「精品」2017年中考数学试题分项版解析汇编第02期专题11圆含解析

专题11：圆一、选择题1.(2017福建第8题)如图，AB 是O e 的直径，,C D 是O e 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与ACD ∠互余的角是（ ）A ．ADC ∠B ．ABD ∠C ． BAC ∠D ．BAD ∠ 【答案】D【解析】∵AB 是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠B=90°，∵∠ACD=∠B ，∴∠BAD+∠ACD=90°，故选D.2. (2017河南第10题)如图，将半径为2，圆心角为120︒的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60︒，点O ，B 的对应点分别为'O ，'B ，连接'BB ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．23π B ．3π C.23π D ．23π【答案】C. 【解析】试题分析：连接O 'O 、'O B ，根据旋转的性质及已知条件易证四边形AOB 'O 为菱形，且∠'O OB=∠O 'O B=60°，又因∠A 'O 'B =∠A 'O B=120°，所以∠B 'O 'B =120°，因∠O 'O B+∠B 'O 'B =120°+60°=180°，即可得O 、'O 、'B 三点共线，又因'O 'B ='O B ，可得∠'O 'B B=∠'O B 'B ，再由∠O 'O B=∠'O 'B B+∠'O B 'B =60°，可得∠'O 'B B=∠'O B 'B =30°，所以△OB 'B 为Rt 三角形，由锐角三角函数即可求得B'B =,所以2''1602=S 23232363OB BBO O S S ππ⨯-=⨯⨯=阴影扇形，故选C.考点：扇形的面积计算.3. （2017广东广州第9题）如图5，在O 中，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB CD ⊥，垂足为E ，连接0,,20CO AD BAD ∠=，则下列说法中正确的是（ ）A ．2AD OB = B ．CE EO = C. 040OCE ∠= D ．2BOC BAD ∠=∠ 【答案】D考点： 垂径定理的应用4. （2017广东广州第6题）如图3，O 是ABC ∆的内切圆，则点O 是ABC ∆的（ ）图3A ． 三条边的垂直平分线的交点B ．三角形平分线的交点 C. 三条中线的交点 D ．三条高的交点 【答案】B 【解析】试题分析：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故选B 。

考点： 内心的定义5. （2017山东临沂第10题）如图，AB 是O e 的直径，BT 是O e 的切线，若45ATB ∠=︒，2AB =，则阴影部分的面积是（ ）A ．2B ．3124π-C ．1D ．1124π+ 【答案】C考点：1、圆的切线，2、圆周角定理，3、等腰直角三角形6. （2017山东青岛第6题）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AED ＝20°，则∠BCD 的度数为（ ）A 、100°B 、110°C 、115°D 、120°【答案】B 【解析】试题分析：如下图，连接AD ，AD ，根据同弧所对的圆周角相等，可知∠ABD=∠AED ＝20°，然后根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB ＝90°，从而由三角形的内角和求得∠BAD ＝70°，因此可求得∠BCD=110°. 故选：B考点：圆的性质与计算7. (2017四川泸州第6题)如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8,1AB AE ==，则弦CD 的长是（ ）A B ．．6 D ．8【答案】B. 【解析】试题分析：已知AB=8，AE=1，可得OA=4，OE=3,连结OC ，在Rt △OCE 中，根据勾股定理可得 ，又因CD AB ⊥，根据垂径定理可得，故选B.8. (2017山东滨州第5题)若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）AB ．C D ．1【答案】A.【解析】如图，由题意得，OA=2，△AOM 是等腰直角三角形，根据勾股定理可得 ，故选A.9. (2017山东日照第9题)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（）A．B．C．5 D．【答案】A.试题分析：过点D作OD⊥AC于点D，∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°，∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，∴∠AOC=120°，∵OA=OC，∴∠OAD=30°，∵AB=10，∴OA=5，∴OD= 12AO=2.5，∴= = ，∴，故选A．考点：切线的性质．10. (2017辽宁沈阳第10题)正方形ABCDEF内接与O，正六边形的周长是12，则O的半径是（）B.2C.D.【答案】B.【解析】试题分析：已知正六边形的周长是12，可得BC=2，连接OB、OC，可得∠BOC=360606=，所以△BOC为等边三角形，所以OB=BC=2，即O的半径是2，故选B.考点：正多边形和圆.11. (2017江苏宿迁第6题)若将半径为12cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是A．2cm B．3cm C.4cm D．6cm【答案】D.【解析】试题分析：这个圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆的周长等于圆锥侧面展开扇形的弧长，可得9012121802rππ⨯=⨯，解得r=6cm，故选D.12. (2017山东日照第15题)如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形（图中阴影部分）的面积是．【答案】6π．试题分析：∵四边形AECD 是平行四边形， ∴AE=CD ， ∵AB=BE=CD=6， ∴AB=BE=AE ，∴△ABE 是等边三角形， ∴∠B=60°，∴S 扇形BAE=2606360π⨯=6π，考点：扇形面积的计算；平行四边形的性质．13. （2017江苏苏州第9题）如图，在Rt C ∆AB 中，C 90∠A B =，56∠A =．以C B 为直径的O 交AB 于点D ，E 是O 上一点，且C CD E =，连接OE ，过点E 作F E ⊥OE ，交C A 的延长线于点F ，则F ∠的度数为A ．92B ．108 C.112 D ．124【答案】C. 【解析】 试题分析：C 90∠A B =，56∠A =，34B ∴∠=︒1C CD 682B CBD COE E =∴∠=∠=∠=︒，112F ∴∠=︒故答案选C.考点：圆心角与圆周角的关系.14. (2017浙江金华第7题)如图，在半径为13cm 的圆形铁片上切下一块高为8cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（ ）A ．10cmB ．16cm C.24cm D ．26cm 【答案】C. 【解析】试题分析：作OC ⊥AB 交点为D ，交圆于点C ，OB=13cm ，CD=8cm ，OD=5cm ；在RT △BOD 中，根据勾股定理可求得BD=12cm ，再由垂径定理可得AB=2BD=24cm ，故选C. 15. (2017湖南湘潭第7题)如图，在半径为4的O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD AB ⊥，垂足为点E ，90AOB ∠=°，则阴影部分的面积是（ ）A.44π- B ．2π-4 C.π4 D.2π 【答案】D. 【解析】试题分析：已知CD AB ⊥，所以︒=∠=∠45BOC AOC ，即可得πππ236044536022====r n S S AOC扇形阴，故选D. 二、填空题1.(2017北京第14题)如图，AB 为O 的直径，C D 、为O 上的点，AD CD =.若040CAB ∠=，则CAD ∠= ．【答案】25°.考点：圆周角定理2.（2017广东广州第15题）如图8，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底l = ．【答案】 【解析】试题分析：：扇形的弧长和圆锥的底面周长相等，即：1202180lππ=l ＝ 考点： 圆锥的底面周长与侧面展开图的弧长关系.3. （2017湖南长沙第15题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，已知1,6==EB CD ，则⊙O 的半径为 ．【答案】5 【解析】试题分析：设圆的半径为r ，根据垂径定理可知CE=3，OE=r-1，然后勾股定理可知2223+(r-1)r =，解得r=5. 故答案为：5.考点：1、垂径定理，2、勾股定理4. （2017山东青岛第12题）如图，直线AB 与CD 分别与⊙O 相切于B 、D 两点，且AB ⊥CD ，垂足为P ，连接BD.若BD ＝4，则阴影部分的面积为___________________。

【答案】2π-4 【解析】 试题分析：如下图连接OB ，OD ，根据切线的性质，由直线AB 与CD 分别与⊙O 相切于B 、D 两点，可知AB ⊥OB ，PC ⊥OD ，再结合AB ⊥CD ，可得到四边形BOPD 是正方形，从而求得2222==BD r ，然后可求阴影部分的面积为()42222221224121r 4122-=⨯-=⋅-=-=∆πππOD OB S S S BODBOD 扇形阴考点:弓形面积5.（2017山东青岛第13题）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 为对角线AC 的中点，连接BE 、ED 、BD ，若∠BAD ＝58°，则∠EBD 的度数为__________度．【答案】32 【解析】 试题分析：如下图由∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 为对角线AC 的中点，可知A ，B ，C ，D 四点共圆，圆心是E ，直径AC 然后根据圆周角定理由∠BAD ＝58°，得到∠BED ＝116°，然后根据等腰三角形的性质可求得∠EBD=32°. 故答案为：32.考点:1、圆周角性质定理，2、等腰三角形性质 6.（2017江苏苏州第16题）如图，AB 是O 的直径，C A 是弦，C 3A =，C 2C ∠BO =∠AO ．若用扇形C OA （图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 ．【答案】12【解析】 试题分析：C 2C 60AOC ∠BO =∠AO ∴∠=︒，3r ∴=∴ 6032180l r ππ⨯== 12r ∴=.考点：圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长.7. (2017山东菏泽第12题)一个扇形的圆心角为 100，面积为215cm π，则此扇形的半径长为______. 【答案】63. 【解析】试题分析：根据扇形的面积公式可得210015360r ππ= ，解得r =8. （2017浙江湖州第14题）如图，已知在C ∆AB 中，C AB =A ．以AB 为直径作半圆O ，交C B 于点D ．若C 40∠BA =，则D A 的度数是 度．【答案】140考点：圆周角定理9. （2017浙江湖州第15题）如图，已知30∠AOB =，在射线OA 上取点1O ，以1O 为圆心的圆与OB 相切；在射线1O A 上取点2O ，以2O 为圆心，21O O 为半径的圆与OB 相切；在射线2O A 上取点3O ，以3O 为圆心，32O O 为半径的圆与OB 相切；⋅⋅⋅；在射线9O A 上取点10O ，以10O 为圆心，109O O 为半径的圆与OB 相切．若1O 的半径为1，则10O 的半径长是 ．【答案】512（或29） 【解析】试题分析：根据切线的性质，和30°角所对直角边等于斜边的一半，可知OO 1=2，然后同样可知O 1O 2=2=21，OO 3=2×2=22，……OO n =2n-1，因此可得第10个为210-1=29=512.故答案为：512.考点：1、圆的切线，2、30°角的直角三角形 10. (2017湖南湘潭第13题)如图，在O 中，已知120AOB ∠=°，则ACB ∠= ．【答案】60°【解析】试题分析：根据圆周角定理，同一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，即可得ACB ∠=60°. 11. （2017浙江台州第13题）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条,AB AC 的夹角为120,AB ︒长为30厘米，则BC 的长为 厘米．（结果保留π）【答案】20π 【解析】试题分析：根据弧长公式180n r l π=可得：弧BC 的长=180n r π=12030180π⨯⨯=20π. 故答案为：20π. 考点：弧长的计算12. （2017浙江台州第16题）如图，有一个边长不定的正方形ABCD ，它的两个相对的顶点,A C 分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点,B D 在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a 的取值范围是 ．【答案】32a ≤≤a ≤≤ ） 【解析】试题分析：因为AC 为对角线，故当AC 最小时，正方形边长此时最小. ①当 A 、C 都在对边中点时（如下图所示位置时），显然AC 取得最小值， ∵正六边形的边长为1，∴∴a 2+a 2=AC 2=2.∴②当正方形四个顶点都在正六边形的边上时，a 最大（如下图所示）. 设A ′（t,2）时，正方形边长最大. ∵OB ′⊥OA ′. ∴B ′（t ） 设直线MN 解析式为：y=kx+b,M （-1，0），N （-12，-2）（如下图）∴0122k b k b -+=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩.∴k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线MN 的解析式为：x+1）,将B ′（-2， t ）代入得：t=32此时正方形边长为A ′B ′取最大. ∴.故答案为：32a ≤≤.考点：1、勾股定理，2、正多边形和圆，3、计算器—三角函数，4、解直角三角形13. (2017浙江舟山第13题)如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径cm 8的⊙O ，090=AB ，弓形ACB （阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ．【答案】（32+48π）cm² 【解析】试题分析：连接OA ，OB ，因为弧AB 的度数是90°，所以圆心角∠AOB=90°，则S空白=S扇形AOB-S △AOB =229081816323602ππ⨯-⨯=- （cm 2）,S 阴影=S 圆-S 空白=64π-（16π-32）=32+48π（cm 2）.考点：扇形面积的计算. 三、解答题1. (2017北京第24题)如图，AB 是O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作O 的切线交CE 的延长线于点D .（1）求证：DB DE =； （2）若12,5AB BD ==，求O 的半径.【答案】（1）见解析；（2）152【解析】试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sin ∠DEF 和sin ∠AOE 的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.本题解析：（1）证明：∵DC ⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD 为切线，∴OB ⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB 中, ∠4=∠5，∴DE=DB.(2)作DF ⊥AB 于F,连接OE,∵DB=DE, ∴EF=12BE=3，在 RT △DEF 中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 , ∴4=∴sin ∠DEF=DF DE = 45 , ∵∠AOE=∠DEF, ∴在RT △AOE 中，sin ∠AOE=45AE AO = ,∵AE=6, ∴AO=152.考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数2. (2017天津第21题)已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，050=∠ABT ，BT 交⊙O 于点C ，E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D .（1）如图①，求T ∠和CDB ∠的大小；（2）如图②，当BC BE =时，求CDO ∠的大小.【答案】(1) ∠T=40°，∠CDB=40°；（2）∠CDO =15°. 【解析】试题分析：(1)如图，连接AC,根据切线的性质定理可得∠TAB=90°，即可求得∠T 的度数；根据直径所对的圆周角为直角可得∠ACB=90°，即可求得∠CDO 的度数. （2）如图，连接AD,在△BCE 中，求得∠BCE=∠BEC=65°,根据圆周角定理的推论可得∠BAD=∠BCD=65°，因OA=OD ，根据等腰三角形的性质可得∠ODA=∠OAD=65°，即可得∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°. 试题解析：(1)如图，连接AC,∵AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线， ∴AT ⊥AB,即∠TAB=90°. ∵050=∠ABT ， ∴∠T=90°-∠ABT=40°由AB 是⊙O 的直径，得∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°-∠ABC=40° ∴∠CDB=∠CAB=40°;（2）如图，连接AD,在△BCE 中，BE=BC ，∠EBC=50°， ∴∠BCE=∠BEC=65°, ∴∠BAD=∠B CD=65° ∵OA=OD∴∠ODA=∠OAD=65° ∵∠ADC=∠ABC=50° ∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.3. (2017福建第21题)如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 是O e 的直径，点P 在CA 的延长线上，45CAD ∠=o．（Ⅰ）若4AB =，求弧CD 的长；（Ⅱ）若弧BC =弧AD ，AD AP =，求证：PD 是O e 的切线． 【答案】（Ⅰ）CD 的长 =π；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）连接OC ，OD ，由圆周角定理可得∠COD=90°，然后利用弧长公式即可得； （Ⅱ）由BC =AD ，可得∠BOC=∠AOD ，从而可得∠AOD=45°，再由三角形内角和从而可得∠ODA=67.5°，由AD=AP 可得∠ADP=∠APD ，由∠CAD=∠ADP+∠APD ，∠CAD=45°可得∠ADP=22.5°，继而可得∠ODP=90°，从而得 PD 是⊙O 的切线.试题解析：（Ⅰ）连接OC ，OD ，∵∠COD=2∠CAD ，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=12AB=2，∴CD 的长=902180π⨯⨯ =π；（Ⅱ）∵BC =AD ，∴∠BOC=∠AOD ，∵∠COD=90°，∴∠AOD=1802COD︒-∠ =45°，∵OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD ，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA=1802AOD︒-∠=67.5°，∵AD=AP ，∴∠ADP=∠APD ，∵∠CAD=∠ADP+∠APD ，∠CAD=45°，∴∠ADP=12∠CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，又∵OD 是半径，∴PD 是⊙O 的切线.4. (2017河南第18题)如图，在ABC ∆中， AB AC =，以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ，过点C 作//CF AB ，与过点B 的切线交于点F ，连接BD .（1）求证：BD BF =；（2）若10AB =，4CD =，求BC 的长.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：(1)根据已知条件已知CB 平分∠DCF ，再证得BD AC ⊥、BF CF ⊥，根据角平分线的性质定理即可证得结论；（2）已知AB AC ==10，4CD =，可求得AD =6,在Rt △ABD 中，根据勾股定理求得2BD 的值,在Rt △BDC 中，根据勾股定理即可求得BC 的长. 试题解析： (1)∵AB AC = ∴∠ABC=∠ACB ∵//CF AB ∴∠ABC=∠FCB∴∠ACB=∠FCB ，即CB 平分∠DCF ∵AB 为⊙O 直径∴∠ADB=90°，即BD AC ⊥ ∵BF 为⊙O 的切线 ∴BF AB ⊥ ∵//CF AB ∴BF CF ⊥ ∴BD=BF考点：圆的综合题.5. （2017广东广州第25题）如图14，AB 是O 的直径，,2AC BC AB ==，连接AC ．（1）求证：045CAB ∠=； （2）若直线l 为O 的切线，C 是切点，在直线l 上取一点D ，使,BD AB BD =所在的直线与AC 所在的直线相交于点E ，连接AD ．①试探究AE 与AD 之间的数量关系，并证明你的结论；②EBCD是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）①AE AD = ②2BECD= 【解析】试题分析：（1）直径所对的圆周角是圆心角的一半，等弧所对的圆周角是圆心角的一半；（2）①等角对等边；②试题解析：（1）证明：如图，连接BC.222BE EI AE ==⨯= 是O 的直径， 90ACB ∴∠=︒ AC BC CAB CBA =∴∠=∠18090452CAB CBA ︒-︒∴∠=∠==︒ （2）①如图所示，作BF l ⊥ 于F 由（1）可得，ACB ∆ 为等腰直角三角形.O 是AB 的中点. CO AO BO ∴== ACB ∴∆ 为等腰直角三角形.又l 是O 的切线，OC l BF l ∴⊥⊥∴ 四边形OBEC 为矩形 22AB BFBD BF ∴=∴=303075BDF DBA BDA BAD ∴∠=︒∴∠=︒∠=∠=︒，15901575CBE CEB DEA ∴∠=︒∠=︒-︒=︒=∠，,ADE AED AD AE ∴∠=∠∴=②当ABD ∠ 为钝角时，如图所示，同样，1,302BF BD BDC =∴∠=︒ 1801501509015152ABD AEB CBE ADB ︒-︒∴∠=︒∠=︒-∠=︒∠==︒，，AE AD ∴=（3）当D 在C 左侧时，由（2）知CD AB ,,30ACD BAE DAC EBA ∠=∠∠=∠=︒ ,AC CD CADBAE AB AE ∴∆∆∴==,,15AE BA BD BAD BDA ∴==∠=∠=︒30IBE ∴∠=︒,在Rt IBE ∆ 中，2222BE EI AE CD ==⨯== 2BECD∴=当D 在C 右侧时，过E 作EI AB ⊥ 于I 由（2）得，15ADC BEA ∠=∠=︒AB CD EAB ACD ∴∠=∠AC CD ACDBAEAB AE ∴∆∆∴== AE ∴= ,15BA BD BAD BDA =∠=∠=︒ 30IBE ∴∠=︒在Rt IBE ∆中，222BE EI AE CD ==== 2BECD∴= 考点：圆的相关知识的综合运用6. （2017湖南长沙第23题）如图，AB 与⊙O 相切于C ，OB OA ,分别交⊙O 于点E D ,，CD CE =． （1）求证：OB OA =；（2）已知34=AB ，4=OA ，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）23S π阴影试题解析：（1）连接OC ，则OC ⊥AB ∵CD CE = ∴∠AOC =∠BOC 在△AOC 和△BOC 中，90AOC BOC OC OCOCA OCB ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩∴△AOC≌△BOC（ASA ） ∴AO=BO（2）由（1）可得AC=BC=12AB=∴在Rt △AOC 中，OC=2 ∴∠AOC =∠BOC =60°∴11==22BOC S BC OC ⋅⨯△ 26022==3603S ππ⨯⨯扇形BOC∴2=3BOC S S S π-△阴影扇形BOC 考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积7. （2017山东临沂第23题）如图，BAC ∠的平分线交ABC V 的外接圆于点D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E . （1）求证：DE DB =；（2）若90BAC ∠=︒，4BD =，求ABC V 外接圆的半径.【答案】 【解析】试题分析：（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE ，∠BAE=∠CAD ，得出BD CD =，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD ，证出∠DBC=∠BAE ，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB ，即可得出DE=DB ； （2）由（1）得：BD CD =，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC 是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出，即可得出△ABC 外接圆的半径． 试题解析：（1）AD 平分BAC ∠，BE 平分ABC ∠，,BAD CAD ABE CBE ∴∠=∠∠=∠，又BED ABE BAD ∠=∠+∠，DBE DBC CBE ∠=∠+∠，DBC DAC ∠=∠,BED DBE ∴∠=∠.DE DB ∴=.（2）解：连接CD ，90BAC ∠=，BC ∴是圆的直径.90BDC ∴∠=，90BDC ∴∠=.BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=，BD CD ∴=，BCD ∴∆是等腰直角三角形.4BD =，BC ∴=ABC ∴∆的外接圆的半径为考点：1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理 8. (2017四川泸州第24题)如图，⊙O 与ABC Rt ∆的直角边AC 和斜边AB 分别相切于点;,D C 与边BC 相交于点F ,OA 与CD 相交于点E ，连接FE 并延长交AC 边于点G . （1）求证：DF //AO（2）若,10,6==AB AC 求CG 的长.【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】试题分析：（1）由弦切角定理和切线长定理证得CD 垂直于AO ，再证得∠DAO=∠BDF ，即可证得结论；（2）过点E 作OC EM ⊥与M ，根据勾股定理求得BC=8，再求得BD=4，由切割线定理可求得;2=BF 再由勾股定理求得BC=4，利用射影定理求得，利用相似三角形的性质即可求得CG 的长.试题解析：（1）证明：AB 与⊙O 相切与点DBDF BCD ∠=∠∴ （弦切角定理）又AC 与⊙O 相切与点C由切线长定理得：;,DAO CAO AD AC ∠=∠=AO CD ⊥∴,;BDF DAO DAO CAO BCD ∠=∠∴∠=∠=∠∴即：DF//AO（2）：过点E 作OC EM ⊥与M88,622=-=∴==AC AB BC AB AC4,6=-=∴==AD AB BD AC AD∴由切割线定理得：BC BF BD ⋅=2,解得：;2=BF;321,6===-=∴FC OC BF BC FC 5322=+=∴OC AC OA由射影定理得：553,2=⋅=OE OA OE OC 解之得： 235;5366.3;518;56,53;51==∴===∴=+===∴===∴EM CG FC FM CG EM OM OF FM EM OM OA OE OC OM AC EM9. (2017山东滨州第23题)（本小题满分10分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DA C．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2＝DF·D A．【答案】详见解析.试题解析：证明：（1）如图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DA C．∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°．∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直线DM是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE．∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CA D．∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CA D．∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BD2＝DF·D A．∴DE2＝DF·D A．10. (2017辽宁沈阳第22题)如图，在ABC∆中，以BC为直径的O交AC于点E，过点E做EF AB⊥于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且2ABG C∠=∠.（1）求证：EF是O的切线；（2）若3sin5EGC∠=，O的半径是3，求AF的长.【答案】（1）详见解析；（2）245.试题解析：(1)连接OE，则2EOG C∠=∠,∵2ABG C∠=∠∴ABG EOG∠=∠∴//AB OE∵EF AB⊥∴090AFE∠=∴090GEO AFE∠=∠=∴OE EG⊥又∵OE是O的半径∴EF是O的切线；（2）∵2ABG C∠=∠，∵ABG C A∠=∠+∠∴C A∠=∠∴BA=BC又O的半径为3，∴OE=OB=OC∴BA=BC=2×3=6在Rt△OEG中，sin∠EGC=OEOG，即335OG=∴OG=5在Rt△FGB中，sin∠EGC=BFGB，即352FB=∴BF=6 5∴AF=AB-BF=6-65=245.考点：圆的综合题.11. (2017江苏宿迁第22题)（本题满分6分）如图，AB 与O 相切于点B ，C B 为O 的弦，C O ⊥OA ，OA 与C B 相交于点P ；（1）求证：AP =AB ；（2）若4OB =，3AB =，求线段BP 的长．【答案】(1)详见解析；（2）BP=5. 【解析】试题分析：(1)根据已知条件易得∠ABP+∠OBC=90°，∠C+∠CPO=90°，因为∠APB=∠CPO ， 即可得∠C+∠APB=90°，再由∠C=∠OBC,即可得∠ABP=∠APB,所以AP=AB ；（2）过点A 作AD ⊥BP ，垂足为D ，所以∠ADP=90°，PD=12BP ，由勾股定理求得OA 的长，再由勾股定理求得CP 的长，由∠ADP=∠CPO ，∠ADP=∠COP ，证得△ADP ∽△COP ，根据相似三角形的性质求得PD 的长，即可得BP 的长.(2) 过点A 作AD ⊥BP ，垂足为D ，所以∠ADP=90°，PD=12BP 因为∠ABO=90°，4OB =，3AB =，所以222OA OB AB =+,故OA=5因为AP=AB=3，所以OP=OA-AP=2因为∠COP=90°，所以CP =, 因为∠ADP=∠CPO ，∠ADP=∠COP ，所以△ADP ∽△COP.所以PD APPO CP=,即 ，所以.12. （2017江苏苏州第27题）（本题满分10分）如图，已知C ∆AB 内接于O ，AB 是直径，点D 在O 上，D//C O B ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接CD 交OE 边于点F ．（1）求证：D ∆OE ∽C ∆AB ； （2）求证：DF D ∠O =∠B E ；（3）连接C O ，设D ∆OE 的面积为1S ，四边形C D B O 的面积为2S ，若1227S S =，求sin A 的值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）2sin 3A = 【解析】试题分析：（1）利用两角对应相等，两三角形相似证明；（2）相似三角形对应角相等，同弧所对的圆周角相等；（3）转化角度，放在直角三角形求正弦值 . 试题解析：（1）AB 是⊙O 的直径，90.,90.ACB DE AB DEO DEO ACB ∴∠=⊥∴∠=∴∠=∠.//,,OD BC DOE ABC DOE ∴∠=∠∴∆～ ABC ∆.（2）DOE ∆～ ABC ∆.ODE A A ∴∠=∠∠和BDC ∠是BC 所对的圆周角，,.A BDC ODE BDC ODF BDE ∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠.（3）21,4DOE ABC S OD DOEABC S AB ∆∆⎛⎫∆∆∴== ⎪⎝⎭ ，即144ABC DOE S S S ∆∆== ，OA OB =，12BOC ABC S S ∆∆∴= ，即12BOC S S ∆= .121122,27BOC DOE DBE DBE S S S S S S S S S ∆∆∆∆==++=++ ，112DBE S S ∆∴=，12BE OE ∴= ，即222,sin sin 333OE OE OB OD A ODE OD ==∴=∠== 考点：圆、三角函数、相似三角形的综合运用.13. (2017山东菏泽第22题)如图，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ，连接PA 交⊙O 于点C .连接BC .（1）求证：CBP BAC ∠=∠； （2）求证：PA PC PB ⋅=2；（3）当3,6==CP AC 时，求PAB ∠sin 的值. 【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）3. 【解析】试题分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等，即可证得CBP BAC ∠=∠；（2）先证△PB ∽C △ABP ，根据相似三角形的性质即可得结论； （3）利用PA PC PB ⋅=2，得33=PB ，从而求PAB ∠sin =3试题解析： 【解】（1）∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB=90° ∴∠A+∠ABC=90° ∵PB 与⊙O 相切于点B∴∠CBP+∠ABC=90° ∴CBP BAC ∠=∠(2)∵CBP BAC ∠=∠，∠P=∠P ∴△PB ∽C △ABP ∴BPPCAP PB =∴PA PC PB ⋅=2 （3）∵3,6==CP AC ∴AP=9∵PA PC PB ⋅=2 ∴33=PB ∴PAB ∠sin =3339==AP PB 14. (2017浙江金华第22题)如图，已知：AB 是O 的直径，点C 在O 上，CD 是O 的切线，AD CD ⊥于点,D E 是AB 延长线上的一点，CE 交O 于点F ，连接,OC AC ．(1)求证：AC 平分DAO ∠． (2)若105DAO ∠=，30E ∠=． ①求OCE ∠的度数．②若O 的半径为EF 的长．【答案】(1)详见解析；（2）①∠OCE=45°；②-2. 【解析】试题分析：（1）利用了切线的性质，平行线的判定和性质，等边对等角，角平分线的判定即可得证；（2）①根据（1）得出的AD//OC ，从而得出同位角相等，再利用三角形的内角和定理即可求出答案；②作OG ⊥CE 于点G ，可得FG=CG,根据等边对等角得出CG=OG=FG=2,在根据勾股定理得出GE ，从而求出EF=GE-FG.试题解析：（1）解：∵直线与⊙O 相切， ∴OC ⊥CD ； 又∵AD ⊥CD, ∴AD//OC, ∴∠DAC=∠OCA; 又∵OC=OA, ∴∠OAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠OAC; ∴AC 平分∠DAO.（2）解：①∵AD//OC ，∠DAO=105°, ∴∠EOC=∠DAO=105°; ∵∠E=30°, ∴∠OCE=45°.②作OG ⊥CE 于点G,可得FG=CG,∵∠OCE=45°. ∴CG=OG=2, ∴FG=2;∵在RT △OGE 中，∠E=30°，∴∴15. （2017浙江湖州第21题）（本小题8分）如图，O 为Rt C ∆AB 的直角边C A 上一点，以C O 为半径的O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ．已知C B =C 3A =． （1）求D A 的长；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（12）6π【解析】试题分析：（1）在Rt △ABC 中，利用勾股定理求出AB 的长，然后根据切线的判定证出BC 为切线，然后可根据切线长定理可求解；（2）在Rt △ABC 中，根据∠A 的正弦求出∠A 的度数，然后根据切线的性质求出OD 的长，和扇形圆心角的度数，再根据扇形的面积公式可求解.试题解析：（1）在Rt △ABC 中，∵BC ⊥OC ∴BC 是⊙O 的切线 ∵AB 是⊙O 的切线∴∴（2）在Rt △ABC 中，sinA=12BC AB == ∴∠A=30° ∵AB 切⊙O 于点D ∴OD ⊥AB∴∠AOD=90°-∠A=60° ∵tan =tan 30ODA AD=3∴OD=1∴2601==3606 Sππ⨯阴影考点：1、切线的性质，2、勾股定理，3、解直角三角形，4、扇形的面积16. （2017浙江台州第22题）如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与,B C 重合），PE是ABP∆的外接圆⊙O的直径.（1）求证：APE∆是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求22PC PB+的值.【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证.（2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=∠ABC=45°,∴∠PEA=∠ABC=45°又∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE=90°,∴∠PEA=∠APE=45°,∴△APE是等腰直角三角形.（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB,同理AP=AE,又∵∠CAB=∠PAE=90°,∴∠CAP=∠BAE,∴△CPA≌△BAE,∴CP=BE,在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,∴PB2+BE2=PE2,∴CP2+PB2=PE2=4.考点：1、全等三角形的判定与性质，2、等腰三角形的判定与性质，3、勾股定理，4、圆心角、弧、弦的关系，5、等腰直角三角形。