2018版高考数学总复习专题05平面向量分项练习文
【备战2018】(上海版)高考数学分项汇编 专题05 平面向量(含解析)文
专题05 平面向量一．基础题组1. 【2014上海,文14】已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ += ，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]【考点】向量的坐标运算．2. 【2014上海,文17】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，(1,2,,7)i P i = 是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅= 的不同值的个数为（ ）（A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）1【答案】C【考点】向量的数量积及其几何意义．3. 【2013上海,文14】已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1、a 2、a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1、c 2、c 3.若i ，j ，k ，l ∈{1,2,3}且i ≠j ，k ≠l ，则(a i ＋a j )·(c k ＋c l )的最小值是______．【答案】－5 4. 【2012上海,文12】在矩形ABCD 中，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD = ，则AM AN ⋅ 的取值范围是__________．【答案】[1,4]5. 【2011上海,文12】在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB AD ⋅ ＝______.【答案】1526. 【2011上海,文18】设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++= 成立的点M 的个数为…( )A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】7. 【2008上海,文5】若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．8. 【2007上海,文6】若向量a b ，的夹角为 601，则=-⋅)( .【答案】219. 【2006上海,文13】如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ）（A ）AB DC = （B ）AD AB AC+= （C ）AB AD BD -= （D ）0AD CB += 【答案】C10. 【2005上海,文4】直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙OA OP ，则点P 的轨迹方程是__________.【答案】240x y +-=。
高考数学总复习专题05平面向量分项练习(含解析)文(2021学年)(1)
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专题05 平面向量1。
【200９高考北京文第2题】已知向量(1,0),(0,1),(),c d,===+∈=-,如果//a b c ka b k R d a b那么A.1k=且c与d反向k=且c与d同向 B.1C.1k=-且c与d反向k=-且c与d同向D．1【答案】D２。
【20１0高考北京文第4题】若a，b是非零向量,且a⊥b,|a｜≠|ｂ|，则函数f(ｘ)=（ｘa＋b)·(xb-a）是（ )A.一次函数且是奇函数Ｂ．一次函数但不是奇函数C.二次函数且是偶函数Ｄ．二次函数但不是偶函数【答案】Ａ【解析】试题分析:∵a⊥b，∴a·b=0．又∵|ａ|≠|b|,∴b2－a2≠0。
∴ｆ（ｘ）=(x2－１)a·ｂ＋ｘb2-x ａ2＝ｘ2a·b+(b2-a2）x－a·b=(b2-a２)x.3. 【２01４高考北京文第3题】已知向量()-=( ）1,1b=-，则2a ba=,()2,4A。
()3,75,9 C.() 5,7B。
()D.()3,9【答案】Ａ【解析】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=(5,7），故选A 。
考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题。
专题05 平面向量-备战2018高考高三数学(理)全国各地优质模拟试卷分项精品 含解析
【备战2018高考高三数学全国各地优质模拟试卷分项精品】专题平面向量一、选择题1．【2018河南洛阳市联考】已知点是锐角三角形的外心，若（，），则（）A. B. C. D.【答案】C可得=++2mn⋅，而⋅=||⋅||cos∠A0B<||⋅||=1.∴1=++2mn⋅<+2mn，∴<−1或>1，如果>1则O在三角形外部，三角形不是锐角三角形，∴<−1，故选：C.2．【2018浙江温州一模】已知的边的垂直平分线交于，交于，若，，则的值为（）A. 3B.C.D.【答案】B 【解析】因为的垂直平分线交于，所以，，故选B.3．【2018吉林省百校联盟九月联考】已知单位向量1e u v 与2e u u v 的夹角为3π，向量122e e +u v u u v 与122e e λ+u v u u v 的夹角为23π，则λ=（ ） A. 23- B. 3- C. 3-或23- D. 1-或3-【答案】B()2222212121122224442e e e e e e e e λλλλλλ+=+=+⋅+=++u v u u v u v u u v u v u v u u v u u v利用平面向量夹角公式可得：254212cos 32742λπλλ+==-⨯++，解得： 3λ=-. 本题选择B 选项.4．【2018辽宁省大连八中模拟】设向量,a b vv 满足2,3a b a b ==+=vvvv ，则2a b +=vv( )A. 6B. 32C. 10D. 42 【答案】D【解析】22224929a b a b a b a b +=++⋅=++⋅=v v v v v v v v ,2a b ⋅=-vv ， ()2222444423632a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=v vv v v v ，242a b +=vv ，选D.5．【2018广东广州珠海区一模】已知向量,a b r r 的夹角为60||2|2|2a a b =-=o r r r ，，，则||b =r （ ）A. 4B. 2C. 2D. 1【答案】D6．【2018海南省八校联考】设D 为线段BC 的中点，且6AB AC AE +=-u u u v u u u v u u u v，则( ) A. 2AD AE =u u u v u u u v B. 3AD AE =u u u v u u u v C. 2AD EA =u u u v u u u vD. 3AD EA =u u u v u u u v【答案】D【解析】由D 为线段BC 的中点，且6AB AC AE +=-u u u v u u u v u u u v ，得：26AD AE =-u u u v u u u v ， 3AD AE =-u u u v u u u v，即3AD EA =u u u v u u u v故选：D7．【2018湖南省永州市一模】已知()1,1a =-v， ()1,0b =v， ()1,2c =-v ，若a v与mb c -v v平行，则m =（ ）A. -1B. 1C. 2D. 3 【答案】A【解析】()()()1,1,1,0,1,2a b c =-==-v Q v v ,()1,2mb c m ∴-=-v v ，又a Q v与mb c -v v 平行， ()121,1m m ∴⨯=--=-，故选A.8．【2018陕西省西工大附中六模】已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=u u u v u u u v u u u v v ，则向量CA u u u v 在向量CB u u u v方向上的投影为( )A. 3B. 3C. -3D. 3-【答案】B【解析】△ABC 的外接圆的圆心为O,半径为2,且0,OA OB OC OB CA ++=∴=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vv ，∴OBAC 为平行四边形。
2018年高考文科数学分类汇编专题五平面向量
《2018年高考文科数学分类汇编》、选择题1.【2018全国一卷7】在厶ABC 中，AD 为BC 边上的中线,D .押 4A C2 .【2018全国二卷4】已知向量a , b 满足|a | =1 , a b = -1，则a (2a-b )二n4.【2018浙江卷9】已知a, b, e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为-， 3 向量b 满足b 2- 4e - b +3=0，则|a - b |的最小值是、填空题 1.【2018全国三卷13】已知向量a = 1,2 , b = 2, -2 , c = 1,入.若c // 2a+b ，则■二2. ___________________________________________________________________________ 【2018 北京卷 9】设向量 a = (1,0) , b = (- 1,m )若 a - (m a -b )，贝V m= __________________3. 【2018江苏卷12】在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线I : y = 2x 上在第一象限内的点，T TB(5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB CD = 0，则点A 的横坐标为 _______ .第五篇：平面向量A . 3AB 一1 AC 4 4 E 为AD 的中点，则B . 3C . 2D . 03.【2018天津卷8】在如图的平面图形中，已知 OM =1 , ON =2 , MON=120 , BM = 2MA,CN =2NA,则的值为A. -15B.-9C.-6D.0B . 3+1C . 24. 【2018上海卷8】在平面直角坐标系中，已知点 A (-1 , 0), B (2, 0), E, F是y轴上的两个动点，且I存i=2，贝y AE• BF的最小值为 ______ [参考答案一、选择题1.A2.B二、填空题11.2 3.C 4.A2. -13.34.一3。
2018年高三数学(理) 专题05 平面向量(第01期) Word版含解析
第五章 平面向量一．基础题组1. 【浙江温州二外2015学年第一学期高三10月阶段性测试5】已知点P 为ABC ∆所在平面内一点，边AB的中点为D ，若2(1)PD PA CB λ=-+，其中R λ∈，则P 点一定在A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上D ．ABC ∆的内部 【答案】C考点：向量在几何中的应用.2. 【黑龙江哈尔滨市第六中学2016届高三上学期期中考试】 已知向量)2,1(=a ，)1,3(21=-，)3,(x =，若()//2+，则=x （ ）.A 2- .B 4- .C 3- .D 1-【答案】C 【解析】试题分析：由题意，()1(3,1)2(3,1)4,22a b b a ⎡⎤-=⇒=-=-⎣⎦，则()()2=-5,52//-15-503a b a b c x x ++∴=∴=-考点：向量的运算，向量共线的充要条件3. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考14】 已知非零向量,-==，则a 与a b + 的夹角,a a b <+>=．【答案】6π【解析】试题分析：设,OA a OB b == ，a b OC +=，由已知OAB ∆是等边三角形， OC 是AOB ∠的平分线，因此,6a ab AOC π<+>=∠= ．考点：向量的加法与夹角．4. 【福建三明一中2016届上学期高三第一月考3】在边长为2的菱形ABCD 中,120=∠BAD ,则A C在A B方向上的投影为 （ ） A ．1 B ．1C ．1D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由平面几何知识，得2AC = ,060=∠BAC ，则A C 在A B方向上的投影为01cos 60212AC =⨯= ；故选C ．考点：平面向量的投影．5. 【福建三明一中2016届上学期高三第一月考4】非零向量,a b 使得||||||a b a b -=+成立的一个充分非必要条件是 （ ）A . //a b B. 20a b += C. ||||a ba b =D. a b = 。
(2021年整理)2018年高考数学真题分类汇编专题05：平面向量(基础题)
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2018年高考数学真题分类汇编专题05：平面向量(基础题）一、平面向量（共11题；共17分)1. （ 2分 ) （2018•卷Ⅰ)在中，AD为BC边上的中线,E为AD的中点，则（）A。
B.C。
D.【答案】A【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】【解答】解： = ，故答案为：A。
【分析】以向量和为基底向量,由点E是AD的中点将向量表示为，再由点D 是BC的中点，将其表示为基底向量的线性表示形式。
2018年高考数学分类汇编：专题五平面向量
《2018年高考数学分类汇编》第五篇：平面向量一、选择题1．【2018全国一卷6】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uu rA ．3144AB AC -uu u r uuu r B ．1344AB AC -uu u r uuu r C ．3144AB AC +uu u r uuu r D ．1344AB AC +uu u r uuu r 2．【2018全国二卷4】已知向量，满足，，则 A ．4 B ．3 C ．2 D ．03.【2018北京卷6】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4.【2018天津卷8】如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅的最小值为 A. 2116 B. 32 C. 2516D. 3 5.【2018浙江卷9】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A1BC ．2D ．2二、填空题 1．【2018全国三卷13】已知向量，，．若，则________．2．【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=uu u r uu u r ，则点A 的横坐标为 ．3.【2018上海卷8】在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b ()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=的两个动点，且|EF uu v |=2，则AE uu u v ·BF uu v 的最小值为______[参考答案一、选择题1.A2.B3.C4.A5.A二、填空题 1.212.33.3。
专题05+平面向量-各类考试必备素材之高三数学(文)全国各地优质金卷+含解析.doc
[2018高三数学各地优质二模试题分项精品】专年面向蚤一、选择题1.【2018东莞高三二模】己知四边形力必。
是矩形，皿=2皿=2,点E是线段A C上一点，庞= 且4AE • B*E =—・5,则实数久的取值为()3 2 11A. B. & c.耳D.弓【答案】B【解析】由平面向量的平行四边形法则，得AE=AAC=A(AB+AD)fBE = AE-AB=A(AB + AD)-AB = (_A- 1)XF + AAD, 因为旋・旋=一笃所l儿1(乔+AD)・[Q — 1)X5 + AAD]=55即；i[4@ -i)+a] = -p解得;1二右故选B2.[.2018黑龙江大庆高三质检二】已知同=2,艸= 1,0 = 60。
，则(b—d) (b + 2d卜( )A. —6B. 6C. —7 4- yjsD. —7 —A/S【答案】A【解析】原式=戸+讥-2宀l + lx2x丄-2x2—-6 .故选A.23.【2018广东惠州高三4月模拟】在\ABC中，AB = 2AC = 2, ABAC = 120°,点D为BC边上一点,且BD = 2DC,则AB AD=()7 2A. 3B. 2C. —D.—3 3【答案】D【解析】•・• AD = CD + AC = -CB + AC = -AB--AC + AC = -AB + -AC3 3 3 3 31 2 2 4 2 2••• ABAD = -AB+-ABAC = ----------- =-3 3 3 3 3故选D.A. >/2B. V3C. 2D. 3【答案】C【解析】由&+方=2^5, a-b =2平方得：产+2&菖+沪=12,云丄一2云疥+沪=4.两式相减得：4方话=8,所以五至=2.故选C.5. 【2018新疆维吾尔自治区高三二模】已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足Q4 + OB + OC = 0,则 下列结论正确的是（）A. OA = -AB + -BC 3 3C. OA = --AB--BC 3 3B. OA = --AB-丄BC 3 3 D. OA = -AB + -BC 3 3【答案】B 【解析】因为Q4 + OB + OC = 0,所以0为\ABC 的重心,所以 OA = —?X 丄(AB-AC)= --[AB-AC\ = --^AB + AB+BC^ = --AB- = BC ,3 2 3 33 3故选B. 6. 【2018江西高三质监】已知向量04, 满足|OA | = |OB | = 1, OA・OB = 0, OC = AOA-}-J uOB(入“w/?),若M 为AB 的中点，并HMC=1,则点(入“)的轨迹方程是()\2【答案】DA. B. (“+1)2=1D. C 1? I' 2丿、【解析】rh 于M 是中点 A \ABC 中， OM =*(OA + OB ••• MC = OC-OM1_丄]»+OB =1,所以 2 — £ OA+ 卩_三 OB \ 2丿、、， 1V1,所以 A__ + “__ 厂I 2丿 4. 【2018陕西咸阳高三二模】设向量d 和b 满足:a +b = 2>/3 , a —b — 2，则a-b =()故选：D7. [2018 安徽宣城高三二调】己知 AABC 中，ZA = 120°, H AB = 3 , AC = 4,若初4T 4C ,且AP 丄BC,则实数2的值为()22 10 A. — B.— 153 【答案】A【解 析】 因 为 A 丄 ■ , 所 以 AP BC = (^AB + AC )(AC-AB )= -2Afi 2 + AC 2+(/l-l )AC AB = 0 ,2?因此—A-32 +42 +(^-l)-3-4-cosl20°=0.-.Z = —A.v 丿 158. [2018河南商丘高三二模】已知平面向量& = (-1,2)力=&1),且厶丄»贝血丄5在&上的投影为()A.花B. 2C. A /5D. 1【答案】A 【解析】因为订丄必所以(一1) X fc + 2 X 1 = 04fc = 2•所以4-5 = (13). 所以恆+3| = V12 4- 32= JIH J \a\ =屈所以丘丄E 在丘上的投影为 恆4-h|casa = (15 •算器=弓孑=岳.故选A.9. [2018 ±海黄浦区高三二模】在给出的下列命题中，是假命题的是() A …设。
高考数学专题复习 专题5 平面向量 第33练 平面向量综合练练习 文
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题5 平面向量 第33练 平面向量综合练练习 文1122＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2＝________. 2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．3．(2016·南通、连云港、扬州、淮安三模)在平行四边形ABCD 中，若AC →·AD →＝AC →·BD →＝3，则线段AC 的长为________．4．已知不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若PA →＝λAB →(λ∈R )，则点(x ，y )的轨迹方程是____________．5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为边BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF→＝2，则AE →·BF →的值是________________．6．若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|a ＋b |≤2a·b ，则cos(α－β)的值是________．7．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，则当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．8．(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1,3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________．9．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )；③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)10．已知m ，x ∈R ，向量a ＝(x ，－m )，b ＝((m ＋1)x ，x )．(1)当m ＞0时，若|a |＜|b |，求x 的取值范围；(2)若a ·b ＞1－m 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．答案精析1．－232.43. 34.x ＋y －2＝05. 2解析 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则AB →＝(2，0)，AD →＝(0,2)，AE →＝(2，1)，设AF →＝(x,2)，0≤x ≤2，则AB →·AF →＝2x ＝2，解得x ＝1，所以F (1,2)，BF →＝(1－2，2)，于是AE →·BF →＝ 2.6．1解析 由|a ＋b |≤2a·b 可得a·b ≥0，两边平方得2＋2a·b ≤4(a·b )2，即(2a·b ＋1)(a·b －1)≥0，所以a·b ＝cos(α－β)≥1，又由余弦函数的值域可得cos(α－β)＝1. 7.16解析 已知A ＝π6， 由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6， 则|AB →||AC →|＝23， 所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|·sin π6＝12×23×12＝16. 8.214解析 设P 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AP →，从而由|AB →＋AC →|＝5得|AP →|＝52，又AB →·AC →＝(AP →＋PB →)·(AP →＋PC →)＝AP →2－PB →2＝254－PB →2，因为|BC →|≥2，所以PB →2≥1，故AB →·AC →≤254－1＝214，当且仅当|BC →|＝2时等号成立．9．①④解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b ＝b·a ＝b ⊗a ，故①是正确的；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故②是错误的；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c ＋b·c ，显然|a ＋b －c |≠a·c ＋b·c ，故③是错误的；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a·e |＜|a |·|e |＜|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④.10．解 (1)由题意得|a |2＝x 2＋m 2，|b |2＝(m ＋1)2x 2＋x 2.因为|a |＜|b |，所以|a |2＜|b |2，从而x 2＋m 2＜(m ＋1)2x 2＋x 2.因为m ＞0，所以(m m ＋1)2＜x 2， 解得x ＜－m m ＋1或x ＞mm ＋1. 即x 的取值范围是(－∞，－m m ＋1)∪(mm ＋1，＋∞)．(2)a ·b ＝(m ＋1)x 2－mx .由题意，得(m ＋1)x 2－mx ＞1－m 对任意的实数x 恒成立，即(m ＋1)x 2－mx ＋m －1＞0对任意的实数x 恒成立．当m ＋1＝0，即m ＝－1时，显然不成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＞0，m 2－m ＋m －＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞－1，m ＞233或m ＜－233 ，所以m ＞233. 即m 的取值范围是(233，＋∞)．。
2018年高三数学(理)5.平面向量Word版含解析
PA PB 的最大值为 1，选 A．
考点： 1、向量的坐标运算； 2、向量的数量积．
【易错点晴】本题考查的是向量的坐标运算、向量的数量积以及最值的求法，属于难题；本
题关键是由直角三角形先建立直角坐标系，在坐标系中表示出点
A、 B 的坐标，从而表示出向
2
量的坐标 PA (t 1, 2) ， PB
( 1, t
量表示，可得 m n 1 ，然后再求出函数的导数，运用两直线垂直的条件可得
【答案】 3
【解析】
试 题 分 析 ： 依 题 意 可 得 ， a b 3cos sin
si n
t an
3
cos
考点： 1. 平面向量的数量积； 2. 同角的基本关系 .
0 ， 所 以 si n
3 c o s， 则
9. 【江西省南昌市第二中学 2016 届高三上学期第四次考试数学（理）试题】已知向量
二．能力题组
1. 【湖南师范大学附属中学 2016 届高三上学期月考（三）理科数学试题】已知 Rt AOB 的面
积为 1， O 为直角顶点．设向量 a
OA ，b
OB ， OP a 2b ，则 PA PB 的最大值为
OA
OB
（）
A． 1 【答案】 A
B．2
C． 3
D．4
【解析】
试题分析：以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴建立直角坐标系．由已知
2)
，根据向量的数量积运算，得到
PA PB 的值，
再根据基本不等式求解即可．
2. 【江西省吉安市第一中学 2016 届高三上学期第四次周考数学理试题】在正方体
ABCD 中，
( ) ( ) M 是 BD 的中点，且 AM = mAB + nAD m, n ? R ，函数 f x = ex - ax +1，的图象为曲
2018年高考数学模拟试卷分项 专题05平面向量 Word版 含答案
专题 平面向量一、选择题1．【2018广西贺州桂梧联考】设向量a ， b 满足1a = ， 2b = ，且()a ab ⊥+，则向量a 在向量2a b +方向上的投影为（ ）A. 13-13C. 113-D. 113【答案】A选A. 2．【2018安徽马鞍山联考】已知1,a b == ()2b a b -⊥，则向量a 与b 的夹角为（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π【答案】B【解析】由向量垂直的充要条件有： ()2220b b a b a b ⋅-=-⋅=，则： 222,1a b b a b ⋅==∴⋅=，结合向量的夹角公式有：cos ,2a b a b a b ⋅===⨯， 据此可得：向量a 与b 的夹角为4π.本题选择B 选项.3．【2018安徽马鞍山联考】已知()()3,2,1,a b m ==-，且()//a ma b + ，则m =（ ）A. 15-B. 15C. 23-D. 23【答案】C【解析】由题意可得： ()()()3,21,31,3ma b m m m m m +=+-=-，结合向量平行的充要条件有： 31332m m-=, 求解关于实数m 的方程可得： 23m =-.本题选择C 选项.4．【2018全国名校联考】设向量,,a b c 满足2a b == ， 2a b ⋅=-， (),60a c b c --=︒ ，则c 的最大值等于（ ）【答案】A 【解析】所以AB =由正弦定理可得AOB 的外接圆即圆M 的直径为2R 4AB sin AOB==∠ .所以当OC 为圆M 的直径时， c取得最大值4.故选A.点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．5．【2018河南漯河中学三模】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为 （ ）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83- 【答案】B 【解析】(22266x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦， ∴最小值为6-，故选B 。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题5 平面向量 第32练含解析
AC DBAD BCAM AOAB ACBC训练目标(1)平面向量数量积的概念；(2)数量积的应用．训练题型(1)向量数量积的运算；(2)求向量的夹角；(3)求向量的模．(1)数量积计算的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义；解题策略(2)求两向量的夹角时，要注意夹角θ为锐角和cosθ＞0的区别，不能漏解或增解；(3)求向量的模的基本思想是利用|a|2＝a·a，灵活运用数量积的运算律.1．(2017·玉溪月考)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为________．2．(2016·淄博期中)已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，则→·→＝________. 3．(2016·镇江模拟)在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AB＝4，AC＝3，则→·→＝________.4．(2017·吉林东北师大附中三校联考)如图，已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝23，AC＝22，A为钝角，M是BC边的中点，则→·→＝________.5．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．6．(2015·安徽改编)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足→＝2a，→＝2a＋b，则下列正确结论的个数为________．①|b|＝1；②a⊥b；③a·b＝1；④(4a＋b)⊥→.7．(2015·福建改编)已知→⊥→，|→|＝，|→|＝t，若点P是△ABC所在平面t→＝AB＋4AC，则→·→的最大值等于________．→→|b|＝λBC，DF＝μDC.若→·→＝1，→·→＝－，则λ＋μ＝________.11．(2016·开封冲刺模拟)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足→＝→＋CA，则→·→＝________.1→OA OB OA OB→→→OPBC AOAM AN14．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，当2x＋y＝t(t＞0)时，|xAB＋yAC|≥→PB PC1AB AC AB AC→→内的一点，且AP PB PC|AB||AC|8．(2016·吉林长春质检)已知向量a＝(1，3)，b＝(0，t2＋1)，则当t∈－3，2]时，|a－tb|的取值范围是________．9．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE2AE AF CE CF310．(2016·浙江余姚中学期中)已知→与→的夹角为60°，|→|＝2，|→|＝23，OP＝λOA＋μOB，若λ＋3μ＝2，则|→|的最小值为________．1CM CB3MA MB212．(2016·盐城模拟)设O是△ABC的三边中垂线的交点，且AC2－2AC＋AB2＝0，则→·→的取值范围是____________．13．(2016·徐州质检)如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为半径OP，OQ的中点，A为弧PQ上任意一点，则→·→的取值范围是________．→→22t恒成立，则△ABC的面积为____，在上述条件下，对于△ABC内一点P，PA·(→＋→)的最小值是________．1.3π 42＝2cos θ＋ ，＝π8－BC AC A B建立如图所示的平面直角坐标系，则 B ，0 ，C (0，t )，→＝tt AB 4→AC 1 4AC ＝(0，t )，AP ＝ ＋ ＝t ，0 ＋ (0，t )＝(1,4)，→| |AC→|t t∴P (1,4)，→·→＝ －1，－4 ·(－1，t －4) tBC BC＝17－ ＋4t ≤17－2 答案精析72.13.－4.55．4解析 由题意可得 a·b ＝ 3cos θ－sin θπ 6则|2a －b|＝ (2a －b)2＝ 4|a|2＋|b|2－4a·b6∈0,4]，所以|2a －b|的最大值与最小值的和为 4.6．1解析 如图，在△ABC 中，由→＝→－→＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b|＝2.又|a|＝1，所以 a·b ＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a ＋b)·→＝(4a ＋b)·b ＝4a·b ＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b)⊥→，故正确结论只有④.7．13解析1AB1，0 ，→ → →|AB1PB PC1t1 t·4t ＝13，当且仅当 ＝4t ，即 t ＝ 时取等号．解析由题意， b 即|a －t b9.5BE → DF →CE ·→＝(λ－1， 3(λ－1))·(μ－1， 3(1－μ))＝－2，②AE AF1 1t 28．1， 13]b |b| ＝(0,1)，∴|a －t |b||＝|(1， 3)－t (0,1)|＝|(1， 3－t )|＝ 1＋( 3－t )2＝ (t － 3)2＋1.∵t ∈－ 3，2]，∴ (t － 3)2＋1∈1， 13]，|b||的取值范围是 1， 13]．6解析建立如图所示的平面直角坐标系，则 A (－1,0)，B (0，－ 3)，C (1,0)，D (0， 3)．设 E (x ，y )，11F (x ，y )．由→＝λBC ，得(x ，y ＋ 3)＝λ(1， 3)，解得22 1 1x ＝λ，1 y ＝ 3(λ－1)，1即点 E (λ， 3(λ－1))．由→＝μDC ，得(x ，y － 3)＝μ(1，－ 3)，22解得x ＝μ，2 y ＝ 3(1－μ).2即点 F (μ， 3(1－μ))．又→·→＝(λ＋1， 3(λ－1))·(μ＋1， 3(1－μ))＝1，①35OA OB OP → → OP → → → →→ OBOPOP 9 解析由于→＝→－→＝－ →＋ →，→＝→－→＝ →－ →，故→·→＝ － →＋ → · →－ → ＝－ →2－ →2＋ →·→＝－ ×22－ ×22＋ ×2×2 9 4 BC AO AD DOBC AD BC＝ (→＋→)·(－→＋→) ＝ (|→|2－|→|2)． 设|AC |＝b ，|AB |＝c ，则 b 2－2b ＋c 2＝0， 所以→·→＝ (b 2＋b 2－2b )＝b 2－b .所以→·→∈－ ，2)．2 210．2 3解析 由题意得→·→＝2 3.因为→＝λOA ＋μOB ，所以→2＝(λOA ＋μOB )2＝λ2OA 2＋μ2OB 2＋2λμOA ·→＝4λ2＋12μ2＋4 3λμ.又因为 λ＋ 3μ＝2，所以 λ＝2－ 3μ，所以→2＝4(2－ 3μ)2＋12μ2＋4 3(2－ 3μ)μ＝4( 3μ－1)2＋12，所以当 3μ－1＝0，即 μ＝33 时，|→| ＝2 3. min811．－1 12 1 MA CA CM CB CA MB CB CM CB CA MA MB3 2 3 21 12 1 2 1 1 2 1 1 CB CA CB CA CB CA CB CA3 2 3 2 94 2 9 4 28 ×cos60°＝－ .112．－ ，2)解析如图．设 BC 的中点为 D ，则→·→＝(→＋→)·→＝→·→1AB AC AB AC 21AC AB2→→1 BC AO 2又 b 2－2b ＝－c 2＜0，所以 0＜b ＜2.1BC AO 43 513． ， ]由已知得 M (－ ， 3 则→＝(－ －2cos θ， 3 2 －2sin θ)， 所以→·→＝(－ －2cos θ)(1－2cos θ)＋( 32 －2sin θ)·(－2sin θ)＝ －故 ≤sin(θ＋30°)≤1，所以 ≤→·→≤ . 14．1－5解析 因为|xAB ＋yAC | ＝ x 2→2＋y 2→2＋2xyAB ·→AC AB AC ＝ 4x 2＋y 2＋4xy cos A ≥ 2得 x 2→2＋y 2→2＋2xyAB ·→≥ t 2， → 则 cos A (cos A －1)≤0，则 cos A ≥0，A 的最大值为π→解析 建立如图所示的平面直角坐标系，连结 AO ，设∠AOQ ＝θ，则 A (2cos θ，2sin θ)(0°≤θ≤120°)．12 2 )，N (1,0)，1AM 2AN ＝(1－2cos θ，－2sin θ)，17AM AN 222sin(θ＋30°)，因为 0°≤θ≤120°，所以 30°≤θ＋30°≤150°，123 5AM AN2 28→ →→2 t 恒成立，则由两边平方，1 AB AC AC2又 t ＝2x ＋y ，则 4x 2＋y 2＋4xy (2cos A －1)≥0，则 Δ＝16y 2(2cos A －1)2－16y 2≤0，2 .当 cos A ＝0 时，|xAB ＋yAC |＝ 4x 2＋y 2≥ 当 A ，P ，D 三点共线时，→·→＜0，又此时 AD ＝ BC ＝ ，即有 2→·→＝－2|→PA →|≥－2× |PA |＋|PD | 2＝－5，即有最小值为－5.||PD2PB PC PD PA PB PC PA PD1 2·AB ·AC ＝1； → →2 2(2x ＋y )满足题意，所以此时 △S ABC ＝在 Rt △ABC 中，取 BC 的中点 D ，连结 PD ，则→＋→＝2→，即→·(→＋→)＝2→·→，1 5 PA PD PA PD2 2→ →88。
新课标Ⅰ2018年高考数学总复习专题05平面向量分项练习含解析理20171001386
专题05 平面向量一．基础题组1. 【2009全国卷Ⅰ，理6】设a 、b 、c 是单位向量，且a·b =0，则（a-c ）·（b-c ）的最小值为（ ）A.-2B.22-C.-1D.21- 【答案】D【解析】∵a·b =0,(a-c )·(b-c )=a·b -a·c -b·c+c 2=1-c ·(a+b ),求原式的最小值,即求c ·(a+b )的最大值,而当c 与a+b 共线且同向时,c ·(a+b )有最大值2. ∴(a-c )·(b-c )的最小值为21-.2. 【2008全国1，理3】在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 【答案】A.【解析】由()2AD AB AC AD -=-，322AD AB AC c b =+=+，1233AD c b =+. 3. 【2014课标Ⅰ，理15】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()+=21，则与的夹角为_______． 【答案】090．4. 【2012全国，理13】已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b ||b |＝__________．【答案】【解析】∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |×|b |cos45°＝2|b |，|2a －b |2＝4－4×2|b |＋|b |2＝10，∴=b 5. 【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A.【考点定位】平面向量的线性运算6. 【2016高考新课标理数1】设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = . 【答案】2-【考点】向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1122x y x y ⋅=+a b .7. 【2017新课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .【答案】【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ，所以|2123+a b 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【考点】平面向量的运算【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.二．能力题组1. 【2006全国，理9】设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0.如果平面各量b1，b2，b3满足30后与b i同向，其中i-1，2，3，则（）│b i│=2│a i│，且a i的顺时针旋转（A）-b1+b2+b3=0 （B）b1-b2+b3=0（C）b1+b2-b3=0 （D）b1+b2+b3=0【答案】D【解析】2. 【2013课标全国Ⅰ，理13】已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋(1－t)b.若b·c ＝0，则t＝__________.【答案】2三．拔高题组1. 【2011全国，理12】设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，1·2=-a b，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于( )A．2 B．1 【答案】A。
专题05 平面向量第02期-备战2018年高考数学文优质试卷
【备战2018高考高三数学全国各地优质模拟试卷分项精品】专题 平面向量一、选择题1．【2018黑龙江佳木斯一中调研】若向量()1,1a =， ()1,1b =-， ()1,2c =-，则c 等于（ ） A. 1322a b -+ B. 1322a b - C. 3122a b - D. 3122a b -+ 【答案】B2．【2018湖北咸宁联考】已知平面向量a ， b 满足()1,2a =， 10b =， 5a b +=，则向量a ，b 的夹角为（ ）A.4π B. 3π C. 23π D. 34π 【答案】A【解析】()1,2a→=， a∴→=5ab→+→===则cos 2θ=4πθ∴=故选A点睛：本题中，由a→的坐标可得到a→ 的模，又因为5a b += 求两个向量的夹角，由向量的数量积的计算公式可以求得答案。
着重考查了平面向量数量积的运算和两个向量夹角等知识，属于基础题。
3．【2018湖南浏阳五校联考】已知圆心为，半径为1的圆上有不同的三个点，其中，存在实数满足，则实数的关系为A. B.C.D.【答案】A4．【2018湖北咸宁重点高中联考】如图，在ABC ∆中，点M 为AC 的中点，点N 在AB 上， 3AN NB =，点P 在MN 上， 2MP PN =，那么AP 等于（ ）A.2136AB AC - B. 1132AB AC - C. 1136AB AC - D. 1126AB AC + 【答案】D【解析】()221211.333362AP AM MP AM MN AM AN AM AM AN AC AB =+=+=+-=+=+本题选择D 选项.5．【2018辽宁鞍山一中二模】已知1a =， 2b =，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A.4π B. 3π C. 2π D. 6π【答案】A【解析】【解析】由()a a b⊥-得()201a a b a a b a b ⋅-=⇒=⋅⇒⋅=，则c o s c o s42a b a b a b a bπ⋅⋅==⇒⋅= ，故选B.6．【2018安徽十大名校联考】如图，在四边形MNPQ 中，已知,6,10NO OQ OM OP ===，28MN MQ ⋅=-，则NP QP ⋅=（ ）A. 64B. 42C. 36D. 28 【答案】C点睛：本题主要考查了平面的运算问题，其中解答中涉及到平面向量的三角形法则，平面向量的数量积的运算公式，平面向量的基本定理等知识点的综合考查，解答中熟记平面的数量积的运算和平面向量的化简是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.7．【2018全国名校联考】已知平面向量,a b 满足()2a a b +=，且1,2a b ==，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.6π B. 3π C. 23π D. 56π【答案】B【解析】由已知()22a a b a a b +=+⋅=，得1a b ⋅=，则1cos ,2a b ab a b ⋅==，所以向量a 与b 的夹角为3π，故选B. 8．【2018山东德州联考】已知向量a ， b 夹角为3π，|b |=2，对任意x ∈R ，有|b +x a |≥|a -b |，则|t b -a |+|t b -2a|（t ∈R ）的最小值是（ ）A.B. 32C. 1+D. 【答案】D设AO a =， AB b =，建立平面直角坐标系，如图所示：则()10A ，， (0B ∴()10a -，， ()13b -， ∴(12a tb a tb t -+-=-=它表示点()0P t ，与点144M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，、188N ⎛- ⎝⎭，的距离之和的2倍当M P N ，，三点共线时，取得最小值MN ，即2MN ==，故选D点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数的最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解.9．【2018江西宜春六校联考】已知向量(),1a λ=， ()2,1b λ=+，若a b a b +=-，则实数λ的值为（ ）A. 2B. 2-C. 1D. 1- 【答案】D点晴:本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的模的概念，属于容易题.解题时一定要注意正确的计算平面向量的坐标运算，并准确地运用平面向量模的概念建立等式关系，否则很容易导致计算错误.作为一道选择题还可以选择代值法，逐一进行验证每个选项是否满足已知条件，若不是，则排除之；若是，即为所求的答案.10．【2018广西柳州摸底联考】已知向量AB 与AC 的夹角为60︒，且2AB =， 4AC =，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为（ ）A.45 B. 45- C. 0 D. 25- 【答案】C 【解析】AP BC⊥⇒()0AB ACAC AB λ+-=⇒()22024124cos6000λλλ-+⋅+-⋅⋅⋅=∴= ,选C.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 11．【2018河南漯河中学二模】已知点为内一点，且满足，设与的面积分别为，则（ ）A. B. C. D.【答案】B12．【2018辽宁鞍山一中一模】向量()2,1a=-，()1,2b=-，则()2a b a+⋅=（）A. 6B. 5C. 1D. 6-【答案】A【解析】由向量数量积公式知，()()()23,02,16a b a+⋅=⋅-=，故选A.二、填空题13．【2018湖北八校联考】已知平面向量,a b的夹角为23π，且1,2a b==，若()()2a b a bλ+⊥-，则λ＝___．【答案】3【解析】∵()()2a b a bλ+⊥-，∴()()()()2222128120a b a b a b a bλλλλλ+⋅-=-+-⋅=---=，解得3λ=，故答案为3. 14．【2018湖南五市十校联考】在平行四边形ABCD中，3,4AB AD==，则AC DB⋅=__________．【答案】-7【解析】在平行四边形ABCD中，3,4AB AD==，,AC AB AD DB AB AD=+=-，则()()229167AC DB AB AD AB AD AB AD⋅=+-=-=-=-.15．【2018四川南充高级中学质检】若向量a，b夹角为3π，且2a=，1b=，则a与2a b+的夹角为__________．【答案】6π点睛：利用数量积的公式得()2cos 2a a b a a bθ⋅+=+，所以要求出数量积()2a a b ⋅+，和模2a b +，解得()222426a ab a a b ⋅+=+⋅=+=，()2222244444a b a ba b a b +=+=++⋅=++=，所以6πθ=.16．【2018安徽马鞍山联考】若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为__________． 【答案】【解析】设向量与向量的夹角为，利用向量垂直的充要条件有：,即：，据此可得：向量在方向上的投影为.17．【2018豫西南高中联考】已知非零向量,a b 满足a b =且()32a a b ⊥-，则向量a 与b 的夹角为__________． 【答案】6π【解析】因为()32a a b ⊥-，故()2*32=0=*3-*2=3||-2||||cos a a b a a a b a a b θ-整理得到cos 26πθθ=⇒= 。
2018版高考数学理第一轮总复习教师用书：第五章 平面向量 含答案 精品
第五章⎪⎪⎪平面向量 第一节平面向量的概念及线性运算突破点(一) 平面向量的有关概念[典例] (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |(2)设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3本节主要包括2个知识点： 1.平面向量的有关概念； 2.平面向量的线性运算.[解析](1)因为向量a|a|的方向与向量a相同，向量b|b|的方向与向量b相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|，故a＝2b是a|a|＝b|b|成立的充分条件．(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[答案](1)C(2)D[易错提醒](1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．①④解析：选A①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵错误！未找到引用源。
2018版高考数学全国用文科一轮专题练习：专题5 平面向
1．(2016·延边期中)已知|a |＝1，|b |＝2，c ＝a －b 且c ⊥a ，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°2．(2017·淄博月考)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC →·DB →等于( ) A ．1 B ．－1 C. 6D ．2 23．(2016·吉安期中)O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 是( ) A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形4．(2016·长沙一调)已知Rt △ABC 中，|AC →|＝3，|CB →|＝4，|BA →|＝5，则AB →·AC →＋AC →·BC →＋BC →·AB →的值是( ) A ．－7 B ．25 C ．7D ．105．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a·b ＝3，若(c －2a )·(c －23b )＝0，则|b －c |的最小值是( )A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1D ．26．(2016·太原五中模拟)已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为( )A ．6B ．－6C ．2 3D ．－2 37．(2016·延边期中)点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式：①OA →＋OB →＋OC →＝0； ②OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；③OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|；④(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0.则点O 依次为△ABC 的( ) A ．内心、外心、重心、垂心 B ．重心、外心、内心、垂心 C ．重心、垂心、内心、外心 D ．外心、内心、垂心、重心8．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ等于( )A.12B.23 C.56 D.712二、填空题9．(2016·高安段考)已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，则b 在a 方向上的投影为________．10．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．11．(2016·衡水期中)已知点P 是边长为4的正三角形ABC 的边BC 上的中点，则AP →·(AB →＋AC →)＝________.12．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，当2x ＋y ＝t (t >0)时，|xAB →＋yAC →|≥22t 恒成立，则△ABC的面积为______，在上述条件下，对于△ABC 内一点P ，P A →·(PB →＋PC →)的最小值是________.答案精析1．B [设a 与b 之间的夹角为θ，∵c ＝a －b 且c ⊥a ，∴(a －b )·a ＝0，∴a 2－a·b ＝0. ∴a·b ＝1，∴cos θ＝a·b |a||b|＝12，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，故选B.]2．A [方法一 如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，C (2，1)，D (0,1)，∴AC →＝(2，1)，DB →＝(2，－1)，则AC →·DB →＝2－1＝1.方法二 记AB →＝a ，AD →＝b ，则a·b ＝0，∵|a |＝2，|b |＝1， ∴AC →·DB →＝(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝2－1＝1.故选A.]3．B [设BC 的中点为D ，则(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝CB →·(2OD →－2OA →)＝CB →·2AD →＝0， ∴CB →⊥AD →，故△ABC 的BC 边上的中线也是高线．故△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形．] 4．A [由已知，得AB →·AC →＋AC →·BC →＋BC →·AB →＝3×5cos A ＋0＋4×5cos(π－B )＝15×35－20×45＝－7.]5．A [由题意得，〈a ，b 〉＝π3，故如图所示建立平面直角坐标系，设a ＝(1，3)，b ＝(3,0)，c ＝(x ，y )，∴(c －2a )·(c －23b )＝0⇒(x －2)2＋y (y －23)＝0⇒(x －2)2＋(y －3)2＝3，其几何意义为以点(2，3)为圆心，3为半径的圆，故其到点(3,0)的距离的最小值是2－3，故选A.]6．B [由OD →＋DE →＋DF →＝0得，DO →＝DE →＋DF →.∴DO 经过边EF 的中点， ∴DO ⊥EF .连接OF ，∵|OF →|＝|OD →|＝|DF →|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°.∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin 60°×2＝4 3.∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|cos 〈EF →，FD →〉＝43cos 150°＝－6，故选B.]7．C [由三角形“五心”的定义，我们可得：①当OA →＋OB →＋OC →＝0时，O 为△ABC 的重心；②当OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →时，O 为△ABC 的垂心；③当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|时，O 为△ABC 的内心；④当(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0时，O 为△ABC 的外心．故选C.]8．C [建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (0，－3)，C (1,0)，D (0，3)． 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE →＝λBC →，得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3 λ－1 ，即点E (λ，3(λ－1))．由DF →＝μDC →，得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3 1－μ .即点F (μ，3(1－μ))．又AE →·AF →＝(λ＋1，3(λ－1))·(μ＋1，3(1－μ))＝1，① CE →·CF →＝(λ－1，3(λ－1))·(μ－1，3(1－μ))＝－23，②由①－②，得λ＋μ＝56.]9．2 5解析 根据a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，求得a ＝(4，－2)，b ＝(1，－8)，根据投影公式可得b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝4＋1625＝2 5. 10．4解析 由题意可得a·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 则|2a －b |＝(2a －b )2＝4|a |2＋|b |2－4a·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6∈[0,4]， 所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4.11．24解析 由P 是边长为4的正三角形ABC 的边BC 上的中点，可得AP →＝12(AB →＋AC →)，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝4×4×12＝8，则AP →·(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AC →)2＝12(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝12×(16＋16＋16)＝24. 12．1 －58解析 因为|xAB →＋yAC →|＝ x 2AB →2＋y 2AC →2＋2xyAB →·AC →＝4x 2＋y 2＋4xy cos A ≥22t 恒成立，则由两边平方， 得x 2AB →2＋y 2AC →2＋2xyAB →·AC →≥12t 2，又t ＝2x ＋y ，则4x 2＋y 2＋4xy (2cos A －1)≥0， 则Δ＝16y 2(2cos A －1)2－16y 2≤0，则cos A (cos A －1)≤0，则cos A ≥0，A 的最大值为π2.当cos A ＝0时，|xAB →＋yAC →|＝4x 2＋y 2≥22(2x ＋y )满足题意，所以此时S △ABC ＝12·AB ·AC ＝1；在Rt △ABC 中，取BC 的中点D ，连接PD ， 则PB →＋PC →＝2PD →，即P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →，当A ，P ，D 三点共线时，P A →·PD →<0，又此时AD ＝12BC ＝52，即有2P A →·PD →＝－2|P A →||PD →|≥－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝－58，即有最小值为－58.。
北京专用2018年高考数学总复习专题05平面向量分项练习含解析理
专题05 平面向量1. 【2005高考北京理第3题】| a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C考点：数量积公式。
2. 【2006高考北京理第2题】若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】a b a c ⋅=⋅⇔a b a c 0••－＝⇔a b c 0•（－）＝⇔a b c ⊥（－）故选C3. 【2007高考北京理第4题】已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =【答案】A【解析】O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，2OB OC OD +=，且20OA OB OC ++=，220OA OD ∴+=，即AO OD =，选A.【考点】向量加法的平行四边形法则，相反向量的概念【备考提醒】根据向量加法的平行四边形法则可得，若D 为ABC ∆的边BC 的中点，则有()12AD AB AC =+，注意这一结论在解题中的应用. 4. 【2009高考北京理第2题】已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么 （ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 【答案】D考点：向量的共线（平行）、向量的加减法.5. 【2010高考北京理第6题】a ，b 为非零向量．“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：f (x )＝x 2a ·b ＋(b 2－a 2)x －a ·b 为一次函数a ⊥b 且|a |≠|b |. 考点：充分必要条件;向量的数量积.6.【2017高考北京理数第6题】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【考点】向量，充分必要条件【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若p q ⇔，那么p ，q 互为充要条件；若,p q q p ≠>≠>，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知:,p x A ∈:q x B ∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若A B =，那么p ，q 互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.7. 【2016高考北京理数】设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积.【名师点睛】由向量数量积的定义θcos ||||⋅⋅=⋅b a b a (θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.8. 【2006高考北京理第11题】若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+的值等于 【答案】_______12【解析】a 22AB ＝（－，－），C 2b 2A ＝（－，－） ，依题意，有（a －2）•（b －2）－4＝0即ab －2a －2b ＝0所以11a b +＝129. 【2008高考北京理第10题】已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么(2)+b a b 的值为 ．【答案】0 【解析】试题分析：利用数形结合知，向量a 与2a+b 垂直。
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专题05 平面向量
一．基础题组
1.【2005天津，文12】已知2,4a b ==，和的夹角为
3
π
，以，为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 ． 【答案】12
【解析】222
||||||2||||cos 416224cos
123
c a b a b C π
=+-⋅=+-⨯⨯⨯=
2.【2006天津，文12】设向量与的夹角为,θ且(3,3),2(1,1),a b a =-=-则cos θ= 。
3.【2007天津，文15】在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则
AD BC = ．
【答案】
52
【解析】解：根据向量的加减法法则有：
此时
故答案为：
4.【2008天津，文14】已知平面向量(2,4)a =，
(1,2)b =-．若()c a a b b =-⋅，则
||c =_____________．
【答案】【解析】因为(2,4)6(1,2)(8,8)c =--=-，所以||82c =．
5.【2009天津，文15】若等边△ABC 的边长为32,平面内一点M 满足CM 3
2
61+=,则=∙MB MA _______________________. 【答案】－2 解法一:由于CA CB CM
3
2
61+=
,那么
解法二:本题如果采用建立直角坐标系,运用向量数量积的坐标运算较为简单,建立如图所示的
直角坐标系,根据题设条件即可知
A(0,3),B(3-,0),M(0,2),∴)1,0(=MA ,)2,3(--=MB .∴2-=∙.
6.【2011天津，文14】已知：直角梯形0
,//,90,2,1ABCD AD BC ADC AD BC ∠===，P 是腰DC 上的动点，则8PA PB +的最小值为 .
7.【2012天津，文8】在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2．设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，
AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ．若2BQ CP ⋅=-，则λ＝( )
A ．13
B ．23
C ．4
3
D ．2
【答案】B
【解析】 设AB =a ，AC =b ， ∴|a|＝1，|b|＝2，且a·b＝0．
()()
BQ CP AQ AB AP AC ⋅=-⋅-
＝(1－λ)b －a ］·(λa －b)
＝－λa2－(1－λ)b2＝－λ－4(1－λ)＝3λ－4＝－2，∴
23λ=
．
8.【2013天津，文12】在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1，则AB 的长为__________． 【答案】
12
【解析】取平面的一组基底{AB ，AD }，则
＝1，解方程得|AB |＝12(舍去|AB |＝0)，所以线段AB 的长为1
2.
9.【2017天津，文14】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，
()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．
【答案】
311
【解析】由题可得12
32cos 603,33
AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==
+，则 12()33AD AE AB AC ⋅=+2123
()34934333311
AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．
【考点】向量的数量积
【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC 已知模和夹角，作为基底
易于计算数量积．
二．能力题组
1.【2014天津，文13】已知菱形ABCD 的边长为，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、
DC 上，
3BC BE =，DC DF λ=.若1,AE AF ⋅=，则λ的值为________.
【答案】2 【解析】 试题分析：
考点：向量坐标表示
2. 【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21
,,36
BE BC DF DC == 则AE AF ⋅的值为 ． 【答案】
29
18
【考点定位】平面向量的数量积. 三．拔高题组
1.【2010天津，文9】如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC
，|AD |＝1，则AC ·AD ＝(
)
A ．
2
【答案】D
【解析】 设|BD |＝x ，则|BC |
，
()AC AD AB BC AD BC AD ⋅=+⋅=⋅＝|BC |·|AD
1
x
2. 【2016高考天津文数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的
中点，连接DE
并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为 （A ）8
5- （B ）
81 （C ）4
1 （D ）
811
【答案】B 【解析】
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．。