2017-2018年山东省东营市利津县九年级上学期期中数学试卷及参考答案(五四学制)

2017-2018学年山东省东营市利津县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列命题为真命题的是（）A．三点确定一个圆B．度数相等的弧相等C．垂直于弦的直径平分弦D．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等3．（3分）抛物线y=﹣2x2+4的顶点坐标为（）A．（4，0） B．（0，4） C．（4，2） D．（4，﹣2）4．（3分）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（）A．60°B．90°C．120° D．150°5．（3分）如图，AB是圆O的直径，点D在AB的延长线上，DC切圆O于C，若∠A=25°．则∠D等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°6．（3分）抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x=0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的7．（3分）在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D8．（3分）△ABC的三条边长分别是5，13，12，则其外接圆半径和内切圆半径分别是（）A．13，5 B．6.5，3 C．5，2 D．6.5，29．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）A． B．C．D．10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）A．1 B．C．D．2二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（4分）已知点A（a，2016）与点A′（﹣2017，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为．12．（4分）如图，DB切⊙O于A，∠AOM=66°，则∠DAM=度．13．（4分）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是．14．（4分）如图，水平放置的圆柱形油槽的截面直径是52cm，装入油后，油深CD为16cm，那么油面宽度AB=．15．（4分）小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是．16．（4分）若A（﹣3.5，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）为二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是．（用＞连接）17．（4分）在⊙O中，弦AB=8，半径为8，则弦AB所对的圆周角是．18．（4分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图所示，则ax2+bx+c=m有实数根的条件是．三、解答题（本大题共7小题，共58分）19．（6分）用配方法把二次函数y=x2﹣4x+5化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．20．（8分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的大小．21．（10分）如图，有长为24cm的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度a=10m）．（1）如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；（2）按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所经过的路径长．23．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．24．（12分）已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x 轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．附加题（可根据个人情况自己选做）（b，0）．求（a2﹣1999a+1999）（1）若抛物线y=x2﹣1998x+1999与x轴交于点（a，0），（b2﹣1999b+1999）的值．（2）已知无论m为任何实数，二次函数y=（x﹣2m）2+m的图象的顶点总在定直线上．求此定直线的解析式．2017-2018学年山东省东营市利津县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、不是轴对称图形，是中心对称图形；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选：A．2．（3分）下列命题为真命题的是（）A．三点确定一个圆B．度数相等的弧相等C．垂直于弦的直径平分弦D．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等【解答】解：A、错误．应该是不在同一直线上的三点确定一个圆；B、错误．度数相等的弧不一定相等；C、正确．垂径定理．D、错误．成立的条件是同圆或等圆中．故选：C．3．（3分）抛物线y=﹣2x2+4的顶点坐标为（）A．（4，0） B．（0，4） C．（4，2） D．（4，﹣2）【解答】解：抛物线y=﹣2x2+4的顶点坐标为（0，4）．故选：B．4．（3分）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（）A．60°B．90°C．120° D．150°【解答】解：旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．故选：D．5．（3分）如图，AB是圆O的直径，点D在AB的延长线上，DC切圆O于C，若∠A=25°．则∠D等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，即∠OCD=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=25°，∴∠DOC=50°，∴∠D=90°﹣50°=40°．故选：A．6．（3分）抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x=0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的【解答】解：当x=﹣2时，y=0，∴抛物线过（﹣2，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故A正确；当x=0时，y=6，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；当x=0和x=1时，y=6，∴对称轴为x=，故C错误；当x＜时，y随x的增大而增大，∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；故选：C．7．（3分）在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【解答】解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，∴连接PP1、NN1、MM1，作PP1的垂直平分线过B、D、C，作NN1的垂直平分线过B、A，作MM1的垂直平分线过B，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选：B．8．（3分）△ABC的三条边长分别是5，13，12，则其外接圆半径和内切圆半径分别是（）A．13，5 B．6.5，3 C．5，2 D．6.5，2【解答】解：∵52+122=169，132=169，∴52+122=132，∴三角形是直角三角形，∴其外接圆半径==6.5，内切圆半径==2，故选：D．9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）A． B．C．D．【解答】解：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx 来说，图象开口向下，对称轴x=﹣位于y轴的右侧，故符合题意，D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx 来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．故选：C．10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：连接AE，OD、OE．∵AB是直径，∴∠AEB=90°，又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°，∴∠AOD=2∠AED=60°．∵OA=OD∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD=60°，∵点E为BC的中点，∠AEB=90°，∴AB=AC，∴△ABC是等边三角形，边长是4．△EDC是等边三角形，边长是2．∴∠BOE=∠EOD=60°，∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．=×22=．∴阴影部分的面积=S△EDC故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（4分）已知点A（a，2016）与点A′（﹣2017，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为1．【解答】解：∵点A（a，2016）与点A′（﹣2017，b）是关于原点O的对称点，∴a=2017，b=﹣2016，∴a+b=1，故答案为：1．12．（4分）如图，DB切⊙O于A，∠AOM=66°，则∠DAM=147度．【解答】解：DB切⊙O于A，则∠OAD=90°，∵AO=OM，∴∠OAM=∠OMA=（180°﹣∠O）÷2=57°，∴∠DAM=∠OAD+∠OAM=90°+57°=147°．13．（4分）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是A′（5，2）．【解答】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，∴AO=A′O．作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，∴∠ACO=∠A′C′O=90°．∵∠COC′=90°，∴∠AOA′﹣∠COA′=∠C OC′﹣∠COA′，∴∠AOC=∠A′OC′．在△ACO和△A′C′O中，，∴△ACO≌△A′C′O（AAS），∴AC=A′C′，CO=C′O．∵A（﹣2，5），∴AC=2，CO=5，∴A′C′=2，OC′=5，∴A′（5，2）．故答案为：A′（5，2）．14．（4分）如图，水平放置的圆柱形油槽的截面直径是52cm，装入油后，油深CD为16cm，那么油面宽度AB=48cm．【解答】解：连接OA，故OC⊥AB于点D，由垂径定理知，点D为AB的中点，AB=2AD，∵直径是52cm，∴OA=26cm，∴OD=OC﹣CD=26﹣16=10cm，由勾股定理知，AD==24cm，∴AB=48cm．故答案为：48cm．15．（4分）小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是4cm．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=6π，解得r=3，所以圆锥的高==4（cm）．故答案为4cm．16．（4分）若A（﹣3.5，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）为二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是y2＞y1＞y3．（用＞连接）【解答】解：对称轴为直线x=﹣=﹣=﹣2，∵a=﹣1＜0，∴当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，∵﹣2﹣（﹣3.5）=﹣2+3.5=1.5，﹣1﹣（﹣2）=﹣1+2=1，1﹣（﹣2）=1+2=3，∴y2＞y1＞y3．故答案为：y2＞y1＞y3．17．（4分）在⊙O中，弦AB=8，半径为8，则弦AB所对的圆周角是30°或150°．【解答】解：如图，∠P和∠P′为弦AB所对的圆周角，连接OA、OB，∵OA=OB=AB=8，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠P=∠AOB=30°，∴∠P′=180°﹣∠P=180°﹣30°=150°，即弦AB所对的圆周角为30°或150°．故答案为30°或150°．18．（4分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图所示，则ax2+bx+c=m有实数根的条件是m≥﹣1．【解答】解：如图，方程ax2+bx+c=m有实数根的条件，可以看成当二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象与直线y=m有一个或两个公共点，所以m≥﹣1．故答案为m≥﹣1．三、解答题（本大题共7小题，共58分）19．（6分）用配方法把二次函数y=x2﹣4x+5化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【解答】解：∵y=x2﹣4x+5=（x﹣4）2﹣3，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=4，顶点坐标是（4，﹣3）．20．（8分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的大小．【解答】解：（1）由旋转的性质知AP′=AP=6，∠P′AB=∠PAC，∴∠P′AP=∠BAC=60°，∴△P′AP是等边三角形，∴PP′=6；（2）∵P′B=PC=10，PB=8，∴P′B2=P′P2+PB2，∴△P′PB为直角三角形，且∠P′PB=90°，∴∠APB=∠P′PB+∠P′PA=90°+60°=150°．21．（10分）如图，有长为24cm的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度a=10m）．（1）如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；（2）按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）设AB的长为x米，根据题意列方程得：﹣3x2+24x=45化为x2﹣8x+15=0解得x1=5，x2=3，当x=3时，BC=24﹣3x=15＞10，不合题意，舍去，当x=5时，BC=24﹣3x=9，如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是5米；（2）设花圃的面积为S，由题意可得：S=x（24﹣3x）=﹣3x2+24x=﹣3（x﹣4）2+48，∵墙体的最大可用长度a=10m，∴0≤24﹣3x≤10，∴≤x≤8，∵对称轴x=4，开口向下，∴当x=时，花圃面积最大，当x=时，S=46m2；22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所经过的路径长．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；由勾股定理得，OA==，点A旋转到点A2所经过的路径长为：=．23．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA．∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠OAD=∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD=∠BAD=90°．∵∠DBC=30°，∠BDC=60°，∴∠BDE=120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA=60°．∴∠ABD=∠EAD=30°．∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，∴AD=2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，∴BD=2AD=4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．24．（12分）已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x 轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），∴根据题意，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），定义抛物线y=﹣x2+2x+3．令y=0，﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴CD==，BC==3，BD==2，∵CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）存在．y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1．①若以CD为底边，则P1D=P1C，设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2=x2+（3﹣y）2，P1D2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，因此x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P1点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=＜1，应舍去，∴x=，∴y=4﹣x=，即点P1坐标为（，）．②若以CD为一腰，∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x=1对称，此时点P2坐标为（2，3）．∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．25．附加题（可根据个人情况自己选做）（b，0）．求（a2﹣1999a+1999）（1）若抛物线y=x2﹣1998x+1999与x轴交于点（a，0），（b2﹣1999b+1999）的值．（2）已知无论m为任何实数，二次函数y=（x﹣2m）2+m的图象的顶点总在定直线上．求此定直线的解析式．【解答】解：（1）根据题意知，a、b是方程x2﹣1998x+1999=0的两根，则a2﹣1998a+1999=0、b2﹣1998b+1999=0，且ab=1999，∴a2﹣1999a+1999=a、b2﹣1999b+1999=b，（a2﹣1999a+1999）（b2﹣1999b+1999）=ab=1999；（2）由y=（x﹣2m）2+m知抛物线的顶点为（2m，m），∵顶点总在定直线上，∴该直线解析式为y=x．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。