312刚体转动动能转动惯量解析
刚体的转动惯量
平动动能 1 m 2
2
力的功 A
F dr
ab
动能定理
A
1 2
m 2
1 2
m02
转动动能 1 I 2
2
力矩的功 A
Md
0
动能定理
A
1 2
I 2
1 2
I02
刚体动力学规律旳应用举例
例1：如图，质量m，长为L旳匀质细杆，可绕水 平旳光滑轴在竖直平面内转动，转轴O在杆旳A端。 若使杆于水平位置从静止开始向下摆动，求杆摆 到铅直位置时旳角速度。
一、刚体旳运动
不论在多大外界作用下，物体旳形状和大小均 不发生变化，这么旳物体称为刚体。
各质点间旳相对位置永不发生变化旳质点系。
1、平动 刚体在运动中，其上任意两点旳连线一直保持平行。
A
A
B
A
B
B 平动中刚体上旳各点都有相同旳轨迹、位移、 速度及加速度。用质心运动讨论。
2、定轴转动 刚体上各点均绕同一固定直线旋转旳运动，
M d（I)
dt
措施四：应用机械能守恒定律（见下一种例题 ）
例2：质量m，长为L旳均匀细棒，可绕过其一端旳水平
轴O转动。现将棒拉到水平位置（OA’）放手，棒下
摆到铅直位置（OA）时，与水平面A处旳质量为M旳
物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一
段距离s后停止。设物体与水平面间旳摩擦系数到处
r2dm
转动定律 M I
动量 m，冲量
t Fdt
动量定理
F
t0 dP
dt
角动量 L I,冲量矩
t
Mdt
t0
角动量定理 M dL dt
五、质点与刚体力学规律对照表（续）
大学物理.第三章.刚体的转动
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
刚体的转动
32019/12/23
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
二 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做
匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
地减速，经t=50 s后静止。
（1）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过
的转数N；
（2）求制动开始后t=25s 时飞
0
轮的角速度 ；
（3）设飞轮的半径r=1m，求在 t=25s 时边缘上一点的速
度和加速度。
Oa an r
v
at
解 （1）设初角度为0方向如图所示，
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2019/12/23
25rad / s 78.5rad / s
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§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
的方向与0相同 ；
（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。
由 v r v v r sin r sin 900
r 78.5m / s v 的方向垂直于 和 r 构成的平面，如
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀
变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在
t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+at 得
a 0 50 rad / s2
t
50
3.14 rad / s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转 数N 分别为
子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转
过多少转？
刚体旋转知识点归纳总结
刚体旋转知识点归纳总结1. 刚体旋转的基本概念刚体是指在一定时间内，其内部各点的相对位置不改变的物体。
刚体旋转是指刚体围绕固定点或固定轴发生的旋转运动。
在刚体旋转中，需要引入一些基本概念：1.1 刚体的转动刚体的旋转可以是定点转动，也可以是定轴转动。
在定点转动中，刚体绕固定点旋转，而在定轴转动中，刚体绕固定轴旋转。
定点转动和定轴转动都是刚体旋转运动的两种基本形式。
1.2 刚体的转动角度和角速度刚体的转动角度是刚体在单位时间内所转过的角度，通常用θ表示。
刚体的角速度是指刚体单位时间内转过的角度，通常用ω表示。
在刚体定点转动中，角速度是刚体绕定点旋转的角度速度；在刚体定轴转动中，角速度是刚体绕定轴旋转的角度速度。
1.3 刚体的转动惯量刚体的转动惯量是衡量刚体抵抗旋转的惯性大小，通常用I表示。
刚体转动惯量的大小取决于刚体形状、质量分布以及旋转轴的位置。
对于质点组成的刚体，其转动惯量可以通过对质点的质量进行积分得到。
1.4 刚体的角动量刚体的角动量是刚体旋转运动的物理量，通常用L表示。
角动量的大小和方向分别由角速度和转动惯量决定。
在定点转动中，如果刚体的角速度和转动惯量都不变，那么刚体的角动量也保持不变；在定轴转动中，如果刚体绕固定轴旋转，那么刚体的角动量也保持不变。
2. 刚体的转动力学刚体的转动力学研究刚体在旋转运动中所受的力和力矩，包括转动定律、角动量定理、动能定理等内容。
2.1 刚体的平衡刚体旋转平衡需要满足一定的条件，包括力矩平衡条件和动量平衡条件。
刚体力矩平衡条件是指刚体所受的合外力矩为零；刚体动量平衡条件是指刚体所受的合外力矩关于某一点的力矩为零。
2.2 刚体的角动量定理刚体的角动量定理描述了刚体在受到外力矩作用下，其角动量的变化规律。
根据角动量定理，刚体所受外力矩产生的角动量变化率等于刚体所受外力矩的矢量和。
2.3 刚体的动能定理刚体的动能定理描述了刚体在旋转运动中，其动能的变化规律。
根据动能定理，刚体所受外力矩产生的功率等于刚体动能的变化率。
刚体转动的动能定理
一、力矩的功 1 力矩的定义若作用的质点上的力为F ,则将r ×F 定义为力F 对O 点的力矩，记为M 。
M r F =⨯M 、F 、r 三者的方向构成右手螺旋关系。
M大小：方向：右手法则2 力矩的功设：；转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动，在dt 时间内转过角度d ，对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为则总功为二、转动惯量设初速为零，质量元Δm 的动能为转盘的总动能1 定义：为物体的转动惯量。
意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。
描述转动的惯性。
o z FtF nF tF ord rd θt t d d d d A F r F s F r θ=⋅==d d A M θ=21d A M θθθ=⎰αrsin t M Fr F rα==d θFtF ord r12ki i iE m v =212k ki i i i i E E m ==∆∑∑v 221()2i i i m r ω=∆∑2i i iI m r =∆∑单位：SI 制 kg m 22 定轴转动物体转动惯量的计算质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和2i i iI m r =∑质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。
2mI r dm =⎰转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。
例1 求小球m 的转动惯量。
解：m 看作质点 I = m R 2例2 质量为m 的细圆环，求I 。
解：把环分成无限多个质量为dm 的小段，对每个d m 有d J = R 2对整个环有I = R 2d m = mR 2例3质量m ，半径 R 的薄圆盘，求I 。
解：把盘分成无限多个环。
取其中的一个环(半径r ，宽d r ，质量 d m )， 其转动惯量 d I = r 2d m22mdm rdr Rππ=整个盘的转动惯量d rd md SrRd mRRm22322200002122R R R Rm m I dI r dm r rdr r dr mR R R ππ=====⎰⎰⎰⎰例4 长为L 、质量为m 的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为＝m / L 。
3-1刚体的转动动能_转动惯量
r dr
轴
J
L
2 L
2
r
2
m L
dr
1 12
mL2
结论：同一刚体对不同的转轴有不同的转动惯量。
例2 分别求质量为m，半径为R的均匀圆环和 圆盘的转动惯量（轴与圆环或圆盘平面垂直，并 通过其圆心）。
mR
dm 轴
R r dr m
轴
解（1）圆环 J R2dm R2 dm mR2
（2）圆盘
dJ
r2 dm
r2 m R 2
2rdr
2m r 3dr R2
2m
J R2
R r3dr 1 mR 2
0
2
越远，转动惯量越大。
四 平行轴定理
质量为m 的刚体，
如果对其质心轴的转动 惯量为 JC ，则对任一与
该轴平行，相距为 d 的
转轴的转动惯量
JO JC md 2
d
C mO
J Jc md 2
圆盘对P 轴的转动惯量 P R O m
JP
1 2
mR2
mR2
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J
Jc
1 12
mL2
O1
O1’
J
Jc
m( L)2 2
1 3
mL2
d=L/2
O2
O2’
3-1 刚体定轴转动的转动动能
Ek
i
(
1 2
mi
vi2
)
1 (
2
i
miri2 ) 2
1 J 2
2
Ek
1 2
J 2
z
vi
O
ri
mi
二 转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
3.3刚体定轴转动中的功与能
解：以 ω 和 ω 分别表示冲孔前后的飞轮的角速度
1 2
ω = (1 − 0 .2 )ω = 0.8ω
2 1
2
2
2πn ω = = 8πrad ⋅ s 60
1 1
−1
1
1 1 1 由转动动能定理 A = Jω − Jω = Jω (0 .8 − 1) 2 2 2 1 又 J = mr A = −5 .45 × 10 J 2
课后习题 3-8
θ1
θ2
二、刚体的转动动能和重力势能
1.绕定轴转动刚体的动能 绕定轴转动刚体的动能 绕定轴转动刚体的
∆ ,∆ ,⋅⋅⋅,∆ ,⋅⋅⋅,∆ m m m m r r r r r, r ,⋅⋅⋅, r ⋅⋅⋅, r r r r r v ,v ,⋅⋅⋅,v ,⋅⋅⋅,v
1 2 i
1 2 i, N
N
Q = rω v 1 E= ∆ v m 2
2 2 2
1 1
2
3
质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 例3-7半径R质量 的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 半径 质量 滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体 的物体。 动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为 的物体。 当物体从静止下降距离h时 物体速度是多少？ 当物体从静止下降距离 时，物体速度是多少？ 以滑轮、 解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对 由于只有保守力做功，故机械能守恒。 象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。 设终态时重力势能为零 初态：动能为零，重力势能为mgh 初态：动能为零，重力势能为 末态： 末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能 由机械能守恒
i i
i i i
2
1
2
i
N
大学物理4-2刚体的角动量 转动动能 转动惯量
刚体绕定轴的角动量表达式：
Lz J
刚体的转动动能
2. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点
的动能之设和刚。体中第i个质点的质量为 ， mi
速度为 v,i 则该质点的动能为：
1 2
mivi2
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
设质点
mi
离轴的垂直距离为
vi ri
ri ，则它的线速度
因此整个刚体的动能
EK
12mivi2
1 2
ri2mi 2
刚体的转动动能
式中 式写为
是m刚iri体2 对转轴的转动惯量
EK
1 2
J 2
，所J以上
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因 此叫刚体的转动动能。
转动惯量的计算
3. 转动惯量的计算
按转动惯量的定义： J ri2mi
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式
J r2dm 要求: 细棒、薄圆盘、圆环
dl 其中质元dm可表示为 dm ds
dv
r —为质元到转轴的距离
转动惯量的计算
刚体运动：
平动： 平动动能 1 mv2 线动量 mv
2
定轴转动：转动动能 1 J 2 角动量 J
2
质量是刚体平动时惯性大小的量度。 转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度。 补：平行轴定理、垂直轴定理（适用于薄平面刚体）。
Li Ri pi Ri mivi
因 vi Ri ，所以 L的i 大小为
Li mi Rivi
方向如图所示。
z
L
Li Liz
ri
O Ri mi
刚体的角动量
关于转动惯量的一些认识
n
I miri2 i 1
刚体对一轴的转动惯量可以用无限个质点的转动惯量和， 即用积分计算其转动惯量。
转动惯量的标准单位：Kg*m^2
转动惯量的出现使得转动问题可以使用能量的方法进行 分析，而不必拘泥于纯运动角度分析问题。
2、转动惯量的常用定理
（1）转动惯量定理 刚体的扭转力矩等于刚体相对该轴的转动惯量
I1zy m1 y1z1 I2zy m2 y2 z2
I1xz m1x1z1 I2xz m2 x2 z2
I1yz m1 y1z1 I2 yz m2 y2 z2
(4)
I1zz m1(x12 y12 ) I2zz m2 (x22 y22 )
4、对任意轴的惯性矩
设定点O为直角座标系的原点，点Q为三维空间里任
与刚体的角加速度的乘积。
M I
（2）垂直轴定理
一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转 动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交 轴的转动惯量之和。
Iz Ix Iy
（3）平行轴定理
刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平 行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两 轴间距离平方的乘积。
z
x)2
(x
y
y
x)2
dm
整理，利用公式（2）得到：
IOQ
2 x
y2
z 2dm
2 y
x2
z 2 dm
2 z
x2 y2dm
2xy xydm 2xz xzdm 2yz yzdm
IOQ
x2 I xx
2 y
I
yy
z2 I zz
2xy Ixy
2xz Ixz
2yz I
3-(1-2)刚体、转动动能、转动惯量
O
R
Y
r
2
R Z
2
2
X
其体积：
2 2
dV r dZ ( R Z )dZ
其质量： dm dV ( R Z )dZ
2 2
其转动惯量： dI
1 2
r dm
2
1 2
( R Z ) dZ
2 2 2
15 – 8 1 多普勒效应 2
dI
r dm
2 n 2
第十五章 机械波
2 i 1 质量连续分布 mi 0
n
ri M
vim
i
Ek lim
mi 0 i 1 n
2m r
2 i i
2
1
2
令I
r dm
2 n 2
1 2 1
2
( r dm )
2
或I= mi ri
i 1
I
2
Ek
1 2
对（1）式求导：
rj
mj
rij
O
rj ri rij (1) v j vi a j ai
选取参考 点O，则：
mi ri
rij c
第十五章 机械波 15 – 8 多普勒效应 结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速
I
2
15 – 8
多普勒效应
1 2
2
第十五章 机械波
Ek
I
2
Ek
1 2
mv
2
I－转动惯量
I mi ri －质量不连续分布
i
I r dm
转动惯量知识讲解
F Nx macx
又因
acx b
A点为打击中心 N x 0
则解得 d J0 mb
对于匀质细棒：
r
r
Ny
Nx
Ox
db C
Jo
1 3
ml 2
b l , d 2l .
2
3
r F
A
5 . 5.4 力学体系绕定轴转动
4 •力学体系：是指由质点、变形质点系、刚体等 节多个物体组成的整体。如图所示：由人、哑铃、
d
(r rr
)
r
rr
r
vr
即
dt ar
dt ar
arn
r
rr
r
vr
可见，刚体各质元的角量相同，线量一般不同。
5 . 5.2 转动惯量及其计算 21、转动惯量：反映刚体在转动中的惯性。 节 定义
（单位： kg m2 ）
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的 质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
F2
rr2
r
r2
2
dA12
r F1
r dr1
r F2
r dr2
r F1
d
r r1
or r2
r F1
drr12
F1 r12
rr12
drr12
0
r12
dr12
(刚体)
转 分 作3过力功、如。力dFri图z即角 不矩所时 做的示功,功：，作设法用F向点ri 为分的刚力元体F位ri所n移不受为作的功任ds一，r个只, 外有沿力切轴，r 向方当分向刚力的体Fri
本章将介绍一种特殊的质点 系—刚体—所遵从的力学规律。 它实际上就是质点系的基本原 理在刚体上的应用。重点是定 轴转动，重要的概念是转动惯 量。
大学物理3_4 刚体绕定轴转动的动能定理
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章 刚体的转动
例3 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速度 作匀速转动.放上唱片后,唱片将在摩擦力作用下随转盘一 起转动.设唱片的半径为 R 、质量为 m ,它与转盘间的摩 擦系数为 .求(1)唱片与转盘间的摩擦力矩;(2)唱片达到 角速度 需要多长时间;(3)在这段时间内,转盘的驱动力 矩作了多少功? 解 (1)如图所示,在唱片上取长为 dl 宽为 dr 的面积元 dS dldr ,该面 积元所受的摩擦力为:
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 W J J0 mR 0 mR 2 2 2 2 4
3–4
第三章 刚体的转动 刚体绕定轴转动的动能定理 例3-11 一长为 l , 质量为 m0 的均质细竿可绕支点O自 由转动 . 一质量为 m、速率为 v0 的子弹射入竿内一端， 使竿的偏转角为30º 问子弹的初速率为多少 ? .
加速度
力 质量
dr v dt dv a dt
F
d 角速度 dt d 角加速度 dt
力矩
M
m
转动惯量 J
动量
P mv
角动量
L J
r
dm
2
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章 刚体的转动
质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照 质点的平动 刚体的定轴转动
EPB EkB EPA EkA
3–4
第三章 刚体的转动 刚体绕定轴转动的动能定理 1 2 4 2 2 J J1 J 2 ml ml ml 3 3
取A点的重力势能为零,即 则有 而
EPA 0
刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
0 R2
1 mR2 2
Z
m R2
R1
薄圆环
dm
ds
m (R22
R12
)
ds
ds 2 rdr
dJ r2dm
J R2 r 2
m
2 rdr
R1
(R22 R12 )
1 2
m(R22
R12 )
R
m
H
空心圆柱面
dm ds m ds 2 RH
ds 2 Rdh
dJ r2dm
J H R2 m 2 Rdh
0 2 RH
mR3
r
R
H m
实心圆柱
dm
dV
m
R2H
dV
dV 2 rHdr
dJ r2dm
J R r2 m 2 rHdr
0 R2H
R2 R1
H m
同轴空心圆柱
dm
dV
mg
H (R22
R12 )
dV
dV 2 rHdr
dJ r2dm
J R2 r2
mg
2 rHdr
R1 H (R22 R12 )
R
+
T1
+
T2
N
m
4m
2m ＋ o
P1
P2
mg
4m
T1
T2
2m
分别对人、物、滑轮建立方程：
4mg-T1 4ma人地
（1 ）
T2-2mg 2ma物地 2ma绳地 （2） R
T1R -T2 R
J
1 2
mR2
（3） m
人相对 绳匀加 速a0上爬，则
a人地 a人绳 a绳地
4m
3-3刚体转动的动能定理
T2
( m1
1 2
M )m 2 g
1 2
m1 m 2
M
以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法, 都 应该理解和掌握。
例4：一个转动惯量为2.5 kgm2 、直径为60cm 的飞轮，正以130 rads1 的角速度旋转。现用闸瓦 将其制动, 如果闸瓦对飞轮的正压力为 500 N,闸瓦 与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求：
设刚体有n个质点组成，其中第i个质点的质 量 为 mi ，它到转轴的距离为 ri，速度大小为vi ，则该质 1 1 E m vБайду номын сангаас，因 vi ri w ,所以 E m r w 。因 点的动能 2 2 此，整个刚体的动能为
2 ki i i
2
2
ki
i i
1 1 n 2 2 Ek mi vi mi ri w2 2 i 1 i 1 2
m2
m1
解：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。 列方程
T1 =m1 a
（ 1）
FN
m2 g T2 = m2 a （2）
对于滑轮
T1 T1 T2 T2
α
1 2 T2 r T1r I M r 2
辅助方程
（ 3）
m1 g
a
（ 4）
m2 g
r = a
n
式中 i 1 是刚体的转动惯量I，所以绕定轴转 动的动能可以写为
mi vi
n
2
1 2 E k Iw 2
三、定轴转动的动能定理
设刚体在 合 外力矩M的作用下,绕定轴转过角位 移 d ,合外力矩对刚体作的元功为
dA Md
3第三章_刚体的定轴转动
d dt
J
,
刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等 于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为m1 和m2 的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无 相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳 子的张力. o 解: 受力图如下， 设 m 2 >m 1 r
(m 2 m1 ) g (m1 m 2 1 2
1 2 1 2 m m)g
1 2
m
m )r
m)g T2
T1
m 2 (2 m1
m1 m 2
m1 m 2
3-2 定轴转动的动量矩定理和 动量矩守恒定律
预习要点 1. 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动 量矩如何计算? 2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是
认识刚体
在研究物体的运动时，根据问题的性质和要求， 有时需要考虑物体的形状和大小，而忽略物体在力 的作用下引起的形变，即把物体看作是形状、大小 不会改变的物体—刚体：在外力作用下形状和大小 保持不变的物体(ideal model） 刚体特征： 构成刚体任意两质点间的距离，在运动过程中恒保 持不变。是一种“速冻”质点系。 研究任务： 刚体的运动，突出转动，将其上升为研究的主要问 题和对象。忽略了振动及其它变形运动。
J J
i
m i ri
2
2
m
r dm
例：如图质点系
J
m3 r3
r1 m 1
m2 r2
i3
m i ri
2
2
i 1
刚体定轴转动的动能定理
dm 积分遍及刚体体积V，
分几种情况：
dV , ( x, y, z )
1、刚体具有对称中心，对称中心就是质心；
2、若刚体无对称中心，但可以划分为几部分，而每一部 分都有对称中心，各部分的中心就是各部分的质心，这些质心 形成为分立的质点组，则刚体的质心就归结为这一质点组的质 心； 3、前二个条件都不具备，这时就必须求积分，计算刚体 的质心。
dri j r j ri rij (为什么?) dt dt r r ij j 2 2 d r j d ri i 2 2 即 v j v i , a j ai O ri dt dt
dr j
由于 i ，j 是任意两个质元，所以刚体上所有质元均有相同的速 度和加速度，各质元的运动轨迹的形状也相同。这里很自然想 到一个代表性的质元——质心。
二、刚体的转动
如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转 动，这条直线称为转轴，转轴固定于参考系的情况称为定轴转 动。例如机器上齿轮的运动，门窗等都是定轴转动。若转轴上 有一点静止于参考系，而转轴的方向在变动，这种转动称为定 点转动。例如玩具陀螺的转动就属于定点转动。
分析表明：刚体的任何复杂运动总可以分解为平动和转动（定 轴转动或定点转动）的叠加，例如车轮的滚动、螺帽的运动。 研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径 r 与Ox 轴间
唯一确定。总之，为描述平面运动，必须给出
rB rB (t ) xB (t )i yB (t ) j, 或 xB xB (t ), yB yB (t )
刚体的动量矩及转动动能汇总
§6、刚体的动量矩及转动动能上次课我们将质点组的两个基本动力学定理，即质心运动定理和动量矩定理:M dtd dt J d M F r v m r Fre ii i i i e ic=⨯∑=⨯∑=∑=)(,)( 应用于刚体，于是就给出了描述刚体动力学规律的基本运动微分方程。
虽然上次课已经给出刚体动力学基本方程，但是对基本方程中的动量矩的具体形式并没有给出，这次课我们仍然以质点组的动量矩和动能定义为出发点推出刚体的动量矩以及刚体的转动动能。
下面我们先讨论：一、 刚体定点转动的动量矩：假设刚体在某一时刻以角速度ω转动。
取刚体上任一质点p i 的质量为m i 。
它相对固定点O 点的位矢量为i r。
那么根据质点组的动量矩定义式可得整个刚体对固定点0的动量矩是：)(v m r i i i iJ⨯=∑因为，r w v ii⨯= 所以，它就等于)(r w m r i i i i⨯⨯∑ 根据矢量多重叉积的基本公 式：c b a b c a c b a)()()(⋅-⋅=⨯⨯ 可得[]][r r m w r m r w r w r r m rw r m iiiiiiiiiiiiiiiiIiw i J)()()(2)(⋅=-⋅=⨯=∑-∑⋅∑⨯∑由此可以看出，动量矩J 一般不与角速度ω 共线，只有0≡⋅w r时， j 与w 才是共线的。
由于角动量是个矢量，如果我们确定了坐标系，那么就可以将它写成分量形式。
如图所示，建立直角坐标系O —X 、Y 、Z(并与绕定轴转动的刚体固连在一起，坐标这样取在目前的情况下比较方便。
因为刚体上任一点的坐标（x,y,z ）不管刚体怎样运动，它们相对刚体都是不随时间改变的常数，所以取与刚体固定的动坐标系比较方便。
)则i r 和w在三正交坐标轴的分量……则：kw jw i w wk z jy ix rz yxiiii++=++=,于是可得动量矩在x 轴上的分量：wz x m wy x m wzy m xw z wy wx m wz yx m Jxiiyiixii i iziyixii xi ii i zi i )()()()()(22222∑∑∑∑∑--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++-++=同理可得：wx ym w z y m wz x m J wz y m wz ym w y x m Jziiiyii xiiz ziiyi iixii yi i i i )()()()()()(2222++--=-++-=∑∑∑∑∑∑ 在这儿我们就令：)))222222(((x y m I z x m I z ym I iiizziiiyyiii xx +∑+∑+∑===∑∑∑======x z m II y z m I Iy x m IIii i xzzxi i i zyyzi i i yxxy则动量矩在直角坐标系中的分量式就可简写为：wI w I w I J w I w I w I J w I w I w I Jzzzyzyxzxzzyzyyyxyxy zxzyxyxxxx +---=-+=--=：由这些分量式也可以看出刚体绕固定点转动的动量矩的分量与角速度的三个分量 w w w z y x ,,都有关。
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2 特点 (1)任意质点均作圆周运动，
圆面为转动平面； (2)任意质点角位移dθ，
角速度w，角加速度β相同；
z
r
v
P
O
x
(3)方向正负规定：
符合右手螺旋关系为正。
3 角量公式
ω dθ dt
dω dt
d 2θ d 2t
6
刚体作匀角加速度定轴转动
ω dθ dt
dω dt
1 2
m v2
转动动能
Ek
1 2
I 2
dl -- 线分布λ＝m/L dm ds -- 面分布σ＝m/S
dv -- 体分布ρ＝m/V
I单位： 千克·米2
12
四 决定转动惯量的三因素
(1) 刚体的质量； 如：同形状的石磙和木磙； (2) 刚体的质量分布； 如：圆环与圆盘的不同 (3) 刚体转轴的位置。 如：细棒绕中心、绕一端。
刚体平动
质点运动
3
2 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。 转动又 分定轴转动和非定轴转动。
刚体的平面运动
4
刚体的一般运动 质心的平动
+ 绕质心的转动
5
三 刚体的定轴转动
1 概念：转轴固定不动的转动。
刚体内各质点都在其所在的与刚体转轴相垂直的平面内作
圆周运动，圆心在转轴的轴线上。
a
et
an
r
at
v
8
3-2 转动动能 转动惯量
一 刚体的平动动能
刚体的平动动能应为各质 元的动能之和
Ek平
n i 1
1 2
mi
v
2 i
1 2
Mv
2 c
vc为质心的速度
9
二 转动动能
刚体的转动动能应为各质元动 能之和，将刚体分割成n个质元 △m。
任取一质元 △mi ，距转轴 ri ，
Ek
lim
mi 0 n
n i 1
1 2mi
ri2
2
v
r
ri
1 ( r 2dm) 2 2
令 I r 2dm
转动动能
Ek
1 2
I 2
11
三 转动惯量
1 定义
n
I miri2 --离散分布
i
I r 2dm --连续分布 V
平动动能
Ek
m为刚体的质量；
d为轴A与C轴之间的垂直距离。
M
正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）
Iz= Ix+ Iy
z⊥xy轴所在刚体平面
z y
Iz --- 垂直于转动平面的转轴的转动惯量；
x
Ix , Iy --- 在转动平面内两个正交轴的转动惯量。
18
例2 半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆盘，质量均为m， 试分别求出对通过质心并与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。
m
R 2
R
r dr
dI r 2dm 2r 3dr
IO
dI
m
R 2 r 3dr
0
2
R4 4
2
m
R 2
R4 4
1 m R2 2
I细圆环 mR 2
B
A
h
O质
r v
ri
X
13
例1 质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：
(1) 转轴通过棒的中心O并与棒垂直； (2) 转轴通过棒的一端B并与棒垂直； (3) 转轴通过棒上距质心为h的一点A并与棒垂直。
B
A
h
dm
O质 x
解：以棒中心为原点建立坐标OX， 将棒分割成许多质元dm
则该质元动能：
r
v
ri
1 2
mi vi2
1 2
mi (ri )2
1 2
mi ri2 2
刚体的转动动能
Ek
n i 1
1 2
mi
ri
2
2
1n (
2 i1
mi ri 2 ) 2
10
质量不连续分布（离散）
Ek
1 2
(
n i 1
mi
ri2
)
2
质量连续分布 mi 0
d 2θ d 2t
0 t
0
0t
1 2
t 2
2
2 0Biblioteka 2(0)
a
et
an
r
at
v
7
角量与线量的关系
v
r
a
r
an
v
s R
v R
an
v2 R
2R
at
dv dt
R
在整个过程中，演员改变了什么？背后的物理机 制是什么？
2
3-1 刚体的定轴转动
一 刚体
定义：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。 （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）
二 刚体的运动形式
1 平动：若刚体中所有点的 运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间 的连线总是平行于它们的 初始位置间的连线。
m / L dm dx
X
14
B
A
h
dm
X
O质 x
(1)求：IO
IO
r 2dm
x2dm L/ 2 x2dx L/2
(2)求：IB
L3 1 mL2
12 12
IB
r 2dm
( L x)2 dm 2
L/ 2 (L / 2 x)2 dx L3 1 mL2
L/2
33
15
B
A
h
dm
X
O质 x
(3) 求：IA
IA
r 2dm L/ 2 (h x)2 dx L/2
L3 h2L
12 1 m L2 m h2
12
IO
1 12
m L2
IB
1 3
m L2
16
B
A
h
dm
X
O质 x
注意：
IB
IO(质 心)
1 3
m L2
第三章 刚体的转动
飞轮的质量为什么大都分布于外边缘？
1
3.1 刚体的定轴转动
引言 花样滑冰里的一个动作叫陀转，在转动开始时演
员手臂和腿是展开的，此时转动速度较慢，而后演 员会突然把手臂抱紧，转速明显变快。
从物理的角度分析，演员受到三个力的作用：地 面的支持力，冰面的摩擦力，空气的阻力。均不能 对加快转速产生正面的影响。
R
R
19
解：(1) 细圆环的转动惯量
dm dl
dl
R
IO
R2dm R2dl L
R2 dl R2 2R L
m R2
问题:若转轴在圆环上时， 圆环的转动惯量？
I A IC md 2 mR2 mR2
20
(2) 盘面垂直的转轴的转动惯量。
dm ds 2rdr
1 12
m L2
m(
L)2 2
IA
IO(质 心)
(1 12
m L2
m h2 )
1 12
m L2
m h2
或
IB
IO
m(
L )2 2
I A Io mh 2
17
平行轴定理：刚体对任一轴A的转动惯量IA和通过质心并与A
轴平行的转动惯量IO有如下关系：
IA= Ic+ md2
d
A
C