高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程学案新人教A版选修2_1

2.1.2 求曲线的方程学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.知识点一坐标法的思想思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系惟一吗？答案不惟一，常以得到的曲线方程最简单为标准.梳理(1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.(2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程.②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质.知识点二求曲线的方程的步骤类型一直接法求曲线的方程例1 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程. 解设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.则|8－x|＝2(x－2)2＋(y－0)2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48. 引申探究若本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程. 解 据题设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|， 又|PA |＝(x －2)2＋(y －0)2， 故|y －8|＝2(x －2)2＋(y －0)2， 化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0. 反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明. 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.跟踪训练1 已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列.求点P 的轨迹方程.解 设点P (x ，y )，由M (－1，0)，N (1，0)， 得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2，0).∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1，NM →·NP →＝2(1－x ).于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0). 类型二 代入法求解曲线的方程例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程.解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)， 因为P 为MB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 反思与感悟 代入法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0).(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理，得所求轨迹方程.跟踪训练2 △ABC 的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是2a ，边BC 上的高的长是b ，边BC 沿一条定直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程.解 如图所示，以BC 所在的定直线为x 轴，以过A 点与x 轴垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则A 点的坐标为(0，b ).设△ABC 的外心为M (x ，y )，作MN ⊥BC 于N ，则MN 是BC 的垂直平分线. ∵|BC |＝2a ，∴|BN |＝a ，|MN |＝|y |. 又M 是△ABC 的外心，∴M ∈{M ||MA |＝|MB |}. 而|MA |＝x 2＋(y －b )2，|MB |＝|MN |2＋|BN |2＝a 2＋y 2， ∴x 2＋(y －b )2＝a 2＋y 2，化简，得所求轨迹方程为x 2－2by ＋b 2－a 2＝0. 类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M (1，2)的直线与曲线y ＝a x(a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a 的取值范围.解 当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时， 不可能与曲线有两个公共点.设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，联立曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)，y ＝ax，消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0. ①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点. ∴Δ＝(2－k )2＋4ka >0. 设方程①的两根分别为y 1，y 2， 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k . 又∵y 1＋y 2＝a ， ∴k ＝2－a ， 代入Δ>0中， 得a 2＋4a (2－a )>0， 解得0<a <83.又∵k ≠0，∴2－a ≠0，即a ≠2.∴a 的取值范围是(0，2)∪(2，83).反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0的解来确定.跟踪训练3 直线l ：y ＝k (x －5)(k ≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，求弦AB 的中点M 的轨迹方程. 解 设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5，0)， 再由OM ⊥MP ，得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2， ∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25， 整理得(x －52)2＋y 2＝254.∵点M 应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x －52)2＋y 2＝254，x 2＋y 2＝16得两曲线交点的横坐标为x ＝165，故所求轨迹方程为(x －52)2＋y 2＝254(0≤x <165).1.曲线y ＝1x与xy ＝2的交点是( )A.(1，1)B.(2，2)C.直角坐标系内的任意一点D.不存在 答案 D解析 联立方程组无解.2.方程x 2＋y 2＝1(xy <0)表示的曲线是( )答案 D解析 ∵xy <0，当x >0时，y <0，曲线应在第四象限；当x <0时，y >0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.3.直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是________________.答案 x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1) 解析 设直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点为A (a ，0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.4.已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________. 答案 x ＝32解析 设动点P (x ，y )，则x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，化简整理得x ＝32.5.M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4，2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且AP ∶PM ＝3，求动点P 的轨迹方程.解 设点M ，P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝4＋3x 0，4y ＝3y 0＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4x －43，y 0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 所以2×4x －43－4y －23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0，从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.求解轨迹方程常用方法(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.(4)参数法：将x ，y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法. (5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.40分钟课时作业一、选择题1.下列各组方程中表示相同曲线的是( ) A.y ＝x ，y x＝1 B.y ＝x ，y ＝x 2C.|y |＝|x |，y ＝xD.|y |＝|x |，y 2＝x 2答案 D解析 A 中y ＝x 表示一条直线，而y x＝1表示直线y ＝x ，除去点(0，0)；B 中y ＝x 表示一条直线，而y ＝x 2表示一条折线；C 中|y |＝|x |表示两条直线，而y ＝x 表示一条射线；D 中|y |＝|x |和y 2＝x 2均表示两条相交直线.故选D. 2.如图所示的图象对应的方程是( )A.|x |－y ＝0B.x|y |－1＝0 C.x －|y |＝0 D.|x |y－1＝0答案 C解析 据图，当x >0，y >0时，y ＝x ； 当x >0，y <0时，y ＝－x ， 只有选项C 符合要求，故选C.3.已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A.π3 B.53π C.π3或53π D.π3或π6答案 C解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α<2π，所以α＝π3或α＝53π.4.已知点A (－1，0)，B (1，0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是( ) A.x 2＋y 2＝1 B.x 2＋y 2＝2C.x 2＋y 2＝1(x ≠±1) D.x 2＋y 2＝2(x ≠±2)答案 A解析 设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y ). 由MA →·MB →＝0， 得(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝0， 即x 2＋y 2＝1.5.过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( ) A.2 6 B.8 C.4 6 D.10 答案 C解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.6.已知两点A (2，0)，B (－2，0)，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且PA →·PB →＝2PQ →2，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 2＋y 2＝2 B.y 2－x 2＝2 C.x 2－2y 2＝1 D.2x 2－y 2＝1答案 B解析 设动点P 的坐标为(x ，y )， 则点Q 的坐标为(0，y )， PQ →＝(－x ，0)，PA →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )，PA →·PB →＝x 2－2＋y 2. 由PA →·PB →＝2PQ →2， 得x 2－2＋y 2＝2x 2，所以所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. 二、填空题7.已知定点A (0，1)，直线l 1：y ＝－1，记过点A 且与直线l 1相切的圆的圆心为点C .则动点C 的轨迹E 的方程为________.答案 x 2＝4y解析 设动点C (x ，y )，根据题意可知，点C 到点A 的距离与到直线l 1：y ＝－1的距离相等，所以x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|，两边平方整理得x 2＝4y .8.点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________. 答案 5解析 由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0， 解得a ＝5.9.过点P (0，1)的直线与曲线|x |－1＝1－(1－y )2相交于A ，B 两点，则线段AB 长度的取值范围是____________. 答案 [22，4]解析 曲线|x |－1＝1－(1－y )2可化为x ≥1，(x －1)2＋(y －1)2＝1，或x <－1，(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，图象如图所示，线段AB 长度的取值范围是[22，4].10.已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.则动点P 的轨迹C 的方程是________. 答案 y 2＝4x (x ≥0)解析 设点P (x ，y )，则Q (－1，y ). 由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )， 所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2， 化简得y 2＝4x (x ≥0). 三、解答题11.在平面直角坐标系中，已知点F (0，2)，一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程. 解 设点M (x ，y )是所求曲线上任意一点， 因为曲线在x 轴的上方， 所以y >0.过点M 作MB ⊥x 轴，垂足是点B ，则|MF |－|MB |＝2， 即x 2＋(y －2)2－y ＝2， 整理得x 2＋(y －2)2＝(y ＋2)2，化简得y ＝18x 2，所以所求曲线的方程是y ＝18x 2(x ≠0).12.已知线段AB ，B 点的坐标为(6，0)，A 点在曲线y ＝x 2＋3上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解 设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，点A (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋62，y ＝y12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y .由题知点A (x 1，y 1)在曲线y ＝x 2＋3上， 所以2y ＝(2x －6)2＋3，所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为y ＝2(x －3)2＋32.13.已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆O ：x 2＋y 2＝1，M 为直角坐标平面内一动点，过点M 作圆O 的切线，切点为N ，若|MN |和|MQ |的比值等于常数λ(λ>0)，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解 连接ON ，OM ，易知ON ⊥MN ，设M (x ，y ). ∵圆的半径是1，∴|MN |2＝|OM |2－|ON |2＝|OM |2－1. 由题意，|MN ||MQ |＝λ，∴|MN |＝λ|MQ |， 即x 2＋y 2－1＝λ(x －2)2＋y 2，整理得(λ2－1)(x 2＋y 2)－4λ2x ＋(1＋4λ2)＝0. ∵λ>0，∴当λ＝1时，方程化为x ＝54，该方程表示一条直线；当λ≠1时，方程化为(x －2λ2λ2－1)2＋y 2＝1＋3λ2(λ2－1)2，该方程表示以(2λ2λ2－1，0)为圆心，以1＋3λ2|λ2－1|为半径的圆.。