江苏省盐城市时杨中学2015届高三数学一轮复习 函数的奇偶性及周期性导学案 理
江苏省盐城市时杨中学高三数学一轮复习导学案：函数的和、差、积、商的导数 缺答案
《函数的和、差、积、商的导数 》导学案编制：陈 琳 审核: 张 建 批准:【学习目标】1．理解两个函数的和（或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数。
【问题情境】1。
（1）常见函数的导数公式（默写）：(2）求下列函数的导数：23x y =；xy 2=；x y 2log =．(3）由定义求导数的基本步骤(三步法)：2．探究活动： 求x xy +=2的导数．思考：已知)(),(x g x f ''，怎样求[]'+)()(x g x f 呢？备 注3. 函数的和差积商的导数求导法则：【我的疑问】第1页共4页（3）xx y cos =； （4）xe x y =．第2页共4页【课堂检测】1．求下列函数的导数： （1）11+-=x x y ;(2）4cos 4sin 44xx y +=;（3）xxy --+=1111； （4）x x x y ln sin ⋅⋅=．2．设5)5(=f ，3)5(='f ，4)5(=g ，1)5(='g ,求)5(h 及)5(h '。
（1))(2)(3)(x g x f x h +=;（2）1)()()(+=x g x f x h ；（3))(2)()(x g x f x h +=。
3.已知xx f x f cos sin )2()(/+=π，则=)4(πf ．4。
求曲线833-+=x x y 的图像在2=x 处的切线方程。
备 注【回标反馈】第3页共4页【巩固练习】1. 已知函数x x f tan )(=，则=')3(πf ______。
2. 对于函数x x x f ln )(=，若2)(0='x f ,则=0x _____.3. 设)3)(2)(1()(+++=x x x x x f )4(+x ，求)0(/f．4。
（1）求曲线xe y =的图像在0=x 处的切线方程；（2）过原点作曲线xe y =的切线,求切点的方程。
江苏省盐城市时杨中学高三数学一轮复习导学案：常见函数的导数 缺答案
《常见函数的导数》导学案编制：陈 琳 审核： 张 建 批准： 【学习目标】1．能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；2．能利用导数公式求简单函数的导数．【问题情境】1．在一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？2.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤是什么？3.函数导函数的概念是什么？4.用导数的定义求下列各函数的导数：(1)b kx x f +=)((b k ,为常数)； (2)C x f =)((C 为常数)； (3)x x f =)(；(4)2)(x x f =； (5)3)(x x f =； (6)xx f 1)(=； (7)x x f =)(．思考： 由上面的结果，你能发现什么规律？备 注【我的疑问】第1页共4页第2页共4页【课堂检测】1．求下列函数的导数：（1）31x y =； （2）35x y =； （3）x y 4=； （4）11x y =.2.求函数x y 1=的图像在点)21,2(处的切线的方程.3.直线b x y +=21能作为下列函数图像的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由. （1）x x f 1)(=； （2）4)(x x f =；（3）x x f sin )(=； （4）xe xf =)(.【回标反馈】备 注第3页共4页【巩固练习】1. (1)已知3)(x x f =，则=-')2(f _____.(2)已知3cos)(π=x f ，则=')(x f ____。
2.若直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，求实数b 的值.3.在曲线24xy =上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为︒135.4.当常数k 为何值时，直线x y =才能与函数k x y +=2相切？并求出切点．备 注第4页共4页。
江苏省盐城市时杨中学高考数学一轮复习 等比数列导学案
1．数列 an 的前 n 项和为 Sn an 2 （ a 0 ），下列说法中不正确的是________． ①是等比数列； ③从第二项起成等比数列； ②当 a 1 时是等比数列； ④从第二项起成等比数列或成等差数列．
2．已知等比数列an 满足 a1 a2 3 ， a2 a3 6 ，则 a7 _______ 3．在等比数列an 中, a1a3 a11 8 ，则 a2 a8 =___________ 4．设等比数列an 的公比 q 2 ，前 n 项和为 S n ，则
【课堂检测】 32 1.等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝ ，且公比 q∈(0,1)． 9 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若该数列前 n 项和 Sn＝21，求 n 的值．
备
注
2.(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则 a4a5a6＝ ________.
an an 仍是等比数列． bn
备
注
5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn， 当 q＝1 时，Sn＝na1； 当 q≠1 时，Sn＝
a1 1 q n a1－anq ＝ . 1－q 1 q
6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数 列，其公比为_ _ 二、预}的各项均为正数，且前 n 项和 Sn 满足 Sn＝ (an＋1)(an＋2)．若 6 a2，a4，a9 成等比数列，求数列{an}的通项公式．
S4 _________． a2
5．设 f (n) 2 24 27 210 23n10 (n N ) ，则 f ( n) = 【我的疑问】
高三数学一轮复习 第21课时 函数的奇偶性与周期性导学案 苏教版
江苏省射阳县第二中学2015届高三数学一轮复习 第21课时 函数的奇偶性与周期性导学案 苏教版【学习目标】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；2.能利用奇偶性图像的特征解决函数相关问题【重难点】函数奇偶性与单调性、周期性的综合问题【课时安排】1-2课时【活动过程】一、自学质疑函数的奇偶性：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )是偶函数，图像特点 ；如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )是奇函数，图像特点 ；周期性：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．1.给出4个函数：①5()5f x x x =+；②421()x f x x -=；③()25f x x =-+；④()x x f x e e -=-．其中奇函数的有______；偶函数的有________；既不是奇函数也不是偶函数的有________．2 设函数()()()x a x x x f ++=1为奇函数，则实数=a ．3 已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［a-1,2a ］，则a= ，b ＝ 4、已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则()f x 的解析式为 5、已知函数f (x )对任意的实数满足：f (x ＋3)＝－1f x ，且当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)＝________二、互动研讨考点一 函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性：①f (x )＝x 2－1＋1－x 2 ②f (x )＝ln 1－x 1＋x. 【训练1】 (1)(2013·湖南卷改编)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于____．考点二 函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)在函数①f (x )＝1x；②f (x )＝－x ；③f (x )＝2－x －2x ；④f (x )＝－tan x 中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是________．(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为________．考点三函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用【例3】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小顺序为________．。
高考数学(理科)一轮复习函数的奇偶性与周期性学案附答案
高考数学（理科）一轮复习函数的奇偶性与周期性学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案6 函数的奇偶性与周期性导学目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理．函数奇偶性的定义如果对于函数f定义域内任意一个x，都有______________，则称f为奇函数；如果对于函数f定义域内任意一个x，都有____________，则称f为偶函数．2．奇偶函数的性质f为奇函数⇔f＝－f⇔f＋f＝____；f为偶函数⇔f＝f＝f⇔f－f＝____.f是偶函数⇔f的图象关于____轴对称；f是奇函数⇔f的图象关于________对称．奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．3．函数的周期性定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f＝________，则称f为________函数，其中T称作f的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f的________________．性质：①f＝f常常写作f＝f．②如果T是函数y＝f的周期，则kT也是y＝f的周期，即f＝f．③若对于函数f的定义域内任一个自变量的值x都有f ＝－f或f＝1fx或f＝－1fx，则f是以______为一个周期的周期函数．自我检测．已知函数f＝x2＋x＋为偶函数，则m的值是A．1B．2c．3D．42．如果奇函数f在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f在区间[－7，－3]上是A．增函数且最小值是－5B．增函数且最大值是－5c．减函数且最大值是－5D．减函数且最小值是－53．函数y＝x－1x的图象A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称c．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称4．已知函数f是上的偶函数，若对于x≥0，都有f＝f，且当x∈[0,2)时，f＝log2，则f＋f的值为A．－2B．－1c．1D．25．设函数f＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.探究点一函数奇偶性的判定例1 判断下列函数的奇偶性．f＝1－x1＋x；f＝x；f＝log2；f＝x2＋x，x<0，－x2＋x，x>0.变式迁移1 判断下列函数的奇偶性．f＝x2－x3；f＝x2－1＋1－x2；f＝4－x2|x＋3|－3.探究点二函数单调性与奇偶性的综合应用例2 函数y＝f是奇函数，且当x∈时是增函数，若f ＝0，求不等式f[x]<0的解集．变式迁移2 已知函数f＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f＋f<0恒成立，则x的取值范围为________．探究点三函数性质的综合应用例3 已知定义在R上的奇函数f，满足f＝－f，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f＝m，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.变式迁移3 定义在R上的函数f是偶函数，且f＝f．若f在区间[1,2]上是减函数，则fA．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数c．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数转化与化归思想的应用例函数f的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f＝f＋f．求f的值；判断f的奇偶性并证明你的结论；如果f＝1，f＋f≤3，且f在上是增函数，求x的取值范围．【答题模板】解∵对于任意x1，x2∈D，有f＝f＋f，∴令x1＝x2＝1，得f＝2f，∴f＝0.[2分]令x1＝x2＝－1，有f＝f＋f，∴f＝12f＝0.[4分]令x1＝－1，x2＝x有f＝f＋f，∴f＝f，∴f为偶函数．[6分]依题设有f＝f＋f＝2，f＝f＋f＝3，[7分]∵f＋f≤3，即f)≤f[8分]∵f为偶函数，∴f≤f．[10分]又∵f在上是增函数，f的定义域为D.∴0<||≤64.[11分]解上式，得3<x≤5或－73≤x<－13或－13<x<3.∴x的取值范围为{x|－73≤x<－13或－13<x<3或3<x≤5}．[12分]【突破思维障碍】在中，通过变换已知条件，能变形出f)≤f的形式，但思维障碍在于f在上是增函数，g是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f”，若能结合中f是偶函数的结论，则有f)＝f|)，又若能注意到f的定义域为{x|x≠0}，这才能有|g|>0，从而得出0<|g|≤a，解之得x的范围．【易错点剖析】在中，由f•|)≤f脱掉“f”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0}，易出现0≤||≤64，导致结果错误．．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f＝－f或f＝f是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f＝±f⇔f±f＝0⇔f－xfx＝±1≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f，若有f＝－f或f＝1fx或f＝－1fx，则f的一个周期为2a一、选择题．已知f＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为A．－13B.13c.12D．－122．已知定义域为{x|x≠0}的函数f为偶函数，且f在区间上是增函数，若f＝0，则fxx<0的解集为A．∪B．∪c．∪D．∪3．已知f是定义在R上的偶函数，并满足f＝－1fx，当1≤x≤2时，f＝x－2，则f等于A．4.5B．－4.5c．0.5D．－0.54．设f为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f＝2x＋2x＋b，则f等于A．3B．1c．－1D．－35．设函数f满足：①y＝f是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f与f大小关系是A．f>fB．f<fc．f＝fD．无法确定题号2345答案二、填空题6．若函数f＝x－1，x>0，a，x＝0，x＋b，x<0是奇函数，则a＋b＝________.7．设函数f是定义在R上的奇函数，若f满足f＝f，且f>1，f＝2m－3m＋1，则m的取值范围是________．8．已知函数f是R上的偶函数，g是R上的奇函数，且g＝f，若f＝2，则f的值为________．三、解答题9．已知f是定义在[－6,6]上的奇函数，且f在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且当3≤x≤6时，f≤f＝3，f＝2，求f的表达式．10．设函数f＝x2－2|x|－1证明f是偶函数；画出这个函数的图象；指出函数f的单调区间，并说明在各个单调区间上f是增函数还是减函数；求函数的值域．11．已知函数f＝x2＋ax．讨论函数f的奇偶性，并说明理由；若函数f在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．答案自主梳理．f＝－f f＝f2．0 0 y 原点相反3．f 周期最小正周期③2a自我检测．B [因为f为偶函数，所以奇次项系数为0，即m－2＝0，m＝2.]2．A [奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．]3．A [由f＝－f，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]4．c [f＋f＝f＋f＝f＋f＝log21＋log2＝1.]5．－1解析∵f＝0，∴f＝2＝0，∴a＝－1.代入检验f＝是奇函数，故a＝－1.课堂活动区例1 解题导引判断函数奇偶性的方法．定义法：用函数奇偶性的定义判断．．图象法：f的图象关于原点对称，则f为奇函数；f的图象关于y轴对称，则f为偶函数．基本函数法：把f变形为g与h的和、差、积、商的形式，通过g与h的奇偶性判定出f的奇偶性．解定义域要求≥0且x≠－1，∴－1<x≤1，∴f定义域不关于原点对称，∴f是非奇非偶函数．函数定义域为∪．∵f＝－x＝－x＝＝＝f．∴f是偶函数．函数定义域为R.∵f＝log2＝log21x＋x2＋1＝－log2＝－f，∴f是奇函数．函数的定义域为∪．当x<0时，－x>0，则f＝－2－x＝－＝－f；当x>0时，－x<0，则f＝2－x＝x2－x＝－＝－f．∴对任意x∈∪都有f＝－f．故f为奇函数．变式迁移1 解由于f＝2，f＝0，f≠f，f≠－f，从而函数f既不是奇函数也不是偶函数．f的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f＝f＝0，f ＝－f＝0，∴f既是奇函数又是偶函数．由4－x2≥0|x＋3|≠3得，f定义域为[－2,0)∪＝4－x2x，f＝－4－x2x∴f＝－f∴f为奇函数．例2 解题导引本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．解∵y＝f为奇函数，且在上为增函数，∴y＝f在上单调递增，且由f＝0得f＝0.若f[x]<0＝f，则xx－12>0xx－12<1即0<x<1，解得12<x<1＋174或1－174<x<0.若f[x]<0＝f，则xx－12<0xx－12<－1 由x<－1，解得x∈∅.∴原不等式的解集是{x|12<x<1＋174或1－174<x<0}．变式迁移2解析易知f在R上为单调递增函数，且f为奇函数，故f＋f<0，等价于f<－f＝f，此时应用mx－2<－x，即mx＋x－2<0对所有m∈[－2,2]恒成立，令h＝mx＋x－2，此时，只需h－2<0h2<0即可，解得x∈．例3 解题导引解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．－8解析因为定义在R上的奇函数，满足f＝－f，所以f ＝f．因此，函数图象关于直线x＝2对称且f＝0，由f＝－f知f＝f，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f在区间[0,2]上是增函数，所以f在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f＝m在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.变式迁移3 B [∵f＝f，∴f＝f．∴x＝1为函数f的一条对称轴．又f＝f[2－]＝f＝f，∴2是函数f的一个周期．根据已知条件画出函数简图的一部分，如右图：由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．]课后练习区．B [依题意得a－1＝－2ab＝0，∴a＝13b＝0，∴a＋b＝13.]2．D[由已知条件，可得函数f的图象大致为右图，故fxx<0的解集为∪．]3．D [由f＝－1fx，得f＝－1fx＋2＝f，那么f的周期是4，得f＝f．因为f是偶函数，则f＝f＝f．而1≤x≤2时，f＝x－2，∴f＝－0.5.由上知：f＝－0.5.]4．D [因为奇函数f在x＝0有定义，所以f＝20＋2×0＋b＝b＋1＝0，b＝－1.∴f＝2x＋2x－1，f＝3，从而f＝－f＝－3.]5．A [由y＝f是偶函数，得到y＝f的图象关于直线x ＝1对称，∴f＝f．又f在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f>f，即f>f．]6．1解析∵f是奇函数，且x∈R，∴f＝0，即a＝0.又f ＝－f，∴b－1＝－＝0，即b＝1，因此a＋b＝1.7．－1<m<23解析∵f＝f，∴f＝f＝f．∵f为奇函数，且f>1，∴f＝－f<－1，∴2m－3m＋1<－1.解得：－1<m<23.8．2解析由g＝f，得g＝f，又g为R上的奇函数，∴g＝－g，∴f＝－f，即f＝－f，用x＋1替换x，得f＝－f．又f是R上的偶函数，∴f＝－f．∴f＝f，即f的周期为4.∴f＝f＝f＝2.9．解由题意，当3≤x≤6时，设f＝a2＋3，∵f＝2，∴2＝a2＋3.∴a＝－1.∴f＝－2＋3．…………………………………………………………∴f＝－2＋3＝－1.又∵f为奇函数，∴f＝0.∴一次函数图象过，两点．∴f＝－13x．…………………………………………………………………当－3≤x≤0时，－x∈[0,3]，∴f＝－13＝13x.又f＝－f，∴f＝－13x.∴f＝－13x．………………………………………………………………当－6≤x≤－3时，3≤－x≤6，∴f＝－2＋3＝－2＋3.又f＝－f，∴f＝2－3.∴f＝x＋52－3，－6≤x≤－3，－13x－3<x<3，…………………………………………………………12分－x－52＋3，3≤x≤6.0．解f＝2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f，即f＝f．∴f是偶函数．………………………………………………………当x≥0时，f＝x2－2x－1＝2－2，当x<0时，f＝x2＋2x－1＝2－2，即f＝x－12－2，x≥0，x ＋12－2，x<0.根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．……………………………………由中函数图象可知，函数f的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f在区间[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．……………当x≥0时，函数f＝2－2的最小值为－2，最大值为f ＝2；当x<0时，函数f＝2－2的最小值为－2，最大值为f＝2；故函数f的值域为[－2,2]．……………………………………………………………1．解当a＝0时，f＝x2对任意x∈∪，有f＝2＝x2＝f，∴f为偶函数．…………………………………………………………………………当a≠0时，f＝x2＋ax，若x＝±1时，则f＋f＝2≠0；∴f≠－f，又f≠f∴函数f既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………综上所述，当a＝0时，f为偶函数；当a≠0时，f为非奇非偶函数．………………………………………………………设2≤x1<x2，f－f＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2－a]，………………………………………………………………要使f在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f－f<0恒成立．∵x1－x2<0，x1x2>4，即a<x1x2恒成立．………………………………………又∵x1＋x2>4，∴x1x2>16，∴a的取值范围为。
江苏省盐城市时杨中学2015届高三数学一轮复习 指数函数导学案 理
3．已知函数 f x a x 在 1,1 上的最大值与最小值的差是 1，则 a =__ ___．
4．已知 y 4 x 3 2 x 3, 当其值域为 [1, 7] 时，求 x 的取值范围．
【回 标反馈】
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3
【巩固练习】 1.解下列不等式：(1) 9 3
1
___；值域是___
___．
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1
【自主探究】
备
x x
注
1 1 1．求函数 f x 1 ， x 3,2 的最值． 4 2
2．若函数 f x
a 2x 1 a 为奇函数， 2x 1
(1)求 a 的值； (2)求 f x 的定义域； (3)求 f x 的值域；(4) 讨论 f x 的单调性．
指数与函数
【学习目标】 1．理解指数函 数的概念，并理解指数函数的单调性与函数 图象通过的特殊点． 2．会用指数函数解决简单的问题． 【问题情境】 一、知识回顾： 备 注
二、预习练习： 1.已知函数 y a 2 3a 3 a x 是指数函数，则 a =_______． 2.如果指数函数 f ( x) (a 1) x 是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是________． 3.（1）已知 5 5
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2
【课堂检测】 1．比较各组数中的两个值的大小： (1) 1.5
2 .5
备
1.5
注
____பைடு நூலகம்_ 1.5
3.2
；(2) 0.5
1.2
_____ 0.5
；(3) 1.5
0.3
______ 0.8 ．
江苏省盐城市时杨中学高考数学一轮复习 数列的通项公式导学案
【学习目标】
1．掌握等差、等比数列的通项公式，了解它们的推导过程；
2．掌握常见的几种求数列通项的方法．
【问题情境】
一、知识回顾：
二、预习练习：
1．已知一个等差数列的前几项为：-1，3，7，11，则第 项为．
2．在等比数列 中，已知 ，则 =．
3．已知数列 试写出其一个通项公式：．
4．已知数列 前 项和 ，则 _____________．
5．已知数列 前 项和 ，则 _____________．
【我的疑问】
备注
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【自主探究】
1．根据下列条件，求其通项公式．
(1) ， ；(2) ，
2．已知数列 中， ， ，求数列 的通项公式．
3．已知数列 中， ， ，求数列 的通项公式．
4．数列 满足 ．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式；(3)求数列 的前 项和足 ， ，则 =__________.
2．已知数列 满足 ， ，则 =___ __
3．数列 的前 项的和 ，则数列 的通项公式为
4．数列 中， 对所有的 都有 ，则 ______.
备注
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【巩固练习】
1．数列 的前 项和为 ， ， ，求 的通项公式.
2．数列 的前 项和为 .
(1)求 ；(2)证明 是等比数列
3．设 ， ， ，…， ，
，则 _____________.
4．函数 则 .
备注
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江苏省盐城市时杨中学高三数学一轮复习导学案：专题二函数的图象与性质(1)缺答案
专题二函数的图象与性质（1）
编制：顾金楼审核：朱日新批准：
备注【考点解读】
函数是高中数学的基础知识，也是每年高考
必考的重点内容，而且在每年的高考试卷上所
占的比重比较大，从题型上来看,围绕函数的考
查既有填空题，又有解答题。
函数部分复习的
重点应分两个方面：一是函数“内部”的复习：
即对函数的基本概念（定义域、值域、函数关
系）、函数的性质（函数的单调性、奇偶性、
周期性）及应用、基本函数的图象与性质的掌
握与应用等方面的复习；另一方面是从函数的
“外延”方面去复习，即重视函数与其他知识
点的交叉、综合方面的复习。
函数复习除了知识方面的复习要全面到位以
外，还要重视思想方法的渗透，尤其是要重视
分类讨论、数形结合、等价转化等思想方法的
渗透.
【基础训练】
1．求下列函数的值域：
（1）y＝sin(2x＋错误!) x∈（2）
y＝错误!
（3）y＝x＋错误!
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高考数学一轮复习 第二章 第三节 函数的奇偶性及周期性教案 文(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学教
第三节 函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性 奇偶性 定义图象特点 偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝ －f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[小题体验]1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝________.答案：－22．若函数f (x )是周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (14)＝________.答案：－13．若函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a ＋1)x ＋a 2－1是奇函数，则实数a 的值是________． 解析：由于函数f (x )的定义域为R ，又函数f (x )是奇函数，故f (0)＝0，解得a ＝1或a ＝－1(舍去)，经检验a ＝1时符合题意．答案：11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b ＝________. 解析：因为f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，所以a －1＋2a ＝0，所以a ＝13.又f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，所以a ＋b ＝13. 答案：132．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 2－x ，x ＜0的奇偶性为________．解析：因为x ≠0，故f (x )的定义域关于原点对称． 当x ＞0时，－x ＜0，所以f (－x )＝log 2x ＝f (x )． 当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝log 2(－x )＝f (x )． 故f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 答案：偶函数考点一 函数奇偶性的判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x； (4)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3；(5)(易错题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.解：(1)因为由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，所以f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．所以f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)因为函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，所以函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)因为f (x )的定义域为R ，所以f (－x )＝3－x－3x ＝－(3x －3－x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(4)因为由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.所以f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， 所以f (x )＝4－x2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x2x，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ， 则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f (x )，g (x )的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．考点二函数的周期性重点保分型考点——师生共研[典例引领]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)．解：(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．所以f(x)是周期为4的周期函数．(2)因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0.所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.[由题悟法]1．判断函数周期性的2个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性3个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a.(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a.(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a＞0)．[即时应用]1．(2018·镇江调研)已知f(x)是定义在R上周期为4的函数，且f(－x)＋f(x)＝0，当0＜x＜2时，f(x)＝2x－1，则f(－21)＋f(16)＝________.解析：由f(－x)＋f(x)＝0，知f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又f(x＋4)＝f(x)，且当0＜x＜2时，f(x)＝2x－1，∴f(－21)＋f(16)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－(21－1)＝－1.答案：－12．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________．解析：因为当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0， 所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案：7考点三 函数性质的综合应用题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以填空题形式出现．常见的命题角度有： (1)奇偶性的应用； (2)单调性与奇偶性结合； (3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用1．(2018·连云港模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x，则当x ＞0时，f (x )＝________.解析：x ＞0时，－x ＜0，因为x ＜0时，f (x )＝2x，所以当x ＞0时，f (－x )＝2－x.因为f (x )是R 上的奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .答案：－2－x角度二：单调性与奇偶性结合 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，且函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－[－(－x )2＋2×(－x )]＝x 2＋2x ，x ＜0，所以m ＝2，所以f (x )的单调递增区间为[－1，1]，因此[－1，a －2]⊆[－1,1]⇒－1＜a －2≤1⇒1＜a ≤3.答案：(1,3]角度三：周期性与奇偶性结合3．(2019·江阴期中)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f x，当1≤x ≤2时f (x )＝x －2，则f (6.5)＝________.解析：∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1fx ＋2＝f (x )，即函数f (x )的周期为4. ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (6.5)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝－0.5. 答案：－0.5角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，给出下列命题：①f (1)＝0；②f (x )在区间[－2,2]上有5个零点；③点(2 018,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心； ④直线x ＝2 018是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴． 则正确命题的序号为________．解析：在f (x －1)＝f (x ＋1)中，令x ＝0，得f (－1)＝f (1)，又f (－1)＝－f (1)，∴2f (1)＝0，∴f (1)＝0，故①正确；由f (x －1)＝f (x ＋1)，得f (x )＝f (x ＋2)，∴f (x )是周期为2的周期函数，∴f (2)＝f (0)＝0，又当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，∴函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，可作出函数f (x )的大致图象如图所示．由图知②③正确，④不正确，故正确命题的序号为①②③. 答案：①②③[通法在握]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．[演练冲关]1．(2018·启东中学月考)已知函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，在[0,3]上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎪⎫－m 2－a 5＞f (－m 2＋2m －2)，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，所以2－a ＋3＝0，所以a ＝5，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－a 5＞f (－m 2＋2m －2)，即f (－m 2－1)＞f (－m 2＋2m －2)．由题意知偶函数f (x )在[－3,0]上单调递增，而－m 2－1＜0，－m 2＋2m －2＝－(m －1)2－1＜0，所以由f (－m 2－1)＞f (－m 2＋2m －2)，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－m 2－1≤0，－3≤－m 2＋2m －2≤0，－m 2－1＞－m 2＋2m －2，解得1－2≤m ＜12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－2，12 2．设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x ＜0，ax －1，0＜x ≤2，则f (2 018)＝________.解析：设0＜x ≤2，则－2≤－x ＜0，f (－x )＝－ax ＋b .f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以 －2a ＋1＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 018)＝f (2)＝2×12－1＝0.答案：0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通中学高三测试)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (－1)＝2，那么f (0)＋f (1)＝________.解析：因为函数f (x )是R 上的奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，f (1)＝－f (－1)＝－2，f (0)＝0，所以f (0)＋f (1)＝－2. 答案：－22．(2018·南京三模)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x－2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________．解析：偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2.所以f (x －1)≤2，即f (|x －1|)≤f (2)，即|x －1|≤2，所以－1≤x ≤3. 答案：[－1,3]3．函数f (x )＝x ＋1x＋1，f (a )＝3，则f (－a )＝________.解析：由题意得f (a )＋f (－a )＝a ＋1a ＋1＋(－a )＋1－a ＋1＝2.所以f (－a )＝2－f (a )＝－1. 答案：－14．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. 解析：因为f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1， 所以当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －15．(2019·连云港高三测试)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (－2＋log 35)＝________.解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (－2＋log 35)＝－f (2－log 35)，由于当x ＞0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，故f (－2＋log 35)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 395＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1339log 5＝－59. 答案：－596．(2018·南通一调)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx －b ，x ≥0ax x ＋2，x ＜0(a ，b ∈R)为奇函数，则f (a＋b )＝________.解析：法一：因为函数f (x )为奇函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f－1＝－f 1，f －2＝－f 2，即⎩⎪⎨⎪⎧11－b ＝a －1＋2，22－b ＝2a －2＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.法二：因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称，由题意知，当x ≥0，二次函数的图象顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，－b 24，当x ＜0，二次函数的图象顶点坐标为(－1，－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b2＝－1，b24＝－a ，解得a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件， 所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1. 答案：－1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·抚顺期末)设f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为________．解析：∵f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数， ∴－2b ＋3＋b ＝0， ∴b ＝3，∴f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上为增函数， ∴f (x )在[0,6]上为减函数， ∴由f (x －1)≥f (3)，得|x －1|≤3， 解得－2≤x ≤4，∴f (x －1)≥f (3)的解集为{x |－2≤x ≤4}． 答案：{x |－2≤x ≤4}2．(2019·常州一中模拟)设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＋f (x )＝1，且当x ∈[1,2]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 018.5)＝________.解析：由f (x ＋1)＋f (x )＝1在R 上恒成立，得f (x －1)＋f (x )＝1，两式相减得f (x ＋1)－f (x －1)＝0，即f (x ＋1)＝f (x －1)恒成立，故函数f (x )的周期是2，∴f (－2 018.5)＝f (－0.5)＝f (1.5)， 又当x ∈[1,2]时，f (x )＝2－x ， ∴f (－2 018.5)＝f (1.5)＝2－1.5＝0.5. 答案：0.53．已知函数f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上是单调减函数．若f (2x ＋1)＋f (1)＜0，则x 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上是单调减函数， ∴函数f (x )在区间[－2,2]上是单调减函数．∵f (2x ＋1)＋f (1)＜0，即f (2x ＋1)＜－f (1)， ∴f (2x ＋1)＜f (－1)．则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ＋1≤2，2x ＋1＞－1，解得－1＜x ≤12.∴x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－1，124．(2018·泰州期末)设f (x )是R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x＋ln x4，记a n ＝f (n－5)，则数列{a n }的前8项和为________．解析：数列{a n }的前8项和为f (－4)＋f (－3)＋…＋f (3)＝f (－4)＋(f (－3)＋f (3))＋(f (－2)＋f (2))＋(f (－1)＋f (1))＋f (0)＝f (－4)＝－f (4)＝－⎝⎛⎭⎪⎫24＋ln 44＝－16.答案：－165．(2018·徐州期中)已知函数f (x )＝e x －e －x＋1(e 为自然对数的底数)，若f (2x －1)＋f (4－x 2)＞2，则实数x 的取值范围为________．解析：令g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x，则g (x )为奇函数，且在R 上单调递增．因为f (2x －1)＋f (4－x 2)＞2，所以f (2x －1)－1＋f (4－x 2)－1＞0，即g (2x －1)＋g (4－x 2)＞0，所以g (2x －1)＞g (x 2－4)，即2x －1＞x 2－4，解得x ∈(－1,3)．答案：(－1,3)6．(2019·镇江中学测试)已知奇函数f (x )在定义域R 上是单调减函数，若实数a 满足f (2|2a －1|)＋f (－22)＞0，则a 的取值范围是________．解析：由f (2|2a －1|)＋f (－22)＞0，可得f (2|2a －1|)＞－f (－22)．因为f (x )为奇函数，所以f (2|2a －1|)＞f (22)．因为f (x )在定义域R 上是单调减函数，所以2|2a －1|＜22，即|2a－1|＜32，解得－14＜a ＜54.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，547．(2019·苏州调研)已知奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则不等式f xx －1＞0的解集为________． 解析：由f xx －1＞0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，f x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，fx ＜0.因为奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝f (－2)＝0，所以当x ＞1时，f (x )＞0的解集为(1,2)；当x ＜1时，f (x )＜0的解集为(－2,0)．所以不等式f x x －1＞0的解集为(－2,0)∪(1,2)． 答案：(－2,0)∪(1,2)8．函数f (x )在R 上满足f (－x )＝－f (x )，当x ≥0时，f (x )＝－e x ＋1＋m cos(π＋x )，记a ＝－πf (－π)，b ＝－134·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134，c ＝e f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：∵函数f (x )为R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－e x ＋1＋m cos(π＋x )，∴f (0)＝－1＋1－m ＝0，即m ＝0，∴f (x )＝－e x＋1(x ≥0)．令g (x )＝xf (x )，有g (－x )＝(－x )f (－x )＝xf (x )＝g (x )，∴函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝xf (x )＝x (1－e x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝1－(1＋x )e x ＜0， ∴函数g (x )在[0，＋∞)上为减函数，∵a ＝－πf (－π)＝g (－π)＝g (π)，b ＝－134f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，c ＝e f (e)＝g (e)，又e ＜π＜134，∴b ＜a ＜c . 答案：b ＜a ＜c9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．(2018·大同期末)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )，其中a ＞0，a ≠1.(1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由；(3)当a ＞1时，求使F (x )＞0成立的x 的取值范围．解：(1)∵F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1，∴函数F (x )的定义域为(－1,1)．(2)F (x )为(－1,1)上的奇函数．理由如下：由(1)知F (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，F (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝ －[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－F (x )，∴函数F (x )为(－1,1)上的奇函数．(3)根据题意，F (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，当a ＞1时，由F (x )＞0，得log a (x ＋1)＞log a (1－x )，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，x ＋1＞1－x ，解得0＜x ＜1， 故x 的取值范围为(0,1)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·南通模拟)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ＜0时，f (x )＝2x ，若a n ＝f (n )(n ∈N *)，则a 2 018＝________.解析：∵f (2＋x )＝f (2－x )，以2＋x 代替上式中的x ，得f (4＋x )＝f (－x )， 又函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f (－x )＝－f (x )，再以4＋x 代替上式中的x ，得f (8＋x )＝－f (4＋x )＝f (x )，∴函数f (x )的周期为8. ∴a 2 018＝f (2 018)＝f (252×8＋2)＝f (2)，而f (2)＝－f (－2)＝－14，∴a 2 018＝－14. 答案：－142．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值． 解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ， 且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝ －f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )， 所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数．故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立．于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0.。
2015届高考数学教材知识点函数的奇偶性与周期性复习导学案
2015届高考数学教材知识点函数的奇偶性与周期性复习导学案【学习目标】1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．2.掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．预习案1．奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性．2．证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于对称；(2)判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，从而证得函数是奇(偶)函数．3．奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于对称，偶函数图像关于对称；(2)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性；若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性．(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立．4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)＝ax＋a－x为函数，函数f(x)＝ax－a－x为函数；(2)函数f(x)＝ax－a－xax＋a－x＝a2x－1a2x＋1(a>0且a≠1)为函数；(3)函数f(x)＝loga1－x1＋x为函数；(4)函数f(x)＝loga(x＋x2＋1)为函数．5．周期函数若f(x)对于定义域中任意x均有(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．6．函数的对称性若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于对称．【预习自测】1．(课本改编题)下列函数中，所有奇函数的序号是_______．①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝x2＋1x；④f(x)＝x3＋1. 2．下列函数为偶函数的是()A．y＝sinxB．y＝x3C．y＝exD．y＝lnx2＋13．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.4．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f(x)图像上的（）A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a))5．(2013•衡水调研卷)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)•f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝________．探究案题型一判断函数的奇偶性例1.判断下列函数的奇偶性，并说明理由．(1)f(x)＝x2－|x|＋1x∈；(2)f(x)＝(x－1)1＋x1－xx∈(－1,1)；(3)f(x)＝1ax－1＋12(a>0，a≠1)．探究1.判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝ln2－x2＋x；(2)g(x)＝x2＋|x－a|；(3)f(x)＝x2－，x2＋＜题型二奇偶性的应用例2.(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x＞0时，f(x)＝x＋1，f(x)的解析式为．(2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x－12)＜0的解集为．(3)函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为探究2.(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)证明：函数f(x)为周期函数；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间上的根的个数，并证明你的结论．探究3.(1)f(x)的定义域为R的奇函数，且图像关于直线x＝1对称，试判断f(x)的周期性．(2)f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R均满足f(x)＝－＋，试判断函数f(x)的周期性．例4.已知f(x)为偶函数，且f(－1－x)＝f(1－x)，当x∈时，f(x)＝－x＋1，求x∈时，f(x)的解析式．探究4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈时，f(x)＝2x－x2．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．我的学习总结：（1）我对知识的总结.（2）我对数学思想及方法的总结。
江苏省盐城市时杨中学高考数学一轮复习 函数的奇偶性及周期性导学案
【学习目标】
1.了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性定义判断一些简单函数的奇偶性；
2.掌握奇函数与偶函数的图像，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题；
3.了解周期函数的意义，并能利用函数的周期性解决一些二、预习练习：
1.已知 是奇函数，则 =__________.
2.已知函数 ，已知 ，则 _________.
3．设 是 上的函数，给出下列四个函数,则其中是偶函数的为________．
① ；② ；③ ；④ ．
4．已知 是定义在 上的周期为2的周期函数，当 时， ，则 =___________.
【我的疑问】
(3) ．
2．已知 是定义在 上的偶函数，且满足 ，当
时， ，则 ___________。
3．已知 是 上的奇函数，当 时， ，求 的
解析式。
【回标反馈】
备注
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【巩固练习】
1．已知 是定义在 上的偶函数，那么 =_______．
2．若奇函数 满足 ， ，则 =______．
3.已知 是定义在 上的偶函数，在 上单调递减，且
备注
第1页共4页
【自主探究】
1．已知 是奇函数，当 时， ，则当 时，求
的解析式．
2．奇函数 是定义在 上的减函数，若 ，求 的取值范围．
3． 是定义在 上的函数，且对任意 ，有 ．
（1）求证： 是周期函数；（2）已知 ，求 ．
备注
第2页共4页
【课堂检测】
1．判断下列函数的奇偶性．
(1) ；(2) ；
，则方程 的根的个数为_______个。
4．已知 是偶函数，求 的单调增区间和
(苏教版)高考数学一轮复习第二章第三节函数的奇偶性及周期性教案文(解析版)
1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[小题体验]1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝________.答案：－22．若函数f (x )是周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (14)＝________. 答案：－13．若函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a ＋1)x ＋a 2－1是奇函数，则实数a 的值是________．解析：由于函数f (x )的定义域为R ，又函数f (x )是奇函数，故f (0)＝0，解得a ＝1或a ＝－1(舍去)，经检验a ＝1时符合题意．答案：11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b ＝________.解析：因为f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，所以a －1＋2a ＝0，所以a ＝13.又f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，所以a ＋b ＝13.答案：132．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 2－x ，x ＜0的奇偶性为________．解析：因为x ≠0，故f (x )的定义域关于原点对称． 当x ＞0时，－x ＜0，所以f (－x )＝log 2x ＝f (x )． 当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝log 2(－x )＝f (x )． 故f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 答案：偶函数考点一 函数奇偶性的判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x ；(4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)(易错题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.解：(1)因为由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1， 所以f (x )的定义域为{－1,1}． 又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．所以f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)因为函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，所以函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)因为f (x )的定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(4)因为由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.所以f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，所以f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ， 则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f (x )，g (x )的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．考点二 函数的周期性重点保分型考点——师生共研[典例引领]设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2. (1)求证：f (x )是周期函数；(2)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)．解：(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．所以f(x)是周期为4的周期函数．(2)因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0. 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.[由题悟法]1．判断函数周期性的2个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性3个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a.(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a.(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a＞0)．[即时应用]1．(2018·镇江调研)已知f(x)是定义在R上周期为4的函数，且f(－x)＋f(x)＝0，当0＜x＜2时，f(x)＝2x－1，则f(－21)＋f(16)＝________.解析：由f(－x)＋f(x)＝0，知f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又f(x＋4)＝f(x)，且当0＜x＜2时，f(x)＝2x－1，∴f(－21)＋f(16)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－(21－1)＝－1.答案：－12．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．解析：因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.答案：7考点三函数性质的综合应用题点多变型考点——多角探明[锁定考向]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以填空题形式出现．常见的命题角度有： (1)奇偶性的应用； (2)单调性与奇偶性结合； (3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用1．(2018·连云港模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x ，则当x ＞0时，f (x )＝________. 解析：x ＞0时，－x ＜0，因为x ＜0时，f (x )＝2x ，所以当x ＞0时，f (－x )＝2－x .因为f (x )是R 上的奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .答案：－2－x角度二：单调性与奇偶性结合 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，且函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－[－(－x )2＋2×(－x )]＝x 2＋2x ，x ＜0，所以m ＝2，所以f (x )的单调递增区间为[－1，1]，因此[－1，a －2]⊆[－1,1]⇒－1＜a －2≤1⇒1＜a ≤3.答案：(1,3]角度三：周期性与奇偶性结合3．(2019·江阴期中)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f x ，当1≤x ≤2时f (x )＝x －2，则f (6.5)＝________.解析：∵f (x ＋2)＝－1f x， ∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f x ＋2＝f (x )，即函数f (x )的周期为4.∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (6.5)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝－0.5. 答案：－0.5角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，给出下列命题：①f (1)＝0；②f (x )在区间[－2,2]上有5个零点；③点(2 018,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心； ④直线x ＝2 018是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴． 则正确命题的序号为________．解析：在f (x －1)＝f (x ＋1)中，令x ＝0，得f (－1)＝f (1)，又f (－1)＝－f (1)，∴2f (1)＝0，∴f (1)＝0，故①正确；由f (x －1)＝f (x ＋1)，得f (x )＝f (x ＋2)，∴f (x )是周期为2的周期函数，∴f (2)＝f (0)＝0，又当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，∴函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，可作出函数f (x )的大致图象如图所示．由图知②③正确，④不正确，故正确命题的序号为①②③. 答案：①②③[通法在握]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． (2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．[演练冲关]1．(2018·启东中学月考)已知函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，在[0,3]上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫－m 2－a5＞f (－m 2＋2m －2)，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，所以2－a ＋3＝0，所以a ＝5，所以f ⎝⎛⎭⎫－m 2－a5＞f (－m 2＋2m －2)，即f (－m 2－1)＞f (－m 2＋2m －2)．由题意知偶函数f (x )在 [－3,0]上单调递增，而－m 2－1＜0，－m 2＋2m －2＝－(m －1)2－1＜0，所以由f (－m 2－1)＞f (－m 2＋2m －2)，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－m 2－1≤0，－3≤－m 2＋2m －2≤0，－m 2－1＞－m 2＋2m －2，解得1－2≤m ＜12.答案：⎣⎡⎭⎫1－2，12 2．设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x ＜0，ax －1，0＜x ≤2，则f (2 018)＝________.解析：设0＜x ≤2，则－2≤－x ＜0，f (－x )＝－ax ＋b .f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以 －2a ＋1＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 018)＝f (2)＝2×12－1＝0. 答案：0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通中学高三测试)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (－1)＝2，那么f (0)＋f (1)＝________.解析：因为函数f (x )是R 上的奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，f (1)＝－f (－1)＝－2，f (0)＝0， 所以f (0)＋f (1)＝－2. 答案：－22．(2018·南京三模)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________．解析：偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2.所以f (x －1)≤2，即f (|x －1|)≤f (2)，即|x －1|≤2，所以－1≤x ≤3. 答案：[－1,3]3．函数f (x )＝x ＋1x ＋1，f (a )＝3，则f (－a )＝________.解析：由题意得f (a )＋f (－a )＝a ＋1a ＋1＋(－a )＋1－a ＋1＝2.所以f (－a )＝2－f (a )＝－1. 答案：－14．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. 解析：因为f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1， 所以当x ＜0时，－x ＞0， f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －15．(2019·连云港高三测试)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝ ⎝⎛⎭⎫13x，则f (－2＋log 35)＝________.解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (－2＋log 35)＝－f (2－log 35)，由于当x ＞0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，故f (－2＋log 35)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 395＝－⎝⎛⎭⎫1339log 5＝－59. 答案：－596．(2018·南通一调)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －b ，x ≥0ax x ＋2，x ＜0(a ，b ∈R)为奇函数，则f (a ＋b )＝________.解析：法一：因为函数f (x )为奇函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝－f 1，f－2＝－f 2，即⎩⎪⎨⎪⎧11－b ＝a －1＋2，22－b ＝2a －2＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.法二：因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称，由题意知， 当x ≥0，二次函数的图象顶点坐标为⎝⎛⎭⎫b 2，－b24， 当x ＜0，二次函数的图象顶点坐标为(－1，－a )，所以⎩⎨⎧－b2＝－1，b24＝－a ，解得a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件， 所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1. 答案：－1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·抚顺期末)设f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为________．解析：∵f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数， ∴－2b ＋3＋b ＝0， ∴b ＝3，∴f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上为增函数， ∴f (x )在[0,6]上为减函数， ∴由f (x －1)≥f (3)，得|x －1|≤3， 解得－2≤x ≤4，∴f (x －1)≥f (3)的解集为{x |－2≤x ≤4}． 答案：{x |－2≤x ≤4}2．(2019·常州一中模拟)设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＋f (x )＝1，且当x ∈[1,2]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 018.5)＝________.解析：由f (x ＋1)＋f (x )＝1在R 上恒成立，得f (x －1)＋f (x )＝1，两式相减得f (x ＋1)－f (x －1)＝0，即f (x ＋1)＝f (x －1)恒成立，故函数f (x )的周期是2，∴f (－2 018.5)＝f (－0.5)＝f (1.5)， 又当x ∈[1,2]时，f (x )＝2－x ， ∴f (－2 018.5)＝f (1.5)＝2－1.5＝0.5. 答案：0.53．已知函数f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上是单调减函数．若f (2x ＋1)＋f (1)＜0，则x 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上是单调减函数， ∴函数f (x )在区间[－2,2]上是单调减函数． ∵f (2x ＋1)＋f (1)＜0，即f (2x ＋1)＜－f (1)， ∴f (2x ＋1)＜f (－1)．则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ＋1≤2，2x ＋1＞－1，解得－1＜x ≤12.∴x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，12. 答案：⎝⎛⎦⎤－1，12 4．(2018·泰州期末)设f (x )是R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x ＋ln x4，记a n ＝f (n －5)，则数列{a n }的前8项和为________．解析：数列{a n }的前8项和为f (－4)＋f (－3)＋…＋f (3)＝f (－4)＋(f (－3)＋f (3))＋(f (－2)＋f (2))＋(f (－1)＋f (1))＋f (0)＝f (－4)＝－f (4)＝－⎝⎛⎭⎫24＋ln 44＝－16. 答案：－165．(2018·徐州期中)已知函数f (x )＝e x －e －x ＋1(e 为自然对数的底数)，若f (2x －1)＋f (4－x 2)＞2，则实数x 的取值范围为________．解析：令g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x ，则g (x )为奇函数，且在R 上单调递增．因为f (2x －1)＋f (4－x 2)＞2，所以f (2x －1)－1＋f (4－x 2)－1＞0，即g (2x －1)＋g (4－x 2)＞0，所以g (2x －1)＞g (x 2－4)，即2x －1＞x 2－4，解得x ∈(－1,3)．答案：(－1,3)6．(2019·镇江中学测试)已知奇函数f (x )在定义域R 上是单调减函数，若实数a 满足 f (2|2a －1|)＋f (－22)＞0，则a 的取值范围是________．解析：由f (2|2a －1|)＋f (－22)＞0，可得f (2|2a －1|)＞－f (－22)．因为f (x )为奇函数，所以f (2|2a －1|)＞f (22)．因为f (x )在定义域R 上是单调减函数，所以2|2a －1|＜22，即|2a －1|＜32，解得－14＜a ＜54.答案：⎝⎛⎭⎫－14，54 7．(2019·苏州调研)已知奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则不等式f xx －1＞0的解集为________．解析：由f xx －1＞0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，f x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，f x ＜0.因为奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝f (－2)＝0，所以当x ＞1时，f (x )＞0的解集为(1,2)；当x ＜1时，f (x )＜0的解集为(－2,0)．所以不等式f xx －1＞0的解集为(－2,0)∪(1,2)．答案：(－2,0)∪(1,2)8．函数f (x )在R 上满足f (－x )＝－f (x )，当x ≥0时，f (x )＝－e x ＋1＋m cos(π＋x )，记a ＝－πf (－π)，b ＝－134·f ⎝⎛⎭⎫－134，c ＝e f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：∵函数f (x )为R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－e x ＋1＋m cos(π＋x )， ∴f (0)＝－1＋1－m ＝0，即m ＝0， ∴f (x )＝－e x ＋1(x ≥0)． 令g (x )＝xf (x )，有g (－x )＝(－x )f (－x )＝xf (x )＝g (x )， ∴函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝xf (x )＝x (1－e x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝1－(1＋x )e x ＜0， ∴函数g (x )在[0，＋∞)上为减函数，∵a ＝－πf (－π)＝g (－π)＝g (π)，b ＝－134f ⎝⎛⎭⎫－134＝g ⎝⎛⎭⎫－134＝g ⎝⎛⎭⎫134，c ＝e f (e)＝g (e)， 又e ＜π＜134，∴b ＜a ＜c .答案：b ＜a ＜c9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1， 所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．(2018·大同期末)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )，其中a ＞0，a ≠1.(1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由；(3)当a ＞1时，求使F (x )＞0成立的x 的取值范围．解：(1)∵F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1， ∴函数F (x )的定义域为(－1,1)．(2)F (x )为(－1,1)上的奇函数．理由如下：由(1)知F (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，F (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝ －[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－F (x )，∴函数F (x )为(－1,1)上的奇函数．(3)根据题意，F (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，当a ＞1时，由F (x )＞0，得log a (x ＋1)＞log a (1－x )，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，x ＋1＞1－x ，解得0＜x ＜1，故x 的取值范围为(0,1)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·南通模拟)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ＜0时，f (x )＝2x ，若a n ＝f (n )(n ∈N *)，则a 2 018＝________.解析：∵f (2＋x )＝f (2－x )，以2＋x 代替上式中的x ，得f (4＋x )＝f (－x )，又函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f (－x )＝－f (x )，再以4＋x 代替上式中的x ，得f (8＋x )＝－f (4＋x )＝f (x )，∴函数f (x )的周期为8.∴a 2 018＝f (2 018)＝f (252×8＋2)＝f (2)，而f (2)＝－f (－2)＝－14，∴a 2 018＝－14.答案：－142．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值． 解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎡⎦⎤32＋⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎣⎡⎦⎤32－⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数．故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立．于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0.。
江苏省盐城市时杨中学2015届高三数学一轮复习 三角函数的图像和性质导学案 理
2、将函数值 ， ， ， 的从小到大排列是。
3、函数 的最小正周期是_____________。
4、下列函数中，周期为1奇函数的编号是
① ；② ；
③ ； ④
5、已知 的最大值为 ，最小值为 ，则 =_________， =_________。
6、如果 ，那么函数 的最小值为。
【我的疑问】
备 注
第1页共4页
【自主探究】
1、求下列函数的定义域：
（1） ； （2） 。
2、(1)函数 的单调增区间是____________ __________。
（2）已知函数 ，（ ）的最小正周期为 。①求 的值；②写出函数 的对称中心、对称轴方程和它的单调区间；③求函数 在区间 上的值域关于直线 对称，则 =_________。
4、若函数 的图像关于点 中心对称，则 的最小值为________。
5、已知函数 。求函数 在区间 上的最值。
6、已知函数 ，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性。
备 注
（1） ；（2） ；
（3） 。
备 注
第2页共4页
【课堂检测】
1、 的最小正周期为 ，其中 ，则 =。
2、函数 的奇偶性是。
3、已知 ，试将 按从小到大的顺序排列。
4、给出下列四个命题，其中正确的命题序号为。
①若 都是第二象限的角，且 ，则 ；
②函数 的单调增区间是[ ]， ；
③函数 的最小正周期是π；
三角函数的图像和性质
【学习目标】
1、掌握正、余弦函数的图象和性质。
2、会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，理解正切函数的性质，掌握性质的简单应用。
3、灵活运用函数y=sin ,y= ,y= 的性质解决简单三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等问题。
江苏省盐城市时杨中学苏教版高中数学一导学案：2.2函数的简单性质(2)
【学习目标】
1．进一步理解函数的单调性,能利用函数的单调性结合函数的图象,求出有关函数的最小值与最大值，并能准确地表示有关函数的值域；
2．通过函数的单调性的教学,让学生在感性认知的基础上学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．
【重点难点】
利用函数的单调性求函数的值域．．
【问题引思】
1.什么是函数的最大值和最小值？
2。求函数的最值有哪几种基本的方法?
【我的疑问】
矫正、归纳
第1页共4页
【合作探究】
例1 求下列函数的最值：
(1)
（2) ，
(3） ，
例2求函数 在［0，4]上的最小值．
矫正、归纳
第2页共4页
【课堂检测】
1、函数 在区间 上有最大值吗？有最小值吗?
2、求函数 在 上的最大值和最小值。
3、求函数 在下列区间上的最大值与最小值。
(1） ； （2) ； （3） 。
4、试求关于 的函数 在 上的最大值。
【回顾反馈】
矫正、归纳
第3页共4页
江苏省盐城市时杨中学高中数学必修1导学案 2.1函数的概念和图象(2)
【学习目标】
1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画函数的概念，进一步理解函
数的本质是数集之间的对应；
2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义
域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；
3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，
并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数
学化的思考．
【问题情境】
【我的疑问】
备注
第1页共4页
第2页共4页
【课堂检测】
1、求下列函数的值域
（1）}2,1,0,1
,2
{
,1
2-
-
∈
-
=x
x
y
（2）2
21
1x
x
y-
+
-
=
2、已知函数3
22-
+
=x
x
y，分别求它在下列区间上的值域：
（1）R
x∈；（2）(0,)
x∈+∞；（3）[1,1]
x∈-
5、已知函数,
)
(b
ax
x
f+
=且1
)5(
,7
)3(-
=
=f
f，求)1(
),
0(f
f的
值.
【回标反馈】
备注
第3页共4页
第4页共4页。
江苏省盐城市时杨中学2015届高三数学一轮复习 数列的综合应用导学案 文
数列 【学习目标】
1．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系、等比关系，并能用有关知识解
决相应的问题；
2．了解等差数列与一次函数的关系;等比数列与指数函数的关系．
【问题情境】
一、知识回顾：
二、预习练习：
1．已知三个数3，x ,12成等比数列，则实数=x ．
2．等差数列的前3项依次为32,1,1-+-a a a ，此数列的通项公式为 ．
3．1,,,921--a a 成等差数列，1,,,,9321--b b b 成等比数列，则)(122a a b -= ．
4．若{}n a 是等差数列，首项01>a ，020052004>+a a ，020052004<⋅a a ，则使
前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 是________．
5．将全体正整数排成一个三角形数阵：根据右图的排列规律，
数阵中第n )3(≥n 行的从左至右的第3个数是
___________．
备 注
第1页共4页
第2页共4页
第3页共4页。
2015高考数学(苏教文)一轮课件：2-3函数的奇偶性与周期性
答案
(1)③
(2)0，12∪(2，＋∞)
诊 突 培断 破 养基 高 解础 频 题
第十七页，编辑于星期五：十五点 十三分。
规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性 得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”， 转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x) ＝f(|x|)．
诊 突 培断 破 养基 高 解础 频 题
第三页，编辑于星期五：十五点 十三分。
3．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，
使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ ，f(那x) 么
就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中
诊 突 培断 破 养基 高 解础 频 题
第十八页，编辑于星期五：十五点 十三分。
【训练2】 (2013·天津卷改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函 数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋ f(log a)≤2f(1)，则a的取值范围是________．
诊 突 培断 破 养基 高 解础 频 题
第十九页，编辑于星期五：十五点 十三分。
解析 因为 f(x)是偶函数，所以 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)， 又因为log1a ＝－log2a， 且 f(x)是偶函数， 所以 f(log2a)＋
2
f(log1a )＝2f(log2a)＝2f(|log2a|)≤2f(1)， 即 f(|log2a|)≤f(1)，又函 2
诊 突 培断 破 养基 高 解础 频 题
第十页，编辑于星期五：十五点 十三分。
苏教版数学高一《函数的奇偶性》同步导学案
*变式：已知函数 若 ，求 的值。
【课堂检测】
1.给定四个函数 ； ； ； ；其中是奇函数的个数是．
１个 ２个 ３个 ４个
2.如果二次函数 是偶函数，则 ．
3.判断下列函数的奇偶性：
（1） （2）
（3）
【教学反思】
§2.1.3函数的奇偶性（1）
【教学目标】
1．了解函数奇偶性的含义；
2．掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；
3．初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
【课前导学】
1．偶函数的定义：
如果对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有，那么称函数 是偶函数．
注意：(1)“任意”、“都有”等关键词；
(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 都必须成立；
2．奇函数的定义：
如果对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有，那么称函数 是奇函数．
3．函数图像与奇偶性：
奇函数的图像关于对称；
偶函数的图像关于对称．
【例题பைடு நூலகம்解】
例1．判断下列函数的奇偶性：
(1) (2)
(3) ，
(4) (5)
例2．已知函数 是偶函数，求实数 的值．
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4． 已知 f x 是定义在 R 上的周期为 2 的周期函数， 当 x 0,1 时，f x 4 1 ，
x
则 f 5.5 =___________.
【我的疑问】第 1 页共 ຫໍສະໝຸດ 页1【自主探究】
1．已知 f x 是奇函数，当 x 0 时， f x x 1 x ，则当 x 0 时，求 f x 的解析式．
备
注
2．奇函数 y f ( x ) 是定义在 ( 2,2) 上的减函数，若 f ( m 1) f ( 2m 1) 0 ， 求 m 的取值范围．
3． f x 是定义在 R 上的函数，且对任意 x R ，有 f x f x 1 f x 1 ． （1）求证： f x 是周期函数； （2）已知 f 3 2 ，求 f 2004 ．
第 2 页共 4 页
2
【课堂检测】 1．判断下列函数的奇偶性． (1) f ( x) 9 x 2 x 2 9 ； (2) f ( x) ( x 1)
备
注
1 x ； 1 x
(3 ) f ( x)
4 x2 ． | x 3 | 3
2． 已知 f x 是定义在 R 上的偶函数， 且 满足 f x 1 f x 3 ， 当 x 0,1 时， f x 2 x ，则 f 2005.5 ___________。
a 2x 1 2 是奇函数，则 a =__________. 2x 1
3
2.已知函数 f x ax cx 5 ，已知 f 3 3 ，则 f 3 _________.
3．设 f ( x ) 是 R 上的函数，给出下列四个函数, 则其 中是偶函数的为________． ① f ( x ) f ( x ) ；② f ( x ) | f ( x ) | ；③ f ( x ) f ( x ) ；④ f ( x ) f ( x ) ．
3．已知 y f x 是 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x x 2 x ，求 f x 的
2
解析式。
【回标反馈】
第 3 页共 4 页
3
【巩固练习】 1．已知 f ( x ) ax bx 是定义在 a 1,2a 上的偶函数，那么 a b =_______．
4．已知 f ( x ) ( m 2) x ( m 1) x 3 是偶函数，求 f ( x ) 的单调增区间和 最大值。
2
4
函数的奇偶性及周期性
【学习目标】 1.了解奇函数、 偶函数的定义， 并能运用奇偶性定义判断一些简单函数的奇偶性； 2.掌握奇函数与偶函数的图像，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题； 3.了解周期函数的意义，并能利用函数的周期性解决一些问题. 【问题情境】 一、知识回顾： 备 注
二、预习练习： 1.已知 f x
2
备
注
2．若奇函数 f x 满足 f 3 1 ， f x 3 f x f 3 ，则 f =______．
3 2
3.已知 f x 是定义在 ,0 0, 上的偶函数，在 0, 上单调递减，且
1 f 0 f 3 ，则方程 f x 0 的根的个数为 _______个。 2