北师大版九年级上学期数学第四章测试
北师大版九年级数学上册第四章测试题(附答案)
北师大版九年级数学上册第四章测试题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.△ABC∽△A′B′C′，且∠A=68°，则∠A′=（）.A. 22°B. 44°C. 68°D. 80°2.对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A. 图形中线段的长度与角的大小都会改变B. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变C. 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D. 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变3.已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出（）个A. 1个B. 2个C. 4个D. 无数个4.若，且3a－2b+c=3，则2a+4b－3c的值是（）A. 14B. 42C. 7D.5.如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC 于点F.则下列结论正确的有（）①∠CBD=∠CEB；② ；③点F是BC的中点；④若，则tanE= .A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①②③6.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为（）A. 12mB. 13.5mC. 15mD. 16.5m7.视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A. 平移B. 旋转C. 对称D. 位似8.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，CD＝3，AB＝4 ，则⊙O的直径等于（）A. B. 3 C. 5 D. 79.如图，已知点是反比例函数在第一象限图像上的一个动点，连接，以为长，为宽作矩形，且点在第四象限，随着点的运动，点也随之运动，但点始终在反比例函数的图像上，则的值为（）A. B. C. D.10.如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE CB，连接DE并延长交BC于点G，过点A 作AH⊥BE于点H，交BC于点F.以下结论：①BH HE；②∠BEG 45°；③△ABF ≌△DCG；④4BH2 BG·CD.其中正确结论的个数是( )A. 1个B. 2C. 3D. 411.如图，在矩形ABCD中，AD＝AB.将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G.下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝MP；④BP＝AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心.其中正确的个数为（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE＝FD，连接BE、CF、BD，CF 与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论：①△ABG∽△FDG；②HD 平分∠EHG；③AG⊥BE；④S△HDG:S△HBG＝tan∠DAG；⑤线段DH的最小值是.正确的个数有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（共6题；共14分）13.两个相似多边形相似比为1：2，且它们的周长和为90，则这两个相似多边形的周长分别是________ ________ .14.如图，在▱ABCD中，AM= AD，BD与MC相交于点O，则S△MOD：S△COD=________．15.将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于________16.已知==≠0，则的值为 ________17.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于________18.如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC 交直线l2于点D.设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且则m+n的最大值为________.三、解答题（共3题；共24分）19.已知，如图，在平行四边形ABCD中，F为AD上一点，CF的延长线交BA延长线于点E．求证：．20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．21.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC．（1）图中∠OCD= °，理由是；（2）⊙O的半径为3，AC=4，求OD的长．四、作图题（共1题；共12分）22.如图（1）如图1，网格中每个小正方形的边长为1，点A，B均在格点上.则线段AB的长为________.请借助网格，仅用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP＝.（2）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，依下列条件分别在图2，图3的圆中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，请下结论注明你所画的弦）.①如图2，AC＝BC；②如图3，P为圆上一点，直线l⊥OP且l∥BC.五、综合题（共3题；共26分）23.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.（1）在图中找出一对相似三角形，并说明理由；（2）若AB=8，AD= ，AF= ，求AE的长.24.如图，双曲线经过的点顶，轴，OB交双曲线于点C，且（1）求k的值；（2）连接AC，求点C的坐标和的面积．25.（问题引入）如图（1），在中，，，过作则交延长线于点，则易得（直接应用）如图,已知等边的边长为,点, 分别在边, 上, , 为中点，为当上一动点，当在何处时，与相似，求的值.答案一、单选题1. C2. D3. B4. D5. C6. D7. D8. C9. A 10. D 11. B 12. C二、填空题13.30；60 14.2：3 15.1：3．16. 17.18.三、解答题19. 解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，∵BE//CD，∴∠E=∠ECD，∴ΔDCF∽ΔBEC，∴，又∵AB=CD，AD=BC，∴20. （1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；（2）∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，∴，即，解得DB=10，DB的长10．21. 解：（1）∵CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，（圆的切线垂直于经过切点的半径）∴∠OCD=90°；故答案是：90，圆的切线垂直于经过切点的半径；（2）连接BC．∵BD∥AC，∴∠ACB=∠OCD=90°，∴在直角△ABC中，BC===2，∠A+∠ABC=90°，∵OC=OB，∴∠BCO=∠ABC，∴∠A+∠BCO=90°，又∵∠OCD=90°，即∠BCO+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠A，又∵∠CBD=∠ACB，∴△ABC∽△CDB，∴=，∴=，解得：CD=3．由勾股定理可知，OD===3四、作图题22. （1）解：AB= 2 ，作图如图所示；所以，AP= 时AP：BP=2：1.点P如图所示.取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求；（2）解：①如图1，CD即为所求；②如图2，CD即为所求.五、综合题23. （1）解：△ADF∽△DEC理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C.在△ADF与△DEC中，，∴△ADF∽△DEC（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8.由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE= .在Rt△ADE中，AE=24. （1）解：把代入得：，答：k的值为：6．（2）解：过点A、C、B分别作轴，轴，轴，垂足为F、D、E，，，，由∽得：，，把代入得：，，，，，．答：点C的坐标为，的面积为16．25. 解：设∵等边的边长为，，∵为中点，，① 和是对应边时, ，，即，整理得，解得，即的长为或；② 和是对应边时, ，，即，解得，即.综上所述，的值是或或.（拓展应用）已知在平行四边形中，，，，, ，求长.解：反向延长EF，与BA，BC的延长线相交于点N、M，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，AB∥CD,∴∠D=120°，∴∠ANE=∠CMF=30°, ∠AEN=∠CFM=30°均为等腰三角形，∵AE=2，CF=3，易得，，将绕旋转到，，作，，又由旋转的性质得，BE=BG，∠ABE=∠GBC∵∠A=60°∴∠ABC=120°∵∠EBF=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠GBF=60°=∠EBF，又BF=BF ∴。
北师大版九年级数学上册第四章测试题
最新北师大版九年级数学上册第四章测试题一、选择题1．由一些大小相同的小正方体组成的几何体的三视图如图所示，那么组成这个几何体的小正方体有（ ）A ．6块B ．5块C ．4块D ．3块2．如图，一个几何体是由两个小正方体和一个圆锥构成，其主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（4分）如图所示几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图是某几何体的三视图，则该几何体可能是（ ）A ．圆柱B ．圆锥C ．球D ．长方体5．如图，将两个形状和大小都相同的杯子叠放在一起，则该实物图的主视图为（ ）左视图A． B． C． D．6．下列几何体的主视图、左视图、俯视图都相同的是（）7．如图，是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，这个几何体的主视图是（）8．（3分）下列四个立体图形中，它们各自的三视图有两个相同，而另一个不同的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④9．在如图所示的四个几何体中，主视图是长方形的几何体共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．由六个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A ．B ．C ．D ．11．如图，小明晚上由路灯A 下的点B 处走到点C 处时，测得自身影子CD 的长为1米．他继续往前走3米到达点E 处（即CE ＝3米），测得自己影子EF 的长为2米．已知小明的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 是（ ）（A ）4.5米（B ）6米（C ）7.2米（D ）8米12．如图所示的物体是一个实心几何体，其俯视图是（ ）13．如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为（ ）A ．236πB ．136πC ．132πD ．120π二、解答题（题型注释）14．（6分）画右边几何体的三种视图（注意符合三视图原则）．15．（2015秋•莆田校级期末）如图是一个几何体的三视图．（1）写出这个几何体的名称；（2）根据所示数据计算这个几何体的侧面积．（结16．（2015秋•南郑县校级月考）如图是一个实心几何体的三视图，求该几何体的体积．果保留π，单位：cm）17．已知图为一几何体从不同方向看的图形：（1）写出这个几何体的名称；（2）任意画出这个几何体的一种表面展开图；（3）若长方形的高为10厘米，三角形的边长为4厘米，求这个几何体的侧面积．18．（2010•鞍山）旗杆、树和竹竿都垂直于地面且一字排列，在路灯下树和竹竿的影子的方位和长短如图所示．请根据图上的信息标出灯泡的位置（用点P表示），再作出旗杆的影子（用线段字母表示）．（不写作法，保留作图痕迹）19．如题20图是由几个小正方体堆成的几何体，请在所给的网格图中分别画出从正面、从上面看到这个几何体的形状图．（5分）20．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．21．（2015•兰州）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．（1）该小组的同学在这里利用的是投影的有关知识进行计算的；（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．22．李华晚上在两站相距50m的路灯下来回散步，DF=50m．已知李华身高AB=1．7m，灯柱CD=EF=8．5m．（1）若李华距灯柱CD的距离为DB=xm，他的影子BQ=ym，求y关于x的函数关系式．（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后两个影子PB+BQ是否会发生变化？请说明理由．23．如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．（1）这个几何体模型的名称是．（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格中画出该几何体的左视图．（3）若h=a+b，且a，b2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．24．晚饭后，小林和小京在社区广场散步，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小林正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小京正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小林的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小京身高BE的长．（结果精确到0.01米）25．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？26．下图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．三、填空题27．如图是某立体图形的三种视图，请填出它的名称是。
北师大版数学九年级上册第四章测试题及答案(共2套)
北师大版数学九年级上册第四章测试题（一）（图形的相似测试卷）一、选择题1．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M2．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：163．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对5．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③6．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：27．四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，O为位似中心，若OA：OA′=1：3，则S四边形ABCD：S四边形A´B´C´D´=（）A．1：9 B．1：3 C．1：4 D．1：58．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m9．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，则下列结论中正确的是（）A．= B．=C．= D．=10．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，。
北师版九年级数学上册第四章达标测试卷含答案
北师版九年级数学上册第四章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列四组图形中，不是相似图形的是( )2．【教材P 79随堂练习T 3改编】已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a＝2 cm ，b ＝4 cm ，c ＝5 cm ，则d 等于( )A ．1 cmB ．10 cmC ．52 cmD ．85 cm 3．【教材P 119复习题T 3改编】如图，直线a ，b ，c 被直线l 1，l 2所截，交点分别为点A ，C ，E 和点B ，D ，F ．已知a ∥b ∥c ，且AC ＝3，CE ＝4，则BDBF 的值是( )A ．34B ．43C ．37D ．474．【教材P 119复习题T 1(3)改编】若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB ＝8 cm ，AC ＞BC ，则AC 的长为( )A ．5－12 cm B ．2(5－1)cm C ．4(5－1)cm D ．6(5－1)cm 5．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，根据下列条件，能判断△ABC和△DEF 相似的是( )A ．AB DE ＝AC DF B ．AB DE ＝BCEF C ．∠A ＝∠E D ．∠B ＝∠D 6．如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 等于( )A ．60 mB ．40 mC ．30 mD ．20 m7．【2021·兰州】如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为()A．4.36 mm B．29.08 mm C．43.62 mm D．121.17 mm8．【2020·云南】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E 是CD的中点，则△DEO与△BCD的面积的比等于()A．12B．14C．16D．189．【2020·河北】在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是()A．四边形NPMQ B．四边形NPMRC．四边形NHMQ D．四边形NHMR10．【2020·牡丹江】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC 边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为()A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题(每题3分，共24分)11．【教材P119复习题T1(2)改编】假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________km．12．若a＋bc＝b＋ca＝c＋ab＝k(a＋b＋c≠0)，则k＝________．13．【2020·郴州】如图，在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，23为相似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A(2，3)，则点A1的坐标是__________．14．【2020·兰州】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝________．15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝______m．16．【2021·南充】如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝3AB＝3BD，则AD：AC的值为________．17．【2021·扬州】如图，在△ABC中，AC＝BC，矩形DEFG的顶点D、E在AB上，点F，G分别在BC，AC上，若CF＝4，BF＝3，且DE＝2EF，则EF的长为________．18．【2021·宿迁】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是________．三、解答题(19，20，21，23题每题10分，其余每题13分，共66分) 19．(1)根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm．A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝21 cm．(2)若(1)中两三角形不相似，那么要使它们相似，不改变AC的长，A′C′的长应改为多少？20．如图，在▱ABCD中，AE：EB＝2：3，DE交AC于点F．(1)求△AEF与△CDF的周长之比；(2)如果△CDF的面积为20 cm2，求△AEF的面积．21．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)．(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出△ABC向上平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C，使△A2B2C与△ABC位似，且△A2B2C与△ABC的相似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．22．【2020·苏州】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．(1)求证：△ABE∽△DF A；(2)若AB＝6，BC＝4，求DF的长．23．如图，某水平地面上有一建筑物AB，在点D和点F处分别竖有2 m高的标杆CD和EF，两标杆相距52 m，并且建筑物AB，标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2 m到点G处，点G与建筑物顶端A 和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4 m到点H处，点H与建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物AB的高度．24．【2020·南京】如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，ADAB＝A′D′A′B′．(1)当CDC′D′＝ACA′C′＝ABA′B′时，求证：△ABC∽△A′B′C′．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．(2)当CDC′D′＝ACA′C′＝BCB′C′时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．答案一、1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．A10．B 点拨：易证△AFD ∽△EBA ，得AD EA ＝DFAB ，即10AE ＝63，则AE ＝5．由AD ＝10，DF ＝6，得AF ＝102－62＝8． 故EF ＝AF －AE ＝8－5＝3 ．二、11．160 12．2 13．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2 14．5 15．5.5 16．33 17．12518．43 点拨：连接DE ，易证△CDE ∽△CBA ，得DE BA ＝CD CB ＝23，∠CED ＝∠CAB ，故DE ∥BA ．易证△DFE ∽△AFB ，得DE AB ＝DF AF ＝23， 则S △AFE ＝35S △ADE ．由CE ＝2AE ，得S △ADE ＝13S △ADC ，故S △AFE ＝15S △ADC ． 由CD ＝2BD ，得S △ADC ＝23S △ABC ，故S △AFE ＝215S △ABC ． 当AB ⊥BC 时，△ABC 面积最大，即△AFE 面积最大，计算得解．三、19．解：(1)△ABC 与△A ′B ′C ′不相似．理由如下：∵AB A ′B ′＝412＝13，BC B ′C ′＝618＝13，AC A ′C ′＝821， ∴AB A ′B ′＝BC B ′C ′≠AC A ′C ′． ∴△ABC 与△A ′B ′C ′不相似．(2)当A ′C ′＝24 cm 时，两三角形相似．20．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ．∴∠EAF ＝∠DCF ，∠AEF ＝∠CDF ． ∴△AEF ∽△CDF ． ∵AE ：EB ＝2：3，∴△AEF 的周长△CDF 的周长＝AE CD ＝25．(2)∵△AEF∽△CDF，∴S△AEFS△CDF＝⎝⎛⎭⎪⎫252＝425．∵S△CDF＝20 cm2，∴S△AEF＝20×425＝165(cm2)．21．解：(1)如图，△A1B1C1就是所要画的三角形．(2)如图，△A2B2C就是所要画的三角形，点A2的坐标为(－2，－2)．22．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°．∴∠AEB＝∠DAF．∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°＝∠B．∴△ABE∽△DFA．(2)解：∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2．∵AB＝6，∠B＝90°，∴AE＝AB2＋BE2＝62＋22＝210．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4．∵△ABE∽△DFA，∴ABDF＝AEAD．∴DF＝AB·ADAE＝6×4210＝6510．23．解：由题意得CD＝DG＝EF＝2 m，DF＝52 m，FH＝4 m．∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴∠ABH＝∠CDG＝∠EFH＝90°．又∵∠CGD＝∠AGB，∠EHF＝∠AHB，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH．∴CDAB＝DGBG，EFAB＝FHBH，即CDAB＝DGDG＋BD，EFAB＝FHFH＋DF＋BD．∴2AB＝22＋BD，2AB＝44＋52＋BD．∴22＋BD＝44＋52＋BD，解得BD＝52 m．∴2AB＝22＋52，解得AB＝54 m．答：建筑物AB的高度为54 m．24．解：(1)CDC′D′＝ACA′C′＝ADA′D′；∠A＝∠A′(2)△ABC与△A′B′C′相似．理由如下：如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于点E，D′E′交A′C′于点E′．∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB．∴△ADE∽△ABC．∴ADAB＝DEBC＝AEAC．同理，A′D′A′B′＝D′E′B′C′＝A′E′A′C′．∵ADAB＝A′D′A′B′，∴DEBC＝D′E′B′C′．∴DED′E′＝BCB′C′．同理，AEAC＝A′E′A′C′．∴AC－AEAC＝A′C′－A′E′A′C′，即ECAC＝E′C′A′C′．∴ECE′C′＝ACA′C′．∵CDC′D′＝ACA′C′＝BCB′C′，∴CDC′D′＝DED′E′＝ECE′C′．∴△DCE∽△D′C′E′．∴∠CED＝∠C′E′D′．∵DE∥BC，∴∠CED＋∠ACB＝180°．同理，∠C′E′D′＋∠A′C′B′＝180°．∴∠ACB＝∠A′C′B′．AC A′C′＝CBC′B′，∴△ABC∽△A′B′C′．又∵。
北师版九年级数学上册(BS版)检测题 第四章检测题
第四章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(2020·毕节)已知a b ＝25 ，则a ＋b b的值为( C ) A ．25 B ．35 C ．75 D ．232．(沈阳中考)已知△ABC ∽△A′B′C′，AD 和A′D′是它们的对应中线，若AD ＝10，A ′D ′＝6，则△ABC 与△A′B′C′的周长比是( C )A ．3∶5B ．9∶25C ．5∶3D ．25∶93．(2020·哈尔滨)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F ，过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是( C )A ．AE EC ＝EF CDB ．EF CD ＝EG ABC ．AF FD ＝BG GC D ．CG BC ＝AF AD第3题图 第4题图 第6题图4．(玉林中考)如图，AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，EF 与AC 交于点G ，则相似三角形共有( C )A ．3对B ．5对C ．6对D ．8对5．在中华经典美文阅读中，刘明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( A )A ．12.36 cmB ．13.6 cmC ．32.36 cmD ．7.64 cm6．(巴中中考)如图，在▱ABCD 中，F 为BC 中点，延长AD 至点E ，使DE ∶AD ＝1∶3，连接EF 交DC 于点G ，则S △DEG ：S △CFG ＝( D )A ．2∶3B ．3∶2C ．9∶4D ．4∶97．(2020·大庆)已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n ，且这两个直角三角形不相似，则m ＋n 的值为( A )A ．10＋7 或5＋27B ．15C ．10＋7D ．15＋37第8题图 第9题图 第10题图8．(2020·河北)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是( A )A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR9．(贵港中考)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，∠ACD ＝∠B ，若AD ＝2BD ，BC ＝6，则线段CD 的长为( C )A ．2 3B ．3 2C ．2 6D ．510．(2020·眉山)如图，正方形ABCD 中，点F 是BC 边上一点，连接AF ，以AF 为对角线作正方形AEFG ，边FG 与正方形ABCD 的对角线AC 相交于点H ，连接DG.以下四个结论：①∠EAB ＝∠GAD ；②△AFC ∽△AGD ；③2AE 2＝AH·AC ；④DG ⊥AC.其中正确的个数为( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每小题3分，共15分)11．若x ∶y ＝1∶2，则x －y x ＋y＝__－13 __． 12．(连云港中考)如图，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ∶DB ＝1∶2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为__1∶9__．第12题图 第13题图 第14题图第15题图13．(阜新中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AC 边上的一点，DE 垂直平分AB ，垂足为点E.若AC ＝8，BC ＝6，则线段DE 的长度为__154 __． 14．(烟台中考)如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO 的顶点坐标分别为A(－2，－1)，B(－2，－3)，O(0，0)，△A 1B 1O 1的顶点坐标分别为A 1(1，－1)，B 1(1，－5)，O 1(5，1)，△ABO 与△A 1B 1O 1是以点P 为位似中心的位似图形，则P 点的坐标为__(－5，－1)__．15．(2020·兰州)如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝2，点E 在AB 的延长线上，且AE ＝AC ，EF ⊥AC 于点F ，连接BF 并延长交CD 于点G ，则DG＝．三、解答题(共75分)16．(8分)(2020·济宁)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 在BC 上．(1)求作：△PCD ，使点D 在AC 上，且△PCD ∽△ABP ；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，若∠APC ＝2∠ABC.求证：PD ∥AB.题图答图解：(1)如图：作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP(2)如图，∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，∴∠DPC＝∠ABC，∴PD∥AB17．(9分)如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F.(1)求证：△ABF∽△ECF；(2)如果AD＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，求CE的长．解：(1)∵DC∥AB，∴∠B＝∠ECF，∠BAF＝∠E，∴△ABF∽△ECF(2)∵AD＝BC，AD＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，∴BF＝3 cm.∵由(1)知，△ABF∽△ECF，∴BACE＝BFCF，即8CE＝32 .∴CE＝163cm18．(9分)(2020·宁夏)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(4，1)，C(1，1).(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC以点O为位似中心，相似比为1∶2的△A2B2C2.题图答图解：(1)A1(1，－3)，B1(4，－1)，C1(1，－1)，连接A1C1，A1B1，B1C1，得到△A1B1C1.如图所示△A1B1C1即为所求(2)由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧，则A2(2，6)，B2(8，2)，C2(2，2)，连接各点，得△A2B2C2.第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧，则A2(－2，－6)，B2(－8，－2)，C2(－2，－2)，连接各点，得△A 2B 2C 2.综上所述：如图所示△A 2B 2C 2为所求19．(9分)(雅安中考)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 经过点O ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，FE 的延长线交CB 的延长线于点M.(1)求证：OE ＝OF ；(2)若AD ＝4，AB ＝6，BM ＝1，求BE 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ∥CD ，BC ＝AD ，∴∠OAE ＝∠OCF ，在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OAE ＝∠OCF ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AOE ≌△COF(ASA )，∴OE ＝OF (2)过点O 作ON ∥BC 交AB 于点N ，则△AON ∽△ACB ，∵OA ＝OC ，∴ON ＝12BC ＝2，BN ＝12 AB ＝3，∵ON ∥BC ，∴△ONE ∽△MBE ，∴ON BM ＝NE BE ，即21 ＝3－BE BE，解得BE ＝120．(9分)(2020·南京)如图，在△ABC 和△A′B′C′中，D ，D ′分别是AB ，A ′B ′上一点，AD AB ＝A′D′A′B′.(1)当CD C′D′ ＝AC A′C′ ＝AB A′B′时，求证：△ABC ∽△A′B′C′； 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．(2)当CD C′D′ ＝AC A′C′ ＝BC B′C′时，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由． (1)证明：∵AD AB ＝A′D′A′B′ ，∴AD A′D′ ＝AB A′B′ ，∵CD C′D′ ＝AC A′C′ ＝AB A′B′ ，∴CD C′D′ ＝AC A′C′＝AD A′D′ ，∴△ADC ∽△A ′D ′C ′，∴∠A ＝∠A′，∵AC A′C′ ＝AB A′B′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.故答案为：CD C′D′ ＝AC A ′C′ ＝AD A′D′，∠A ＝∠A′ (2)如图，过点D ，D ′分别作DE ∥BC ，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于点E ，D ′E ′交A′C′于点E′.∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC ＝AE AC ，同理，A′D′A′B′ ＝D′E′B′C′ ＝A′E′A′C′，∵AD AB ＝A′D′A′B′ ，∴DE BC ＝D′E′B′C′ ，∴DE D′E′ ＝BC B′C′ ，同理，AE AC ＝A′E′A′C′ ，∴AC －AE AC ＝A′C′－A′E′A′C′，即EC AC ＝E′C′A′C′ ，∴EC E′C′ ＝AC A′C′ ，∵CD C′D′ ＝AC A′C′ ＝BC B′C′ ，∴CD C′D′ ＝DE D′E′ ＝EC E′C′，∴△DCE ∽△D ′C ′E ′，∴∠CED ＝∠C′E′D′，∵DE ∥BC ，∴∠CED ＋∠ACB ＝180°，同理，∠C ′E ′D ′＋∠A′C′B′＝180°，∴∠ACB ＝∠A′C′B′，∵AC A′C′ ＝CB C′B′ ，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′21．(10分)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ 移动，如图，当小聪正好站在广场的A 点(距N 点5块地砖长)时，其影长AD 恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B 点(距N 点9块地砖长)时，其影长BF 恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC 为1.6米，MN ⊥NQ ，AC ⊥NQ ，BE ⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE 的长．(结果精确到0.01米)解：由题意得∠CAD ＝∠MND ＝90°，∠CDA ＝∠MDN ，∴△CAD ∽△MND ，∴CA MN＝AD ND ，∴1.6MN ＝1×0.8（5＋1）×0.8，∴MN ＝9.6，又∵∠EBF ＝∠MNF ＝90°，∠EFB ＝∠MFN ，∴△EFB ∽△MFN ，∴EB MN ＝BF NF ，∴EB 9.6 ＝2×0.8（2＋9）×0.8，∴EB ≈1.75，∴小军身高约为1.75米22．(10分)(2020·上海)已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，BE ＝DF ，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H.(1)求证：△BEC ∽△BCH ；(2)如果BE 2＝AB·AE ，求证：AG ＝DF.证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝CB ，∠D ＝∠B ，CD ∥AB ，∵DF ＝BE ，∴△CDF ≌△CBE(SAS )，∴∠DCF ＝∠BCE ，∵CD ∥BH ，∴∠H ＝∠DCF ，∴∠BCE ＝∠H ，∵∠B ＝∠B ，∴△BEC ∽△BCH (2)∵BE 2＝AB·AE ，∴BE AB ＝AE BE ，∵AG ∥BC ，∴AE BE＝AG BC ，∴BE AB ＝AG BC，∵DF ＝BE ，BC ＝AB ，∴BE ＝AG ＝DF ，即AG ＝DF 23．(11分)(2020·杭州)如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F.设CE EB＝λ(λ＞0).(1)若AB ＝2，λ＝1，求线段CF 的长；(2)连接EG ，若EG ⊥AF ，①求证：点G 为CD 边的中点；②求λ的值．解：(1)∵在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠F ，又∵AG 平分∠DAE ，∴∠DAG ＝∠EAG ，∴∠EAG ＝∠F ，∴EA ＝EF ，∵AB ＝2，∠B ＝90°，点E 为BC 的中点，∴BE ＝EC ＝1，∴AE ＝AB 2＋BE 2＝ 5 ，∴EF ＝ 5 ，∴CF ＝EF －EC ＝ 5 －1 (2)①∵EA ＝EF ，EG ⊥AF ，∴AG ＝FG ，在△ADG 和△FCG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠GCF ，∠AGD ＝∠FGC ，AG ＝FG ，∴△ADG ≌△FCG(AAS )，∴DG ＝CG ，即点G 为CD的中点 ②设CD ＝2a ，则GC ＝a ，由①知，CF ＝DA ＝2a ，∵EG ⊥AF ，∠GCF ＝90°，∴∠EGC ＋∠CGF ＝90°，∠F ＋∠CGF ＝90°，∠ECG ＝∠GCF ＝90°，∴∠EGC ＝∠F ，∴△EGC ∽△GFC ，∴EC GC ＝GC FC ，∵GC ＝a ，FC ＝2a ，∴GC FC ＝12 ，∴EC GC ＝12 ，∴EC ＝12 a ，BE ＝BC －EC ＝2a －12a ＝32 a ，∴λ＝CE EB ＝12a 32a ＝13。
北师大版九年级数学上(新) 第四章检测题 (含答案)
初中数学试卷 金戈铁骑整理制作第四章检测题(时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列说法正确的是( C )A ．对应边都成比例的多边形相似B ．对应角都相等的多边形相似C ．边数相同的正多边形相似D ．矩形都相似2．已知△ABC ∽△DEF ，相似比为3∶1，且△ABC 的周长为18，则△DEF 的周长为( C )A ．2B ．3C ．6D ．543．如图，已知BC ∥DE ，则下列说法不正确的是( C )A ．两个三角形是位似图形B ．点A 是两个三角形的位似中心C ．AE ∶AD 是相似比 D ．点B 与点E ，点C 与点D 是对应位似点4．如图，身高为1.6 m 的吴格霆想测量学校旗杆的高度，当她站在C 处时，她头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC ＝2.0 m ，BC ＝8.0 m ，则旗杆的高度是( C )A ．6.4 mB ．7.0 mC ．8.0 mD ．9.0 m,第3题图),第4题图). ,第5题图),第6题图)5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 等于( B )A ．60 mB ．40 mC ．30 mD ．20 m6．“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E ”与下面四个较小“E ”中的哪一个是位似图形( B )A ．左上B ．左下C ．右上D ．右下7．如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是( B )A ．(6，0)B ．(6，3)C ．(6，5)D ．(4，2),第7题图) ,第8题图),第9题图) ,第10题图)8．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD ＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( C )A ．2∶3B ．2∶5C ．4∶9 D.2∶ 39．如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD .下列结论错误的是( C )A ．∠C ＝2∠AB ．BD 平分∠ABCC ．S △BCD ＝S △BOD D ．点D 为线段AC 的黄金分割点10．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，若△P AD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每小题3分，共18分)11．若x y ＝m n ＝45(y ≠n )，则x －m y －n＝__45__． 12．如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x 的值是__16__．13．如图，在△ABC 中，点P 是AC 上一点，连接BP .要使△ABP ∽△ACB ，则必须有∠ABP ＝__∠C __或∠APB ＝__∠ABC __或AB AP ＝__AC AB__．,第12题图) ,第13题图),第14题图) ,第15题图)14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是AD 的中点，CF ⊥BE 于点F ，则CF ＝__125__． 15．如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为__22.5__米．16．劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工出一个边长比是1∶2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其他顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为__2.4_cm 或2411_cm __． 三、解答题(共72分) 17．(10分)如图，点D 是△ABC 的边AC 上的一点，连接BD ，已知∠ABD ＝∠C ，AB ＝6，AD ＝4，求线段CD 的长．解：在△ABD 和△ACB 中，∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴△ABD ∽△ACB ，∴AB AC ＝AD AB ，∵AB ＝6，AD ＝4，∴AC ＝AB 2AD ＝364＝9，则CD ＝AC －AD ＝9－4＝518．(10分)一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．解：两种截法：①30厘米与60厘米的两根钢筋为对应边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有1020＝2550＝3060＝12，从而两个三角形相似；②30厘米与50厘米长的两根钢筋为对应边，把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分，则有2012＝5030＝6036＝53，从而两三角形相似19．(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－1，2)，B (－3，4)，C (－2，6)．(1)画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；(2)在网格内以原点O 为位似中心，画出将△A 1B 1C 1三条边放大为原来的2倍后的△A 2B 2C 2.解：20．(10分)如图，矩形ABCD 为台球桌面．AD ＝260 cm ，AB ＝130 cm.球目前在E 点位置，AE ＝60 cm.如果小丁瞄准了BC 边上的点F 将球打进去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置．(1)求证：△BEF ∽△CDF ；(2)求CF 的长．解：(1)证明：∵FG ⊥BC ，∠EFG ＝∠DFG ，∴∠BFE ＝∠CFD ，又∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDF(2)解：设CF ＝x ，则BF ＝260－x ，∵AB ＝130，AE ＝60，BE ＝70，由(1)得：△BEF∽△CDF ，∴BE CD ＝BF CF ，即70130＝260－x x，∴x ＝169 cm ，即CF ＝169 cm21．(10分)已知，如图，△ABC 中，AD 是中线，且CD 2＝BE ·BA .求证：ED ·AB ＝AD ·BD .证明：∵AD 是中线，∴BD ＝CD ，又CD 2＝BE ·BA ，∴BD 2＝BE ·BA ，即BE BD ＝BD AB，又∠B ＝∠B ，∴△BED ∽△BDA ，∴ED AD ＝BD AB，∴ED ·AB ＝AD ·BD22．(10分)如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，连接DE ，点F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B .(1)求证：△ADF ∽△DEC ；(2)若AB ＝8，AD ＝63，AF ＝43，求AE 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC.∴∠C ＋∠B ＝180°，∠ADF ＝∠DEC.∵∠AFD ＋∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠B ，∴∠AFD ＝∠C.∴△ADF ∽△DEC (2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝8.由(1)知△ADF ∽△DEC ，∴AD DE ＝AF CD .∴DE ＝AD ·CD AF ＝63×843＝12.在Rt △ADE 中，由勾股定理得AE ＝DE 2－AD 2＝122－（63）2＝623．(12分)将一副三角尺如图①摆放(在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°；在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠E ＝45°)点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C .(1)求∠ADE 的度数；(2)如图②，将△DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，此时的等腰直角三角尺记为△DE ′F ′，DE ′交AC 于点M ，DF ′交BC 于点N ，试判断PM CN 的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出PM CN的值；反之，请说明理由． 解：(1)由题意知：CD 是Rt △ABC 中斜边AB 上的中线，∴AD ＝BD ＝CD ，∵在△BCD 中，BD ＝CD 且∠B ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD ＝∠BDC ＝60°，∴∠ADE ＝180°－∠BDC －∠EDF ＝180°－60°－90°＝30°(2)PM CN的值不会随着α的变化而变化，理由如下：∵△APD 的外角∠MPD ＝∠A ＋∠ADE ＝30°＋30°＝60°，∴∠MPD ＝∠BCD ＝60°，∵在△MPD 和△NCD 中，∠MPD＝∠NCD ＝60°，∠PDM ＝∠CDN ＝α，∴△MPD ∽△NCD ，PM CN ＝PD CD ，又∵由(1)知AD＝CD ，∴∠ACD ＝∠A ＝30°，即∠PCD ＝30°.在Rt △PCD 中，∠PCD ＝30°，∴PD CD ＝13＝33，∴PM CN ＝PDCD ＝33。
新版北师大初中数学九年级(上)第四章图形的相似单元测试(带答案)
九（上）第四章图形的相似单元测试一、选择题1、【基础题】在比例尺为1：5000的地图上，量得甲，乙两地的距离为25 cm ，则甲、乙两地的实际距离是 ( ) A.1250千米 B.125千米 C.12.5千米 D. 1.25千米2、【基础题】已知135＝a b ，则ba ba ＋－的值是（）★A. 32B. 23C. 49D. 943、【基础题】如右图，在△ABC 中，看DE ∥BC ，12AD BD =，DE ＝4 cm ，则BC 的长为( ) A ．8 cm B ．12 cm C ．11 cm D ．10 cm 4、【基础题】如右图，DE 是ΔABC 的中位线，则ΔADE 与ΔABC 的面积之比是（） A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:45、【基础题】如下图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( )★★★6、【基础题】下列结论不正确的是( ) ★ A.所有的矩形都相似B.所有的正方形都相似C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的正八边形都相似7、【基础题】下列说法中正确的是( )★A.位似图形可以通过平移而相互得到B.位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等 8、【综合题Ⅰ】如左下图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是（ ）★★★ A. ∠APB ＝∠EPC B. ∠APE ＝90°C. P 是BC 的中点 D. BP ︰BC ＝2︰39、【综合题Ⅱ】（2008山东潍坊）如右上图,Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB =3，AC =4，P 是BC 边上一点，作PE⊥AB 于E ，PD ⊥AC 于D ，设BP ＝x ，则PD+PE ＝（）A.35x + B.45x -C.72D.21212525x x -10、【综合题Ⅲ】如图，在Rt ABC △内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a 、b 、c 满足的关系式是（）A . b a c =+B . b ac =C . 222b ac =+D . 22b a c ==二、填空题 11、【基础题】在同一时刻，高为1.5m 的标杆的影长为2.5m ，一古塔在地面上AB CA BCDE P影长为50m ，那么古塔的高为． 12、【基础题】两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为36cm ，则另一个三角形的周长是． 13、【综合题Ⅰ】如左下图，在△ABC 中，AB ＝5，D 、E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，那么AD ·BC ＝. ★★★ 14、【基础题】如右上图，在△ABC 和△DEF 中，G 、H 分别是边BC 和EF 的中点，已知AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠BAC ＝∠EDF .那么AG ：DH ＝，△ABC 与△DEF 的面积比是.★★★15、【基础题】把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，边长应缩小到原来的____倍. 16、【综合Ⅱ】如左下图在Rt △ABC 中, ∠ACB ＝90°,CD ⊥AB 于D ，若AD ＝1，BD ＝4，则CD ＝. ★ 17、【基础题】如右上图，一人拿着一支厘米小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上12厘米的长度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，则电线杆的高为. ★★★ 18、【基础题】已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20 cm ，则它的宽为_____cm.（结果保留根号） 19、【综合Ⅲ】顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，BD 是三角形ABC 的角平分线，那么AD ＝. ★ 20、【提高题】如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △、323A B B △的面积分别为1、4，则图中三个阴影三角形面积之和为． 三、解答题21、【基础题】（2008无锡）如图，已知点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于点F ，求证△ABF ∽△EAD ．22、【综合Ⅰ】如图27－106所示，已知E 为ABCD 的边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于O ，交AD 于F ． 求证BO 2＝OF ·OE ．23、如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12 cm ，OB=6 cm ，点P 从O 点开始沿OA 边向点A 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （单位：秒） 表示移动的时间（06t ≤≤），那么：（1）当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似？（2）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式。
北师大版九年级上册数学第四章同步测试试卷及答案
第四章学情评估一、选择题(每题3分，共30分)1．下列各组中的四条线段成比例的是()A．a＝2，b＝3，c＝2，d＝ 3B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10C．a＝2，b＝5，c＝2 3，d＝15D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝12．如图，已知l1∥l2∥l3，若AB＝1，BC＝2，DE＝1.5，则EF的长为() A．1.5 B．2C．2.5 D．3(第2题)(第3题)(第5题)3．如图，面积为1 的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF 的面积是()A. 16 B.12C. 13 D.144．下列说法正确的是()A．边都对应成比例的多边形相似B．角都对应相等的多边形相似C．边数相同的正多边形相似D．矩形都相似5．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若点B的坐标为(1，0)，则点C的坐标为()A．(1，2) B．(1，1)C．(2，2) D．(2，1)6．如图，方格纸中△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，若△ABC 和△EPD 相似，则点P 所在格点为( )A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 4(第6题) (第7题) (第8题)7．如图，已知点C ，D 都是线段AB 的黄金分割点，如果CD ＝4，那么AB 的长度是( )A ．2 5－2B ．6－2 5C ．8＋4 5D ．2＋ 58．如图，AB ∥CD ，AE ∥FD ，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则图中共有相似三角形( )A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对9．如图，AB 是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B 距墙1.4 m ，梯子上点D 距墙1.2 m ，BD 长0.5 m ，则梯子的长为( )A ．3.5 mB ．3.85 mC ．4 mD ．4.2 m(第9题) (第10题)10．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，则下列结论：①DE BC ＝12； ②S △DOE S △COB ＝12； ③AD AB ＝OE OB ； ④S △DOE S △ADE ＝13. 其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每题3分，共18分)11．如果a b ＝c d ＝e f ＝k (b ＋d ＋f ≠0)，且a ＋c ＋e ＝3(b ＋d ＋f )，那么k ＝________.12．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，点D 在AB 上(点D 与A ，B 不重合)，若再增加一个条件就能使△ACD ∽△ABC ，则这个条件是________________(写出一个条件即可)．(第12题) (第13题)13．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB .若AB ＝8，BD ＝3，BF ＝4，则FC 的长为________．14．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB 与△A′OB ′是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为3∶2，点A ，B 都在格点上，则点B ′的坐标是______．(第14题) (第15题) (第16题)15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上的点G 处，连接CE ，则CE 的长是________．16．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，在线段AB 上取一点D ，作DE⊥AB 交AC 于点E ，连接BE ，将△ADE 沿DE 折叠．设点A 落在线段BD 上的对应点为A 1，DA 1的中点为F ，若△FEA 1∽△FBE ，则AD ＝________．三、解答题(21题～22题每题10分，其余每题8分，共52分)17．如图，已知∠ADC ＝∠BAC ，BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，求DC 的长．18．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB·AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．(1)求证：△ADC∽△ACB；(2)CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由．19．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场上的旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶端A在同一直线上．已知DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，到旗杆的水平距离DC＝20 m ，求旗杆的高度．20．如图，已知∠MON，A，B分别是射线OM，ON上的点．(1)尺规作图：在∠MON的内部确定一点C，使得BC∥OA且BC＝12OA；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)中，连接OC，用无刻度直尺在线段OC上确定一点D，使得OD＝2CD，并证明OD＝2CD.21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D.(1)求∠BDF的大小；(2)求CG的长．22．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点(与点O、C不重合)，作AF⊥BE，垂足为G，交BC于F，交BO于H，连接OG，CG.(1)求证：AH＝BE；(2)试探究：∠AGO的度数是否为定值？请说明理由；(3)若OG⊥CG，BG＝ 5.求△OGC的面积．答案一、1. C 2. D 3. D 4. C 5. B 6. C 7. C8. C 9. A 10. C二、11. 3 12. ∠ACD ＝∠ABC (答案不唯一) 13. 125 14. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，43 15. 3510 16. 85 三、17. 解：∵∠ADC ＝∠BAC ，∠C ＝∠C ，∴△ADC ∽△BAC .∴AC BC ＝DC AC .∵BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，∴DC ＝12×1216＝9(cm)．18. (1)证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠CAB .又∵AC 2＝AB ·AD ，∴AD AC ＝ACAB ，∴△ADC ∽△ACB .(2)解：CE ∥AD ，理由如下：∵△ADC ∽△ACB ，∴∠ACB ＝∠ADC ＝90°.又∵E 为AB 的中点，∴CE ＝12AB ＝AE ，∴∠EAC ＝∠ECA .∵∠DAC ＝∠CAE ，∴∠DAC ＝∠ECA ，∴CE ∥AD .19. 解：∵∠DEF ＝∠DCA ＝90°，∠EDF ＝∠CDA ，∴△DEF ∽△DCA .∴DE DC ＝EF CA .∵DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m ，DC ＝20 m ，∴0.520＝0.25CA .∴AC ＝10 m.又∵CB ＝DG ＝1.5 m ，∴AB ＝AC ＋CB ＝10＋1.5＝11.5(m)．答：旗杆的高度为11.5 m.20. 解：(1)如图，点C 即为所求．(2)如图，连接AB交OC于点D，则点D即为所求．证明如下：由(1)得BC∥OA，BC＝12OA，∴∠DBC＝∠DAO，∠DCB＝∠DOA，∴△DBC∽△DAO，∴DCDO＝BCAO＝12，∴OD＝2CD.21. 解：(1)∵线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10，∴∠ABD＝45°.∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF，∴∠BDF＝∠ABD＝45°.(2)由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE＋∠DAB＝180°.∵∠DAB＝90°，∴∠ADE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ACB，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC＝AEAB.∵AC＝8，AB＝AD＝10，∴AE＝12.5，由平移的性质得，CG＝AE＝12.5.22. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠AOB＝∠BOE＝90°.∵AF⊥BE，∴∠GAE＋∠AEG＝∠OBE＋∠AEG＝90°.∴∠GAE＝∠OBE，∴△AOH≌△BOE，∴AH＝BE.(2)解：是．理由如下：∵∠AOH＝∠BGH＝90°，∠AHO＝∠BHG，∴△AOH∽△BGH，∴OHGH＝AHBH，∴OHAH＝GHBH.∵∠OHG＝∠AHB，∴△OHG∽△AHB，∴∠AGO ＝∠ABO ＝45°，即∠AGO 的度数为定值．(3)解：∵∠ABC ＝90°，AF ⊥BE ，∴∠BAG ＝∠FBG ，∠AGB ＝∠BGF ＝90°， ∴△ABG ∽△BFG ，∴AG BG ＝BG GF ，∴AG ·GF ＝BG 2＝5，∵△AHB ∽△OHG ，∴∠BAH ＝∠GOH ＝∠GBF . ∵∠AOB ＝∠BGF ＝90°，∴∠AOG ＝∠GFC .∵∠AGO ＝45°，CG ⊥GO ，∴∠AGO ＝∠FGC ＝45°.∴△AGO ∽△CGF ，∴GO GF ＝AG CG ，∴GO ·CG ＝AG ·GF ＝5.∴S △OGC ＝12CG ·GO ＝52.。
北师大版初中数学九年级上册第四章综合测试试卷-含答案03
第四章单元测试一、选择题（共10小题）1.如图，ABC △中，ABD C ∠=∠，若4AB =，2AD =，则CD 边的长是（ ）A .2B .4C .6D .82.要制作两个形状相同的三角形框架，已知其中一个三角形的三边长分别为3 cm ，4 cm ，6 cm ，另一个三角形的最短边长为4 cm ，则它的最长边长为（ ）A .9cm 2B .8 cmC .16cm 3D .12 cm3.已知:3:2x y =，则下列各式中正确的是（ ） A .52x y y += B .13x y y −= C .23x y = D .1413x y +=+ 4.如图ABC △中，点D 、E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE BC ∥，EF BC ∥，若2AD BD =，则CEAE的值为（ ）A .14B .13C .12D .235.小强带着足够的钱到鱼店去买鱼，鱼店里有一种“竹篓鱼”，个个都长得非常相似．现有大小两种不同价钱，如图所示，鱼长10 cm 的每条10元，鱼长13 cm 的每条17元，小强不知道哪种更好些，请帮小强出主意，该怎么买？（ ）A .买大的B .两种一样划算，随便选一种C .买小的D .无法比较哪种划算，随便选一种6.如图，ABC △和ADE △都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于G ，连结BE ．下列结论中：①2CE BD ==；②ADC △是等腰直角三角形；③ADB AEB ∠=∠；④••CD AE EF CG =．一定正确的是（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个7.如图，有一块直角三角形余料ABC ，90BAC ∠=︒，G ，D 分别是AB 、AC 边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG ，其中E 、F 在BC 上，若 4.5 cm BF =， 2 cm CE =，则GF 的长为（ ）A .3 cmB .C .2.5 cmD .3.5 cm8.若ABC △与111A B C △相似且对应中线之比为2:5，则周长之比和面积比分别是（ ） A .2:5，4:5B .2:5，4:25C .4:25，4:25D .4:25，2:59.如图，线段BC 的两端点的坐标分别为()3,8B ，()6,3C ，以点()1,0A 为位似中心，将线段BC 缩小为原来的12后得到线段DE ，则端点D 的坐标为（ ）A .()1,4B .()2,4C .3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D .()2,210.如图，D 是ABC △一边BC 上一点，连接AD ，使ABC DBA △∽△的条件是（ ）A .::AC BC AD BD =B .::AC BC AB AD = C .2•AB CD BC =D .2•AB BD BC =二、填空题（共8小题）11.比例尺为1：4 000 000的地图上，杭州到嘉兴的图上距离约是3 cm ，则杭州到嘉兴的实际距离是________km ．12.一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽与长的比是________．13.如图，AB CD ∥，AD 与BC 相交于点O ，若3AO =，6DO =，4BO =，则CO =________．14.已知两个相似三角形的面积之比是1:16，那么这两个三角形的周长之比是________．15.如图，矩形EFGO 的两边在坐标轴上，点O 为平面直角坐标系的原点，以y 轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD ，且点B ，F 的坐标分别为()4,4−、()2,1，则位似中心的坐标为________．16.如图，123l l l ∥∥，2AM =，3MB =，4CD =，则ND =________．17.如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连结AC 、BC ，在AC 上取点E ，使3AE EC =，作EF AB ∥交BC 于点F ，量得 6 m EF =，则AB 的长为________．18.如图，D 、E 是ABC △的边AB 、AC 上的点，DE 与BC 不平行，请填上一个你认为合适的条件________，使得ADE ACB △∽△．三、解答题（共8小题） 19.若0234x y z ==≠，求代数式x y zx y z+−++的值．20.如图，AD 是ABC △的中线，E 是AD 上一点，:1:4AE AD =，BE 的延长线交AC 于F ，求:AF CF 的值．21.已知：四边形ABCD 的两条对角线相交于点P ，ADB BCA ∠=∠，AD ，BC 延长线交于点Q ，求证：ACQ BDQ △∽△．22.如图，在ABC △中，90C ∠=︒， 6 cm AC =，8 cm BC =，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，连接DE ．点P 从点D 出发，沿DE 方向匀速运动，速度为1 cm/s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为2 cm/s ，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．连接PQ ，设运动时间为t （04t ＜＜）s ．解答下列问题：（1）当t 为何值时，以点E 、P 、Q 为顶点的三角形与ADE △相似？ （2）当t 为何值时，EPQ △为等腰三角形？（直接写出答案即可）．23.如图所示，三个边长为1个单位长度的正方形ABCD 、ABEF 、EFGH 拼在一起． （1）请找岀中相似的两个三角形，并证明； （2）直接写出1∠、2∠、3∠这三个角度数之和．24.如图，ABC △中，点P 在边AB 上，请用尺规在边AC 上作一点Q ，使AQ APAB AC=．（保留作图痕迹，不写作法）．25.如图，在平面直角坐标系中，已知ABC △三个顶点的坐标分别是()2,2A ，()4,0B ，()4,4C −．以点O 为位似中心，将ABC △缩小为原来的12，得到111A B C △， （1）请在y 轴左侧画出111A B C △；（2）点(),P a b 为ABC △内的一点，则点P 在（1）中111A B C △内部的对应点1P 的坐标为________．26.某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知△ABC ，6AC =，8BC =，10AB =，将ABC △按图3的方式向外扩张，得到DEF △，它们对应的边间距都为1，求DEF △的面积．答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
九年级数学上册第四章检测试题北师大版附答案
适用精选文件资料分享九年级数学上册第四章检测试题（北师大版附答案）第四章检测题 ( 时间：120 分钟满分：120分)一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．假如 mn＝ab，那么以下比率式中错误的选项是＝＝＝＝bn 2．( 贺州中考 ) 如图，在△ ABC中，点 D、E 分别为 AB、AC的中点，则△ ADE与四边形 BCED的面积比为 ( C ) A ．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 3．如图，在△ ABC 中，∠ ACB＝90°， CD⊥AB，DE⊥BC，那么与△ ABC 相似的三角形的个数有( D) A．1 个 B．2个 C．3 个D．4个 , 第 2题图),第 3 题图 ), 第 6 题图 ) 4．在中华经典美文阅读中，刘明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为 ( A ) A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm 5．( 通辽中考 ) 某人要在报纸上刊登广告，一块 10cm×5cm的矩形版面要付广告费180 元，他要把该版面的边长都扩大为本来的 3 倍，在每平方厘米版面广告费同样的状况下，他对付广告费(C)A ．540元 B ．1080 元 C．1620 元 D．1800 元 6 ．( 永州中考 ) 如图，在△ ABC 中，点 D是 AB边上的一点，若∠ ACD＝∠ B， AD＝1，AC＝2，△ ADC 的面积为 1，则△ BCD的面积为 ( C ) A ．1 B．2 C．3 D．4 7 ．( 眉山中考 ) “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获取，则井深为 ( B ) A．尺 B．57.5 尺 C．6.25 尺 D．56.5 尺 , 第 7 题图) , 第 8 题图) , 第 9 题图) , 第 10 题图) 8 ．以以以下图，在矩形ABCD中，F 是 DC上一点， AE均分∠ BAF交 BC于点 E，且 DE⊥AF，垂足为点 M，BE＝3，AE＝26，则 MD的长是 ( C ) A.15 B.1510 C．1 D.1515 点拨：设 DM＝a，证△ AEM≌△ AEB，△ ADM≌△ DEC，可得(a ＋3)2 ＝a2＋(15)2 9 ．如图，在△ ABC中， A、B两个极点在 x 轴的上方，点C的坐标是 ( －1，0) ．以点 C为位似中心，在 x 轴的下方作△ ABC 的位似图形△ A′B′C，并把△ ABC的边长放大到本来的 2 倍．设点 B 的对应点 B′的横坐标是 a，则点 B的横坐标是 ( D ) A．－ 12a B．－ 12(a ＋1) C．－12(a －1) D．－12(a ＋3) 10．如图，在矩形 ABCD中，DE均分∠ ADC交 BC于点 E，点 F 是 CD边上一点 ( 不与点 D重合 ) ．点P为 DE上一动点， PE＜PD，将∠ DPF绕点 P 逆时针旋转 90°后，角的两边交射线 DA于 H，G两点，有以下结论：① DH＝ DE；② DP＝ DG；③DG＋ DF＝ 2DP；④DP?DE＝DH?DC，此中必定正确的选项是 ( D ) A．①②B．②③ C．①④ D．③④二、填空题 ( 每题 3 分，共 18 分) 11．若x∶y＝1∶2，则 x－yx＋y＝__－13__．12 ．若△ ABC∽△ A′B′C′，且 AB∶A′B′＝ 3∶4，△ ABC的周长为 12 cm，则△ A′B′C′的周长为 __16_cm__. 13．( 锦州中考 ) 如图， E 为?ABCD的边 AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，连接DE交BC于点F，则CF∶AD＝__3∶5__．, 第 13 题图), 第 14 题图), 第 15 题图),第 16 题图 ) 14．(阿坝州中考 ) 如图，在平面直角坐标系中，已知 A(1，0)，D(3，0) ，△ABC与△ DEF位似，原点 O是位似中心．若 AB＝1.5 ，则 DE＝__4.5__ ． 15 ．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF丈量树的高度 AB，他调整自己的地点，想法使斜边 DF保持水平，而且边 DE与点 B 在同向来线上，已知纸板的两条直角边 DE＝ 50 cm，EF＝25 cm，测得边 DF离地面的高度 AC＝1.6 m ，CD＝10 m，则树高AB＝__6.6__m. 16 ．如图，在△ ABC中，分别以 AC，BC为边作等边△ACD和等边△ BCE.设△ ACD，△ BCE，△ ABC的面积分别是S1，S2，S3，现有以下结论：①S1∶S2＝AC2∶BC2；②连接AE，BD，则△BCD≌△ ECA；③若 AC⊥BC，则 S1?S2＝34S32.此中结论正确的序号是__①②③ __．三、解答题 ( 共 72 分) 17．(6 分) 如图，在△ ABC中，点D是边AB的四均分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形 DECF的周长．解：∵ DE∥AC，DF∥BC，∴四边形 DFCE是平行四边形，∴DE＝FC，DF＝EC，∵ DF∥BC，∴△ ADF∽△ ABC，∴ DFBC＝AFAC＝ADAB＝14，∵ AC＝8，BC＝12，∴ AF＝2，DF＝3，∴ FC＝AC－AF＝8－2＝6，∴ DE＝FC＝6，DF＝EC＝3，∴四边形 DECF的周长是DF＋CF＋CE＋DE＝3＋6＋3＋6＝18. 答：四边形 DECF的周长是 1818．(6 分)( 凉山州中考 ) 如图，在边长为 1 的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ ABC三个极点分别为 A(－1，2) 、B(2，1) 、C(4，5)． (1) 画出△ ABC关于 x 轴对称的△ A1B1C1； (2) 以原点 O为位似中心，在x 轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为 2，并求出△ A2B2C2的面积．解：(1) 以以以下图，△A1B1C1就是所求三角形 (2) 以以以下图，△A2B2C2就是所求三角形．分别过点 A2、 C2作 y 轴的平行线，过点 B2 作 x 轴的平行线，交点分别为 E、F，∵ A(－ 1，2) ，B(2 ，1) ，C(4 ，5) ，△A2B2C2与△ ABC位似，且相似比为 2，∴ A2(－ 2，4) ，B2(4 ，2) ，C2(8，10) ，∴S△A2B2C2＝8×10－12×6×2－12×4×8－12×6×10＝2819．(6 分) 九年级 (1) 班课外活动小组利用标杆丈量学校旗杆的高度，以以以下图，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度 EF＝1.6 m，人与标杆 CD的水平距离 DF＝2 m，则旗杆 AB的高度．解：∵ CD⊥FB，∴ AB⊥FB，∴ CD∥AB，∴△ CGE∽△ AHE，∴ CGAH＝ EGEH，即： CD－EFAH＝FDFD＋BD，∴3－＝22＋15，∴ AH＝11.9 ，∴AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9 ＋＝13.5(m)20．(7 分) 如图，在梯形 ABCD中， DC∥AB， AD＝BC，E 是 DC延长线上的点，连接 AE，交 BC于点 F. (1) 求证：△ ABF∽△ ECF； (2) 假如AD＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，求 CE的长． (1) 证明：∵ DC∥AB，∴∠ B＝∠ ECF，∠ BAF＝∠ E，∴△ ABF∽△ ECF(2) 解：∵ AD＝ BC，AD ＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，∴BF＝3 cm. ∵由 (1) 知，△ABF∽△ ECF，∴BACE＝BFCF，即 8CE＝32. ∴CE＝ 163(cm) 21．(8 分) 如图，四边形 ABCD是矩形，E是 BD上的一点，∠BAE＝∠B CE，∠AED＝∠ CED，点 G是 BC、AE延长线的交点，AG与 CD订交于点 F. (1)求证：四边形 ABCD是正方形； (2) 当 AE＝2EF时，判断 FG与 EF有何数目关系？并证明你的结论． (1) 证明：易证△ ABE≌△ CBE，∴AB＝B C，∴四边形 ABCD是正方形 (2) 解：当 AE＝2EF时， FG＝3EF.证明以下：∵四边形 ABCD是正方形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△ ABE∽△ FDE，△ ADE∽△ GBE. ∵AE＝ 2EF，∴ BE∶DE＝AE∶EF＝2.∴BG∶AD＝BE∶DE＝ 2，即 BG＝2AD. ∵ BC＝AD，∴ CG＝AD.易证△ADF∽△ GCF，∴ FG＝ AF，即 FG＝AF＝AE＋EF＝3EF22．(8 分)( 泰安中考 ) 如图，在四边形 ABCD中， AB＝AC＝AD，AC平分∠ BAD，点 P 是 AC延长线上一点，且 PD⊥AD. (1) 证明：∠ BDC＝∠PDC； (2) 若AC与 BD订交于点 E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求 AE 的长． (1) 证明：∵ AB＝AD，AC均分∠ BAD，∴ AC⊥BD，∴∠ ACD＋∠BDC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ ACD＝∠ADC，∴∠ ADC＋∠ BDC＝90°，∵PD⊥AD，∴∠ ADC＋∠ PDC＝90°，∴∠ BDC ＝∠ PDC (2) 解：过点 C作 CM⊥PD于点 M，∵∠ BDC＝∠ PDC，∴ CE＝ CM，∵∠ CMP＝∠ ADP＝90°，∠ P＝∠ P，∴△ CPM∽△ APD，∴ CMAD＝ PCPA，设 CM＝CE＝x，∵CE∶CP＝2∶3，∴PC＝ 32x，∵AB＝ AD＝ AC＝1，∴x1＝32x32x＋1，解得 x ＝13，故 AE＝1－13＝23 23 ．(9 分) 晚餐后，小聪和小军在社区广场闲步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思虑片晌，建议用广场照明灯下的影长及地砖长来丈量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线 NQ挪动，如图，当小聪正好站在广场的 A 点( 距 N点 5 块地砖长 ) 时，其影长 AD恰好为 1 块地砖长；当小军正好站在广场的 B 点( 距 N点 9 块地砖长 ) 时，其影长 BF恰好为 2 块地砖长．已知广场所面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成，小聪的身高 AC为米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你依据以上信息，求出小军身高BE 的长． ( 结果精确到 0.01 米) 解：由题意得：∠ CAD＝∠ MND＝90°，∠CDA＝∠ MDN，∴△ CAD∽△ MND，∴ CAMN＝ ADND，∴＝1×（5＋1）×0.8 ，∴MN＝9.6 ，又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△ EFB∽△ MFN，∴ EBMN＝ BFNF，∴＝2×0.8 （ 2＋9）× 0.8 ，∴EB≈1.75 ，∴小军身高约为 1.75 米24．(10 分) 如图 (1) 是一种广场三联闲步机，其侧面表示图如图 (2) 所示，此中 AB＝AC＝120 cm，BC＝80 cm，AD＝30 cm，∠ DAC＝90°. (1) 求点 A 到地面的距离； (2) 求点 D到地面的高度是多少？解：(1)过 A 作 AF⊥BC，垂足为 F，过点 D作 DH⊥AF，垂足为 H.∵AF⊥BC，垂足为 F，∴ BF＝FC＝12BC＝40 cm.依据勾股定理，得 AF＝AB2－BF2＝1202－402＝802(cm) (2) ∵∠ DHA＝∠ DAC＝∠ AFC＝90°，∴∠ DAH ＋∠ FAC＝90°，∠C＋∠ FAC＝90°，∴∠ DAH＝∠ C，∴△DAH∽△ ACF，∴AHFC＝ADAC，∴ AH40＝30120，∴ AH＝10 cm，∴ HF＝ (10 ＋802)cm.答： D到地面的高度为 (10 ＋802)cm25．(12 分) 从三角形 ( 不是等腰三角形 ) 一个极点引出一条射线与对边订交，极点与交点之间的线段把这个三角形切割成两个小三角形，假如分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的圆满切割线．(1) 如图 1，在△ABC中，CD为角均分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的圆满切割线； (2) 在△ ABC中，∠ A＝48°， CD是△ ABC的圆满分割线，且△ ACD为等腰三角形，求∠ ACB的度数． (3)如图 2，在△ ABC 中， AC＝2，BC＝ 2，CD是△ ABC的圆满切割线，且△ ACD是以CD 为底边的等腰三角形，求圆满切割线 CD的长．解：(1) 如图 1 中，∵∠ A＝40°，∠B＝60°，∴∠ ACB＝80°，∴△ ABC 不是等腰三角形，∵CD均分∠ ACB，∴∠ ACD＝∠ BCD＝12∠ACB＝40°，∴∠ ACD＝∠ A＝40°，∴△ ACD为等腰三角形，∵∠ DCB＝∠ A＝40°，∠CBD＝∠ ABC，∴△ BCD∽△ BAC，∴CD是△ ABC的圆满切割线 (2) ①当 AD＝CD时，如图 3，∠ACD＝∠ A＝48°，∵△ BDC∽△ BCA，∴∠ BCD＝∠ A＝48°，∴∠ ACB＝∠ ACD＋∠ BCD＝96° ②当 AD＝AC时，如图4 中，∠ACD＝∠ ADC＝180°－ 48°2＝66°，∵△ BDC∽△ BCA，∴∠BCD ＝∠ A＝48°，∴∠ ACB＝∠ ACD＋∠ BCD＝114°；③当 AC＝CD时，如图 5 中，∠ADC＝∠ A＝48°，∵△ BDC∽△ BCA，∴∠ BCD＝∠ A＝48°，∵∠ ADC＞∠ BCD，矛盾，舍弃．∴∠ ACB＝96°或 114° (3) 由已知AC＝AD＝2，∵△ BCD∽△ BAC，∴ BCBA＝ BDBC，设 BD＝x，∴( 2)2＝x(x ＋2) ，∵ x＞0，∴ x＝ 3－1，∵△ BCD∽△ BAC，∴ CDAC＝BDBC＝3－1 2，∴ CD＝ 3－1 2×2＝ 6－ 2。
2023年北师大版九年级上册数学第四章综合测试试卷及答案
( B)
A． 2
B．2
C．12
D．
3 3
-8-
第四章综合练习
8．在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标
分别为A(6，8)，B(10，2)，若以原点O为位似中心，
在第一象限内将线段AB缩短为原来的12后得到线段
CD，则点A的对应点C的坐标为( B )
A．(1，5)
B．(3，4)
C．(4，3)
D．(5，1)
OC于点G，则OGGC的值为
4 3
或
2 3
．
-15-
第四章综合练习
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．已知△ABC与△DEF相似，相似比为1∶3．若 它们面积的和为40 cm2，求这两个三角形的面积． 解：△ABC的面积为4 cm2，△DEF的面积为36 cm2．
-16-
第四章综合练习
-6-
第四章综合练习
6．如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的
边AB，AC上的中线，则SS△△DBCEFF＝( D )
A．25
B．12
C．13
D．14
-7-
第四章综合练习
7．已知△ABC的三边长分别为1， 3， 2，
△A'B'C'的两边长分别为 2， 6．
若△ABC∽△A'B'C'，则△A'B'C'的第三边长为
＝6，AC＝9，A1B1＝8，则线段B1C1的长为( C )
A．2
B．3
C．4
D．6
-3-
第四章综合练习
3．若点P是长度为10的线段上的黄金分割点，则
较短线段的长度为( B )
(北师大版)九年级数学上册：第四章检测题
第四章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．观察下列每组图形，相似图形是( D )2．(2015·玉林)△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C′的位似比是1∶2，已知△ABC 的面积是3，则△A′B′C′的面积是( D )A ．3B ．6C ．9D ．123．下列四组条件中，能判定△ABC 与△DEF 相似的是( C ) A ．∠A ＝45°，∠B ＝55°；∠D ＝45°，∠F ＝75°B ．AB ＝5，BC ＝4，∠A ＝45°；DE ＝5，EF ＝4，∠D ＝45° C ．AB ＝6，BC ＝5，∠B ＝40°；DE ＝12，EF ＝10，∠E ＝40° D ．AB ＝BC ，∠A ＝50°；DE ＝EF ，∠E ＝50° 4．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，若AB ＝8，则线段AC 的长为( A ) A ．4(5－1) B ．45－1 C ．12－4 5 D ．8－4 55．如图，BE ，CD 相交于O ，且∠1＝∠2，图中的相似三角形有( A ) A ．2组 B ．3组 C ．5组 D ．6组,第5题图) ,第6题图) ,第7题图) ,第9题图)6．小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O ，准星A ，目标B 在同一条直线上．如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A′，若OA ＝0.2米，OB ＝40米，AA′＝0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B 的长度BB′为( B )A ．3米B ．0.3米C ．0.03米D ．0.2米7．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，四边形DEFC 是内接正方形，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，则正方形的面积为( D )A.127 cm 2 B ．3 cm 2 C ．4 cm 2 D.14449 cm 2 8．下列四条线段成比例的是( C )A ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10B ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3C ．a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝2 3D ．a ＝12，b ＝8，c ＝15，d ＝119．如图，E(－4，2)，F(－1，－1)，以O 为位似中心，按比例尺1∶2把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标为( A )A ．(2，－1)或(－2，1)B ．(8，－4)或(－8，4)C ．(2，－1)D ．(8，－4)10．将边长分别为2，3，5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为( B )A.214B.154C.72D ．3,第10题图) ,第13题图),第14题图) ,第15题图) 二、填空题(每小题3分，共24分)11．如果x 2＝y 3＝z4≠0，那么x ＋2y ＋3z 3x ＋2y －2z的值是__5__．12．两个相似三角形的面积比为9∶25，其中一个三角形的周长为36，则另一个三角形的周长为__1085或60__.13．(2015·长沙)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的周长之比等于__12__．14．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E 点的坐标为__(2，2)__．15．(2015·邵阳)如图，▱ABCD 中，F 是BC 上一点，直线DF 与AB 的延长线相交于E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：__△APB ∽△ADE __．16．如图，D ，E 是AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，则图中三部分面积S 1∶S 2∶S 3＝__1∶3∶5__．,第16题图) ,第17题图),第18题图)17．(2015·长春)如图，在边长为3的菱形ABCD 中，点E 在边CD 上，点F 为BE 延长线与AD 延长线的交点，若DE ＝1，则DF 的长为__32__．18．如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是__(1，0)或(－5，－2)__．三、解答题(共66分) 19．(6分)一般在室外放映的电影胶片中图片的规格是3.5 cm ×3.5 cm ，放映的银屏规格为2 m ×2 m ．若放映机的光源距胶片20 cm ，问：银屏拉在距离光源多远的地方时，放映的图象刚好布满整个银屏？解：设银屏应拉在距离光源x m 远的地方时，放映的图象刚好布满整个银屏，由题意，得x 0.2＝20.035，∴x ＝807(m )20．(7分)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AD ，DC 上，△ABE ∽△DEF ，AB ＝6，AE ＝9，DE ＝2，求EF 的长．解：∵△ABE ∽△DEF ，∴AB ∶DE ＝AE ∶DF ，即6∶2＝9∶DF ，DF ＝3，∵矩形ABCD ，∴∠D ＝90°，在Rt △DEF 中，EF ＝13 21．(8分)图中的两个多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°.(1)求∠F 的度数；(2)如果多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1∶1.5，且CD ＝15 cm ，求C 1D 1的长度．解：(1)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似，又∠C 和∠C 1，∠D ＝∠D 1，∠E 和∠E 1是对应角，∴∠C ＝95°，∠D ＝135°，∠E ＝120°.由多边形内角和定理，知∠F ＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°(2)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1∶1.5，且CD ＝15 cm ，∴C 1D 1＝15×1.5＝22.5(cm )22．(8分)在平面直角坐标系内有两点A(－2，0)，B(12，0)，CB 所在的直线为y ＝2x ＋b ，连接AC ，求证：△AOC ∽△COB.证明：∵直线CB ：y ＝2x ＋b 过B (12，0)，∴b ＝－1，∴C (0，－1)，∴OA ＝2，OC ＝1，OB ＝12，∴OC ∶OB ＝OA ∶OC ＝2∶1，又 ∠AOC ＝∠COB ＝90°，∴△AOC ∽△COB23．(8分)(2015·汕尾)如图，在▱ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 的延长线于点F.(1)证明：FD ＝AB ；(2)当▱ABCD 的面积为8时，求△FED 的面积．解：(1)易证△ABE ≌△DFE ，则FD ＝AB(2)易知BE ＝EF ，S △FBC ＝S ▱ABCD ＝8，∵DE ∥BC ，∴△FDE ∽△FCB ，∴S △FDE S △FCB ＝(EF BF)2＝(12)2，S △FDE 8＝14，S △FDE ＝224．(8分)如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F.(1)△ABC 与△FCD 相似吗？请说明理由； (2)点F 是线段AD 的中点吗？为什么？解：(1)易知BE ＝CE ，∠B ＝∠FCD ，AD ＝AC ，∠ACB ＝∠FDC ，∴△ABC ∽△FCD(2)F 是AD 的中点，理由：由(1)得BC CD ＝ACDF＝2，∴AC ＝2DF ＝AD ，∴F 是AD 的中点25．(10分)如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC 上，连接BD 延长交CE 于点E.(1)求证：△ABD ∽△CED ；(2)若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．(1)证明：在正△ABC 中，∠ACB ＝∠A ＝60°，∴∠ACF ＝120°，∵CE 平分∠ACF ，∴∠ACE ＝12∠ACF ＝60°，∴∠A ＝∠ACE.又∵∠ADB ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△CED(2)解：∵△ABD ∽△CED ，AD ＝2CD ，∴AB CE ＝AD CD ＝2，∴CE ＝12AB ＝3.过E 作EG ⊥BF于G ，在Rt △CEG 中，∠ECG ＝60°，CE ＝3，∴CG ＝32，EG ＝323.在Rt △BEG 中，BG＝BC ＋CG ＝6＋32＝152，∴BE ＝BG 2＋EG 2＝（152）2＋（323）2＝63＝3726．(11分)如图①所示，在等边三角形ABC 中，线段AD 为其角平分线，过D 的直线B 1C 1⊥AC 于C 1，交AB 的延长线于B 1.(1)请你探究：AC AB ＝CD DB ，AC 1AB 1＝C 1DDB 1是否成立？(2)如图②所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝403，E 为AB 上一点，且AE ＝5，CE 交△ABC 的角平分线AD 于F ，试求DFFA的值．(1)成立，证明略．提示：易证AC AB ＝1＝CD DB ，AC 1AB 1＝12＝C 1DDB 1，故这两个等式都成立(2)如图③所示，连接ED.∵AD 为△ABC 的角平分线，∴CD DB ＝AC AB ＝8403＝35.而AE EB ＝5403－5＝35，∴CD DB ＝AE EB ，∴DE ∥AC ，∴△DEF ∽△ACF ，∴DF FA ＝EF FC ＝AE AC ＝58。
北师大版初中数学九上第四章综合测试1试题试卷含答案
第四单元测试一、选择题（共10题；共30分） 1.已知:3:2x y =，那么x x y+的值为（ ） A .25B .35C .52D .532.如图，已知AB CD EF ∥∥，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果:3:1AD DF =，10BE =，那么CE 等于（ ）A .103B .203C .52D .1533.下列图形中，一定相似的是（ ） A .两个正方形B .两个菱形C .两个直角三角形D .两个等腰三角形4.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边40 cm DE =，20 cm EF =，测得边DF离地面的高度 1.5 m AC =，8 m CD =，则树高AB 是（ ）A .4米B .4.5米C .5米D .5.5米5.已知FHB EAD △∽△，它们的周长分别为30和15，且6FH =，则EA 的长为（ ） A .3B .2C .4D .56.如图，DEF △是由ABC △经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，则DEF △与ABC △的面积比是（ ）A 1:2B .1:4C .1:5D .1:67.如图，DE ，NM 分别是ABC △，ADE △的中位线，NM 的延长线交BC 于点F ，则:DMN MFCE S S ∆四边形等于（ ）A .1:5B .1:4C .2:5D .2:78.如图，ABC △是等边三角形，被一矩形所截，AB 被截成三等分，EH BC ∥，则四边形EFGH 的面积是ABC △的面积的：（ ）A .19B .13C .49D .949.如图，ABC △和DEF △都是等腰直角三角形，90ACB EFD ∠=∠=︒，DEF △的顶点E 与ABC △的斜边AB 的中点重合．将DEF △绕点E 旋转，旋转过程中，线段AC 与线段EF 相交于点Q ，射线ED 与射线BC 相交于点P ，线段ED 与AC 交于点M ．若4AQ =，18PB =，则MQ 的长为（ ）A .B .5C .4D .10.如图，正方形ABCD 中，F 为AB 上一点，E 是BC 延长线上一点，且AF EC =，连接EF ，DE ，DF ，M 是FE 中点，连结MC ，设FE 与DC 相交于点N ．则4个结论：①DN DG =；②BFG EDG BDE △∽△∽△；③CM 垂直BD ；④若MC =2BF =；正确的结论有几个（ ）A .4B .3C .2D .1二、填空题（共6题；共24分）11.如图，AB ，CD 相交于O 点，AOC BOD △∽△，:=1:3OC CD ，2AC =，则BD 的长为________．12.如图，ABO △三个顶点的坐标分别为()2,4A ，()6,0B ，()0,0O ，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是()3,0，则点A '的坐标是________．13.已知234x y z==，则23x y z x y z+−=−+________． 14.如图，在ABCD 中，点E 是AD 边上一点，:1:2AE ED =，连接AC 、BE 交于点F ．若1AEF S =△，则CDEF S =四边形________．15.如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，点E 在边BC 上，把DEC △沿DE 翻折后，点C 落在C '处．若ABC '△恰为等腰三角形，则CE 的长为________．16.已知：如图，在ABC △中，点1A ，1B ，1C 分别是BC 、AC 、AB 的中点，2A ，2B ，2C 分别是11B C ，11A C ，11A B 的中点，依此类推….若ABC △的周长为1，则n n n A B C △的周长为________．三、解答题（共7题；共66分）17.为了测量路灯（OS ）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB ）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC ）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB '），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B C ''）为1.8米，求路灯离地面的高度．18.如图，在ABC △中，8AB =，4BC =，6CA =，CD AB ∥，BD 是ABC ∠的平分线，BD 交AC 于点E ，求AE 的长．19.如图，矩形DEFG 的一边DE 在ABC △的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，AH 是边BC 上的高，AH 与GF 相交于点K ，已知12BC =，6AH =，:1:2EF GF =，求矩形DEFG 的周长．20.如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE 、DAE ∠的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ，设()0CEEBλλ=＞． （1）若2AB =，1λ=，求线段CF 的长； （2）连接EG ，若EG AF ⊥， ①求证：点G 为CD 的中点； ②求λ的值．21.如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边上任意点，AF 平分EAD ∠，交CD 于点F ． （1）如图1，若点F 恰好为CD 中点，求证：2AE BE CE =+； （2）在（1）的条件下，求CEBC的值； （3）如图2，延长AF 交BC 的延长线于点G ，延长AE 交DC 的延长线于点H ，连接HG ，当CG DF =时，求证：HG AG ⊥．22.如图，在等边ABC △中，BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ． （1）求AFE ∠的度数；（2）求证：••AC DF BD BF =；（3）连接FC ，若CF AD ⊥时，求证：12BD DC =．23.如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点，将CDE △沿CE 折叠得到CEF △，点F 恰好落在边AB 上．（1）证明：AEF BCF △∽△．（2）若AB =1BC =，作线段CE 的中垂线，交AB 于点P ，交CD 于点Q ，连结PE ，PC ． ①求线段DQ 的长；②试判断PCE △的形状，并说明理由．第四章单元测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】解：∵:3:2x y = ∴32x y = ∴251133x y y x x +++=+= ∴35x x y =+ 故答案为：B ． 2.【答案】C【解析】解：∵AB CD EF ∥∥， ∴3AD BCDF CE==， ∴3BC CE =， ∵BC CE BE +=， ∴310CE CE +=， ∴52CE =． 故答案为：C ． 3.【答案】A【解析】A .两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意；B .两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意；C .两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意；D .两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意． 故答案为：A ． 4.【答案】D【解析】解：∵90DEF BCD ∠=∠−︒，D D ∠=∠ ∴DEF DCB △∽△ ∴BC DCEF DE= ∴40 cm 0.4 m DE ==，20 cm 0.2 m EF −=， 1.5 m AC =，8 m CD =∴80.20.4BC =，解得：4BC = ∴ 1.54 5.5AB AC BC =+=+=米 故答案为：5.5. 5.【答案】A【解析】解：∵FHB △和EAD △的周长分别为30和15， ∴FHB △和EAD △的周长比为2:1， ∵FHB EAD △∽△， ∴2FH EA =，即62EA=， 解得，3EA =， 故答案为：A 6.【答案】B【解析】由题意可知DEF △与ABC △的位似比为1:2， ∴其面积比是1:4，故答案为：B 7.【答案】B【解析】∵DE ，NM 分别是ABC △，ADE △的中位线， ∴:1:2DE BC =，:1:2MN AE =，DE BC ∥，MN AE ∥， 点A 到DE 的距离等于点E 到BC 的距离且设距离为h ， ∴DMN DEA △∽△，四边形EMFC 是平行四边形，:1:4DMN DEA S S =△△，12CF ME DE ==， ∵ADE △的面积12DE h =⨯⨯，四边形EMFC 的面积12ME h DE h =⨯=⨯， ∴ADE △的面积=四边形EMFC 的面积 ∴:1:4DMNMFCE SS =四边形故答案为：B 8.【答案】B【解析】∵在矩形中FG EH ∥，且EH BC ∥， ∴FG EH BC ∥∥，∴AEH AFG ABC △∽△∽△， ∵AB 被截成三等分， ∴13AE AB =，23AF AB =， ∴:1:9AEH ABC S S =△△，:4:9AFG ABC S S =△△， ∴19AEH ABC S S =△△，AFG ABC S S =△△，∴411993AFG AEH ABC ABC ABC EFGH S S S S S S =−=−=△△△△△四边形 故答案为：B ． 9.【答案】B 【解析】解：如图，∵E 与ABC △的斜边AB 的中点， ∴AE BE =，∵ABC △和DEF △都是等腰直角三角形， ∴AC BC =，45A B DEF ∠=∠=∠=︒， ∵AEP B BPE DEF AEQ ∠=∠+∠=∠+∠， ∴BPE AEQ ∠=∠， ∴BPE AEQ △∽△，∴BP BEAE AQ=，∴AE == ∴12AC BC ==， 过E 作EH BC ⊥于点H ， ∴EH AC ∥，∴6BH HC CP ===， ∴3MC =，∴12435MQ AC AQ MC =−−=−−=故答案为：B 10.【答案】B【解析】在正方形ABCD 中，AD CD =， 在ADF △和CDE △中，90AD AD A DCE AF EC =⎧⎪==︒⎨⎪=⎩∠∠， ∴ADF CDE △≌△（SAS ）， ∴ADF CDE ∠=∠，DE DF =，∴90EDF FDC CDE FDC ADF ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， ∴45DEF ∠=︒，∵45DGN FDG ∠=︒+∠，45DNG CDE ∠=︒+∠，FDG CDE ∠≠∠， 而FDG ∠与CDE ∠不一定相等，∴DGN ∠与DNG ∠不一定相等，故判断出①不符合题意； ∵DEF △是等腰直角三角形，∵45ABD DEF ∠=∠=︒，BGF EGD ∠=∠（对顶角相等）， ∴BFG EDG △∽△，∵45DBE DEF ∠=∠=︒，BDE EDG ∠=∠， ∴EDG BDE △∽△， 如图，连接BM 、DM ．∵AFD CED △≌△，∴FDA EDC ∠=∠，DF DE =， ∴90FDE ADC ∠=∠=︒， ∵M 是EF 的中点，∴12MD EF = ∵12BM EF =∴MD MB =，在DCM △与BCM △中，DM MB BC CD CM CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴DCM BCM △≌△（SSS ）， ∴BCM DCM ∠=∠，∴CM 在正方形ABCD 的角平分线AC 上， ∴MC 垂直平分BD ；故③符合题意； 过点M 作MH BC ⊥于H ，则45MCH ∠=︒，∵MC =∴12MH ==， ∵M 是EF 的中点，BF BC ⊥，MH BC ⊥， ∴MH 是BEF △的中位线，∴22BF MH ==，故④符合题意；综上所述，正确的结论有②③④．故答案为：B ．二、11.【答案】4【解析】∵AOC BOD △∽△， ∴AC OC BD OD=． ∵:1:3OC CD =， ∴12AC OC BD OD ==． ∵2AC =，∴4BD =．故答案为：4．12.【答案】()12,【解析】∵点A 的坐标为()2,4，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，∴点A '的坐标是112,422⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，即()12,． 13.【答案】37【解析】设=234x y z k ==，即2x k =，3y k =，4z k =， 则243433363477x y z k k k k x y z k k k k +−+−===−+−+， 故答案为：37． 14.【答案】11【解析】解：∵:1:2AE ED =，∴:1:3AE AD =，∵AD BC =，∴:1:3AE BC =，∵AD BC ∥，∴AFE CFB △∽△， ∴13EF AE BF CB ==， ∴219AEF CFB S AE S CB ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△， ∴9BCF S =△， ∵13AEF AFB S EF S BF ==△△， ∴3AFB S =△，∴12ACD ABC BCF AFB S S S S ==+=△△△，∴12111ACD AEF CDEF S S S =−=−=△△四边形故答案为：11.15.【答案】2【解析】解：分两种情况解答：（1）如图1，当C A C B '='时，作C H AD '⊥于H ，交BC 于F图1 利用等腰三角形和矩形的轴对称性可知：易知112HC FC AB '='== 由折叠可知：C D CD '=，90DC E C ∠'=∠=︒在Rt DHC '△中，利用勾股定理得：DH =∴CF DH ==∵90DHC CFE DC E ∠'=∠=∠'=︒∴90HDC HC D FC E HC D ∠'+∠'=∠'+∠'=︒∴HDC FEC ∠'=∠'∴DHC C FE ''△∽△ ∴DH HC C F EF '='1EF=∴EF =∴33CE −=； （2）如图2，当2AB AC ='=时，点C '在AD 上，此时四边形C ECD '是正方形，图2∴2CE =综上所述,满足条件的CE 的值为216.【答案】12n【解析】∵1A 、1B 、1C 分别是ABC △的边BC 、CA 、AB 的中点，∴11A B 、11A C 、11B C 是ABC △的中位线，∴111A B C ABC △∽△，且相似比为12， ∵2A 、2B 、2C 分别是111A B C △的边11B C 、11C A 、11A B 的中点，∴222111A B C A B C △∽△且相似比为12n ， ∴222A B C ABC △∽△的相似比为14， 依此类推n n n A B C ABC △∽△的相似比为12n ， ∵ABC △的周长为1，∴n n n A B C △的周长为12n 故答案为：12n 三、17.【答案】解：∵AB OC ⊥'，OS OC ⊥'，∴SO AB ∥，∴ABC SOC △∽△， ∴BC AB BC OB OS =+，即1 1.51+OB λ=，解得213OB h =−①， 同理，∵A B OC ''⊥'，∴A B C SOC ''''△∽△， ∴B C A B B C BB OB OS ''''='''++， 1.8 1.51.84OB λ=++②， 把①代入②得，1.8 1.525.813λλ=+−， 解得：9h =（米）.答：路灯离地面的高度是9米.18.【答案】解：∵BD 为ABC ∠的平分线，∴ABD CBD ∠=∠，∵AB CD ∥，∴D ABD ∠=∠，∴D CBD ∠=∠，∴BC CD =，∵4BC =，∴4CD =，∵AB CD ∥，∴ABE CDE △∽△， ∴AB AE CD CE=， ∴84AE CE =， ∴2AE CE =，∵6AC AE CE ==+，∴4AE =19.【答案】解：如图，设EF x =，则2GF x =．∵GF BC ∥，AH BC ⊥，∴AK GF ⊥．∵GF BC ∥，∴AGF ABC △∽△， ∴AK GF AH BC=． ∵6AH =，12BC =， ∴62612x x −=．解得3x =． ∴矩形DEFG 的周长为18．20.【答案】（1）解：四边形ABCD 是正方形，∴AD BC ∥∴DAF F ∠=∠，又AG 平分DAE ∠∴DAF EAF ∠=∠∴EAF F ∠=∠，∴EA EF =又∵1λ=，2AB BC ==，∴1BE EC ==，在Rt ABE △中，由勾股定理得，EA =∴1CF EF EC =−=（2）解：①∵EA EF =，EG AF ⊥∴AG GF =又∵AGD FGC ∠=∠，DAG F ∠=∠∴DAG CFG △≌△∴DG CG =，∴点G 是CD 的中点。
北师大版九年级上册数学第四章测试题(附答案)
北师大版九年级上册数学第四章测试题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交DB于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A. 1：3B. 3：4C. 1：9D. 9：162.如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（）A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°3.在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，且AD∶DB=1∶2，则下列结论正确的是( )A. DE：BC=1：2B. DE：BC=1：3C. △ADE的周长：△ABC的周长=1：2D. S△ADE：S△ABC=1：34.已知a：b=3：2，则a：（a﹣b）=（）A. 1：3B. 3：1C. 3：5D. 5：35.下列各组中的四条线段成比例的是（）.A. 1cm，2cm，20cm，40cmB. 1cm，2cm，3cm，4cmC. 4cm，2cm，1cm，3cmD. 5cm，10cm，15cm，20cm6.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD ＝12米，那么该古城墙的高度是( )A. 6米B. 8米C. 18米D. 24米7.“相似的图形”是（）A. 形状相同的图形B. 大小不相同的图形C. 能够重合的图形D. 大小相同的图形8.同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为（）A. 2.4米B. 9.6米C. 2米D. 1.6米9.如图，在平面直角坐标系中有一个四边形ABCD，现将四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A1B1C1D1，则四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为（）A. 2：1B. 3：1C. 4：1D. 5：110.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且，则： ( )A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：911.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ．其中正确的结论有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个12.在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO 缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）A. （﹣2，1）B. （﹣8，4）C. （﹣8，4）或（8，﹣4）D. （﹣2，1）或（2，﹣1）二、填空题（共6题；共12分）13.如图在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，已知AD=2，DB=4，AC=4.5，则EC=________．14.如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF=1。
北师大版九年级数学上册第四章检测题【含答案】
北师大版九年级数学上册第四章检测题时间：120分钟 满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列四条线段成比例的是CA ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10B ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3C ．a ＝2.5，b ＝5，c ＝15，d ＝2 3D ．a ＝12，b ＝8，c ＝15，d ＝112．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB ＝12，则下列结论中正确的是C A .AEAC ＝12 B .DE BC ＝12 C .△ADE 的周长△ABC 的周长＝13 D .△ADE 的面积△ABC 的面积＝13 ,第2题图) ,第3题图) ,第5题图) ,第7题图)3．如图，A ，B ，C ，D ，E ，G ，H ，M ，N 都是方格纸中的格点(即小正方形的顶点)，要使△DEF 与△ABC 相似(其中AB 与DE 是一组对应边)，则点F 应是G ，H ，M ，N 四点中的CA ．H 或NB ．G 或HC ．M 或ND ．G 或M4．点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC>BC.下列说法中正确的有C①AC ＝5－12AB ；②AC ＝3－52AB ；③AB ∶AC ＝AC ∶BC ；④AC ≈0.618AB. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．(2018·哈尔滨)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点G 在线段AD 上，GE ∥BD ，且交AB 于点E ，GF ∥AC ，且交CD 于点F ，则下列结论一定正确的是DA .AB AE ＝AG AD B .DF CF ＝DG ADC .FG AC ＝EG BD D .AE BE ＝CF DF6．(2018·潍坊)在平面直角坐标系中，点P(m ，n)是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点P 的对应点的坐标为BA ．(2m ，2n)B ．(2m ，2n)或(－2m ，－2n)C ．(12m ，12n)D ．(12m ，12n)或(－12m ，－12n) 7．(2018·泸州)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于G ，若AE ＝3ED ，DF ＝CF ，则AG GF的值是C A .43 B .54 C .65 D .768．如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在边BC ，AD 上，且AD 为∠BAC 的平分线．若∠ABE ＝∠C ，AE ∶ED ＝2∶1，则△BDE 与△ABC 的面积比为DA ．1∶6B ．1∶9C ．2∶13D ．2∶15,第8题图) ,第9题图),第10题图)9．如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 是以AC 的中点O ′为中心的位似图形．已知AC ＝32，若点A ′的坐标为(1，2)，则正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是BA .16B .13C .12D .2310．(2018·达州)如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE ＝CF ＝14AC.连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则S △ADG S △BGH 的值为C A .12 B .23 C .34D ．1 二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知：a b ＝43，则a －2b a ＋2b 的值是－15. 12．在△ABC 中，AB ＝12 cm ，BC ＝18 cm ，AC ＝24 cm ，另一个与它相似的△A ′B ′C ′的周长为18 cm ，则△A ′B ′C ′各边长分别为4 cm ，6 cm ，8 cm .13．(2018·邵阳)如图所示，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接AE ，交CD 于点F ，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：△ADF ∽△ECF. ,第13题图) ,第14题图),第15题图)14．如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，D(3，0)，△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心．若AB ＝1.5，则DE ＝4.5.15．(2018·北京)如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC于点F ，若AB ＝4，AD ＝3，则CF 的长为103. 16．如图，阳光通过窗口AB 照到室内，在地面上留下一个亮区ED ，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE ＝2.7 m ，窗高AB ＝0.8 m ，窗口底边离地面的高度BC ＝1 m ，则亮区宽度ED ＝1.2m .,第16题图) ,第17题图),第18题图)17．直线l 1∥l 2∥l 3，且l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为2，把∠ACB ＝30°的直角三角板如图放置，顶点A ，B ，C 恰好落在三条直线上，则线段AB 的长为7.18．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝3.点拨：如图作PQ ⊥AB 于Q ，PR ⊥BC 于R ，∵∠PQB ＝∠QBR ＝∠BRP ＝90°，∴四边形PQBR 是矩形，∴∠QPR ＝90°＝∠MPN ，∴∠QPE ＝∠RPF ，∴△QPE ∽△RPF ，∴PQ PR ＝PE PF＝2，∴PQ ＝2PR ＝2BQ ，∵PQ ∥BC ，∴AQ ∶QP ∶AP ＝AB ∶BC ∶AC ＝3∶4∶5，设PQ ＝4x ，则AQ ＝3x ，AP ＝5x ，BQ ＝2x ，∴2x ＋3x ＝3，∴x ＝35，∴AP ＝5x ＝3 三、解答题(共66分)19．(10分)如图，已知点D ，E 分别在△ABC 的边BA ，CA 的延长线上，且AE ＝3，AC ＝6，AD ＝2，AB ＝4.(1)求证：DE ∥BC ；(2)若BC ＝5，求ED 的长．解：(1)∵AE ＝3，AC ＝6，AD ＝2，AB ＝4，∴AD AB ＝12，AE AC ＝12，∴AD AB ＝AE AC，∴DE ∥BC (2)∵DE ∥BC ，∴△EAD ∽△CAB ，∴ED BC ＝AE AC ，∵BC ＝5，∴ED 5＝12，∴ED ＝2.520．(10分)(2018·杭州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，DE ⊥AB 于点E.(1)求证：△BDE ∽△CAD.(2)若AB ＝13，BC ＝10，求线段DE 的长．解：(1)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∠B ＝∠C ，∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠ADC ，∴△BDE ∽△CAD(2)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，在Rt △ADB 中，AD ＝AB 2－BD 2＝12，∵12AD ·BD ＝12AB ·DE ，∴DE ＝601321．(10分)(2018·安徽)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O ，A ，B 均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O 为位似中心，将线段AB 放大为原来的2倍，得到线段A 1B 1(点A ，B 的对应点分别为A 1，B 1)，画出线段A 1B 1；(2)将线段A 1B 1绕点B 1逆时针旋转90°得到线段A 2B 1，画出线段A 2B 1；(3)以A ，A 1，B 1，A 2为顶点的四边形AA 1B 1A 2的面积是20个平方单位．解：(1)如图所示，线段A 1B 1即为所求(2)如图所示，线段A 2B 1即为所求(3)由图可得，四边形AA 1B 1A 2为正方形，∴四边形AA 1B 1A 2的面积是(22＋42)2＝(20)2＝2022．(10分)如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上的任一点，连接AM 并将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°得到线段MN ，在CD 边上取点P ，使CP ＝BM ，连接NP ，BP .(1)求证：四边形BMNP 是平行四边形；(2)线段MN 与CD 交于点Q ，连接AQ ，若△MCQ ∽△AMQ ，则BM 与MC 存在怎样的数量关系？请说明理由．解：(1)在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，在△ABM 和△BCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，BM ＝CP ，∴△ABM ≌△BCP(SAS )，∴AM ＝BP ，∠BAM ＝∠CBP ，∵∠BAM ＋∠AMB ＝90°，∴∠CBP ＋∠AMB ＝90°，∴AM ⊥BP ，∵线段AM 绕点M 顺时针旋转90°得到线段MN ，∴AM ⊥MN ，且AM ＝MN ，∴MN ∥BP ，MN ＝BP ，∴四边形BMNP 是平行四边形(2)BM ＝MC ，理由如下：∵∠BAM ＋∠AMB ＝90°，∠AMB ＋∠CMQ ＝90°，∴∠BAM ＝∠CMQ ，又∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△ABM ∽△MCQ ，∴AB MC ＝AM MQ，∵△MCQ ∽△AMQ ，∴△AMQ ∽△ABM ，∴AB BM ＝AM MQ ，∴AB MC ＝AB BM，∴BM ＝MC 23．(12分)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D 的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE 正好相等；接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB ＝1.25 m ，已知李明直立时的身高为1.75 m ，求路灯的高CD 的长．解：设CD 长为x 米，∵AM ⊥EC ，CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，EA ＝MA ，∴MA ∥CD ∥BN ，∴EC ＝CD ＝x 米，∴△ABN ∽△ACD ，∴BN CD ＝AB AC ，即1.75x ＝ 1.25x －1.75，解得x ＝6.125.经检验，x ＝6.125是原方程的解，∴路灯高CD 为6.125米24．(14分)如图①所示，在△ABC 中，点O 是AC 上一点，过点O 的直线与AB ，BC 的延长线分别相交于点M ，N.【问题引入】(1)若点O 是AC 的中点，AM BM ＝13，求CN BN的值； (温馨提示：过点A 作MN 的平行线交BN 的延长线于点G.)【探索研究】(2)若点O 是AC 上任意一点(不与A ，C 重合)，求证：AM MB ·BN NC ·CO OA＝1； 【拓展应用】(3)如图②所示，点P 是△ABC 内任意一点，射线AP ，BP ，CP 分别交BC ，AC ，AB于点D ，E ，F ，若AF BF ＝13，BD CD ＝12，求AE CE的值．解：(1)过点A 作AG ∥MN 交BN 延长线于点G ，∴NG BN ＝AM MB，同理，在△ACG 和△OCN 中，NG CN ＝AO CO ，∴CO AO ＝CN NG ，∵O 为AC 中点，∴AO ＝CO ，∴NG ＝CN ，∴CN BN ＝NG BN ＝AM BM ＝13(2)由(1)知，NG BN ＝AM MB ，CO AO ＝CN NG ，∴AM MB ·BN NC ·CO OA ＝NG BN ·BN NC ·CN NG＝1 (3)在△ABD 中，点P 是AD 上的一点，过点P 的直线与AC ，BD 的延长线相交于点C ，由(2)得AF BF ·BC CD ·DP PA＝1，在△ACD 中，点P 是AD 上一点 ，过点P 的直线与AC ，AD 的延长线分别相交于点E ，B ，由(2)得AE EC ·CB BD ·DP PA ＝1，∴AF BF ·BC CD ·DP PA ＝AE EC ·CB BD ·DP PA ，∴AE EC ＝AF BF ·BC CD ·BD CB＝AF FB ·BD CD ＝13×12＝16。
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九年级上学期数学第四章测试
一、选择题（每小题2分，共20分）
1、将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形（ ）
A 、可能是锐角三角形
B 、不可能是直角三角形
C 、仍然是直角三角形
D 、可能是钝角三角形
2、下列各组线段中，是成比例线段的是（ ）
A 、4，5，6，8
B 、2，5，6，8
C 、3，6，9，18
D 、1，2，3，4
3、两个相似多边形的面积比为1：16，周长之差为9，则较小多边形的周长为（ ）
A 、3
B 、12
C 、35
D 、125
4、如图，AB ∥CD ，BO ：OC=1：4，点E 、F 分别是OC 、OD 的中点，则EF ：AB 的值是（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
5、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AE=4，CE=2，则AD ：DB 的值为（ ）
A 、12
B 、32
C 、23
D 、2
6、如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 且将这个四边形分为四个三角形，，若OA ：OC=OB ：OD ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A 、①和②相似
B 、①和③相似
C 、①和④相似
D 、②和④相似
7、已知△ABC 的三边长分别为6cm ，7.5cm ，9cm ，
△DEF 的一边长为4cm ，当△DEF 的另外两边长为
下列哪一组时，这两个三角形相似？（ ）
A 、2cm ，3cm
B 、4cm ，5cm
C 、5cm ，6cm
D 、6cm ，7cm
8、如图，△ABC 与△A ’B ’C ’是位似图形，点O
是位似中心，若OA=2AA ’，S △ABC =8，则S △A ’B ’C ’=
（ ）
A 、9
B 、16
C 、18
D 、24
第5题图 第6题图 第4题图 第8题图
9、如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，M 为EF 的中点，则A M 的最小值为（ ）
A 、1
B 、1.2
C 、1.3
D 、1.5
10、如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点连接AE 并延长交CD 于点F ，则DF ：FC=（ ）
A 、1：4
B 、1：3
C 、2：3
D 、1：2
二、填空题（每题3分，共18分）
11、在比例尺为1:5 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离为
15cm ，则两地实际距离为 km 。
12、如图，在△ABC 中，点P 是AB 边上的一点，连接CP ，要使△
ACP ∽△ABC ，还需要补充的一个条件是 。
13、在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，以点A 为位似中心，把△ABC
放大2倍后得到△A ’B ’C ’，则∠B= 。
14、如图，铁路道口栏的短臂长1m ，长臂长16m ，当短臂端点下降时长臂的端点随之升高，则这是一个 杠杆，当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高 。
15、小亮同学想利用影长来测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻测得1m 长的竹竿影长为1.2m ，此时旗杆的影子一部分在地面上，一部分在教学楼上，两段影子的长度分别为9.6m 和2m ，则旗杆长为 。
16、如图，平行四边形ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 相交于点F ，CD=2DE ，若△DEF 的面积为1，则平行四边形ABCD 的面积为 。
三、计算题（共62分）
17、已知：如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，求证AC 2=AD ·AB 。
（5分）
第9题图 第10题图
第12题图 第14题图 第15题图 第16题图
18、在如图所示的方格纸中△OAB的顶点坐标分别为O（0,0），A（-2，-1），B （-1，-3），△O1A1B1是以点P为位似中心的位似图形。
（7分）
（1）在图中标出位似中心点P的
位置，并写出点P及点B1的坐标。
（2%）
（2）以原点O为位似中心，在位
似中心的同侧画出△OAB的一个位
似△OA2B2使它与△OAB的位似
比为2:1，并写出点B的对应点的
坐标。
（4%）
（3）△OAB的内部一点M的坐标
为（a，b），写出M在△OA2B2
中的对应点M2的坐标。
（1%）
19、已知：如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点D，作DE∥CB，
交AB与点E，AD
CD=
1
3，DE=6。
（6分）
（1）求AB的长。
（3%）
（2）求S
△ADE ：S
△BCD。
（3%）
20、如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，ED和AC相交于点F，过点F，作FG∥AB，交AD于点G。
（8分）
（1）求证：AF=3FG。
（4%）
（1）若AB：AC= 2 ： 3 ，求证：DF2=DG·DA。
（4%）
21、已知：如图，在△ABC中，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在AC边上的点D处，点F在线段AE的延长线上，如果∠FCA=∠B=2∠ACB，AB=5，AC=9。
（8分）
（1）求BE
CF的值。
（4%）
（2）求CE的值。
（4%）
22、如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E 在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1=∠B，设BE的长为x（0＜x＜8）（9分）
（1）求证：△DCE∽△ABD。
（3%）
（2）用含x的代数式表示CE的长；当CE=2时，求x的值。
（3%）
（3）当x为何值时，△ADE为等腰三角形？（3%）
23、如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点。
（9分）（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由。
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点。
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处。
若点恰好是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系。