新泸教版数学八年级上册小专题(九) 巧用角平分线的性质解题
沪科版数学八年级上册《角平分线及其画法》教学设计
沪科版数学八年级上册《角平分线及其画法》教学设计一. 教材分析《角平分线及其画法》是沪科版数学八年级上册第三章“几何变换”中的一个知识点。
本节课主要介绍了角平分线的定义、性质及画法。
教材通过生活中的实例引入角平分线的概念，接着引导学生探究角平分线的性质，最后学习角平分线的画法。
本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了七年级的数学知识，对图形的变换和性质有一定的了解。
他们在学习过程中善于观察、思考，并能运用已有的知识解决实际问题。
但是，对于角平分线的概念和性质，学生可能初次接触，需要通过实例和活动加深理解。
此外，学生在画角平分线方面可能存在一定的困难，需要教师进行有针对性的指导。
三. 教学目标1.理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质。
2.学会用尺规作图法画一个角的平分线。
3.能够运用角平分线的性质解决实际问题。
四. 教学重难点1.角平分线的定义和性质。
2.尺规作图法画角平分线。
五. 教学方法1.情境导入：通过生活中的实例引入角平分线的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：引导学生观察、思考，发现角平分线的性质。
3.合作交流：分组讨论，让学生在合作中解决问题，培养团队精神。
4.示范讲解：教师用尺规作图法演示画角平分线的过程，引导学生动手操作。
5.练习巩固：设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固知识。
6.拓展延伸：引导学生运用角平分线的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备多媒体教学课件，包括角平分线的定义、性质和画法的讲解。
2.准备尺规作图的工具，如直尺、圆规等。
3.准备练习题及答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如剪刀的剪切角，引入角平分线的概念。
引导学生观察、思考，提出问题：“什么是角平分线？”2.呈现（10分钟）呈现角平分线的性质，引导学生自主探究，发现角平分线的性质。
教师讲解并演示角平分线的画法，让学生初步了解尺规作图法。
数学沪科版八年级(上册)15.4.1角平分线的尺规作图与性质
求证：PD=PE.
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
O
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
∴PD=PE.
A
D C
P
E
B
新知探究
性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. A
点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过
程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个
过程呢？
O
B (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
新知探究
Байду номын сангаас尺规作图
作法：
1.以_点__O_为圆心，__任__意__长为半径画圆
弧，与角的两边分别交于M、N两点；
2.分别以点 _M_、__N_ 为圆心， _大__于__1_2_M__N_的长为半径画弧，
A
其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等.
D
B
(E) C
新知探究
尺规作角平分线 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该
仪器的功能吗？
做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明
作图方法与仪器的关系.
A
提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶
A
M C
B
N
O
课堂小测 3.请在图中作出线段AD,使其平分∠BAC且长度等于m．
B
m
A
C
课堂小测
解：
A
N D
沪科版八年级上册15.角的平分线的性质课件
1
∴S
1
△
பைடு நூலகம்
ABC
＝
S
△
1
ABD+S
△
BCD
＝
2
AB•DE+
2 BC•DF ＝
1
2
DE•(AB+BC)＝ 28，
即 2 DE×(6+8)＝ 28， ∴ DE ＝ 4．
角的平分线的性质
1.角的平分线图形结构中的“两种数量关系”： 如图，OC 平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，DE交OC于点F.
角的平分线的性质
3. 过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分线问题最 常用的作辅助线的方法．
作业提升
请完成教材课后习题
1
1
2.“以大于2 MN 的长为半径画弧”是因为若以小于 2 MN
的长为半径，则画出的两弧不能相交；
感悟新知
(3)画射线OC. 射线OC 即为所求(如图15.4-1).
3.“画射线OC”不能叙述为“ 连接OC”， 因为角平分线是射线而不是线段； 4. 根据作图可知△ OMC ≌ △ ONC，(SSS) 所以OC 平 分∠ AOB.
感悟新知
(2)解：AF+BE ＝ AE．理由如下： 由(1)可知DC ＝ DE，又∵ AD=AD， ∴ Rt △ DCA ≌ Rt △ DEA，(HL) ∴ AC ＝ AE， ∴ AF+FC ＝ AE，即AF+BE ＝ AE．
感悟新知
例4 [模拟·济南章丘区]如图15.4-6，BD 平分∠ ABC 交 AC 于点D，DE ⊥ AB 于E，DF ⊥ BC 于F，AB ＝ 6，BC ＝ 8，若S △ ABC ＝ 28，求DE 的长．
沪教版数学八年级上册19.2《角平分线》教学设计
沪教版数学八年级上册19.2《角平分线》教学设计一. 教材分析《角平分线》是沪教版数学八年级上册第19.2节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握角平分线的性质，并能运用角平分线解决一些几何问题。
教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、线段的概念以及一些基本的几何性质。
他们对这些基础知识有一定的了解，但可能对角平分线的性质和应用还不够清楚。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、操作、思考等方式，发现和总结角平分线的性质，提高他们的几何思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握角平分线的性质，并能运用角平分线解决一些几何问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考等方式，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.角平分线的性质2.运用角平分线解决几何问题五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.探究教学法：引导学生通过观察、操作、思考等方式，发现和总结角平分线的性质。
3.案例教学法：通过分析具体案例，让学生学会运用角平分线解决几何问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线的性质和应用的课件，以便于引导学生直观地观察和理解。
2.教学素材：准备一些角平分线的实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.学具：为学生准备一些几何图形，如直角三角形、等腰三角形等，以便于他们动手操作和观察。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的角平分线的实例，如剪刀、扇子等，引导学生对角平分线产生兴趣，并提出问题：“什么是角平分线？它有什么特点？”2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，向学生介绍角平分线的定义和性质。
同时，让学生观察和操作手中的几何图形，引导他们发现和总结角平分线的性质。
沪科版八上数学 第2课时 角平分线的性质及判定
角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分
别为 E，F. 求证：EB = FC. 证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，
A
DE⊥AB， DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF，
BD = CD，
E
F
B
D
∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14.
(1) 则点 P 到 AB 的距离为__4___； (2) 求 △APB 的面积.
B D
解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4，
P
故
S△APB
1 2
AB
·PD
=
28.
A
C
温馨提示：存在一条垂线段 — — 构造应用
知识与方法
1. 应用角平分线的性质：
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
A
试说明：PD = PE.
D C
解：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
P
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
O
在 △PDO 和 △PEO 中，
E
B
∠PDO = ∠PEO， ∠POD = ∠POE，
∴ △PDO≌△PEO(AAS).
OP = OP，
∴ PD = PE.
B
∴△AED 的周长为AE + ED + DA＝2 + 6＝8. 8
C
5. 如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线 的交点，PE⊥AB 于 E，且 PE = 3. 求 AD 与 BC 间的距离. 解：过点 P 作 MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 间的距离. ∵ AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB， ∴ PM = PE. 同理，PN = PE. ∴ PM = PN = PE =3. ∴ MN = 6， 即 AD 与 BC 之间的距离为 6.
沪教版初二上册角的平分线(基础)知识讲解
沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习角的平分线（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的逆定理角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、轨迹把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，定长为半径的圆.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD 于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【答案与解析】证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．2、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90 , AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6, 则△DEB的周长为( )A. 4B. 6C.10D. 以上都不对【答案】B；【解析】由角平分线的性质，DC＝DE，△DEB的周长＝BD ＋DE＋BE ＝BD＋DC＋BE＝AC＋BE ＝AE＋BE＝AB＝6.【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2 B． C．2：3 D.【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵，则△ABD与△ACD的面积之比为．3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【答案与解析】：解：DF=EF．理由如下：∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，∴PD=PE，由HL定理易证△OPD≌△OPE，∴∠OPD=∠OPE，∴∠DPF=∠EPF．在△DPF与△EPF中，，∴△DPF≌△EPF，∴DF=EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定【高清课堂：角平分线的性质，例3】4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.【答案与解析】证明：∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）∴∠CDF＝∠BEF＝90°∵∠DFC＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF＝CF(已知)∴△DFC≌△EFB(AAS)∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为∠BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】（2016秋•丰城市校级期中）如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上．【答案】证明：作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，如图，在△MOE和△NOD中，OM=ON，∠MOE为公共角，OE=OD，∴△MOE≌△NOD（SAS）．∴S△MOE=S△NOD．∴S△MOE﹣S四边形ODCE=S△NOD﹣S四边形ODCE，∴S△MDC=S△NEC，∵OM=ON，OD=OE，∴MD=NE，由三角形面积公式得：DM×CG=×EN×CF，∴CG=CF，又∵CG⊥OA，CF⊥OB，∴点C在∠AOB的平分线上．类型三、点的轨迹5、过已知点A且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是________.【答案】以A为圆心，半径为的圆．【解析】求圆心的轨迹实际上是求距A点三厘米能画一个什么图形．【总结升华】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．。
沪科版数学八年级上册教案-角平分线的尺规作图、 角平分线的性质及判定
15.4角的平分线第1课时角平分线的尺规作图教学目标【知识与能力】1. 掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性。
2. 掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法。
【过程与方法】1. 培养学生用直尺和圆规作图的能力及有条理地语言表达能力。
2. 培养学生分析问题和解决问题的能力。
【情感态度价值观】在探究作已知角的平分线的方法及作垂线的方法中，培养学生的几何直觉；培养学生探究问题的兴趣，增强探究问题的信心；体验数学活动的探索性和创造性。
教学重难点【教学重点】角平分线及垂线的尺规作法。
【教学难点】角平分线的尺规作法的正确性的证明。
课前准备课件、教具等。
教学过程一、情境导入温故知新什么是角平分线？问题：怎样作∠AOB的平分线呢？①折纸法；②度量法．如果用尺规作图，该怎么做呢？二、合作探究探究点一：角平分线的尺规作图例1 请在图中作出线段AD，使其平分∠BAC且长度等于m.要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论．已知：求作：解析：首先以A为圆心，任意长为半径作弧，交射线AB、AC于E、F，然后以E、F为圆心，大于1EF长为半径作弧，交于点M，那么AM就是∠BAC的角平分线，只需在射线AM2上截取AD＝m即可．解：已知：线段m，∠BAC；求作：线段AD，使得∠BAD＝∠CAD，AD＝m.如图所示．方法总结：此题主要考查的是角平分线的作法，难度不大．作一个角的平分线是基本的作图．尺规作图时，应该遵循作图必需的正确步骤．探究点二：过一点作已知直线的垂线例2 如图，分别过点P作线段MN的垂线．解析：利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法分别作各条线段所在的直线的垂线即可．解：如图，(1)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；(2)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；(3)延长MN，过点P作MN所在直线的垂线；(4)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．方法总结：过一点作线段的垂线，就是作线段所在直线的垂线． 探究点三：尺规作图的综合应用例3 如图，已知直线l 及其两侧两点A 、B .(1)在直线l 上求一点O ，使到A 、B 两点距离之和最短； (2)在直线l 上求一点P ，使PA ＝PB ； (3)在直线l 上求一点Q ，使l 平分∠AQB .解析：(1)根据两点之间线段最短，连接AB ，线段AB 交直线l 于点O ，则O 为所求点； (2)根据线段垂直平分线的性质连接AB ，再作出线段AB 的垂直平分线即可；(3)作B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′交直线l 与点Q ，连接BQ ，由三角形全等的判定定理得出△BDQ ≌△B ′DQ ，再由全等三角形的性质可得出∠BQD ＝∠B ′QD ，即直线l 平分∠AQB .解：(1)如图①，连接AB ，线段AB 交直线l 于点O ，∵点A 、O 、B 在一条直线上，∴O 点即为所求点；(2)如图②，连接AB ，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长度为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点，连接CD 与直线l 相交于P 点，连接BD 、AD 、BP 、AP 、BC 、AC ，∵BD ＝AD ＝BC ＝AC ，即C 、D 两点都在AB 的垂直平分线上，∴CD 是线段AB 的垂直平分线，∵P 是CD 上的点，∴PA ＝PB ；(3)如图③，作B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′交直线l 与点Q ，连接BQ ，∵B 与B ′两点关于直线l 对称，∴BD ＝B ′D ，DQ ＝DQ ，∠BDQ ＝∠B ′DQ ，∴△BDQ ≌△B ′DQ ，∴∠BQD ＝∠B ′QD ，即直线l 平分∠AQB .方法总结：本题考查的是两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知各题的知识点是解答此题的关键．三、布置作业1. 课本143页练习2；2. 探索课本143页思考。
沪教版数学八年级上册19.2《角平分线》教学设计
沪教版数学八年级上册19.2《角平分线》教学设计一. 教材分析《角平分线》是沪教版数学八年级上册第19章“几何变换”的最后一节内容，主要介绍了角平分线的性质和作法。
本节课的内容对于学生来说，既有新奇性，又具有挑战性。
角平分线的性质和作法是学生在学习了角的概念、角的计算、线段的性质等知识的基础上进行学习的，是对原有知识的延伸和拓展。
同时，角平分线的作法和性质在实际问题中的应用也是对学生解决实际问题能力的培养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、角的计算、线段的性质等知识，对于这些知识的理解和运用已经比较熟练。
但是，对于角平分线的性质和作法，学生可能比较陌生，需要通过实例和操作来进行理解和掌握。
同时，学生在学习过程中，可能存在对于几何图形的观察和分析能力不足，以及对于几何证明的思路和方法不清晰的问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解角平分线的性质，能够熟练地作出角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的几何思维能力和解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，对于几何学习保持兴趣和热情。
四. 教学重难点1.教学重点：角平分线的性质，角的平分线的作法。
2.教学难点：对于角平分线性质的理解和运用，角的平分线的作法。
五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，激发学生的思考，引导学生自主探索和学习。
2.操作法：通过学生的动手操作，培养学生的实践能力和几何思维能力。
3.讨论法：通过学生之间的讨论和交流，促进学生对知识的理解和掌握。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备角平分线的性质和作法的相关知识点，以及实例和练习题。
2.学生准备：学生需要准备好数学笔记本，以及对于之前学习的角的概念、角的计算、线段的性质等知识进行复习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出问题，引导学生思考角平分线的性质和作法。
例如，教师可以提出问题：“如果你要找一个角的平分线，你会怎么做？”通过这个问题，引起学生的思考，引出本节课的主题。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19.5 角的平分线 教案
教学设计模板（可加页）（5）教师拖动点A,改变NAOB的大小,学生再观察这两条垂线段的长度有怎样的数量关系。
NAOB 大小的改变,让学生理解猜想的结果不随角的大小的改变而改变。
引入 回忆角平分线的概念 请学生回忆角平分线的概念开门见山，直接引入 学生回忆，并作答。
教师：今天我们学习角平分线的知识。
强调角平分线是角的内部的一条射线。
为探究角平分线的性质定理和逆定理做铺垫。
新知探究 1．探究角平分线的性质（1）教师在电子白板上操作：运用几何画板和电子白板通 定理依次画出一个角NAOB,画出它 过教师的操作可以把问题更 的角平分线OC,度量NAOC 和NCOB 的大小并显示在白板上，在OC 上取一点P,作PD^OA,PELOB,垂足分别为点直观地呈现在学生面前,使学生的猜想更合理。
（1）实验操作得出猜想。
（2）几何画板动态演示,验证猜想。
（3）归纳、概括得出命题。
（2）学生猜测这两条垂线段的长有怎样的数量关系。
（3）教师用几何画板的度量功能量出线段PD 、PE 的长度，并显示在电子白板上。
让学生学会猜想,培养直觉 思维。
用度量出的结果验证学生的猜想。
（5）得到角平分线的性质定理,并写出其符号表达式。
（4）教师拖动点P,同学观察这两条垂线段的长度有怎样的数量关系。
P 点位置的变化，让学生理解角平分线上所有点都符合猜想。
合语言表达能力。
巩固应用1．例题讲解：已知：如图，AO、BO分别是NA、ZB的平分线，OD±BC,OEXAB,垂足分别为D、E。
求证：点。
在NC的平分线上AEOBD C （1）教师在电子白板上显示例题。
学生读题、思考。
（2）请学生分析问题的条件、结论，正确区分定理和逆定理，并得出解决方法。
2．变式训练深化新知：（3）板演证明过程。
提高学生正确运用定理和逆定理解决问题的能力。
训练学生分析问题解决问题的能力。
让学生借助几何画板展现给学生的几何图形的模型，进行思考、构造、寻找解题思路示范规范的解题过程，让学生掌握正确的书写方法。
沪科版数学八年级上册《角平分线的性质定理》教学设计2
沪科版数学八年级上册《角平分线的性质定理》教学设计2一. 教材分析《角平分线的性质定理》是沪科版数学八年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是引导学生探究角平分线的性质定理，并运用该定理解决一些几何问题。
教材通过引入角平分线的概念，让学生了解角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，进而引导学生探究并证明角平分线的性质定理。
教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握角平分线的性质，为后续学习其他几何定理打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、线段的概念以及一些基本的几何证明方法。
他们对这些基础知识有一定的了解和掌握，但可能对角平分线的性质定理的理解和证明过程还不够熟悉。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的知识基础，通过合理的教学设计，帮助学生理解和掌握角平分线的性质定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生了解角平分线的性质定理，并能够运用该定理解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养他们的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的性质定理的探究和证明。
2.难点：对角平分线性质定理的理解和运用。
五. 教学方法1.引导探究法：教师通过提出问题，引导学生进行自主探究，激发学生的思维。
2.合作交流法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。
3.几何画板演示法：利用几何画板软件，直观地展示角平分线的性质，帮助学生理解和掌握。
六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线性质定理的教学课件，包括角平分线的定义、性质定理的探究和证明过程等内容。
2.几何画板软件：用于展示角平分线的性质定理的直观演示。
3.练习题：准备一些有关角平分线性质定理的应用题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习角的概念和线段的概念，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
沪教版八年级上册-线段垂直平分线及角平分线讲义
基本内容 线段的垂直平分线及角的平分线知识精要一、线段的垂直平分线1、线段的垂直平分线定理：线段的垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
2、线段的垂直平分线逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
二、角的平分线1、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2、角平分线逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
3、角平分线可以看作是在这个角内部（包括顶点）到角两边的距离相等的点的集合 提问：在使用角平分线的性质定理及其逆定理时，应注意哪些方面？ 回答：必须有两个垂直的条件，若缺少垂直条件时，可考虑添加辅助线；热身练习1、如图，在△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线DE 交BC 于点D,且DC=AC,求△ABC 各角的大小.解：108,36A B C ∠=︒∠=∠=︒；2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是中线，且DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， 求证：BE=CF证明：因为AB=AC ，AD 是中线 所以BD=DC ，∠B=∠C ，AD 是角平分线， 因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC 所以DE=DF所以BDE CDF ∆≅∆ 所以BE=FC3、如图△ABC 的外角平分线∠DBC 、∠ECB 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠A 的平分线上ADCAB CDEF证明：过F 作AE 的垂线交于点M ，作AD 的垂 线交于点N ，作BC 的垂线交于点O 因为CF 是∠ECB 平分线，所以MF=FO因为FB 是∠DBC 平分线，所以NF=FO 所以MF=NF ，又因为MF 垂直AE ，NF 垂直AD 所以AF 是∠A 的平分线4、 如图，过△ABC 的边BC 的中点M ，作直线平行于∠A 的平分线AA ′，而交直线AB 于E 、F ，求证：CF=1/2(AB+AC)证明：延长FM 到点G ，使FM=MG ，连接BG ∵M 为BC 的中点 ∴BMG CMF ∆≅∆ ∴BG=CF 又∵AA’平分∠BAC 且EM// AA’∴''E BAA A AF AFE CFG G ∠=∠=∠=∠=∠=∠ ∴AE=AF ，BE=BG=CF ∵BE=AB+AE,CF=AC-AF ∴AB+AC=BE+CF=2CF ∴CF=1/2(AB+AC)5、如图，求作点P ，使P 到C 、D 的距离相等，同时到角两边的距离也相等 解：先作线段DC 的垂直平分线，再作∠A 的平分线， 两直线所交的点即为点P精解名题ABCDEF例1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，EF 是AD 的中垂线， 求证：（1）∠EAD=∠EDA ；（2）DF ∥AC ；（3）∠EAC=∠B证明：（1）因为EF 是AD 的中垂线所以AE=DE ，所以∠EAD=∠EDA （2）因为EF 是 AD 的中垂线，所以FA=FD 所以∠FAD=∠FDA 又因为AD 是角平分线，所以∠FAD=∠DAC所以∠FDA=∠DAC ，所以DF ∥AC （3）因为∠EDA=∠B+∠BAD ；∠EAD=∠EAC+∠DAC又因为∠EAD=∠EDA ，∠BAD=∠DAC ；所以∠B=∠EAC ；例2、AP 、BP 分别平分∠DAB 、∠CBA,PM ⊥AD 于点M,PN ⊥BC 于点N, 求证：点P 在线段MN 的垂直平分线上. 证明：过点P 作PE ⊥AB 于点E ，连接MN∵AP 平分∠DAB ∴PM=PE ∵BP 平分∠CBA ∴PE=PN ∴PM=PN∴点P 在线段MN 的垂直平分线上例3、如图, 在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，BM 平分∠ABC ，CM 平分∠ACB ，EN 平分∠BED ，DN 平分∠EDC 。
沪科版数学八年级上册《角平分线的性质定理》教学设计1
沪科版数学八年级上册《角平分线的性质定理》教学设计1一. 教材分析《角平分线的性质定理》是沪科版数学八年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生掌握角平分线的性质定理，并能够运用该定理解决一些实际问题。
教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而得出角平分线的性质定理。
教材还通过一些例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、线段的概念等基础知识，对图形的性质和定理有一定的了解。
但是，学生对角平分线的性质定理可能还没有完全理解，需要通过本节课的学习来进一步掌握。
此外，学生可能对一些概念和定理的证明过程还不太熟悉，需要通过本节课的教学来培养证明的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握角平分线的性质定理，并能够运用该定理解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过探究角平分线的性质，培养学生的观察能力、思考能力和证明能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.教学重点：角平分线的性质定理及其应用。
2.教学难点：角平分线性质定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导探究法：通过引导学生观察、思考和证明，让学生自主发现角平分线的性质定理。
2.案例教学法：通过分析一些实际问题，让学生学会运用角平分线的性质定理解决问题。
3.小组合作学习法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、投影仪、角平分线的模型等。
2.学具：学生用书、练习册、剪刀、直尺、圆规等。
3.教学素材：一些关于角平分线的实际问题和相关案例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过角平分线的模型，引导学生回顾角平分线的基本概念，激发学生的学习兴趣。
然后，教师提出本节课的学习目标，让学生明确本节课的学习内容。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或板书，呈现出角平分线的性质定理，引导学生观察和思考。
沪科版八年级数学上册15.4：角平分线性质及判定
辅导资料No.17年级八年级教学内容角平分线定理及应用知识点三、【角平分线的定义、性质与判定】1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm，（1）求证：BD+DE=AC．（2）求△DBE的周长．例2. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少？例3、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD、AB、AD间？直接写出结果【变式练习】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．例4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。
求证：AF为∠BAC的平分线。
方法规律（1）有角平分线，通常向角两边引垂线。
（2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。
常用方法有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。
（3）注意：许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．练习巩固1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（）A．2 B．3 C．4 D．62．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°3．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE是∠AOB的平分线B．OC=OD C．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE=∠BOE 4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，∠A=45°，若BD=2，则AB长为（）A．2 B．2C．2D．35．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．126．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD的面积等于（）A．30 B．24 C．15 D．107．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（）A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF9．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．M点B．N点C．P点D．Q点10．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．二处C．三处D．四处11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（）A．6 B．12 C．18 D．2412．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的是（）个．A．1 B．2 C．3 D．413．如图，点E 是BC 的中点，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，AE 平分∠BAD ，下列结论：①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB +CD ，四个结论中成立的是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③14．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE +AC=AB ，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个15．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =10，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．616．如图，15DAE ADE ∠=∠=,//DE AB ,DF AB ⊥,若6AE =，则DF 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．617．如图，四边形ABCD 中，AC 为∠BAD 的角平分线，AB=AD ，E 、F 两点分别在AB 、AD 上，且AE=DF ．请完整说明为何四边形AECF 的面积为四边形ABCD 的一半．18．△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作一直线交AB 、AC 于E 、F ．且BE=EO ．（1）说明OF 与CF 的大小关系；（2）若BC=12cm ，点O 到AB 的距离为4cm ，求△OBC 的面积．。
沪教版八年级上册-19.4-线段的垂直平分线和角平分线-讲义
沪教版(上海)八年级上册-19.4-线段的垂直平分线和角平分线-讲义(无答案)(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线段的垂直平分线与角平分线专题复习知识点复习：1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点； 若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。
4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF.图1图2定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ，∴点P 在∠AOB 的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.精品习题：1．在△ABC 中，∠C=90º，BD 是∠ABC 的平分线.已知，AC=32，且AD ：DC=5：3，则点D 到AB 的距离为_______.2．如图，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ∆∆= （ ）A．3:4 B．4:3 C．16:19 D．不能确定3．如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则SABO∆：SBCO∆：SCAO∆等于______.4．如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数为．5．AD∥BC，∠D=90︒，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的关系是（）A．PD>PC B．PD<PC C．PD=PC D．无法判断6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )A．在AC、BC两边高线的交点处B.在AC、BC两边中线的交点处C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处D.在∠A、∠B的角平分线的交点处7．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB 的中点E处，则∠A等于( )A．25ºººº8．AC=AD，BC=BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB9．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP10．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。
沪科版-数学-八年级上册-如何利用角平分线的性质求线段的和
初中-数学-打印版
如何利用角平分线的性质求线段的和？
难易度：★★★★★
关键词：角平分线的性质
答案：
先利用角平分线的性质证得线段，再利用三角形全等求得对应边相等，再利用等量代换求得结论
【举一反三】
典例：已知AD是等腰直角三角形ABC的底角的平分线，∠C=90°，
求证：AB=AC+CD
思路导引：由于AD是角平分线，∠C=90°，所以过D点作DE⊥AB，垂足为E点，∠
B=45°得到DE=DC，根据角平分线性质得到CD=ED,再证明△ACD≌△AED得到AC=AE，又AB=AE+BE,即可得到结论.
标准答案：证明：过D点作DE⊥AB，∵DA平分∠BAC，∠C=90°，∴CD=ED.在Rt△ADC和Rt△ADE中，∵AD=AD,CD=ED,∴Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC=AE，∵∠BED=90°，∠B=45°，∴BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
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小专题( 九)巧用角平分线的性质解题
角平分线的性质在中学数学中具有很重要的地位,它是证明线段相等、角相等的重要工具.角平分线具有两条性质:a.对称性;b.角平分线上的点到角两边的距离相等.
由角平分线想到的辅助线的口诀:
图中有角平分线,可向两边作垂线;
也可将图对折看,对称以后关系现;
角平分线平行线,等腰三角形来添;
角平分线加垂线,三线合一试试看.
类型1角平分线作双垂线——利用角平分线的
性质证明线段或角相等
利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一重要结论,可证三角形全等,从而转换图形,这也是角平分线问题中最常用的辅助线.角平分线的性质定理实现了由“等角”到“等线段”的转化,其关键是通过作垂线构造“AAS”证全等;利用角平分线这一条件,在角的两边上实施截长或补短.
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,BD=4,BC=7,则点D到AB的距离是3.
2.( 2019·合肥科大附中月考)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
( 1 )求证:CF=EB;
( 2 )若AB=12,AF=8,求CF的长.
解:( 1 )∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,∴DE=DC.在△CDF与△EDB中,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB( HL),∴CF=EB.
( 2 )设CF=x,∴AE=12-x,易知CD=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中,
∴△ACD≌△AED( HL),
∴AC=AE,即8+x=12-x,解得x=2,即CF=2.
3.如图,BN平分∠ABC,P为BN上的一点,并且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD.
求证:∠BAP+∠BCP=180°.
证明:过点P作PE⊥AB于点E.
∵BN平分∠ABC,PE⊥AB,PD⊥BC,∴PE=PD.在Rt△PBE和Rt△PBD中,
∴Rt△PBE≌Rt△PBD( HL),∴BE=BD.
∵AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE,
∴AE=CD.
在△PAE和△PCD中,
∴△PAE≌△PCD,∴∠BCP=∠EAP.
∵∠BAP+∠EAP=180°,∴∠BAP+∠BCP=180°.
类型2角平分线截全等——以角平分线为对称
轴构造全等三角形
角的平分线所在的直线也是角的对称轴,所以常用翻折的方法构造全等三角形,以便得到等边和等角,并把有关的边、角移到新的位置,在添加辅助线时为“截取较长线段”或“延长较短线段”.
4.( 1 )如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD平分∠BAC,交BC于点D.如果作辅助线DE⊥AB于点E,则可以得到AC,CD,AB三条线段之间的数量关系为AB=AC+CD. ( 2 )如图2,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,交BC于点D,( 1 )中的结论是否仍然成立?若不成立,试说明理由;若成立,请证明.
解:( 2 )成立,证明略.
类型3角平分线加垂线产生三线合一——延长
角平分线的垂线段,使角平分线成为垂
直平分线
“角平分线+垂线”构造等腰三角形,源于利用角平分线等分两角,平行线转移等角,从而获得同一三角形中有两角相等,等角对等边,从而利用等腰三角形的性质解决问题.
5.在△ABC中,AD平分∠BAC,CE⊥AD于点E.
求证:∠ACE=∠B+∠ECD.
证明:延长CE交AB于点F.
∵AD平分∠BAC,∴∠FAE=∠CAE.
∵CE⊥AD,∴∠FEA=∠CEA=90°.
在△FEA和△CEA中,
∠FAE=∠CAE,AE=AE,∠FEA=∠CEA,
∴△FEA≌△CEA,∴∠ACE=∠AFE.
∵∠AFE=∠B+∠ECD,∴∠ACE=∠B+∠ECD.
6.如图,已知在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,CH
⊥BD,交BD的延长线于点H.
求证:BD=2CH.
证明:延长CH,BA,交于点E.
∵CH⊥BD,BD是∠ABC的平分线,
∴∠CHB=∠EHB,∠CBH=∠EBH,
又∵BH=BH,∴△CBH≌△EBH,∴CE=2CH.
∵∠CAB=90°,∴∠E+∠ECA=90°.
∵CH⊥BD,∴∠E+∠EBH=90°,∴∠ECA=∠EBH.
在△ECA和△DBA中,
∴△ECA≌△DBA,∴CE=BD,∴BD=2CH.
7.如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD于点E.
求证:BE=( AC-AB).
证明:延长BE交AC于点F.
∵角是轴对称图形,对称轴是角的平分线所在的直线,∴AD所在直线为∠BAC的对称轴.又∵BE⊥AD于点E,∴点B和点F关于AD对称,
∴BE=FE=BF,AB=AF,∠ABF=∠AFB.
∵∠ABF+∠FBC=∠ABC=3∠C,
∠ABF=∠AFB=∠FBC+∠C,
∴∠FBC+∠C+∠FBC=3∠C,∴∠FBC=∠C,
∴FB=FC,
∴BE=FC=( AC-AF)=( AC-AB).
类型4角平分线加平行线构造等腰三角形
——利用角平分线构造等腰三角形
“角平分线+平行线”构造等腰三角形,此类问题中,垂足又是所构造的等腰三角形的中点,构成中线,进一步利用等腰三角形“三线合一”的性质来解决问题.
8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,过顶点A的直线DE∥BC,∠ABC
与∠ACB的平分线分别交DE于点E,D.若AC=3,AB=4,则DE的长
为( B)
A.6
B.7
C.8
D.9
9.阅读下列题目,回答问题:
在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D.
( 1 )如图1,过点D作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F.若BE+CF=9 cm,求线段EF的长.
分析:利用角平分线的定义和平行线的性质,可说明△BDE和△CDF都是等腰三角形,所以BE=DE,CF=DF.因为BE+CF=9 cm,所以EF=9cm.
( 2 )如图2,过点D作DE∥AB,交BC于点E,过点D作DF∥AC,交BC于点F.若BC=12 cm,求△DEF的周长.
解:( 2 )∵BD是∠ABC的平分线,CD是∠ACB的平分线,∴∠ABD=∠DBC,∠ACD=∠DCB.
∵DE∥AB,∴∠ABD=∠EDB,
∴∠EBD=∠EDB,∴BE=DE.
同理可得DF=FC,∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BE+EF+FC=BC=12 cm.。