变量与函数1
变量与函数大一高数知识点
变量与函数大一高数知识点高等数学是大一大二学生必修的一门基础课程，其中包括了许多重要的知识点。
其中，变量与函数是高等数学中最为基础和重要的概念之一。
一、变量变量是数学中使用的一种概念，它可以表示不同数值的符号或字母。
在数学中，我们常常用字母来表示变量，如x、y、z等等。
变量可以代表任意数的集合，也可以代表某一个具体的数值。
在数学中，我们通常用变量来表示未知数，通过解方程等方法来求解变量的数值。
变量在实际问题中也很常见，我们可以通过设定变量来描述实际问题的各种情况，从而得到数学模型并解决问题。
二、函数函数是数学中另一个重要的概念。
函数是一个特殊的关系，它将一个集合的元素（自变量）映射到另一个集合（因变量）。
函数常用符号表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f为函数关系。
函数包含了定义域、值域和对应关系三个重要的概念。
定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围，对应关系是自变量和因变量之间的映射关系。
函数在数学中有着广泛的应用。
它们可以用来描述各种数学模型，如直线方程、曲线方程等等。
通过函数的性质和图像，我们可以研究函数的增减性、极值、导数等，从而了解函数的行为和特点。
函数可以用来解决各种实际问题，如经济学中的生产函数、物理学中的运动方程等等。
因此，对于函数的理解和掌握是我们学习高等数学的基础。
三、变量与函数的关系变量与函数之间有着密切的关系。
在函数中，自变量常常是一个或多个变量，而函数则是对自变量的一种规定或设定。
变量作为函数中的自变量，它的取值范围和变化规律会影响到函数的性质和行为。
因此，变量的取值是函数研究中一个非常重要的问题。
在实际问题中，我们可以通过设定变量来描述问题的各种情况，从而建立函数模型。
通过分析自变量的取值范围和变化规律，我们可以研究函数的图像、性质和规律。
例如，我们可以用变量来表示一个物体的位置，然后建立位置和时间的函数关系，通过分析函数曲线的形状和变化趋势，我们可以了解物体的运动规律和特点。
数学中的变量与函数关系
数学中的变量与函数关系数学中的变量与函数关系是一项基础而重要的概念。
变量和函数是数学中常见的概念，它们用于描述事物之间的关系以及数值的变化规律。
在本文中，将详细探讨数学中的变量与函数关系的基本概念、性质和应用。
一、变量变量是数学中用来表示不确定或可变值的符号。
通常用字母表示，比如x、y或者其他字母。
变量可以代表不同的数值，并且可以随着问题的不同而改变。
例如，当我们要描述一辆汽车的速度时，可以用v表示变量，因为不同的汽车会有不同的速度。
变量可以分为独立变量和因变量。
独立变量是研究中独立选择或设定的变量，它不依赖于其他变量。
而因变量是依赖于其他变量的变量，它的值根据独立变量的取值而改变。
例如，在研究中，以一个人的年龄为独立变量，体重为因变量，我们可以观察到随着年龄的增加，体重也会有相应的变化。
二、函数函数是数学中常见的关系类型，它描述了变量之间的映射关系。
对于给定的输入（自变量），函数会给出相应的输出（因变量）。
函数通常用f(x)来表示，其中，f表示函数名称，x表示自变量的取值。
函数有许多不同的类型，包括线性函数、二次函数、指数函数等。
不同类型的函数具有不同的性质和特点，它们可以用来描述不同类型的变量与变量之间的关系。
函数可以通过图像、表格或者公式来表示，这些表示方式都能够清晰地展示出变量与函数的关系。
三、变量与函数关系的性质在数学中，变量与函数关系具有许多重要的性质，其中包括：1. 单调性：变量与函数关系可以是单调递增的或单调递减的。
当自变量增大时，函数值也增大，则称其为单调递增；当自变量增大时，函数值减小，则称其为单调递减。
2. 奇偶性：变量与函数关系可以是奇函数或偶函数。
当函数满足f(-x) = -f(x)时，称其为奇函数；当函数满足f(-x) = f(x)时，称其为偶函数。
3. 周期性：变量与函数关系可以是周期函数。
周期函数在一定区间内重复出现相同的值。
例如，正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们在一定范围内以一定的周期重复出现。
一次函数讲义变量与函数
一.常量与变量：函数与变量1.概念;在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量．2.了解变量的概念，会区别常量与变量．3.注意：区别自变量与因变量和常量4.练习：1、骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，自变量是（ ）A 、沙漠B 、体温C 、时间D 、骆驼2.圆的面积S （cm 2）与圆的半径r(cm)之间的函数关系式是S=Πｒ2,，此关系式中的变量是（ ）A ，r 2B ，r C,S, Π, r 2D,S 和r二：函数的概念1. 了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系2.概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x•的每一个确定的值，y 都有唯一确定的 值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．3.注意：①两个变量x 与y ②对于x•的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应③一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化 4.练习：1.下列各种表达方式中，能表示变量y 与变量x 之间的函数关系的有（ ）A ，1个 ，B ，2个 ，C ，3个，D ，4个，2.下列函数中，不是函数关系的是（ ）A,y=x （x>0）; B ，y=x -（x<0） C,y=±x （x>0）; D, y=－x （x>0）; 3、下列各图象中，y 不是x 函数的是 （ ）4.. 下列函数中，表示同一函数的是（ ）Ａ.y=x 与.y=x x 2； B.y=x 与y=（x ）2； C.y= x 与y=33x ； D.y= x 与y=2x三：自变量的取值范围的确定1. 自变量的取值必须使含自变量的代数式（数学式子）有意义 ① 整式：全体实数 ② 分式：分母不等于0③ 二次根式下含自变量：开偶数次方中的被开方数必须大于等于0。
④ 有分式也有二次根式下含自变量：两个的公共部分2.当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义3.注意: 自变量的取值范围可以是有限也可以是无限，可以是一个或几个数X 1 2 3 4 y33 16O yxOxyOxyxyOy 2=x+1 (3)4.有的要列不等式或不等式组来求5.练习： 1、在函数y=xx 32+中,自变量的取值范围是( )A 、x ≥-2且x ≠0； B 、x ≤2且x ≠0； C 、x ≠0； D 、x ≤-2； 2.、函数212-++=x x y 的自变量x 的取值范围是（ ） A 、x ≥-2； B 、x ＞-2且x ≠2； C 、x ≥0且x ≠2； D 、x ≥-2且x ≠2。
变量与函数的概念1说
数据可视化
函数还可以用于数据可视化，如 绘制图表、直方图和散点图等，
以更好地理解和分析数据。
系统建模
线性模型
线性函数可以用于建立线性模型，以描述两个变量之间的关系。
非线性模型
非线性函数可以用于建立非线性模型，以描述非线性关系。
微分方程
函数还可以用于建立微分方程，以描述动态系统的行为。
3
变量的类型和范围
根据函数的需求，变量可以有不同的数据类型 （如整数、浮点数、字符串等）和范围（如数组、 集合、字典等）。
变量作为函数
函数的结果通过变量返回
01
在函数中，经过计算或处理后，结果通常通过一个或多个变量
返回给调用者。
变量的类型和值
02
根据函数的设计，返回的变量可以有特定的数据类型和值，这
变量的分类
基本数据类型
根据存储的数据类型，变量可以 分为不同的基本数据类型，如整 数类型、浮点数类型、字符类如数 组、字符串、集合等。在这种情 况下，变量实际上存储的是对象 的内存地址，而不是对象本身。
变量的作用域
变量的作用域是指变量在程序中的可见 性和可用性范围。根据作用域的不同， 变量可以分为局部变量和全局变量。
函数可以提高代码的可重用性和可维护性，减少代码冗余。
函数的参数
参数是函数接受输入 的方式，它可以是变 量、常量、表达式等。
参数可以是必需的 （必须提供），也可 以是可选的（可以不 提供）。
参数的作用是传递数 据给函数，以便函数 能够执行所需的操作。
函数的返回值
返回值是函数执行后返回的结果。
返回值可以是任何类型的数据， 如整数、浮点数、字符串、数组
参数传递
在函数调用过程中，变量 可以作为参数传递给函数， 以影响函数的执行行为或 返回结果。
沪科版八年级数学上册第12章教学课件：12.1 第1课时 变量与函数(共23张PPT)
典例精析
例1 指出下列事件过程中的常量与变量注意：π是一个确 定的数，是常量
(1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总 价为m元，其中常量是 5 ，变量是 a，m ；
(2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常 量是 2，π ，变量是 C， r ；
(3)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高
第12章 一次函数
12.1 函数
第1课时 变量与函数
学习目标
1．联系自己的学习、生活实际，通过具体情境 领悟函数的概念，了解常量、变量，知道自变量 与函数，能写出简单的函数表达式;
2．探究变量的发现和函数概念的形成，提高学 生分析、解决问题的能力.
导入新课
情境引入
万物皆变
行星在宇宙中的位置随时间而变化
例2 阅读并完成下面一段叙述： ⒈某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中 常量是 a ,变量是 t，s .
⒉s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间 为t分，其中常量是 s ,变量是 a,t .
3.根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论： 在不同的条件下，常量与变量是相对的 .
（2）y 是n的函数，其中n是自变量. （3）y 不是x的函数.
例如，到原点的 距离为1的点对 应实数1或-1,
课堂小结
常量与变量：在一个变化过程中， 数值发生变化的量为变量，数值 始终不变的量为常量．
变量与函数
函数：一般地，在一个变化过程 中，如果有两个变量x与y，并且 对于x的每个确定值,y都有唯一确 定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y是x的函数．
自我发生变化的量__t_________； 因别人变化而变化的量___h_______.
14.1变量与函数 (第1课时)变量
第十四章一次函数
14.1变量与函数（ 课时） 14.1变量与函数（第1课时） 变量与函数
问题一: 问题一
汽车以60千米 时的速度匀速行驶 千米， 汽车以 千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为 s 千米， 千米 时的速度匀速行驶， 小时，先填下面的表，再试用含t的式子表示 的式子表示s. 行驶时间为 t 小时，先填下面的表，再试用含 的式子表示
1 s = x(10 − 2x) = x(5 − x) 2
（1）S = 60t （2） y = 10x ） ） （3）l =10+0.5x
(4)r =
1 (5)ms = x(10 − 2x) = x(5 − x) 2
s π
发生变化的量为变量 1、变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。 始终不变的量为常量 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。 2、常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
y = 10x
问题三: 问题三
在一根弹簧的下端挂重物，改变并记录重物的质量， 在一根弹簧的下端挂重物，改变并记录重物的质量，观 并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律。 察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律。如果 弹簧长原长为10cm，每1千克重物使弹簧伸长 千克重物使弹簧伸长0.5cm,怎 弹簧长原长为 ， 千克重物使弹簧伸长 怎 样用含重物质量m（单位： ） 样用含重物质量 （单位：kg）的式子表示受力后的弹 单位： 簧长度 l (单位：cm)? 单位
6a2 ， 2、如图 正方体的棱长为 表面积 正方体的棱长为a,表面积 、如图2正方体的棱长为 表面积S=
体积V= 体积
11.1 变量与函数1
11.1 变量与函数第一教时 11.1.1 变 量教学要求：通过课本上的五个问题，引入并理解常量、变量的概念，会求函数自变量的取值范围教学重点：针对具体问题，分清常量与变量教学难点：在不同的变化过程中，常量与变量并不是固定不变的教学过程：一、导入新课：1．有关图形的体积、面积、周长公式：图形的周长：C 圆=2лR ；C 正方形=4a ；图形的面积：S △ABC =21×ah ； S 圆=лR 2；S 梯形=21×(a+b)h ； 图形的体积：V 圆柱=лR 2h ， V 圆锥=31лR 2h ；V 正方体=a 3． 2．从实际问题出发，出于从具体到抽象在认识事物的考虑，列举课本上的物理问题、销售问题、几何问题等，要求学生会用填表、求值、写解析式等二、新授：1．常量、变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量；数值不发生变化的量叫常量两个变量之间相互依赖、互相制约、互相转化．如在匀速直线运动中，当速度是常量，时间和路程都是变量，即s=vt ；当路程一定时，速度、时间是变量．例如，v=t s , t=v s．2．共同解答例子：[例1]下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组(岁)的平均身高(cm)．(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗？(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加？(3)上表反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是函数？[思维点拨] 借助表格，可以直接找到自变量与函数的具体对应值．从中挖掘有用的信息．[解] (1)从表中能看出该市14岁的男学生的平均身高为146.1㎝；(2)该市男学生的平均身高是从14岁开始迅速增加(在14～17岁之间，后一年比上一年的身高分别增加了8.7cm,8.1cm,5.3cm)；(3)表中反映了2000年某市男生的平均身高与学生年龄的关系．三、小结：由学生举一实际问题，说明哪些量是变量？哪些量是常量？四、课堂练习：课本18页第1、2、8、9题．五、教学后记：第二教时 11.1.2 函 数教学要求：通过经历从具体到抽象的认识过程，理解函数的概念、函数的单值对应． 教学重点：针对具体问题，利用表格、解析式和图象，体会相关变量之间的对应关系 教学难点：变量之间的单值对应关系教学过程：一、导入新课：从上节课的五个实际问题出发，直接导入新课二、新授：1．理解单值对应：变量之间的单值对应关系，当一个变量取定一个值时，单值对应有两重含义：（一）另一变量有对应值；（二）对应值只有一个2．理解函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性，函数是对变量而言的；函数值是对具体数值而言的。
数学的变量与函数
数学的变量与函数数学作为一门精确的科学，扮演着解决问题、推导规律的重要角色。
在数学的世界中，变量和函数是两个基本概念，它们的关系和应用广泛存在于数学的各个领域。
本文将详细介绍数学中的变量与函数，探讨它们的定义、特性及其在数学中的应用。
1. 变量在数学中，变量是指可以取不同值的量。
它是数学中用来表示未知数或可变因素的一个符号。
通常用字母表示变量，如x、y、z等。
变量的值可以随着问题或条件的变化而改变，可以是实数、整数、分数等。
在数学中，我们经常遇到需要利用变量来表示和解决问题的情况。
变量的特性有以下几个方面：首先，变量具有可变性。
它的值没有固定的限制，可以随着问题的不同而取不同的值。
其次，变量的值可以通过计算、观察或实验来确定。
一般来说，变量的值可以通过解方程、代入等方法来求解。
最后，变量可以进行运算。
我们可以对变量进行加减乘除等基本运算，通过这些运算可以得到新的变量或确定变量的取值范围。
2. 函数函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个量之间的依赖关系。
函数可以看作是一种特殊的关联，将一个变量的值映射到另一个变量的值。
数学上，函数通常用f(x)或y来表示，其中x是自变量，y是因变量。
函数可以看作是一个规则，它给出了自变量和因变量之间的关系。
函数有以下几个要素：首先，函数有定义域和值域。
定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
其次，函数可以用图像来表示。
通过绘制函数的图像，可以更直观地理解函数的性质和关系。
最后，函数可以进行运算和组合。
我们可以对函数进行加减乘除、求导等运算，也可以通过组合两个或多个函数来构造新的函数。
函数在数学中的应用非常广泛。
例如，它可以用来描述物体的运动规律、计算数列的通项公式、解决最优化问题等。
函数的概念在数学分析、微积分、代数等学科中都有重要的应用。
3. 变量与函数的关系变量和函数是数学中密切相关的两个概念。
变量可以看作是函数中的自变量，它决定了函数的取值范围和性质。
19.1.1 变量与函数(1)
初步应用 巩固知识 3、下列关系中，y不是x的函数的是（ ）
x A. y 2
C.
B. D.
y 2x
2
y x ( x 0)
y x
对于x的每一个值，y 有两个值与它对应， 所以y不是x的函数。
初步应用 巩固知识
4、下列各曲线中哪些表示y是x的函数
x2 对于x的 每一个值， y只有唯 一确定的 值与它应， y才是x 的函数。
找一找
下面问题中变化的量和不变的量： （3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆 的半径r 分别为10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？在这个过程中，哪些量是变化的？
找一找
下面问题中变化的量和不变的量： （4）用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边 长x 分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m 时，它的邻边长y 分别为多少？在矩形改变形状的变化过程中，哪些量 是变化的？哪些量是固定不变的？ D C y
x1
x1
当堂反馈
1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变 量的函数?试写出用自变量表示函数的式子
（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变。
____是自变量，___
是___的函数，关系式__________。
（2）秀水村的耕地面积是106 m2 ,这个村人均占有 耕地面积y随这个村人数n的变化而变化。 关系式____________。 ___是自变量，___是___的函数，
万物皆变
量的变化
研究变量之间的关系
把握运动变化规律
观察思考
分析变化
想一想：1前面的每个问题中各有几个变量？
2同一个问题中的变量之间有什么联系？ （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间 为t h，行驶的路程为s km； S=60t 行驶时间 t/h 行驶里程s/km 1 60 3 180 3. 4 204 4 240 9 540 … …
变量与函数1
枫木桥中学
年级
科导学案
日期：
年
月
日
4 3 、 球的体积 V 与半径 R 之间的关系是 V R 3 ，其中常量为 3 _______________，变量为_______________。
四区： 4、矩形两邻边长分别是 x 和 y,面积是 20，则用含 x 的式子表示 y 为 ______，在这个问题中，_______是常量，____是变量。 5、已知 a=3b-4,若用 a 的代数式表示 b，则( ) A.变量为 a、b，常量为 3 和-4 B. 变量不是 a、b C. 常量为 3 和 3
枫木桥中学
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科导学案
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日
课
题
变量与函数
主设计者
学习目标 学习重点 学习难点
1、通过探索具体问题中的数量关系和变化规律来了解常量、变量的意义； 2、结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义； 3、结合实例了解函数的三种表示方式及特点。
认识常量、变量；会用式子表示变量间的关系。 用含有一个变量的式子表示另一个变量。 学 习 流 程 学法指导通过本节课的学习，你有什么来自获？我的收获审核：
1
4
D. 常量为- 3 和- 3 巩固梳理，当堂检测
1
4
五区： 1、下列各式中，ｘ都是自变量，请判断ｙ是不是ｘ的函数， 为什么？ (1) y= 2x (2) y=+ 3x ( 3) y= 1/x 2、 找出这些函数的常量、变量、自变量和函数： 1 (1) y =3000-300x (2) y x3 3、校园里栽下一棵小树高 1．8 米，以后每年长 0．3 米，则 n 年后的树 高 L 与年数 n 之间的函数关系式__________．其中变量是_______、 _______，常量是________．自变量是______，_______是 _______ 的 函数,n 的取值范围是 六区： 4、汽车开始行驶时油箱内有油 40 升，如果每小时耗油 5 升，则油箱内 剩余油量Ｑ升与行驶时间 t 小时的关系是_____________．其中变量是 _______ 、 _______ ， 常 量 是 ________ ． 自 变 量 是 _______ ， _______ 是 _______ 的函数,t 的取值范围是_______。
18.1变量与函数(第1课时)
18.1变量与函数（1）教学目标：1、掌握函数的概念，理解两个变量之间的对应关系．2、知道函数关系的三种表示方法。
3、能列出简单的函数关系式。
创设情景：看图回答：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？想一想：在这个变化过程中，任选时刻t的一个确定值，温度T有几个值和这个时刻对应？课堂研讨：问题1：银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的？问题2：收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：观察上表回答：(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?(2)波长l越大，频率f就________．解 :(1) l 与f 的乘积是一个定值，即lf＝300 000，或者说(2)波长l越，频率f 就越。
函数的定义：在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做。
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是，y是，此时也称y是x的。
试一试：下列变化中，哪些y是x的函数？哪些不是？说明理由。
（1）xy=2 （2）x2+y2=10 （3）x+y=5 （4）|y|=3x+1 （5）y=x2-4x+5 （6）x2+y=10函数关系的表示：表示函数关系的方法通常有三种：问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为，如问题2中的课堂练习：1.写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：(1)圆的周长C与半径r 的关系式；(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间 t（时）的关系式；(3)n 边形的内角和 S与边数n 的关系式．2.写出下列问题中的函数关系式，并指出其中的常量与变量：①时速为110千米的火车行驶的路程s(千米)与时间t(小时)之间的关系式；②底边长为10的三角形的面积S与这边上的高h之间的关系式；③某种弹簧原长20厘米，每挂重物1千克，伸长0.2厘米,挂上重物后的长度y(厘米)与所挂重物x(千克)之间的关系式;3.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子．4.分别指出下列各关系式中的变量与常量：(1)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是: 。
19.1.1变量与函数(1)
当堂检测
请在6分钟内完成教材第71页的练习 题，看哪一组完成的又快又好。
4 3 1、若球的体积为V,半径为R，则 V 3 π R
当堂训练
,其中
变量是 ，常量是 。 2、某本书的单价是14元，当购买x本这种书时， 花费为y元，则y与x之间的关系式为 ，其中变 量是 ，常量是 。 3、一汽车油箱中有油60升，若每小时耗油6升， 则油箱中剩余油量y（升）与时间t（时）之间的关 系式为 ，其中变量是 ，常量是 。 4、已知矩形的周长为6，设它的一条边长为x，那 么它的面积y与x之间的关系式是 ，其中变量 是 ，常量是 。
19标
1、理解并掌握常量与变量的概念； 2、能够根据题意区别变量与常量，并 能写出变量之间的关系.
自学指导
看P71页练习以上内容，完成下列问题： 1.在（1）中哪些是变化的量？哪些是不变的 量？如何用含t的式子表示s？ 2.在（2）中哪些是变化的量？哪些是不变的 量？如何用含x的式子表示y？ 3.在（3）中哪些是变化的量？哪些是不变的 量？如何用含r的式子表示S？ 4.在（4）中哪些是变化的量？哪些是不变的 量？如何用含x的式子表示y？ 5.总结什么是变量、常量。 8分钟时间内看哪些同学能快速完成
19变量与函数(1)
变量
数值固定 不变的量
常量
辨一辨
指出下列变化过程中的变量和常量： （1）汽油的价格是7.4元/升，加油 x L，车主加油 付油费 y 元； （2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要 t 天，平均每天所看的页数为 n； （3）用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一边 2 长为 x cm，其面积为 S cm ．
说一说
你能举出一个变化过程的例子，并说出其中的变量 和常量吗？试一试！
你能确定下列变化过程中的变量吗？ （1）小敏长高了； （2）在汤中加水，汤变淡了； （3）小狗越来越可爱了．
课堂小结
（1）什么叫变量？什么叫常量？ （2）举一个运动变化的例子并指出其变量和常量． （3）你认为变化过程中的变量之间会有联系吗？
八年级
下册
19.1.1 变量与函数（1）
课件说明
• 本课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的 重要数学模型，要从数学的角度研究变化现象，把 握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这 就是变量，本课在充分体会运动变化过程中数量变 化的基础上，领会变量与常量的含义．
课件说明
• 学习目标： 1．了解变量与常量的意义； 2．体会运动变化过程中的数量变化． • 学习重点： 了解变量与常量的意义，充分体会运动变化过程中 量的变化．
找一找
下面问题中变化的量和不变的量： （4）用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长 x 分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m 时，它的邻边长y 分 别为多少？在矩形改变形状的变化过程中，哪些量是变 化的？哪些量是固定不变的？ D C
y
A x B
说一说
上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样 分类？ 数值不断 变化的量
17-1-1 变量与函数(1)-2020-2021学年八年级数学下册教材配套教学课件(华东师大版)
函数解析式是数学式子的自变量取值范围：
1.当函数解析式是只含有一个自变量的整式时，
自变量的取值范围是全体实数.
2.当函数解析式是分式时，
自变量的取值范围是使分母不为零的实数.
3.当函数解析式是二次根式时，
自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数.
例4 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：
（2）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕
地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化；
（3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它对应的实数为 y，
y 随 x 的变化而变化．
解：（1）S 是x的函数，其中x是自变量.
（2）y 是n的函数，其中n是自变量.
（3）y 不是x的函数.
时间t、
1．在以上这个过程中，变化的量是_______
速度60千米/时
路程s
_________．不变化的量是_____________．
60 t
2．试用含t的式子表示s．s=_______
s
t
这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化
过程.
问题3：下面是收音机上一些波长与频率的对应的数值：
2
则S与r之间满足下列关系：S＝____________．
πr
利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆
的面积，并将结果填入下表：
半径r（cm)
圆面积S（ cm2
1
）
1.5
2
2.6
3.2
…
2.25 4
6.76 10.24 …
湖南省耒阳市冠湘中学八年级华师大版数学下册课件：171变量与函数(1)(共31张PPT)
大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究 这些运动变化并寻找规律呢?
数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.
先看什么叫变量?
（1）你坐过 摩天轮吗？你 坐在摩天轮上 时,随着时间t的 变化,你离开地 面的高度h是如 何变化的？
h（米）
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
与单价 a（元）的关系式是 n 50 ，
其中变量是 a ，n ，常量是a 50
.
· 问题1：如图是某地一天内的气温变化图
·ห้องสมุดไป่ตู้
看图回答：
当时间t发生变化时,
(1)这天的6时、10时和14时的气温温分度别T为也多随少着？变任化意
给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．
(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系
式．
（2）试写出等腰三角形中顶角的度数 y与底角的度数x之间的函数关系式．
y 180 2x
y
x
等腰三角形两底角相等
在上面“试一试”中所出现的各个函 数中，自变量的取值有限制吗？如果 有，写出它的取值范围。
y 10 x (x取1到9的自然数)
y 180 2x (0 x 90 )
半径l(cm) 1 1.5 圆面积S(cm²) 3.14 7.07
2
2.6
12.56 21.23
3.2 …
32.15 …
圆的面积随着半径的增大而增大，
所以 r 和 S 是变量， 是常量。
柳暗花明
问题
变量 自变量 因变量
图 17.1.1
“气温变化问题”
波长 300 500 600 1000 1500
《变量与函数》课件
二、函数
1. 函数的定义
函数是一段可重复使用的代码，用于执行特定的任务。它可以接受参数并返回结果。
2. 函数的调用
我们可以通过调用函数来执行其中的代码，并传递参数给函数以获得所需的结果。
3. 函数的返回值
函数的返回值是函数执行完毕后返回给调用者的结果。我们可以通过获取函数的返回值来使 用它。
三、实例演示
《变量与函数》PPT课件
欢迎来到我们的《变量与函数》PPT课件。在本课程中，我们将一起探索变 量和函数的概念，学习它们在编程中的作用以及如何正确使用它们。让我们 开始吧！
一、变量
1. 变量的定义
什么是变量？变量是用于存储数据的容器，可 以在程序中赋过赋值语句，我们可以将值赋给变量并在程 序中使用这些值。
1
1. 变量实例
让我们通过一个实例了解如何定义、赋
2. 函数实例
2
值和使用变量，以及变量在程序中的作 用。
现在，我们将展示一个函数的实例，演
示如何定义函数、调用函数，并解释函
数返回值的概念。
四、总结
1. 变量和函数的区别
变量和函数在编程中有不同的角色和用途，理解它们之间的区别对于编写高效的代码至关重 要。
2. 变量和函数的应用
掌握变量和函数的概念和使用方法后，我们可以将它们应用于解决实际问题和开发创新的程 序。
3. 其他相关知识
除了变量和函数的基本概念外，我们还会介绍全局变量和局部变量、函数的递归调用，以及 在不同编程语言中的差异。
一次函数-变量与函数
变量与函数（知识讲解）【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量.要点二、函数的定义一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量x 的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意.要点三、函数值y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：2y x =中，当函数值为4时，自变量x 的值为±2.要点四、自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.【典型例题】类型一、变量与函数例1、下列是关于变量x 与y 的八个关系式：① y = x ；② y 2 = x ；③ 2x 2 − y = 0；④ 2x − y 2 = 0；⑤ y = x 3 ；⑥ y =∣x ∣；⑦ x = ∣y ∣；⑧ x =2y ．其中y 不是x 的函数的有_____．（填序号）【变式】下列：①2y x ；②21y x =+；③22(0)y x x =≥；④0)y x =≥，具有函数关系（自变量为x ）的是______．类型二、函数解析式的取值范围 例2、求出下列函数中自变量x 的取值范围（1）2321y x x =--； （2）2131x y x -=+；（3）y =（4）y =.举一反三：【变式】等腰三角形的周长为10，底边长y 与腰x 的函数关系式是102y x =-，则自变量x 的取值范围是________．类型三、函数解析式例3.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用住房墙（住房墙的长度大于BC ），另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在CD 边上留一个1m 宽的门．若设AB 为()y m ，BC 为()x m ，则y 与x 之间的函数关系式为______．【变式】如图，ABC 中，90BAC ∠=，4BC =，BD 是ABC 的角平分线，过点C 作BD 的垂线，交BD 的延长线于点E .若设AB x =，CE y =，则y 关于x 的函数解析式为___________.类型四、函数值例4、 若y 与x 的关系式为306y x =-，当x ＝时，y 的值为（ ）A ．5B ．10C ．4D ．－413课后练习1．下列式子：①y=3x ﹣5；②y=1x ；③y 2=x ；⑤y=|x|，其中y 是x 的函数的个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2．下列说法中，正确的是（ ）A ．对于两个变量x ，y ，若y x =，则y 是x 的函数B ．对于两个变量x ，y ，若22016x y +=，则y 是x 的函数C ．对于两个变量x ，y ，若2y x =，则y 是x 的函数D ．对于两个变量x ，y ，若22y x =，则y 是x 的函数3．函数y =的自变量的取值范围是（ ） A ．0x B ．0x > C ．0x ≠ D ．0x =4．下列曲线中不能表示y 与x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列图象中，表示y 不是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了 一觉. 当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终 点……. 用 s 1 、s2 分别表示乌龟和兔子所行的路程， t 为时间，则下列图像中与故事情节相吻合的是（ ）A ．B ．C ．D ．。
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探
究
一
一辆汽车以40千米/小时的速度行驶， 写出行驶路程s(千米)与行驶时间t(时) 的关系式。 S=40t
一辆汽车行驶5小时，写出行驶路程s (千米)与行驶速度v(千米/小时)之间 的关系式
S=5V
探
究
二
圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r 表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间 π r ² 满足下列关系：S＝_________． 利用这个关系式，试求出半径为1 cm、 1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积， 并将结果填入下表：
问:①水深的取值范围是什么？ ②为什么后面的数据不成倍数呢？ ③10米，20米，30米，则其对应的 存水量Q是多少？
如图是某地一天内的气温变化图．
探 究
看图回答： (1)这个图象表示什么内容？ (2)t的取值范围是什么？ (3)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？ 任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温． (4)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ (5)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段 的气温在逐渐降低？
一,请看这些是否是函数？ 1,y＝X＋1 2,y＝2X² +3X－2 3,看一个函数的图象如下图所示： 它表示的是函数吗？
y
讨论:y＝3是函数
x
1,一个变化过程中有两个变量。 2,因变量与自变量之间是一种对应关系，并且要 求对于x的每一个值y都有唯一的值与之相对应。 3,自变量有一定的取值范围； 4,自变量与函数是可以互相转化的，是相对的， 但一般情况下约定y是函数，x是自变量；
uxd07vzu
留下任何后遗症。至于小青，她原本就是一个通情达理的人，也理解耿正拒绝自己的原因。当她接受了东伢子的爱之后，情绪 很快就平静下来了。那天下午，乘着东伢子回去拿白酒的空档，耿英又进西屋里给她讲了自己与大壮的事。告诉她，那天在门 口遇到东伢子时，弟弟所提到的那个他很喜欢的大壮哥哥，实际上就是耿英自己倾心爱着的人。而她那天在小树林里所以问小 青附近有没有一条小河，也是因为她和大壮小的时候经常在故乡的那条小河边上玩儿，大壮经常给她捉鱼。说到离家的前夜， 她和大壮还坐在小河边的大石头上一起看月亮时，耿英思念的泪水滚滚而下。小青呢，从内心里非常感激耿英，知道她是一片 真心为自己好，是希望自己以后能够真心实意地回爱东伢子。小青现在回想一下，这东伢子也实在是没有什么不好的地方。于 是，小青暗下决心，今后一定要好好珍惜东伢子对自己的这一份真情！在家里，自己一定要当个好姐姐，不能再像耿英说的那 样，没有一个当姐姐的样子了。然而，当所有的一切终于完全平息下来后，耿老爹却不想在白家继续住下去了，甚至有了离开 武昌镇的想法。103第三十九回 耿正无辜吃重拳|（东伢子不解内中情，耿正无辜吃重拳；东伢子羞愧众人怨，耿英出面劝小 青。）眼看着小青跌跌撞撞地哭着向树林外边跑去了，耿正来不及多想，赶快拔腿往前追去。但他刚跑出十来步远，冷不防旁 边的树丛里突然之间“刺溜”蹿出来一个壮汉，照准他的左肩膀就是狠狠的一拳。这一拳打得实在够重，耿正只感觉半边身子 发麻，左肩膀就好像给整个儿卸下来了一样，一个趔趄站立不稳，“扑通”一声重重地跌倒了。耿正好生奇怪，自己来到这武 昌镇上以后，并不曾得罪过任何人啊，这人为何下如此狠手！就在倒地的一瞬间，耿正扭头看到，打自己这一拳的并非旁人， 而是那个特别憨厚壮实的东伢子！只见他正愤怒地瞪着两只眼睛呼呼直喘，好像这一拳下来还不够解气，还想继续动手的样子。 耿正到底年轻，顺势往旁边一滚，一个鲤鱼打挺站了起来，万分不解又很生气地对愤怒不已的东伢子说：“东伢子你为什么打 我？我惹着你什么啦！”没有想到，耿正这句话更加激怒了东伢子，他就像一头愤怒的狮子一样再一次举起了巨大的拳头吼道： “你没有惹我什么？你惹了小青就是惹了我啦！我揍的就是你！”耿正眼快，赶快躲过这一拳，对东伢子说：“你不要这样好 不好？你听我解释！”不明究里的东伢子呼呼地喘着粗气很不耐烦地说：“你有什么可解释的？小青她既然喜欢你，你可以娶 她，但是我绝不允许你欺负她！”此时耿正终于明白，这个特别憨厚的东伢子为什么会如此愤怒地对自己动粗了。然而，明白 过来的耿正实在是有些哭笑不得了。他咧嘴
一,这些是否是函数？请说明理由.
①|y|＝x＋1, ②Y=x2＋4x＋12 ③ y 2＝ x
二,指出下列各式子中的自变量, 因变量,常量,函数.
(1)C＝2πr(r≥0)， (2)s＝60t(t≥0)， (3)S＝(n－2)×180.
练 一 练
今天讲了一些什么内容?
新都装修公司 / 新都装修公司
由此可以看出，圆的半径越大， 大 它的面积就_________ ．
探
某水库的存水量Q(万立方米)与 h(米)之间的对应关系经过测定如 下表所示(h是指水深最深处的水深)：
0 5 25 10 50 15 20 25 30
…
究 三
水深h(米)
0 存水量 Q(万立方 米) 150 257 441 600 …
四
在上面的问题中，我们研究了一些数量间的 变化规律，他们都刻画了某些变化规律。 ①S＝40t。其中s与t是发生变化，这样的量 叫变量，不变的40是常量。 ②S＝5v的变量与常量分别是什么？ ③S＝πr² 中的变量与常量分别是什么？ 例4、例5中的变量分别是什么？
一般地，在一个变化过程中有两个量， 例如x和y。如果对于x的每一个值y都有 唯一值与之对应，把y叫做x的函数.
自变量:是指在他的取值范围内可以随心所欲的，
自由自在的取它想取的值，看这概念够贴切了吧。
因变量:这个“因”字是指因x的变化，通过一定的
关系而得到的。 在①中，t 是自变量，s是因变量。 在②中，v是自变量，s是因变量。 在③中，h是自变量，Q是因变量。 在④中，r是自变量， S是因变量。 在⑤中，t是自变量， T是因变量。