内单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1)B. (−∞,2 2]C. (−∞,2]D. [1,+∞)9.已知函数f(x)=2ax 3−3x 2+b 在x =1处取得极小值1，则f(x)在区间[−1,2]上的最大值为( )A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市和平区天津一中2024届高三上学期第三次月考数学试题
天津市和平区天津一中2024届高三上学期第三次月考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
(1)求cos B ；
(2)求a ，c 的值；
(3)求()sin B C -的值．
17．如图，^AE 平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ^，1AB AD CF ===，2
AE BC ==
(1)求证：BF //平面
ADE ；(2)求直线
CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(3)求点F 到平面BDE 的距离．
又()10f =，123x x x <<，所以12301x x x <<=<，所以131x x =，所以1231x x x =.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2023届天津市第一中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设全集R U =，集合{}{}22802345A x x x B =--<=∣，，，，，则()U A B =ð（ ） A ．{}2 B ．{}23，C ．{}45，D ．{}345，， 【答案】C【分析】解不等式后由补集与交集的概念求解 【详解】由题意得(2,4)A =-，则(){4,5}U A B ⋂=ð， 故选：C2．已知,a b ∈R ，则“2a b >>”是“22a b ->-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解. 【详解】若2a b >>时，则20,20a b ->->,因此22=2a b b ->--， 若22a b ->-时，比如5,1a b ==，但不满足2a b >>， 因此“2a b >>”是“22a b ->-”的充分不必要条件. 故选：A 3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.【详解】因为2sin ()2xf x x =+，定义域为R 所以2sin()2sin ()()22x xf x f x x x --==-=--++所以()f x 为奇函数，且(0)0f =，排除CD 当()0,x π∈时，sin 0x >，即()0f x >，排除A 故选：B.4．已知函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，则m 的值是（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】先求出函数的定义域，然后根据偶函数的定义取特殊值求解 【详解】函数的定义域为{}0x x ≠，因为函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数， 所以(1)(1)f f -=，所以11111e 1e m m -⎛⎫⎛⎫-+=⨯+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， e 11e 11em m--=+--，所以(e 1)21e m -=-， 得2m =-， 故选：A5．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，且()()11f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则()()20212022f f +的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．0【答案】A【分析】由偶函数可得()()f x f x -=，由()()11f x f x -=+可得对称性，再化简整理可得周期2T =，进而根据性质转换()()20212022f f +到[]0,1x ∈，再代入解析式求解即可.【详解】由题，因为偶函数，所以()()f x f x -=，又()()11f x f x -=+，所以()()()111f x f x f x -+=-=+,即()()2f x f x =+，所以()f x 是周期函数，2T =，故()()()()10202120221021211f f f f +=+=-+-= 故选：A6．已知函数()()||0.542π()2,log 3,log 5,cos 3x f x a f b f c f ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【分析】直接由指数、对数的运算以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】0.52|log 3|log 3223a ===，4|log 5|log 22b ==2π1cos3222c ==a b c >>.故选：B ． 7．已知35a b =且211a b+=，则a 的值为（ ） A ．3log 15 B ．5log 15C ．3log 45D ．5log 45【答案】C【分析】令350a b k ==>，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得45k =，即得.【详解】令350a b k ==>， 则35log ,log a k b k ==，351111log 3,log 5log log k k a k b k ====，又211a b+=， ∴2log 3log 5log 451k k k +==，即45k =， ∴3log 45a =. 故选：C.8．设函数e e ()sin 2x x f x x --=+，不等式()e (ln 1)0xf a x f x x -+++≤对0x >恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．e 1- B ．1C ．e 2-D ．0【答案】D【分析】先由定义证()f x 为奇函数，结合均值不等式可证()1cos 0f x x '≥+≥，得()f x 在R 上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立．令()e ln 1x g x x x x =---，用导数法求()g x 最小值，即有()min a g x ≤.【详解】因为e e ()sin 2x xf x x ---=-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为R 上的奇函数．因为e e ()cos cos 1cos 02x x f x x x x -+'=+≥=+≥，所以()f x 在R 上单调递增．不等式()e (ln 1)0x f a x f x x -+++≤可转化为()(ln 1)e xf x x f x a ++≤-，所以ln 1e x x x x a ++≤-，即e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立． 令()e ln 1x g x x x x =---，则ln ln ()e e ln 1e (ln )1x x x x g x x x x x +=---=-+-， 令()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增；当0x <时，()0h x '<，()h x 在(,0)-∞上单调递减．所以0min ()(0)e 010h x h ==--=，即()0h x ≥，所以()0g x ≥，且当ln 0x x +=时，()g x 取最小值0， 故0a ≤，即实数a 的最大值为0． 故选：D.【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化； 2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.9．已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，讨论可求出2m =-，从而()2122f x x x =-+，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出图象，结合图象求解即可【详解】若0m ≥，则函数()212f x x mx =++在[]0,2上单调递增， 所以()212f x x mx =++的最小值为12，不合题意，则0m <， 要使函数()212f x x mx =++在[]0,2x ∈上的最大值为12． 如果22m-≥，即4m ≤-，则()912222f m =+≤，解得522m -≤≤-，不合题意；若22m -<，即40m -<<，则2912,2211,242m m ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得52,22,m m ⎧-≤≤-⎪⎨⎪≥-⎩即2m =-， 则()2122f x x x =-+． 如图所示，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，只有函数2y ax =的图象开口向上，即0a >．当2y ax =与(2y x =-122x -+）有一个交点时，方程221202ax x x +-+=有一个根，0∆=得1a =，此时函数()()2g x f x ax =-有二个不同的零点，要使函数()g x =()2f x ax -有四个不同的零点，2y ax =与2122y x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有两个交点，则抛物线2y ax =的图象开口要比2y x =的图象开口大，可得1a <， 所以01a <<，即实数a 的取值范围为()0,1． 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出m 的值，然后将问题转化为函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题二、填空题 10．复数i2i=+_________. 【答案】12i 55+【分析】根据复数的除法运算直接求解.【详解】解：()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55-==+++-. 故答案为:12i 55+.11．已知函数()f x 的导函数，满足()()321f x xf x '=+，则()1f 等于_______________.【答案】5-【分析】求导，令1x =，可解得()1f '，进而可得()1f .【详解】由()()321f x xf x '=+，得()()2213f x f x ''=+，令1x =，得()()1213f f ''=+，解得()13f '=-，所以()()()312112315f f '=+=⨯-+=-，故答案为：5-.12．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________. 【答案】320m 20立方米【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【详解】设用水量为x 立方米，水价为y 元，则()3,01236612,1218729(18),18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，整理得到：3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，当012x ≤≤时，036y ≤≤；1218x <≤时，3672y <≤；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米， 令99090x -=，则20x =（立方米）， 故答案为：320m .13．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则23()2f =_______． 【答案】14-【分析】根据题意，分析可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，由此可得231()()22f f =-，结合函数的解析式计算可得答案． 【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-， 则(2)()()f x f x f x +=-=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数， 则23111()(12)()()2222f f f f =-+=-=-， 又由当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则2111()()224f ==，则2311()()224f f =-=-，故答案为：14-．14．已知函数()212-,02=1+1,>02xx f x x x ≤⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪⎩，则不等式()313xf ->的解集为___________.【答案】()1,+∞【分析】分别在条件31>0x -，310x -≤下化简不等式，再求其解，由此可得不等式()31>3x f -的解集.【详解】当310x -≤时，即0x ≤时，()31131=22x x f ---⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式()31>3xf -可化为3112>32x --⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0x ≤且3111>2x --⎛⎫⎪⎝⎭，所以满足条件的x 不存在，即当0x ≤时，不等式无解，当31>0x -时，即>0x 时，()()2131=31+12xxf --，此时不等式()31>3x f -可化为()2131+1>32x-，得31>2x -或31<2x --，解得>1x ， 所以不等式()31>3xf -的解集为()1,+∞，故答案为：()1,+∞.15．已知正数,a b 满足1,a b c +=∈R ，则222312a c bc b abc ab++++的最小值为__________．【答案】2【分析】把1a b +=平方得到2221,0,0a ab b a b ++=>>，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.【详解】解：由1a b +=，得2221,0,0a ab b a b ++=>>， 则222312a c bc b abc ab++++ 222213221a a ab b c c b ab ⎛⎫++=++ ⎪+⎝⎭2214221a b c c b a ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭221221c c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭≥+()226212221c c =++-≥=+， 当且仅当4a bb a =，即2b a =，()226211c c =++，即()2213c +=时取“等号”，所以当212,,133a b c ==时，222312a c bc b abc ab++++的最小值为2．故答案为：2三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.(1)若cos A =cos(2)A C +的值；(2)若c =ABC a ，b 的值.【答案】(1)(2)2a =，3b =或3a =，2b =【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出C ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，即可求出sin 2A 、cos 2A ，最后利用两角和的余弦公式计算可得； （2）由面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可.【详解】(1)解：因为2cos (cos cos )C a B b A c +=， 由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 即2cos sin()2cos sin sin C A B C C C +==， 因为(0,)C π∈，sin 0C >，所以1cos 2C =， 由C 为三角形内角得3C π=；由cos A =，则sin A =所以sin 22sin cos 2A A A ===， 261cos 22cos 121164A A =-=⨯-=-，()cos 2cos 2cos sin 2sin A C A C A C +=-=1142-⨯=(2)解：因为ABC 的面积1sin 2S ab C ==6ab =①， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得227a b ab =+-，则2213a b +=②， 由①②解得2a =，3b =或3a =，2b =17．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD BC ∥，且12AB AD AA ===，BD DC ==(1)求证：BD ∥平面11B CD .(2)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. (3)求二面角111B CD C --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(3)正弦值为1【分析】(1)由四棱柱的性质证明11//BD B D ，根据线面平行判定定理证明BD 平面11B CD ；(2)建立空间直角坐标系，求直线AB 的方向向量和平面11B CD 的法向量利用空间向量求解线面角；(3)求平面11C CD 的法向量，利用向量夹角公式求二面角111B CD C --的夹角的余弦值，再由同角关系求其正弦值.【详解】(1)在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11BB DD ，11BB DD =，故四边形11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ， 所以BD ∥平面11B CD ；(2)因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，因为2AB AD ==，BD =所以222AB AD BD +=，=ABD ADB ∠∠，所以AB AD ⊥，=45ADB ∠，因为AD BC ∥，所以=45DBC ∠，又BD CD ==所以BDC △为等腰直角三角形，所以=4BC ，因为AB ，AD ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()12,0,2B ，()10,2,2D 所以()2,0,0AB =，()1=0,4,2B C -，()11=2,2,0B D - 设平面11B CD 的法向量为(),,n x y z =∴111=0=0n B C n B D ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即42=02+2=0y z x y --⎧⎨⎩，令=1x ，则=1y ，=2z ，∴()1,1,2n =设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ，∴2sin =cos ,==2?6AB n AB nAB n⋅θ⋅所以直线AB 与平面11B CD .(3)平面11B CD 的法向量为()1,1,2n =，因为1AA ⊥平面ABCD ，11//AA DD ，所以1DD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1DD BD ⊥，又B D D C ⊥，1=DD DC D ⋂，1,DD DC ⊂平面11CD C ，所以BD ⊥平面11CD C ，所以BD 为平面11CD C 的法向量，所以平面11CD C 的法向量为()=2,2,0m BD -= ∴cos ,==0m nm n m n⋅，∴sin ,1m n = 所以，二面角111B CD C --的正弦值为1.18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当],(0x ∈-∞时，()93x xm f x -=-． (1)求()f x 在(0,)+∞上的解析式；(2)当[1,2]x ∈时，1()23x x f x a +⋅+…恒成立，求实数a 的取值范围；(3)关于x 的方程1()3160x f x n -++⋅+=在[2,1]--上有两个不相等的实根，求实数n 的取值范围．【答案】(1)()93x xf x =-+(2)15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ (3)227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】(1)根据函数的奇偶性求出m 的值，进而求出函数的解析式即可；(2)利用分离参数法将原不等式转化为932()22x xa g x ⎛⎫⎛⎫≥--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]1,2上恒成立，结合函数的单调性求出()max g x 即可；(3)令[]33,9xt -=∈，将原方程转化为直线13y n =-与函数()16h t t t=+的图象有两个交点．利用数形结合的思想即可求解.【详解】(1)依题意得()010f m =-=，解得1m =， 经检验1m =，符合题意.当()0,x ∈+∞时，(),0x -∈-∞，则()93x xf x -=-，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()93x xf x f x =--=-+，即当()0,x ∈+∞时，()93x xf x =-+；(2)当[]1,2x ∈时，19323xxxx a +-+≤⋅+恒成立，即93222x xa ⎛⎫⎛⎫≥--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．设()93222x xg x ⎛⎫⎛⎫=--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知()g x 在[]1,2上是减函数，()()max 1512g x g ==-，所以152a ≥-，即实数a 的取值范围为15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； (3)方程()13160x f x n -++⋅+=在[]2,1--上有两个不相等的实根， 即函数()()931316x xF x n --=+-⋅+在[]2,1--上有两个零点，令[]33,9xt -=∈，则关于t 的方程()231160t n t +-+=在[]3,9上有两个不相等的实根，由于2161613t n t t t+-==+，则直线13y n =-与()16h t t t=+的图象有两个交点．如图，因为()16h t t =+在[]3,4上单调递减，在[]4,9上单调递增， 且()48h =，()2533h =，()9799h =，所以258133n <-≤， 解得22793n -≤<-，即实数n 的取值范围为227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．19．设函数()222ln f x ax a x =--，()1eex g x x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． (1)讨论()f x 的单调性； (2)证明：当1x >时，()0g x >；(3)若不等式()()f x g x >在()1,x ∈+∞时恒成立，求a 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 (3)1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求导后分0a ≤与0a >两种情况讨论即可； （2）构造函数()1e-=-x s x x ，求导分析单调性与最值，证明当1x >时，1e x x ->即可；（3）结合（1）（2）讨论()(),f x g x 1的大小关系，构造函数()()()h x f x g x =-，求导放缩判断单调性，进而证明即可. 【详解】(1)()f x 定义域为()0,∞+，()241ax f x x-'=． 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，由()0f x '=，得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． (2)令()1e-=-x s x x ，则()1e 1x s x -=-．当1x >时，()0s x '>，()s x 单调递增，()()10s x s >=， 所以1e x x ->，从而()1110e x g x x -=->． (3)由（2）得，当1x >时，()0g x >．当0a ≤时，1x >时，()()()221ln 0f x a x x g x =--<<，不符合题意．当104a <<1=>，由（1）得，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()()()10f x f g x <=<，不符合题意． 当14a ≥时，令()()()h x f x g x =-，1x >． ()211e 4e x h x ax x x '=-+-2111x x x x >-+-()222111110x x x x x ->-+-=>()h x 在区间()1,+∞上单调递增．又因为()10h =，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立． 综上，1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查了求导分情况讨论函数单调性的问题，证明不等式与恒成立的问题，需要根据题意，结合极值点与区间端点的关系分情况讨论导函数的正负，求得函数的单调性，从而证明不等式的问题.属于难题.20．已知0a >，设函数()(2)ln ,()=-+'f x x a x x f x 是()f x 的导函数． (1)若2a =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点()1212,x x x x <， ①求实数a 范围； ②证明：()221(e)(2e)(3)12e---'<-x f x a a a x ．注，其中e 2.71828=⋅⋅⋅⋅⋅⋅是自然对数的底数． 【答案】(1)y x =(2)①>a【分析】(1)把1x =代入原函数与导函数得到切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程； (2)①可设()()2ln ln f x xg x x a x x==+-，因为1x >，所以()g x 与()f x 零点相同，可根据()g x 的单调性与极值情况来确定a 的范围；②根据题意，巧设函数，利用放缩构造等思路结合导数，可分别求出22()x f x '与111x -的范围，然后相乘即可，详细过程见解析.【详解】(1)当2a =时，2()2(1)ln ,()2ln 3=-+=-+'f x x x x f x x x，所以(1)1,(1)1f k f '===．根据点斜式可得曲线()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为y x =．(2)①当1x >时，()0f x =等价于20ln +-=xx a x． 设()2ln =+-x g x x a x ，则22ln 1(ln 1)(2ln 1)()2ln ln '-+-=+=x x x g x x x．当1x <<()0,()g x g x '<单调递减；当x >()0,()'>g x g x 单调递增； 所以，当1x >时，min [()]==g x g a ， 因为()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点12,x x ，所以min [()]0<g x，解得>a当>a1=∈-a ax a ，则1ln 11<-=-a a x x a ， 故()221201ln 111-=+->+-=>---a a a a a x a a a g x x a a x a a a ，又202ln 2⎛⎫=> ⎪⎝⎭a a g a ， 所以()f x在区间和2⎫⎪⎭a 上各有一个零点．综上所述：>a②设()()[(3)2](2)ln (2)(2)=--+-=-+---F x f x a x a x a x a x a ， 则2()2ln (2)2ln -=++=+'--x a aF x x a x a x x，它是[1,)+∞上的增函数． 又(1)0F '=，所以()0F x '≥，于是()F x 在[1,)+∞上递增．所以()(1)0F x F ≥=，即(2)ln (3)2-+≥-+-x a x x a x a ，当1x =时取等号． 因为11x >，所以()110(3)2=>-+-f x a x a ，解得11031<<--a x ．(1) 因为()2ln 3=-'+af x x x，所以()222222ln 3-'=+x f x x x a x ， 结合()()22222ln 0=-+=f x x a x x 知()()2222222222232222-=-+=---+-'-a x ax f x a x a x x a a x ．处理1：设函数()ln xh x x =，则2ln 1()ln -='x h x x， 所以当0x e <<时，()0,()h x h x '<递减，当x e >时，()0,()h x h x '>递增，所以()()ln =≥=xh x h e e x，所以2222ln -=≥x a x e x ．处理2：因为ln 1≤-x x ，所以ln 1⎛⎫≤- ⎪⎝⎭x xe e，即ln x x e ≤，当x e =时取等号，所以ln 022222-----⎛⎫=-+>-⋅+= ⎪⎝⎭a e a e a e a e a e f e e e ． 由①可知，()f x 在[)2,x +∞上单调递增，且()20f x =，所以22-≤a ex ，即22-≥a x e ． 因为22()2=--+a a g x t t 在[,)e ∞+上是减函数，且22-≥a x e ，且()()2222()(2)22()22--=-≤=--+='a a a e a e x f x g a x g e e e e．综上可知：()221()(2)(3) 12--'-<-x f x a e a e ax e．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
天津市耀华中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷
天津市耀华中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{1，3，5}，B ＝{2，4}，则( ) A ．U ＝A ∪B B ．U ＝(∁U A)∪BC ．U ＝A ∪(∁U B)D ．U ＝(∁U A)∪(∁U B)2．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()1ln(1)f x x x =-+，则y =f x 的图象大致为( )．A ．B ．C ．D ．4．若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为() A ．1 B ．2 C ．4 D ．85．函数()()sin cos sin cos y x x x x =+-是A ．奇函数且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．奇函数且在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．偶函数且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调减增D ．偶函数且在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增6．在等差数列{}n a 中，10a =，公差0d ≠，若129m a a a a =+++L ，则m 的值为A ．37B ．36C ．20D ．197．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,,n x x x ⋯，最小数为{}12min ,,,n x x x ⋯，则{}{}2max min 116x x x x +-+-+=，，A ．34B ．1C ．3D ．72 8．已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在1212,,x x R x x ∈≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a <-或2a >B ．2a >C ．22a -<<D ．2a < 9．已知函数()()()*1ln ,N 1x k f x g x k x x+==∈-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()f c f a g b ==，则k 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题10．已知方程2cos 4sin 0x x a +-=有解，则a 的范围是.11．已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值为．12．已知11sin sin ,cos cos 22αβαβ-=--=，且,αβ均为锐角，则()tan αβ-的值等于 13．函数ln |1|y x =-的图象与函数2cos ,(24)y x x π=--≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于.14．将sin2y x =的图象向右平移ϕ单位（0ϕ>），使得平移后的图象仍过点π(3，则ϕ的最小值为．15．已知数列{}n a 满足：1211,2a a ==，且()2*121n n n n a a n a a +++=∈+N ，则数列{}n a 的通项公式是三、解答题16．在ABC V 中，角 A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且角 A B C ，，成等差数列. （Ⅰ）若3b a ==，求边 c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求 t 的最大值.17．已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<，其图象经过点π1,32M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π．(1)求()f x 的解析式；(2)在ABC V 中，()()3513,,513a f A f B ===，求ABC V 的面积．18．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB =2，AA 1=D 是AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，且CO ⊥平面ABB 1A 1．（1）证明：BC ⊥AB 1；（2）若OC =OA ，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）记()()3210nn n n c a λλ=-⋅-≠，是否存在实数λ使得对任意的*n N ∈，恒有1n n c c +>？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．20．已知a 为实数，函数()2ln 4f x a x x x =⋅+-． (1)是否存在实数a ，使得()f x 在1x =处取极值？证明你的结论；(2)若函数()f x 在[]2,3上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；(3)设()212ln 5a g x a x x x x+=+--，若存在[]01,e x ∈，使得()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围．。
2024-2025学年天津市天津一中高三(上)统练数学试卷(一)(含答案)
2024-2025学年天津一中高三（上）统练数学试卷（一）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0”的否定是( )A. ∃x 0∈R ，x 20−3x 0+5≤0B. ∃x 0∈R ，x 20−3x 0+5>0C. ∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0D. ∀x 0∈R ，x 20−3x 0+5>02.已知集合A ={x ∈R|12<2x <8}，B ={x ∈R|−1<x <m +1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A. m ≥2B. m ≤2C. m >2D. −2<m <23.已知a =log 23，b =log 34，c =log 45，则有( )A. a >b >cB. a <b <cC. b >c >aD. b >a >c 4.函数f(x)=sinx |x|的图象大致是( )A. B.C. D.5.若f(x)=x 3+ax 2+bx−a 2−7a 在x =1处取得极大值10，则b a 的值为( )A. −32或−12B. −32或12C. −32D. −126.如图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，下列说法正确的是( )A. 平均数为74B. 众数为60或70C. 中位数为75D. 该校数学月考成绩80以上的学生约占25%7.已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是( )A. y =sin(e x +e −x )B. y =sin(e x −e −x )C. y =cos(e x −e −x )D. y =cos(e x +e −x )8.已知a ，b ，c 为正实数，则代数式a b +3c +b 8c +4a +9c 3a +2b 的最小值为( )A. 4748B. 1C. 3536D. 349.设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f(x +4)=f(x)，且当x ∈[−2,0]时，f(x)=(13)x−6，若在区间(−2,6]内关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0(a >1)恰有3个不同的实数根，求实数a 的取值范围是( )A. (1,2)B. (2,+∞)C. (1,34)D. (34,2)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市第一中学2023-2024学年高三第四次月考数学试卷(解析版)
天津一中2023—2024-2高三年级第四次月考数学试卷本试卷总分150分，考试用时120分钟．考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，所以，又由，所以.故选：C.2. 将收集到的天津一中2021年高考数学成绩绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A. B. 高三年级取得130分以上的学生约占总数的65%C. 高三年级的平均分约为133.2D. 高三年级成绩的中位数约为125【答案】D 【解析】【分析】对于A ，由各个矩形面积之和为1即可列式求解；对于B ，求最右边两个矩形面积之和即可验算；对于C ，D 分别由平均数计算公式、中位数计算方法即可判断.{}{}2|3100,33A x x x B x x =--<=-≤≤A B = (2,3]-[)3,5-{1,0,1,2,3}-{3,2,1,0,1,2,3,4}---{}1,0,1,2,3,4A =-23100x x --<25x -<<{}1,0,1,2,3,4A =-{}33B x x =-≤≤{}1,0,1,2,3A B ⋂=-0.028a =【详解】对于A ，，故A 正确；对于B ，高三年级取得130分以上的学生约占总数的，故B 正确；对于C ，高三年级的平均分约为，故C 正确；对于D ，设高三年级成绩的中位数为，由于，所以，故D 不正确.故选；D.3. 已知，条件，条件，则是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合绝对值的性质，根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.【详解】因为，所以由得，故由能推出；反之，当时，满足，但是；所以是的充分不必要条件.故选：A .4. 函数的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】.()1100.0010.0090.0250.037100.028a =-⨯+++÷=⎡⎤⎣⎦()0.0280.03710100%65%+⨯⨯=()1050.0011150.0091250.0251450.0281350.03710133.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=x 0.010.090.250.350.500.350.370.72++=<<+=130140x <<0a >:p a b >2:q a ab >p q 0a >a b >2a ab ab >≥:p a b >2:q a ab >10,2a b =>=-212a ab =>=-122a =<-=p q ()21cos 31x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭【分析】根据函数奇偶性即可排除CD ，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】，则的定义域为R ，又，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD ，当时，，故排除A .故选：B.5. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解.【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增，所以，即.故选：B.6. 多项式展开式中的系数为（ ）A. 985B. 750C. 940D. 680【答案】A 【解析】分析】由二项式定理即可列式运算，进而即可得解.【详解】多项式展开式中的系数为.故选：A.7. 已知斜三棱柱中，为四边形对角线的交点，设三棱柱的体积【2()(1)cos 31xf x x =-⋅+()f x ()()()22321cos 1cos 1cos 313131x x x xf x x x x f x -⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=-⋅=-+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x πx =()ππ22π1cos π103131f ⎛⎫-=< ⎪++⎝⎭=-+()f x R ()f x [0,)+∞12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c <<b<c<ac<a<bb a c<<()f x R ()f x [0,)+∞()()1211ln 2ln 1e 22b f f f c f ff a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<==<<== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b<c<a ()52(71)52x x++2x ()52(71)52x x++2x 32350555C 712C 7159805985⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=111ABC A B C -O 11ACC A 111ABC A B C -为，四棱锥的体积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】如图，延长，连接，则、，进而得，即可求解.【详解】如图，延长，连接，则，所以，又O 为的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，则，所以，即故选：A8. 已知函数（为常数，且）的一个最大值点为，则关于函数的性质，下列说法错误的有（ ）个.1V 11O BCC B -2V 21:V V =1:31:41:62:31OA 11,,OB OB A B 111123A BCC B V -=11122A BCC B V V -=12223V V =1OA 11,,OB OB A B 11111111,3A ABC A BCCB A ABC V V V V V ---=+=111123A BCCB V -=1AC 1A 11BCC B O 11BCC B 11111222A BCC B O BCC B V V V --==12223V V =2113V V =()sin cos f x a x b x =+,a b 0,0a b >>π3x =()sin 2cos 2g x a x b x =+①的最小正周期为；②的一个最大值点为；③在上单调递增；④的图像关于中心对称．A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，求的关系，再根据辅助角公式化简函数，再利用代入的方法，判断函数的性质.【详解】函数，，平方后整理为，所以，，函数的最小正周期为，故①正确；当时，，此时函数取得最大值，故②正确；当时，，位于单调递增区间，故③正确；，故④错误，所以错误的只有1个.故选：B9. 已知双曲线的左焦点为，过作渐近线的垂线，垂足为，且与抛物线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】()g x π()g x π6()g x 2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭()gx 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭,a b ()g x ()sin cos f x a x b x =+12b +=()20a =a π()sin 2cos 22sin 26g x x b x b x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0b >()g x 2ππ2=π6x =πππ2662⨯+=()g x 2π,π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π3π13π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭77ππ4π2sin 22sin 0121263g b b π⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221(0,0)x y a b a b-=>>1(,0)F c -1F P 212y cx =M 13PM F P =【分析】首先利用等面积法求出点坐标，再根据，求出坐标，再将坐标带入抛物线化简即可求解出双曲线离心率.【详解】据题意，不妨取双曲线的渐近线方程为，此时，，∴，且是直角三角形，设，则，，代入中，得，即；设,则，，由，则，，∴，则；又在抛物线上，，即，化简得，分子分母同时除以，，且，，.故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知，且满足（其中为虚数单位），则_________．【答案】2【解析】【分析】根据复数相等得到关于的方程组，解该方程组即可.【详解】由题意，可得，P 13PM F P =M M 212y cx =by x a=-1F P b =1OF c =OP a =1OPF (,)p p P x y 11122OPF p S ab cy== p aby c ∴=b y xa =-2p a x c =-2(,a ab P c c-(,)M xy 2,a ab PM x y c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 221,,a ab b ab F P c cc c c ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13PM F P = 223a b x c c+=⋅3ab ab y c c -=⋅2234,b a ab x y c c -==2234(,)b a abM c c -M 212y cx =22243()12ab b a cc c-∴=()()()2222222222221612316123a b b aca c a c a a c ⎡⎤=-⇔-=--⎣⎦422491640c a c a -+=4a 4291640e e ∴-+=1e >2e ∴===e ∴=,R a b ∈(12i)(i)3i a b ++=-i 22a b +=,a b (12i)(i)3i a b ++=-(2)(2)i 3i a b a b -++=-所以，解得，所以.故答案为：211. 著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n 个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将个不同元素全错位排列的总数记为，则数列满足，．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有_________种【答案】【解析】【分析】根据数列递推公式求出项，再结合分步计数原理求解.【详解】第一步，先选出两位同学位置不变，则有种，第二步，剩下5名同学都不在原位，则有种，由数列满足，，则，，，则不同的做法有种.故答案为：.12. 已知在处的切线与圆相切，则_________．【答案】或【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解.【详解】由函数，可得，则且，所以函数在处的切线方程为，即，又由圆，可得圆心，半径为，2321a b a b -=⎧⎨+=-⎩1575a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222a b +=n n a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥9242776C 2121⨯==⨯5a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥()()321312a a a =-+=()()432419a a a =-+=()()5435144a a a =-+=2144924⨯=9242()ln f x x x =-1x =22:()4C x a y -+==a -0x y -=2()ln f x x x =-1()2f x x x=-'(1)1f '=(1)1f =()f x 1x =11y x -=-0x y -=22:()4C x a y -+=(,0)C a 2r =因为与圆，解得.故答案为：.13. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为______，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为______.【答案】 ①. ##②. 【解析】【分析】根据全概率公式求解概率，根据二项分布列的期望公式求解即可.【详解】设事件“小伟同学任意抽取一道题目作答，答对题目”，则.由题意小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答，则答对题目的概率为，根据二项式分布知，所以，即的数学期望为.故答案为：，14. 在中，设，，其夹角设为，平面上点满足，，交于点，则用表示为_________．若，则的最小值为_________．【答案】 ①. ②.【解析】【分析】由和三点共线，得到和，得出方程组，求得的值，得到，再由，化简得到，得出，结合基本不等式，即可求解.0x y -=C 2a =±±20%50%30%0.20.60.7X 0.5511201A =()0.20.20.50.60.30.70.55P A =⨯+⨯+⨯=0.2()5,0.2X B ~()50.21E X =⨯=X 10.551ABC ,AB a AC b ==u u u r r u u u r r θ,D E 2AD AB = 3AE AC =,BE DC O AO ,a b65AO DE DC BE ⋅=⋅ cos θ4355AO a b =+ ,,D O C ,,B O E 2(1)AO ta t b =+- ()33AO ua u b =+-2133t ut u =⎧⎨-=-⎩,t u 4355AO a b =+ 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 2248209a b a b ⋅=+ 22209cos 48a b a bθ+=【详解】因为三点共线，则存在实数使得，又因为三点共线，则存在实数使得，可得，解得，所以，由，因为，可得，整理得，可得，所以又因为所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以.故答案为：15. 设函数，若函数与直线有两个不同的公共点，则的取值范围是______.【答案】或或【解析】【分析】对于，当可直接去绝对值求解，当时，分和,,D O C t (1)2(1)AO t AD t AC ta t b =+-=+-,,B O E u ()()133AO u AB u AE ua u b =+-=+-2133t u t u =⎧⎨-=-⎩24,55t u ==4355AO a b =+ 32,2,3DE AE AD b a DC AC AD b a BE AE AB b a =-=-=-=-=-=- 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 436()(32)(2)(3)555a b b a b a b a +⋅-=-⋅-2248209a b a b ⋅=+ 2248cos 209a b a b θ=+ 22209cos 48a b a bθ+=22209a b+≥ 22209cos 48a b a b θ+=≥ 22209a b = 3b cos θ4355AO a b =+ 22()21f x x ax ax =-++()y f x =y ax =a 2a <-21a -<<-2a >221y x ax =-+0∆≤0∆>a <-a >论，通过和图像交点情况来求解.详解】由已知，即，则必过点，必过，对于，当时，，此时恒成立，所以，令，即，要有两个不同的公共点，则，解得或或，当时，或当时，和图象如下：此时夹在其两零点之间的部分为，令，得无解，则有两个根有两个根，即有两个解，，符合要求；当和图象如下：【221y x ax =-+()1y ax x =-22()21f x x ax ax ax =-++=()2211x ax ax x -+=-()1y ax x =-()()0,0,1,0221y x ax =-+()0,1221y x ax =-+280a ∆=-≤a -≤≤2210x ax -+≥()222()2121f x x ax ax a x ax =-++=+-+()221a x ax ax +-+=()22210a x ax +-+=()21Δ442020a a a ⎧=-+>⎨+≠⎩2a -≤<-21a -<<-2a <≤280a ∆=->a <-a >a <-221y x ax =-+()1y ax x =-221y x ax =-+-2221x ax ax ax -+-=-+()221a x -=()2211x ax ax x -+=-()2211x ax ax x ⇔-+=-()22210a x ax +-+=()2Δ4420a a =-+>a <-a >221y x ax =-+()1y ax x =-或令，根据韦达定理可得其两根均为正数，对于①，则，解得，对于②，则，解得，综上所述，的取值范围是或或.【点睛】方法点睛：对于方程的根或者函数零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题，图象直观方便，对解题可以带来很大的方便.三、解答题（本大发共5小题，共75分）16. 已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理求关系，再利用余弦定理求出，再利用两角和的正弦定理计算即可；（2）利用三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】2210x ax -+=011⎧<<⎪⎪>3a >011⎧<<⎪⎪<3a <<a 2a <-21a -<<-2a >ABC sin cos sin 22C CB =2223a c b -=πsin 3B ⎛⎫+⎪⎝⎭1b =ABC ,,a b c cos B因为，所以，由正弦定理得，所以，即，所以，在中，，所以【小问2详解】由（1）得当时，，所以17. 已知四棱台，下底面为正方形，，，侧棱平面，且为CD 中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）求到平面的距离．【答案】（1）证明见详解 （2）sincos sin 22C CB =sin 2sinC B =2c b =2222223347b a b c b b +=+===a 222cos 2a cb B ac +-===ABC sin B ==π11sin sin 322B B B ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭1b =2a c ==122ABC S =´´=1111ABCD A B C D -ABCD 2AB =111A B =1AA ⊥ABCD 12,AA E =1//A E 11BCC B 11ABC D 11BCC B E 11ABC D 15（3【解析】【分析】（1）直接使用线面平行的判定定理即可证明；（2）构造空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，再计算两个法向量的夹角余弦值的绝对值即可；（3）使用等体积法，从两个不同的方面计算四面体的体积即可求出距离.【小问1详解】由于，，故，而，故四边形是平行四边形，所以，而在平面内，不在平面内，所以平面；【小问2详解】如上图所示，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面与平面的法向量分别是和，则有和，1EAD B 11∥A B AB CE AB ∥11CEA B 1111122CE CD AB A B ====11CEA B 11A E B C ∥1B C 11BCC B 1A E 11BCC B 1//A E 11BCC B 1A 11111,,A A A D A B,,x y z ()2,0,0A ()10,1,0D ()2,0,2B ()10,0,1B ()10,1,1C ()()()()11110,0,2,2,1,0,2,0,1,0,1,0AB AD BB B C ==-=--=11ABC D 11BCC B ()1,,n p q r = ()2,,n u v w =11100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 212110n BB n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，，从而，，.故我们可取，，而，故平面与平面所成角的余弦值是.【小问3详解】设到平面的距离为，由于，而，所以.所以到平面18. 已知椭圆的左右顶点为A ，B ，上顶点与两焦点构成等边三角形，右焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）过作斜率为的直线与椭圆交于点，过作l 的平行线与椭圆交于P ，Q 两点，与线段BM 交于点，若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据上顶点与两焦点构成等边三角形求出即可；（2）设出直线方程，利用弦长公式求出求出，，利用点到直线的距离求出点到直线的距离和点到直线的距离，再根据列式计算即可.【小问1详解】2020r p q =⎧⎨-+=⎩200u w v --=⎧⎨=⎩0r v ==2p q =20u w +=()11,2,0n = ()21,0,2n =-11cos ,5n 11ABC D 11BCC B 15E 11ABC D L 111111332E AD B AD B V LS L AD AB L -==⋅⋅⋅= 111142333E AD B B AD E AEB ABCD V V S S --==⋅⋅=⋅= 43=L =E 11ABC D 22221(0)x y a b a b +=>>(1,0)F A (0)k k >l M F N 2AMN BPQ S S =△△k 22143x y +=k =,a b AM PQ N AM B PQ 2AMN BPQ S S =△△由已知在等边三角形中可得，则椭圆的标准方程为为；【小问2详解】设直线的方程为：，联立消去得，则，得，，设直线的方程为：，设，联立，消去得，易知，则，所以，由得，所以直线的方程为，即，联立得，所以点到直线的22,a c b ====22143x y +=l ()2y k x =+()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()2222341616120k x k x k +++-=221612234M k x k --=+226834M k x k-=+226834Mk AM x k -=-=-=+PQ ()1y k x =-()()1122,,,P x y Q x y ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y ()22223484120k x k x k +-+-=0∆>221212228412,3434k k x x x x k k-+==++PQ ==()2212134k k +=+226834M k x k -=+222681223434M k k y k k k ⎛⎫-=⋅+= ⎪++⎝⎭BM ()2221234268234kk y x k k +=---+()324y x k=--()()3241y x k y k x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩222463,4343k k N k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭N AM点到直线，因为，所以，解得.【点睛】方法点睛：直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根的判别式.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．19. 已知数列满足对任意的，均有，且，，数列为等差数列，且满足，．（1）求，的通项公式；（2）设集合，记为集合中的元素个数．①设，求的前项和；②求证：，．【答案】（1），B PQ 2AMN BPQ S S =△△()221211122234k k +=⨯+k =∆0∆>{}n a *N n ∈212n n n a a a ++=12a =24a ={}n b 11b =2105b b a +={}n a {}n b {}*1N n n k n A k a b a +=∈<≤n c n A ()2n n n p b c =+{}n p 2n 2n P *N n ∀∈122121111176n n c c c c -++++< 2n n a =32n b n =-（2）①；②证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式、等比数列的通项公式进行求解即可；（2）①根据不等式的解集特征，结合累和法、等比数列的前项和公式分类讨论求出的表达式，最后根据错位相减法进行求解即可；②运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行运算证明即可.【小问1详解】因为数列满足对任意的，均有，所以数列是等比数列，又因为，，所以等比数列的公比为，因此；设等差数列的公差为，由；【小问2详解】因为，，所以由，因此有，即有，，当时，有于是有当为大于2的奇数时，()2122122n n P n n +=-⋅+-12322,n n k k +*<-≤∈N n n c n {}n a *N n ∈212n n n a a a ++={}n a 12a =24a ={}n a 212a a =1222n n n a -=⨯={}n b d ()210511932313132n b d d d b b n n a ⇒+++=⇒=⇒=+-=+-=2n n a =32n b n =-11,2322,nn n k n a b a k k k *+*+<≤∈⇒<-≤∈N N {}{}{}{}{}123452,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,22A A A A A ===== {}623,24,,43,A =1234561,1,3,5,11,21,c c c c c c ======234512233445562,42,82,162,322,c c c c c c c c c c +=+==+==+==+== 12,n n n c c ++= 2,N n n *≥∈112,n n n c c --+=1112,n n n c c -+--=n ()()()243122431122221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-+-+=+++++，显然也适合，当为大于2的偶数时，，显然也适合.①，，，设，则有，两式相减，得，，；②设，显然，，当时，有，因此，12214211143n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+=-11c =n ()()()244222442222221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=+++++ 122214211143nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=-21c =()()()21,21,N 221,2,Nn n n n n n n k k p b c n n k k **⎧+=-∈⎪=+=⎨-=∈⎪⎩()()212342121321242n n n n n P P P P P P P P P P P P P --=++++++=+++++++ ()()132124212132321221222424222n nn n n n -⎡⎤⎡⎤=⨯++⨯+++-⋅+-+⨯-+⨯-++⋅-⎣⎦⎣⎦()()()123212122232212221234212n n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅+-+-+--⎣⎦ ()()12321212223221222n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ()()234221212223221222nn S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 123212212222222n n n S n -+-=+++++-⋅ ()()2212121222212212n n n S n S n ++-⇒-=-⋅⇒=-⋅+-()2122122n n P n n +=-⋅+-()()11321k k k k c *+=∈+-N ()11332121k k k k c +=≤-+-()4213224k k k --⨯=-4,N k k *≥∈()()344213224042132212kk kkkk k--⨯=->⇒->⨯⇒<-()1133421221k k k k k c +=≤<-+-所以当时，，即，显然当时，有成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键由可以确定从第几项开始放缩，根据数列的通项公式的形式，得到，这样可以进行放缩证明.20. 已知函数．（1）讨论的单调区间；（2）已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；①求证：；②求证：．【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间；（2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证.【小问1详解】，，N k *∈4512321111111111143222k k k c c c c c -⎛⎫+++++<++++++ ⎪⎝⎭ 43123211111111122114312k k k c c c c c --⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒+++++<+++⨯- 312321111171171171322326k k k c c c c c --⎛⎫+++++<+-<+= ⎪⎝⎭ 2k n =122121111176n n c c c c -++++< 171111632=+++()1133421221k k k k k c +=≤<-+-2()24ln f x x ax x =-+()f x [4,6]a ∈()f x ()1212,λλλλ<b ∈R ()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<1212x x λ+>31x x -<∆1212x x λ+>2112x x λ>-()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈2232x x λ+<()()2312123122x x x x x x λλ=++<---1λ2λ220x ax -+=[4,6]a ∈()()222422x ax f x x a x x-+'=-+=0x >其中，，当时，即，此时恒成立，函数在区间单调递增，当时，即或当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，当，得或当时，，时，，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，综上可知，当的单调递增区间是；当的单调递增区间是和，单调递减区间是；【小问2详解】①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，、是方程的两根，有，，又的图象与有三个公共点，故，则，()22tx x ax =-+28a ∆=-0∆≤a -≤≤()0f x '≥()f x ()0,∞+0∆>a <-a >a <-()0f x ¢>()0,∞+()f x ()0,∞+a >()0t x =1x =1x =0x <<x >()0f x ¢>x <<()0f x '<()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭a ≤()f x ()0,∞+a >()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭[4,6]a ∈()f x ()10,λ()2,λ+∞()12,λλ1λ2λ220x ax -+=122λλ=12a λλ+=()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<112230x x x λλ<<<<<1112x λλ->要证，即证，又，且函数在上单调递减，即可证，又，即可证，令，，由，则恒成立，故在上单调递增，即，即恒成立，即得证；②由，则，令，，则，故在上单调递增，即，1212x x λ+>2112x x λ>-1112x λλ->()f x ()12,λλ()()1122f x f x λ<-()()12f x f x b ==()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈()()()()212222422x ax x x f x x a x x xλλ-+--'=-+==()()()()()112211122222x x xx x g x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()1221112222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()222211*********x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()12221111222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()g x '()10,λ()()()()111102g x g f f λλλλ<=--=()()1112f x f x λ<-112230x x x λλ<<<<<2322x λλ-<()()()22x h x f x f λ=--()2,x λ∈+∞()()()()()122221222222x x xx x h x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()2112222222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()221122212222222x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()22112222222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()h x '()2,λ+∞()()()()222202h x h ff λλλλ>=--=即当时，，由，故，又，故，由，，函数在上单调递减，故，即，又由①知，故，又，故.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证，从而借助①中所得，得到.()2,x λ∈+∞()()22x f x f λ>-32x λ>()()3232f x f x λ>-()()32f x f x =()()3222f x f x λ>-2322x λλ-<122x λλ<<()f x ()12,λλ2322x x λ<-2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---2122λλ-==≤=31x x -<2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---。
2023-2024学年天津市耀华中学高三上学期第一次月考数学试题及答案
天津市耀华中学2024届高三年级第一次月考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上.1 已知集合{}220A x x x =+-<，{}lg 1B x x =<，A B = （ ）A. ()2,10-B. ()0,1C. ()2,1-D. (),10-∞2. 设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()3ln xf x x=的部分图象是A. B.C. D.4. 5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：.时间x12345销售量y （千只）0.50.81.01.21.5若x 与y 线性相关，且线性回归方程为 0.24y x a=+，则下列说法不正确的是（ ）A. 由题中数据可知，变量y 与x 正相关，且相关系数1r <B. 线性回归方程 0.24y x a=+中 0.26a =C. 当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量 y 平均增加0.24个单位D. 可以预测6x =时，该商场5G 手机销量约为1.72（千只）5. 已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. a c b<< C. b<c<a D. c<a<b6. 已知4log a a =，则2log a a +=（ ）A 11或238-B. 11或218-C. 12或238-D. 10或218-7. “送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（ ）A.29B.18C.112D.588. 将函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，有下述四个结论：①()π2sin 6g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭②函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增③点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图像的一个对称中心④当ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②③B. ②③C. ①③④D. ②④.9. 已知函数()()()()()()22121,1,11,1,1a x a x x f x a x ax x x ⎧-++-∈-⎪=⎨-++∉-⎪⎩有且只有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),80,1-∞- C. [)0,1 D. (][),80,1-∞- 第Ⅱ卷（非选择题 共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在答题卡上.10. 复数()21i 1iz -=+（i 为虚数单位），则z =______.11.在6的二项展开式中，2x 的系数为___________．12.若2sin sin αβ+=3π2αβ+=，则sin α=________；cos 2β=________.13. 某专业资格考试包含甲､乙､丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为34，乙､丙科目合格的概率均为23，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X ，则(2)P X ==___________；()E X =___________.14. 已知0a >，0b >的最大值为________.15. 设R ω∈，函数()2π2sin ,0,6314,0,22x x f x x x x ωω⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪++<⎪⎩()g x x ω=.若()f x 在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x 与()g x 图象有三个交点，则ω的取值范围是________.三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案卡上.16. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ，满足22cos c b A =+.（1）求角B ；（2）若1cos 4A =，求sin(2)A B +的值；（3）若7c =，sin b A =b 的值.的17. 已知底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//PA DQ ，33PA AD DQ ===，点E 、F 分别为线段PB 、CQ 的中点．（1）求证：//EF 平面PADQ ；（2）求平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面PCQ，若存在求出PM MC 的值，若不存在，说明理由．18. 已知{}n a 为等差数列，6,2,n n n a n b a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．（1）求{}n a 通项公式；（2）证明：当5n >时，n n T S >．19. 如图，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>()F 且斜率为k 的直线交椭圆E 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l ：40x ky +=交椭圆E 于,C D 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：点M 在直线l上；的（3）是否存在实数k ，使得3BDM ACM S S ∆∆=？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.20 已知函数()()1211222x f x x ex x -=--++，()()24cos ln 1g x ax x a x x =-+++，其中a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集；（2）用{}max ,m n 表示m ，n 的最大值，记()()(){}max ,F x f x g x =，讨论函数()F x 的零点个数．.天津市耀华中学2024届高三年级第一次月考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上.1. 已知集合{}220A x x x =+-<，{}lg 1B x x =<，A B = （ ）A. ()2,10-B. ()0,1C. ()2,1-D. (),10-∞【答案】B 【解析】【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合对数函数的单调性、集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为{}()2202,1A x x x =+-<=-，{}()lg 10,10B x x =<=，所以A B = ()0,1，故选：B2. 设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的A. 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<，由31x <⇔1x <..据此可知1122x -<是31x <的充分而不必要条件.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 函数()3ln xf x x =的部分图象是A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0xf x x =>，排除CD ，得到答案.【详解】()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x =-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A【点睛】本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.4. 5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y （千只）0.50.8 1.0 1.2 1.5若x 与y 线性相关，且线性回归方程为 0.24y x a=+，则下列说法不正确的是（ ）A. 由题中数据可知，变量y 与x 正相关，且相关系数1r <B. 线性回归方程 0.24y x a=+中 0.26a =C. 当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量 y 平均增加0.24个单位D. 可以预测6x =时，该商场5G 手机销量约为1.72（千只）【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化判断A 选项；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断B 选项；根据回归方程判断CD 选项.【详解】从数据看y 随x 的增加而增加，故变量y 与x 正相关，由于各增量并不相等，故相关系数1r <，故A 正确；由已知数据得()11234535=++++=，()10.50.8 1.0 1.2 1.515y =++++=，代入ˆˆ0.24yx a =+中得到ˆ130.240.28a =-⨯=，故B 错；根据线性回归方程ˆ0.240.28yx =+可得x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.24个单位，故C 正确.将6x =代入ˆ0.240.28yx =+中得到ˆ0.2460.28 1.72y =⨯+=，故D 正确.故选：ACD.5. 已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c << B. a c b<< C. b<c<a D. c<a<b【答案】A 【解析】【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可【详解】因为0.20.20.21log 0.5log log 2a ==<=，而150.2110.522b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且0.20.51<，所以a b <.又12225log 0.4log log 212c ==>>，所以a b c <<，故选：A.6. 已知4log a a =，则2log a a +=（ ）A. 11或238-B. 11或218-C. 12或238-D. 10或218-【答案】A 【解析】【分析】对4log a a =43log 2a =或32-，讨论43log 2a =或32-时2log a a+的值，即可得出答案.【详解】由4log aa =()(4log 44log log aa=()49249log log4a ==，所以43log 2a =或32-.当43log 2a =时，33242a ===8，所以22log 8log 811a a +=+=；当43log 2a =-时，32148a -==，所以221123log log 888a a +=+=-，综上，a +2log 11a =或238-，故选：A.7. “送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（ ）A.29B.18C.112D.58【答案】A 【解析】【分析】剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的情况整体分为三种情况：丢失的英语书、数学书和语文书，计算出每种情况的概率即可.【详解】设事件A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件k B 表示丢失的一箱为,1,2,3k k =分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得()()()2223554222219999C C C 11382|2C 5C 10C C 9k k k P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯==∑．故选：A8. 将函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，有下述四个结论：①()π2sin 6g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭②函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增③点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图像的一个对称中心④当ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②③ B. ②③C. ①③④D. ②④【答案】B 【解析】【分析】根据图象变换可得()π2sin 3g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质逐项分析判断.【详解】由题意可得：()π2sin 3g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故①错误；因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ,336x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，且sin y x =在ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故②正确；因为4π4ππ2sin 2sin π0333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图像的一个对称中心，故③正确；因为ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π4ππ,336x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦-，所以当π4π33x -=-，即πx =-时，函数()g x 的最大值为()4ππ2sin 3g ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故④错误；故选：B.9. 已知函数()()()()()()22121,1,11,1,1a x a x x f x a x ax x x ⎧-++-∈-⎪=⎨-++∉-⎪⎩有且只有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),80,1-∞- C. [)0,1 D. (][),80,1-∞- 【答案】B【解析】【分析】先求1a =时函数()f x 的零点，再考虑1a ≠时，函数()f x 在(][),11,-∞+∞ 的零点，由此确定函数()f x 在()1,1-上的零点个数，结合二次函数性质求a 的取值范围.【详解】当1a =时，()()[)(]31,1,1,1,0,,1x x f x x x x x ∞∞⎧-∈-⎪=+∈+⎨⎪∈--⎩，所以区间(],1-∞-内的任意实数和13都为函数()f x 的零点，不满足要求；当1a ≠时，若(],1x ∈-∞-，则()()21f x a x ax x =-+-，令()0f x =，可得0x =(舍去)，或=1x -，所以=1x -为函数()f x 的一个零点；若[)1,x ∞∈+，则()()21f x a x ax x =-++，令()0f x =，则()210a x ax x -++=，所以11a x a +=-，若111a a+≥-，即01a ≤<，则函数()f x 在[)1,+∞上有一个零点；若1a >或a<0时，则函数()f x 在[)1,+∞上没有零点；当01a ≤<时，函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有两个零点；当1a >或a<0时，函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有一个零点，因为当01a ≤<时，函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有两个零点；又函数()f x 在R 上有3个零点，所以函数()f x 在()1,1-上有且只有一个零点，即方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上有一个根，由()()()22418a a a a ∆=++-=+，当0a =时，方程()()21210a x a x -++-=的根为1x =(舍去)，故0a =时，方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上没有根，矛盾当01a <<时，0∆>，设()()()[]2121,1,1g x a x a x x =-++-∈-，函数()()()2121g x a x a x =-++-的对称轴为2122a x a+=>-，函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，由方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上有一个根可得()()10,10g g >-<，所以()()()()1210,1210a a a a -++->--+-<，所以01a <<，当1a >时，则函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有一个零点；又函数()f x 在R 上有3个零点，所以函数()f x 在()1,1-上有且只有两个零点，即方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上有两个根，由()()()[]2121,1,1g x a x a x x =-++-∈-可得函数()g x 的图象为开口向上的抛物线，函数()()()2121g x a x a x =-++-的对称轴为222a x a+=-，则()()()224180a a a a ∆=++-=+>，21122a a+-<<-， ()()10,10g g >->，所以4a >，()()()()1210,1210a a a a -++->--+->，满足条件的a 不存在，当a<0时，则函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有一个零点；又函数()f x 在R 上有3个零点，所以函数()f x 在()1,1-上有且只有两个零点，即方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上有两个根，由()()()[]2121,1,1g x a x a x x =-++-∈-可得函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，函数()()()2121g x a x a x =-++-的对称轴为222a x a+=-，则()()()224180a a a a ∆=++-=+>，21122a a +-<<-， ()()10,10g g <-<，所以8a <-，a<0，()()()()1210,1210a a a a -++-<--+-<，所以8a <-，故实数a 的取值范围是()(),80,1-∞- .故选：B【点睛】关键点睛：含绝对值函数的相关问题的解决的关键在于去绝对值，将其转化为不含绝对值的函数，分段函数的性质的研究可以分段研究.第Ⅱ卷（非选择题 共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在答题卡上.10. 复数()21i 1iz -=+（i 为虚数单位），则z =______.【解析】【分析】先利用复数的运算化简复数，再利用模长的公式求解模长.【详解】()()()()()21i 2i 1i 2i i 1i 1i 1i 1i 1i 1i z ----====--=--+++-.所以z ==.11. 在6的二项展开式中，2x 的系数为___________．【答案】38-【解析】【详解】试题分析：因为6263166((1)2r r r r r r r r T C C x ---+==-，所以由32r -=得1r =，因此2x 的系数为1463(1)28C --=-考点：二项式定理【方法点睛】1．求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r ）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项的系数．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．12. 若2sin sin αβ+=3π2αβ+=，则sin α=________；cos 2β=________.【答案】 ①. ②. 35##0.6【解析】【分析】由2sin sin αβ+=3π2αβ+=，可得出2sin cos αα-=，再结合同角平方关系即可求出sin α=，从而算出sin β=3cos 25β=.【详解】 2sin sin αβ+=3π2αβ+=，3π2sin sin()2αα∴+-=2sin cos αα-=，cos 2sin αα∴=-，又22sin cos 1αα+= ，∴(22sin 2sin 1,αα+=解得sin α=∴2sin β+=，解得sin β=，23cos 212sin 5ββ∴=-=.综上，sin α=3cos 25β=.，35.13. 某专业资格考试包含甲､乙､丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为34，乙､丙科目合格的概率均为23，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X ，则(2)P X ==___________；()E X =___________.【答案】①. 49； ②. 2512##1212.【解析】【分析】根据独立事件概率的公式，结合数学期望的公式进行求解即可.【详解】3223223224(2)(1(1(1)4334334339P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=；3221(0)(1)(1(1)43336P X ==-⨯-⨯-=，3223223227(1)(1(1)(1)(1)(1)(143343343336P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，3221(3)4333P X ==⨯⨯=，所以174125()012336369312E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：49；251214. 已知0a >，0b >的最大值为________.【解析】【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】因为0a >，0b >，所以=≤==，当且仅当2a a b=+即a b=等号成立..15. 设Rω∈，函数()2π2sin,0,6314,0,22x xf xx x xωω⎧⎛⎫+≥⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪++<⎪⎩()g x xω=.若()f x在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x与()g x的图象有三个交点，则ω的取值范围是________.【答案】23⎤⎥⎦.【解析】【分析】利用()f x在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增可得1243ω≤≤，函数()f x与()g x的图象有三个交点，可转化为方程23610x xω++=在(),0x∈-∞上有两个不同的实数根可得答案.【详解】当π0,2x⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，πππ,626ωω⎡⎫++⎪⎢⎣⎭x，因为()f x在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()π0ππ2624133π12sin62ω⎧+≤⎪⎪⎪-≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得1243ω≤≤，又函数()f x与()g x图象有三个交点，所以在(),0x∈-∞上函数()f x与()g x的图象有两个交点，即方程231422x x xωω++=在(),0x∈-∞上有两个不同的实数根，即方程23610x xω++=在(),0x∈-∞上有两个不同的实数根，的所以22Δ3612003060102ωωω⎧=->⎪⎪-<⎨⎪⨯+⨯+>⎪⎩，解得ω>当0x ≥时，令()()π2sin 6ωω⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭f xg x x x ，由0x =时，()()10f x g x -=>，当π5π66ω+=x 时，7π3ω=x ，此时，()()7π203-=-<f x g x ，结合图象，所以0x ≥时，函数()f x 与()g x 的图象只有一个交点，综上所述，23ω⎤∈⎥⎦.故答案为：233⎤⎥⎦.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化为方程23610x x ω++=在(),0x ∈-∞上有两个不同的实数根.三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案卡上.16. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，满足22cos c b A =+.（1）求角B ；（2）若1cos 4A =，求sin(2)AB +的值；（3）若7c =，sin b A =b 的值.【答案】（1）6π.（2.（3【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式和两角和的正弦公式化简后可求得B ；（2）由二倍角公式求得sin 2,cos 2A A 后再由两角和的正弦公式可求值；（3）由正弦定理求得a ，再由余弦定理求得b ．【详解】（1）∵22cos c b A =+，由正弦定理得，2sin 2sin cos C A B A=+∴2(sin cos cos sin )2sin cos A B+A B A B A =+，即2sin cos A B A =.∵sin 0A ≠，∴cos B =又0B π<<，∴6B π=（2）由已知得，sin A ==∴sin 22sin cos A A A ==，27cos 22cos 18A A =-=-∴sin(2)sin(2sin 2cos cos 2sin 666A B A A A πππ+++==.（3）由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin b A a B =.由（1）知，6B π=，∴a =由余弦定理得，2222cos 19b a c ac B =+-=.∴b =【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、考查两角和的正弦公式、二倍角公式、诱导公式，同角间的三角函数关系，考查公式较多，解题关键是正确选择应用公式的顺序．在三角形中出现边角关系时，常常用正弦定理进行边角转换．17. 已知底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//PA DQ ，33PA AD DQ ===，点E 、F 分别为线段PB 、CQ 中点．（1）求证：//EF 平面PADQ ；（2）求平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面PCQ，若存在求出PM MC 的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2（3）存在；1PM MC =或15PM MC =【解析】【分析】（1）法一：分别取AB 、CD 的中点G 、H ，连接EG 、GH 、FH ，证明出平面//EGHF 平面ADQP ，利用面面平行的性质可证得结论成立；法二：以点A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；（3）假设存在点M ，使得PM PC λ= ，其中[]0,1λ∈，求出向量AM 的坐标，利用空间向量法可得出关于λ的方程，解之即可.【小问1详解】的证明：法一：分别取AB 、CD 的中点G 、H ，连接EG 、GH 、FH ，由题意可知点E 、F 分别为线段PB 、CQ 的中点．所以//EG PA ，//FH QD ，因为//PA DQ ，所以//EG FH ，所以点E 、G 、H 、F 四点共面，因为G 、H 分别为AB 、CD 的中点，所以//GH AD ，因为AD ⊂平面ADQP ，GH ⊄平面ADQP ，所以//GH 平面ADQP ，又因为//FH QD ，QD ⊂平面ADQP ，FH ⊄平面ADQP ，所以//FH 平面ADQP ，又因为FH GH H = ，FH 、GH Ì平面EGHF ，所以平面//EGHF 平面ADQP ，因为EF ⊂平面EGHF ，所以//EF 平面ADQP ；法二：因为ABCD 为正方形，且PA ⊥平面ABCD ，所以AP 、AB 、AD 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,3P 、()3,3,0C 、()0,3,1Q 、()3,0,0B 、33,0,22E ⎛⎫⎪⎝⎭、31,3,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()0,3,1EF =- ，易知平面PADQ 的一个法向量()1,0,0a = ，所以0a EF ⋅= ，所以E F a ⊥ ，又因为EF ⊄平面ADQP ，所以//EF 平面ADQP ．【小问2详解】解：设平面PCQ 的法向量(),,m x y z = ，()3,3,3PC =- ，()3,0,1CQ =- ，则333030m PC x y z m CQ x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,2,3m = ，所以平面PCQ 的一个法向量为()1,2,3m = ，易知平面CQD 的一个法向量()0,1,0n = ，设平面PCQ 与平面CQD 夹角为θ，则cos cos ,m n m n m n θ⋅=====⋅ ，所以平面PCQ 与平面CQD【小问3详解】解：假设存在点M ，使得()3,3,3PM PC λλλλ==- ，其中[]0,1λ∈，则()()()0,0,33,3,33,3,33AM AP PM λλλλλλ=+=+-=- ，由（2）得平面PCQ 的一个法向量为()1,2,3m = ，由题意可得c os ,AM = ，整理可得212810λλ-+=．即()()21610λλ--=，因为01λ≤≤，解得16λ=或12，所以，15PM MC =或1PM MC=．18. 已知{}n a 为等差数列，6,2,n n na nb a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当5n >时，n n T S >．【答案】（1）23n a n =+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，用1,a d 表示n S 及n T ，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出n S ，n b ，再分奇偶结合分组求和法求出n T ，并与n S 作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出n S ，n b ，再分奇偶借助等差数列前n 项和公式求出n T ，并与n S 作差比较作答.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，而6,21,N 2,2n n n a n k b k a n k*-=-⎧=∈⎨=⎩，则112213316,222,626b a b a a d b a a d =-==+=-=+-，于是41314632441216S a d T a d =+=⎧⎨=+-=⎩，解得15,2a d ==，1(1)23n a a n d n =+-=+，所以数列{}n a 的通项公式是23n a n =+.【小问2详解】方法1：由（1）知，2(523)42n n n S n n ++==+，23,21,N 46,2n n n k b k n n k*-=-⎧=∈⎨+=⎩，当n 为偶数时，12(1)34661n n b b n n n -+=--++=+，213(61)372222n n n T n n ++=⋅=+，当5n >时，22371()(4)(1)0222n n T S n n n n n n -=+-+=->，因此n n T S >，当n 奇数时，22113735(1)(1)[4(1)6]52222n n n T T b n n n n n ++=-=+++-++=+-，当5n >时，22351(5)(4)(2)(5)0222n n T S n n n n n n -=+--+=+->，因此n n T S >，所以当5n >时，n n T S >.方法2：由（1）知，2(523)42n n n S n n ++==+，23,21,N 46,2n n n k b k n n k*-=-⎧=∈⎨+=⎩，当n 为偶数时，21312412(1)3144637()()222222n n n n n n n T b b b b b b n n --+--++=+++++++=⋅+⋅=+ ，当5n >时，22371()(4)(1)0222n n T S n n n n n n -=+-+=->，因此n n T S >，当n 为奇数时，若3n ≥，则为132411231144(1)61()()2222n n n n n n n T b b b b b b --+-++-+-=+++++++=⋅+⋅ 235522n n =+-，显然111T b ==-满足上式，因此当n 为奇数时，235522n T n n =+-，当5n >时，22351(5)(4)(2)(5)0222n n T S n n n n n n -=+--+=+->，因此n n T S >，所以当5n >时，n n T S >.19. 如图，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>()F 且斜率为k 的直线交椭圆E 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l ：40x ky +=交椭圆E 于,C D 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：点M 在直线l 上；（3）是否存在实数k ，使得3BDM ACM S S ∆∆？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）22141x y +=（2）详见解析（3）存在，且k =【解析】【分析】（1）根据离心率和焦点坐标列方程组，解方程组求得,a b 的值，进而求得椭圆E 的方程.（2）写出直线AB 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，求得中点M 的坐标，将坐标代入直线l 的方程，满足方程，由此证得点M 在直线l 上.（3）由（2）知,A B 到l 的距离相等，根据两个三角形面积的关系，得到M 是OC 的中点，设出C 点的坐标，联立直线l 的方程和椭圆的方程，求得C 点的坐标，并由此求得k 的值.【详解】解：(1)解：由c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2a =，1b =所以所求椭圆的标准方程为22141x y +=（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y，(2244y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消x 得，()2222411240k x x k +-+-=，解得12012022x x x y y y ⎧+==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩将()00,M x y 代入到40x ky +=中，满足方程所以点M 在直线l 上.（3）由（2）知,A B 到l 的距离相等，若BDM ∆的面积是ACM ∆面积的3倍，得3DM CM =，有DO CO =，∴M 是OC 的中点，设()33,C x y ，则302y y =，联立224044x ky x y +=⎧⎨+=⎩，解得3y =，=解得218k =，所以k =.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系，考查方程的思想，属于中档题.要证明一个点在某条直线上，那么先求得这个点的坐标，然后将点的坐标代入直线方程，如果方程成立，则这个点在直线上，否则不在这条直线上.20. 已知函数()()1211222x f x x e x x -=--++，()()24cos ln 1g x ax x a x x =-+++，其中a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集；（2）用{}max ,m n 表示m ，n 的最大值，记()()(){}max ,F x f x g x =，讨论函数()F x 的零点个数．【答案】（1）增函数；()1,+∞；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到()()()111x f x x e-'=--，根据导数的方法，即可判定其单调性，进而可求出不等式的解集.（2）1x >时，()0F x >恒成立，当11x -<<时，()0f x <恒成立，故()F x 的零点即为函数()g x 的零点，讨论()g x 在11x -<<的零点个数得到答案.【详解】（1）()()()()111111x x f x x e x x e --'=--+=--，当1x >时，10x ->，110x e -->，∴()0f x ¢>，当1x <时，10x -<，110x e --<，∴()0f x ¢>，当1x =时，()0f x '=，所以当x ∈R 时，()0f x '≥，即()f x 在R 上是增函数；又()10f =，所以()0f x >的解集为()1,+∞．（2））函数()F x 的定义域为(1,)-+∞由（1）得，函数()f x 在x ∈R 单调递增，()10f =当1x >时，()0f x >，又()max{(),()}F x f xg x =，所以1x >时，()0F x >恒成立，即1x >时，()0F x =无零点.当11x -<<时，()0f x <恒成立，所以()F x 零点即为函数()g x 的零点下面讨论函数()g x 在11x -<<的零点个数：1()214sin 1g x ax a x x '=--++，所以21()24cos (11)(1)g x a a x x x ''=---<<+①当0a >时，因为11x -<<，cos (cos1,1)x ∈又函数cos y x =在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，所以π1cos1cos 32>=即当11x -<<时，12cos 0x -<，21()2(12cos )0(1)g x a x x ''=--<+所以()g x '单调递减，由()00g '=得：当10x -<<时()0g x '>，()g x 递增的当01x <<时()0g x '<，()g x 递减当1x →-时ln(1)x +→-∞，()g x ∴→-∞，当0x =时(0)40g a =>又(1)14cos1ln 2g a a =-++，()10f =当1ln 2(1)014cos1g a ->⇒>+时，函数()F x 有1个零点；当1ln 2(1)014cos1g a -=⇒=+时，函数()F x 有2个零点；当1ln 2(1)0014cos1g a -<⇒<<+时，函数()F x 有3个零点；②当0a =时，()ln(1)g x x x =+-，由①得：当10x -<<时，()0g x '>，()g x 递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 递减，所以max ()(0)0g x g ==，(1)ln 210g =-<，所以当0a =时函数()F x 有2个零点③当a<0时，()2()4cos ln(1)g x a x x x x =+-++()24cos 0a x x +<，ln(1)0x x -++≤，即()0g x <成立，由()10f =，所以当a<0时函数()F x 有1个零点综上所述：当1ln 214cos1a ->+或a<0时，函数()F x 有1个零点；当1ln 214cos1a -=+或0a =时，函数()F x 有2个零点；当1ln 2014cos1a -<<+时，函数()F x 有3个零点.【点睛】思路点睛：导数的方法研究函数的零点时，通常需要对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，极值或最值等，有时需要借助数形结合的方法求解.。
天津市第四十一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题
天津市第四十一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}2,4,5A =，{}0,2,4B =，则U A B =I ð（ ） A ．{}2,4 B ．{}2,5 C ．{}5 D ．{}0,2,4,5 2．已知x R ∈，“+13x >”是“24x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：“22,240x x mx m ∀∈-+-=R ”，则p ⌝为（ ）A ．22,240x x mx m ∃∈-+-=RB ．22,240x x mx m ∃∈-+-≠RC ．不存在22,240x x mx m ∈-+-=RD ．22,240x x mx m ∀∈-+-≠R4．函数()4x x x f x e e-=+的大致图象为（ ） A ．B ．C ．D ．5．曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．e 4y x = B ．e 2y x = C ．e e 44y x =+ D ．e 3e 24y x =+ 6．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A ．120B ．60C ．40D ．307．有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A ．0.8B ．0.4C ．0.2D ．0.18．已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间 −∞,0 上递减.若()0.72a f =，()ln 2b f =-，()3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<9．已知x R ∈，函数()322700x x x x x f x e x ⎧---≤=⎨>⎩，若关于x 的不等式()(23)0f x ax x -+≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]2,3-B ．⎡-⎢⎣⎦C ．73⎡-⎢⎣⎦D ．7,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题10．已知i 是虚数单位，化简514i 23i ++的结果为． 11．在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为． 12．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=．13．甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为．14．已知lg(2)lg lg x y x y +=+，则22xy x y y++的最小值为. 15．下列命题正确的是．①对于事件,A B ，若A B ⊆，且()()0.3,0.6P A P B ==，则()1P B A =②若随机变量()22,,(4)0.84N P ξδξ~<=，则(24)0.16P ξ<<=③相关系数r 的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强④在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差三、解答题16．已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数,当0x >时,()23x x f x =-. (1)求()f x 的解析式.(2)若对任意的R t ∈,不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立,求实数k 的取值范围. 17．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m 以上（含9.50m ）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；丙：9.85,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的分布列和数学期望()E X .18．已知函数()()ln t f x x t x=+∈R ． (1)求()f x 的极值；(2)若0t >，求()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的最大值()g t ．19．甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()n ad bc K -=，20．已知函数()ln xf x x a xx e -=+-． (1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．。
2024届天津市静海区一中高三上学期12月月考数学试题及答案
静海一中2023-2024第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（133分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共147分.3分卷面分.知 识 技 能学习能力内容集合简单逻辑函数圆锥曲线立体几何数列基本不等式平面向量三角函数复数关键环节分数10153520205518514第Ⅰ卷 基础题（共131分）一、选择题（每小题5分，共45分）1. 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}2. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（ ）A. B. C. D.4. 设0.32,sin28,ln2a b c === ，则（ ）A. c b a << B. b c a <<C. a b c<< D. b a c<<5. 已知2243x y ==，则3y xxy-的值为（ ）.A. 1B. 0C. 1-D. 26. 若三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，若该三棱雉的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. 18πC. 20πD. 7. 已知函数()sin cos f x x x x =+，则下列说法不正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 的图象可由πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到D. 函数()f x 的图象可由sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到8. 已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B.C.D. 29. 设a R ∈，函数2sin 2,0()474,0x x f x x x a x π<⎧=⎨--≥⎩，若()f x 在区间(),a ∞-+内恰有5个零点，则a 取值范围是（ ）A 7511,2,424⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B. 75,22,42⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. 37511,,2424⎛⎤⎡⎫⋃⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦二、填空题：每小题5分，共30分.10. 已知复数2i2i 1a +-是纯虚数，则实数=a ______.11. 抛物线28y x =，过焦点的弦AB 长为8，则AB 中点M 的横坐标为____.12. 已知圆()22200x ax y a =+->截直线0x y -=所得弦长是，则a 的值为______．13. 设数列 {}n a 的通项公式为()π21cos 2n n a n =-⋅，其前n 项和为n S ，则20S =__________14. 已知0m >，0n >，21m n +=，则()()11m n mn++的最小值为______.15. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形Γ，其中正六边形边长为1，设的.AG xAB y AI =+ ，则x y +=______；P 是平面图形Γ边上的动点，则GE AP ⋅的取值范围是______.三、解答题：（本大题共5小题，共72分）16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .已知sin A C =，150B =︒，ABC 的面.（1）求a 的值；（2）求sin A 的值；（3）求sin 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ABCD ⊥面，M 是棱PD 的中点，且2AB AC PA ===，BC =（I ）求证：CD PAC ⊥面； （Ⅱ）求二面角M AB C --的大小；（Ⅲ）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB，求AN NB 的值．18. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ．已知椭圆的离心率为12，||3AF =．（1）求椭圆的方程；（2）已知P 为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP 交y 轴于点Q ，若四边形OPQA的面积是三角形的BFP 面积的3倍，求直线BP 的方程．19. 已知数列{}{},,n n n a b S 是数列{}n a 的前n 项和，已知对于任意N*n ∈，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，131log b a =，且2465,1,3b b b ++-成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.（2）记211,N n n n n nb d n b b a *++-=∈，求数列{}n d 前n 项和n T .（3）记2,,n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求211n k k k c c +=∑.第Ⅱ卷提高题（共14分）20. 已知函数()()e 11xf x a x =+--，其中a ∈R .（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当1a >时，证明：()cos f x x x a x >-.的静海一中2023-2024第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷命题人：李静 审题人：陈中友考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（133分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共147分.3分卷面分.知 识 技 能学习能力内容集合简单逻辑函数圆锥曲线立体几何数列基本不等式平面向量三角函数复数关键环节分数10153520205518514第Ⅰ卷 基础题（共131分）一、选择题（每小题5分，共45分）1. 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}【答案】B 【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B2. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】由等比数列的通项公式可得，111n n n a a a qq q-=⋅=⋅，.当10a >且01q <<时，则10a q >，且n y q =单调递减，则1n n aa q q=⋅是递减数列，故充分性满足；当1n n a a q q =⋅是递减数列，可得1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩，故必要性不满足；所以“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的充分不必要条件.故选：A3. 函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.【详解】方法一：因为202xx+>-，即()()220x x +⋅-<，所以22x -<<，所以函数()242log 2xf x x x+=-的定义域为()2,2-，关于原点对称，又()()242()log 2xf x x f x x--=-=-+，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B C ,；当()0,2x ∈时，212x x+>-，即42log 02xx +>-，因此()0f x >，故排除A.故选:D.方法二：由方法一，知函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B C ,；又()211log 302f =>，所以排除A.故选：D.4. 设0.32,sin28,ln2a b c === ，则（ ）A. c b a<< B. b c a<<C. a b c <<D. b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.【详解】00.32,si 2n n212i 81s 30a b >=<===2e <<，则1ln 212<<，即112c <<，所以b<c<a .故选：B5. 已知2243x y ==，则3y xxy-的值为（ ）A. 1 B. 0C. 1- D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用指数与对数互化的公式表示出224log 3,log 3x y ==，再利用换底公式和对数的运算性质化简计算.【详解】因为2243x y ==，所以224log 3,log 3x y ==，由换底公式和对数的运算性质可得33333322433131813log 2log 24log 8log 24log log 1log 3log 3243y x xy x y -=-=-=-=-===-.故选：C6. 若三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，若该三棱雉的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. 18πC. 20πD. 【答案】C 【解析】【分析】由题设知三棱锥-P ABC 是相应正六棱柱内的一个三棱锥，由此知该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，求出正六棱柱的外接球半径即可得．【详解】三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥-P ABC ，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R ==，则R =所以该球的表面积为224π4π20πS R ==⋅=．故选：C ．7. 已知函数()sin cos f x x x x =+，则下列说法不正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 的图象可由πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到D. 函数()f x 的图象可由sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到【答案】B 【解析】【分析】首先化简函数()f x ，再根据三角函数的性质，求最小正周期判断A ，整体代入法判断对称中心判断B ，利用函数图象变换法则即可判断CD.【详解】()1πsin cos sin 22sin 223f x x x x x x x ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期2ππ2T ==，故A 正确；当π6x =时，πππ2πsin 2sin 06633f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()f x 一个对称中心，故B 错误；由πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到πsin(23y x =+，故C 正确；将sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到ππsin[2()]sin(2)63y x x =+=+，故D 正确.故选：B的8. 已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B.C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan bF F P a ∠=可得12cos aF F P c ∠==，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-⋅∠，即有2229422aa a c a c c=+-⨯⨯，化简可得223c a =，所以双曲线的离心率==ce a．故选：C ．9. 设a R ∈，函数2sin 2,0()474,0x x f x x x a x π<⎧=⎨-+-≥⎩，若()f x 在区间(),a ∞-+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）A. 7511,2,424⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ B. 75,22,42⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. 37511,,2424⎛⎤⎡⎫⋃⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】解法一：利用排除法，分别令94a =和138a =求解函数的零点进行判断，解法二：分类讨论，分()f x 在区间(),0a -有5个零点且在区间[)0,∞+没有零点，()f x 在区间(),0a -有4个零点且在区间[)0,∞+有1个零点和()f x 在区间(),0a -有3个零点且在区间[)0,∞+有2个零点三种情况求解即可【详解】法一（排除法）：令94a =，则2sin 2,0()42,0x x f x x x x π<⎧=⎨--≥⎩，当0x <时，()f x 在区间9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭有4个零点，当0x ≥时，()020f =-<，Δ240=>，()f x 在区间[)0,∞+有1个零点，综上所述，()f x 在区间(),a ∞-+内有5个零点，符合题意，排除A ､C.令138a =，则2sin 2,0()14,02x x f x x x x π<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，当0x <时，()f x 在区间13,08⎛⎫- ⎪⎝⎭有3个零点，当0x ≥时，()1002f =>，Δ140=>，()f x 在区间[)0,∞+有2个零点，综上所述，()f x 在区间(),a ∞-+内有5个零点，符合题意，排除B ，故选D.法二（分类讨论）：①当()f x 在区间(),0a -有5个零点且在区间[)0,∞+没有零点时，满足0532a ∆<⎧⎪⎨-≤-<-⎪⎩，无解；②当()f x 在区间(),0a -有4个零点且在区间[)0,∞+有1个零点时，满足()000522f a ⎧⎪∆>⎪<⎨⎪⎪-≤-<-⎩，解得522a <≤；③当()f x 在区间(),0a -有3个零点且在区间[)0,∞+有2个零点时，满足()000322f a ⎧⎪∆>⎪≥⎨⎪⎪-≤-<-⎩，解得3724a <≤，综上所述，a 的取值范围是375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，故选：D.二、填空题：每小题5分，共30分.10. 已知复数2i2i 1a +-是纯虚数，则实数=a ______.【答案】1【解析】【分析】由复数的除法运算、纯虚数的概念即可求得参数a .【详解】由题意()()()()()()2i 2i+12241i 41i2i 222i 12i 12i+14155a a a a a a +-++++-===-----，由题意复数2i 2i 1a +-是纯虚数，则2205a-=且4105a +-=，解得1a =.故答案为：1.11. 抛物线28y x =，过焦点的弦AB 长为8，则AB 中点M 的横坐标为____.【答案】2【解析】【分析】利用梯形中位线定理，结合抛物线的定义，先求出弦AB 的中点M 到准线的距离，最后求出弦AB 的中点M 的横坐标.【详解】抛物线28y x =的准线l 的方程为：2x =-，焦点为(2,0)F ,分别过,,A B M ，作,,AC l BD l MH l ⊥⊥⊥，垂足为,,C D H ，在直角梯形ABDC 中，2AC BDMH +=，由抛物线的定义可知：,AC AF BD BF ==，因此有4222AC BDAF BFAB MH ++====，所以点M 的横坐标为422-=.故答案为：2.12. 已知圆()22200x ax y a =+->截直线0x y -=所得弦长是，则a 的值为______．【答案】2【解析】【分析】化圆的方程为标准方程，可得圆心和半径，求得圆心到直线0x y -=的距离d ，代入弦长公式，即可求得答案.【详解】圆()22200x ax y a =+->可变形为：222()x a y a -+=，所以圆心为(,0)a ，半径r a =，所以圆心到直线0x y -=的距离d ，根据弦长公式可得2==，因为0a >，解得2a =.故答案为：213. 设数列 {}n a 的通项公式为()π21cos 2n n a n =-⋅，其前n 项和为n S ，则20S =__________【答案】20【解析】【分析】先由()πcos2n f n =的周期性及函数值特点，分析数列{}n a 的特点1234n n n n a a a a ++++++=()1,5,9,13,16n = ，；再根据这个特点求解即可.【详解】由()πcos 2n f n =可得：周期为2π4π2T ==，()π1cos 02f ==，()2π2cos 12f ==-，()3π3cos 02f ==，()4π4cos 12f ==.因为()π21cos 2n n a n =-⋅，所以123n n n n a a a a ++++++()()()()()()()1π2π3ππ21cos221cos 241cos 261cos 2222n n n n n n n n +++=-⋅++-⋅++-⋅++-⋅4=，()1,5,9,13,16n = ，所以数列{}n a 的前n 项和具有周期为4的周期性，且这样一个周期内的和为 4 ，所以204520S =⨯=故答案为：20.14. 已知0m >，0n >，21m n +=，则()()11m n mn++的最小值为______.【答案】8+8+【解析】【分析】对代数式结合已知等式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为21m n +=，所以()()()()1122262238m n m m n n m n n m n mmnmnm nmn++++++⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为0m >，0n >，所以62n m m n +≥=，当且仅当62n m m n =时取等号，即23n m =-=时，()()11m nmn++有最小值8+，故答案为：8+【点睛】关键点睛：利用等式把代数式()()11m n mn++变形为628n m mn++.15. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形Γ，其中正六边形边长为1，设AG xAB y AI =+ ，则x y +=______；P 是平面图形Γ边上的动点，则GE AP ⋅的取值范围是______.【答案】 ①. 1 ②. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】以I 为原点，建立平面直角坐标系，根据,,G B I 三点共线，得到1x y +=，设(,)P x y ，求得)GE AP x ⋅=+ ，令z x =+，转化为求该直线在y 轴上截距的取值范围，得到目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】以I 为原点，,BG IO 所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为,,G B I 三点共线，且AG xAB y AI =+，所以1x y +=，由正六边形的内角均为120 ，且边长为1，可得31(()22G E A -，设(,)P x y ，可得31),(22GE AP x y ==+ ，则31()22GE AP x y x ⋅=⋅+=+，令z x =，则)y x z =-，当该直线经过点C 时，截距最大，对应的z 最大，此时·GE AP最大值为3，当该直线经过点(G 时，截距最小，对应的z 最小，此时·GE AP的最小值为32-，所以·GE AP 3,32⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1；3[,3]2-.三、解答题：（本大题共5小题，共72分）16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A C =，150B =︒，ABC 的面.（1）求a 的值；（2）求sin A 的值；（3）求sin 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）；（2； （3）1314.【解析】【分析】(1)已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a ；(2)由余弦定理求出b ，再根据正弦定理即可求出sin A ；(3)根据sin A 求出cos A ，再由正弦和角公式、正余弦二倍角公式即可求值.【小问1详解】∵sin A C =，∴由正弦定理得a =，又ABC1sin1502ac ︒=，解得2c =，∴a =；【小问2详解】由余弦定理有2222cos150b a c ac =+-︒，∴b =.由正弦定理sin sin sin a b A A B =⇒==.【小问3详解】∵B ＝150°，∴A ＜90°，∴由sin A得，cos A =，∴sin 22sin cos A A A ==，211cos 22cos 114A A =-=.∴13sin 2sin 2cos cos 2sin 66614A A A πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ABCD ⊥面，M 是棱PD 的中点，且2AB AC PA ===，BC =（I ）求证：CD PAC ⊥面； （Ⅱ）求二面角M AB C --的大小；（Ⅲ）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB，求AN NB 的值．的【答案】（I ）见解析；（Ⅱ）4；（Ⅲ）1．【解析】【分析】【详解】试题分析：(I)，，所以平面PAC ；(II)建立空间直角坐标系，求出两个法向量，平面MAB 的法向量，是平面ABC 的一个法向量，求出二面角；(III)设，平面MAB 的法向量，解得答案．试题解析：证明：(I)连结AC ．因为为在中，，，所以，所以．因为AB //CD ，所以．又因为地面ABCD ，所以．因为，所以平面PAC ．(II)如图建立空间直角坐标系，则．因为M是棱PD的中点，所以．所以，．设为平面MAB的法向量，所以，即，令，则，所以平面MAB的法向量．因为平面ABCD，所以是平面ABC的一个法向量．所以．因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为．(III)因为N是棱AB上一点，所以设，．设直线CN与平面MAB所成角为，因为平面MAB的法向量，所以．解得，即，，所以．18. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ．已知椭圆的离心率为12，||3AF =．（1）求椭圆的方程；（2）已知P 为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP 交y 轴于点Q ，若四边形OPQA 的面积是三角形BFP 面积的3倍，求直线BP 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）2)4y x =-【解析】【分析】（1）根据已知线段长度与离心率，求解出,a c 的值，然后根据222a b c =+求解出b 的值，则椭圆方程可求；（2）根据条件将问题转化为三角形ABQ 与三角形OBP 的面积比，由此得到关于,P Q y y 的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值得P 的坐标，则可求BP 直线方程.【小问1详解】因为，12c e a ==，||3AF =，所以2,3a c a c =+=，所以2,1a c ==，所以b ==所以椭圆方程为22143x y +=；【小问2详解】如图，因为四边形OPQA 与三角形BFP 的面积之比为3:1，所以三角形ABQ 与三角形OPB 的面积比为5:2，所以152122QP AB y OB y ⋅=⋅，所以54Q P y y =，显然直线BP 的斜率不为0，设直线BP 的方程为2x my =+，联立2223412x my x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2234120m y my ++=，所以21234P m y m =-+，2Qy m=-，所以22512434m m m -=-+，解得m =，当m =:2BP x y =+，当m =时，:2BP x y =+，故直线BP的方程为2)y x =-.19. 已知数列{}{},,n n n a b S 是数列{}n a 的前n 项和，已知对于任意N*n ∈，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，131log b a =，且2465,1,3b b b ++-成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.（2）记211,N n n n n nb d n b b a *++-=∈，求数列{}n d 的前n 项和n T.（3）记2,,n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求211n k k k c c +=∑.【答案】（1）3nn a =，21n b n =-（2）1122(21)3n nT n =-+⋅ （3）175402591648n n +-+⋅【解析】【分析】（1）首先根据n a 与n S 的关系得到n a ，再根据等比数列的性质即可得到n b ；（2）利用裂项相消法即可得结果；（3）将分组求和与错位相减法相结合即可得结果.【小问1详解】当1n =时，11323a a =+，解得13a =.当2n ≥时，11323n n a S --=+，所以113233n n nn n a a a a a --=⇒=-，即{}n a 是以首先13a =，公比为3的等比数列，即3nn a =.因为131log 3b ==，2465,1,3b b b ++-成等比数列，所以()()()2426153b b b +=+-，即()()()213115153d d d ++=+++-，解得2d =.所以()12121n b n n =+-=-.【小问2详解】由（1）得2112(2)2(21)(21)3n n nn n n b n d b b a n n ++-+-==-+⋅()()()()122111212132213213n n n n n n n n -⎡⎤+==-⎢⎥-+⋅-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦，则123n nd d d d T +++⋅⋅⋅+=0112231111111111[((()(2133333535373(21)3(21)3n nn n -=-+-+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⋅+⋅0111()213(21)3n n =-⨯+⋅1122(21)3nn =-+⋅【小问3详解】1223221211k k n n n k c c c c c c c c =++=+++∑ ，因为()()()()2121212221221211021332193n n nn n n n n n n c c c c c c c n n -+-+-++=+=-+=-⋅，设()219n n d n =-⋅，前n 项和为n K ，则()121939219n n K n =⨯+⨯++-⨯ ，()()23191939239219n n n K n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，()()()()12118119892992199221919n n n n n K n n -++--=+++--⋅=+⨯--⋅- 1458593232n n n K +-=+⋅.所以211110754025931648n n n k k k c c n K +=+-==+⋅∑第Ⅱ卷提高题（共14分）20. 已知函数()()e 11x f x a x =+--，其中a ∈R .（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当1a >时，证明：()ln cos f x x x a x >-.【答案】（1）30x y -=（2）答案见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()0f '，利用导数几何意义结合点斜式方程即可求出切线方程；（2）求出导函数，按照1a ≥和1a <分类讨论研究函数的单调性即可；（3）把原不等式作差变形得()()e cos 1ln 0,0,x a x x x x x x ∞++--->∈+，结合()cos cos a x x x x +>+，把不等式证明转化为e cos 1ln 0x x x x +-->问题，构造函数，求导，利用函数的单调性求得最值即可证明.【小问1详解】当3a =时，()e 21x x x f =+-，()e 2x f x '=+，所以()00e 23f '=+=，又()00e 10f =-=，由导数几何意义知，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()030y x -=-，即30x y -=.【小问2详解】因为()()e 11x f x a x =+--，所以()e 1x f x a =+-'，当1a ≥时，()e 10xf x a =+->'，函数()f x 在R 上单调递增；当1a <时，由()e 10xf x a =+->'，得()ln 1x a >-，函数()f x 在区间()()ln 1,a ∞-+上单调递增，由()()e 10x f x a =+-<'，得()ln 1x a <-，函数()f x 在区间()(),ln 1a -∞-上单调递减.【小问3详解】要证()ln cos f x x x a x >-，即证()()e 11ln cos ,0,x a x x x a x x ∞+-->-∈+，即证()()e cos 1ln 0,0,xa x x x x x x ∞++--->∈+，设()cos k x x x =+，则()1sin 0k x x ='-≥故()k x 在()0,∞+上单调递增，又()010k =>，所以()1k x >，又因为1a >，所以()cos cos a x x x x +>+，所以()e cos 1ln e cos 1ln x xa x x x x x x x x ++--->+--，①当01x <≤时，因为e cos 10,ln 0x x x x +->≤，所以e cos 1ln 0x x x x +-->；②当1x >时，令()e cos ln 1x g x x x x =+--，则()e ln sin 1xg x x x '=---，设()()h x g x '=，则()1e cos x h x x x=--'，设()1e cos x m x x x =--，的则()21e sin x m x x x=++'，因为1x >，所以()0m x '>，所以()m x 即()h x '在()1,+∞上单调递增，所以()()1e 1cos10h x h >=--'>'，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()1e sin110h x h >=-->，即()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，()()1e cos110g x g >=+->，即e cos 1ln 0x x x x +-->.综上可知，当1a >时，()e cos 1ln e cos 1ln 0x xa x x x x x x x x ++--->+-->，即()ln cos f x x x a x >-.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的常见形式是()()f x g x >，一般可构造“左减右”的函数，即先将不等式()()f x g x >移项，构造函数()()()h x f x g x =-，转化为证不等式()0h x >，进而转化为证明min ()0h x >，因此只需在所给区间内判断()h x '的符号，从而得到函数()h x 的单调性，并求出函数()h x 的最小值即可.。
天津市三十二中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷
天津市三十二中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知复数()i 1i z =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的点的坐标所在象限为（ ） A ．一 B ．二 C ．三 D ．四2．已知角α的终边过点34,77P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α=（ ） A ．45- B ．35 C ．47- D ．373．半径为2，圆心角为2π3的扇形的面积为（ ） A ．2π3B ．4π3C ．8π3D ．316π 4．要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位 5．已知1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为π6，则a b =r （ ）A B ．C D 6．函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，则π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）.A ．B ．C ．D ．1- 7．已知向量()5,6AB =u u u r ，()3,BC m =u u u r ，()1,2AD m =-u u u r ，若A ，C ，D 三点共线，则m =（ ） A ．617 B ．176 C ．617- D ．178-8．若函数())2sin 20f x x x ωωω=->在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有一个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．14,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．设函数()()ππ3sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线2π3x =对称，它的最小正周期是π，则以下四个结论正确的个数有（ ）①()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭②()f x 的一个对称中心是5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭③()f x 在ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 ④将()f x 的图象向右平移π12个单位得到函数3sin2y x =的图象 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个二、填空题10．计算：3i 2i -=+． 11．已知i 1iz =+，则z =. 12．已知平面向量()()()5,1,1,1,1,a b c k ==-=r r r ，若()a b c -⊥r r r ，则k =． 13．若复数z 满足()3443i z i -=+，则z 的虚部为.14．已知在平行四边形ABCD 中，12DE EC =u u u r u u u r ，12BF FC =u u u r u u u r ，记A B a u u u r r =，AD b =u u u r r ，用a r 和b r 表示AE =u u u r ；若2AE =，AF =AC DB ⋅u u u r u u u r 值为.15．在四边形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，2AD =，3CD =，E 为AD 的中点，19BE AC ⋅=-u u u r u u u r ，则cos BAD ∠=；设点P 为线段CD 上的动点，则AP BP ⋅u u u r u u u r 最小值为．三、解答题16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin sin c C b B a A B -=-，b =6c =.(1)求角C 的大小；(2)求sin B 的值；(3)求cos 26B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 17．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且满足()πsin cos 6a A C b A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． (1)求角A ；(2)若a =5b c +=，求ABC V 的面积;(3)若1cos 3B =，求()sin 2B A -的值．18．已知函数()2cos sin f x x x x =-.(1)求()f x 的最小正周期及函数的单调增区间；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值. 19．如图，三棱台111ABC A B C -中，11111,4,2AB AC AB AC A B AC A A ⊥=====，侧棱1A A ⊥平面ABC ，点D 是1CC 的中点.(1)求证：1BB ⊥平面1AB C ；(2)求点1B 到平面ABD 的距离：(3)求平面1AB C 和平面ABD 夹角的余弦值.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//ABCD AB CD ，且2,1CD AB ==，1,,BC PA AB BC N ==⊥为PD 的中点.(1)求证：//AN平面PBC；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；(3)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC，若存在，求出DMDP的值；若不存在，说明理由.。
天津市嘉诚中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷(无答案)
天津市嘉诚中学2025届高三年级第一次月考数学试卷（考试时长：120分钟 总分：150分）第I 卷（选择题共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填写在答题纸上。
1．命题“”的否定是（ ）A ．B ．C ．D ．2．设，向量，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．数缺形时少直观，形缺数时难入微．函数的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．4．由数据可得关于的线性回归方程为，若，则（ ）A ．B ．52C ．56D ．805．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（ ）A ．B ．C ．D ．7．，试用表示3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥()3,0,0x x x ∀∈-∞+<()3,0,0x x x ∀∈-∞+≥3[0,),0x x x ∃∈+∞+<3[0,),0x x x ∃∈+∞+≥x ∈R ()(),1,4,a x b x ==2x =a b ∥()sin 2cos x xf x x=-()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯y x ˆ32yx =+6112ii x==∑61ii y==∑48⋅233,log tan 22a b c ===c b a <<a b c <<b a c<<c a b<<()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()f x ()0ϕϕ>()g x ()g x ()f x y ϕπ12π6π4π322log 3,log 7a b ==,a b ()42log 56A．B ．C ．D ．8．在平行四边形中，E ，F 分别在边上，与相交于点，记，则（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知为偶函数，，则下列结论不正确的是（ ）A ．B ．若的最小正周期为，则C ．若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为D ．若的最小值为2第II 卷（非选择题共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上。
天津市第一百中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷
天津市第一百中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()U A B ⋃=ð（ ）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-2．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则“A B =”是“sin sin A B =”的（ ） A ．充分不必要条件. B ．必要不充分条件. C ．充要条件.D ．既不充分也不必要条件.3．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若π,3,24A a b ===，则sinB =（ ）A B C D 4．已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<5．已知向量,a b r r满足1,22a a b =+=r r r ，且()2b a b -⊥r r r ，则b =r （ ）A ．12B C D ．16．已知825,log 3a b ==，则34a b -=（ ） A ．25 B ．5C ．259D ．537．已知cos cos sin ααα-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1CD ．18．设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x R ∈，其中0ω>，||ϕπ<.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12πϕ=B ．23ω=，12ϕ11π=- C ．13ω=，24ϕ11π=- D ．13ω=，724πϕ= 9．设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．1二、填空题10．已知1sin 5α=，则3πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．11．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是．12．已知πsin sin 3αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．13．已知lg(2)lg lg x y x y +=+，则22xy x y y++的最小值为.14．函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，关于函数()f x 有如下结论:① 函数()y f x =的图象关于点π(,0)6-对称② 函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称 ③ 函数()y f x =在2ππ[,]36--上单调递减 ④ 该图象向右平移π6个单位可得2sin 2y x =的图象以上结论正确的是15． 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u v u u u v.三、解答题16． 在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =. （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17．已知函数22()sin cos cos f x x x x x m =+-+的最大值为3， (1)若()f x 的定义域为[0,]π，求()f x 的单调递增区间；(2)若011()25x f =，0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18．已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ；(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值； (3)求点B 到平面1CB M 的距离．19．已知等比数列 a n 的各项均为正数，5462,,4a a a 成等差数列，且满足2434a a =，等差数列数列 b n 的前n 项和244,6,10n S b b S +==. (1)求数列 a n 和 b n 的通项公式； (2)设{}*252123,,n n n n n n b d a n d b b +++=∈N 的前n 项和n T ，求证：13n T <．(3)设()()n n n n b n c a b n ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和. 20．已知函数()ln 2f x x x =--.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 的单调性；(3)若对任意的()1,x ∈+∞，都有()ln 1x x x k x +>-成立，求整数k 的最大值.。
天津市滨海新区2023-2024学年高三上学期第一次月考试题 数学含解析
2024届高三年级第一次形成性检测数学试卷（答案在最后）一､选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.1.已知全集U =R ，集合{}2,1,0,1,2,3,{32}A B x x =--=∈-<<Z ∣，则集合U A B =ð（）A.{}2,1,0,1-- B.{}3,2- C.{}2,3 D.{}32.有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，70，71，74，则其75%分位数为（）A.68B.69C.70D.713.2a >是函数y x a =-在(],2-∞单调递减的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要4.函数()2ln xf x x=的图像大致为（）A. B.C. D.5.已知随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，若()20.061P ξ>=，则()20P ξ-≤≤等于（）A .0.484B.0.439C.0.878D.0.9396.已知30.53log 5,log 2,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c a b >>B.a b c >>C.c b a>> D.a c b>>7.为研究高中生爱好某项运动是否与性别有关，某校研究性学习小组采取简单随机抽样的方法调查了200名高中生，依据独立性检验，经计算得到27.63K =，参照下表，得到的正确结论是（）P （2K ≥0k ）0.10.050.010.0050.0010k 2.7063.8416.6357.87910.828A.有99%的高中生爱好该项运动B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”8.在,,A B C 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（）A.0.515B.0.05C.0.0495D.0.04859.设函数()f x a b =⋅，其中向量()2cos ,2sin a x x = ，()cos b x x = ，x ∈R ，则下列选项错误的是（）A.直线π6x =是函数()f x 的一条对称轴B.点π,112⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心C.()f x 在区间5ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()f x 图象上所有点的横坐标向左平移π6个单位长度得到的函数是偶函数10.设实数x y ､满足1,0,0x y y x +=>>，则22y xxy+的最小值为（）A.4+B.2+ C.2+ D.4+11.已知函数()()()()311,cos 1a x a x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩有最大值，则实数a 的取值范围为（）A.11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.已知函数()()lg ,03lg 6,36x a x f x x a x ⎧-<≤⎪=⎨--<<⎪⎩（其中a ∈R ），若()f x 的四个零点从小到大依次为1234,,,x x x x ，则41i i x =∑的值是（）A.16B.13C.12D.10二､填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13.i 是虚数单位，计算7i34i+=+__________.14.8(x 的展开式中，4x 的系数为__________．15.ln298e lg5log 4log 3+-⨯=__________.16.小明上学途中共有4个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为13，记某次小明上学途中遇到红灯的次数为ξ，则小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为__________，()E ξ=__________.17.新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x （亿元）与产品收益y （亿元）的数据统计如下表：研发投入x （亿元）12345产品收益y （亿元）3791011用最小二乘法求得y 关于x 的经验回归直线方程是 ˆ 2.9y bx=+，当研发投入20亿元时，相应的产品收益估计值为__________.18.某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为__________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，都是女生参加劳动学习的概率______________．19.设函数()()sin f x A x =+ωϕ（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）．若()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω=______．20.如图，在平行四边形ABCD 中，||3,||2,60AB AD DAB ===︒∠，点,,E F G 分别在边,,AB AD DC上，且1,3AE AB AF FD == ，若G 点为DC 的中点，且满足EG m AB n AD =+，则m n +=________；当G 点在线段DC 上运动时，EG EF ⋅的取值范围为________．三､解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.已知2sin cos 0αα+=.（1）求πtan 4α⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）求()πsin 2sin παα⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值；（3）当α是第四象限角时，求πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.22.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知43,sin sin2a b B A ==.（1）求cos A 的值；（2）若9a =，且a c ≠，求边长c 及ABC 的面积.（3）若π,π2B ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求()sin 2A B -的值.23.已知函数()ln 2f x x ax =-（其中a ∈R ）.（1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.24.已知函数()e xh x =，()cos g x x =.（1）证明：对任意x ∈R ，()1h x x ≥+；（2）若函数()()()()2t x h x ag x a =-+-∈R 在区间[]0,π上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）()g x '是()g x 的导函数，若函数()()()112f x h x xg x x ='+--，证明：()0,x ∀∈+∞，()0f x >.2024届高三年级第一次形成性检测数学试卷一､选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.1.已知全集U =R ，集合{}2,1,0,1,2,3,{32}A B x x =--=∈-<<Z ∣，则集合U A B =ð（）A.{}2,1,0,1-- B.{}3,2- C.{}2,3 D.{}3【答案】C 【解析】【分析】由题意，根据补集的概念和运算可得{Z 3U B x x =∈≤-ð，结合交集的概念和运算即可求解.【详解】由{Z 32}B x x =∈-<<，得{Z 3U B x x =∈≤-ð或2}x ≥，所以{2,3}U A B = ð.故选：C.2.有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，70，71，74，则其75%分位数为（）A.68B.69C.70D.71【答案】C 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】已知数据是按照从小到大的顺序排列，因为75%1075⨯=.，所以75%分位数为第8个数据，即为70.故选：C .3.2a >是函数y x a =-在(],2-∞单调递减的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】A 【解析】【分析】先化简函数,=,x a x ay x a x a x a -+<⎧=-⎨-≥⎩，可得函数y x a =-的单调递减区间为(),a -∞，进而结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】,=,x a x ay x a x a x a -+<⎧=-⎨-≥⎩，显然函数y x a =-的单调递减区间为(),a -∞，所以2a >时，函数y x a =-在(],2-∞单调递减；若函数y x a =-在(],2-∞单调递减，则2a ≥，所以2a >是函数y x a =-在(],2-∞单调递减的充分不必要条件.故选：A.4.函数()2ln xf x x=的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可.【详解】()2ln xf x x=的定义域为{|0,x x ≠且}1x ≠±，因为()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，排除A ，D ，当()0,1x ∈时，()0f x <，B 错误，故选：C.5.已知随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，若()20.061P ξ>=，则()20P ξ-≤≤等于（）A.0.484B.0.439C.0.878D.0.939【答案】B 【解析】【分析】先根据()()()0202P P P ξξξ≤≤=>->求解，再根据正态分布的对称性即可求解.【详解】因为()()()02020.50.0610.439P P P ξξξ≤≤=>->=-=，所以()()20020.439P P ξξ-≤≤=≤≤=.故选：B.6.已知30.53log 5,log 2,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c a b >>B.a b c >>C.c b a >>D.a c b>>【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的单调性和不等式的性质可得322233log 5log (3)<，进而得1a c <<，结合对数的运算性质可得1b =-，即可求解.【详解】由3222255(3)27=<=，得322233log 5log (3)<，即32333log 5log 32<=，又331log 3log 5=<，所以1a c <<.0.512log 2log 21b ===-，所以c a b >>.故选：A.7.为研究高中生爱好某项运动是否与性别有关，某校研究性学习小组采取简单随机抽样的方法调查了200名高中生，依据独立性检验，经计算得到27.63K =，参照下表，得到的正确结论是（）P （2K ≥0k ）0.10.050.010.0050.0010k 2.7063.8416.6357.87910.828A.有99%的高中生爱好该项运动B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】C 【解析】【分析】比较观测值与参照值大小，根据独立检验的基本思想确定结论即可.【详解】由27.63(6.635,7.879)K =∈，即在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”.故选：C8.在,,A B C 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（）A.0.515B.0.05C.0.0495D.0.0485【答案】D 【解析】【分析】考虑患流感的这个人可能来至于哪个地区，结合互斥事件的概率计算可得答案.【详解】由题意得，从这三个地区中任意选取一人，则这个人可能来至于三个地区中患流感的人当中，故这个人患流感的概率为5786%5%4%0.0485578578578P =⨯+⨯+⨯=++++++，故选：D9.设函数()f x a b =⋅ ，其中向量()2cos ,2sin a x x =，()cos b x x = ，x ∈R ，则下列选项错误的是（）A.直线π6x =是函数()f x 的一条对称轴B.点π,112⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心C.()f x 在区间5ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()f x 图象上所有点的横坐标向左平移π6个单位长度得到的函数是偶函数【答案】C 【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用三角函数图象变换可判断D 选项.【详解】由已知可得()2π2cos cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，对于A 选项，因为()max ππ2sin 1362f f x ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以，直线π6x =是函数()f x 的一条对称轴，A 对；对于B 选项，因为π2sin 01112f ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，故点π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心，B 对；对于C 选项，当5ππ123x -≤≤时，2ππ5π2366x -≤+≤，此时，函数()f x 在区间5ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，C 错；对于D 选项，()f x 图象上所有点的横坐标向左平移π6个单位长度得到的函数ππ2sin 212cos 2166y x x ⎡⎤⎛⎫=+++=+ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦的图象，该函数为偶函数，D 对.故选：C.10.设实数x y ､满足1,0,0x y y x +=>>，则22y xxy+的最小值为（）A.4+B.2+ C.2+ D.4+【答案】B 【解析】【分析】由22y x xy+22y x x y =++，结合基本不等式求解即可.【详解】因为1,0,0x y y x +=>>，则()22222222x y y x x x y x xy x y x y x y ++=+=+=++≥+=+，当且仅当2y xx y=，即2x ==时取等，所以22y x xy+的最小值为2+.故选：B .11.已知函数()()()()311,cos 1a x a x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩有最大值，则实数a 的取值范围为（）A.11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】由当1x ≥时，()cos 1f x x =≤，根据1x <时，函数值的范围不超过1列不等式求解即可.【详解】因为当1x ≥时，()cos 1f x x =≤，要使()f x 有最大值，则1x <时，函数值的范围不超过1可得310,311,a a a -≥⎧⎨-+≤⎩解得11,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：A.12.已知函数()()lg ,03lg 6,36x a x f x x a x ⎧-<≤⎪=⎨--<<⎪⎩（其中a ∈R ），若()f x 的四个零点从小到大依次为1234,,,x x x x ，则41i i x =∑的值是（）A.16B.13C.12D.10【答案】C 【解析】【分析】根据零点的定义，通过转化法、数形结合思想进行求解即可.【详解】令()lg ,030lg(6),36x x f x a x x ⎧<≤⎪=⇒=⎨-<<⎪⎩，设()lg ,03lg(6),36x x g x x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，图象如下图所示：所以有123403561x x x x <<<<<<<<，且()()1234lg lg lg 6lg 6x x x x a -==--=-=，因此可得123410,10,610,610a a a a x x x x --===-=-，所以41101061061012a a a a i i x--==++-+-=∑，故选：C二､填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13.i 是虚数单位，计算7i 34i+=+__________.2【解析】【分析】根据复数的乘、除法运算可得7i 1i 34i +=-+，结合复数的几何意义即可求解.【详解】7i (7i)(34i)2525i 1i 34i (34i)(34i)25++--===-++-，7i 1i 234i+=-=+.2.14.83()x x 的展开式中，4x 的系数为__________．【答案】56-【解析】【详解】48831883((1)r r r r r r r T C x C x x --+==-,由4843r -=得3r =,所以4x 的系数为338(1)56.C -=-点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.15.ln298e lg5log 4log 3+-⨯=__________.【答案】83【解析】【分析】由对数的运算性质求解即可.【详解】原式2322322lg lg 5log 2log 3=++-⨯3212lg 2lg 5log 2log 33=++-⨯⨯1182lg103333=+-=-=.故答案为：83.16.小明上学途中共有4个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为13，记某次小明上学途中遇到红灯的次数为ξ，则小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为__________，()E ξ=__________.【答案】①.827②.43【解析】【分析】结合题设有2224218(2)C ()()3327P ξ===，再应用二项分布的期望公式求()E ξ.【详解】由题设，小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为：2224218C ()()3327=，又1(4,)3B ξ ，由二项分布期望的求法可得14()433E ξ=⨯=.故答案为：827；43.17.新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x （亿元）与产品收益y （亿元）的数据统计如下表：研发投入x （亿元）12345产品收益y （亿元）3791011用最小二乘法求得y 关于x 的经验回归直线方程是 ˆ 2.9y bx=+，当研发投入20亿元时，相应的产品收益估计值为__________.【答案】36.9亿元【解析】【分析】将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出b的值，可得出回归直线方程，再将20x =代入回归直线方程，可得结果.【详解】由表格中的数据可得1234535x ++++==，379101185++++==y ，将样本中心点(),x y 代入回归直线方程可得3 2.98b += ，解得 1.7b = ，所以，回归直线方程为 1.7 2.9y x =+，当20x =时， 1.720 2.936.9y =⨯+=（亿元），因此，当研发投入20亿元时，相应的产品收益估计值为36.9亿元.故答案为：36.9亿元.18.某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为__________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，都是女生参加劳动学习的概率______________．【答案】①.815②.19【解析】【分析】设A 表示事件“恰有一名女生参加学习”，B 表示事件“至少有一名女生参加劳动学习”，设C 表示事件“都是女生参加劳动学习”,结合组合数公式和条件概率公式，可分别求得.【详解】设A 表示事件“恰有一名女生参加学习”，B 表示事件“至少有一名女生参加劳动学习”，设C 表示事件“都是女生参加劳动学习”，则114226C C 8(),C 15P A ==11242226C C +C 9()C 15P B ==2226C 1()(),C 15P C P BC ===所以1()115(|),9()915P BC P C B P B ===故答案为：815；19.19.设函数()()sin f x A x =+ωϕ（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）．若()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω=______．【解析】【分析】根据函数()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性可得03ω<≤；再根据π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知其图象的一条对称轴为7π12x =，和其相邻的一个对称中心为π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可求得2ω=.【详解】由函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性可知12πππ226ω⋅≥-，解得03ω<≤；又π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且622πππ2π231ω⋅-=≤，所以函数()f x 关于直线π2π7π23212x +==对称，由ππ26f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得函数()f x 的一个对称中心为0π,π622⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎭+⎝，即其图象关于π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称；所以7π2π12π3124ω-=⨯，解得2ω=.故答案为：220.如图，在平行四边形ABCD 中，||3,||2,60AB AD DAB ===︒∠ ，点,,E F G 分别在边,,AB AD DC 上，且1,3AE AB AF FD == ，若G 点为DC 的中点，且满足EG m AB n AD =+ ，则m n +=________；当G 点在线段DC 上运动时，EG EF ⋅的取值范围为________．【答案】①.76##116②.30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】若G 点为DC 的中点，根据平面向量的加减法的三角形法则表示16EG AB AD =+ ，从而可求解,m n ，进而可求得m n +；当G 点在线段DC 上运动时，设()01DG AB λλ=≤≤ ，利用AB ，AD 表示出EG 和EF ，再表示出EG EF ⋅，根据λ的范围，即可得出结果.【详解】若G 点为DC 的中点，则1132EG EA AD DG AB AD DC =++=-++ 111326AB AD AB AB AD =-++=+ .所以1,16m n ==，则17166m n +=+=；当G 点在线段DC 上运动时，设()01DG AB λλ=≤≤ ， 13EG EA AD DG AB AD AB λ=++=-++ 13AB AD λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，又1132EF EA AF AB AD =+=-+ ，∴111332EG EF AB AD AB AD λ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 22111193222AB AD AB AD λλ⎛⎫⎛⎫=-++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111133323293222222λλλ⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯+-⨯⨯⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又 []0,1λ∈，则3330,222λ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，∴30,2EG EF ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：76；30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦三､解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.已知2sin cos 0αα+=.（1）求πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求()πsin 2sin παα⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值；（3）当α是第四象限角时，求πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）3-（2）2（3）251510【解析】【分析】（1）利用已知条件求出tan α，再结合差角的正切公式，即可求解.（2）利用诱导公式化简式子即可求解.（3）由（1）知，tan α，结合α是第四象限角可求出sin cos αα、的值，再利用和角的余弦公式，即可求解.【小问1详解】若cos 0α=，则sin 1α=±，显然不满足2sin cos 0αα+=，∴cos 0α≠则sin cos 20cos cos αααα+=，∴2tan 10α+=则1tan 2α=-，∴πtan tanπ4tan 3π41tan tan 4ααα-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭+⋅.【小问2详解】由（1）知1tan 2α=-，∴()πsin cos 122sin πsin tan ααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=+-.【小问3详解】由（1）知1tan 2α=-，又∵α是第四象限角，∴22sin 1cos 2sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩解得sin 5cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴πππ2515cos cos cos sin sin 33310ααα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.22.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知43,sin sin2a b B A ==.（1）求cos A 的值；（2）若9a =，且a c ≠，求边长c 及ABC 的面积.（3）若π,π2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()sin 2A B -的值.【答案】（1）2cos 3A =（2）7,ABC c S ∆==（3）27-【解析】【分析】（1）由题意，根据正弦定理和二倍角的正弦公式化简计算即可求解；（2）由（1），根据余弦定理求出c ，利用同角三角函数的关系求出sin A ，结合三角形的面积公式计算即可求解；（3）由（1）（2）和二倍角的正、余弦公式求出cos2B 、sin2B ，结合两角差的正弦公式计算即可求解.【小问1详解】43a b =，由正弦定理得4sin 3sin A B =，则4s 3in sin A B =，由sin sin 2B A =，得4sin 2sin cos 3A A A =，又sin 0A ≠，所以2cos 3A =；【小问2详解】由9a =，得12b =，由（1）知2cos 3A =，又222cos 2b c a A bc+-=，得2222129324c c +-=，即216630c c -+=，由a c ≠解得7c =；又sin 3A ==，所以1sin 2ABC S bc A == ；【小问3详解】由（1）（2）知2cos 3A =，sin 3A =，则sin sin 22sin cos 9B A A A ===，由π,π2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得1cos 9B ==-，所以279cos 22cos 181B B =-=-，sin 22sin cos B B B ==，所以792sin(2)sin cos 2sin 2cos ()()38181327A B A B B A -=-=---⨯=-.23.已知函数()ln 2f x x ax =-（其中a ∈R ）.（1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）10x y ++=（2）答案见解析（3）1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）当1a =时，求出()1f 、()1f '的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）分0a ≤、0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间；（3）由参变量分离法可得ln 2x a x ≥，利用导数求出函数()ln x g x x=的最大值，即可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】解：当1a =时，()ln 2f x x x =-，则()12f x x'=-，所以，()12f =-，()11f '=-，所以，当1a =时，()f x 在1x =处的切线方程为()21y x +=--，即10x y ++=.【小问2详解】解：函数()ln 2f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()1122ax f x a x x-'=-=.当0a ≤时，对任意的0x >，()0f x ¢>，此时函数()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间；当0a >时，由()0f x ¢>可得102x a <<，由()0f x '<可得12x a>，此时，函数()f x 的增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间；当0a >时，函数()f x 的增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问3详解】解：由()ln 20f x x ax =-≤可得ln 2x a x ≥，令()ln x g x x =，其中0x >，则()21ln x g x x-'=，由()0g x '>可得0e x <<，由()0g x '<可得e x >，所以，函数()g x 的增区间为()0,e ，减区间为()e,+∞，所以，()()max 1e eg x g ==，则12a e ≥，解得12e a ≥，因此，实数a 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.24.已知函数()e x h x =，()cos g x x =.（1）证明：对任意x ∈R ，()1h x x ≥+；（2）若函数()()()()2t x h x ag x a =-+-∈R 在区间[]0,π上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）()g x '是()g x 的导函数，若函数()()()112f x h x xg x x ='+--，证明：()0,x ∀∈+∞，()0f x >.【答案】（1）证明见解析（2）3π4a -≥（3）证明见解析【解析】【分析】（1）令()e 1xp x x =--，利用导数证明出()0p x ≥，即可证得结论成立；（2）由题意可知，()e sin 0x t x a x -'=--≤在[]0,π上恒成立，结合参变量分离可求得实数a 的取值范围；（3）先证明出()sin 0x x x <>，然后再证21e 102x x x --->，结合不等式的基本性质可证得原不等式成立.【小问1详解】证明：令()()1e 1x p x h x x x =--=--，其中x ∈R ，则()e 1xp x '=-，由()0p x '<可得0x <，由()0p x '>可得0x >，所以，函数()p x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+，所以，()()00p x p ≥=，故对任意的x ∈R ，()1h x x ≥+.【小问2详解】解：函数()()()2ecos 2x t x h x ag x a x -=-+-=+-在[]0,π上为减函数，故()e sin 0x t x a x -'=--≤在[]0,π上恒成立，因为()010t '=-<，()ππe 0t -'=-<，当0πx <<时，sin 0x >，可得1e sin x a x≥-，令()e sin x m x x =，其中0πx <<，则()()πesin cos sin 4x x m x x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ5π444x <+<，当πππ44x <+<时，即当3π04x <<时，()0m x '>，当π5ππ44x <+<时，即当3ππ4x <<时，()0m x '<，所以，函数()m x 在3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，()3π43π2042m x m ⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，则3π41e sin x x -≥，则3π41e sin x x --≤，所以，3π4a -≥.【小问3详解】证明：()()()111e sin 122x f x h x xg x x x x x =+--=-'--，令()sin q x x x =-，其中0x >，则()1cos 0q x x '=-≥且()q x '不恒为零，所以，函数()q x 在()0,∞+上为增函数，所以，当0x >时，()()00q x q >=，即sin x x <，要证当0x >时，()1e sin 102xf x x x x =--->，先证21e 102x x x --->，令()21e 12x u x x x =---，其中0x >，则()e 10x u x x '=-->，所以，函数()u x 在()0,∞+上为增函数，即()()21e 1002x u x x x u =--->=，所以，()211e sin 1e 1022x x f x x x x x x =--->--->，故原不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
天津市益中学校2025届高三上学期第一次月考数学试卷
天津市益中学校2025届高三上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知集合{}{}{}1,3,5,7,9,11,1,3,9,3,5,9,11U A B ===，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{}3,9 B ．{}5,11 C ．{}1,5,7,11 D ．{}3,5,7,9,11 2．若R x ∈，下列选项中，使“21x <”成立的一个必要不充分条件为（ ） A ．2<<1x - B ．11x -<< C ．02x << D ．10x -<<3．已知命题:p 0x ∀>，总有()1e 1x x +>，则p ⌝为（ ）A ．00x ∃≤，使得()001e 1x x +≤B ．00x ∃>，使得()001e 1x x +≤C ．0x ∀>，总有()1e 1x x +≤D ．0x ∀≤，总有()1e 1x x +≤4．函数ln(2)()1x f x x +=-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．设0.914a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.84b =，4πlog sin 2c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>6．96494log 32log 27log 2log ⋅+⋅=（ ）A ．94B ．2C ．138D ．29247．已知π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．4925-B ．2425-C ．725-D ．7258．已知()4f x x x=+，()338g x x x a =-+-，若对[]11,3x ∀∈，总[]21,3x ∃∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]2,21B ．5,213⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,22D ．[]11,229．已知函数()231,21024,2x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，函数()()()()233g x f x m f x m =-++有6个零点，则非零实数m 的取值范围是（ ）A ．(){}3,024-⋃，B ．()3,24C ．[)2,16D ．[)3,24二、填空题10．已知i 是虚数单位，化简()254i 2i ++的结果为.11．已知a r 与b r 是两个不共线的向量，OA a b =-u u u r r r ，2OB a b =+u u u r r r ，OC a b λμ=+u u u r r r ，若A ，B ，C 三点共线，则2λμ-=．12．已知关于x 的不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则满足条件的实数k 的取值范围为.13．函数2,(0x y a a -=>，且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则14m n+的最小值为． 14．已知函数π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π；②()f x 在ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③把函数sin2y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是． 15．如图，在四边形ABCD 中，=60B ∠︒，4AB =，6BC =，且AD BC λ=u u u r u u u r ，2AD AB ⋅=-u u u r u u u r ，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN =u u u u r ，则DM DN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为．三、解答题16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知5,a b c ===(1)求角C 的大小；(2)求sin A 的值；(3)求πsin(2)6A +的值． 17．已知函数()2sin cos cos f x x x x =+，x ∈R ，(1)求()f x 的最小正周期；(2)函数()f x 最大值；(3)求()f x 的单调增区间.18．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知5a =，11b =，3cos 5C =． (1)求c 的值；(2)求ABC V 的面积；(3)求()sin A C -的值．19．已知函数22()36ln f x x x x c =--其中c 为常数．(1)当0c =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间及极值；(3)若对任意0x >，不等式24()c f x ≥恒成立，求c 的取值范围． 20．已知R a ∈，函数3211()(1)332f x x a x ax =----，()2lng x x x =-. (1)若函数()f x 的减区间是(1,4)-，求a 的值；(2)讨论()f x 的单调性；(3)若方程()0g x b -=在[]1,3上恰有两个不同的解，求实数b 的取值范围.。
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天津市天津高三上学期月考数学（理）试卷第I 卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合),3ln(|{-==x y x A },541|{2xx y x B -+-==则=B A （ ）A ．∅ Ｂ．)4,3( Ｃ．)1,2(- Ｄ．),4(+∞2．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥5231y x x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．阅读右面的程序框图，则输出的S =（ ）A. 14B.20C.30D.554．已知数列}{n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和。
若1322a a a =⋅，且4a 与72a 的等差中项为,45则=5S （ ）A ．35 Ｂ．33 Ｃ．31 Ｄ．295．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=)1(,2)24()1(,)(x x ax a x f x 是实数集上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),1(+∞ Ｂ．)8,4[ Ｃ．)8,4( Ｄ．)8,1(6．在平行四边形ABCD 中，a AB = ，b AD =，NC AN 3=，M 为BC 的中点，则MN =（ ）A ．b a 4141+-B ．2121+-C ．21+D ．4343+- 7．要得到一个奇函数，只需将函数()x x x f 2cos 32sin -=的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移4π个单位 D ．向左平移3π个单位 8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()222f x x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．()3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭第II 卷二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把答案填在题中横线上）9．设i 为虚数单位，则ii+-15等于._________10．二项式nb a )2(+展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数是._________11．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体的体积为__________3m12．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB延长线上一点，且DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．FEDCB A13．下列结论：①若命题;1tan ,:=∈∃x R x P 命题,01,:2>+-∈∀x x R x q 则命题""q p ⌝且是假命题；②已知直线,01:,013:21=++=-+by x l y ax l 则21l l ⊥的充要条件是3-=ba； ③命题“若,0232=+-x x 则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x 则.0232≠+-x x ”其中正确结论的序号是.____________（把你认为正确结论的序号都填上）14．定义域为R 的函数()x f 满足()()x f x f 22=+，当[]2,0∈x 时，()()⎪⎩⎪⎨⎧--=21012x xx x f [)[]2,11,0∈∈x x ，若[]6,4∈x 时，()422--≥t t x f 恒成立，则实数t 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15．（本小题13分）已知向量).4cos ,4(cos ),1,4sin3(2x x x == （1） 若,1=⋅n m 求)32cos(x -π的值； （2） 记n m x f ⋅=)(，在A B C ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求函数)(A f 的取值范围。
16．（本小题13分）甲乙两个盒子里各放有标号为1,2,3,4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码x 后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y ，设随机变量.||y x X -=（1）求2=y 的概率；(2)求随机变量X 的分布列及数学期望。
17．（本小题13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，DB 平分ADC ∠，E 为的PC 中点，1,AD CD DB ===（1）证明：//PA 平面BDE（2）证明：AC ⊥平面PBD（3）求直线BC 与平面PBD 所成角的正切值18．（本小题13分） 等差数列}{na 的各项均为正数，31=a ，前n 项和为n S ，}{nb 为等比数列，11=b ，且6422=S b ，96033=S b 。
（1）求n a 与n b 的通项公式 （2） 求nS S S 11121+⋅⋅⋅++19.（本小题14分）已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点)32,0(A ，离心率为21。
（1）求椭圆P 的方程；(2)是否存在过点)4,0(-E 的直线l 交椭圆P 于点,,T R 且满足716=⋅，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。
20．（本小题14分）已知函数).(ln 2)12(21)(2R a x x a ax x f ∈++-=（1） 若曲线)(x f y =在1=x 和3=x 处的切线互相平行，求a 的值； （2） 求)(x f 的单调区间；（3） 设,2)(2x x x g -=若对任意],2,0(1∈x 均存在],2,0(2∈x 使得),()(21x g x f <求a 的取值范围。
参考答案：1.B2.C3.C4.C5.B6.A7.B8.B9.2-3i 10.6 11.4 12.27 13.①③ 14.-1≤t ≤315.解：(1)121)62sin(22cos12sin 234cos 4cos 4sin 32=++=++=+⋅=⋅πx x x xx x 211)23(cos 2)32cos()23cos(21)23cos()]62(2cos[21)62sin(2-=--=-∴-==-∴+-=+∴x x x x x x πππππππ（2）||)23,1()(1)62sin(2126263203),0(21cos 0sin sin cos sin 2)sin(cos sin 2cos sin cos )sin sin 2(cos cos )2(21)62sin()(∈∴<+<∴<+<∴<<∴=∴∈=∴≠=⋅∴+=⋅∴⋅=-∴=-++=A f A A A B B B A A B A C B B A C B B C A cb Bc a x x f ππππππππ 16.（本小题13分）解：（1）4152415143)2,2()2,2()2(1512141115111413=⨯+⨯=⋅+⋅===+=≠==C C C C C C C C y x p y x p y p （2）52101)4,4()4,3()4,2(201)4,1(201101101101)0(201)3,4()3,3()3,2(201)3,1(201)4,4)(3,3(201)2,4()2,3()2,2(101)2,1(201)2,2)(1,1(),(0201)1,4()1,3()1,2(201)1,1(10132, 1, 0,x 20115121411101201201=→←←+++⋅==∴→←←→←←==→←←=→→→→C C C C x p y x x 时当 当x=1时 (x,y)=(1,2) (2,1) (2,3) (3,2) (3,4) (4,3)110151103523210101)3(51)2(103201201201201201)1(1511411=∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴=====+++++⋅==∴EX p x x p x p C C C C x p 同理17.证明：∵可知O 为AC 中点 又E 为PC 中点∴PA//EOEO ⊂平面BDEPA ⊄平面BDE∴PA//平面BDE（2）证明：∵AC ⊥BD∵PD ⊥平面ABCD∴AC ⊥PD ∵BD ⋂PD=D∴AC ⊥平面PBD（3）10 ∵AC ⊥平面PBD ∴BC 在平面PBD 内的射影即为BO ∴∠CBD 即为所求角3122322tan 223222222===∠∴=-==∆BO CO CBO BO CO BCO Rt 中在 20如图建立 D （0，0，0） B （2，2，0） C （1，0，0） A （0，1，0） 平面PBD 的法向量为)0,2,1()0,1,1(--=-=BC AC 31tan 101521||||sin =∴=⋅=⋅=∴θθBC AC 18.解：（1）⎩⎨⎧=+=+∴⎩⎨⎧==)2(960)39()1(64)6(9606423322d q d q S b S b12222812)(34056820)65)(2(012459606439)6()2()1(-=+=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎩⎨⎧==∴=+-∴=--⇒=++⇒∴n n n b n a q d q d d d d d d d 舍或（2）)2)(1(23243)2111211(21)]211()1111()5131()4121()311[(21111)211(21)2(11)2(2)(211+++-=+-+-+=+-++--++-+-+-=+++∴+-=+=∴+=⋅+=n n n n n n n n n S S S n n n n S n n n a a S nn n n 19.解（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x 22212122121221221222222211222243)1(4816)(4)4)(4(4316433241001632)43(112164:),(),()2(1121623241222132k k x x k x x k kx kx y y k x x k k x x k kx x k y x kx y l y x T y x R k y x c b a c a c a a c e b +-=++-=--=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+=+∴>∴>∆=+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∴=+∴⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎩⎨⎧=-=∴=== 设设存在易知椭圆方程为 为所求或0404:1171643)1(48431671671622222121=-+=--∴±=∴=∴=+-++∴=+∴=⋅y x y x l k k kk k y y x x20.解：（1）32)3()1(2)12()(///=∴=++-=a f f x a ax x f （2）a x x x x ax x x x a ax x f 12)0()1)(2(2)12()(2121==>--=++-=①当a ≤0时 ∵ax-1<0 ∵x>0∴单增区间（0，2）单减区间（2，+∞） ②当ax x a 1221021=<=<<时 ∴单增区间：（0，2），（+∞,1a） 单减区间：（2，a1） ③当a x x a 122121=>=>时 单增区间：),2(),1,0(+∞a单减区间：)2,1(a④单增在时当),0()(0)2(21)(212/+∞∴>-==x f xx x f a (3)由已知 只需max max )()(]2,0[x g x f ，x <∈有时由已知g(x)max =0由（2）可知 ①当2ln 222)2()(]2,0[)(21max +--==∴≤a f x f x f a 单增在时 2112ln 02ln 222≤<-∴<+--∴a a 只需 ②时当21>a 单增在)1,0()(ax f 在单减)2,1(a 为所求综上12ln 210)(0ln 22210ln 222ln 211ln 21ln ln 21ln 2221)1()(max max ->∴>∴<∴<---∴<--∴<-∴-=>>∴>---==∴a a x f a aa a ea a a aaf x f。