一个新的四维超混沌系统的滞后同步及其Simulink仿真_柴秀丽1_孔庆梅2_董

0 引言
1979 年， O.E.Rossler 首次提出了超混沌 Rossler 系统[1]。 超混沌系统具有 2 个或 2 个以上的正 Lyapunov 指数，其动 力学行为更加复杂， 难以预测。 复杂的超混沌系统可以提高 混沌保密通信和信息加密的安全性， 因此， 对超混沌系统的 研究是混沌应用的一个重要课题。 2012 年，高智中等人在文献[2]提出的三维自治混沌系 统的基础上，引入了一个简单的非线性控制器， 设计了一种 新的四维超混沌系统，通过理论分析、Lyapunov 指数谱、 相图、时间响应图等方法详细分析了该系统的动力学特性， 最后采用电路对该系统进行了实现。 由于该系统可以通过电 路实现，具有巨大的应用前景[3]。 基于混沌同步的保密通信是通过设计控制器实现驱动 系统与响应系统之间同步来传输信息的。 混沌同步控制方法 包括自适应控制[4]、脉冲控制[5]、滑模变控制[6]、模糊控制 等等 。实际应用中，时滞现象普遍存在，并且系统容易受 到各种因素的干扰， 系统参数存在一定的不确定性， 这些都 使混沌系统的模型变得不确定。 因此， 研究参数不确定的超 ———————————————
柴秀丽 ，孔庆梅 ，董春晨
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(1. 河南大学计算机与信息工程学院，河南大学图像处理与模式识别研究所，河南 开封 475004；2. 河南大学土木建筑学 院，河南 开封 475004) 摘 要: 针对一个新的四维超混沌系统，研究了它的滞后同步和参数辨识问题。基于 Lyapunov 稳定性定理和自适应控制方 法，利用误差系统的状态反馈量设计控制器，在通道有无噪声的两种情况下，实现了该系统的滞后同步，同时辨识出所有未 知参数，控制器的控制强度也可以自适应确定。最后采用 Simulink 数值仿真验证了理论的正确性、有效性和鲁棒性。 关键词: 自适应控制；参数辨识；数值仿真；滞后同步；超混沌系统 中图分类号: TP273 文献标志码: A 文章编号： （作者可不填） doi:10.3969/j.issn.1001-3695 (作者可不填)
, yn ) R 分别表示驱动系统 (1)
基金项目：国家自然科学基金(61004006)；河南省自然科学基金(112300410009)；河
南省高等学校青年骨干教师资助计划 (2011GGJS-025); 河南省科技攻关项目 (122102210053) 和河南省教育厅自然科学研究计划 (12A460001 、 2011A510001、2011A520004)；省部共建项目(SBGJ090603)资助课题 作者简介: 柴秀丽（1980-） ，女，河南遂平人，副教授，博士，主要研究方向为混沌控制与同步、E-mail：chaixiuli@；孔庆梅（1978-） ， 汉，女，河南新乡人，讲师，硕士，主要研究方向为非线性控制；董春晨（1989-） ，男，河南周口人，本科生，主要研究方向为混沌控制与同步。.
式中， y=(y1, y2, y3, y4)T 是系统的状态变量； u=(u1, u2, T u3, u4) 是需要设计的控制器；m1、m2、m3、m4 和 m5 是需要确定的未知参数。 下一步我们就是要设计控制器 u，实现驱动 响应系统之间的滞后同步，同时实现未知参数的辨 识。
式中，ki 是控制器的控制强度，τi 是驱动-响应系统 之间的延时时间；γ1、γ2、γ3、γ4、ε1、ε2、ε3、 ε4 和ε5 是任意非零常数。 证明： 选择如下形式的 Lyapunov 函数 1 5 1 1 4 1 V ei 2 (ki 2 )2 (m j a j )2 (7) 2 i 1 i 2 j 1 j 驱动系统与响应系统之间的误差动态方程为，

t
f (t ) d 存 在 而 且 有 界 ， 则 当
ui ki ei , ki i ei 2 , ei xi t i yi t
图 1 超混沌系统的混沌吸引子
m1 1e1 y1 (t ), m2 2 e1 y2 (t ), m3 3e2 y1 (t ), m4 4 e3 ( y1 (t ) y3 (t )), m5 5e4 y1 (t ), i 1, 2,3, 4
1 理论分析
考虑耦合的驱动系统和响应系统表示如下：
x(t ) Ax(t ) f x(t )
y t By(t ) g y(t ) U (t )
式 中 ，
(1) (2)
x(t ) ( x1 , x2 ,
T n
, xn )T Rn
和
y(t ) ( y1 , y2 ,
和响应系统(2)的状态向量， A Rn 和 B Rn 是参 数向量； f , g : R R 是两个连续的非线性向量
n n
函数； U (t ) 是自适应控制器。在控制器 U (t ) 的作 用 下 ， 若 存 在 一 个 比 例 函 数 矩 阵 M (t ) ， 使 得
li m t τ ) y t( ) ，则称系统 0 (1) 和 (2) 达 t x (
其中，令
n 。
T
新的四维超混沌系统的数学模型表示如下，
x1 (t ) a1 x1 (t ) a2 x2 (t ) x (t ) a x (t ) x (t ) x (t ) x (t ) x (t ) 2 3 1 1 3 2 4 （3） x ( t ) x ( t ) x ( t ) a ( x ( t ) x ( t )) 1 2 4 1 3 3 x4 (t ) a5 x1 (t )
到了滞后同步，时间延迟向量 τ 1 , 2 ,
x1 (t1 ) x1 (t2 ) x2 (t1 ) x2 (t2 ) x3 (t1 ) x (t ) 3 2 x (t ) 4 1 x4 (t2 ) -a1 a x t 3 3 1 x2 t1 a4 a5
式（3）表示的系统作为驱动系统，则响应系 统可以表示如下：
(6)
y1 (t ) m1 y1 (t ) m2 y2 (t ) u1 y (t ) m y (t ) y (t ) y t ) y (t ) y (t ) u 2 3 1 1 3 2 4 2 （4） y ( t ) y ( t ) y ( t ) m ( y ( t ) y ( t )) u 3 1 2 4 1 3 3 y4 (t ) m5 y1 (t ) u4
DOI：CNKI:51-1196/TP.20121128.1504.002 网络出版时间：2012-11-28 15:04 网络出版地址：/kcms/detail/51.1196.TP.20121128.1504.002.html
一个新的四维超混沌系统的滞后同步及其 Simulink 仿真
式中，x=(x1,x2,x3,x4)T 是系统的状态变量，当 a1=20, a2=35, a3=20, a4=5, a5=4 时， 该系统是超混沌的， 它 的超混沌吸引子见图 1。
a2 0 0 x1 t1 x1 t2 x t x2 t2 a4 x1 t2 1 2 1 x1 t2 a4 0 x3 t1 x3 t2 0 0 0 x t x t 4 2 4 1 （5）
( A) 代表矩阵 A 的谱半径。
Barbalat 引理[13]：如果 f (t ) 是一个一致连续函数， 同 时 lim
t 0
1
2
t ，f t 0 。
定理：在下面的条件满足的情况下，驱动系统 （3）和响应系统（4）将会达到滞后同步，未知参 数也能被辨识，同时控制器的控制参数也能被自适 应确定。
M x (t1 ), xt2
-a1 a x t 3 3 1 x2 t1 a4 a5
a2 0 0 a4 x1 t2 1 。 x1 t2 a4 0 0 0 0
由于此四维超混沌系统是有界的，因此 M x (t ), xt 是 有 界 矩 阵 ， 令 (M x (t ), y (t ) ) ，
收稿日期：2006-08-20；修回日期：
[7]
混沌系统的滞后同步和参数辨识是很有现实意义的。 穆文英 等[8]研究了参数不同、结构不同的带离散与分布时滞的神经 网络的滞后同步。 在以往的研究中， 控制器的控制强度往往 需要事先给定[9-11]，胡爱花等[12]提出了控制强度可自适应确 定的方法， 但是在稳定性分析证明中， 需要用两个 Lyapunov 函数，分析证明过程复杂，不利于实际应用。 本文在此基础上， 以一个新的四维超混沌系统为例，研 究它在参数不确定情况下的滞后同步和参数辨识问题， 同时 分析噪声的影响，在稳定性分析中只需要一个 Lyapunov 函 数，最后用 Simulink 数值仿真验证理论分析的正确有效性。
Lag synchronization and simulation by Simulink of a new four dimensional hyperchaotic system
CHAI Xiu-li 1, KONG Qing-mei2, DONG Chun-chen1 (1. College of Computer and Information Engineering, Institute of Image Processing and Pattern Recognition, Henan University, Kaifeng 475004, China; 2. School of Civil Engineering and Architecture, Henan University, Kaifeng 475004, China ) Abstract: Lag synchronization and parameter identification of a new four dimensional hyperchaotic system were investigated. Based on Lyapunov stability theory and adaptive control method, the controller was designed using the state error feedback, lag synchronization of the hyperchaotic system was realized and all the unknown parameters were identified, and the control gains of the controller were also confirmed with or without noise. Numerical simulation based on Simulink is made to verify the effectiveness and feasibility and robustness of the theory. Key words: adaptive control; parameter identification; numerical simulation; lag synchronization; hyperchaotic system