全国名校高中数学优质专题讲练汇编(附详解)(六)
空间直角坐标系
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)怎样建立空间直角坐标系？如何确定空间一点的 坐标？
(2)空间两点间的距离公式是什么？怎样用？
(1)如图数轴上 A 点、B 点．
(2)如图在平面直角坐标系中，P、Q 点的位置．
提示：如图所示，设点 M 是空间的一个定点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴的平面，依次交 x 轴，y 轴 和 z 轴于点 P、Q 和 R.设点 P、Q 和 R 在 x 轴、y 轴和 z 轴 上的坐标分别是 x，y 和 z，那么点 M 就对应唯一确定的有 序实数组(x，y，z)．
(3)设点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在 xOy 平面上的射 影分别为 M、N. ①M、N 的坐标是什么？点 M、N 之间的距离如何？ ②若直线 P1P2 是 xOy 平面的一条斜线，点 P1，P2 间的 距离如何？
空间中点 P 坐标的确定方法 (1)由 P 点分别作垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交 x 轴、 y 轴、z 轴于点 Px、Py、Pz，这三个点在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分 别为 x、y、z，那么点 P 的坐标就是(x，y，z)． (2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 P 在坐标轴 或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
标，记作 M(x,y,z) ．其中 x 叫点 M 的横坐标， y 叫点 M 的纵坐标， z 叫点 M 的竖坐标．
(4)空间两点间的距离公式 ① 点 P(x ， y ， z) 到 坐 标 原 点 O(0,0,0) 的 距 离 ， |OP| ＝ x2＋y2＋z2. ②任意两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离， |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
决胜高考数学全国名校试题分项汇编(新课标Ⅱ特刊)：专题06 数列(第03期)(含答案解析)
第六章 数列一．基础题组1. （长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >且65911a a =，当n S 取最大值时，n 的值为 A. 9 B. 10C. 11D. 12【答案】B 【解析】试题解析： 由题意，不妨设69a t =，511a t =，则公差2d t =-，其中0t >，因此10a t =，11a t =-，即当10n =时，n S 取得最大值. 故选B.2. （长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）已知数列{}n a 中，对任意的n ∈*N 若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积.已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列，且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列，且121q q ==-，设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和，则2016S = ___________. 【答案】2520- 【解析】3. （贵州省黔南州2016届高三（上）期末数学（理）试题）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【答案】A【分析】设出等比数列的公比，由已知列式求出首项和公比的平方，然后代入等比数列的通项公式求得a5．【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，由S3=a2+5a1，a7=2，得，解得：．∴．故选：A．4. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数学（理）试题）设等差数列{}n a满足27a=，43a=，nS是数列{}n a的前n项和，则使得n S0>最大的自然数n是（）A．9 B.10 C.11 D.12【答案】A【解析】5. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数学（理）试题）设数列{}n a的前n项和为n S ，且11a =，123n n a S +=+，则4S =____________. 【答案】66 【解析】试题解析：依题)2(321≥+=-n S a n n ，与原式作差得， n n n a a a 21=-+，即n n a a 31=+，2≥n ，可见，数列{}n a 从第二项起是公比为3的等比数列，52=a ，所以345(13)113S -=+-66=.故答案为66. 6. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）等差数列{}n a 中，365,S 36,a ==则9S = （ ） A. 17 B. 19 C. 81 D. 100 【答案】C . 【解析】试题解析：31125656362a a d d a =+=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，得112a d =⎧⎨=⎩，∴91989812d S a ⨯=+=，故选C . 7. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）设数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足21=346n n n S a a +-（），则=n a . 【答案】31n + 【解析】8. （甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）已知{a n}是等差数列，{b n}是正项等比数列，若a11=b10，则（）A．a13+a9=b14b6B．a13+a9=b14+b6C．a13+a9≥b14+b6D．a13+a9≤b14+b6【答案】D【分析】设{a n}是为公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的正项等比数列，运用等比数列和等差数列的通项公式和性质，作差比较结合完全平方公式和提取公因式，即可得到结论．9. （山东省临沂市2016届高三上学期期中数学（理）试题）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=．【答案】95【分析】先由a2+a4=4，a3+a5=10，构造关于首项和公差的方程组，求得首项和公差，再用等差数列前n项和求解．【解析】解：由a2+a4=4，a3+a5=10得可解得：∴故答案为：95【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和公式的应用．10. (甘肃省定西市通渭县榜罗中学2016届高三上学期期末数学（理）试题)已知数列{a n}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q=（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．﹣2或1【答案】B【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11. （宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），若正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足f（S n+2）﹣f（a n）=f（3）（n∈N*），则a6=（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由f（S n+2）﹣f（a n）=f（3），即为f（S n+2）=f（3）+f（a n），由条件可得f（S n+2）=f（3a n），由单调性可得S n+2=3a n，求得首项，将n换为n﹣1，相减，运用等差数列的通项公式即可得到所求值．【解析】解：f（S n+2）﹣f（a n）=f（3），即为f（S n+2）=f（3）+f（a n），由f（x•y）=f（x）+f（y），可得f（S n+2）=f（3a n），由函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，可得S n+2=3a n，当n=1时，可得S1+2=3a1=a1+2，解得a1=1，当n ＞1时，S n ﹣1+2=3a n ﹣1， 相减可得，a n =3a n ﹣3a n ﹣1， 即为a n =a n ﹣1，则a n =a 1（）n ﹣1=（）n ﹣1．则a 6=（）5． 故选C ．【点评】本题考查函数的单调性的运用，抽象函数的运用，考查数列的通项的求法，注意运用通项和前n 项和的关系，考查等差数列的通项公式的运用，属于中档题．12. （宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知等差数列{a n }中，a 2=7，a 4=15，则前10项的和S 10=（ ） A ．100 B ．210C ．380D ．400【答案】C【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n 项和公式，代入n=10得出结果．【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．13. (长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题)已知数列{}n a 中，对任意的n ∈*N 若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积.已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列，且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列，且121q q ==-，设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和，则2016S =___________. 【答案】2520-【命题意图】本题主要考查非常规数列求和问题.14. (长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >且65911a a =，当n S 取最大值时，n 的值为 A. 9 B. 10C. 11D. 12【答案】B【命题意图】本题主要等差数列的性质，借助前n 项的取值来确定项数.【解析】由题意，不妨设69a t =，511a t =，则公差2d t =-，其中0t >，因此10a t =，11a t =-，即当10n =时，n S 取得最大值. 故选B.15. （甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）方程()f x x =的根称为函数()f x 的不动点，若函数()(5)xf x a x =+有唯一不动点，且11613x =，111()n nx f x +=()n N *∈，则2016x = . 【答案】2016. 【解析】16. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=A ．5B ．9C ．3log 45D ．10【答案】D【考点】本题考查等比数列的性质【解析】由等比数列性质知7465a a a a =，又564718a a a a +=，965=∴a a ，则原式10213log a a a =10)(log 5653==a a ．【快速解题】准确理解等比数列的定义及各公式的等价形式，灵活运用等比数列的性质. 17. （吉林省长春外国语学校2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知数列{a n }满足a 1=60，a n+1﹣a n =2n ，（n ∈N *），则的最小值为 ．【答案】【分析】利用累加法求出a n =n 2﹣n+60，从而=n+﹣1，由此能求出的最小值．【解析】解：∵数列{a n }满足a 1=60，a n+1﹣a n =2n ，（n ∈N *）， ∴a n =a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1） =60+2+4+…+2（n ﹣1） =60+2×=n 2﹣n+60， ∴==n+﹣1，由n=，n∈N*，得n=8时，取最小值：8+=．故答案为：．【点评】本题考查数列的前n项和与项数n的比值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意累加法和基本不等式的合理运用．二．能力题组1. （广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知正项数列{a n}、{b n}中，a1=1，b1=2，a n，b n，a n+1成等比数列，b n，a n+1，b n+1成等差数列，（1）证明是等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）令，前n项和为S n，求使S n＜2016的最大自然数n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知，2a n+1=b n+b n+1．求出前四项后猜想．b n=n（n+1），再用数学归纳法证明，从而=n得到是首项为1，公差为1的等差数列，．（2）由==1+（），利用裂项求出法能求出使S n＜2016的最大自然数n．下面利用数学归纳法证明：【点评】本题考查等差列的证明，考查满足条件的实数值的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法、裂项求和法的合理运用．2. （山东省临沂市2016届高三上学期期中数学（理）试题）数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】综合题；方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（I）由S n=2a n﹣a1，利用递推可得：a n=2a n﹣1．由a1，a2+1，a3成等差数列，2（a2+1）=a1+a3，代入解出即可．（II）a n+1=2n+1，可得S n，b n=，利用“裂项求和”即可得出．【解析】解：（I）由S n=2a n﹣a1，当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣a1，∴a n=2a n﹣2a n﹣1，化为a n=2a n﹣1．由a1，a2+1，a3成等差数列．∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1+4a1，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为2．∴a n=2n．【点评】本题考查了递推关系的应用、“累加求和”方法、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. (甘肃省定西市通渭县榜罗中学2016届高三上学期期末数学（理）试题)已知等差数列{a n}满足a2=2，a6+a8=14（1）求数列{a n}的通项公式（2）求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列公差由已知条件求出a1=1，d=1，由此能求出a n=n．（2）由，利用错位相减法能求出数列{}的前n项和S n．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．4. （黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知数列的前n项和为S n，且满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=log2a n，，且数列{c n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】（1）由，可求a1，然后由n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1可得a n=2a n﹣1，根据等比数列的通项可求（2）由，而，利用裂项可求T n，即可求解【点评】本题主要考查了递推公式，a n=s n﹣s n﹣1，（n≥2）在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式的应用及裂项求和方法的应用，属于数列知识的综合应用．5. （宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（理）试题）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n ﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考“查错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．6. （吉林省长春外国语学校2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知数列{a n}是公差大于零的等差数列，数列{b n}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2﹣a2=1，a3+b3=13（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式（Ⅱ）设c n=a n b n，求数列{c n}前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d＞0），数列{b n}的公比为q，由题意列方程组求得公差和公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（Ⅱ）把数列{a n}和{b n}的通项公式代入c n=a n b n，然后直接利用错位相减法求数列{c n}前n 项和T n．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题。
全国名校高三数学综合优质试题汇编(附详解) 平面解析几何
全国名校高三数学综合优质试题汇编（附详解） 平面解析几何 考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页.2.答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.3.本次考试时间120分钟，满分160分.4.请在密封线内作答，保持试卷清洁完整.第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上.)1.直线x tan π3＋y ＋2＝0的倾斜角α＝________. 2.若在平面直角坐标系内过点P (1，3)且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为__________.3.直线x ＋2y ＝0被圆(x －3)2＋(y －1)2＝25截得的弦长为________.4.(优质试题·常熟模拟)双曲线x 2m 2－4＋y 2m 2＝1(m ∈Z )的离心率为________. 5.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则AB ＝________.6.已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋a ＝0，圆C 与直线x ＋2y －4＝0相交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，则实数a 的值为________.7.已知直线y ＝ax 与圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1交于A ，B 两点，且∠ACB ＝60°，则圆的面积为________.8.M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，若MF ＝p ，K 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则∠MKO ＝________.9.已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若F A ＝2FB ，则k 的值为____________.10.(优质试题·昆山模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x ，点P (0,4)，点A 在抛物线上，当点A 到抛物线准线l 的距离与点A 到点P 的距离之和最小时，F 是抛物线的焦点，延长AF 交抛物线于点B ，则△AOB 的面积为________.11.(优质试题·常州模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是__________.12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF1＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e1－1e2＝______.13.过双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的左焦点作直线l与双曲线交于A，B两点，使得AB＝4，若这样的直线有且仅有两条，则a的取值范围是____________.14.(优质试题·南通模拟)设直线l：3x＋4y＋4＝0，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，则r的取值范围是____________.第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l：y＝33x反射，反射光线l2交y轴于点B，圆C过点A且与l1，l2都相切.(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB＋PQ的最小值及此时点P的坐标.16.(14分)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，点P 在x 轴的正射影为点Q ，当点P 在圆上运动时，动点M 满足PQ →＝2MQ →，动点M 形成的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)点A (2,0)在曲线C 上，过点(1,0)的直线l 交曲线C 于B ，D 两点，设直线AB 的斜率为k 1，直线AD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值.17.(14分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为22，且椭圆C 与圆M ：(x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)经过原点作直线l (不与坐标轴重合)交椭圆于A ，B 两点，AD ⊥x 轴于点D ，点E 在椭圆C上，且(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝0，求证：B ，D ，E 三点共线.18.(16分)(优质试题·镇江模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0.(1)若a ＝－8，过点P (4,5)作圆M 的切线，求该切线方程；(2)若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →＝－6(其中O 为坐标原点)，求圆M 的半径.19.(16分)如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)建设一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB .问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？20.(16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足OP →＝2AO →.(1)若点P 的坐标为(2，2)，求椭圆的方程；(2)设过点P 的一条直线交椭圆于B ，C 两点，且BP →＝mBC →，直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求实数m 的值.答案精析1.2π3解析 因为y ＝－3x －2，所以斜率k ＝－3，即tan α＝－3(0≤α<π)，所以α＝2π3. 2．(0,2)解析 OP ＝2，当直线l 过点P (1，3)且与直线OP 垂直时，有d ＝2，且直线l 有且只有一条；当直线l 与直线OP 重合时，有d ＝0，且直线l 有且只有一条；当0<d <2时，有两条．3．4 5解析 由圆(x －3)2＋(y －1)2＝25，得到圆心坐标为(3,1)，半径r ＝5，所以圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝55＝5，则直线被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝4 5.4．2 解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈Z ，(m 2－4)·m 2<0，∴m 2＝1， 即双曲线的标准方程为y 2－x 23＝1，其离心率为e ＝c a ＝1＋31＝2. 5.135解析 直线3ax －y －2＝0过定点满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝0，y ＋2＝0，解得x ＝0，y ＝－2.∴直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)．将直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0整理为(2x ＋5y )a －(x ＋1)＝0， 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝0，x ＋1＝0，解得x ＝－1，y ＝25. ∴直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25.6.85 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝54x 1x 2－(x 1＋x 2)＋4＝0.(*) 联立直线和圆的方程，消去y 得5x 2－8x ＋4a －16＝0，x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝4a －165，代入(*)式得a ＝85. 7．6π解析 由题意可得圆心C (a,1)，半径R ＝a 2－1(a ≠±1)，∵直线y ＝ax 和圆C 相交，△ABC 为等边三角形，∴圆心C 到直线ax －y ＝0的距离为R sin 60°＝32×a 2－1， 即d ＝|a 2－1|a 2＋1＝3(a 2－1)2，解得a 2＝7， ∴圆C 的面积为πR 2＝π(7－1)＝6π.8．45°解析 设点M 在抛物线的准线上的垂足是N ，由于MN ＝MF ＝p ，所以四边形MNKF 是正方形，则∠MKO ＝45°.9.223解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2>0)，由AF ＝2FB 得x 1＋2＝2(x 2＋2)，①又由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)， 消去y ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，x 1＋x 2＝8－4k 2k 2，② x 1x 2＝4，③由①②③可解得k ＝223. 10．4 5解析 根据抛物线性质知抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，故当P ，A ，F 三点共线时达到最小值，由P (0,4)，F (2,0)，可得l AB ：2x ＋y －4＝0，联立抛物线方程可得x 2－6x ＋4＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故AB ＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10，原点到直线l AB ：2x ＋y －4＝0的距离d ＝|4|4＋1＝455， 所以△AOB 的面积为455×10×12＝4 5. 11．(2，＋∞)解析 AB ＝2b 2a ，由题意a ＋c <b 2a，即a 2＋ac <b 2＝c 2－a 2，c 2－ac －2a 2>0，即e 2－e －2>0，解得e >2(e <－1舍去)．12．2解析 由椭圆与双曲线的定义得e 1＝2c 10＋2c ，e 2＝2c 10－2c， 所以1e 1－1e 2＝4c 2c＝2. 13.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 解析 根据题意过双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的左焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得AB ＝4，若这样的直线有且仅有两条，可得2b 2a ＝2a <AB ＝4，并且2a >4，解得a >2；或2b 2a ＝2a>AB ＝4，并且2a <4，解得0<a <12. 14．[2，＋∞)解析 由题意得，圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2的圆心为C (2，0)，半径为r ，此时圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|2×3＋4|32＋42＝2，过直线l 上任意一点M 作圆C 的两条切线，切点为P ，Q ，则此时四边形MPCQ 为正方形，所以要使得直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ ＝90°，则d ≤2r ，即2r ≥2，得r ≥2，所以r 的取值范围是[2，＋∞)．15．解 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)，因为直线l 的斜率为33， 所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3，所以反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )，因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，所以b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上，所以a ＝33，②由①②得a ＝33，b ＝－1，故圆C 的半径r ＝CA ＝3，故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)由(1)知B (0，－4)．设点B (0，－4)关于l 对称的点为B ′(x 0，y 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－42＝33·x 02，y 0＋4x 0＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－23，y 0＝2， 故B ′(－23，2)． 由题意知，当B ′，P ，Q 三点共线时，PB ＋PQ 最小，故PB ＋PQ 的最小值为B ′C －3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3＝221－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P ⎝⎛⎭⎫32，12， 故PB ＋PQ 的最小值为221－3，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 16．(1)解 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝y 02， 因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，*把x ＝x 0，y ＝y 02代入方程*，得x 24＋y 2＝1， 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 方法一 由题意知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝my ＋1，消去x ，得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0， 易知Δ＝16m 2＋48>0，得y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4， k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2) ＝y 1y 2(my 1－1)(my 2－1)＝y 1y 2m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1 ＝－3－3m 2＋2m 2＋m 2＋4＝－34. 所以k 1k 2＝－34为定值． 方法二 ①当直线l 的斜率不存在时，设B ⎝⎛⎭⎫1，－32，D ⎝⎛⎭⎫1，32，所以k 1k 2＝－321－2·321－2＝－34. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， 易知Δ＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2， k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2(x 1－1)(x 2－1)(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝k 2(4k 2－4－8k 2＋1＋4k 2)4k 2－4－16k 2＋4＋16k 2＝－34， 所以k 1k 2＝－34为定值． 17．(1)解 由题意得2a ＝22，则a ＝ 2.由椭圆C 与圆M ：(x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为2， 其长度等于圆M 的直径，可得椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫1，±22， 所以12＋12b2＝1，解得b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 设A (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，D (x 1,0)．因为点A ，E 都在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2， 所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2). 又(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝AE →·AB →＝0，所以k AB ·k AE ＝－1，即y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝－1， 其中k AB ，k AE 分别是直线AB ，AE 的斜率．所以y 1x 1·x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝1， 所以y 1x 1＝2(y 1＋y 2) x 1＋x 2， 又k BE －k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 12x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 1＋y 2x 1＋x 2＝0， 所以k BE ＝k BD ，所以B ，D ，E 三点共线．18．解 (1)若a ＝－8，则圆M ：(x －1)2＋y 2＝9，圆心M (1,0)，半径为3.若切线斜率不存在，圆心M 到直线x ＝4的距离为3，所以直线x ＝4为圆M 的一条切线；若切线斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －4)，化简为kx －y －4k ＋5＝0，则圆心到直线的距离d ＝|k －4k ＋5|k 2＋1＝3， 解得k ＝815.此时切线方程为8x －15y ＋43＝0. 综上，所求切线方程为x ＝4或8x －15y ＋43＝0.(2)圆M 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1－a ，圆心M (1,0)，则OM ＝1.设圆的半径r ＝1－a (a <1)．因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA →＝－MB →，且|MA →|＝|MB →|＝r ，则OA →·OB →＝(OM →＋MA →)·(OM →＋MB →)＝(OM →－MB →)·(OM →＋MB →)＝OM →2－MB →2＝1－r 2.又因为OA →·OB →＝－6，解得r ＝7，所以圆M 的半径为7.19.解 如图，分别以两条道路所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系xOy ，设A (a ，0)，B (0，b )(0<a <1,0<b <1)，则直线AB 的方程为x a ＋y b＝1， 即bx ＋ay －ab ＝0.因为直线AB 与圆C 相切， 所以|b ＋a －ab |b 2＋a2＝1， 化简得ab －2(a ＋b )＋2＝0，即ab ＝2(a ＋b )－2.因为AB ＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a ＋b )2－4(a ＋b )＋4＝(a ＋b －2)2， 因为0<a <1,0<b <1，所以0<a ＋b <2，所以AB ＝2－(a ＋b )．又ab ＝2(a ＋b )－2≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 解得0<a ＋b ≤4－22或a ＋b ≥4＋2 2.因为0<a ＋b <2，所以0<a ＋b ≤4－22，所以AB ＝2－(a ＋b )≥2－(4－22)＝22－2，当且仅当a ＝b ＝2－2时取等号，所以AB 的最小值为22－2，此时a ＝b ＝2－ 2.答 当A ，B 两点离道路的交点都为(2－2)百米时，小道AB 最短．20．解 (1)因为OP →＝2AO →，又点P 的坐标为(2，2)，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－22， 代入椭圆方程，得1a 2＋12b2＝1.① 又椭圆的离心率为22，所以1－b 2a 2＝22.② 由①②得a 2＝2，b 2＝1，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，点C 的坐标为(x 3，y 3)．因为OP →＝2AO →，所以点P 的坐标为(－2x 1，－2y 1)．因为BP →＝mBC →，所以(－2x 1－x 2，－2y 1－y 2)＝m (x 3－x 2，y 3－y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 1－x 2＝m (x 3－x 2)，－2y 1－y 2＝m (y 3－y 2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＝m －1m x 2－2m x 1，y 3＝m －1m y 2－2m y 1，代入椭圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1mx 2－2m x 12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1m y 2－2m y 12b 2＝1，即4m 2⎝⎛⎭⎫x 21a 2＋y 21b 2＋(m －1)2m 2⎝⎛⎭⎫x 22a 2＋y 22b 2－ 4(m －1)m 2⎝⎛⎭⎫x 1x 2a 2＋y 1y 2b 2＝1.③ 因为点A ，B 在椭圆上，所以x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1.④ 又直线OA ，OB 的斜率之积为－12， 即y 1x 1·y 2x 2＝－12，结合②知x 1x 2a 2＋y 1y 2b 2＝0.⑤ 将④⑤代入③，得4m 2＋(m －1)2m 2＝1，解得m ＝52.。
全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)高三数学解答题训练6
1．(本小题满分12分)(优质试题·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15，∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ，∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．2．某商场的20件不同的商品中有34的商品是进口的，其余是国产的．在进口的商品中高端商品的比例为13，在国产的商品中高端商品的比例为35.(1)若从这20件商品中按分层(分三层：进口高端与进口非高端及国产)抽样的方法抽取4件，求抽取进口高端商品的件数；(2)在该批商品中随机抽取3件，求恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率；(3)若销售1件国产高端商品获利80元，国产非高端商品获利50元，若销售3件国产商品，共获利ξ元，求ξ的分布列及数学期望Eξ. 解：(1)由题意得，进口的商品有15件，其中5件是高端商品，10件是非高端商品，国产的商品有5件，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，若从这20件商品中按分层抽样的方法抽取4件，则抽取进口高端商品的件数为1.(2)设事件B 为“在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件”，事件A 1为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，0件国产高端商品”，事件A 2为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，1件国产高端商品”，则P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＝C 15C 212C 320＋C 15C 13C 112C 320＝55190＋30190＝1738， 所以在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是1738.(3)由于这批商品中仅有5件国产商品，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，那么，当销售3件国产商品时，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，1件非高端商品，或3件都是高端商品，于是ξ的可能取值为180,210,240.P (ξ＝180)＝C 13C 22C 35＝310，P (ξ＝210)＝C 23C 12C 35＝610＝35， P (ξ＝240)＝C 33C 35＝110. 所以ξ的分布列为故E (ξ)＝180×310＋210×35＋240×110＝204.3．在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，AB ＝CD ＝10.(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)若二面角A -PC -D 的大小为45°，求AP 的值．解：(1)证明：设O 为AC 与BD 的交点，作DE ⊥BC 于点E .由四边形ABCD 是等腰梯形得CE ＝BC －AD 2＝1， DE ＝DC 2－CE 2＝3，所以BE ＝DE ，从而得∠DBC ＝∠BCA ＝45°.所以∠BOC ＝90°，即AC ⊥BD .由P A ⊥平面ABCD ，得P A ⊥BD ，又因为P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC .(2)法一：作OH ⊥PC 于点H ，连接DH .由(1)知DO ⊥平面P AC ，故DO ⊥PC .所以PC ⊥平面DOH ，从而得PC ⊥DH .故∠DHO 是二面角A -PC -D 的平面角，所以∠DHO ＝45°.由∠DBC ＝∠BCA ＝45°，BC ＝4，得OC ＝2 2.同理可得OA ＝2，从而得AC ＝3 2.设P A ＝x ，则PC ＝x 2＋18.在Rt △DOH 中，由DO ＝2，∠DHO ＝45°，得OH ＝ 2.在Rt △P AC 中，由P A PC ＝OH OC ，可得x x 2＋18＝222， 解得x ＝6，即AP ＝ 6.法二：由(1)知AC ⊥BD .以O 为原点，OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：A (0，－2，0)，B (22，0,0)，C (0，22，0)，D (－2，0,0)．由P A ⊥平面ABCD ，得P A ∥z 轴，故设点P (0，－2，t )(t ＞0)．设向量m ＝(x ，y ，z )为平面PDC 的法向量，由CD →＝(－2，－22，0)，PD →＝(－2，2，－t )，m ·CD →＝m ·PD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －22y ＝0，－2x ＋2y －tz ＝0.令y ＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，32t . 又平面P AC 的法向量n ＝(1,0,0)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|n |＝25＋18t 2＝22，解得t ＝6，即AP ＝ 6.4.(优质试题·吉林省吉林市模拟)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，半径r ＝ 3 .(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB |的取值范围.10.解 (1)设圆上任意一点坐标(ρ，θ)，由余弦定理得：(3)2＝ρ2＋(2)2－2ρ×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，整理得：ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－1＝0.(2)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ x 2＋y 2－2x －2y －1＝0， 将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得：(2＋t cos α)2＋(2＋t sin α)2 －2(2＋t cos α)－2(2＋t sin α)－1＝0， 整理得：t 2＋(2cos α＋2sin α)t －1＝0 ，∴t 1＋t 2＝－2cos α－2sin α，t 1·t 2＝－1，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝8＋4sin 2α ， ∵α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴2α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴|AB |∈[22，23).。
全国名校优质高中数学学案经典汇编(附详解)专题1.1.2余弦定理(2)
二、例题分析
例 1 、在ABC中，若a b bc c ，则A 1200
2 2 2
拓展：已知在ABC中，角A、B、C 所对边长分 别为a、b、c，其中a、b是方程x 2 3 x 2 0
2
的两个根，并且2cos( A B) 1，试求c的值。
拓展：已知在ABC中，角A、B、C 所对边长分 别为a、b、c，其中a、b是方程x 2 2 3 x 2 0 的两个根，并且2cos( A B) 1，试求c的值。
全国名校优质高中数学学案经典汇编（附详解）专题
一、复习回顾 1、余弦定理：
a 2 b2 c 2 2bc cos A
2 2 a c 2ac cos B b
2
c 2 a 2 b2 2ab cos C
2、余弦定理的推论：
b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b2 cos A ,cos B , 2bc 2ac a 2 b2 c 2 cos C . 2ab
0
B、 120
0
C、 判断三角形是锐角、直角或钝角三角形的方法：
判断最大角的余弦值的符号！
推广：在△ABC中 （1）若A为直角，则a² ____ +c² = b² （2）若A为钝角，则a² ____ +c² > b² （3）若A为锐角，则a² ____ +c² < b²
拓展：若一锐角三角形三条边的长度分别为2、3、x， 试求x的取值范围.
(2) a c 4，故c 4 a
又 b 13, B 120
13 a 2 c 2 2ac cos120 a 2 c 2 ac a 2 (a 4)2 a(4 a )
全国名校高考数学复习优质学案、专题汇编(附详解)
高三数学当堂训练 基本不等式一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.故选C.答案：C2．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]解析：∵1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2.答案：D3．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a ＋b 的最小值为4.答案：C4．已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：因为a >－1，b >－2，所以a ＋1>0，b ＋2>0，又(a ＋1)(b＋2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1＋b ＋222，即16≤⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b ＋322，整理得a ＋b ≥5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立．故选B.答案：B5．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：∵不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，∵x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y4x＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y 4x ，即x ＝2，y ＝8时取等号，∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝4，∴m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：B6．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析( )A ．甲合适B ．乙合适C ．油价先高后低甲合适D ．油价先低后高甲合适解析：设甲每次加m 升油，乙每次加n 元钱的油，第一次加油x 元/升，第二次加油y 元/升，甲的平均单价为mx ＋my 2m ＝x ＋y2；乙的平均单价为2n n x ＋n y ＝2xyx ＋y ，因为x ≠y ，所以x ＋y22xy x ＋y ＝(x ＋y )24xy >1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适．故选B.答案：B 二、填空题7．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________．解析：由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4.当且仅当a ＝b ＝1时取等号．答案：48．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________． 解析：由1a ＋2b ＝ab ，知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取等号，所以ab 的最小值为2 2.答案：2 29．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为yx ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 8三、解答题10．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值． 解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . 因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎨⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)因为x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.。
全国名校高中数学优质专题讲练汇编(附详解)(三)
一、选择题1．(优质试题·福建“四地六校”联考)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}，则A ∩B 等于( )A ．(2,3]B ．(2,3)C ．(－3，－2)D ．[－3，－2)2．(优质试题·北京)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(优质试题·福州质检)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x －x －1≤0”，则綈p 为( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<04．(优质试题·山东)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于( ) A ．－2B ．－1C ．0D ．25．设a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4log 2(－x )，x <0，|x 2＋ax |，x ≥0.若f [f (－2)]＝4，则f (a )等于( ) A ．8B ．4C ．2D ．16．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )7．(优质试题·福州质检)已知函数f (x )＝32,2,(1),2,x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(0,1]D ．(－1,0)8.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若DB →＝x ·DC →＋y ·DA →，x >0，y >0，则x ，y 的值分别为( )A.3，1B ．1＋3， 3C ．2， 3 D.3，1＋ 39．已知sin(x －2 017π)＝13，x ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan 2x 等于( ) A.24 B ．－24C.427 D ．4 210．已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cos A 等于( ) A.32 B ．－22C ．－24D ．－3411．(优质试题·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32e ，1 B.⎣⎡⎭⎫－32e ，34 C.⎣⎡⎭⎫32e ，34D.⎣⎡⎭⎫32e ，1 12．已知O 是锐角△ABC 的外心，tan A ＝22，若cos B sin C AB →＋cos C sin B AC →＝2mAO →，则m 等于( ) A.33 B.32C ．3 D.53 二、填空题13．若f (x )＝x ＋2⎠⎛01f (t )d t ，则f (1)＝________. 14．若tan α＝3，则sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋2sin αcos α－5＝________. 15．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →·BD →＝－14，则AD →·BC →＝________.16．关于函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x ，有下列命题：①对任意x 1，x 2∈R ，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立；②f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增； ③函数f (x )的图象关于点(π12，0)对称； ④将函数f (x )的图象向左平移5π12个单位长度后所得到的图象与函数y ＝2sin 2x 的图象重合． 其中正确的命题是________．(注：把你认为正确的序号都填上)三、解答题17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －1，x <－2，x ＋3，－2≤x ≤12，5x ＋1，x >12.(1)求函数f (x )的最小值； (2)已知m ∈R ，p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意x ∈R 恒成立，q ：函数y ＝(m 2－1)x 是增函数，若p 正确，q 错误，求实数m 的取值范围．18．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)若c ＝t a ＋(1－t )b ，且b·c ＝0，求t 及|c |.19．设向量a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，记f (x )＝a·b .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)试用“五点法”画出函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，11π12上的简图，并指出该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到；(3)若函数g (x )＝f (x )＋m ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3的最小值为2，试求出函数g (x )的最大值．。
正弦定理与余弦定理
全国名校高中数学优质专题汇编（附详解）1．(优质试题·兰州市实战考试)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34D ．－34解析：选B.由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，b ＝2a ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a ＝－24，故选B.2．(优质试题·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C ＝c (1－3cos B )，则sin C ∶sin A ＝( ) A ．2∶3 B ．4∶3 C ．3∶1D ．3∶2解析：选C.由正弦定理得3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B ，3sin(B ＋C )＝sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C ＝π－A ，所以3sin A ＝sin C ，所以sin C ∶sin A ＝3∶1，选C. 3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2D ．2或3解析：选D.因为S △ABC ＝22＝12bc sin A ，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3.4．(优质试题·安徽合肥模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9πD ．36π 解析：选C.已知b cos A ＋a cos B ＝2，由正弦定理可得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2(R 为△ABC 的外接圆半径)．利用两角和的正弦公式得2R sin(A ＋B )＝2，则2R sin C ＝2，因为cos C ＝223，所以sin C ＝13，所以R ＝3.故△ABC 的外接圆面积为9π.故选C.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋cb 的值为( )A.22B. 2 C ．2D ．4解析：选C.在△ABC 中，由b sin A －3a cos B ＝0， 利用正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0， 所以tan B ＝3，故B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 即b 2＝(a ＋c )2－3ac ，又b 2＝ac ，所以4b 2＝(a ＋c )2，求得a ＋c b＝2.6．在△ABC 中，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为________．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ， 所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42， S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.答案：27．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________．解析：由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，所以sin C ＝378，所以sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1.答案：18．已知△ABC 的周长为2＋1，面积为16sin C ，且sin A ＋sin B ＝2sin C ，则角C 的值为________．解析：将sin A ＋sin B ＝2sin C 利用正弦定理化简得： a ＋b ＝2c ，因为a ＋b ＋c ＝2＋1，所以2c ＋c ＝2＋1，即c ＝1，所以a ＋b ＝2，因为S △ABC ＝12ab sin C ＝16sin C ，所以ab ＝13.因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－12ab＝（a ＋b ）2－2ab －12ab ＝2－23－123＝12，则C ＝π3.答案：π39．(优质试题·高考北京卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314.(2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.10．(优质试题·贵州省适应性考试)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝4，b sin A ＝3. (1)求tan B 及边长a 的值；(2)若△ABC 的面积S ＝9，求△ABC 的周长． 解：(1)在△ABC 中，a cos B ＝4，b sin A ＝3， 两式相除，有b sin A a cos B ＝sin B sin A sin A cos B ＝tan B ＝34，又a cos B ＝4，所以cos B >0，则cos B ＝45，故a ＝5.(2)由(1)知，sin B ＝35，由S ＝12ac sin B ＝9，得c ＝6.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，得b ＝13. 故△ABC 的周长为11＋13.1．(优质试题·长沙市统一模拟考试)△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3B ．6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3C ．23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3D ．23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3解析：选C.设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ，于是△ABC 的周长为23[sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ]＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3.选C.2．(优质试题·安徽江南十校联考)设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC 的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1S 2的值为( )A.2512πB.2524πC.3＋32πD.3＋34π解析：选D.在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝512π.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (a 、b 、c 为△ABC 中角A 、B 、C 的对边，R 为△ABC 的外接圆半径)可得，a ＝sin A sin C ·c ，b ＝sin B sin C ·c ，R ＝c2sin C .所以S 1＝12ab sin C ＝12·sin A sin C ·sin B sin C ·c 2·sin C＝12sin A ·sin B ·sin C ·c 2sin 2C ， S 2＝πR 2＝π4·c 2sin 2C，所以S 1S 2＝2sin A ·sin B ·sin Cπ＝2×22×32×6＋24π＝3＋34π，故选D.3．如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为________．解析：在△ABD 中，设BD ＝x ，则 BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ， 即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°， 整理得x 2－10x －96＝0， 解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)． 在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD ，所以BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.答案：8 24．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，a ＝2 3.若b ∈[1，3]，则c 的最小值为________．解析：由a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ．由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即3cos C ＝3sin C ，所以tan C ＝3，故cos C ＝12，所以c 2＝b 2－23b ＋12＝(b －3)2＋9，因为b ∈[1，3]，所以当b ＝3时，c 取最小值3. 答案：35.(优质试题·洛阳市第一次统一考试)如图，平面四边形ABDC 中，∠CAD ＝∠BAD ＝30°.(1)若∠ABC ＝75°，AB ＝10，且AC ∥BD ，求CD 的长； (2)若BC ＝10，求AC ＋AB 的取值范围． 解：(1)由已知，易得∠ACB ＝45°， 在△ABC 中，10sin 45°＝CB sin 60°⇒BC ＝5 6.因为AC ∥BD ，所以∠ADB ＝∠CAD ＝30°，∠CBD ＝∠ACB ＝45°， 在△ABD 中，∠ADB ＝30°＝∠BAD ，所以DB ＝AB ＝10. 在△BCD 中，CD ＝CB 2＋DB 2－2CB ·DB cos 45°＝510－4 3. (2)AC ＋AB >BC ＝10，cos 60°＝AB 2＋AC 2－1002AB ·AC ⇒(AB ＋AC )2－100＝3AB ·AC ，而AB ·AC ≤⎝⎛⎭⎫AB ＋AC 22，所以（AB ＋AC ）2－1003≤⎝⎛⎭⎫AB ＋AC 22， 解得AB ＋AC ≤20，故AB ＋AC 的取值范围为(10，20]．6．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，ac sin A ＋4sin C ＝4c sin A .(1)求a 的值；(2)圆O 为△ABC 的外接圆(O 在△ABC 内部)，△OBC 的面积为33，b ＋c ＝4，判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)由正弦定理可知，sin A ＝a 2R ，sin C ＝c2R ，则ac sin A ＋4sin C ＝4c sin A ⇔a 2c ＋4c ＝4ac ，因为c ≠0，所以a 2c ＋4c ＝4ca ⇔a 2＋4＝4a ⇔(a －2)2＝0，可得a ＝2. (2)设BC 的中点为D ，则OD ⊥BC ， 所以S △OBC ＝12BC ·OD .又因为S △OBC ＝33，BC ＝2， 所以OD ＝33， 在Rt △BOD 中，tan ∠BOD ＝BD OD ＝12BC OD ＝133＝3，又0°<∠BOD <180°，所以∠BOD ＝60°， 所以∠BOC ＝2∠BOD ＝120°， 因为O 在△ABC 内部， 所以∠A ＝12∠BOC ＝60°，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .所以4＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，又b ＋c ＝4， 所以bc ＝4，所以b ＝c ＝2， 所以△ABC 为等边三角形．。
全国名校高中数学优质学案汇编(附详解)专题集合
A.2
B.3
C.4
1 2
D.5
案答 B A= A∩B中有3个元素,故选B. x | x 3 ,∴A∩B={0,1,2}, C
教材研读
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3.设集合A={x|x2-3x<0},B={x||x|>2},则A∩(∁RB)= ( B )
A.{x|-2≤x<3} C.{x|-2≤x<0} B.{x|0<x≤2} D.{x|2≤x<3}
全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）专题
栏目索引
第一节
集合
总纲目录
栏目索引
总纲目录 教材研读
1.元素与集合 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 4.集合的运算性质
考点突破
考点一 元素与集合
考点二 集合间的基本关系
考点三
集合的基本运算
教材研读
栏目索引
教材研读
1.元素与集合
(1)集合元素的特性:① 确定性 、② 互异性 、无序性.
教材研读
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1.(优质试题课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则A ( A.A∩B={x|x<0} C.A∪B={x|x>1} B.A∪B=R D.A∩B=⌀
)
答案 A 由3x<1,得x<0,所以B={x|x<0},故A∩B={x|x<0},故选A. 2.(优质试题广东五校协作体第一次诊断考试)已知集合A={x|2x2-5x-3≤0}, B={x∈Z|x≤2},则A∩B中的元素个数= ( B )
表示 关系 基本 关系 真 子 集 集合A是集合B的子集,且集合B中 相等 至少 有一个元素不属于A 相同 A⊆B,且B⊆A A=B A⊆B,且∃x0∈B,x0∉A A⫋ B 或B⫌A 子集 集合A的 元素 都是集合B中的元素 x∈A⇒x∈B A⊆B或 B⊇A 文字语言 符号语言 记法
空间几何体的外接球与内切球。专题汇编
空间几何体的外接球与内切球。
专题汇编本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的定义、性质、结论和求解方法。
首先，球的定义是空间中到定点的距离等于定长的点的集合，简称球。
在此基础上，定义了外接球和内切球。
外接球是指一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，这个球是这个多面体的外接球；内切球是指一个多面体的各面都与一个球的球面相切，这个球是这个多面体的内切球。
其次，文章介绍了外接球的性质和结论。
其中，外接球的性质包括过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面；球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心。
文章还列举了各种空间几何体的外接球的结论，如长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处等。
最后，文章介绍了内切球的一个重要结论，即若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。
同时，文章还提到了勾股定理、正定理及余弦定理等求解三角形线段长度的方法。
经过剔除格式错误和删除有问题的段落，本文更加清晰明了地介绍了空间几何体的外接球与内切球的相关知识和方法。
2.内切球与多面体各面的距离相等，外接球与多面体各顶点的距离相等，类比于多边形的内切圆。
3.正多面体的内切球和外接球的球心重合。
4.正棱锥的内切球和外接球的球心都在高线上，但不一定重合。
5.求解内切球半径的基本方法有两种：一是构造三角形利用相似比和勾股定理，二是体积分割法，即等体积法。
6.与台体相关的内容在此略过。
7.八大模型之一是墙角模型，其中三条棱两两垂直，可以直接使用公式(2R)2=a2+b2+c2求出内切球半径R。
8.举例说明：（1）已知同一球面上正四棱柱的高为4，体积为16，则其内切球表面积为24π；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球表面积为9π；（3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM垂直MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。
全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)专题函数与方程
函数与方程A组基础题组1.(优质试题济南模拟)已知2是函数f(x)=的一个零点,则f(f(4))的值是( )A.3B.2C.1D.log232.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为( )A. B. C. D.3.(优质试题辽宁大连二模)已知偶函数y=f x x∈R 满足f(x)=x2-3x x≥0则y=f(x)-g(x)的零点个数为( )若函数g(x)=-A.1B.3C.2D.44.(优质试题云南第一次统一检测)已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f(x)=2 019-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是( )A.a>c>b>dB.a>b>c>dC.c>d>a>bD.c>a>b>d5.已知函数f(x)=- a∈R 若函数f(x)在R上有两个零点,则a 的取值范围是( )A.(-∞ -1)B.(-∞ 0C.(-1,0)D.[-1,0)6.已知函数y=f(x)的图象是连续曲线,且有如下的对应值表:则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有个.7.已知f(x)=--则其零点为.8.已知函数f(x)=--有两个零点,则实数a的取值范围是.9.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0 +∞ 时, f(x)=x2-2x.(1)写出函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围.B组提升题组1.已知x0是f(x)=+的一个零点,x1∈ -∞ x0),x2∈ x0,0),则( )A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)>0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)<0,f(x2)>02.已知f(x)对任意x∈[0 +∞ 都有f(x+1)=-f(x),且当x∈[0 1 时,f(x)=x,若函数g(x)=f(x)-log a(x+1)(0<a<1)在区间[0,4]上有两个零点,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.3.已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f x ≤0的解集为{x|-1≤x≤3 x∈R}.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=-4ln x的零点个数.4.已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=.(1)求g[f(1)]的值;(2)若方程g[f(x)]-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.答案精解精析A组基础题组1.A 由题意知log2(2+m)=0,所以m=-1,f(f(4))=f(log23)==3.2.A 因为f =+log2<0,f=+log2>0,所以f·f<0,故函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为.3.B 作出函数f(x)与g(x)的图象如图,由图象可知两个函数图象有3个不同交点,所以函数y=f(x)-g(x)有3个零点,故选B.4.D f(x)=2 019-(x-a)(x-b)=-x2+(a+b)x-ab+2 019,又f(a)=f(b)=2 019,c,d 为函数f(x)的零点,且a>b,c>d,所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象,如图所示,由图可知c>a>b>d,故选D.5.D 当x>0时, f(x)=3x-1有一个零点x=,所以只需要当x≤0时,e x+a=0有一个根即可,即e x=-a.当x≤0时,e x∈ 0 1] 所以-a∈ 0 1] 即a∈[-1,0),故选D.6.答案 3解析由零点存在性定理及题中的对应值表可知,函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)内均有零点,所以y=f(x)在[1,6]上至少有3个零点.7.答案1,-1解析当x>0时,由f(x)=0,即xln x=0得ln x=0,解得x=1;当x≤0时,由f(x)=0,即x2-x-2=0,也就是(x+1)(x-2)=0,解得x=-1或x=2.因为x≤0 所以x=-1.综上,函数的零点为1,-1.8.答案[2 +∞解析当x<1时,令ln(1-x)=0,解得x=0,故f(x)在(-∞ 1 上有1个零点 ∴f x 在[1 +∞ 上有1个零点.当x≥1时,令2x-a=0,得a=2x≥2 ∴实数a的取值范围是[2 +∞ .9.解析(1)当x∈ -∞ 0 时,-x∈ 0 +∞ .∵f x 是奇函数,∴f x =-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,∴f x =---.(2)当x∈[0 +∞ 时, f(x)=x2-2x=(x-1)2-1≥-1;当x∈ -∞ 0 时, f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2≤1.作出函数f(x)的图象,如图所示,根据图象可知,使得方程 f(x)=a恰有3个不同的解的a的取值范围是(-1,1).10.解析因为f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根,设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0时,即m2-4=0,所以m=±2当m=-2时,t=1;当m=2时,t=-1(不合题意,舍去).所以2x=1,x=0符合题意.当Δ>0,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.所以这种情况不符合题意.综上可知:当m=-2时,f(x)有唯一零点.B组提升题组1.C 因为x0是函数f(x)=+的一个零点,所以f(x0)=0,因为f(x)=+在(-∞ 0 和 0 +∞ 上是单调递减函数,且x1∈ -∞ x0),x2∈ x0,0),所以f(x1)>f(x0)=0>f(x2).2.C 因为f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)的周期为2,当x∈[1 2 时,x-1∈[0 1 所以f(x)=-f(x+1)=-f(x-1)=-(x-1)=1-x.作出f(x)和y=log a(x+1)的函数图象如图:因为函数g(x)=f(x)-log a(x+1)(0<a<1)在区间[0,4]上有两个零点,所以log a(2+1)>-1,log a 4+1 ≤-1.解得≤a<.3.解析(1)因为f(x)是二次函数,且f x ≤0的解集为{x|-1≤x≤3 x∈R} 所以可设f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.因为a>0, f(x)=a[(x-1)2-4]≥-4,且f(1)=-4a,所以f(x)min=-4a=-4,解得a=1.故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.(2)由(1)得g(x)=---4ln x=x--4ln x-2,所以g(x)的定义域为 0 +∞ g' x =1+-=--.当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:当0<x≤3时 g x ≤g 1 =-4<0,又g(e5)=e5--20-2>25--22>25-1-22=9>0,所以函数g(x)只有1个零点,且零点x0∈ 3 e5).4.解析 1 ∵f 1 =-12-2×1=-3,。
俩角和与差的正弦、余弦和正切公式
全国名校高中数学优质专题汇编（附详解）1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( ) A.12 B.33 C.22D.32解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73° ＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17° ＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝12.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则tan α＝( ) A ．－1 B ．0 C.12D ．1解析：选A.因为sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， 所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，所以⎝⎛⎭⎫12－32sin α＝⎝⎛⎭⎫32－12cos α，所以sin α＝－cos α，所以tan α＝－1.3．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17，则sin α等于( ) A.35 B.45 C ．－35D ．－45解析：选A.因为tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17，所以tan α＝－34＝sin αcos α，所以cos α＝－43sin α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝925.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α＝35.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为( ) A.13 B ．－13C.23D ．－23解析：选B.sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫332－1＝－13.5．(优质试题·兰州市实战考试)sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A ．－15B.15 C ．－75D.75解析：选D.2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2⎝⎛⎭⎫22cos α＋22sin α＝sin α＋cos α，又因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝4925，0<α<π2，所以sin α＋cos α＝75，故选D.6．(优质试题·贵州省适应性考试)已知α是第三象限角，且cos ()α＋π＝45，则tan 2α＝________．解析：由cos(π＋α)＝－cos α＝45，得cos α＝－45，又α是第三象限角，所以sin α＝－35，tanα＝34，故tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.答案：2477．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝________． 解析：依题意可将已知条件变形为 sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.又β是第三象限角，因此有cos β＝－45.sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝－sin(β＋π4)＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝7210. 答案：72108．(优质试题·兰州市高考实战模拟)若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)＝________．解析：由sin α－sin β＝1－32，得(sin α－sin β)2＝⎝⎛⎭⎫1－322，即sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝74－3，①由cos α－cos β＝12，得cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14，②①＋②得，2sin αsin β＋2cos αcos β＝3，即cos(α－β)＝32. 答案：329．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝ 2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 10．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos θ的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝22A ＝322， 所以A ＝3.(2)f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π3 ＝3⎣⎡⎝⎛⎭⎫sin θcos π3＋cos θsin π3－⎝⎛－sin θcos π3 ⎦⎤⎭⎫＋cos θsin π3＝6sin θcos π3＝3sin θ＝3，所以sin θ＝33.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63.1．(优质试题·山西太原五中模拟)已知角α为锐角，若sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝( ) A.26＋16B.3－28C.3＋28D.23－16解析：选A.由于角α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则 cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝223，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16. 2．(优质试题·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6等于( ) A ．－1010B.1010C ．－31010D.31010解析：选C.tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2⇒tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝－2⇒tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－2，因为α为第二象限角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝255，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－55，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π4－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π4＝－31010. 3．(优质试题·安徽重点中学联考)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________． 解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14.由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1， 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以tan α＞0， 所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516.答案：15164．(优质试题·郑州第一次质量预测)△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，若3cos A ＋sin A3sin A －cos A＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π12，则tan A ＝____________________________. 解析：3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π32sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝－tan ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－A －π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π12，所以－A －π3＝k π－7π12(k ∈Z )，所以A ＝－k π＋7π12－π3＝－k π＋3π12＝－k π＋π4，又在△ABC 中，A ∈(0，π)，所以tan A ＝tan π4＝1.答案：15．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， 所以sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，所以cos 2α＝－32.所以tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.6．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，所以sin 2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos 2α＝1－sin 22α＝35，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43. (2)因为β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4， sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4·cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β，所以cos 2β＝－2425， 又2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin 2β＝725，又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， 所以cos α＝255，sin α＝55.所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725 ＝－11525.。
全国名校高三数学优质学案汇编(附详解)专题导数的综合应用
值问题,可转化为两个函数的最值进行比较证明,如要证f(x)≥g(x)在D上
成立,则需证明f(x)min≥g(x)max.
考点突破
栏目索引
1-1 (优质试题贵州适应性考试)已知函数f(x)=xln x+ax,a∈R,函数f(x)的图 象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直. (1)求a的值和函数f(x)的单调区间; (2)求证:ex>f '(x).
栏目索引
第四节
导数的综合应用
全国名校高三数学优质学案汇编（附详解）
总纲目录
栏目索引
总纲目录
考点突破
考点一 考点二 不等式证明 不等式恒成立问题
考点三 利用导数研究函数的零点或方程的根
考点突破
栏目索引
考点突破
考点一 不等式证明
ln x x
典例1 (优质试题辽宁沈阳高考模拟)已知函数f(x)= .
(1)求函数f(x)的极值; (2)当0<x<e时,求证: f(e+x)>f(e-x).
考点突破
栏目索引
解析 (1)f '(x)= 2 ,x∈(0,+∞), 当x∈(0,e)时, f '(x)>0, f(x)单调递增; 当x∈(e,+∞)时, f '(x)<0, f(x)单调递减. 所以当x=e时, f(x)取极大值 ,无极小值. (2)证明:要证f(e+x)>f(e-x),即证 只需证(e-x)ln(e+x)>(e+x)ln(e-x),
a a ②当a>0时,由g'(x)>0,得x>ln ,g(x)在 ln , 上单调递增, 2 2 a a ,ln 由g'(x)<0,得x<ln ,g(x)在 上单调递减. 2 2
圆的标准方程
全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解）4.1.1 圆的标准方程 一、温故互查：1、两点间距离公式：2．（1）在平面直角坐标系中，如何确定一条直线呢？（2）在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？首先回忆一下初中讲过的一个圆最基本要素是 和二、设问导读1、如图，在直角坐标系中，圆心点A 的位置用坐标(a ,b ) 表示，半径r 的大小等于圆上任意一点M (x , y )与圆心A (a ,b ) 的距离．符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？2.则点M 、A 间的距离为：=MA ___________________________________________ 即：把这个方程称为圆心为A (a , b )，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程 【结构分析】圆的标准方程是一个____元____次方程.减号 r 是________ 平方222)()(r b y a x =-+- b 是_______________a 是_______________ y x ,的系数都是____探究一 探究圆的标准方程1. 写出下列圆的圆心坐标和半径。
方程 圆心坐标 半径 方程 圆心坐标 半径6)1()4(122=-+-y x ）（ __________ ________ 8)3(422=-+y x ）（ __________ ________ 4)4()1(222=++-y x ）（ __________ ________ 222)3(5-=+y x ）（ __________ ________ 9)2(322=++y x ）（ ___________ _________ 222)(6a y a x =+-）（ ___________ ________总结： 特别地，当)0,0(),(=b a 时，圆的方程变为________________________ 2. 根据下列条件，写出圆的标准方程。
定积分与微积分基本定理
全国名校高中数学优质专题汇编(附详解)1.定积分f1(3x + e x)dx的值为(2 01e+2解析: 选 D. ['1(3x + e x)dx= (fx+"0 y“ 1 3丿0= 2 + e2.若ji g x, x>0,f(x)= 1 「3t2dt, x<0, f(f(1))= 1，则 a 的值为( 1$+ 丿0C.—解析: 选 A.因为 f(1) = Ig 1 = 0, f(0) =「3t2dt=t3|0= a3,所以由 f(f(1)) = 1 得 a3 = 1,所以 a"0=1.3.—物体受到与它运动方向相反的力: F(x)= 110eX + X的作用，则它从x= 0运动到x= 1时F(x)所做的功等于( )A 2+ 2 .10 5 e —2 10— 5e 2 C.-五+ 2 e - 2 -10-5解析：选D.由题意知 W=-「1(10e X + x》x0 0-為+ 2x2丿|0=-10—24. 若 f(x)= X2+ 2 ["1f(x)dx,贝Uf1f(x)dx=(* 0 * 0C.解析：选 B.因为 f(x)= X2+ 2 f1f(x)dx,"0所以C f(x)dx = g x3+ 2x『f(x)dx)1*0 U 0，1 1=3+ 2「f(x)dx,所以 f 1f(x)dx=--* 0 * 05.直线y= x+ 4与曲线y= x2- x+ 1所围成的封闭图形的面积为( )22A. 528B.2832 CE34D.34解析：选C.因为x+ 4= x2- x + 1的解为x=— 1或x= 3, 所以封闭图形的面积为 S=『[x+ 4-(x2— x+ 1)]dx 丿-1启 2=f ( — x +2x+ 3)dx J=(—fxJx2+ 3X)-1 =乎.6.定积分f1(X2 + sin x)dx=H -1解析：r (x2 + sin x)dx J广1 2 广1=f x dx+ [ sin xdx J " J-13 =2 f1x2dx= 2 "0 32答案：2 1=2 0= 3.7. f1 (x2tan x+x3+ 1)dx= J解析：因为x2tan x+ x3是奇函数.所以r (x2tan x+x3+ 1)dx= r 1dx= x]-1 = 2. J _ 4J答案：2& 设函数 f(x)= ax2 + e(a丰 0),若['1f(x)dx= f(X0), 0< x o^ 1，则 x。
弦中点问题
方程．
（3）过点 A（2，1）引椭圆割线，求截得的弦的中
点轨迹方程；
2、交点思想 交点问题 （形）
方程（组）的解问题（数）
fy(=x，kxy＋)=m0＝＝＞ ax2＋bx＋c＝0
x 0= 中点
y 0=
x1＋x2 2
y1＋y2 2
韦达定理x0 = -2ba y0 =kx0＋m
弦长＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2来自弦长＝⊿ |a|
1＋k2
＝ 1＋k2| x1－x2|＝ 1＋k12 | x1－x2|
例、已知椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 交于 A，B
两点. |AB|=2 2 且 AB 中点 M 与椭圆中心连线的斜
率为
2 2
时，求椭圆的方程.
①“点差法”的要点是巧代斜率和中点坐标，
将 xy11－ －xy22，
x1＋x2，
y1＋y2 视为整体；
②“点差法”适用于：平行弦的中点轨迹；过定点的弦的 中点轨迹；过定点且被定点平分的弦所在的直线方程．
例：已知椭圆
x2 2
+ y2 = 1．
（1）求斜率为 2 的平行弦的中点的轨迹方程；
（2）求过点 P（12，21）且被 P 平分的弦所在的直线
全国名校高二数学优质学案专题汇编（附详解）
交点法 弦中点问题
1、点差法：
设曲线 f (x，y)＝0 上两点 A（x1，x2），B（y1，y2），弦
AB 的中点（x0，x0）．则
由f f
((xx12， ，yy12))＝ ＝00＝＝＞m（x1＋x2）＋n（y1＋y2）yx11－ －yx22＝0．
全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)专题 函数及其表示
第一节函数及其表示A组基础题组1.已知函数f(x)=x|x|,若f(x0)=4,则x的值为( )A.-2B.2C.-2或2D.2.(优质试题山西名校联考,5)设函数f(x)=lg(1-x),则函数f[f(x)]的定义域为( )A.(-9,+∞)B.(-9,1)C.[-9,+∞)D.[-9,1)3.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为( )A.g(x)=2x2-3xB.g(x)=3x2-2xC.g(x)=3x2+2xD.g(x)=-3x2-2x4.(优质试题河北“五个一名校联盟”二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=),,),,则g[f(-8)]=( )A.-1B.-2C.1D.25.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2+1,值域为{1,3}的同族函数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.函数f(x)=-的定义域为.7.已知f(x)=,,--),,则使f x)≥-1成立的x的取值范围是.8.(优质试题安徽芜湖一中期末)已知a,b为两个不相等的实数,集合M={a2-4a,-1},N={b2-4b+1,-2},f:x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b 等于.9.已知函数y=的定义域为R,求实数k的值.10.设函数f(x)= , , , ,且f(-2)=3, f(-1)=f(1). (1)求f(x)的解析式;(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象.B 组 提升题组1.已知函数f(x)=- , , , ,则f(f(x))<2的解集为( )A.(1-ln 2,+∞)B.(-∞,1-ln 2)C.(1-ln 2,1)D.(1,1+ln 2)2.如果函数f(x)满足:对任意实数a,b 都有f a+b)=f a)·f b),且f(1)=1,则 ) )+ ) )+ ) )+ ) )+…+ ))= . 3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足以下关系:y= +mx+n(m,n 是常数).如图是根据多次试验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图.(1)求出y 关于x 的函数表达式;(2)如果要求刹车距离不超过25.2米,求行驶的最大速度.4.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨为3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲,乙两户该月用水量分别为5x(吨),3x(吨).(1)求y关于x的函数;(2)若甲,乙两户该月共交水费26.40元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.答案精解精析A组基础题组1.B 当x≥0时, f(x)=x2,此时f(x0)=4,即=4,解得x=2(舍负).当x<0时, f(x)=-x2,此时f(x0)=4即-=4,无解.所以x=2,故选B.2.B f[f(x)]=f[lg(1-x)]=lg[1-lg(1-x)],则-,--)⇒-9<x<1.故选B.3.B 设g(x)=ax2+bx+c a≠0),∵g 1)=1,g -1)=5,且图象过原点,∴,-,,解得,-,,∴g x)=3x2-2x.4.A ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=),,),,∴f -8)=-f(8)=-log39=-2,∴g[f -8)]=g(-2)=f(-2)=-f(2)=-log33=-1.故选A.5.C 由x2+1=1得x=0,由x2+1=3得x=±,所以函数的定义域可以是{0,},{0,-},{0,,-},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.6.答案 0,1)∪ 1,4]解析要使函数有意义,应满足,, -,解得0<x≤4且x≠1,所以函数的定义域为 0,1)∪ 1,4].7.答案[-4,2]解析由题意知,-或,--)-,解得-4≤x≤0或0<x≤2,故x的取值范围是[-4,2].8.答案 4解析由已知可得M=N,故--,--⇒-,-,所以a,b 是方程x 2-4x+2=0的两根,故a+b=4.9.解析 函数y= 的定义域即为使k 2x 2+3kx+1≠0的实数x 的集合. 由函数的定义域为R,得方程k 2x 2+3kx+1=0无解.当k=0时,函数y= =1,函数的定义域为R,因此k=0符合题意;当k≠0时,k 2x 2+3kx+1=0无解,即Δ=9k 2-4k 2=5k 2<0,不成立,因此k≠0不合题意.所以实数k 的值为0.10.解析 (1)由f(-2)=3, f(-1)=f(1)得- ,- ,解得a=-1,b=1, 所以f(x)= -, , , .(2)f(x)的图象如图.B 组 提升题组1.B 当x≥1时, f(x)=x 3+x≥2;当x<1时,f(x)=2e x-1<2,∴f f x))<2等价于f(x)<1,即2e x-1<1,解得x<1-ln 2,∴f f x))<2的解集为(-∞,1-ln 2).故选B.2.答案 2 016解析 由f(a+b)=f(a)f(b),令b=1,结合f(1)=1,得f(a+1)=f(a),即 ))=1,由于a 是任意实数,所以当a 取1,2,3,…,2 016时, ) )= ) )=…= ) )=1.故 ) )+ ) )+ ) )+ ) )+…+ ))=2 016.3.解析 (1)由题意及函数图象,得. ,. ,解得m= ,n=0, 所以y= + x≥0).(2)令 +≤25.2,得-72≤x≤70.∵x≥0,∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70千米/时.4.解析(1)当甲户的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙户的用水量也不超过4吨,y= 5x+3x)×1.8=14.4x;当甲户的用水量超过4吨,乙户的用水量不超过4吨,即3x≤4且5x>4时,y=4×1.8+3x×1.8+3 5x-4)=20.4x-4.8;当乙户的用水量超过4吨时,即3x>4,y=24x-9.6,所以y=.,,.-.,, -.,.(2)由(1)知y=f(x)在[0,+∞)上单调递增.当x∈,时,y≤f<26.4;当x∈,时,y≤f<26.4;当x∈,∞时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户用水量为5x=7.5吨,所交水费为y1=4×1.80+3.5×3.00=17.70 元); 乙户用水量为3x=4.5吨,所交水费为y2=4×1.80+0.5×3.00=8.70 元).。
全国名校高三数学优质学案汇编(附详解)专题函数模型及应用
答案 3 解析 设隔墙的长度为x,矩形的面积为S, 则S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-3)2+18, ∴当x=3时,S取最大值.
考点突破
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考点突破
考点一 一次函数与二次函数模型
典例1 牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际 蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增 长量y只与实际蓄养量x只和空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0). (1)写出y关于x的函数关系式; (2)求羊群年增长量的最大值; (3)当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
x
对数函数模型
f(x)=blogax+c (a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)=ax +b(a,b为常数,且a≠0)
n
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2.三种增长型函数模型的图象与性质
函数性质 y=a
x
y=logax (a>1) ② 增函数
y=x
α
(a>1) 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 图象的变化 ④ 越来越快 随x增大逐渐表现为与 ⑥ y轴 值的比较 平行 ① 增函数
数学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:
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1.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种 商品x万件时的生产成本为C(x)= x2+2x+20(万元).一引
3.某城市客运公司确定客票价格的方法:如果行程不超过100 km,票价 是0.5元/km,如果超过100 km,超过100 km的部分按0.4元/km定价,则客
全国名校高三数学综合优质试题汇编(附详解)六
全国名校高三数学综合优质试题汇编（附详解）六考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页.2.答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.3.本次考试时间120分钟，满分160分.4.请在密封线内作答，保持试卷清洁完整.第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上.) 1.已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________.2.函数f (x )＝2x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域为________.3.设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为________.4.(优质试题·镇江模拟)已知实数(x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋m ≥0， 若目标函数z ＝2x ＋y的最小值为3，则其最大值为________.5.已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫6，172，则P A ＋PM 的最小值是________.6.函数f (x )＝2x －2x －m 的一个零点在区间(2,3)内，则实数m 的取值范围是____________.7.已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________. 8.(优质试题·无锡模拟)如图，有一建筑物OP ，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40 m 的基线AB ，若在点A 处测得P 点的仰角为30°，在B 点处的仰角为45°，且∠AOB ＝30°，则建筑物的高度为________ m.9.如图，等边△ABC 的边长为2，顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上滑动，M 为AB 的中点，则OA →·OM →的最大值为________.10.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且AF ＝4，则线段AB 的长为________.11.已知圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－1＝0(a <0)的圆心在直线3x －y ＋3＝0上，且圆C 上的点到直线3x ＋y ＝0的距离的最大值为1＋3，则a 2＋b 2的值为________.12.若点M (a ，b )在函数y 1＝－x 2＋3ln x 的图象上，点N (c ，d )在函数y 2＝x －2的图象上，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2的最小值为________.13.(优质试题届南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线l ：kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________. 14.已知|AB →|＝1，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0，点D 在∠CAB 内，且∠DAB ＝30°，设AD →＝λAB →＋μAC→(λ，μ∈R )，则λμ＝________.第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a ＝(cos A ，cos B )，b ＝(a ,2c －b )，a ∥b . (1)求角A 的大小；(2)若b ＝3，△ABC 的面积为33，求a 的值.16.(14分)如图，在四棱锥P—ABCD中，已知底面ABCD为矩形，P A⊥平面PDC，点E为棱PD的中点，求证：(1)PB∥平面EAC；(2)平面P AD⊥平面ABCD.17.(14分)设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1,2S n＝(n＋1)a n，n∈N*，令b n＝2n a－1.(1)求{b n}的通项公式；(2)若c n＝b n log2b n＋1，且数列{c n}的前n项和为T n，求T n.18.(16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点⎝⎛⎭⎫1，32.若点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，则点N ⎝⎛⎭⎫x 0a ，y 0b 称为点M 的一个“椭点”. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB 的面积.19.(16分)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和.20.(16分)设f (x )＝(4x ＋a )ln x3x ＋1，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直.(1)求a 的值；(2)若对于任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )≤m (x －1)恒成立，求m 的取值范围；(3)求证：ln(4n ＋1)≤16∑n i＝1i(4i ＋1)(4i －3)(n ∈N *).答案精析1．10解析 tan α＝－35＝－6x ，得x ＝10.2.⎝⎛⎭⎫－13，1 解析 函数f (x )＝2x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，解得－13<x <1.3.154解析 由等比数列的前n 项和公式得S 4＝a 1(1－q 4)1－q ，又a 3＝a 1q 2，∴S 4a 3＝1－q 4(1－q )q 2＝154. 4．7解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋m ≥0表示的区域如图，结合图形可知当动直线z ＝2x ＋y 经过点C (2,4－m )时，动直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距z 取得最小值3，即z min ＝2×2＋4－m ＝8－m ＝3，故m ＝5，所以动直线经过点N (3,1)时，动直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距z 取得最大值，即z max ＝2×3＋1＝7. 5.192解析 依题意可知焦点F ⎝⎛⎭⎫0，12，准线为y ＝－12，延长PM 交准线于点H ，则PF ＝PH ，PM ＝PH －12＝PF －12，P A ＋PM ＝PF ＋P A －12，即求PF ＋P A 的最小值．因为PF ＋P A ≥F A ，又F A ＝62＋⎝⎛⎭⎫172－122＝10，所以PM ＋P A ≥10－12＝192.6.⎝⎛⎭⎫3，223 解析 由f (x )是(2,3)上的增函数及零点存在性定理得 f (2)f (3)<0，解不等式可得3<m <223.7．4解析 因为a >0，x >0，y >0，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ＝(1＋a )2，当且仅当y x ＝axy 时取等号，由题设可知(1＋a )2≥9，所以1＋a ≥3，即a ≥4. 8．40解析 设高PO ＝h m ，则OA ＝h tan 60°＝3h m ， OB ＝OP tan 45°＝h m ， 在△AOB 中，由余弦定理得402＝(3h )2＋h 2－2×3h ×h ×cos 30°， 解得h ＝40. 9.52＋7 解析 设∠OBC ＝θ，则B (2cos θ，0)，C (0,2sin θ)，A ⎝⎛⎭⎫2cos θ－2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， M ⎝⎛⎭⎫2cos θ－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， OA →·OM →＝⎣⎡⎦⎤2cos θ－2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3×⎣⎡⎦⎤2cos θ－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＋2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3×sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝4cos 2θ＋2cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π3－6cos θcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋2sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝2＋4cos 2θ－6cos θcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝2＋4cos 2θ－6cos θ⎝⎛⎭⎫12cos θ－32sin θ＝2＋cos 2θ＋33sin θcos θ ＝52＋12cos 2θ＋332sin 2θ ＝52＋7sin(2θ＋φ)，tan φ＝39，∴OA →·OM →的最大值为52＋7.10.163解析 如图，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D .由抛物线定义知， AF ＝AD ＝4，由点F 是AC 的中点，有 AF ＝2MF ＝2p ，所以2p ＝4， 解得p ＝2，抛物线为y 2＝4x . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AF ＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，A (3,23)，F (1,0)，k AF ＝233－1＝ 3.直线AF ：y ＝3(x －1)，与抛物线y 2＝4x 联立得3x 2－10x ＋3＝0， x 1＋x 2＝103.所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163.11．3解析 由题意知圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1， 圆心为(a ，b )，则3a －b ＋3＝0，① 即b ＝3(a ＋1)，圆C 上的点到直线3x ＋y ＝0的距离的最大值为 d ＝1＋|3a ＋b |2＝3＋1，解得|3a ＋b |＝23，②由①②得|2a ＋1|＝2，a <0，故得a ＝－32，a 2＋b 2 ＝a 2＋3(a ＋1)2＝3.12．2 2解析 由题意得点P (－c ，－d )在函数y 3＝x ＋2的图象上，(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝MP ，令y 1′＝－2x ＋3x ＝1，x >0，解得x ＝1，所以(a ＋c )2＋(b ＋d )2的最小值为点(1，－1)到直线y ＝x ＋2的距离，即1＋1＋22＝2 2.13．－43解析 方法一 圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴对称的圆C ′的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，则符合题意的k 的取值范围就是圆C ′与l 有公共点时k 的取值范围，∴|2k －2＋3|k 2＋1≤1，∴－43≤k ≤0，即k 的最小值为－43.方法二 ∵点M 在圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1上，∴可设M (2＋cos θ，2＋sin θ)，可得N (2＋cos θ，－2－sin θ)， 将N 的坐标代入kx ＋y ＋3＝0，可得sin θ－k cos θ＝2k ＋1，|2k ＋1|≤k 2＋1，化简得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，∴k 的最小值为－43.14．2 3解析 由AB →·AC →＝0，知AB →⊥AC →，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (1,0)，C (0,2)，而∠DAB ＝30°，设D (3y ，y )(y >0)， 则由AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，得(3y ，y )＝(λ，2μ)， 则有λ＝3y ，μ＝12y ，故λμ＝2 3.15．解 (1)∵a ∥b ，∴(2c －b )·cos A －a ·cos B ＝0， ∴cos A ·(2sin C －sin B )－sin A ·cos B ＝0， 即2cos A sin C －cos A sin B －sin A ·cos B ＝0， ∴2cos A sin C ＝cos A sin B ＋sin A ·cos B ， ∴2cos A sin C ＝sin(A ＋B )，又∵在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴2cos A sin C ＝sin C ， ∵sin C ≠0，∴2cos A ＝1，即cos A ＝12，又0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵b ＝3，由(1)知，A ＝π3，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3c ×32＝33，∴c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋42－2×3×4×12＝13，∴a ＝13.16．证明 (1)连结BD ，与AC 相交于点O ，连结OE (图略)． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 因为E 为棱PD 的中点，所以PB ∥OE . 因为PB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ， 所以直线PB ∥平面EAC .(2)因为P A ⊥平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以P A ⊥CD . 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD .因为P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥平面P AD . 因为CD ⊂平面ABCD ， 所以平面P AD ⊥平面ABCD .17．解 (1)当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝(n ＋1)a n －na n －1， 得a n a n －1＝n n －1， ∴a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1＝n n －1×n －1n －2×…×21×1＝n .∵a 1＝1也符合，∴a n ＝n (n ∈N *)，∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵c n ＝b n log 2b n ＋1＝2n －1log 22n ＝n ·2n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1，2T n ＝2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ，作差得－T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1.18．解 (1)由e ＝12，得a ＝2c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝3c ，∴椭圆C ：x 24c 2＋y 23c2＝1，∵点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，∴14c 2＋943c 2＝1，得c ＝1， ∴a ＝2，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P ⎝⎛⎭⎫x 12，y 13，Q ⎝⎛⎭⎫x 22，y 23， 由以PQ 为直径的圆经过坐标原点，得OP →·OQ →＝0，即x 1x 24＋y 1y 23＝0.① 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y ，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，由Δ＝64k 2m 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，得3＋4k 2－m 2>0，而x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，② ∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.③ 将②③代入①，得m 2－33＋4k 2＋m 2－4k 23＋4k 2＝0， 即2m 2－4k 2＝3.④又AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 248(4k 2－m 2＋3)3＋4k 2， 原点O 到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |k 2＋1， ∴S △AOB ＝12AB ·d ＝121＋k 248(4k 2－m 2＋3)3＋4k 2·|m |1＋k 2， 将④代入上式，得S △AOB ＝3，即△AOB 的面积为 3.19．解 (1)设数列{a n }的公比为q .由已知，得1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1. 又由S 6＝a 1·1－q 61－q＝63，知q ≠－1，即q ＝2. 所以S 6＝a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1. 所以a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1) ＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12， 即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列． 设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2. 即T n ＝2n 2，n ∈N *.20．(1)解 f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫4x ＋a x ＋4ln x (3x ＋1)－3(4x ＋a )ln x (3x ＋1)2，f ′(1)＝1，解得a ＝0.(2)解 对于任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )≤m (x －1)，即4ln x －m ⎝⎛⎭⎫3x －1x －2≤0恒成立， 设g (x )＝4ln x －m ⎝⎛⎭⎫3x －1x －2，x ∈[1，＋∞)， 即对任意的x ∈[1，＋∞)，g (x )≤0恒成立，则g ′(x )＝4x －m ⎝⎛⎭⎫3＋1x 2＝－3mx 2＋4x －m x 2， g ′(1)＝4－4m .①若m ≤0，则g ′(x )>0，g (x )单调递增， g (x )≥g (1)＝0，这与g (x )≤0矛盾；②若m ∈(0,1)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2＋4－3m 23m 时，g ′(x )>0， g (x )单调递增，g (x )>g (1)＝0，这与g (x )≤0矛盾；③若m ≥1，当x ∈(1，＋∞)，g ′(x )≤0，g (x )单调递减，g (x )≤g (1)＝0，即g (x )≤0恒成立． 综上所述，m ∈[1，＋∞)．(3)证明 由(2)知，当x ≥1，m ＝1时，ln x ≤14⎝⎛⎭⎫3x －1x －2成立． 不妨令x ＝4i ＋14i －3(i ∈N *)， 所以ln 4i ＋14i －3≤16i (4i ＋1)(4i －3)， 于是ln4×1＋14×1－3≤16×1(4×1＋1)(4×1－3)， ln4×2＋14×2－3≤16×2(4×2＋1)(4×2－3)， ln4×3＋14×3－3≤16×3(4×3＋1)(4×3－3)，…， ln 4×n ＋14×n －3≤16×n (4×n ＋1)(4×n －3)， 累加得ln(4n ＋1)≤16∑ni ＝1i (4i ＋1)(4i －3)(n ∈N *)．。
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一、选择题
阶段滚动检测(六)1.若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋3)，x ∈A }，则集合A ∩(∁U B )等于( )
A ．{x |－2≤x <0}
B ．{x |0≤x ≤1}
C ．{x |－3<x ≤－2}
D ．{x |x ≤－3}
2．(优质试题·重庆第一次诊断)已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，则复数a ＋b i 的模为
( ) A. 2
B ．2 C. 5 D ．5
3．给出下列两个命题，命题p 1：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题p 2：函数y ＝ln
1－x
1＋x 是奇函数，则下列命题为假命题的是( )
A ．p 1∧p 2
B ．p 1∨(綈p 2)
C ．p 1∨p 2
D ．p 1∧(綈p 2) 4．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≤0，x ＋y －2≥0，
3x －y ＋2≥0，
目标函数z ＝2x ＋y ，则z 的取值范围是( ) A ．[－3,3]
B ．[－3,2]
C ．[2，＋∞)
D ．[3，＋∞)
5．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象上各点的横坐标缩小为原来的12
，再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线x ＝π2
对称，则φ的最小值是( ) A.π4
B.π3
C.3π4
D.3π8
6．(优质试题·河南实验中学质检)已知数列{a n }的通项为a n ＝log (n ＋1)(n ＋2) (n ∈N *)，我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的n 叫做“优数”，则在(0,2 016]内的所有“优数”的和为 ( )
A ．1 024
B ．2 012
C ．2 026
D ．2 036
7．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是( )
A.π180
B.π150
C.π120
D.π90
8．设随机变量X ～B (6，12
)，则P (X ＝3)等于( ) A.516
B.316
C.58
D.38
9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题正确的是( )
A ．m ，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β
B ．m ⊂α，α∥β，则m ∥β
C ．若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ⊥n
D ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β
10.如图，设F 1，F 2分别为等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的左，右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M ，N 两点，则cos ∠MAN 等于( )
A.25
B ．－25 C.55
D ．－55 11．设a ＝ʃπ0(sin x ＋cos x )d x ，则⎝
⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中的常数项是( ) A ．160 B ．－160
C ．26
D ．－26 12．执行如图所示的程序框图，若输出的k ＝5，则输入的整数p 的最大值为( )
A ．7
B ．15
C ．31
D ．63
二、填空题
13．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12
时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12
在区间[－3,5]内的所有零点之和为________． 14．假设你家订了一盒牛奶，送奶人可能在早上6：30～7：30之间把牛奶送到你家，你离开家去学校的时间在早上7：00～8：00之间，则你在离开家前能得到牛奶的概率是________．
15．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)上，且AB ⊥x 轴，AC ∥x 轴，则|AC |·|AB ||BC |2
的最大值为________． 16．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (f (x )－log 2x )＝3，则方程f (x )－f ′(x )＝2的解所在的区间是________．(填序号)
①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．
三、解答题
17．(优质试题·乌鲁木齐三诊)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax ·cos ax －12
(a >0)的图象与直线y ＝b 相切，并且切点的横坐标依次成公差为π2
的等差数列． (1)求a ，b 的值；
(2)若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，且x 0是y ＝f (x )的零点，试写出函数y ＝f (x )在⎣
⎡⎦⎤x 0，x 0＋π2上的单调增区间．
18．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业
建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16
.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及均值．
19．(优质试题·内江期末)如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，∠BAC ＝30°，BM ⊥AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，FC ∥EA ，AC ＝4，EA ＝3，FC ＝1.
(1)证明：EM ⊥BF ；
(2)求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．。