八年级奥数：分式的化简求值

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八年级数学培优——分式的化简求值与证明

第15讲分式的化简求值与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，可直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•-⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x ＋1y＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【变式题组】01．已知1a －1b ＝4，则2227a ab b a b ab---+的值等于（） A ．6 B ．－6 C ．215 D ． 27- 02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy y x y xy +++值. 03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z++++的值.【例3】已知231x x x -+＝1，求24291x x x -+的值.【变式题目】01．若x ＋1x ＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a ++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abc ab ac bc ++的值.【变式题组】01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xz x z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b+，求()()()a b c b a c abc +++的值.【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x ＝3y z -＝5z x+，则52x y y z -+的值为（） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b c a -++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝1【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c ++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值.演练巩固反馈提高01．已知x－1x＝3，那么多项式x3－x2－7x＋5的值是（）A．11 B．9 C．7 D． 502．若M＝a＋b,N＝a－b,则式子M NM N+-－M NM N-+的值是（）A．22a bab-B．222a bab-C．22a bab+D． 003．已知5x2－3x－5＝0，则5x2－2x－21525x x--＝ .04.设a＞b＞0,a2＋b2－6ab＝0，则a bb a+-＝ .05.已知a＝1＋2n,b＝1＋12n，则用含a的式子表示b是 .06. a＋b＝2,ab＝－5,则b aa b+＝ .07.若a＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b＝－534⎛⎫⎪⎝⎭,c＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a、b、c用“＜”连接起来为 .08.已知1nm-⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m nm n m n m n+-+--值为 .09.若2x＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y的值为 .10.化简24 322242c b c ba b a ca-⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x yx yx x y x+⎛⎫--+⎪+⎝⎭，其中x＝2,y＝3．12．求代数式的值：222222144x x x xx x-++÷--，其中x＝2＋2.13．先化简，再求值：22121124x xx x++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x-=+---+，求常数A、B的值.15.若a＋1a＝3,求2a3－5a2－3＋231a+的值.。

八年级数学培优——分式的化简求值与证明

第15讲分式的化简求值与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，可直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷∙++++，其中a ＝02．已知x ＝2y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--∙-⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x ＋1y＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【变式题组】01．已知1a －1b ＝4，则2227a ab b a b ab---+的值等于（） A ．6 B ．－6 C ．215D ．27- 02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy y x y xy +++值. 03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z++++的值.【例3】已知231x x x -+＝1，求24291x x x -+的值.【变式题目】01．若x ＋1x ＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a ++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abc ab ac bc ++的值.【变式题组】01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝. 02．已知xy x y +＝2，xz x z +＝3，yz y z+＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b+，求()()()a b c b a c abc +++的值.【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x ＝3y z -＝5z x +，则52x y y z-+的值为（） A ．1 B ．13C ．13-D ．1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b c a -++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝1【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（） A ．5 B ．72C ．1 D ．1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c ++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固反馈提高01．已知x－1x＝3，那么多项式x3－x2－7x＋5的值是（）A．11 B．9 C．7 D． 502．若M＝a＋b,N＝a－b,则式子M NM N+-－M NM N-+的值是（）A．22a bab-B．222a bab-C．22a bab+D． 003．已知5x2－3x－5＝0，则5x2－2x－21525x x--＝.04.设a＞b＞0,a2＋b2－6ab＝0，则a bb a+-＝.05.已知a＝1＋2n,b＝1＋12n，则用含a的式子表示b是.06. a＋b＝2,ab＝－5,则b aa b+＝.07.若a＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b＝－534⎛⎫⎪⎝⎭,c＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a、b、c用“＜”连接起来为.08.已知1nm-⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m nm n m n m n+-+--值为.09.若2x＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y的值为.10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∙-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为.11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中xy ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝213．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A B x x x x -=+---+，求常数A 、B 的值.15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.。

分式的化简求值

3、
解：原式=………… =…………
在-1,0,1,2中，要使分式有意义，a只能取_2__. 当a=2时，原式=…………
4、化简分式
，
并在-1≤x≤1中选一个你认为合适的整数x代入求值.
解：原式=………… =…………
∵ -1≤x≤1且x为整数，
∴若使分式有意义，x只能取___. 当x=____时，原式=…………
混合运算的特点：是整式运算、因式分解、分式运算的综合运用，综合性强，是本章学习的重点和难点。
注意：
1.关键是要正确使用相应的运算法则和运算顺序； 2.正确的使用运算律，尽量简化运算过程； 3.结果必须化为最简。
结语
谢谢大家！
2、基础展示
⑴ (1 b )1 ( a )
ab ab
·
⑵
( 2x x ) ÷ x3 x3
1 x2
9
⑶
2a2
1
ab
b ab b 4
（3）(xx2224x)x2x2
（4）
( a b )(11) ab ba a bຫໍສະໝຸດ 做第10页习题3、4、5题
归纳：
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减；同级运算依次计算；若有括号要先算括号。
点评：在x 化简y 中要有整体思想意识，运用技巧。
要注意分式中的隐含条件，分母不为0是分式学习的要点。
6、综合拓展
（2010
贵州贵阳）先化简：
a2 a2
ba2ba2abab2
当b=-1时，再从-2＜a＜2的范围内选取一个合适的整数a代入求值。
解：原式= (ab)a (b)a22abb2
a(ab)
当 x1时，原1式 1 12 3

初中数学人教版八年级上册分式的化简求值与证明讲义

分式的化简求值与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1．【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（）A ．－1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（） A ．－7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（） A ．－2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（） A ． 0 B ． 1 C ．－1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。

分式化简求值初二练习题

分式化简求值初二练习题分式是数学中常见的一种运算形式，在数学中起到了重要的作用。

学习分式化简求值是初中数学学习的一个重要内容，下面将通过一些初二练习题来帮助大家更好地理解和应用分式化简求值的方法。

1. 化简分式 3/4 + 5/6。

首先，我们需要找到两个分数的公共分母。

分母4和分母6的公共倍数是12，所以我们可以将这两个分数的分母都转化为12。

然后，将分子分别乘以两个分数对应的倍数，得到：3/4 = 9/125/6 = 10/12现在，我们可以将两个分数相加：9/12 + 10/12 = 19/12所以，分式3/4 + 5/6的结果为19/12。

2. 化简分式 2/3 - 1/5。

同样地，我们需要找到两个分数的公共分母。

分母3和分母5的最小公倍数是15，因此我们可以将这两个分数的分母都转化为15。

然后，将分子分别乘以两个分数对应的倍数，得到：2/3 = 10/151/5 = 3/15现在，我们可以将两个分数相减：10/15 - 3/15 = 7/15所以，分式2/3 - 1/5的结果为7/15。

3. 化简分式 4/5 × 2/3。

这道题是关于分式的乘法。

我们只需要将两个分数的分子相乘，分母相乘，得到：(4 × 2) / (5 × 3) = 8/15所以，分式4/5 × 2/3的结果为8/15。

4. 化简分式 (1/2) ÷ (3/4)。

这道题是关于分式的除法。

我们可以将除法转化为乘法，并求倒数。

所以，我们需要将被除数转化为倒数，再进行乘法运算。

被除数1/2的倒数为2/1，所以我们可以将这道题转化为：(1/2) × (4/3) = (1 × 4) / (2 × 3) = 4/6我们可以将4/6化简为最简分式：4/6 = 2/3所以，分式(1/2) ÷ (3/4)的结果为2/3。

5. 化简分式 (1/3) ÷ (2/5) + (4/7)。

初中数学(初二)考点：分式的化简求值

1、考点名称:分式的化简求值5年考试次数:327考点内容:(1) 先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.(2) 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.(3) 化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.规律方法：分式化简求值时需注意的问题：1.化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=…”.2.代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.2、考点名称:解分式方程5年考试次数:247考点内容:(1)解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.(2)解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如下检验:①将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解.②将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解. 所以解分式方程时,一定要检验.3、考点名称:分式方程的应用5年考试次数:151考点内容:1、列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.2、要掌握常见问题中的基本关系,如行程问题:速度=路程时间;工作量问题:工作效率=工作量工作时间等等.列分式方程解应用题一定要审清题意,找相等关系是着眼点,要学会分析题意,提高理解能力. 4、考点名称:待定系数法求一次函数解析式5年考试次数:76考点内容:待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.注意:求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值.5、考点名称:三角形内角和定理5年考试次数:106考点内容:(1)三角形内角的概念:三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°.(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180°.(3)三角形内角和定理的证明证明方法,不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角6、考点名称:全等三角形的判定5年考试次数:136考点内容:(1)判定定理1:SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.(2)判定定理2:SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3:ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.(4)判定定理4:AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)判定定理5:HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.方法指引:全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.7、考点名称:等腰三角形的判定5年考试次数:44考点内容:判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.简称:等边对等角说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆;③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;④判定定理在同一个三角形中才能适用.8、考点名称:勾股定理5年考试次数:760考点内容:(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式a2+b2=c2的变形有:、及(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.9、考点名称:三角形中位线定理5年考试次数:229考点内容:(1)三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.(2)几何语言: 如图,∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC,DE=BC.10、考点名称:平行四边形的判定5年考试次数:102考点内容:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB=DC,AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言:∵OA=OC,OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形.。

八年级数学上册第十五章分式专题课堂八分式的化简求值课件

6．有这样一道题：“计算x2－x2－2x＋1 1 ÷xx2－＋1x －x 的值，其中 x＝2020”甲同学把“x＝2020”错抄成“x＝2002”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？于是甲同学认为无论 x 取何值，代数式的值都不变，他说得对吗？解：对．∵原式＝xx－＋11 ·x（xx－＋11）－x ＝x－x＝0，∴把 x＝2020 错抄成 x＝2002，他的计算结果也正确
第十五章分式
专题课堂(八) 分式的化简求值
类型一化简后直接代入 1．(河南中考)先化简，再求值：(x＋1 1 －1)÷x2－x 1 ，其中 x＝ 2 ＋1.
解：当 x＝ 2 ＋1 时，原式＝x－＋x1 ·（x＋1）x（x－1）＝1－x＝－ 2
2．(2019·黄冈)先化简，再求值．
5a＋3b ( a2－b2
解：原式＝(2xx－－23 －xx－－22 )÷（xx－－12）2 ＝xx－－12 ·（xx－－12）2 ＝x－1 1 ，当 x＝0 时，原式＝－1
5．(2019·安顺)先化简(1＋x－2 3 )÷x2－x2－6x＋1 9 ，再从不等式组
－2x＜4， 3x＜2x＋4
的整数解中选一个合适的 x 的值代入求值．
解：原式＝x－x－3＋3 2 ×（x＋（1x）－（3）x－2 1）＝xx－＋31 ，解不等式组
－2x＜4①， 3x＜2x＋4② 得－2＜x＜4，∴其整数解为－1，0，1，2，3，∵要使原分式有意义，∴x 可取 0，2.∴当 x＝0 时，原式＝－3(或当 x＝2 时，
原式＝－13 )
类型四分式化简说理
解：原式＝[（a＋（2a）－（2）a－2 2）＋a－1 2 ]·a（a－2 2）＝(aa＋－22 ＋
1 a－2

分式化简求值方法总结

分式求值一、着眼全局，整体代入例1 已知22006a b +=，求ba b ab a 421212322+++的值.解：22222312123(44)3(2)3(2)282(2)2(2)2a ab b a ab b a b a b a b a b a b +++++===++++. 当22006a b +=时，原式=33(2)2006300922a b +=⨯=．例2 已知311=-y x ，求yxy x yxy x ---+2232的值. 解：因为0xy ≠，所以把待求式的分子、分母同除以xy ，得2211332()23232331111223522()x xy y y x x yx xy y y x x y+---+--⨯====---------. 另解:xy y x xyx y y x 3,3,311-=-∴=-∴=-. 5353233)3(22)(3)(22232=--=--+-•=--+-=---+∴xy xy xy xy xy xy xy y x xy y x y xy x y xy x .说明:已知条件及所求分式同时变形，从中找到切合点，再代值转化练一练:1.已知511=+y x ,求yxy x y xy x +++-2232的值.答案：1 2.已知211=+y x ,求分式yx xyy y x x 33233++++的值答案：2/33. 若ab b a 322=+,求分式)21)(21(222b a bba b -+-+的值答案：3二、巧妙变形，构造代入例3 已知2520010x x --=，求21)1()2(23-+---x x x 的值.解： 323(2)(1)1(2)(11)(11)22x x x x x x x ---+---+--=--322(2)(2)(2)542x x x x x x x x ---==--=-+-.因为2520010x x --=，所以原式200142005=+=.例4已知a b c ，，不等于0，且0a b c ++=，求)11()11()11(ba c c abc b a +++++的值.解：)11()11()11(b a c c a b c b a +++++111111111()()()3b c a b c a b c a a b c ++++++=++-111()()3a b c a b c++++-=03=-3=-. 练一练4. 若1=ab ,求221111b a +++的值答案：1 （提示将1换成ab)`5.已知xx 12=+,试求代数式34121311222+++-•-+-+x x x x x x x 的值答案：2三、参数辅助，多元归一例5 已知432zy x ==，求222z y x zx yz xy ++++的值。

初二分式的化简求值练习题

初二分式的化简求值练习题化简分式是初中数学中重要的基础知识之一，对于初二学生来说，熟练掌握化简分式的方法和技巧是非常重要的。

本文将介绍一些初二分式的化简求值练习题，并提供详细的解题步骤和方法，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识。

1. 化简分式 $\frac{3x^2-8}{6x^2-18x+12}$解析：首先，我们观察分子和分母的因式，发现它们都可以因式分解为$3(x-2)(x+1)$和$6(x-1)(x-2)$。

将分子和分母进行因式分解后，化简分式为：$\frac{3x^2-8}{6x^2-18x+12}=\frac{3(x-2)(x+1)}{6(x-1)(x-2)}$然后，我们可以将分子和分母进行约分，消去公共因式$(x-2)$，得到最简形式的分式：$\frac{3(x+1)}{6(x-1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x+1}{x-1}$所以，化简后的分式为$\frac{1}{2}\cdot\frac{x+1}{x-1}$。

2. 求值分式 $\frac{2x+1}{3}-\frac{5x+2}{2}$，其中$x=4$解析：将$x=4$代入分式中，得到：$\frac{2(4)+1}{3}-\frac{5(4)+2}{2}$计算分子和分母的值，化简分式为：$\frac{9}{3}-\frac{22}{2}$然后，我们可以对分式进行通分，得到同分母的分式：$\frac{9}{3}-\frac{22}{2}=\frac{9\cdot2}{3\cdot2}-\frac{22\cdot3}{2\cdot3}$继续化简分式，得到：$\frac{18}{6}-\frac{66}{6}$最后，我们可以将分式进行减法运算，得到结果：$\frac{18}{6}-\frac{66}{6}=\frac{18-66}{6}=-\frac{48}{6}=-8$所以，当$x=4$时，求值分式的结果为$-8$。

中考数学专题——分式的化简求值

17化简求值——分式的化简求值【易错点分析】分式的化简求值解答易错点分析：（1）分式与多个整式通分时，应逐个通分，如：11+-x x的通分，易忽视x 前的负号，或是给后面的-x+1添一个括号，注意括号前面是“-”，括到括号里的各项要变号，即）（1-1x x-；（2）分式与分式相减时，应把后一个分式的分子看成一个整体带上括号，写成分子相减的形式，再去括号，如xx x x x )1(111--=--；（3）互为相反数约分后应等于-1，如212111-=-⨯-a a ；（4）代入分式的值如有多个时，要注意选择使分式有意义的解代入，即让所有的分母的值不能为0，作除数的分式的分子也不能为0，如：)1(2-+÷x x x x 这里不仅应让0)1(≠-x x ，也应让02≠+x ；（5）x--133对于常数与分式的加减要注意先通分再化简；（6）要注意化简后的式子与给出的式子是否符合整体代入；（7）分式的化简，一般不用分配律，常常先算括号里的再算括号外的，先乘除再加减。

针对练习：类型一：整体通分与单个通分问题以及选择合适的值代入问题1、22)（n m n m n m--÷-，其中m n -2、先化简2221(1)121x x x x x x --+÷+++，再从-1,0,1中选择合适的x 的值代入求值。

3、先化简，再求值：2234(1)121a a a a a --+÷+++，其中a 从-1,2,3中取一个你认为合适的数代入求值。

类型二：分式与分式相减问题1、先化简，再求值：22222()xy y x y x x x xy---÷+，其中1,x y =2、先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-⋅⋅++-++，其中2a =类型三：整体代入1、)1121(122+---÷--a a a a a ，其中a 是方程62=-x x 的根2、已知：222[()()2()]41x y x y y x y y +--+-÷=，求224142x x y x y --+的值。

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