2014·高三复习数学(理)2选修4-5 第2讲 证明不等式的基本方法
高考数学总复习课时提升作业选修4-5 2证明不等式的基本方法
高考数学总复习课时提升作业选修4.5.2证明不等式的基本方法(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共18分)1.设a,b,c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( )A.(a+3)2<2a2+6a+11B.a2+≥a+C.|a-b|+≥2D.-<-【解析】选C.(a+3)2-(2a2+6a+11)=-a2-2<0,故A恒成立;在B项中不等式的两侧同时乘以a2,得a4+1≥a3+a⇐(a4-a3)+(1-a)≥0⇐a3(a-1)-(a-1)≥0⇐(a-1)2(a2+a+1)≥0,所以B项中的不等式恒成立;对C项中的不等式,当a>b时,恒成立,当a<b时,不恒成立;由不等式<恒成立,知D项中的不等式恒成立.故选C.2.设P=,Q=-,R=-,则P,Q,R的大小关系是( )A.P>Q>RB.P>R>QC.Q>P>RD.Q>R>P【解析】选B.因为+=2>,所以>-,即P>R;又因为+>+,所以->-,即R>Q,所以P>R>Q.3.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是( )A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>b【解析】选A.c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,所以c≥b,已知两式求差得2b=2+2a2,即b=1+a2,因为1+a2-a=(a-)2+>0,所以1+a2>a,所以b=1+a2>a,所以c≥b>a.二、填空题(每小题6分,共18分)4.a2+b2与ab+a+b-1的大小关系为.【解析】因为(a2+b2)-(ab+a+b-1)=a2+b2-ab-a-b+1=(2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)=[(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)]=[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]≥0,所以a2+b2≥ab+a+b-1.答案:a2+b2≥ab+a+b-15.设x>5,P=-,Q=-,则P与Q的大小关系为.【解析】-=-=-=+--<0.所以<,又因为P>0,Q>0,所以P>Q.答案:P>Q6.(2015·滁州模拟)已知a+b+c=1,且a,b,c∈R,则a2+b2+c2与的大小关系是.【解析】方法一:因为a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac)≥(a+b+c)2-2(a2+b2+c2)所以3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1,所以a2+b2+c2≥.方法二:因为a2+b2+c2-=a2+b2+c2-=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0.所以a2+b2+c2≥.方法三:因为(12+12+12)(a2+b2+c2)≥(a·1+b·1+c·1)2=(a+b+c)2=1,即3(a2+b2+c2)≥1,当且仅当a=b=c时等号成立.所以a2+b2+c2≥.答案:a2+b2+c2≥三、解答题(每小题16分,共64分)7.(2015·景德镇模拟)设a,b是非负实数,求证:a3+b3≥(a2+b2).【证明】a 3+b3-(a2+b2)=(a3-a2)+(b3-b2)=a2(-)-b2(-)=(-)·(-).当a≥b时,≥且≥,当a<b时,<且<,所以a3+b3-(a2+b2)≥0,所以a 3+b3≥(a2+b2).8.已知a>0,b>0,2c>a+b,求证: c-<a<c+. 【证明】要证:c-<a<c+,只需证:-<a-c<,只需证:|a-c|<,只需证:(a-c)2<c 2-ab,只需证:a 2+c 2-2ac<c 2-ab,即证:2ac>a 2+ab. 因为a>0,所以只需证2c>a+b, 由题设,上式显然成立. 故c-<a<c+.【加固训练】已知非零向量a ,b ,且a ⊥b ,求证: ||||||++a b a b ≤.【证明】因为a ⊥b ,所以a ·b =0, 要证||||||++a b a b ≤, 只需证|a |+|b |≤|a +b |,只需证|a |2+2|a ||b |+|b |2≤2(a 2+2a ·b +b 2), 只需证|a |2+2|a ||b |+|b |2≤2a 2+2b 2, 只需证|a |2+|b |2-2|a ||b |≥0, 即(|a |-|b |)2≥0,上式显然成立,故原不等式得证.9.(2015·宝鸡模拟)已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集为M. (1)求M.(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b|<|4+ab|.【解析】(1)M=(-2,2).(2)a,b∈M,即-2<a<2,-2<b<2,所以4(a+b)2-(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)-(16+8ab+a2b2)=(a2-4)(4-b2)<0,所以4(a+b)2<(4+ab)2,所以2|a+b|<|4+ab|.10.已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1 .求证:(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c).【证明】因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1,所以要证原不等式成立,即证[(a+b+c)+a][(a+b+c)+b][(a+b+c)+c]≥8[(a+b+c)-a][(a+b+c)-b][(a+b+c)-c],也就是证[(a+b)+(c+a)][(a+b)+(b+c)][(c+a)+(b+c)]≥8(b+c)(c+a)(a+b) ①因为(a+b)+(b+c)≥2>0,(b+c)+(c+a)≥2>0,(c+a)+(a+b)≥2>0,三式相乘得①式成立,故原不等式得证.【加固训练】1.若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求证:a,b,c中至少有一个大于0.【证明】假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0.因为a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.所以x2-2y++y2-2z++z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)≤0. ①又因为(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,π-3>0,所以(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)>0, ②因为①式与②式矛盾,所以假设不成立,即a,b,c中至少有一个大于0.2.已知a,b为正实数.(1)求证:+≥a+b.(2)利用(1)的结论求函数y=+(0<x<1)的最小值.【解析】(1)方法一:因为a>0,b>0,所以(a+b)=a2+b2++≥a2+b2+2ab=(a+b)2.所以+≥a+b, 当且仅当a=b时等号成立.方法二:因为a>0,b>0,所以+b≥2=2a, ①同理+a≥2b, ②①+②得+≥a+b.方法三:+-(a+b)====.又因为a>0,b>0,所以≥0,当且仅当a=b时等号成立.所以+≥a+b.方法四:欲证+≥a+b(a>0,b>0),只需证a3+b3≥a2b+ab2,只需证(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b).因为a+b>0,所以只需证a2-ab+b2≥ab,即证a2+b2≥2ab.上述不等式显然成立,所以+≥a+b.(2)因为0<x<1,所以1-x>0,由(1)的结论,函数y=+≥(1-x)+x=1.当且仅当1-x=x,即x=时等号成立.所以函数y=+(0<x<1)的最小值为1.3.(2015·抚州模拟)若实数x,y,m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m.(1)若x2-1比1远离0,求x的取值范围.(2)对任意两个不相等的正数a,b,证明:a3+b3比a2b+ab2远离2ab. 【解析】(1)由题意知|x2-1-0|>|1-0|,即|x2-1|>1,所以x2-1<-1或x2-1>1,解得x>或x<-,所以x的取值范围是{x|x>或x<-}.(2)要证明a 3+b3比a2b+ab2远离2ab,即证|a 3+b3-2ab|>|a2b+ab2-2ab|,因为a≠b,故a 2b+ab2>2=2ab,a 3+b3>2=2ab.所以只需证a3+b3-2ab>a2b+ab2-2ab.即证明a3+b3-(a2b+ab2)>0,化简得(a-b)2(a+b)>0显然成立,所以a 3+b3比a2b+ab2远离2ab.4.(2014·安徽高考)设实数c>0,整数p>1,n∈N*.(1)证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p>1+px.(2)数列{a n}满足a1>,a n+1=a n+,证明:a n>a n+1>.【解析】(1)用数学归纳法证明①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.②假设p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立,当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(1+k)x+kx2>1+(1+k)x,所以p=k+1时,原不等式成立.综上可得,当x>-1且x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立. (2)设f(x)=x+x 1-p,x≥,则x p≥c,并且f′(x)=+(1-p)x -p=>0,x>,由此可得f(x)在[,+∞)上单调递增,因而,当x>时,f(x)>f()=.①当n=1时,由a1>>0,即>c可知a 2=a1+=并且a2=f(a1)>,从而a1>a2>.故当n=1时,a n>a n+1>成立.②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,a k>a k+1>成立,则当n=k+1时,f(a k)>f(a k+1)>f()成立,即a k+1>a k+2>,所以n=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,对一切正整数n,a n>a n+1>均成立.。
高中数学选修4-5教案 第二讲 证明不等式的基本方法 一 比较法
一 比较法目的要求： 掌握证明不等式的基本的解法之----比较法。
重点难点： 掌握作差比较和作商比较各自的使用情景教学设计：目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
过程：一、复习：不等式的一个等价命题：二、作差法：1． 2.已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：ba mb m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：ba mb m a >++ 变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？3.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2， 则21122,22t nS m S S n t m t =+=+ .0,.0,的大小比较差与转化为即把不等式两边相减本的方法就是证明基最要证明>->b a b a .,,,12233ab b a b a b a b a +>+≠求证且都是正数已知例.,,,.,.2并给出证明问题将这个事实抽象为数学此时浓液的浓度增加到白糖加若在上述溶液中再添则其浓度为糖溶液白糖制出如果用例m b m a kg m b a kg b kg a ++.,,定正负的代数式转化为一个能够明确确通过适当的恒等变形可以把不等式两边相减分析可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1 - t 2 < 0 即：t 1 < t 2从而：甲先到到达指定地点。
高考数学(人教,理)总复习课件：选修4-5-第2节证明不等式的基本方法
将上述不等式相加得： 21－31＋31－41＋…＋1n－n＋1 1 ＜212＋312＋…＋n12＜1－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1， 即12－n＋1 1＜212＋312＋…＋n12＜1－1n， ∴32－n＋1 1＜1＋212＋312＋…＋n12＜2－1n.
用放缩法证明不等式的常用方法： (1)添加或舍去一些项，如 a2＋a＋1＝a＋122＋34＞a＋122.
【证明】 (1)要证 a＋b＋c≥ 3，由于 a，b，c＞0，因
此只需证明(a＋b＋c)2≥3，即证 a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋
ac)≥3，而 ab＋bc＋ca＝1，故需证明 a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc
＋ac)≥3(ab＋bc＋ac)，即证 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
因为
ab
【解】 法一：利用基本不等式 ∵( 3a＋1＋ 3b＋1＋ 3c＋1)2＝(3a＋1)＋(3b＋1)＋ (3c ＋ 1) ＋ 2 3a＋1 · 3b＋1 ＋ 2 3b＋1 · 3c＋1 ＋ 2 3a＋1 · 3c＋1 ≤(3a ＋ 1) ＋ (3b ＋ 1) ＋ (3c ＋ 1) ＋ 3a＋1＋3b＋1＋3b＋1＋3c＋1＋3a＋1＋3c＋1 ＝33a＋1＋3b＋1＋3c＋1＝18， ∴ 3a＋1＋ 3b＋1＋ 3c＋1≤3 2. 故( 3a＋1＋ 3b＋1＋ 3c＋1)max＝3 2.
(2)证明：由 s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋ b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1,2，…，n 及 an<bn，可得 s －t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－ 1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)qn－2－qn－1
选修4-5第二讲 《证明不等式的基本方法》教师
教师辅导讲义讲义编号学员编号： 年 级： 课时数： 3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 课 题 命题及其关系、充分条件与必要条件授课日期及时段教学目的1、 理解、掌握综合分析法证明不等式的方法2、 理解掌握反证法放缩法证明不等式的方法教学内容一、课前检测1 已知10<<x ，求证：.|)1(log ||)1(log |x x a a +>-分析 因所证不等式两端是同底的对数、单项式，故“作差比较”、“作商比较”均可以。
解 （作差比较）（1）当10<<a 时，因10<<x ，所以)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |x x x x a a a a ++-=+--.0)1(log 2>-=x a（2）当1>a 时，因10<<x ，所以)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |x x x x a a a a +---=+--.0)1(log 2>--=x a综合以上可知，所证不等式成立。
（作商比较）因10<<x ，所以0|)1(log |>-x a ，0|)1(log |>+x a ，1)1(log 11log )1(log |)1(log ||)1(log ||)1(log |)1()1()1()1(=+>-=--=-=+-++++x xx x x x x x x x a a所以，.|)1(log ||)1(log |x x a a +>-评注 本题虽是一道很简单的不等式证明题，也显示出了证明不等式的技巧性：合理选择方法，可以回避讨论.2 设),0(,,∞+∈z y x ，且1=xyz ，证明.43)1)(1()1)(1()1)(1(333≥++++++++y x z z x y z y x分析 可利用均值不等式构造三个同向不等式相加来进行证明，也可以将所证不等式进行等价转化. 证法一: 因),0(,,∞+∈z y x ，所以,438181)1)(1(3x z y z y x ≥++++++ ①4,438181)1)(1(3y z x z x y ≥++++++ ②,438181)1)(1(3z y x y x z ≥++++++ ③以上三式相加可得：)1)(1()1)(1()1)(1(333y x z z x y z y x ++++++++ .434332143)(21)2226(81)(433=-⨯≥-++=+++-++≥xyz z y x z y x z y x 上述不等式都是在1===z y x 时取等号. 所以，当且仅当1===z y x 时原不等式取等号.证法二: 原不等式等价于).1)(1)(1(43343434+++≥+++++z y x z z y y x x 由于对任意正数c b a ,,，有abc c b a 3333≥++，下面证明更强的不等式： ])1()1()1[(41333343434+++++≥+++++z y x z z y y x x ④ 成立. 设334)1(41)(+-+=t t t t f ， ).134)(1()(2+++=t t t t g 则)()1(41)(t g t t f -=，且)(t g 在),0(∞+上是严格递增函数，因为 )()()(])1()1()1[(41333343434z f y f x f z y x z z y y x x ++=+++++-+++++).()1(41)()1(41)()1(41z g z y g y x g x -+-+-=只需证明0)()1(41)()1(41)()1(41≥-+-+-z g z y g y x g x 即可.其证明如下：假设z y x ≥≥，则0)()()(>≥≥z g y g x g . 由1=xyz ，得1≥x ，1≤z . 因)()1()()1(y g x x g x -≥-，),()1()()1(z g z y g z -≤-所以)()1(41)()1(41)()1(41z g z y g y x g x -+-+- .0)()33(41)()3(413=-≥-++≥y g xyz y g z y x故原不等式成立. 等号当且仅当1===z y x 时成立.评注 证法1利用均值不等式进行证明，显得简洁、清晰；证法2是将所证不等转化为更强的不等式，再进行证明.3 已知),0(,,∞+∈z y x ，且1=++z y x ，证明：274222≤++x z z y y x 成立的条件.分析 因x z z y y x 222++是关于z y x ,,的轮换对称式。
选修4-5第二讲证明不等式的基本方法三 反证法
3、若p>0,q>0,且p3+q3=2, 求证：p+q≤2
假设 p q 2
p3 q3 ( p q)( p2 pq q2) ( p q)[( p q)2 3pq]
( p q)[( p q)2 3• ( p q)2] 1 ( p q)3 1 23 2
2
4
4
与题设矛盾
练习1．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－ b)<f(b)＋ f(－a)，求证：a<b.
证明：假设a<b不成立，则a＝b或a>b. 当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)， 于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾． 当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得 f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a) 于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不 成立． ∴a<b.
五、作业
1．教材P29第4题
2．证明：三个互不相等的正数a、b、 c成等差数列，则a，b，c不可能成等 比数列． 3．若p>0,q>0,且p3+q3=2,
求证：p+q≤2
附：补充题答案
2．证明：三个互不相等的正数a、b、c成等差数列，则a， b，c不可能成等比数列． 证明：假设a，b，c成等比数列，则b2＝ac. 又∵a、b、c成等差数列 ∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d公差)． ∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2. ∴d2＝0，∴d＝0.这与已知中a、b、c互不相等矛盾． ∴假设不成立．∴a、b、c不可能成等比数列．
这里矛盾： 可能与已知条件、定义、定理、公理矛盾； 也可能是自相矛盾
选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法
4．反证法 先假设要证的命题 不成立 ，以此为出发点，结合已知条 件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的 推理 ，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显 成立的事实等) 矛盾 的结论，以说明假设 不正确 ，从而 证明原命题成立，我们把它称为反证法．
5．放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大 或， 缩小 简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法 称为放缩法．
返回
解析：∵1<1a<1b，∴0<b<a<1. ∴logab>1>logba>0. ∴A、B、C选项均正确，选项D错误．
答案：D
返回
4．若|x|＜1，|y|＜1，则xy＋1与x＋y的大小关系为________． 解析：xy＋1－x－y ＝(y－1)(x－1)， ∵|x|＜1，|y|＜1，∴y－1＜0，x－1＜0. ∴(y－1)(x－1)＞0.∴xy＋1＞x＋y. 答案：xy＋1＞x＋y
返回
(2) bac＋ abc＋ acb＝a＋abb＋c c.
在(1)中已证 a＋b＋c≥ 3.
因此要证原不等式成立，只需证明
1≥ abc
a＋
b＋
c，
即证 a bc＋b ac＋c ab≤1，
即证 a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca.
返回
而 a bc＝ ab·ac≤ab＋2 ac， b ac≤ab＋2 bc，c ab≤bc＋2 ac. ∴a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca(当且仅当 a＝b＝c＝ 33时 等号成立)． ∴原不等式成立．
返回
2．综合法 从已知条件 出发，利用定义、公理、定理、性质等，经 过一系列的推理、论证而得出命题成立，即“由因导果” 的方法，这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法．
第2节证明不等式的基本方法
第2节证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法总结如下：一、利用数学分析中的中值定理、极值、单调性等性质进行证明。
1.利用中值定理：利用连续函数介值定理或拉格朗日中值定理，根据函数的一些性质，可以推出不等式的成立。
例如，证明一个凸函数在区间上的函数值不小于端点的函数值。
2.利用极值：通过求导或其他方法，找到函数的极值点，然后证明这些极值点就是不等式的最小（最大）值点。
例如，证明两数之积不大于它们的平方和，可以通过求导得到函数的极值点，然后通过证明这个极值点为最小值点来完成。
3.利用单调性：如果已知函数在一些区间上是严格递增（递减）的，可以通过证明不等式在一些特殊点成立，并通过函数的单调性推出在整个区间上成立。
例如，证明一个正数的倒数小于它自己，则可以先证明在0到1之间成立，然后利用单调性推出在整个正数范围内成立。
二、利用数学归纳法进行证明。
如果不等式中的变量是正整数，可以利用数学归纳法进行证明。
首先证明当n=1时不等式成立，然后假设当n=k时不等式成立，再证明当n=k+1时不等式也成立。
例如，证明n个正数的平均值不小于它们的几何平均值，可以先证明当n=1时成立，然后假设当n=k时成立，再证明当n=k+1时也成立，最后利用数学归纳法推出结论。
三、利用代数方法。
1.利用等价变形：对于一个复杂的不等式，可以通过进行等价变形来简化证明。
通过将不等式的两边同时加上或减去一些式子，或者将不等式两边同时乘以或除以一些式子，可以得到一个等价的不等式，然后证明这个等价的不等式。
例如，证明正数的n次方大于等于它的平方，可以将不等式两边同时开方，然后证明这个等价的不等式。
2. 利用加减法、乘除法不等式：对于一个分式或多项式不等式，可以通过利用加减法、乘除法的不等式性质，将不等式化简为更简单的形式，再进行证明。
例如，证明a+b≤2ab，则可以将两边同时减去a+b再加上2，利用不等式的性质简化后得到ab≥1，再证明这个等价的不等式。
高中数学教案 选修4-5教案 第二讲 证明不等式的基本方法 三 反证法与放缩法
三 反证法与放缩法☆学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法;2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式 ☻知识情景：1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒ 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执 索 的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系： ☻新知建构：1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.分析：反设x y +1≥2，y x +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。
例2 已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知.21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证且已知例xy y x y x y x ++>+>.,0,0,0.0.0,0)(,0,0,00,0)2(.0,0,0,0)1(.00,0,,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明>>><∴>++<++=++>-=+∴>++<><=∴>==<=≤c b a a ca bc ab bc c b a ca bc ab a c b c b a bc abc a a abc abc a a a a c b a2. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+- ③应用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，则a a m b b m +<+”④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=；⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；⑧利用常用结论：如：2=()*,1k N k ∈>，2=<=()*,1k N k ∈>⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯ 例3 若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<c ad d b d c c a c b b d b a a 证明：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵a , b , c , d ∈R +∴1=+++++++++++++++>c b ad d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立。
高中数学(人教A版)选修4-5教案第二讲 证明不等式的基本方法2.2.2 分析法
当用综合法不易发现解题途径时，我们可以从求证的不等式出发，逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的不等式成立，这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法。
使用分析法证明时，要注意表述的规范性，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合使用，以分析法寻求证明的思路，而用综合法进行表述，完成证明过程。
例1、求证：5273<+证：分析法： 综合表述： ∵052,073>>+ ∵21 < 25只需证明：22)52()73(<+ ∴521<展开得： 2021210<+ ∴10212<即： 10212< ∴2021210<+∴ 521< ∴22)52()73(<+即： 21 < 25（显然成立） ∴5273<+ ∴5273<+例2、设x > 0，y > 0，证明不等式：31332122)()(y x y x +>+证一：（分析法）所证不等式即：233322)()(y x y x +>+即：33662222662)(3y x y x y x y x y x ++>+++即：3322222)(3y x y x y x >+只需证：xy y x 3222>+∵xy xy y x 32222>≥+成立∴ 31332122)()(y x y x +>+证二：（综合法）∵33662222663226)(3)(y x y x y x y x y x y x ++≥+++=+2333366)(2y x y x y x +=++>∵x > 0，y > 0， ∴31332122)()(y x y x +>+例3、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0展开得：2222c b a ca bc ab ++-=++∴ab + bc + ca ≤ 0证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2即证：0222≥+++++ca bc ab c b a即：0])()()[(21222≥+++++a c c b b a （显然）∴原式成立证三：∵a + b + c = 0 ∴ c = a + b∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab (a + b)2 = a 2 b 2 ab = 0]43)2[(22≤++-bb a例4、已知0,1a b ab >>=，求证：22a b a b +≥-，并求等号成立的条件。
人教版高数选修4-5第2讲：证明不等式的基本方法(教师版)
证明不等式的基本方法__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教课要点： 掌握比较法、综合法和剖析法、反证法和放缩法的方法；教课难点： 理解放缩法的解题及应用。
1、比较法：所谓比较法，就是经过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确立 a 与 b 大小关系的方法，即经过“a b 0 ， a b 0 ， a b 0 ；或a1， a 1， a1 ”来确立 a ， b 大小关bb b系的方法，前者为作差法，后者为作商法。
2、剖析法：从求证的不等式出发，剖析这个不等式建立的充足条件，把证明这个不等式的问题转变为证明这些条件能否具备的问题，假如能够一定这些条件都已具备，那么就能够判断所证的不等式建立，这类方法叫做剖析法。
3、综合法：从已知或证明过的不等式出发，依据不等式的性质及公义推导出欲证的不等式，这类证明方法叫做综合法。
4、反证法：从否认结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证明结论的否认是错误的，进而一定原结论是正确的，这类证明方法叫做反正法 .用反证法证明不等式时，一定将命题结论的反面的各样情况一一导出矛盾这里作一简单介绍。
反证法证明一个命题的思路及步骤：1） 假设命题的结论不建立；2） 进行推理，在推理中出现以下状况之一：与已知条件矛盾；与公义或定理矛盾；3） 因为上述矛盾的出现，能够断言，本来的假设“结论不建立”是错误的；4） 一定本来命题的结论是正确的。
5.放缩法：放缩法就是在证明过程中，利用不等式的传达性，作适合的放大或减小，证明比原不等式更好的不等式来取代原不等式的证明.放缩法的目的性强，一定恰到利处， 同时在放缩时一定时刻注意放缩的跨度，放不可以过头，缩不可以不及 .不然不可以达到目的。
选修4-5第二讲-证明不等式的基本方法-课件
(a b)(a b)2
a,b 0,a b 0
又a b(a b)2 0
故(a b)(a b)2 0即(a3 b3 ) (a2b ab2 ) 0
判断一个数或式子与0的大小关系．作商比较法的实质是把两个数或式 子的大小判断问题转化为判断一个数或式子与1的大小关系． 2．作商比较法适用于哪些类型的问题？
提示：主要适用于积、商、幂、对数、根式等形式的不等式证明．
3．
已知
a
1，a
2∈(
0
,
1
)
，
M
＝a
1a
2，N
＝a
1＋a
＋
2
1，
则M
，N
的
大
小关系是________.
m(b a) 0 即 a m a 0 a m a
b(b m)
bm b
bm b
(2)作商比较法
例3 已知a,b是正数,求证aabb abba ,当且仅当a b时,等号成立.
证明:
aabb abba
aabbba
a
ab
b
根据要证的不等式的特点(交换a, b的位置, 不等式不变)
为_a_b___1或__a_b 2
6.若0
a
b
1, P
log 1
2
a
b 2
,Q
1 2
(log 1
2
a
log 1
2
b), M
log 1 (a
2
选修4-5 第2节 不等式的证明
返回
考向二 用综合法、分析法证明不等式 互动讲练型
设 a，b，c，d 均为正数，且 a＋b＝c＋d，证明： (1)若 ab>cd，则 a＋ b> c＋ d； (2) a＋ b> c＋ d是|a－b|<|c－d|的充要条件．
通常采用分析法、 综合法相结合证明
返回
证明： (1)因为( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab， ( c＋ d)2＝c＋d＋2 cd， 由题设 a＋b＝c＋d，ab>cd， 得( a＋ b)2>( c＋ d)2. 因此 a＋ b> c＋ d.
返回
弄清充 分、必 要条件 的证明 方向
(2)①必要性．若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2， 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因为 a＋b＝c＋d，所以 ab>cd. 由(1)，得 a＋ b> c＋ d. ②充分性．若 a＋ b> c＋ d，则( a＋ b)2>( c＋ d)2，
＋
…
＋
1 xn
n1 ≥n x1x2x3…xn.
基本不等式一 般形式的应用
因为n x1x2x3…xn≤x1＋x2＋xn3＋…＋xn＝1n，所以
n
1 x1x2x3…xn≥n.
所以x1－1 x31＋x2－1 x32＋x3－1 x33＋…＋xn－1 x3n>n2≥22＝4，
所以x1－1 x31＋x2－1 x32＋x3－1 x33＋…＋xn－1 x3n>4.
返回
2．放缩法证明不等式的技巧 常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性．缩小分母、 扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小； 每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大， 但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头．
高考数学(理)总复习备考指导课件：选修4-5 第2节 证明不等式的基本方法
自
高
主
考
落
体
实 ·
第二节 证明不等式的基本方法
验 ·
固
明
基 础
考纲传真 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合
考 情
法、分析法、反证法、放缩法．
典
例
探
究
课
·
时
提
作
知
业
能
菜单
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
自
高
主
考
落 实
1．基本不等式
体 验
·
固
定理 1：如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥ 2ab ，当且
＝(x－1)22x＋122＋12≥0，
作 业
∴1＋2x4≥2x3＋x2.
菜单
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
自
高
主
考
落 实
法二 (1＋2x4)－(2x3＋x2)＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1
体 验
·
·
固 基
＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，
明 考
础
·
·
固 基 础
1a＋1b＋1c2≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
明 考 情
典
【思路点拨】 考虑待证不等式的结构特征，a2＋b2＋
例
探 究 ·
c2 与1a＋1b＋1c分别运用均值不等式；相加后，再用均值不等
课 时
提
作
知 能
式，并根据等号成立的条件确定 a，b，c 的值．源自业情典 例
2 2(a＋1a)，只需证 2
探
a2＋a12≥ 2(a＋1a)，
选修4-5 2第二节 证明不等式的基本方法
()
(2)比较法最终要判断式子果的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步推理,
最后达到待证的结论. ( )
(4)分析法又叫逆推证法或执果索因法,是从待证结论出发,一步一步地寻求结论
成立的必要条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实. ( )
必备知识·自主学习
必备知识·自主学习
2.基本不等式 (1)基本不等式判断大小的基本原则:积定_和__最__小__,和定_积__最__大__. (2)基本不等式使用的基本原则:_一__正__二__定__三__相__等__.
必备知识·自主学习
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知x为实数,则1+x+ 1 ≥3.
提示:(1)×.不知道x的正负,不能直接用基本不等式. (2)×.作商比较法是商与1的大小比较. (3)√.综合法是从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等逐步推导出结论. (4)×.分析法是从结论出发,寻找结论成立的充分条件.
第二节 证明不等式的基本方法
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
必备知识·自主学习
【教材·知识梳理】 1.不等式的证明方法 (1)综合法:又叫顺推证法或由因导果法,方法是从_已__知__条__件__出__发__,_利__用__定__义__、__公__ _理__、__定__理__、__性__质__等逐步推导出结论. (2)分析法:又叫执果索因法,方法是从_结__论__出发,逐步寻找结论成立的_充__分__条__ _件__,直至所需条件为_已__知__条__件__或__一__个__明__显__成__立__的__事__实__. (3)作差法与作商法:作差法是作差后与0比较,作商法是把两个_正__数__作商后与 _1_比较.
选修4-5第二节不等式的证明+Word版
第二节不等式的证明 突破点 不等式的证明 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 2．比较法(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b . (2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证A B≥1. 3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”比较法证明不等式[例1] 设a ，b 是非负实数求证：a 2＋b 2≥ab (a ＋b )．[方法技巧]作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．综合法证明不等式[例2] 已知a ，b ，c >0且互不相等，abc ＝1.试证明：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c.[方法技巧]综合法证明时常用的不等式(1) a 2≥0.(2)|a |≥0.(3)a 2＋b 2≥2ab ，它的变形形式有：a 2＋b 2≥2|ab |；a 2＋b 2≥－2ab ；(a ＋b )2≥4ab ；a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.(4)a ＋b 2≥ab ，它的变形形式有： a ＋1a ≥2(a >0)；a b ＋b a ≥2(ab >0)； a b ＋b a≤－2(ab <0)． 分析法证明不等式 本节重点突破1个知识点：不等式的证明.[例3] (2017·沈阳模拟)设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥ 3；(2) a bc ＋ b ac ＋ c ab≥ 3(a ＋b ＋c )．[方法技巧]分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a 2＋b 2≥2ab )、基本不等式⎝⎛⎭⎫ab ≤a ＋b 2，a >0，b >0没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点三]已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a .2．[考点一]已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .3．[考点二]已知a ，b ，c ，d 均为正数，且ad ＝bc .(1)证明：若a ＋d >b ＋c ，则|a －d |>|b －c |；(2)t ·a 2＋b 2c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4，求实数t 的取值范围．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1) ab ＋bc ＋ac ≤13； (2) a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.[课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡1．已知函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|，其最小值为t .(1)求t 的值；(2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝t ，求证：1a ＋4b ≥94.2．设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．3．(2017·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，存在实数x 使f (x )<2成立．(1)求实数m 的值；(2)若α，β≥1，f (α)＋f (β)＝4，求证：4α＋1β≥3.4．(1)已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2；(2)已知a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .5．已知x ，y ∈R ，且|x |<1，|y |<1.求证：11－x 2＋11－y 2≥21－xy.6．(2017·长沙模拟)设α，β，γ均为实数．(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|；(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.7．(2017·重庆模拟)设a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1.求证：(1)2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12； (2)a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥2.8．(2017·贵阳模拟)已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|.(1)求f (x )的最小值m ；(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b2)≥0，即( a)3＋b3≥ab＋ ab2.
选修4-5 第2讲
第22页
此题用的是作差比较法，其步骤：作差、变形、判断差 的符号、结论.其中判断差的符号为目的，变形是关键.常用的 变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法.
选修4-5
第2讲
第23页
[变式探究] 求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1.
第2讲
第16页
1. ≥ a＝b＝c 不小于 不小于 ≥ a1＝a2＝„＝an 3 1 填一填：(1)3 (2)3 4
选修4-5
第2讲
第17页
2．填一填：(1)
2 2 2
1 21
2 2
提示：∵1＝x＋2y＋
2
1 4z≤ x ＋y ＋z · 1＋4＋16 ，∴x ＋y ＋z ≥ 21 ，即x2＋y2＋z2 1 的最小值为21. (2)[－5 y)2， ∴－5 2≤2x－y≤5 2. 2 ，5 2] 提示：∵(x2＋y2)[22＋(－1)2]≥(2x－
选修4-5
第2讲
第34页
2 柯西不等式的一般结构为(a1 ＋a 2＋„＋a2)(b 2＋b 2＋„ 2 n 1 2
＋b2)≥(a1b1＋a2b2＋„＋anbn)2，在使用柯西不等式时，关键 n 是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式 子，为方便使用柯西不等式，有时常将 a 变形为 1×a 的形 式．
据集合相等确定m的值；(2)结合已知条件构造两个适当的数
组，变形为柯西不等式的形式．
选修4-5
第2讲
第33页
[解]
(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1. 1 1 1 ＋ (2)由(1)知a＋2b＋3c＝1，又a，b，c∈R ，由柯西不等式 1 1 1 1 1 得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)( a ＋ 2b ＋ 3c )≥( a· ＋ 2b· ＋ a 2b 1 2 3c· ) ＝9.所以不等式得证． 3c
选修4-5 第2讲
第12页
(2)分析法 从所要________入手向使它成立的充分条件反推直至达到 已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明 方法． (3)综合法 从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等
式)，推出所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明
不等式的方法称为综合法．
选修4-5
第2讲
第36页
经典演练提能
选修4-5
第2讲
选修4-5
第2讲
第4页
2点必会技巧 1. 利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相 等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不
等式．
2. 常用的初等变形有均匀裂项、增减项、配系数等．利用 基本不等式还可以证明条件不等式，关键是恰当地利用条件， 构造基本不等式所需要的形式．
选修4-5
第2讲
第5页
3点必须注意 1. 作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、 三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构．
2. 放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不等
式时，要注意放缩适度，“放”和“缩”的量的大小是由题目 分析，多次尝试得出．放得过大或过小都不能达到证明目的． 3. 利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进 行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此，要切记检验等号
选修4-5
第2讲
第35页
a [变式探究] 用柯西不等式证明：若a，b，c均为正数，( b b c b c a ＋ ＋ )( ＋ ＋ )≥9. c a a b c a b c b c a 证明：∵(b＋c ＋a)(a＋b＋c)
≥(
a b b· a＋
b c c · b＋
c a2 a· c ) ＝9，
a b c b c a ∴(b＋c ＋a)(a＋b＋c)≥9.
选修4-5
第2讲
第31页
例3 [2012· 福建高考]已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R， 且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值； 1 1 1 (2)若a，b，c∈R＋，且 a ＋ 2b ＋ 3c ＝m，求证：a＋2b＋ 3c≥9.
选修4-5
第2讲
第32页
[审题视点]
(1)根据式子的特点，利用公式进行转化，根
第2讲
第29页
[变式探究] 设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 证明：证法一 (综合法) ∵a≥b>0，∴a2≥b2，
则3a2≥2b2，则3a2－2b2≥0.
又a－b≥0，∴(a－b)(3a2－2b2)≥0， 即3a3－2ab2－3a2b＋2b3≥0， 则3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 故原不等式成立．
成立的条件.
选修4-5 第2讲
第6页
课前自主导学
选修4-5
第2讲
第7页
1. 三个正数的算术—几何平均不等式 a＋b＋c (1)定理：如果a，b，c均为正数，那么 ________ 3 3 abc ，当且仅当________时，等号成立，即三个正数的算术 (2)基本不等式的推广 对于n个正数a1，a2，„，an，它们的算术平均数________ a1＋a2＋„＋an n 它们的几何平均数，即 ________ a1a2„an ，当 n 且仅当________时，等号成立．
选修4-5
第2讲
第19页
核心要点研究
选修4-5
第2讲
第20页
例1 [2013· 广州模拟]已知a>0，b>0，求证：( b3≥ab＋ ab2.
[审题视点]
a
)3＋
本题主要考查不等式证明的方法，考查运算
求解能力及等价转化思想，可用作差比较法证明．
选修4-5
第2讲
第21页
[证明]
( a)3＋b3－(ab＋ ab2)
选修4-5
第2讲
第18页
3. a－b>0 或缩小
a >1 证明的结论 相反 条件和假设 放大 b
想一想：提示：综合法：由条件出发推导出所要证明的不 等式成立．分析法：从结论出发寻找使结论成立的充分条件， 综合法与分析法是对立统一的两种方法．在实际解题时，常常 用分析法探求解题思路，用综合法表达． 填一填：(1)分析法 (2)P≥Q 提示：∵a3·6＝a4·5，∴ a a a3＋a6≥2 a3·6＝2 a4·5，∴P≥Q. a a
选修4-5 第2讲
第24页
例2 已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋
1 1 1 ＋ ＋ 2≥6 a b c
3，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
[审题视点] 因为a，b，c均为正数，且a＋b＋c≥ 3 abc，故可利用三个正数的算术——几何平均不等式证明． 3
选修4-5
3 1 1 1 1 证明：∵a，b，c为正实数，∴ 3 ＋ 3 ＋ 3 ≥3 ＝ a b c a3b3c3 3 1 1 1 3 ，∴ 3＋ 3＋ 3＋abc≥ ＋abc≥2 3，∴原不等式成立， abc a b c abc 3 1 当a＝b＝c且 ＝abc时等号同时成立，即a＝b＝c＝3 时，原 abc 6 式等号成立．
选修4-5
第2讲
第14页
在证明不等式时综合法与分析法有怎样的关系？
选修4-5
第2讲
第15页
(1)要证明 ________．
29 ＋
31 <2
5 ，可选择的方法最合理的是
a3＋a6 (2)等比数列{an}各项为正数，且q≠1，若P＝ ，Q＝ 2 a4a5，则P与Q的大小关系________.
选修4-5
第2讲
第25页
[证明]
2
因为a，b，c均为正数，
2 2
2 所以a ＋b ＋c ≥3(abc) ， 3 1 1 1 1 a＋b＋c≥3(abc)－3，
1 1 1 2 ＋ ＋ 2≥9(abc)－ . 所以 a b c 3
① ②
故a ＋b ＋c
2
2
2
1 1 1 2 2 2 ＋a＋b＋c ≥3(abc)3＋9(abc)－3.
第2讲 证明不等式的基本方法
选修4-5
第2讲
第1页
不同寻常的一本书，不可不读哟！
选修4-5
第2讲
第2页
1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析 法、反证法、放缩法．
2. 会用柯西不等式证明一些简单的不等式以及求一些特定
函数的极值.
选修4-5
第2讲
第3页
1种必会方法 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清 楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使 用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证 明过程．
选修4-5
第2讲
第26页
2 2 又3(abc)3＋9(abc)－3≥2 27＝6 3， 所以原不等式成立． 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立． 2 2 当且仅当3(abc)3＝9(abc)－3时，③式等号成立． 1 即当且仅当a＝b＝c＝34时，原式等号成立．
③
选修4-5
第2讲
第27页
1 1 1 奇思妙想：例题中，不等式变为“ 3 ＋ 3 ＋ 3 ＋ a b c abc≥2 3”，其余不变，该如何解答？
选修4-5 第2讲
第10页
n
n
n
பைடு நூலகம்
(1)若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是________．
(2)x，y∈R，且x2＋y2＝10，则2x－y的取值范围为
________．
选修4-5
第2讲