第31届俄罗斯数学奥林匹克

周 ω′B 、ω′C 交点的直线平分 △ABC 的周界.
10. 5. 在 8 ×8 的国际象棋棋盘上放 16
枚棋子车. 试问 :它们之中至少有多少“对”棋
子可以相互搏杀 (同在一行或同在一列里且
它们之间没有其他棋子的一对车可以相互搏
杀) ?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10. 6. 同 9. 7.
10. 7. 已知正整数 x 、y 满足 2 x2 - 1 =
y15 . 证明 :如果 x > 1 ,则 x 能被 5 整除.
10. 8. 无限大的白色方格纸上有有限个
方格被染为黑色 ,每个黑色方格都有偶数个
(0 ,2 或 4 个) 白色方格与它有公共边. 证明 :
可以将 剩 下 的 每 个 白 色 方 格 染 成 红 色 或 绿
色 ,使得每个黑色方格的邻格中红色方格和
2005 年第 8 期
27
第 31 届俄罗斯数学奥林匹克
第 31 届俄罗斯数学奥林匹克于 2005 年 4 月 24 —29 日在俄罗斯下诺夫哥罗德市举行. 与以往各届一样 ,
竞赛分年级进行 ,举行两天考试 ,每天 5 个小时考 4 道题. 我国派出了由湖北省 6 名中学生组成的代表队参加
了此次竞赛 ,他们分别来自武钢三中 、黄冈中学和华中师大一附中 ,其中 4 名高二学生参加了十年级的竞赛 ,2
.
9. 5. 已知 10 个互不相同的非零数 ,它们
10. 3. 在 2 005 张卡片的背面分别写有
之中任意两个数的和或积是有理数. 证明 :每 2 005 个不同的实数 ,每一次提问可以指着其
个数的平方都是有理数.
中任意三张卡片询问写在它们之上的 3 个数
9. 6. 试问 :可有多少种方式将数集
名高一学生参加了九年级的竞赛. 我国参赛的 6 名队员均获得奖牌 ,来自华中师大一附中的柳智宇同学在十
年级竞赛中成绩名列第一.
九年级
{20 ,21 ,22 , …,22 005 } 分为两个不交的非空子集 A 、B , 使得方程
9. 1. 给定平行四边形 ABCD ( AB < BC) , x2 - S (A) x + S ( B) = 0 有整数根 ? 其中 S ( M)
>
S. 证
明:
a1
1 +
a2
+
a2
1 +
a3
+
a3
1 +
a1
> 1.
9. 4. 在桌上放着 365 张卡片 ,在它们的
背面分别写着互不相同的数. 瓦夏每付 1 卢
布 ,可以任选 3 张卡片 ,要求贝佳将它们自左
至右按照背面所写的数的递增顺序排列. 试
问 ,瓦夏能否付出 2 000 卢布就一定能够达
到如下目的 :将所有 365 张卡片全部自左至
绿色方格的个数都相等 (有公共边的方格称
为相邻) .
十一年级
11. 1. 设 a1 , a2 , …, a50 , b1 , b2 , …, b50 为 互不相同的数 ,使得方程
| x - a1 | + | x - a2 | + …+ | x - a50 | = | x - b1 | + | x - b2 | + …+ | x - b50 | 有有限个根. 试问 :最多可能有多少个根 ? 11. 2. 同 10. 3. 11. 3. 设 △ABC 的三个旁切圆分别与边 BC 、CA 、AB 相切于点 A′、B′、C′. △A′B′C 、 △AB′C′、△A′BC′的外接圆分别与 △ABC 的 外接 圆 再 次 相 交 于 点 C1 、A1 、B1 . 证 明 : △A1 B1 C1 与 △ABC 的内切圆在各自三条边 上的切点所形成的三角形相似. 11. 4. 设正整数 x 、y 、z ( x > 2 , y > 1) 满足 等式 xy + 1 = z2 . 以 p 表示 x 的不同的质约数 的个数 ,以 q 表示 y 的不同的质约数的个数.
证明 : p ≥q + 2. 11. 5. 是否存在有界函数 f : R →R ,使得
f (1) > 0 ,且对一切的 x 、y ∈R ,都有 f 2 ( x + y) ≥f 2 ( x) + 2 f ( xy) + f 2 ( y)
成立 ? 11. 6. 试问 : 能否在空间中放置 12 个长
在它的边 BC 与 CD 上任取两点 P、Q ,使得 表示数集 M 中所有元素的和.
CP = CQ. 证明 :对 P、Q 的一切不同取法 ,所
9. 7. 在锐角 △ABC 中作高 AA′、BB′. 令
得的 △A PQ 的外接圆都经过一个除了点 A
以外的公共点.
9. 2. 列莎将正整数 1 至 222 分别写在 22
右按照背面所写的数的递增顺序排列在桌面
上?
D 是 △ABC 外接圆的ACB 上的一点. 假设直 线 AA′、BD 相交于点 P ,直线 BB′、AD 相交 于点 Q ,证明 : 直线 A′B′通过线段 PQ 的中 点.
9. 8. 围绕一个圆桌坐着来自 50 个国家 的 100 名代表 ,每个国家 2 名代表. 证明 : 可 以将他们分成两组 ,使得每一组都是由来自 50 个国家的 50 名代表组成 ,并且每一个人 都至多与自己的一个邻座的人同组.
所组成的数集. 试问 :最少可以通过多少次提
28
中等数学
问 ,就一定能了解清楚写在每张卡片背面的
都是什么数 ?
10. 4.
在
△AB C
中
,圆
ω B
、ωC
分别是与
边 AC 、AB 相切 ,且与其余两边延长线相切的
旁切圆. 圆 ω′B 、ωB 关于边 AC 的中点对称 ;圆
ω′C 、ωC 关于边 AB 的中点对称. 证明 :经过圆
十年级
10
.
1
.
试
找
出
不
能
表
示
为
2 2
a c
-
2b 2d
的形式
的最小的正整数 ,其中 a 、b 、c 、d 都是正整
数.
10. 2. 在 2 ×n 方格表的每个方格中都写
有一个正数 ,使得每一列中的两个数的和都
等于 1. 证明 : 可以自每一列中删去一个数 ,
使得每一行中剩下的数的和不超过
n
+ 4
1
×22 方格表的各个方格中 (每格写有一个整
数) . 试问 :阿列克能否选择 2 个具有公共边
或公共顶点的方格 ,使得写在它们之中的数
的和是 4 的倍数 ?
9. 3. 设 a1 > 1 , a2 > 1 , a3 > 1 , a1 + a2 +
a3
=
S . 已知对
i
=
1
,2
,3
,都有
ai
a2i -
1