江西省宜春三中九年级上期中数学试卷(有答案)

2016-2017学年江西省宜春三中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．下列安全标志图中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程x2﹣1=0的根是（）A．1 B．﹣1 C．D．±13．用配方法解方程x2+8x﹣9=0时，此方程可变形为（）A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=9 D．（x+4）2=﹣74．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（）A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF5．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.266．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1二．填空题：7．若x=2是一元二次方程x2﹣2a=0的一个根，则a= ．8．在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是．9．抛物线y=x2﹣2x﹣8与x轴的交点坐标是．10．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD=110°，则∠COB= 度．11．如图所示，在直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC绕点P旋转一定的角度而得，其中A（1，4），B （0，2），C（3，0），则旋转中心点P的坐标是．12．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF 时，∠BAE的大小可以是．三．解答题13．解方程：2x2﹣4x+1=0．14．已知抛物线l1的最高点为P（3，4），且经过点A（0，1），求l1的解析式．15．随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．常德市2012年销售烟花爆竹20万箱，到2014年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求常德市2012年到2014年烟花爆竹年销售量的平均下降率．16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），请回答以下问题．（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标；（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为；（3）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集是．17．如图，△ABC是直角三角形，延长AB到点E，使BE=BC，在BC上取一点F，使BF=AB，连接EF，△ABC 旋转后能与△FBE重合，请回答：（1）旋转中心是点，旋转的最小角度是度（2）AC与EF的位置关系如何，并说明理由．四．18．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0．（1）若此一元二次方程有实数根，求k的取值范围．（2）选一个你认为合适的整数k代入原方程，并解此方程．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕原点O旋转180°后的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标（3）假设每个正方形网格的边长为1，求△A1B1C1的面积．20．已知二次函数y=2x2+bx﹣1．（1）若两点P（﹣3，m）和Q（1，m）在该函数图象上．求b、m的值；（2）设该函数的顶点为点B，求出点B 的坐标并求三角形BPQ的面积．21．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；并写出自变量的取值范围（2）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过11元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．五、（第一题10分，第二题12分，共22分）22．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．23．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，①求直线BC 的解析式；②当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标．2016-2017学年江西省宜春三中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．下列安全标志图中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．一元二次方程x2﹣1=0的根是（）A．1 B．﹣1 C．D．±1【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】首先把﹣1移到等号左边，再两边直接开平方即可．【解答】解：x2﹣1=0，x2=1，两边直接开平方得：x=±1，则x1=1，x2=﹣1，故选：D．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．3．用配方法解方程x2+8x﹣9=0时，此方程可变形为（）A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=9 D．（x+4）2=﹣7【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】将方程常数项移动右边，两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【解答】解：x2+8x﹣9=0，移项得：x2+8x=9，配方得：x2+8x+16=25，即（x+4）2=25．故选B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟掌握完全平方公式是解本题的关键．4．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（）A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF【考点】旋转的性质；菱形的性质．【专题】常规题型．【分析】两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案．【解答】解：OB旋转后的对应边为OF，故∠BOF可以作为旋转角，故本选项错误；B、OA旋转后的对应边为OD，故∠AOD可以作为旋转角，故本选项错误；C、OC旋转后的对应边为OE，故∠COE可以作为旋转角，故本选项错误；D、OC旋转后的对应边为OE不是OF，故∠COF不可以作为旋转角，故本选项正确；故选D．【点评】此题考查了旋转的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握两对应边所组成的角都可以作为旋转角，难度一般．5．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.02与y=0.03之间，∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．故选：C．【点评】掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．6．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．【解答】解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．二．填空题：7．若x=2是一元二次方程x2﹣2a=0的一个根，则a= 2 ．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的解，把x=2代入x2﹣2a=0得关于a的一次方程，然后解一次方程即可得到a 的值．【解答】解：把x=2代入x2﹣2a=0得4﹣2a=0，解得a=2．故答案为2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根．8．在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，2）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．9．抛物线y=x2﹣2x﹣8与x轴的交点坐标是（4，0）（﹣2，0）．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】要求抛物线与x轴的交点，即令y=0，解方程即可．【解答】解：令y=0，则x2﹣2x﹣8=0．（x﹣4）（x+2）=0解得x=4或x=﹣2．则抛物线y=x2﹣2x﹣8与x轴的交点坐标是（4，0），（﹣2，0）．故答案为：（4，0），（﹣2，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．关键是掌握求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．10．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD=110°，则∠COB= 70 度．【考点】角的计算．【专题】计算题；压轴题．【分析】∠COB是两个直角的公共部分，同时两个直角的和是180°，所以∠AOB+∠COD=∠AOD+∠COB．【解答】解：由题意可得∠AOB+∠COD=180°，又∠AOB+∠COD=∠AOC+2∠COB+∠BOD=∠AOD+∠COB，∵∠AOD=110°，∴∠COB=70°．故答案为：70．【点评】求解时正确地识图是求解的关键．11．如图所示，在直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC绕点P旋转一定的角度而得，其中A（1，4），B （0，2），C（3，0），则旋转中心点P的坐标是（5，0）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】连接AA′，CC′，线段AA′、CC′的垂直平分线的交点就是点P．【解答】解：如图所示，点P的坐标是（5，0）．故答案是：（5，0）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣﹣旋转，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，是解题的关键．12．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF 时，∠BAE的大小可以是15°或165°．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF（SSS），有相似三角形的性质和已知条件即可求出当BE=DF时，∠BAE的大小，应该注意的是，正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解．【解答】解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，∴，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠FAD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAD=30°，∴∠BAE=∠FAD=15°，②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，∴AB=AD BE=DF AE=AF，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠FAD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=（360°﹣90°﹣60°）×+60°=165°，∴∠BAE=∠FAD=165°故答案为：15°或165°．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想，题目的综合性不小．三．解答题13．解方程：2x 2﹣4x+1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先化二次项系数为1，然后把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：由原方程，得x 2﹣2x=﹣，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x 2﹣2x+1=，配方，得（x ﹣1）2=，直接开平方，得x ﹣1=±，x 1=1+，x 2=1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x 2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax 2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px+q=0，然后配方．14．已知抛物线l 1的最高点为P （3，4），且经过点A （0，1），求l 1的解析式．【考点】二次函数的最值．【分析】物线的顶点式解析式y=a （x ﹣h ）2+k ，代入顶点坐标另一点求出a 的值即可．【解答】解：∵抛物线l 1的最高点为P （3，4），∴设抛物线的解析式为y=a （x ﹣3）2+4，把点（0，1）代入得，1=a（0﹣3）2+4，解得，a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+4．【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，根据题目中的已知条件，灵活选用二次函数解析式的形式解决问题．15．随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．常德市2012年销售烟花爆竹20万箱，到2014年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求常德市2012年到2014年烟花爆竹年销售量的平均下降率．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】先设常德市2012年到2014年烟花爆竹年销售量的平均下降率是x，那么把2012年的烟花爆竹销售量看做单位1，在此基础上可求2013年的年销售量，以此类推可求2014年的年销售量，而2014年烟花爆竹销售量为9.8万箱，据此可列方程，解即可．【解答】解：设常德市2012年到2014年烟花爆竹年销售量的平均下降率是x，依题意得20（1﹣x）2=9.8，解这个方程，得x1=0.3，x2=1.7，由于x2=1.7不符合题意，即x=0.3=30%．答：常德市2012年到2014年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），请回答以下问题．（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标（3，0）；（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为x1=﹣1，x2=3 ；（3）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集是﹣1＞x或x＞3 ．【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x 轴的交点．【分析】（1）直接利用二次函数对称性得出抛物线与x 轴的另一个交点坐标；（2）利用抛物线与x 轴交点即为y=0时，对应x 的值进而得出答案；（3）利用不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集即为x 轴下方对应x 的值，即可得出答案．【解答】解：（1）∵该抛物线与x 轴的一个交点为（﹣1，0），抛物线对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为：（3，0）；故答案为：（3，0）；（2）∵抛物线与x 轴的交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），故一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的解为：x 1=﹣1，x 2=3；故答案为：x 1=﹣1，x 2=3；（3）如图所示：不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集是：﹣1＞x 或x ＞3．故答案为：﹣1＞x 或x ＞3．【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合解题是解题关键．17．如图，△ABC 是直角三角形，延长AB 到点E ，使BE=BC ，在BC 上取一点F ，使BF=AB ，连接EF ，△ABC 旋转后能与△FBE 重合，请回答：（1）旋转中心是点 B ，旋转的最小角度是 90 度（2）AC 与EF 的位置关系如何，并说明理由．【考点】旋转的性质．【分析】（1）由条件易得BC 和BE ，BA 和BF 为对应边，而△ABC 旋转后能与△FBE 重合，于是可判断旋转中心为点B ；根据旋转的性质得∠ABF 等于旋转角，从而得到旋转角度；（2根据旋转的性质即可判断AC=EF ，AC ⊥EF ．【解答】解：（1）∵BC=BE，BA=BF，∴BC和BE，BA和BF为对应边，∵△ABC旋转后能与△FBE重合，∴旋转中心为点B；∵∠ABC=90°，而△ABC旋转后能与△FBE重合，∴∠ABF等于旋转角，∴旋转了90度，故答案为：B，90；（2）AC⊥EF 理由如下：延长EF交AC于点D由旋转可知∠C=∠E∵∠ABC=90°∴∠C+∠A=90°∴∠E+∠A=90°∴∠ADE=90°∴AC⊥EF．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．四．18．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0．（1）若此一元二次方程有实数根，求k的取值范围．（2）选一个你认为合适的整数k代入原方程，并解此方程．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△=（﹣2）2﹣4k≥0且k≠0，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）取k=1得到原方程为x2﹣2x+1=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解（1）∵一元二次方程有实数根，∴△=（﹣2）2﹣4k≥0且k≠0，∴k ≤1且k ≠0；（2）当k=1时，原方程为x 2﹣2x+1=0解得x 1=x 2=1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1．（2）画出△ABC 绕原点O 旋转180°后的△A 2B 2C 2，并写出A 2、B 2、C 2的坐标（3）假设每个正方形网格的边长为1，求△A 1B 1C 1的面积．【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（1）先利用关于x 轴对称的点的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可得到△A 1B 1C 1；（2）先利用关于原点对称的点的坐标特征写出A 2、B 2、C 2的坐标，然后描点即可得到△A 2B 2C 2；（3）利用矩形的面积分别减去三个三角形的面积．【解答】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作，A 2、B 2、C 2的坐标分别为（﹣2，﹣4），（﹣1，﹣2），（5，4）；（3）△A 1B 1C 1的面积=2×4﹣×2×1﹣×1×3﹣×4×1=．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了对称轴变换．20．已知二次函数y=2x2+bx﹣1．（1）若两点P（﹣3，m）和Q（1，m）在该函数图象上．求b、m的值；（2）设该函数的顶点为点B，求出点B 的坐标并求三角形BPQ的面积．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）首先求出函数的对称轴方程，进而求出b的值，再求出m的值即可；（2）求出函数的顶点坐标，再根据三角形的面积计算公式求出答案．【解答】解：（1）由对称性可知，对称轴为x==﹣1，即﹣=﹣1，解得b=4，解析式为y=2x2+4x﹣1，∵点（1，m）在函数图象上，∴m=2+4﹣1=5，∴b=4，m=5；（2）当x=﹣1时，y=﹣3，∴顶点B（﹣1，3），∵点P（﹣3，5），点Q（1，5）=×4×8=16．∴S△BPQ【点评】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出函数的解析式，此题难度不大．21．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；并写出自变量的取值范围（2）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过11元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；（2）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案．【解答】解：（1）根据题意得：w=（25+x﹣20）（250﹣10x）即：w=﹣10x2+200x+1250或w=﹣10（x﹣10）2+2250（0≤x≤25）（2）由（1）可知，抛物线对称轴是直线x=10，开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，对称轴右侧w随x的增大而减小方案A：根据题意得，x≤11，则0≤x≤11，当x=10时，利润最大，最大利润为w=2250（元），方案B：根据题意得，25+x﹣20≥16，解得：x≥11则11≤x≤25，故当x=11时，利润最大，最大利润为w=﹣10×112+200×11+1250=2240（元），∵2250＞2240，∴综上所述，方案A最大利润更高．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键．五、（第一题10分，第二题12分，共22分）22．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．【考点】菱形的判定；平行四边形的判定与性质；旋转的性质．【专题】综合题．【分析】（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，可根据勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB⊥AC，∴∠AOB=45°．【解答】（1）证明：当∠AOF=90°时，∵∠BAO=∠AOF=90°，∴AB∥EF，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，在△AOF和△COE中．∴△AOF≌△COE（ASA）．∴AF=EC．（3）解：四边形BEDF可以是菱形．理由：如图，连接BF，DE由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．在Rt△ABC中，AC===2，∴OA=1=AB，又∵AB⊥AC，∴∠AOB=45°，∴∠AOF=45°，∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．【点评】此题结合旋转的性质，主要考查平行四边形和菱形的判定，有一定难度．23．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，①求直线BC 的解析式；②当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出m、n的值即可；（2）如图1中，分两种情形讨论①当PD=DC时，当CP=CD时，分别写出点P坐标即可．（3）先求出BC的解析式，设出点E的横坐标为a，由四边形CDBF的面积=S△BCD +S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）如图1，∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是直线x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=DP2=DP3．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP 1=4．∴P 1（，4），P 2（，），P 3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x 2+x+2∴x 1=﹣1，x 2=4，∴B （4，0）．设直线BC 的解析式为y=kx+b ，由图象，得，解得：，∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C 作CM ⊥EF 于M ，设E （a ，﹣ a+2），F （a ，﹣ a 2+a+2）， ∴EF=﹣a 2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a 2+2a （0≤x ≤4）．∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =BD •OC+EF •CM+EF •BN ，=×2+a （﹣a 2+2a ）+（4﹣a ）（﹣a 2+2a ）， =﹣a 2+4a+（0≤x ≤4）．=﹣（a ﹣2）2+∴a=2时，S 四边形CDBF 的面积最大=，∴E （2，1）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．。