11命题 课件(北师大版选修1-1)

2016/2/7
当命题是真命题时，我们称这个命题 的值为 1 ，当命题为假时，我们称命题 的值为 0 。这就给命题赋予了真值。命 题 可 用 字 母 A 、 B 、 C…… 或 p 、 q 、 r……等表示。
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（2）命题的基本运算 所谓命题的基本运算，就是将命题用逻辑联词
联结起来，构建新的命题。命题的基本运算包 括以下几种情况： 10 否定（非） 给定命题p，在其前面加上“并非”两字，就 构成新命题“并非p”，叫做命题p的否定，记 作p，读作“非p”。
身是否还包括其它判断，把一切判断分为简 单判断和复合判断。 简单判断 本身不再含有其它判断的判断，在简单判断 中，可按其判断内容分为性质判断和关系判 断
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复合判断
本身还包含其它判断的判断，在 复合判断中，按照组成复合判断的 各简单判断之间的结合情况如何， 将其区分为负判断、联言判断、选 言判断、假言判断等，我们这里不 一一介绍。
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合取（与、并且） 给定命题 p、q，用逻辑联词“与”联结起来得到的新命题“p 与 q”称为命题 p、q 的合取式，记作“p∧q” ，p∧q 的真值是当 且仅当 p、q 都真时，p∧q 为真，其余为假，其真值表如下： 在数学中合取式可以简写，如 （ ＞1．4）∧（ ＜1．5 可 简记为： 1． 4 ＜ ＜ 1 ． 5 。 又如（5 是质数）∧（7 是质数） p q p∧ q 简单叙述为：5 和 7 都是质数。 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
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其逆命题是： ③∧④→①∧② 其偏逆命题是：③∧②→①∧④ ④∧②→③∧① ①∧③→②∧④ ①∧④→③∧②
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数学推理 一、推理的意义 数学中的推理是由一个或几个命题得到一个




新命题的思维形式。 例如：等腰三角形的两底角相等， ① 因为⊿ABC是等腰三角形， ② 所以⊿ABC两底角相等。 ③ 这是一个推理，是由①、②得出一个新命题③ 的推理。
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3．逆命题的制作
逆命题是相对于原命题而言的一种命 题形式，交换原命题的题设和结论后即 得逆命题。而当命题的条件和结论都是 合取式时，对等交换条件和结论分支命 题所得的新命题就不能称作逆命题，而 应称为偏逆命题。
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例如：讨论“等腰三角形顶角平分线也是底边的 中线和高线”的逆命题和偏逆命题。 解：如图，将原命题可写为下面的形式： （AB=AC）∧（AD 平分∠A）→ ① ② A （AD 平分 BC）∧（AD⊥BC） ③ ④ B D C
p q
1 1 0
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p→q
1 0 1 0 1 0 1 1
0
50 等价（当且仅当） 给定命题 p、q，用逻辑联结词“当 且仅当”联结起来得到的新命题“p 当且仅当 q”称为等价式，记作 “p q”只有当 p、q 同真或同 假时，p q 才为真，其余情况为假。 其真值表如下： p q p q
1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1
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注意，等价式与逻辑等价不一样， 等价式是由 p、q 构成的一个新命题， 而逻辑等价是指两个命题具有真值 完全相同的关系，即 p≡q。
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二、命题运算应用举例
运用以上的五种逻辑联词及真值表， 可以进行命题的多种复合运算。在运算 的过程中，还要应用逻辑运算律，这里 不做介绍（可参阅有关的逻辑学文献）。 这里介绍中学数学中关于命题运算的应 用。
设p：两直线平行；
q1：同位角相等；
q2：内错角相等。
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两个性质定理的合取式是： （p→q1）∧（p→q2）≡（p ∨q1）∧（p ∨q2） ≡p ∨（q1∧q2） ≡p→（q1∧q2） 这就是“若两条直线平行则同位角相等且内错角相 等” 。
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同样对平行线的两个判定定理： “若同位角相等两直线 平行” ； “若内错角相等则两直线平行”的合并如下进行： （q1→p）∧（q2→p）≡（q1∨p）∧（q2∨p） ≡（q1∧q2）∨p ≡q1∨q2 ∨p ≡（q1∨q2）→p 这两个判定定理的合取式是： “两直线被第三条直线所 截，若同位角或内错角相等，则两直线平行” 。
定某种情况。不作肯定或否定的不是判断。 如三角形ABC是等腰三角形吗？雪是白色的 吗？都不是判断。 （2）必须有真假。 如果一个判断符合客观现实情况，那么这 个判断是真实的；否则就是假的。例如， “1是质数”就是一个假判断。
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2．判断的种类 判断可按不同标准进行分类，首先按判断本
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二、推理规则 正确的推理形式称为推理规则，中学数学中常用的 推理规则有： 规则 1 若 p→q 真，且 p 真，则 q 真。即： （p→q）∧p→q。 规则 2 若 p→q 真，且 q→r 真，则 p→r 真。即： （p→q）∧（q→r）→p→r 。 规则 3 若 p∧q 真，则 p 真；若 p∧q 真，则 q 真。 即： （p∧q）→p； （p∧q）→q。 规则 4 若（p∨q）真，且 p 真，则 q 真。即： （p∨q） ∧ p → q。 同样有： （ p∨ q ） ∧ q → p。
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显然 p 真时，p 一定假，它们的真值完全相反，所以有下 列真值表： 值得注意的是： “命题的否定”与肯定判断 p p 换成否定判断是不同的， 例如 “一切 s 是 p” 换 1 0 成否定判断： “一切 s 不是 p” ， 而否定则是 “并 0 1 非一切 s 是 p” （这里并不排除有些 s 是 p） 。

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以上推理中，“所以”后面的命题是结论。 由前提派生结论的方式，即前提与结论之间 的联系关系，称为推理形式。推理形式是舍 去具体的推理内容，由特定形式的命题排列 而成的，如上面两个例题中具有共同的推理 形式：
p→q，s→p
s→q
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按推理中表现的思维进程看，有以下 三种情况的推理，从一般到特殊的推理、 从特殊到一般的推理、从特殊到特殊的 推理。由此可将推理分为演绎推理、归 纳推理和类比推理。
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规则 5 若 p→q 真，且 q 真，则 p 真。即： （p→q）∧ q → p。 规则 6 若集合 A 中的每一个元素 x，都具有属性 P，则 集合 A 中的任一非空子集 B 中的每一个元素 y 也具有属性 P。 即： x∈A[P（x）]∧（A B≠Ф ）→ y∈B[P（y）] 使用以上推理规则的推理称为演绎推理，在中学中经常用 到。尤其是其中推理规则 3 和规则 6，更是几何推理的常 用规则。
p→q q→p 1 0 1 1 1 1 0 1
→ 1 1 0 1
→ 1 0 1 1
从真值表中得出：p→q≡ → ， q→p≡ →
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即原命题与逆否命题逻辑等价； 逆命 题与否命题逻辑等价。 如果用命题运算律也可证明上面的 等值式： p→q≡ ∨q≡q∨ ≡ ∨ ≡ → ， q→p≡ ∨p≡p∨ ≡ ∨q≡ →
≮
∪
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≮
三、推理的类型 按照推理结果的确信程度的不同，用二
分法可以把推理分为两大类：论证推理 和似真推理（波利亚称其为合情推理）。 论证推理是当推理的前提为真时，结论 一定为真的推理。前提和结论的真假关 系是必然关系。论证推理是进行证明必 备的工具。
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似真推理是当推理的前提为真时，结 论可能是真也可能是假，前提和结论的 真假关系是或然关系。似真推理能不断 逼近结论，促使发现结论，不断提高结 论的信任度，但并未最后证明结论。 论证推理的主要类型有演绎推理和完 全归纳推理；似真推理的主要类型是不 完全归纳推理和类比推理。下面我们来 介绍这几种推理方法。
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将上面的证明结果概括如下：互为逆否关系 的两个命题是等价的。
p→q
互 互 逆 互 逆 否 互 逆
q→p
互否
互否
否
→
→
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2．合并命题
中学数学教材中是把平行线的两个性质定 理分开来叙述的：“若两直线平行，则同位 角相等”；“若两直线平行，则内错角相 等”，为了简化叙述，可以把这两个定理“可兼”的意思，相当于 日常用语中的“或” ，如“两条直线 平行或相交” 就是把“两条直线平行”与“两条 直线相交” 用 “或” 联结而成的。
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40 蕴涵（如果„„，那么„„） 给定命题 p、q，用逻辑联词“如果„„， 那么„„”联结起来，得到新的命题“如果 p， 那么 q” ，就称为命题 p、q 的蕴涵式，记作“p→ q” ，其中 p 叫做蕴涵式的前件（条件） ，q 叫后件 （或结论） 。 蕴涵式的真值是只有当 p 真 q 假时，p→q 才是 假的，其余都是真，即 p∧q≡p→q。真值表如下：
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1．命题的四种关系 首先我们来研究蕴涵式命题的四种 形式。 给出一个数学命题 若 p 则 q，可 以得到如下四种形式： 原命题 p→q 逆命题 q→p 否命题 → 逆否命题 → 它们的真值表如下：
p q 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1
命题
一、判断与命题 1．判断 判断是对思维对象有所断定的一种思维形式。这
里所说的断定，就是“肯定”或“否定”事物的某 种性质或事物之间有某种关系。 如： 是无理数； 它不是一位教师。 判断作为一种思维形式，具有两个基本的逻辑特征：
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（1）必须有断定。 凡判断不是肯定某种事物的情况，就是否
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3．命题及其基本运算 （1）命题的意义
表达判断的陈述语句叫命题。在数学中，每
一个数学判断的陈述语句，都称为数学命题。 数学命题往往用特有的数学语言组合起来进行 陈述。如： 3＞2； ⊿ABC是直角三角形。 命题的基本特征是：要么是真，要么是假，不 能又真又假。如：x+2=5和x＞5不能判断真假， 所以它们不是命题。