微分几何13空间曲线

第三节 空 间 曲 线
3、1 空间曲线的密切平面 1、定义 过空间曲线上 P 点的
r (t0 )
P(t0 )
切线和 P 点邻近一点 Q 可作一平 面 ，当 Q 点沿曲线趋于 P 时，
Q(t0 t)
平面 的极限位置 称为曲线
R
在 P 点的密切平面。
O 对于 c 2 类的曲线上任一正常点处的
密切平面是最贴近于曲线的切平面。
X x(t0 ) x(t0 ) x(t0 )
Y y(t0 ) y(t0 ) y(t0 )
Z z(t0 ) z(t0 ) 0 z(t0 )
如果曲线用自然参数 s 表示，则将上式中的撇改成点。
平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。
例题 求园柱螺线上任一点的密切平面。
P
3、2 空间曲线的基本三棱形
例3 挠率恒为零的曲线是平面曲线。
例4 求曲率为 4 ，挠 率为 5 的曲线方程。
解
由题意，可设曲线为园柱螺线
r {a cos , a sin ,b}
因此 a
b
4
25
a2 b2 4 ,
a2 b2 5 a 41
,
b 164
.
得所求园柱螺线为
r
{
4
cos
,
4 sin ,
25 }
41 41 164
6、密切园（曲率园）
过曲线（C）上一点 P 的主法线
P1
k
C•
的正侧取线段 PC，使 PC 的长为1/k。以
C 为园心，以1/k为半径在密切平面上确
定一个园，这个园称为曲线在 P 点的密切园或曲率园，园的中 心叫曲率中心，园的半径叫曲率半径。
7、几个例题
例1 园柱螺线的曲率和挠率都是常数。
例2 曲率恒为零的曲线是直线。
2、由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面、法 平面、从切平面。而由三个基本向量和上面三个平面所构成 的图形叫做曲线的基本三棱形。
3、对于曲线（C）的一般参数表示 r r (t), 有
rr
,
rr
rr
,
(r r r)r r(rr r )r
4、例题 P34
3、3 空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式
也在平面
上。
O
两边取极限得
r (t0
)在极限平面上，即
P
点的密切平面上，因此
只要 r (t) r (t) 0 这 个向量就可以作为密切平面的一个法向量。
密切平面方程为(R r (t0),r(t0),r(t0)) 0
用 R {X ,Y , Z} 表示 P 点的密切平面上任一点的向径，
则上式表示为
k(s)
k(s) (s)
于是有
k(s)
k(s) (s)
(s)
这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系 数组成一反称方阵
0
k(s) 0
k(s) 0 (s)
0 (s) 0
5、曲率和挠率的一般参数表示式
给出 C3 类r 的 r曲(t线) （, rC） ：dr ds r ds ds r.
r)
dt
r r
由此得到曲率的一般参数的表示式
k
r
3
由
0
( ) ( 1 )
( 1 ) (( 1 ) 1 )
(r 1 r)[(1 ) r 1 r]
(r, r,r)
2
r 6 (r, r,r)
(r r)2
可得挠率公式为
(r, (r
r r,r)2)
2、密切平面的方程
给出 C 2 类的曲线（C）：r r (t)
有
P
Q
r
(t0
r (t0 )t
t
)
r
(t0
)
1 2
(r
(t0
)
)t
2
P(t0 )
r (t0 )
Q(t0 t)
R
因为向量 线性组合
r (t0
[ 2
t 2
)和 PQ
PQ 都在平面 r (t0 )t]
上，所以它们的
r (t0 )
90
0,
1 6
0
0
3
,
在从切平面上为立方抛物线；
0,
1 2
0
2
,
在密切平面上为抛物线。
通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线 在一点邻近的近似形状：
1、曲线穿过法平面与密切平面，但不穿过从切平面。
2、主法向量总是指向曲线凹入的方向，这是主法向量正向的 几何意义。
3、挠率的符号对曲线的影响见表。
3、挠率 与曲率类似有 lim
r r
k(s)
s0 s
(s s)
(s)
k(s)
,
(
)
(s s)
k
(s)
,
.(
1)
//
.
定义 曲线（C）在P点,当的挠和率为异向,
(s)
,当
和
同向.
挠率的绝对值是曲线的付法向量对于弧长的旋转速度。
4、由定义可得
(s)
又
(
)•
(s)
设空间曲线（C）为 C3 的，且以 s 为参数。
1、曲率 定义（C）在 P 为的曲率为
(s)
P
k(s) lim s0 s
P1
(s s)
•
有 k(s)
（一个单位向量微商的模等于它对于变量的旋转速度）
2、曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。 曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的 弯曲程度。
1、给出
C2
类曲线
r
r (s)
得一单位向量
r
dr ，称为曲
ds
线（C）上 P 点的单位切向量。 （ 注意到 1 ）
称
r r
为曲线在 P 点的主法向量,它垂直于单位切向量。
称
为曲线在 P 点 的付法向量。
把两两正交的单位向量 , , 称为曲线在 P 点的伏雷内
（Frenet)标架。
ds dt dt dt
r
(r )
ds dt
r
d 2s dt 2
dr ds
ds dt
2
r
d 2s dt 2
r
ds dt
2
r
d 2s dt 2
,
所以
r r
r
ds
r
ds
2
dt dt
r
d 2s
dt 2
r
r
ds
3
dt
,
因此
r r
r
r
ds
3
s
in
k
r3Biblioteka ( r1, rr
(
s0
)
取 [r (s0);0, 0
则有 s0 0, s s
,
0 ]为新坐标系，并取 r (
。设 ,, 为曲线上点
s0) 为计算弧长的始点， r (s0 )的邻近点的新坐
标，则有
s
1 2
0
s
2
1 6
0
0
s
3
近似曲线在三个平面上的投影分别为
0,
2
2
2 0
3，
即在法平面上的投影为半立方抛物线；
3、4 空间曲线在邻近一点的结构
给定 C 3类曲线 r r (s) 及其上一点 r (s0 ) 有
r16(0(s0rs)0(s020ss120 11022s!)r00((0sr00()s(s()020s)s)0)2201163! ()0r((0ss00))3(s)3)
(s)3
r (s0
s)
O