线代中期测验试题
线代期中(A类)试卷及答案 (2)
一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二． 计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
线性代数期中考试试卷
线性代数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 设矩阵A是一个3阶方阵，如果A的行列式值为0，则下列哪个结论是正确的？A) A是可逆的B) A的秩小于3C) A的迹等于0D) A的逆矩阵存在2. 对于向量组的线性相关性，以下哪个说法是错误的？A) 非零向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其他向量线性表示B) 零向量与任何向量线性相关C) 一组向量线性无关，则它们不能表示为其他向量的线性组合D) 两个向量线性无关，它们可以构成一个平面3. 如果一个向量空间的基由n个向量构成，则该向量空间的维数是：A) 0B) nC) 1D) 24. 以下哪个矩阵不是正交矩阵？A) 单位矩阵B) 反射矩阵C) 对称矩阵D) 旋转矩阵5. 线性变换的核是变换的零向量，以下哪个说法是正确的？A) 核是变换的像B) 核是变换的值域C) 核是变换的零空间D) 核是变换的基二、填空题（每空1分，共10分）6. 若矩阵B是矩阵A的转置，则称矩阵B是矩阵A的_________。
7. 向量空间V中，若向量v满足Av=0，其中A是矩阵，则称v是A的_________。
8. 一个向量空间的基的向量个数称为该向量空间的_________。
9. 若矩阵A的秩等于其行数，则称矩阵A是_________的。
10. 线性变换的像空间是变换的_________。
三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明如果矩阵A和矩阵B可交换，则它们的迹相等。
12. 给定两个向量v1和v2，证明它们线性无关的充分必要条件是它们构成的矩阵的行列式不为零。
四、应用题（每题15分，共30分）13. 已知矩阵A和向量b，求解线性方程组Ax=b。
14. 给定一个线性变换T: R^3 → R^2，其矩阵表示为T，求T的核和像，并证明核和像的直和等于R^3。
五、附加题（10分）15. 讨论矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3阶方阵A的特征值和特征向量的计算方法。
线性代数测试试卷及答案
线性代数A 卷一﹑选择题每小题3分,共15分1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是 A AB BA = B 222()AB A B = C 222()2A B A AB B +=++ D A B B A +=+2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为A nB sC n s -D 以上答案都不正确3.如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于 A 10, 8 B 8, 10 C 10, 8-- D 10, 8--4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么A 2331A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭B 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭C 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭D 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =,则 A A 的行向量组和列向量组均线性相关 BA 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 C A 的行向量组和列向量组均线性无关 DA 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题每小题3分,共30分1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2. 设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,*A 是A 的伴随矩阵,则*1()A -= ；3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ；4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ；5. 设A 为正交矩阵,则A = ；6. 设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7. 要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关,则λ= ； 8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---,那么1A -的特征值分别为 ；9. 若二次型222123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的,则t 的取值范围为 ；10. 设A 为n 阶方阵,且满足2240A A I +-=,这里I 为n 阶单位矩阵,那么1A -= . 三﹑计算题每小题9分,共27分1. 已知210121012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100100B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求矩阵X 使之满足AX X B =+.2. 求行列式1234234134124123的值.3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的一个最大无关组和秩.四﹑10分设有齐次线性方程组123123123(1)0,(1)0,(1)0.x x x x x x x x x λλλ+-+=⎧⎪-++=⎨⎪++-=⎩ 问当λ取何值时, 上述方程组1有唯一的零解﹔2有无穷多个解,并求出这些解. 五﹑12分求一个正交变换X PY =,把下列二次型化成标准形:222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.六﹑6分已知平面上三条不同直线的方程分别为123: 230,: 230,: 230.l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++= 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.线性代数A 卷答案一﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A二﹑1. 0 2. *1()A A -=- 3. 1 4. 3 5. 1或-16. ()()()c a c b b a ---7. 08. 111,,23---9. 405t -<< 10. 1142A I +三﹑1. 解 由AX X B =+得1()X A I B -=-. 2分下面求1()A I --. 由于110111011A I ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭4分而1()A I --=011111110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 7分所以10111001()11101111100011X A I B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 9分2. 解1234234134124123=10234103411041210123123413411014121123= 4分 123401131000440004-=-- 8分 160= 9分 .3. 解 由于3112341234011301131301053307330733r r --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭324212345011300212700424r r r r -⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪+ ⎪--⎝⎭ 43123401132002120000r r -⎛⎫⎪-- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭6分 故向量组的秩是 3 ,123,,ααα是它的一个最大无关组;9分 四﹑解 方程组的系数行列式111111111A λλλ-=--2(1)(2)λλ=-+- 2分①当2(1)(2)0A λλ=-+-≠,即1λ≠-且2λ≠时,方程组有唯一的零解; 4分 ②当1λ=-时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为12 1 21 1 11 2 A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,它有一个二阶子式123021-=-≠-,因此秩A 2n =<这里3n =,故方程组有无穷多个解.对A 施行初等行变换,可得到方程组的一般解为132333,,,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 其中3x 可取任意数; 7分 ③当2λ=时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为11 1 11 1 11 1 A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,显然,秩A 1n =<这里3n =,所以方程组也有无穷多个解.对A 施行初等行变换可得方程组的一般解为1232233,,,x x x x x x x =--⎧⎪=⎨⎪=⎩ 其中23,x x 可取任意数. 10分 五﹑ 解 二次型的矩阵为12 2 21 2 22 1 A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 2分因为特征多项式为212 221 2 (1)(5)22 1I A λλλλλλ----=---=+----, 所以特征值是1-二重和5. 4分把特征值1λ=-代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得1231231232220,2220,2220,x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩ 解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值1λ=-的特征向量为12(1,0,1),(0,1,1)T T αα=-=-.利用施密特正交化方法将12,αα正交化:11(1,0,1)T βα==-, 211(,1,)22T β=--,再将12,ββ单位化得1T η=,2(T η=, 8分 把特征值5λ=代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得1231231234220,2420,2240,x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ 解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值5λ=的特征向量为3(1,1,1)T α=.再将3α单位化得3Tη=. 10分 令123(,,)0P ηηη⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则P 是一个正交矩阵,且满足1100010005T P AP P AP --⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭.所以,正交变换X PY =为所求,它把二次型化成标准形222123123(,,)5f x x x y y y =--+. 12分六﹑证明:必要性由123,,l l l 交于一点得方程组230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解,可知231()()230()10231a b cb c R A R A bc a a b c c a c a ba b=⇒=⇒++= 2分由于2221211[()()()]01b cca b a c b a c a b=--+-+-≠,所以0a b c ++= 3分充分性：0()a b c b a c ++=⇒=-+2222222()2[()][()]022312366()10231a bac b ac a c a c a c b c a b c a b c b c b c a b c a a b c c a c a b c a b a b ⎫⇒=-=-+=-++-≠⎪⎪⎪⎬⎪==++=⎪⎪⎭又因为()()2R A R A ⇒==, 5分 因此方程组230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解,即123,,l l l 交于一点. 6分线性代数习题和答案第一部分选择题共28分一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分;1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于A. m+nB. -m+nC. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A是A的伴随矩阵,则A中位于1,2的元素是A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩A T等于A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有A.秩A<nB.秩A=n-1=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n≥3阶方阵,下列陈述中正确的是A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使λE-Aα=0,则λ是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是A.|A|2必为1B.|A|必为1=A T的行列向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题共72分二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;错填或不填均无分;15.11135692536=.16.设A=111111--⎛⎝⎫⎭⎪,B=112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A+2B= .17.设A=a ij3×3,|A|=2,A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式i,j=1,2,3,则a 11A 21+a 12A 22+a 13A 232+a 21A 21+a 22A 22+a 23A 232+a 31A 21+a 32A 22+a 33A 232= . 18.设向量2,-3,5与向量-4,6,a 线性相关,则a= .19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,则它的通解为 .20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r<n,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积α+β,α-β= . 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为 .23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 .24.设实二次型fx 1,x 2,x 3,x 4,x 5的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 .三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求1AB T ；2|4A |.26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数; 29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：1秩A ；2A 的列向量组的一个最大线性无关组;30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形fx 1,x 2,x 3=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换;四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且E -A -1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 1η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； 2η0,η1,η2线性无关;答案：一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分二、填空题本大题共10空,每空2分,共20分 15. 6 16. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪17. 4 18. –1019. η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 124. z z z z 12223242++-三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.解1AB T =120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 2|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-. 所以|4A |=64·-2=-12826.解 311251342011153351111113100105530------=-----=511 1111 550 ----=5116205506255301040 ---=---=+=.27.解AB=A+2B即A-2EB=A,而A-2E-1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-.所以B=A-2E-1A=143153164423110123-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=386 296 2129-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.28.解一----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1035011200880014141035011200110000−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为2,1,1.解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,即-++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x xx xx xx x x.方程组有唯一解2,1,1T,组合系数为2,1,1.29.解对矩阵A施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102 00062 03282 09632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.1秩B=3,所以秩A=秩B=3.2由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组;A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=2,-1,0T, ξ2=2,0,1T.经正交标准化,得η1=25555//-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵D=100 010 008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.31.解fx1,x2,x3=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪, 即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩;经此变换即得fx1,x2,x3的标准形y12-2y22-5y32 .四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.证由于E-AE+A+A2=E-A3=E,所以E-A可逆,且E-A-1= E+A+A2 .33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.1Aη1=Aη0+ξ1=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b,所以η1,η2是Ax=b的2个解;2考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,即l0+l1+l2η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾;所以l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关;。
2019-2020-2 线代期中试卷参考答案 -定稿-2
七、问 为何值时线性方程组 2x1 (5 )x2 4x3 2
,
2x1 4x2 (5 )x3 1
（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解. （12 分）
解： 设原方程组系数矩阵为 A ，增广矩阵为 ( A, b) ，则有
2
( A, b) 2
2
2 5
则，4 阶行列式| a3, a2 , a1, b1 b2 |
．
答： n m
三、计算下列各题（每题 6 分，共 12 分）
3 5 2 1
1 1 0 5
1． 已知行列式 D 1 3
1
3 ，求 A11 A12 A13 A14 .
2 4 1 3
1111 1 1 0 5 解： A11 A12 A13 A14 1 3 1 3 2 4 1 3
1 3 0
（1）证明：
A
E
为可逆矩阵；（2）已知
B
2
1
0
，求矩阵
A
。
（12 分）
0 0 2
解：（1）由 A B AB 可得 ( A E)(B E) AB A B E E ，.........2 分
故 A E 可逆。
………….4 分
（2）由（1）得 A E (B E)1 ，故 A (B E)1 E ，而
5)
1
1 2
(
1)
1
0
2( 1)
1 2
(
1)(
6)
1 2
(
1)
0
2
1 2
(
6)
1 2
第4页共5页
1 2 r3 2r2 0 1
1 2
(
5)
线性代数考试题及答案
2011级材料 学院《线性代数》期中考试试卷时间：120分钟 满分：100分一、单项选择题 (共10小题，每小题3分，共30分)1. 在下列构成5阶行列式展开式的各项中，取“－”的为 ( )(A) 5144322315a a a a a (B) 5344322511a a a a a (C) 3442155321a a a a a (D) 2544133251a a aa a2. 已知矩阵34 6 2 4 2 1 6 3 1 1 2 3- 0 21 1 1 1 1 =A ，则.)(=A r；1 )(A；2 )(B；3 )(C5 )(D3. 设四阶行列式111201110011111------=x D ，则其中x 的一次项的系数为 ( )(A) 1 (B) －1 (C) 2 (D) －24. 行列式0=nD 的一个必要条件是 ( )(A) D n 中各行元素之和等于零 (B) D n 中有一行(列)元素全为零(C) D n 中有两行(列)元素对应成比例 (D) 系数行列式为D n 的齐次线性方程组有非零解5. 设A , B 皆为n 阶方阵，且A 可逆，则下列运算一定正确的是 ( ) (A)kk kBA AB =)( (B)AA -=- (C)))((22A B A B AB-+=- (D)1**1)()(--=A A6. 设A , B 皆为n 阶方阵，则必有 ( )(A)BAAB = (B)AB B A -=- (C)BA B A +=+ (D)BA B A ⋅=⋅7. 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231A AO AA ，其中的子块A 1, A 2为方阵，O 为零矩阵，若A 可逆，则 ( )(A) A 1可逆，A 2不一定可逆 (B) A 2可逆，A 1不一定可逆 (C) A 1,A 2都可逆(D) A 1,A 2都不一定可逆 8. 用初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01100001左乘矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=642113112A ，相当于对A 进行如下何种初等变换( )(A)21r r ↔ (B)32r r ↔ (C)21c c ↔ (D)32c c ↔9. 设A 为5×3矩阵，且2)(=A R ，下三角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=424212347437221P ，则)(PA R 等于 ( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 10. 非齐次线性方程组bx A=⨯55在以下哪种情形下有无穷多解. ( )(A)5),( ,4)(==b A A R R (B)4),( ,3)(==b A A R R (C)4),( ,4)(==b A A R R (D)5),( ,5)(==b A A R R二、填空题 (共5小题，每空3分，共15分)1. 设x 1,x 2,x 3,x 4是四次方程0234=+++c bxaxx的根，则行列式=0752340000014321x x x x ________.2. 若n 阶下三角行列式1111111111=nD)2(≥n ，则所有．．元素的代数余子式之和等于_____.3. 设A , B 皆为n 阶方阵，2=A ，3=B，则=-1*3BA_____.4. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=004300002000010A ，则=-1A.5. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a212221212111A ，且02121≠n n b b b a aa ，则________)(=A R .三、计算题 (共5小题，每小题6分，共30分)1.yy x x x y y xyy x =+++x2. 设五次多项式1111111111111111111111111)(+++++=x x x x x x f ，求：①x 5的系数；②x 4的系数；③常数项.3. 设四阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1612841296386424321A ，求A 99=__________4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=322154B ，利用矩阵的初等变换．．．．．．．求矩阵X ，使得AX =B .5. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=k k 12115210611A 的秩等于2，求k 的值.四、证明题 (共2小题，每小题6分，共12分)1. 已知TTA ααββ=+，Tα为α的转置，Tβ为β的转置.（1）求证2≤)(A R ；（2）若,αβ线性相关，则2<)(A R .2. 设A 为n 阶矩阵，且AA =2，证明：n R R =-+)()(A E A .五、解答题 (13分)用克莱姆法则解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x xx x x x x x x x x x x x x x一、单项选择题 (10×3=30分) 1. (D)；解：选项(A)和(B)的行标排列为标准次序，列标排列的逆序数分别为8和4(偶排列)；选项(C)的行标、列标排列都不是标准次序，调整相乘元素的次序，使行标排列为标准次序，则列标排列的逆序数为6(偶排列)；选项(D)的列标排列为标准次序，行标排列的逆序数分别为7(奇排列)，故选项(D)正确。
线性代数期中考试试题+答案
线性代数期中考试试题+答案.⼀、填空题（共30分，每填对⼀空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿⽅向(1,2,3)有最⼤⽅向导数，最⼤⽅向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y+， 22z x ?=?()2222xyx y -+．.3、函数(,)z z x y =由⽅程230zx y z e ++-=确定；则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?231z y e -．4、微分⽅程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．.5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+??，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =??14，(,)f x y =14xy +．⼆、单项选择题（共20分，每题4分）=+，则点=的全微分d d dz f x yO(D) ．(0,0)(A) 不是(,)f x y的连续点；(B) 不是(,)f x y的极值点；(C) 是(,)f x y的极⼤值点；(D) 是(,)f x y的极⼩值点．..2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．.3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+??，332sin()d d DI x y x y =+??，443sin()d d DI x y x y =+??，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．.4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则()d d D．(A)11d ()d x f xy y -??； (B) 2002d ()d y f xy x ??；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ??； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ??．.5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的⼀个充分条件是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分⽅程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解特征⽅程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次⽅程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原⽅程的特解* 2()xy ax b e =+并代⼊原⽅程，解得: *2xy xe = -----9分原⽅程的通解: 212xxxy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L：2226x y zx y z++=++=在点(1,2,1)P-处的切线和法平⾯⽅程．解对x求导，得2220 10x yy zzy z''++=?''在点(1,2,1)P-处，211y zy z''-+=-''+=-，得0y'=，1z'=-------6分切线⽅程：121101x y z-+-==------8分法平⾯⽅程：0x z-=-----10分..五、（10分）计算⼆重积分 2(3)d d DI x y x y =+??，其中D ：221x y +≤．22(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ??=+++=+ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==?------10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯26x y z +-=的最近点、最远点．解点(,,)x y z 到平⾯的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=??'=+--+=??'=-+--+=??'=++-=? ------6分解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球⾯S 过0P 切平⾯⽅程1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)⼜： 22221x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --.定理设0000(,,)P x y z S ∈，⽽S 为实⼆次曲⾯22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则⼆次曲⾯S 在0000(,,)P x y z 处的切平⾯⽅程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=.七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内⼆阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =满⾜22220z zx y+=，求()f u ．解u =，则()z xf u x u'=，222232()()z y x f u f u x u u ?'''=+?； ()z y f u y u'=，222232()()z x y f u f u y u u ?'''=+?. --4分.代⼊原⽅程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从⽽ 1()u f u c '=。
线性代数期中测试题
－24
b a L b
的值为多少？ 的值为多少？ (a + ( n − 1)b )(a − b )
n −1
M
M
M
M
b b b L a n× n 5． 如果非齐次线性方程组 Ax = b （ b ≠ 0 ）中方程个数少于未知数个数，那 中方程个数少于未知数个数， ．
么 (a) Ax = b 必有无穷多解； 必有无穷多解； (b) Ax = 0 必有非零解； 必有非零解； (c) Ax = 0 仅有零解； 仅有零解； (d) Ax = b 一定无解。 一定无解。 因为秩(A)< 未知数个数 请说明理由 (b) 因为秩
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5
答案
6
1．已知 a = [1 , 1 , 3] , b = [2, 0 , 2] , 则 (ba ) ．
T T T
2008
2 2 6 = 8 2007 0 0 0 2 2 6
2
=?
−1
=?
3．设 3 阶方阵的列分块矩阵 A = [a1 , a 2 , a 3 ] ，且 det A = 3 ，若三阶方 ． 阵 B = [ a1 ,−2a 2 ,3a 3 ] ，则 A + B =?
a b b L b b a b L b 4．n 阶行列式 D = b b a L b ．
的值为多少？ 的值为多少？
（3）有无穷多解 ）
2 A=λ 4
λ
−1 5
−1
1 = 0 且 R( A) = R([A, b])
线代期中考试卷及答案详解
2012《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分) 1. 下列各式中，哪个是5阶行列式det (a ij )的项( B )(A) 5541342312a a a a a (B) 2451421533a a a a a (C) 4124335215a a a a a (D) 5433451122a a a a a解 根据n 阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不同列的n 个数的乘积，并且带有符号：(1) 若行标排列是标准排列，则该项的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(2) 若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3) 若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断).题中每个选项都是5阶行列式不同行、不同列的5个数的乘积，因此，需进一步判断各项是否带有正确的符号.选项(A)错误。
其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t (23415)=3, 故，列标排列为奇排列，(或者，由于将列标排列23415变成标准排列12345需要进行奇数次对换，也可得23415为奇排列)。
所以选项(A)缺少“-”.选项(B)正确。
其行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标排列和列标排列的逆序数之和t (31452)+t (35214)=4+6=10，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a 15a 24a 33a 42a 51，此时列标排列54321为偶排列，故取“+”.同理，选项(C)和(D)错误，都应带“-”.2. 已知n 阶行列式D =1，将D 逆时针旋转90o ，得行列式D ~，则D ~的值为( C )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (n -1)/2 (D) (-1)n /2解 将D 逆时针旋转90o ，相当于对D 先作转置(这不会改变行列式的值)，再作上下翻转[即交换n (n -1)/2次相邻行的位置，每次交换都改变行列式的符号]，因此，应选(C).参见“行列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7题的解答.3. n 阶行列式D n =0的必要条件是( D )(A) 有一行(列)元素全为零 (B) 有两行(列)元素对应成比例 (C) 各列元素之和皆为零(D) 以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解解 选项(A)(B)(C)都是D n =0的充分条件(但不是必要条件). 只有选项(D)为充分必要条件.4. 已知A , B 均为n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，则下列命题中正确的是( D ) (A) 若AB ，则A B(B) 若(A -E )(B -E )=O ，则A =E 或B =E (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) A 2-E =( A +E )( A -E )解 答案为(D).选项(A)错误，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112B 选项(B)错误。
线性代数期中自测题答案
线性代数期中自测题答案一、是非题（判别下列命题是否正确；本大题共 5个小题，每小题2 分，满分10 分）： 1. 若n 阶方阵A 的秩1)(-<n A r ，则其伴随阵0*=A 。
答：对。
（因为1)(-<n A r ，所以任一个n 阶子式都等于0，进而0*=A ） 2. 若s n ⨯矩阵A 和n s ⨯矩阵B 满足0=AB ，则s B r A r ≤+)()(。
答：对。
（这是课本例题）3. 初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本身。
答：错。
（如⎪⎪⎭⎫⎝⎛111） 4. 若n 阶方阵A 满足A A T-=，则对任意的列向量()Tn x x X 1=，均有0=AX X T 。
答：对。
（这是因为AX X T是一个书，而且AX X X A X AX X AX X TTTTTT-===)(）5. 非齐次线性方程组b AX =有唯一解，则b A X 1-=。
答：错。
（这是因为A 未必是方阵）二、填空题（本大题共 5个小题，每小题4分，满分20分）：1. 若1121013=z y x ，则=---1111023111z y x 21__ 。
2. 设4 阶方阵A 的秩为2 ，则其伴随阵*A 的秩为 0 。
3 设A 是秩为r 的n m ⨯矩阵, B 是p n ⨯矩阵, 且0=AB , 则B 的秩的取值范围是 },min{)(0p r n B r -≤≤ 。
4. 设1,120012001-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=i i i A ，则=-+-)2()2(1E A E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---384038003i i 。
5． 若n 阶方阵B A ,均可逆，C AXB =，则=X 11--CB A 。
三、证明：A 是n m ⨯矩阵，则)()(A r AA r T=。
(满分10分)证：)()(A r AA r T≤显然成立。
下面只需证明)()(A r AA r T≥，即)()()(TTA r m A r m AA r m -=-≤-。
线性代数期中测验
线性代数期中测验一、 选择题1.设行列式==1111034222,1111304zy x zy x 则行列式（ ） A.32 B.1C.2D.38 2.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n ）3.设3阶方阵A 的行列式为2，则12A -=( ) A.-1 B.14-C.14D.1 4.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为（ ）A.-8B.-2C.2D.85.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001，Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001，则B =（ ） A.P A B.AP C.QA D.AQ6.已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ）A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为07．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 8.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量，若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.129.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有A. α1，α2，α3，α4线性无关B. α1，α2，α3，α4线性相关C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示10．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B. 3 C ．4 D ．511.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )A. α1, α2,β线性无关B. β不能由α1, α2线性表示C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一12.设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )A.0B.1C.2D.313．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出二、 填空题1.设行列式304222,532D =-其第3行各元素的代数余子式之和为__________.2.设方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，且数0,λ<则λ=__________.3.行列式111123149=___________.4．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，k 为正整数，则A k = ． 5．设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则矩阵A =__________． 6．设同阶方阵A ，B 的行列式分别为-3，5，则det （AB ）=_________.7．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________.8.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为________________. 9.设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则|A |=__________________.10.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.三、 解答题1.求行列式D=.0120101221010210的值2.计算行列式D =333222c c b b a a c b a cb a +++的值。
云南财经大学《线性代数》10-11期中试卷答案
云南财经大学20201010至20201111学年第二学期《线性代数》课程期中考试试卷答案一、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）1．行列式512312123122x x x D x x x=的展开式中含3x 的系数是－5；2．若行列式1023145x x 的代数余子式121A =−，则代数余子式21A =－4；3．设11,0,,0,22⎛⎞=⎜⎟⎝⎠α⋯为1n ×矩阵，矩阵T =−A E αα，2T =+B E αα，其中E 为n 阶单位矩阵，则AB =E ；4．设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A ,111222333a b d a b d a b d ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠B ，且4=A ，1=B ，则A+B =20；5．设矩阵310121342⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠A ，110225341−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠B ，则−=AB BA 1461717391816−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠；6．设A 为n 阶非奇异矩阵，E 为n 阶单位矩阵，α为1n ×矩阵，b 是常数，记分块矩阵*||⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠T E O P A A α，⎛⎞=⎜⎟⎝⎠TAQ b αα，则PQ =1−⎛⎞⎜⎟⎜⎟−+⎝⎠()T A O A A b ααα；7．齐次线性方程组1231231232000ax x x x ax x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪+−=⎩只有零解，则a 应满足41≠−≠a a 且；8．如A 是n 阶方阵，满足22A A E O −+=，则1(2)A E −+=149()E A −；9．若向量(1,2,)T t =β可由向量组1(2,1,1)T =α，2(1,2,7)T =−α，3(1,1,4)T =−−α线性表出，则t =5；10．设向量组1(1,0,5,2)T =α，2(3,2,3,4)=−−T α，3(1,1,,3)T t =−α．若该向量组线性相关，则t =1；若该向量组线性无关，则t ≠1．二、单选题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）11．设ij D a =为六阶行列式，则下列选项中为D 中带负号的项是（①）；①615243342516a a a a a a ；②1223344655a a a a a ；③213243165564a a a a a a ；④213243546566a a a a a a ．12．设i j M ，i j A 分别是4阶行列式1012110311101254i jD a −==−中元素i j a 的余子式与代数余子式（,1,2,3,4i j =），则D =（③）；①31323334+++A A A A ；②31323334254+++−A A A A ；③1333435++A A A ；④1424344414243444(1)(1)(1)(1)++++−+−+−+−M M M M ．13．用j A 表示三阶行列式i ja 的第j列(3,2,1=j )，且T ijam =，则1322(,25,3)−=A A A A （④）；①30m ；②15m −；③6m ；④6m −．14．设A 是任一n 阶矩阵，则下列交换错误的是（③）；①∗∗=A A A A ；②m p p m =A A A A （,m p 为正整数）；③T T =A A A A ；④()()()()+−=−+A E A E A E A E ．15．设111213212223313233a a a a A a a a a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，131211122322212233323132a a a a B a a a a a a a a ⎛⎞+⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠，1100110001P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，2110010001P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，3001010100P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则B =（②）；①12A P P ；②13A P P ；③31A P P ；④23A P P ．16．设A ，B 为n 阶方阵，则下列结论中正确的是（③）；①若A B O =，则A O =或B O =；②若A O ≠且B O ≠，则A B O ≠；③若A B O =，则0A =或0B =；④若A B O ≠，则0A ≠且0B ≠．17．设A 为n 阶可矩逆阵，A *是A 的伴随矩阵，k 为实数，则下列结论中不正确的是（①）．①()A A ∗∗=n k k (n 为正整数)；②2()A A A −∗∗=n (n 为正整数)；③()()A A ∗∗=T T ；④11()()A A ∗−−∗=．18．已知向量组1234,,,αααα线性无关，则下列命题中正确的是（④）；①向量组12+αα，23+αα，34+αα，41+αα线性无关；②向量组12−αα，23−αα，34−αα，41−αα线性无关；③向量组12+αα，23+αα，34−αα，41−αα线性无关；④向量组12+αα，23−αα，34−αα，41−αα线性无关．19．如向量组,,αβγ线性无关，向量组,,αβδ线性相关，则（③）；①向量α必可由向量组,,βγδ线性表示；②向量β必不可由向量组,,αγδ线性表示；③向量δ必可由向量组,,αβγ线性表示；④向量δ必不可由向量组,,αβγ线性表示．20．对于n 元非齐次线性方程组A X B =和对应齐次方程组A X O =，正确的命题是（②）．①如A X O =只有零解，则A X B =有唯一解；②如A X B =有两个不同的解，则A X O =有非零解；③A X B =有唯一解的充分必要条件是0A ≠；④如A X O =有非零解，则A X B =有无穷多组解．三、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题6分，共12分）21．计算n 阶行列式012211000100000100n n n a a x a xD a x a x −−−−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．解：从第一行起，每行乘x加到下一行，得0122110010000010n n n a a x a x D a x a x−−−−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯010221100001000001000n n a a a x a xa x a x−−−+−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯0102210221011000010000000001000−−−−−+−++==+++−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n n n n a a a xa a x a x a a x a x ax010221022101120100001000000000100n n n n n n a a a xa a x a x a a x a x a a x a x −−−−−−−+−++=+++−+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1112010000100()(1)001001n n n n a a x a x −+−−−−=+++−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111120()(1)(1)n n n n n a a x a x −+−−−=+++−−⋯12120()(1)n nn n a a x a x −−−=+++−⋯1121200121n n n n n n n a a x a x a x a x a x a −−−−−−−=+++=++++⋯⋯11n n i i i a x −−−==∑22．设1111121113A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求1()A ∗−．解：****A A A A A E ==**11A A A A E A A ⎛⎞⎛⎞⇔==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠*11()A A A −⇔=又1(),A E −111100121010113001⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋮⋮⋮111100010110002101⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮11110001011000112012⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮1103201201011000112012−⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮1110052112010110(,())00112012E A −−−−⎛⎞⎜⎟→−=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮从而有11()−−=AA 5211211012012−−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠于是有1||2A =，故*152********()1102201212012101A A A −−−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠四、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题8分，共16分）23．已知向量组1(1,1,2,3)=T α，2(1,1,1,1)=−T α，3(1,3,3,5)T =α，4(4,2,5,6)=−T α，5(3,1,5,7)=−−−−T α．求：（1）该向量组的一个极大无关组；（2）并将其余向量表为该极大无关组的线性组合；（3）该向量组的秩．解：以51234,,,,T T T T Tααααα为行构造矩阵A ，再对A 进行行初等变换，化为梯矩阵，得11212313414551112311231111111113351335425642564315731573T TTTT T TTT TTT TT A ⎛⎞⎛⎞−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=→−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−−−−−−−−⎝⎠⎝⎠+αααααααααααααα1213141511123021202120636402123T T T T T T T T T ⎛⎞−⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−⎜⎟−−−⎜⎟−⎜⎟⎝⎠+ααααααααα121312141215121112302120000()000043()00003()T T TT T T TT T T T T T T T⎛⎞−⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−+−⎜⎟⎜⎟−−−⎜⎟⎝⎠++−ααααααααααααααα121213121412151211()211231()0112220000()000043()00003()T T TT T T T T T T T T T T T T T +−⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠++−ααααααααααααααααα121213121412151211()2103251()0112220000()000043()0003()T T TT T T T T T T T T T T T T T +−⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠++−ααααααααααααααααα（1）梯矩阵非零的前两行对应的两个向量12,TTαα即12,αα就是该向量组的一个极大无关组；（2）将其余向量表为该极大无关组的线性组合，后三行分别对应3123121312()22T T T T T T T O −+−=⇒=−⇒=−αααααααααα412412141243()33T T T T T T T O −−−=⇒=+⇒=+αααααααααα51255121123()22T T T T T T T O ++−=⇒=−−⇒=−−αααααααααα（3）该向量组的秩为2，即12345(,,,,)2r =ααααα解法2：以12345,,,,ααααα为列构造矩阵12345(,,,,)A =ααααα，再对矩阵A 施行初等变换,将其化为行简化阶梯形矩阵，得12345(,,,,)A =ααααα11143113212135531567−⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠11143022620113102262−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟−−⎜⎟−−⎝⎠11143022620000000000−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠11143011310000000000−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠10212011310000000000−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠则（1）12,αα是该向量组的一个极大无关组；（2）312412512232⎧=−⎪⎪=+⎨⎪=−−⎪⎩ααααααααα；（3）该向量组的秩为2，即12345(,,,,)2r =ααααα24．设(1,2,3,4)=α，(1,1,1,1)=β均为14×矩阵，试求：（1）T A =αβ；（2）T B =βα；（3）n A （n 为正整数）．解：（1）TA =βα12(1,1,1,1)34⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1111222233334444⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠（2）1211111112131434⎛⎞⎜⎟⎜⎟===×+×+×+×⎜⎟⎜⎟⎝⎠(,,,)()TB αβ11(10)10×==（3）由矩阵的幂及矩阵乘法的结合律，并利用（1）、（2）的结果，得()()()()n T n T T T A αβαβαβαβ==⋯()()()T TTTαβαβαβαβ=⋯111()1010TTTn n Tn αβαβαβαβ−−−===1111122221033334444n −⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.五、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题10分，共20分）25．设矩阵方程AB =A +2B ，且矩阵301110014A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，并计算矩阵B ．解：由题设，知22(2)AB A BAB B A A E B A=+⇔−=⇔−=而30110010121102010110014001012A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−=−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因10110110121100110111012012001A E−=−=−−=−−=−0≠于是，矩阵(2)A E −可逆故，矩阵方程(2)A E B A −=有唯一解1(2)B A E A−=−对分块矩阵(2,)A E A −作一系列行初等变换，将其左半部分化为单位矩阵E ，这时右半部分就是1(2)XA E A −=−，即(2,)A E A −101301110110012014⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮→101301011211012014⎡⎤⎢⎥−−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮→101301011211001223⎡⎤⎢⎥−−−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮→100522010432001223−−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮→100522010432001223−−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮1((2)),E A E A −=−求出矩阵方程(2)A E X A −=的解为1(2)XA E A −=−522432223−−⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦26．讨论,a b 为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x bx x x a x +++=⎧⎪++=⎪⎨−+−−=⎪⎪+++=−⎩无解，有唯一解，有无穷多解?有解时求其所有解．解：（1）“解的判断”：对其增广矩阵111100122101323211a b aA⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−−−⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮1111001221013201231a b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−−−⎢⎥−−−−⎣⎦⋮⋮⋮⋮1111001*********0010a b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮因此当1a =，且1b ≠−时，()2()3r r A A=≠=⇔该方程组无解；当1a ≠时，()()3r r A A==⇔该方程组有唯一解；当1a =，且1b =−时，()()23r r A A==<⇔该方程组有无穷多组解.（2）“回代”求解：对其有解的情形，利用高斯（Gauss）消元法，对其增广矩阵变换化为行简化梯矩阵，再导出同解方程组.讨论如下①当1a ≠时11110012210010100010a b a A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮11110012210010100010a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮11100012010010100010a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮11100012010010(1)(1)00010b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮1100(1)(1)010012(1)(1)0010(1)(1)00010b a b a b a −+−⎡⎤⎢⎥−+−⎢⎥⎯⎯→⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮1000(1)(1)1010012(1)(1)0010(1)(1)0010b a b a b a +−−⎡⎤⎢⎥−+−⎢⎥⎯⎯→⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮即，该方程组的唯一解为1234(1)(1)112(1)(1)(1)(1)x b a x b a x b a x =+−−⎧⎪=−+−⎪⎨=+−⎪⎪=⎩②当1a =，且1b =−时11110012210010100010a b a A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮11110012210000000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮10111012210000000000−−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮导出同解方程组1342341122x x x x x x =−++⎧⎪⎨=−−⎪⎩令3142,x c x c ==（12,c c 为任意数），求出原方程组的无穷多组解为11221231421122x c c x c c x c x c =−++⎧⎪=−−⎪⎨=⎪⎪=⎩（12,c c 为任意数）六、证明题（本大题共3个小题，每小题4分，共12分）27．设A 是n 阶可逆矩阵，且T A A =−，求证：11()()()()TE A E A E A E A E −−⎡⎤⎡⎤−+⋅−+=⎣⎦⎣⎦．证明：11[()()][()()]TE A E A E A E A −−−+−+11[()()][()]()T TE A E A E A E A −−=−++−11()()[()]()T T T E A E A E A E A −−=−++−11()()()()T T T T E A E A E A E A −−=−++−11()()()()E A E A E A E A −−=−++−1()[()()]()E A E A E A E A −=−++−1()[()()]()E A E A E A E A −=−−++11()()()()E A E A E A E A −−=−++−11[()()][()()]E A E A E A E A −−=−++−E E E==28．已知向量组123,,ααα线性无关，求证：向量组1223+αα，23−αα，123++ααα线性无关．证明：11223βαα=+，223βαα=−，3123βααα=++设11223x x x Oβββ++=1122233123(23)()()x x x O ααααααα⇔++−+++=1311232233(2)(3)()x x x x x x x O ααα⇔+++++−+=由于向量组123,,ααα线性无关，故只有当131232320300x x x x x x x ⎧+=⎪⎪++=⎨⎪−+=⎪⎩时，上式才能成立，齐次线性方程组的系数行列式33201211213113211(1)22131032011001+==×−=×−×=≠−由此可知，该齐次线性方程组仅有零解，从而向量组123,,βββ线性无关，即向量组1223αα+，23αα−，123ααα++线性无关.29．设A 为n 阶矩阵(n ≥2)，若r(A )=n －1，证明：r(A *)=1．证明：因为r(A )=n －1，所以A 中至少有一个n －1阶子式不为零，即A *中至少有一个元素不为零，故r(A *)≥1．又因r(A )=n －1，A 不是满秩矩阵，于是|A |=0．由*||=AA A E 知，*=AA O ，有*r()r()n +�A A ，把r(A )=n －1代入，得r(A *)≤1．综上所得r(A *)=1．。
线性代数期中卷 线性代数讲解
扬州大学试题纸( 2008－2009学年第 二 学期)学院 08级 课程 线性代数 期中试卷 班级 学号 姓名一. 填空题(3618''⨯=)1．设三阶矩阵()()2121,,,3,2,γγβγγα==B A ，其中21,,,γγβα均为三维列向量，且2,18==B A ，则=-B A 2设A 为n 阶方阵，且2=A ，则()=-*TT A A A 133．四阶行列式中，含有2413a a 的项有 . 4．设向量()()a ,6,4,5,3,2-=-=βα 线性相关，则=a .5．已知向量组321,,ααα线性无关，而向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组43214,3,2,αααα的一个极大无关组为6．设A 是34⨯的非零矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=937251B ，如果O AB =（零矩阵），则秩（A ）= ..二. 单项选择题(3618''⨯=)1．设B A ,同为n 阶方阵，则 成立， ( ) (A) B A B A +=+ (B) BA AB =(C)BA AB = (D) ()111---+=+B A B A___________ 系____________ 班级_____________ 学号____________ 姓名_____________--------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------2．设A 是n m ⨯矩阵且n m <，则对于线性方程组B AX =，下列结论正确的是 （ ）(A)0=AX 仅有零解 (B) 0=AX 有非零解 (C) B AX =有惟一解 (D) B AX =有无穷多解 3．设向量组321,,:αααI 与向量组21,:ββII 等价，则必有 （ A ） (A)向量组I 线性相关 (B) 向量组II 线性无关 (C) 向量组I 的秩大于向量组II 的秩 (D) 3α不能由21,ββ线性表示4．设A 为2阶可逆矩阵，且已知 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-432121A ，则 =A （ ）(A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43212 (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121 (C) 143212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (D) 1432121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=500043200101A ，则A 中 （ ）(A) 所有2阶子式都不为零 (B)所有2阶子式都为零(C) 所有3阶子式都不为零 (D)至少有一个3阶子式不为零 6．设321,,ααα是四元非齐次线性方程组b AX =的三个解向量，且秩)(A =3，()()T T 3,2,1,0,4,3,2,1321=+=ααα，c 表示任意常数，则线性方程组b AX =的通解=X （ ） (A)()()TTc 1,1,1,14,3,2,1+ (B) ()()TTc 3,2,1,04,3,2,1+(C) ()()TTc 5,4,3,24,3,2,1+ (D) ()()TTc 6,5,4,34,3,2,1+三. 计算题(6530''⨯=)1．计算下列行列式的值1111112113114111 =630003200301041113000301032004111=----=---2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ，矩阵X 满足X A X A 21+=-*，求X（教材78页23）3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-5230121011A ，求A 的伴随矩阵*A4．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0004300002000010A ，求1-A5．已知矩阵A 与B 等价，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11210321,221320101x B A ，求x四.解答题(8324''⨯=)1．求a 的值，使向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,02,12321αααa a 线性相关。
线性代数期中考试解答
线性代数期中考试试卷一、判断下列各题是否正确1． 若A 、B 是同阶方阵，则（A ＋B ）2 ＝A ＋2AB ＋B 2。
（ × ） 2． 矩阵A 、B 的积AB ＝0，则A ＝0或B ＝0。
（ × ） 3． 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC ＝E ，则BCA ＝E 。
（ √ ） 4． 设A 为一任意矩阵，则A ＋A T ，AA T 均为对称矩阵。
（ √ ） 5． 设对矩阵A 施行初等变换得到矩阵B ，且已知秩(A )＝r ，秩(B )=s ,则r = s 。
（ √ ）二、选择题（单选，括号中填所选项前的字母）1．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++020209873232321x t x x x x x x 存在非零解，则常数t = [ D ]。
（A ） 2 （B ） 4 （C ） －2 （D ） －42．设有n 阶方阵A 与B 等价，则 [ C ]。
(A) | A | = | B | (B) | A | ≠ | B | (C) 若| A |≠0,则必有| B |≠0 (D) | A | = －| B | 3．若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是 [ D ]。
（A ）（2A ）-1= 2 A -1(B) |2A | = 2 | A | (C) ()AA A11*--= (D) (A -1 )T = ( A T )-1 4．设6115210112344321--=A ，则4A 41+3A 42+2A 43+A 44 = [ A ] (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 5．已知可逆方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-21731A，则A ＝ [ B ]。
（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3172 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3172 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2173 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2173 6．设矩阵A 、B 、C 满足AB ＝AC ，则B ＝C 成立的一个充分条件是 [ C ]。
线性代数(经济类)期中B卷答案_
一、填空题（每小题4分，共20分1.100020000001000n n＝ 答案 11!n n 2. 对于行列式0341433323221014D ，413121,,A A A 是代数余子式，则 413121A A A 答案03. 设A 为3阶方阵，且2|| A ，求||1A= ， |)31(|*1A A = 答案11,224. 若齐次线性方程组50403z y kx z y z ky x 只有零解，则k 满足 答案3,1k k5. 设方阵满足022E A A , 求 1)3(E A 答案 124A E二、选择题（每小题4分，共20分）1. 设,A B 均为n 阶方阵，则以下结论正确的是（ ）答案B （A ）0|| AB ，则O A ，或O B（B ）0|| AB ，则0|| A ，或0|| B（C ）O AB ，则O A ，或O B（D ）O AB ,则O A ，或O B2. 设,A B 是n 阶可逆方阵， 为实数，则下列结论错误的是（ ）答案C （A ） 1)(AB 1 B 1 A （B ） ||AB ||BA （C ）2)(AB 2A 2B （D ） ||A n ||A3. 设3阶矩阵,A B 按列分块为 322,2,γγ A ， 32,,γγ B ，已知4|| A ，2|| B ，则 ||B A （ ）答案C （A ）1（B ）3（C ）-1（D ）04. A 为n 阶可逆矩阵，判断下列命题错误的是（ ）答案B （A ）n 元齐次线性方程组O AX 只有零解（B ）n A R )(（C ）n 元非齐次线性方程组 AX 必定有解 （D ）0|| A 5. ,A B 均为n 阶方阵，,A B 等价，则以下列命题错误的是（ ）答案D（A ）若0|| A ，则B 可逆（B ）若A 与E 等价，则B 与E 等价（C ）存在可逆矩阵,P Q ，使得B PAQ （D ）若0|| A ，则0|| B三、（10分）计算行列式：1413120114322153答案39四、（10分）计算n 阶行列式：.aa a a x a a a x aaa x a a ax a a a xa a a a答案 1121(1)()n n n x n a x a五、（10分）设矩阵4300520000310042A ，求2A,||8A ,.1 A 答案:8820003/2200513001/2100,14,,001930004/75/7001831003/72/7六、（10分）求解矩阵方程 213132321X213345666. 答案:111011001七、（10分）矩阵1042113212111001123A ，求A 的行最简形矩阵、标准形、A 的秩R (A ).答案:345100219/6010223/60,,3001111/60000000E八、（10分） 取何实值时，方程组41433221x x x x x x x x 有唯一解，无穷多解，无解？在无穷多解情况下求通解.答案:当1 时，4)()( A r A r ，方程组有唯一解；当1 时，)()(A r A r ，方程组无解；当1 时，4)()( A r A r ，方程组有无穷多解，01011111c X ，其中c 为任意常数.。
《线性代数》阶段测试题（1-5套）24P
《线性代数》阶段测试题（注：请下载后留言索取DOC 版文件）线性代数阶段测试题（一） .................................................................. 1 线性代数阶段测试题（二） .................................................................. 5 线性代数阶段测试题（三） ................................................................ 10 线性代数阶段测试题（四） ................................................................ 20 线性代数阶段测试题（五） . (22)线性代数阶段测试题（一）一、填空题1. 排列34679215的逆序数记为τ(34679215)= ___________.2. 行列式321111-c b a= ___________.3. 行列式513231412--的代数余子式31A = __________, 23A = __________. 4. 若将行列式D 的某两行互换，再将其中某一列每个元素都反号，则行列式的值 __________.5. 若行列式每行元素之和都为零，则此行列式的值为 __________。
6. 线形方程组⎩⎨⎧=+=+ndx cx mbx ax 2121 的系数满足 __________时，方程组有唯一解。
二、单项选择题：（每小题只有一个正确答案）1. 若23252113x -=2，则x =（ ） A. 0 B. 30 C.730 D. 42. 000000000002a b c d =（ ）A. abcdB. -abcdC. 2abcdD. -2abcd3.4400373251304321----中的代数余子式34A 为（ ） A. 0 B. 36 C. 12 D. -124. 将n 阶行列式D 中所有元素都反号、形成的行列式的值为（ ） A. 0 B. D C. -D D. D n )1(-5. 若333231232221131211a a a a a a a a a =D，则111213212223313233232323a a a a a a a a a =（ ）A. DB. 2DC. -6DD. 6D三、多项选择题：（每小题至少两个正确答案）1. 若2311221-x x =0，方程的解为x = ( )A. 1B. 2C. 0D. 7E.-72. 以下哪些情况，行列式的值为零（ ） A. 行列式某行元素全为0B. 行列式某列元素的余子式全为0C. 行列式某行元素全部相等D. 行列式两行互换E. 行列式某两列元素对应相等 3.0a x b c d x ++=++（ ）A.x x d c b a 00+B.x d b x x d c b a +++++000 C.x d c b x x d b a +++++000 D.xb x a dc b x a 000+++++ E. 00a x c b d x++++4. 在下列哪些情况下，行列式的值一定不变（ ） A. 行列式转置B. 行列式两列互换C. 行列式某一列元素全部反号D. 行列式某两列元素全部反号E. 行列式的第一行乘以2，最后一列乘以215. 设A=333231232221131211a a a a a a a a a ，记11A 是元素11a 的代数余子式，则（ ）A. A A a A a A a =++323222221212B. 0333123211311=++A a A a A aC. A A a A a A a =++131312121111D. A A a A a A a =++323122211211E. A A a A a A a =++322322221221 四、计算题：1. 解方程：12022021+-x x x =0 ——答：2. 若333231232221131211a a a a a a a a a =2，求 333231312322212113121111456456456a a a a a a a a a a a a ---——答：3. 求261517215131412---x 中x 的系数——答：4. 计算2132651192311021- ——答：5. 若某四阶行列式第三行元素依次为527234333231=-===a a a a ，，，对应的余子式依次为,231634333231====M M M M ，，，，求此行列式的值。