最新高三教案-2018年高考第一轮复习数学：4.4两角和与差、二倍角的公式(三) 精品

4.4 两角和与差、二倍角的公式（三）●知识梳理 1.化简要求（1）能求出值的应求出值.（2）使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方式尽量不含三角函数. 2.化简常用方法（1）活用公式（包括正用、逆用、变形用）. （2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等. 3.常用技巧（1）注意特殊角的三角函数与特殊值的互化.（2）注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质. （3）注意利用角与角之间的隐含关系. （4）注意利用“1”的恒等变形. ●点击双基1.满足cos αcos β=23+sin αsin β的一组α、β的值是 A.α=12π13，β=4π3 B.α=2π，β=3πC.α=2π，β=6π D.α=3π，β=6π解析：由已知得cos （α+β）=23，代入检验得A. 答案：A2.已知tan α和tan （4π－α）是方程ax 2+bx +c =0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 A.b =a +cB.2b =a +cC.c =b +aD.c =ab解析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-+，）（，）（a c ab αααα4πtan tan 4πtan tan∴tan 4π=aca b --1=1.∴－a b =1－ac . ∴－b =a －c .∴c =a +b . 答案：C3.f （x ）=x x xx cos sin 1cos sin ++的值域为A.（－3－1，－1）∪（－1，3－1）B.［212--，－1）∪（－1，212-］ C.（213--，213-） D.［212--，212-］ 解析：令t =sin x +cos x =2sin （x +4π）∈［－2，－1）∪（－1，2］， 则f （x ）=t t +-1212=21-t ∈［212--，－1）∪（－1，212-］.答案：B4.已知cos α－cos β=21，sin α－sin β=31，则cos （α－β）=_______. 解析：（cos α－cos β）2=41，（sin α－sin β）2=91. 两式相加，得2－2cos （α－β）=3613. ∴cos （α－β）=7259. 答案：7259 ●典例剖析 【例1】 求证：αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .剖析：先转换命题，只需证sin （2α+β）－2cos （α+β）·sin α=sin β，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）－α=β可证得结论.证明：sin （2α+β）－2cos （α+β）sin α =sin ［（α+β）+α］－2cos （α+β）sin α=sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α－2cos （α+β）sin α =sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=sin ［（α+β）－α］=sin β. 两边同除以sin α得 αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .评述：证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.【例2】 P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，且∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=2α，求证：椭圆的离心率为e =2cos α－1.yF F 12O剖析：依据椭圆的定义2a =|PF 1|+|PF 2|，2c =|F 1F 2|，∴e =ac22.在△PF 1F 2中解此三角即可得证. 证明：在△PF 1F 2中，由正弦定理知α2sin ||1PF =αsin ||2PF =）（α3πsin||21-F F .由比例的性质得α3sin ||21F F =ααsin 2sin ||||21++PF PF⇒e =||||||2121PF PF F F +=αααsin 2sin 3sin +=ααααααα2cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin ++ =）（）（αααααcos 21sin cos sin 2cos 2sin 22+⋅+1-=1+-ααcos 21cos 42=2cos α－1. 评述：恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.深化拓展求cot10°－4cos10°的值.分析：给出非特殊角，怎样化为特殊角或非特殊角，互相抵消、约分求出值. 提示：cot10°－4cos10° =︒︒10sin 10cos －4cos10°=︒︒-︒10sin 20sin 210cos =︒︒-︒-︒10sin 20sin 22030cos ）（=︒︒-︒+︒10sin 20sin 220sin 2120cos 23=︒︒-︒10sin 20sin 2320cos 23=︒︒-︒10sin 2030sin 3）（=3.答案：3. ●闯关训练夯实基础1.（2018年高考新课程卷）已知x ∈（－2π，0），cos x =54，则tan2x 等于 A.247B.－247C.724 D.－724 解析：∵cos x =54，x ∈（－2π，0）， ∴sin x =－53.∴tan x =－43.∴tan2x =x x 2tan 1tan 2-=169123--=－23×716=－724. 答案：D2.（2004年春季北京）已知sin （θ+π）＜0，cos （θ－π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是A.tan2θ＜cot 2θ B.tan2θ＞cot 2θC.sin 2θ＜cos 2θD.sin 2θ＞cos 2θ解析：由已知得sin θ＞0，cos θ＜0，则tan 2θ－cot 2θ=2cos 2sinθ－2sin2cosθ=－θθsin cos 2＞0. ∴tan2θ＞cot 2θ. 答案：B3.下列四个命题中的假命题是A.存在这样的α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βB.不存在无穷多个α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βC.对于任意的α、β，cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin βD.不存在这样的α、β，使得cos （α+β）≠cos αcos β－sin αsin β解析：由cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin β=cos αcos β－sin αsin β，得 sin αsin β=0.∴α=k π或β=k π（k ∈Z ）. 答案：B4.函数y =5sin x +cos2x 的最大值是_______. 解析：y =5sin x +cos2x =5sin x +1－2sin 2x =－2（sin x －45）2+833. ∴sin x =1时，y max =4.答案：45.求周长为定值L （L ＞0）的直角三角形的面积的最大值. 解法一：a +b +22b a +=L ≥2ab +ab 2. ∴ab ≤22+L.∴S =21ab ≤21（22+L ）2=21·［222L ）（-］2=4223-L 2.解法二：设a =c sin θ，b =c cos θ.abc∵a +b +c =L ，∴c （1+sin θ+cos θ）=L .∴c =θθcos sin 1++L.∴S =21c 2sin θcos θ=22L 2cos sin 1cos sin ）（θθθθ++. 设sin θ+cos θ=t ∈（1，2］，则S =22L ·22121）（t t +-=42L ·11+-t t =42L （1－12+t ）≤42L （1－122+）=4223-L 2. 6.（2004年湖南，17）已知sin （4π+2α）·sin （4π－2α）=41，α∈（4π，2π），求2sin 2α+tan α－cot α－1的值.解：由sin （4π+2α）·sin （4π－2α）=sin （4π+2α）·cos （4π+2α）=21sin （2π+4α）=21cos4α=41，得cos4α=21. 又α∈（4π，2π），所以α=12π5. 于是2sin 2α+tan α－cot α－1=－cos2α+ααααcos sin cos sin 22-=－cos2α+αα2sin 2cos 2-=－（cos2α+2cot2α）=－（cos 6π5+2cot 6π5）=－（－23－23）=253.培养能力7.求证：2sin 2sin 12αα-1+=2tan12tan1αα-+. 证明：左边=ααcos sin 1+=2sin 2cos 2cos 2sin 222αααα-+）（=2sin 2cos 2sin 2cos αα-+，右边=2cos2sin12cos2sin1αααα-+=2sin 2cos 2sin 2cos αααα-+， ∵左边=右边，∴原式成立.8.（2005年春季北京，15）在△ABC 中，sin A +cos A =22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积.分析：本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力.解法一：∵sin A +cos A =2cos （A －45°）=22， ∴cos （A －45°）=21. 又0°＜A ＜180°，∴A －45°=60°，A =105°. ∴tan A =tan （45°+60°）=3131-+=－2－3.∴sin A =sin105°=sin （45°+60°） =sin45°cos60°+cos45°sin60°=462+. ∴S △ABC =21AC ·AB sin A =21·2·3·462+=43（2+6）. 解法二：∵sin A +cos A =22， ①∴（sin A +cos A ）2=21.∴2sin A cos A =－21. ∵0°＜A ＜180°，∴sin A ＞0，cos A ＜0. ∴90°＜A ＜180°.∵（sin A －cos A ）2=1－2sin A cos A =23，∴sin A －cos A =26. ②①+②得sin A =462+. ①－②得cos A =462-.∴tan A =A Acos sin =462+·624-=－2－3.（以下同解法一）探究创新9.锐角x 、y 满足sin y csc x =cos （x +y ）且x +y ≠2π，求tan y 的最大值. 解：∵sin y csc x =cos （x +y ）， ∴sin y csc x =cos x cos y －sin x sin y ， sin y （sin x +csc x ）=cos x cos y . ∴tan y =x x x csc sin cos +=x x x sin 1cos sin +=x x xx 22cos sin 2cos sin +=x x 2tan 21tan +≤xx tan 22tan =42， 当且仅当tan x =22时取等号. ∴tan y 的最大值为42. ●思悟小结1.证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”.2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等.3.三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值，这首先应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成y =A sin （ωx +ϕ）（A ≠0，ω＞0）的形式，或者通过换元转化成二次函数，然后再求之.●教师下载中心 教学点睛1.三角恒等式的证明实际上就是三角函数式的化简过程.2.有条件的三角函数求值有两个关键：①三角函数各关系式及常用公式的熟练应用.②条件的合理应用：注意条件的整体功能，注意将条件适当简化、整理或重新改造组合，使其与所计算的式子更加吻合.3.注意方程思想的应用. 拓展题例【例1】 试证：θθθθθθsin sin 1tan sin sin 1tan -+++）（）（=θθθθsin tan sin tan +.证明：左边=θθθθθθθθsin sin 1cos sin sin sin 1cos sin -+++）（）（ =θθθθcos sin cos sin 1-+1++=2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 222θθθθθθ++=2sin2cosθθ=cot 2θ，右边=θθθθθθsin cos sin sin cos sin ⋅+=θθsin cos 1+=2cos2sin22cos 22θ=cot2θ，∴原等式成立. 【例2】 已知α、β∈（0，4π），3sin β=sin （2α+β），4tan 2α=1－tan 22α.求α+β的值.解：∵4tan2α=1－tan 22α，∴2·tan α=1，tan α=21. ∵3sin β=sin （2α+β），∴3sin β=sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α. ∴3sin （α+β）cos α－3cos （α+β）sin α =sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α. ∴sin （α+β）cos α=2cos （α+β）sin α. ∴tan （α+β）=2tan α=1.∴α+β=4π. 评述：角的变换是常用技巧.如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α等.。