八年级分式复习总结及练习
(完整版)分式知识点总结及复习,推荐文档
知识点一：分式的定义
A
一般地，如果 A，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式，A 为分子，B 为分母。
B
知识点二：与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为 0（ B 0 ） ②分式无意义：分母为 0（ B 0 ）
A 0 ③分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（ B 0 ）
D. 8x 8x 3y 3y
4、在括号内填上适当的数或式子：
① 5a (
)
；②
a 1
1
(
；③
) 2m ；④ 2n 6n(m 2) .
4xy 12axy
a2 1 (
)
n
n
(
) 3(m 2)2
0.01x 0.2 y
5、不改变分式的值，把分式
的分子与分母中的系数化为整数.
x 0.5y
知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式 的最低次幂。
9、当 x 11、当 x
x 1
时，分式 的值为正数.
x 1
x 1
时，分式
的值为 1.
3x 2
10、当 x
x 1
时，分式 的值为负数.
x 1
1
12、分式
1
1
有意义的条件是（
1 x
x 2
） A. x 0 B. x 1 且 x 0 C. x 2 且 x 0
D. x 1 且
x 3
13、如果分式
分式知识点总结及复习汇总
分式知识点总结及复习汇总一、分式的定义和性质：分式是形如$\frac{a}{b}$的数，其中$a$为分子，$b$为分母，$a$和$b$都为整数且$b \neq 0$。
分式可以表示一个数，也可以表示一个运算过程。
分式可以进行四则运算，包括加减乘除。
分式的相反数：$\frac{a}{b}$的相反数为$-\frac{a}{b}$。
分式的倒数：$\frac{a}{b}$的倒数为$\frac{b}{a}$，其中$a、b$不为零。
分式的化简：将分式化简为最简分式，即分子和分母的最大公约数为1的形式。
二、分式的运算法则：1.加法：两个分式相加，分母相同，分子相加。
2.减法：两个分式相减，分母相同，分子相减。
3.乘法：两个分式相乘，分子相乘，分母相乘。
4.除法：一个分式除以另一个分式，被除数乘以除数的倒数。
三、分式的化简方法：1.求最大公约数：分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数。
2.因式分解：将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。
四、分式与整式的相互转化：1.分式转化为整式：将分式中的分子除以分母，得到的结果为整数。
2.整式转化为分式：将一个整数写成分子，分母为1的形式。
五、分式的应用：1.比例问题：可以利用分式来表示两个比例的关系。
2.部分与整体的关系：可以用分式表示部分与整体的关系。
3.商业问题：例如打折、利润等问题，可以用分式来表示计算。
4.几何问题：例如面积、体积等问题，可以用分式来表示计算。
六、分式的简化步骤：1.因式分解。
2.分子、分母约去最大公约数。
3.整理化简结果。
七、分式的应用举例：1.甲乙两人分别在一段时间内完成一件工作，甲用时5小时完成，乙用时8小时完成，那么甲乙两人一起完成这件工作需要多少小时？解：甲和乙一起完成工作的效率是每小时$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{8}$，所以他们一起完成工作的效率是$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{13}{40}$。
八年级上册数学-第一章分式复习(1)
第一章 分式复习（1）一、知识结构⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩分式的概念约分分式的性质通分分式的符号变号法则分式乘除法分式的运算乘方加减法分式方程的解法分式方程分式方程的应用二、知识要点： 1.什么叫分式？设f 、g 都是整式，且g 中含有字母，我们把f 除以g 所得的商记作f g ，把fg 叫做分式。
2.分式基本性质设h ≠0,则f f h g g h ⋅=⋅即：分式的分子与分母同时乘以一个非零的多项式，所得分式与原分式相等；分式的分子分母同时约去公因式，所得分式与原分式相等。
3.分式的符号变换法则是什么？,f f f f fg g g g g --===---即：分子、分母、分式本身的符号，任意改变其中两个，分式的值不变。
4.分式的运算法则①分式的乘法：f u f ug v g v⋅⋅=⋅可以先把分子、分母分别相乘再约分，也可以先约分再分子、分母分别相乘。
②分式的除法：f u f v f vg v g u g u⋅÷=⋅=⋅，分式除以分式，把被除式的分子分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式加减法：同分母：f h f hg g g±±=，分母不变，分子相加减。
异分母:先通分，化为同分母分式加减。
怎样找最简公分母？（三看）系数：取各分母的系数最小公倍数；字母与因式：取所有的；指数：取最高的。
5.整数指数幂的运算法则①同底数的幂的除法：(n m n m na a am -÷=≠、都是正整数，m>n,a 0)②零次幂和负整数指数幂：1(0)a =≠a1(0,nn aa n a-=≠是正整数）11(0a a a -=≠） 负整数指数幂运算通用方法：先取倒数后取正整数次方；或先取正整数次方再取倒数。
③整数指数幂有哪些运算法则：设a ≠0,m,n 都是整数,则：()(),nnm n m nm mnn na a aaa ab a b+⋅===，6.分式有意义（值存在）、无意义（值不存在）、值为0有意义（值存在）：分母不为0无意义（值存在）：分母为0值为0：分子为0且分母不为0三、例题精讲例1、填空：当x=_____,分式()3(5)(1)2x x x --+无意义。
分式知识点的总结及复习
分式知识点的总结及复习分式是数学中的一个重要概念，对于理解和解决各种问题非常有帮助。
分式的概念、性质以及操作都是数学中的基础知识点，非常值得我们重视和复习。
下面给出分式的总结及复习，希望能对大家有所帮助。
一、分式的定义和表示方法1.分式是由两个整数用除号连接起来的表达式，形如a/b，其中a和b都是整数，b不等于0。
a被称为分子，b被称为分母。
分子和分母都可以为正整数、负整数或零。
2.分式也可以表示为a÷b，即a除以b。
二、分式的化简1.如果分式的分子和分母都可以被同一个非零整数整除，则可以进行约分。
约分后得到的分式与原分式的值相等。
2.两个分数相加（减）时，要先找到它们的公共分母，然后将分子相加（减），再写上公共分母。
3.两个分数相乘时，将分子相乘，分母相乘。
4.两个分数相除时，将除号转为乘号，即分子乘以分母的倒数。
5.分子和分母同时乘以一个非零整数不改变分数的值。
这也是化简分式中常用的方法。
三、分式的乘除混合运算1.分式的乘法：把分子与分子相乘，分母与分母相乘。
然后可以进行约分。
2.分式的除法：用除号变成乘号，然后求倒数，即分子和分母交换位置。
然后进行乘法运算，可以进行约分。
四、分式的加减混合运算1.分式的加法：确定两个分式的公共分母，然后将分子相加，写上公共分母。
最后可以进行约分。
2.分式的减法：确定两个分式的公共分母，然后将分子相减，写上公共分母。
最后可以进行约分。
五、分式的化简与方程的解1.在代数中，分式经常出现在方程的求解中。
如果方程中含有分式，我们需要对方程进行化简，使得分母消失，然后求解方程。
2.常用的化简方法有通分、去括号、移项等。
六、分式的应用1.在实际生活中，分式的应用非常广泛。
比如：计算机网络中的带宽分配、物资的平均分配等都涉及到分式的应用。
2.分式在商业计算、金融投资等领域也有广泛应用。
七、分式的习题练习1.简化下列分式：(a)12/30(b)-18/12(c)40/802.求下列分式的值：(a)1/4+3/8(b)5/6-2/3(c)2/3×3/4(d)1/2÷2/33.解方程：2/(x-1)-3/(x+2)=1/(x+1)以上是分式知识点的总结及复习，对于掌握分式知识以及应用都有一定的帮助。
八年级因式分解分式与分式方程
因式分解、分式复习一、知识梳理知识点一 因式分解1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．2．分解困式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；3．分解因式的步骤：（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。
4．分解因式时常见的思维误区：提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【课前练习】1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）A ．3x －2与 6x 2－4x B.3（a －b ）2与11（b －a ）3C ．mx —my 与 ny —nxD ．ab —ac 与 ab —bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） 3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）22222222.949 .949.949 .(949)A x y B x y C x y D x y ---+-+4. 分解因式：x 2+2xy+y 2－4 =_____5. 分解因式：（1）()229=n ；()222=a（2）22x y -= ；（3）22259x y -= ； （4）22()4()a b a b +--；（5）以上三题用了 公式222222.1(1)(1) ;.14(12)(12).8164(98)(98);.(2)(2)(2)A x x x B y y y C x y x y x y D y x y x y x -=+--=+--=+---=-+-【经典考题剖析】 例 1. 分解因式：（1）33x y xy -；（2）3231827x x x -+；（3）()211x x ---；（4）()()2342x y y x ---分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。
分式知识点总结及复习
分式知识点总结及复习一、基本概念分式是指两个整数之间用分数线表示的表达式，其中分数线上方的整数称为分子，下方的整数称为分母。
分子和分母可以是正整数、负整数或零。
二、分数的分类1. 真分数：分子小于分母的分数，如1/2、3/4。
2. 假分数：分子大于等于分母的分数，如7/4、11/3。
3. 带分数：由整数部分和真分数部分组成的复合分数，如2 1/2、33/4。
三、分数的基本运算1. 分数的加法：分母相同时，分子相加；分母不同时，通分后分子相加。
2. 分数的减法：分母相同时，分子相减；分母不同时，通分后分子相减。
3. 分数的乘法：分子相乘，分母相乘。
4. 分数的除法：将除法转化为乘法，即将除数取倒数后与被除数相乘。
5. 分数的约分：将分子和分母的公约数除去，使分数达到最简形式。
6. 分数的比较：分数大小的比较依据是分子和分母的大小关系。
四、分式的应用1. 长度比较：如果表示相同长度的量，分母较大的分数表示的长度较小。
2. 面积比较：如果表示相同形状的图形面积，分母较大的分数表示的面积较小。
3. 比例求解：对于一个比例关系，可以使用分数来表示两个量之间的关系。
4. 混合运算：在实际的数学题中，分式常常与整数、小数一起进行混合运算。
五、常用的分数的表示法1. 百分数：百分数是分数的一种表示形式，以分母为100。
2. 小数：小数是另一种分数的表示形式，可以将分数化为小数进行计算。
六、常见的分数问题1. 分数的相加减问题：根据题意确定分数的运算方式，并进行对应的计算。
2. 分数的乘法除法问题：将乘法转化为分数的相乘运算，将除法转化为分数的相除运算。
3. 分数的约分问题：找到分子与分母的公约数，并进行约分化简。
4. 比较分数大小问题：比较分子与分母的大小关系来确定分数的大小。
七、常见的解分数问题的方法解决分数问题可以通过下面的方法来进行：1. 手算：将分数转化为小数进行计算，或者使用分数与整数的运算规则进行计算。
分式知识点总结及复习
分式知识点总结及复习分式是我们在数学学习中经常会遇到到的一个概念。
它也是数学中比较重要和基础的知识点之一。
今天我们就来总结和复习下分式相关的知识点。
一、分式的定义分式是表示两个整式相除的东西，通常形式为a/b，其中a和b 都是整式，b≠0。
二、分式的简化分式的简化是指对于一个分式a/b，找出他最简分式，即分式的分子和分母没有公因数。
分式简化的步骤如下：1、分子与分母可以同时除以同一个数，没有其他公因数的，就应该进行这个操作。
2、化简后的算数式应尽量保持简洁，比如说结果如果是(b+1)/(ab)的时候，不应化简成1/a+1/b，因为前者更为简洁。
三、分式的运算1、分式的加减法分式的加减法要求先将分母变为相同，然后分别对其分子进行加减运算即可。
具体方法如下：- 找到所有分式的公分母- 将每个分数的分子乘上变换因子，使得分母变成公分母。
变换因子就是公分母与原分母之间的比例数- 化简并加减分子比如：1/4+2/3=3/12+8/12=11/122、分式的乘法两个分数相乘，直接将两个分数的分子与分母分别相乘，然后再化简成最简分数即可。
比如：1/2*3/4=3/83、分式的除法将一个分数a/b乘以另一个分数c/d的倒数d/c，即a/b * d/c= ad/bc比如：1/2÷3/4=1/2*4/3=2/3四、分式方程分式方程就是方程中包含了一个或多个分式的方程。
一方面分式方程是实际问题的建模工具，另一方面分式方程本身也是数学研究中的重要对象。
分式方程的解法和解普通方程一样，只不过要注意去分母。
比如：1/(x+1) + 2/(2x-1)=3-->2(x+1)+1(x-1)=3(x+1)(2x-1)-->3x^2-4x+1=0-->x=1或1/3五、分式的应用分式在我们的日常生活中也有广泛的应用，比如在金融领域中，计算收益率、利率等都涉及到分式的运算；在化学和物理方面，化学反应平衡常数，速度常数，牛顿第二定律等也都涉及到分式的概念。
八下期末复习第10章《分式》知识点及题型总结与巩固训练(有答案)
八下第10章《分式》知识点与拓展训练一、分式的定义：一般地， 。
二、与分式有关的条件：①分式有意义： ；②分式无意义： ；③分式值为0： ；④分式值为正或大于0： ；⑤分式值为负或小于0： ；⑥分式值为1： ； ⑦分式值为-1： ；三、分式的基本性质：分式的 分式的值不变。
字母表示： 其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=AA A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
四、分式的约分：1．定义： 叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母 ，然后约去分子与分母的 。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义： ，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的 公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的 次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母 因式,然后判断公因式.五、分式的通分：1．定义： 叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）2．最简公分母：取各分母所有因式的 次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的 公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的 次幂作为最简公分母的因式.3．如果分母是多项式,则应先把每个分母 因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方：① 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的 ， 的积作为积的分母。
式子表示为：db ca d cb a ••=• 分式除以分式：把除式的 、 颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为：cc ••=•=÷b da db a dc b a ② 分式的乘方：把 、 分别乘方。
新人教版八年级数学(上)分式部分期末复习题精选(1)及答案
新人教版八年级数学（上）分式部分期末复习题精选（1）及答案一、填空：1、若分式112+-x x 的值为0，，则x 的值等于 ； 2、当x=-2时，分式a xb x +-无意义，当x=4时，此分式的值为0，则a+b= ; 3、要使分式11+x 有意义，则x 满足的条件是 ； 4、当x 时，分式242--x x 没有意义，当x 时，分式 xx --12无意义； 5、已知分式ax x x +--532，当x=2时，分式无意义，则a= . 6、若分式35122---b b b 的值为0，则b 的值为 ； 7、若分式3)1)(3(-+-x x x 的值为0，则x 的值为 ； 8、x 时，622---x x x 的值为0；9、化简aa a 22+的结果是 ； 10、已知311=-yx ，则代数式y xy x y xy x ----22142的值为 ； 11、已知0)3(2=++-b a ，2222bab a ab a +++的值为 ； 12、已知1442+-x x =0，则代数式x 21x 2+的值为 ； 13、已知25=b a ，则bb a -= ； 14、已知21,4==y x ，且0＜xy ，则=y x ，15、已知a 、b 满足2=+a b b a ，则22224bab a b ab a ++++的值为 ； 16、已知非零实数满足,4422ab b a =+则=a b ； 二、选择：17、当分式21+-x x 的值为0，x 的值是 （ ） A . 0 B. 1 C. -1 D. -218、计算的结果是（ba ab 22)- （ ） 19、化简的结果是4422+--x x y xy （ ） A. a B. b C. 1 D. -b20、化简的结果是（mm n m n -÷-2) （ ） A. -m-1 B. –m+1 C. –mn+m D. –mn-n21、计算的结果是)1(1112-⋅-+÷m m m （ ） A. 122---m m B. 122-+-m m C. 122+-m m D. 12-m三、计算：22、先化简，再求值213,9622-=+--b a b a b a 已知23、已知:.,432222的值求z y x zx yz xy z y x ++--==24、若.))()(,2,0的值（求且满足xyzy x z x z y z y x y z x x z y xyz +++=+=+=+≠答案一、填空：1．1；2. 6；3. 1-≠x ；4. 21=x 1±=x ； 5. a=6； 6. 1； 7. -1； 8. x=-2； 9. a+2; 10. 4; 11. -2; 12. 2; 13. 23; 14. -8； 15. 21； 16. 2； 二，选择：17. B; 18. B; 19.D;20. B; 21. B 三、计算;22. -4;23. 2914-; 24. 8。
八年级下册全书章节复习
第十六章分式复习复习目标：1． 理解分式的概念，掌握分式有意义的条件。
2． 掌握分式的基本性质，会利用其进行约分。
3． 了解分式值的正负或为零的条件。
1.分式的概念:：练习：（1） 在、、、、、 、 3a 2－b 、中是分式的有分式有意义的条件练习：（2）当x 取何值时下列分式有意义？, , ,2.分式的基本性质分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.练习：（1）下列等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．(2). 下列化简结果正确的是( )A. B.=0 C.=3x3D.=a 33.分式值的正负或为零的条件=0 的条件________ >0 的条件________ <0的条件________ 练习： (1). 当x=时，分式的值是零(2) 若分式的值为负数，则x 的取值范围是( ) A.x ＞3B.x ＜3C.x ＜3且x ≠0D.x ＞－3且x ≠0(3).已知x =－1时，分式无意义，x =4时分式的值为零，则a +b =________. 4.整数指数幂 负指数幂: a -p = a 0=1（a 0≠）1.计算： ； ；x 121212+x πxy 3y x +3m a 1+1223m m23x x -+211x x --211x x -+22mn m n =)0(≠++=a a m a n m n )0(≠--=a a m an m n )0(≠=a manam n 222222z y z x y x -=+-))((22b a b a b a -+--yx y x 26312-+m m aa A B A B AB12(1)x x --23x x -a x bx +-1p a=-321)(b a =+-203π()的整式不等于0,M M B M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2.用科学记数法表示:(1)0.00150=_____________;(2)-0.000004020=___________. 5.分式乘法：练习：（1）= （2）. = 6. 分式除法:练习：（1）. = (2). = 7.分式通分： 练习： （1）. 通分 8.分式加减：练习：计算（1） (2) 9.化简，求值。
人教版八年级上册数学教案：第十五章分式复习与小结
3．分式的运算法则：
（1）乘法法则
（2）除法法则
（3）分式的乘方
（4）加减法则
4．解分式方程的步骤
各小组代表汇报小组合作学习成果，并讨论各小组提出的疑难问题。
班级集体讨论给出各种解决方案．师生共同解决疑难，记录要点。
巩
固
拓
展
练习：
P158 练习 1 ， 2 ， 3
小结：
本节课你有何收获？
课时教案
课题
复习与小结
第 1课时
总第73课时
教学目标
知识与技能：1.理解分式定义，掌握分式有意义的条件。
2.掌握分式的加减乘除运算及混合运算。
过程与方法：掌握分式方程的解法，会列分式方程解决实际问题。
情感态度与价值观：经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣.
重点
分式加减乘除混合运算及分式方程
教具
三角尺
难点
列分式方程解决实际问题
学具
三角尺
教师活动
学生活动
前
置
性
学
习
教师抽查学生的前置性作业的完成情况批改，并向老师汇报作业中存在的问题。
小
组
合
作
学
习
1.下列代数式中： , ， 是分式的有______________
2．当x满足__________时，分式 有意义。当x=__________时，分式 的值为零，当x满足____________时，分式 值为正
小组内个人展示先学成果，相互交流，明确答案。
对疑难问题，小组内共同讨论完成。
提出质疑，组长解答。
汇
报
交
湘教版八年级数学上册第1章分式复习知识点及复习题解析
即 分式的分子、分母都乘 它们的公因式 ， 所得分式与原分式相等。
f f f . g g g
分式及其分子、分母三处法符号，任意改 变两处的符号，即把负号移到另一处，分式的 值不变。
f mk m . g nk n
即 分式的分子、分母都约去 公因式 ， 所得分式与原分式相等。
1. 分式乘分式把分子相乘的积作分子，把分母相 乘的积作分母。最后结果约分成 最简分式 .
概念和性质
乘、除运算
分
式
运算
整数指数幂的运算
加、减运算
可化为一元一次方程的分式方程
1. 整式f除以 非零 整式g(g中含有 字母 )所得 的商 f ，叫做分式。
g
2. 当分母 等于0 时，分式的值不存在(无意义)； 当分子等于 等于0 但分母 不等于0 时，分式
的值等于0.
f f h h 0.
(ab)n=anbn
a b
n
an bn
am an
amn
1.同分母分式相加减，分母 不变 ，把分子 相加减 .
2.各分式的分母的 所有因式 的最高次幂的积，叫做 这些分式的最简公分母.
3.根据分式的基本性质，把异分母分式化成同分母 分式的过程叫做 通分 .通分的方法：先确定各分 母的 最简公分母 ，再将各分式的分子、分母都 乘最简公分母约去各分式的分母所得的整式。
【答案】x=±2.
2.先约分，再求值：
2x 6 x2 4x
4
x2 x2 3x
，其 中x
3.
【答案】原式=
2
xx
2
2 3
.
3.计算：
16a3b 3b；
2 24x5 y3 36x4 y4；
分式知识点总结及复习
分式知识点总结及复习一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
例如：1/x 是分式，而 1/2 不是分式，因为分母 2 不含有字母。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。
即：对于分式 A/B，B ≠ 0 时，分式有意义。
例如：对于分式 2/（x 1)，当x 1 ≠ 0，即 x ≠ 1 时，这个分式有意义。
三、分式值为零的条件分式值为零的条件是分子为零且分母不为零。
即：对于分式 A/B，当 A ＝ 0 且B ≠ 0 时，分式的值为零。
例如：若分式(x 2)／（x ＋ 2)的值为零，则 x 2 ＝ 0 且 x ＋2 ≠ 0，解得 x ＝ 2。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C ≠ 0）例如：化简分式 2x/（3y)，分子分母同时除以 x，得到 2/（3y/x)。
五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
约分的关键是确定分式中分子和分母的公因式。
确定公因式的方法：（1）系数取分子和分母系数的最大公约数；（2）字母取分子和分母共有的字母；（3）相同字母的指数取次数最低的。
例如：对分式 6x²y/9xy²进行约分，分子分母的公因式为 3xy，约分后得到 2x/3y 。
六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的。
人教版八年级数学《分式》期末复习二
分式复习二一、两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
乘法和除法运算时,分子或分母能分解的要分解，结果要化为最简分式 。
练习题：二、分式的加减：同分母相加 异分母相加 注意：在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式； 过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式。
练习题：bdacd c b a =⨯bcad c d b a d c b a =⨯=÷3234)1(xy y x ⋅cdb ac ab 452)2(2223-÷222441(3)214a a a a a a -+-⋅-+-2211(4)497m m m÷--223(5)5325953x x x x x ÷⋅--+2222255(6)343m n p q mnp pq mn q⋅÷221642(7)816282a a a a a a a ---÷⋅++++2222444431669)8(x x x x x x x x -++⋅--÷-+-、ACB AC A B +=+ADAC BD AD CA AD BD D C A B +=+=+•aa 34)1(-xx x x -+--+11211)2(21211)3(+++-+x x x x 11211)4(2++--+x x x x（7）当 x = 2000时，求 的值（8）、已知 求A 和B三、解分式方程的思路是：分式方程 去分母 整式方程 四.解分式方程的一般步骤（1）、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.（2）、解这个整式方程.（3）、 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. （4）、写出原方程的根. 练习题：5.若方程 有增根，则增根应是1122)5(++-+x x x xy x y y x x x y x -+--+22x x x x x x 13632+-+--22)2(2)2(3-+-=-+x Bx A x x 511.31x x x x -+-=--2282.124x x x --=+-313.244x x x -+=--25334.322y y y y --=---223242ax x x x +=--+五、列分式方程解应用题的一般步骤1.审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系.2.设:选择恰当的未知数,注意单位.3.列:根据等量关系正确列出方程.4.解:认真仔细.5.验:不要忘记检验.6.答:不要忘记写.1、一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？2、已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?3、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?4、甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.5、A、B两地相距135千米，有大、小两辆汽车从 A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.。
人教版八年级数学上册第15章 分式 小结与复习
因为 ( 3)2 ( 3)2 3，所以小玲的计算结果也正确.
例4
解析：本题若先求出 a 的值，再代入求值，显
然比较复杂；但是如果将分式
的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用完全平方公式变形求解就简单多了．
归纳总结 利用 A 和 1 互为倒数的关系，构造已知
A
条件与所求式子的关系，并运用整体代换，可使一 些分式求值问题的思路豁然开朗，简化解题过程．
第十五章 分 式
小结与复习
一、分式 1. 分式的概念：
一般地，如果 A、B 都表示整式，且 B 中含有
字母，那么称 为分式. 其中 A 叫做分式的分子，
B 叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：
对于分式 ：当__B_≠__0__时分式有意义； 当__B__=_0__时分式无意义.
3. 分式值为零的条件： 当 A = 0 且 B≠0 时，分式
的值为零.
4. 分式的基本性质：
A A C ， A A C（C 0）. B BC B BC
5. 分式的约分： 约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母
的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元， 其余视为辅元，并将辅元用含有主元的式子表示，从 而达到减元的目的，最终实现化繁为简，化难为易.
针对训练
9.
已知
x y
2 3
，求
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
分式、因式分解整式乘除综合知识点及练习
整式的乘除法。
因式分解和分式复习基本概念一．整式的除乘法 1。
同底数幂的乘法：mn m n a a a +=,（m,n 都是正整数),即同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
2。
幂的乘方：()m nmna a=,(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：()n n nab a b =，（n 为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
4。
整式的乘法：(1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律,用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．可用下式表示:m （a +b +c )=ma +mb +mc (a 、b 、c 都表示单项式）（3)多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5.乘法公式：（1）平方差公式：平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差"，即用字母表示为：（a +b )(a －b )=a 2－b 2;其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.（2）完全平方公式:完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差)的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：（a +b )2=a 2+2ab +b 2;（a －b )2=a 2－2ab +b 2;其结构特征是:左边是“两个数的和或差”的平方,右边是三项，首末两项是平方项,且符号相同，中间项是2ab ，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a 、 b 都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式（3）添括号时,如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。
八年级下册分式总结及练习
八年级下册第十六章分式1、分式及其相关概念⑴形如()中含有字母B BA 的式子，就叫分式。
()0≠B⑵最简分式：分子、分母中没有公因式的分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 2、分式的值：经分式的通分和约分求得（关键先是分解因式） 3、分式的基本性质：分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：MB M A BA ⨯⨯=，MB M A BA ÷÷=（其中M 是不等于零的整式．）4、分式的加减法、乘除法：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
5、任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，nn aa 1=-（)0≠a6、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂。
(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=⋅； （2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方：n n n b a ab =)(；（4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)； （5）商的乘方：nnnba b a=)(；(b ≠0)7、分式方程分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤：(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程；(4)验根：分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识点：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算。
考点：分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算。
能力：结合分析和解决实际问题，掌握有关分式的运算。
方法：指导法、讲解法、启发式【知识回顾】A叫1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子B 做分式。
2、分式有意义的条件是分母不为零；【B≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B≠0且A=0 即子零母不零】3、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变4、分式的通分和约分：关键先是分解因式。
（1）分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
（2）分式的通分①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
5、分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
,a b a b a c ad bc ad bcc c c bd bd bd bd±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
注意：分式加减的关键是通分，把异分母的分式，转化为同分母分式，再运算；分式乘除时先把分子分母都因式分解，然后再约去相同的因式；分式的混合运算，注意运算顺序及符号的变化；分式运算的最后结果应化为最简分式或整式．6.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即当a≠0时，01a =；当n 是正整数时，1(0)n n a a a-=≠【经典例题】例1：下列各式aπ，11x +，15x+y ，22a b a b--，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
n n n ba b a =)(bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;例2：当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零例3：已知a+b=3，ab=1，则a b +ba的值等于_______。
例4：（1）约分： 22699x x x ++-； （2）通分： 26x ab ，29ya bc ；例5：计算： y x y 223++xyx xy+22例6：先化简代数式： 22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值．【课堂练习】1、下列代数式：①yx y x +-；②132+x ；③x x 13-；④4xy ；⑤14.3ba -，其中整式有____________，分式有___________（只填序号）.2、 分式392--x x 当x __________时分式的值为零.3、 约分： =+--96922x x x __________ . 4、已知31=b a ，分式b a b a 52-+的值为 ；（1）当x ＝ 时，分式232+x x 有意义；（2）当x ＝ 时，分式42||2--x x 的值为0；（3）当x ___________________时，分式2)1(35-+-x x 为负；5、求下列各组分式的最简公分母 （1）abca b b a 4,3,22 ________________________ （2） _______________________（3）2223,)(1ba b a -+ _________________________6、已知222222M xy y x yx y x y x y--=+--+，则M= ．2211111,,,,11121x x x x x x +--++7、不改变分式的值，使分子、分母首项为正，则x yx y-+--= ． 8、 已知：432zy x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+= ； 若2222,2ba b ab a b a ++-=则= 9、 若20)63(2)3(----x x 有意义，那么x 的取值范围是 。
10、若1)1(1=-+x x ，则x ＝ ．11、下列判断中，正确的是（ ）A 、分式的分子中一定含有字母B 、当B=0时，分式BA无意义 C 、当A=0时，分式BA的值为0（A 、B 为整式） D 、分数一定是分式12、 将（16）-1，（-2）0，（-3）2这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（ ）．A 、（-2）0<（16）-1<（-3）2B 、（16）-1<（-2）0<（-3）2C 、（-3）2<（-2）0<（16）-1 D 、（-2）0<（-3）2<（16）-113、当a 为任何实数时，下列分式中一定有意义的一个是（ ）A.21aa + B.11+a C.112++a aD.112++a a14、不改变分式52223x y x y -+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( ) A.2154x y x y -+ B.4523x y x y -+ C.61542x y x y -+ D.121546x yx y-+15、如果把分式yx x232-中的x,y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A 扩大3倍B 不变C 缩小3倍D 扩大2倍16、 当323212yx kxy x =-时，k 代表的代数式是 （ ）A ．)12(322-x y x B.23(21)2xy x - C ．)12(322-x y xD ．)12(2-x xy18、计算：（1）4322016xy y x -； （2）44422+--x x x（3）x x x x x x42232-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- （4）331+-+x x（5） 421628a a b b-+； （6）22422444816a ab b a a b b -+-+（7）329122---m m （8）44121211222+++-⋅-+-+x x x x x x x19、已知：21=-x x ，求221xx +的值.20、简答 ①⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷--225262x x x x ② 874321814121111xxx x x x x x +-+-+-+--③ 已知b ab a b ab a b a ---+=-2232,311求 的值 ④ 若0<x<1,且xx x x 1,61-=+求 的值21、先化简，再求值：2)2142(2+÷---x xx x x ，其中1-=x【课后练习】1、当x 时，分式21xx +的值为0；2、分式当x _________时分式的值为零，当x ________时,分式有意义．3、下列计算错误的是（ ）A 、253--=⋅a a aB 、326a a a =÷C 、33323a a a -=-D 、()1210=+-4、化简xy y x y x ---22的结果是( ) A .y x -- B. x y - C. y x - D. y x +5、 一组按规律排列的式子：()0,,,,41138252≠--ab ab a b a b a b ，其中第7个式子是第n 个式子是6、已知x+1x =3，求2421x x x ++7、先化简代数式1121112-÷⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+a a a a a a ，求：当a =2时代数式值.392--x x x x2121-+。