2018版高中数学人教版A版必修一第三单元 3.1.1 方程的根与函数的零点课件
2018-2019学年人教A版高中数学必修1课件：3.1.1函数的应用
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
必修一高中数学人教版A版必修一第三单元3.1.1方程的根与函数的零点
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§3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标 1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重 点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与 方程的根的联系(重点)．
课前预习
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预习教材 P86－P88，完成下面问题： 知识点 1 函数的零点
课前预习
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课堂小结
1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续 的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标， 也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函 数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题， 这正是函数与方程思想的基础．
答案 C
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题型三 判断函数零点所在的区间
【例3】 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间
是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
是 0，－12. 答案 0，－12
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题型二 确定函数零点的个数
【例 2】 判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－34x＋58； (2)f(x)＝ln x＋x2－3. 解 (1)由 f(x)＝0，即 x2－34x＋58＝0，得 Δ＝－342－4×58＝ －3116<0， 所以方程 x2－34x＋58＝0 没有实数根，即 f(x)零点的个数为 0.
2018-2019学年人教A版高中数学必修一3.1.1方程的根与函数的零点练习含解析.docx
2018-2019 学年人教 A 版高中数学必修 1 练习含解析第三章 3.1 3.1.11．函数 y ＝ 2x － 1 的图象与 x 轴的交点坐标及其零点分别是 ( )A. 1， 1B ． 1，0 ，12 222C ．－1，－1 D ． －1， 0 ，－ 1222 2解析： 由 y ＝ 2x －1＝ 0，得 x ＝ 1，故交点坐标为1， 0，零点是 1222.答案： B2．函数 f(x)＝ 2x ＋ 3x 的零点所在的一个区间是 ( )A ． (－ 2，－ 1)B ． (－ 1,0)C ．(0,1)D ． (1,2)解析： 因为 f(－ 1)＝ 1－ 3＜0， f(0) ＝1＞ 0，所以 f(x)在区间 (－1,0)上存在零点．2 答案： B3．若函数 f( x)＝ x 2＋ 2x ＋ a 没有零点，则实数 a 的取值范围是 ( )A ． a ＜ 1B ． a ＞ 1C ．a ≤ 1D ． a ≥ 1解析： 由题意知， ＝ 4－ 4a ＜ 0，∴ a ＞1.答案： B4．二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋ c 中， a ·c ＜0，则函数零点的个数是 ________．解析：∵ a ·c ＜ 0，∴Δ＝b 2－ 4ac ＞ 0.∴二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋c 的图象与 x 轴有两个交点，则函数有两个零点．答案： 25．函数 f(x)＝ ax 2＋ 2ax ＋ c(a ≠ 0)的一个零点为 1，则它的另一个零点是 ________．解析： ∵a ≠ 0，∴此函数为二次函数．设另一个零点为x 2，由根与系数的关系，得1＋x 2＝－2a＝－ 2.∴ x 2 ＝－ 3.a答案： － 36．已知函数 f(x) ＝x 2 ＋3(m ＋ 1)x ＋n 的零点是1 和 2，求函数 y ＝log n (mx ＋ 1)的零点．解： 由题可知， f(x)＝ x 2＋ 3(m ＋1)x ＋ n 的两个零点为 1 和 2. 则 1 和 2 是方程 x 2 ＋3(m ＋ 1)x ＋ n ＝0 的两根． 1＋ 2＝－ 3 m ＋ 1 ， m ＝－ 2，可得解得1× 2＝ n ，n ＝ 2.12018-2019 学年人教 A 版高中数学必修 1 练习含解析所以函数y＝ log n(mx＋1)的解析式为y＝ log2(－ 2x＋ 1)．要求其零点，令log 2(－ 2x＋ 1)＝0，解得 x＝ 0.所以函数 y＝ log 2(－ 2x＋ 1)的零点为0.2。
高中数学人教A版必修1第三章3、1、1方程的根与函数的零点的近似值 - 教案
3.1.1 方程的根与函数的零点第二课一、教学目标：① 进一步巩固函数零点的概念，会求基本初等函数的零点；② 掌握方程的根与函数零点之间的等价关系，体会函数方程的转化思想； ③ 对函数零点，零点所在的区间及零点个数各题型有所思有所为。
二、课前预习：（务必课前总结）1、我们学习过的那些函数？它们的图像特点？①一次函数()0y kx b k =+≠：0k >时，是一条递增的直线；0k <时，是一条递减的直线。
b 是图像与y 轴交点的纵坐标，如0b =时，直线过原点。
②二次函数 ③指数函数 ④对数函数 ⑤幂函数2、默写函数零点定理与函数零点存在性定理三、教学过程探讨1：求函数()324f x x x =--+的零点。
探讨2：解决下列两个问题，并试图发现问题中的共性①确定正整数k 的值，使得函数()324f x x x =--+在区间(),1k k +上存在零点。
②试画出函数3y x =与24y x =-+的图像，并分析两个图像交点情况。
你所发现的共性：找出一个数0x 作为函数()324f x x x =--+零点的近似值。
（精度为0.1） 课堂练习：判断下列函数的零点个数①()22f x x x =-+②()lg 2f x x x =-+ ③()2log 2xf x x =+④()()2ln 23f x x x =-- ⑤()32221f x x x x =--+ 课后练习： 1.函数6)(2-+=x x x f 的零点为2.函数2)(+=ax x f 在区间)2,1(-上有零点，则a 的取值范围是3.函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.设函数3y x =与22xy -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是 （ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，5.根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为 ；6、函数()11f x x =-的图像与函数()31y x =-的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ） A. 2 B.4 C.6 D8.7、已知函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且实数0a b c <<<满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是 （ ） A. 0x a < B. 0x c < C. 0x b > D. 0x c >8、确定正整数k 的值，使得函数()237xf x x =+-在区间(),1k k +上存在零点，并确定零点的一个近似值。
人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题
3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．辨误区函数的零点不是点我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )A．(±1,0) B．(1,0)C．0 D．±1解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．答案：D2函数零点(或零点个数)正比例函数y＝kx(k≠0)一个零点0反比例函数kyx=(k≠0)无零点一次函数y＝kx＋b(k≠0)一个零点b k -二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0Δ＞0两个零点－b±Δ2aΔ＝0一个零点－b2aΔ＜0无零点指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)无零点对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)一个零点1幂函数y＝xαα＞0一个零点0α≤0无零点【例2( )A．0 B．1 C．2 D．1或2解析：∵b2＝ac，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax ＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4), 2(4),ab+-=-⎧⎨⨯-=⎩即2,8.a b =⎧⎨=-⎩(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 f (x )＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象图象与x 轴交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 0,0) 无交点方程f (x )＝0的根 x ＝x 1，x ＝x 2 x ＝x 0 无实数根函数y ＝f (x )的零点x 1，x 2 x 0 无零点式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3． 故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝24122x xx+--．解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6．(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26．故函数的零点是log26．(4)解方程f(x)＝24122x xx+--＝0，得x＝－6．故函数的零点为－6．辨误区忽略验根出现错误本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f(x)＝ln x－11x-的零点的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：在同一坐标系中画出函数y＝ln x与11yx=-的图象如图所示，因为函数y＝ln x与11yx=-的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－11x-的零点个数为2．答案：C,5．判断零点所在的区间零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数． 错解 错解一：由题意，得f (1)＝2＞0，f (4)＝2＞0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为0．错解二：∵f (1)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又∵f (4)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零点．∴函数在区间[1,4]内有两个零点． 错因分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f (a )·f (b )＞0时，区间(a ，b )内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f (a )·f (b )＜0时，区间(a ，b )内存在零点，但个数是不确定的．正解由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，所以函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数是2．【例5－2】函数f (x )＝lg x －x的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0． ∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)． 答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔ca＜0．④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0．(2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系． 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程x 1，x 2中有且仅有一个在区间 (k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)＜0或f (k 1)＝0，k 1＜12<22k k b a +-或f (k 2)＝0，12<22k k b a+-＜k 2．__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)． 若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]．点技巧 研究函数图象性质有技巧 对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时， (1)方程有一根； (2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意； 当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-． 综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根．(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．。
人教A版数学必修1第三章3.1.1 方程的根与函数的零点
小结
函数的零点定义
三个等价关系
函数零点存在性原理
数学思想方法
函
数
化
数
形
归
结
与
方
合
转
程
思
化
思
想
思
想
想
函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图像连续方可行 。
注意：零点指的是一个实数，而不是一个点！
方程f(x)=0的实数根
函数y=f(x)的零点
数
函数y=f(x) 的图 象与x轴交点的 横坐标
形
例1、求下列函数的零点：（注意格式）
(1) y x2 x; (2) y log2 x; (3) y 3x 1;
解： (1)令y=0,即x2-x=0； 解得x1=0，x2=1
∴所求函数的零点是0和1 (2) 1 (3) 0
例2：已知函数 f (x) 是定义域为Ｒ的奇函数，且 f (x)
在(0, )上有一个零点，则f (x) 的零点个数为(A)
Ａ.３ Ｂ.２ Ｃ.１ Ｄ.不确定
提升：这三个零点的和是多少？
思考
方程 ln x 2x 6 0 是否有实根？有几个实根
合作探究二
某地0--12时气温变化如图，中间一部分看不清 楚，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完 整的函数图像，这段时间内，是否一定有某时刻 的气温为0°C?为什么？
气温
8
0
12 时间
-4
判断二次函数 f (x) x2 2x 2 在区间 (2,3) 上是否存在零点.
数的角度— 求根法 形的角度— 你会从数来刻画这一图形特征吗？ y
2018年人教A版高中数学必修一3.1.1 方程的根与函数的
3.1.1方程的根与函数的零点（导学案）一、【学习目标】知识与技能 理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．过程与方法 零点存在性的判定．情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、【重点难点】重点 零点的概念及存在性的判定．难点 零点的确定．三、【学习新知】【A 级】问题1：求方程0322=--x x 的实数根？【B 级】问题2：方程lnx+2x －6=0有实数根吗？【B 级】思考：一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 的根与二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 的图象有什么关系？四、【合作探究】【A 级】探究1：观察几个具体的一元二次方程及相应的二次函数，完成下表.：上表中方程根的个数 函数图像与上表中方程的根就是对应函数图像与x 轴交点的 . 【B 级】探究2: 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根与二次函数c bx ax y ++=2的图象的关系：：一元二次方程根的个数 一元二次方程的根就是对应函数图像与x 轴交点的 .【A 级】知识点1：函数零点的定义注：【B 级】知识点2：等价关系作用：【B 级】探究3：如下图所示，完成课本87P 的探究，归纳函数零点存在的条件.【A 级】知识点3：函数零点存在性条件点拨1：典型例题例1．求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数．点拨2：五、【课堂检测】1、判断下列函数是否有零点，若有，请求出其零点 （1）1+=x y （2）xy 1= （3）2xy =（4）2log 2-=x y2、在下列哪个区间内,函数2)(3-+=x x x f 一定有零点（ ） A 、(－1,0） B 、(0,2） C 、(1,2） D 、(2,3)3、函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间为（ ） A (1,2) B (2,3) C （3，4） D (e,∞+)六、【总结提升】1. 知识总结2. 数学思想总结七、【课后反思】八、【课下作业】1、已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下的x,f(x)对应值表那么该函数在区间[1,6]上有且（ ）零点。
人教A版必修1第三章3.1.1方程的根与函数的零点 教学设计
3.1.1方程的根与函数的零点课题：方程的根与函数的零点教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学1）》一、教学目标知识与技能：结合具体的函数图象和方程根的问题，了解函数的零点与方程根的联系，形成函数零点的概念及零点存有的判定方法。
过程与方法：在应用函数研究方程的过程中，体会函数与方程思想，数形结合思想以及化归思想；把从特殊函数零点存有的判定方法上升到一般函数，体现了从特殊到一般的研究方法。
情感态度与价值观：让学生亲自经历数学知识产生的过程，提升学生的学习水平，养成积极主动，勇于探索，持续创新的学习习惯和品质，感受探究的乐趣。
二、教学重点与难点：教学重点：方程的根与函数零点的关系及零点存有性定理的深入理解与应用教学难点：零点存有定理的发现与准确理解三、教学过程探究一：方程的根与相对应函数的联系由一次函数做引导，启发学生完成表格方程x+1=0x2－2x－3=0函数y=x+1y= x2－2x－3 函数图象函数图象与x轴交点方程的实数根函数的零点（生先独立做，后可结组讨论）思考：观察方程根与相对应函数图象有什么联系?学生叙述两者联系.)31(=x0log2=xxy)31(=xy2log=教师： 方程如果有实数根，那么方程的实数根就是相对应函数的图象与x 轴交点的横坐标。
我们把这个横坐标叫做函数的零点。
我们给出零点的概念 1.函数零点的概念对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点。
（zero point ） 注：零点是图像与x轴交点的横坐标，不是点设计意图：以学生熟悉的函数图象和方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系，自然的得到零点的概念，理解零点是连接函数与方程的结点。
探究二：结合零点的定义和探究的过程，你认为方程的根与函数的图像与函数的零点三者之间有何联系？方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
高中数学人教A版必修一第三章3.1.1 方程的根与函数的零点 教案
3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标1. 知识和技能目标：了解函数的零点与方程的根之间的关系；理解函数零点的概念，掌握函数零点的求法；掌握零点存在的判断条件；2 过程与方法：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现函数零点存在的条件；.3 .情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数形结合思想及转化思想；在课堂探究中体会从特殊到一般的数学思想；二、重难点：重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系；难点：零点存在性定理的理解；三、教法学法本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问—探索—归纳—定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。
四、教学教具PPT，黑板，粉笔五、教学过程（一）课题引入：到目前为止，我们学习了函数的概念、性质，以及几种基本的初等函数(初中学的一次函数、二次函数、反比例函数，高中学了指数函数)，他们可以用来刻画现实世界中不同的变化规律，例如，生物体内碳14的衰减、生物细胞分裂等规律都可以用指数函数模型来描述，平常的匀速直线运动中时间与路程之间的关系可以用一次函数来描述等等。
函数在我们实际生活中的应用很广泛，在实际问题中，我们应当选择什么样的函数模型来刻画呢？就是我们本章要学习的内容——函数的应用。
在本章，我们将先学习第一节函数与方程的内容（板书“3.1函数与方程”），这个标题的名字听起来倒是很熟悉，似乎是要将我们熟悉的函数和方程联系起来呢！这两个真的能联系起来吗？方程问题一般就是求方程的根，而函数，我们通常会研究它的图像，通过图像还能研究其性质等相关问题。
我们本节课就来研究方程的根与函数的零点(板书标题“3.1.1方程的根与函数的零点”)。
(二)概念引入我们先来看一下二次方程的根与二次函数的图像：观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图问题1：(1)画二次函数322--=x x y 的图像(黑板上画)，在画图过程中，哪里用到了解二次方程(求x 轴交点时)？我们将二次方程的根和函数图像与x 轴交点的坐标分别写出来(见PPT)；同样的，方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ；方程0322=+-x x 与322+-=x x y (见PPT)问题2：方程的根与函数图象与x 轴交点的横坐标之间有什么关系？结论：方程根的个数就是函数图像与x 轴交点的个数；方程的根就是函数图象与X 轴交点的横坐标；问题3：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图二次函数的图像与x 轴交点和相应的一元二次方程根的这种关系，可以推广到一般情形，如一次函数23+=x y 与方程023=+x ，反比例函数xx f 1)(=与01=x(黑板上画)，等等。
高中-数学-人教A版-数学必修一3.1.1 方程的根与函数的零点 教案
§3.1.1方程的根与函数的零点教案一．教材分析：函数的应用是学习函数的一个重要方面，与其他数学知识有着广泛的联系。
学生学习函数的应用，目的是利用已有的知识分析问题和解决问题。
本节内容是函数应用的第一节课。
课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节的入口，其目的是让学生从熟悉的知识发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。
教材内容由易到难，循序渐进，符合学生的认知心理和认知规律。
二．学情分析：在初中学生已经学习了二次方程和二次函数的有关内容，已经具备了判断根的个数以及求根的知识能力，本节课从学生熟悉的知识入手，符合学生的认知规律。
但在学习中学生较多对知识的理解不够深刻，而且缺乏对探究问题的描述以及对知识的总结能力。
三 .教学目标：1.知识与技能（1）结合二次函数图像，使学生准确判断出一元二次方程根的存在性及个数；（2）通过探究让学生准确说出函数的零点与方程根的联系；（3）通过实例探究使学生能够完整说出零点存在性定理。
2.过程与方法通过观察二次函数图像，并由函数在区间端点上的函数值之积的特点，让学生能够找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法，进一步体会数形结合思想的应用。
3.情感、态度与价值观通过本节课的学习，使学生体会数形结合的数学思想，从一般到特殊的思想，化归与转化的思想。
从直观感受、师生合作交流、自主探索使学生体会到学会数学所带来的成功的喜悦。
四 .教学重点.难点：重点：函数的零点与方程根之间的关系，连续函数零点的存在性定理。
难点：零点存在性的判定及数形结合的思想﹑转化思想在数学中的应用。
五、教学方法主要采用引导探究的教学方式，运用观察、引导、多媒体辅助教学等形式展开教学，让学生在“探究问题——尝试练习——探索研究——总结归纳”的过程中，体会数学基本思想的应用，从探究的过程中获取知识。
六、教具准备：三角板多媒体七、教学过程即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图像与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．尝 试 练 习 （1）试试： （1）函数y ＝x+1的零点是 （ ） A(-1,0) B ．(0,-1) C ．0 D ．-1 （2）函数243y x x =-+的零点为 .师：给出问题，提示学生用代数法来解决问题。
【人教A版】高中数学必修1第三章3.1.1 方程的根与函数的零点
•
•
a
bx
a
bx
a
bx
a
bx
二分法的几何解释
y=f(x)
a bx
开始 定义f(x)
二分法程序框图
输入a,b,ε
m=(a+b)/2
是 f(m)=0
否 否
f(a)f(m)<0 是
b=m
a=m
否 |a-b|<ε 是
m=(a+b)/2
输出x=m为根
结束
根据函数与方程的关系：
• (1)方程f(x)=0有几个根⟺函数y=f(x)的图像与x 轴有几个交点。
• (2)方程f(x)=g(x)有几个根⟺函数y=f(x)的图像 与y=g(x)的图像有几个交点。
• (3)求解方程f(x)=0、f(x)=g(x)的根，或估计根 的范围，或判断根的个数，均可通过图像来 求解。
• 又因为f(x)=lnx+2x-6在区间[2,3]内单调递增…..条件3
• 所以lnx+2x-6=0在区间(2,3)内存在唯一实根。结论2
下面用人工方法——放缩法， 来缩小根存在的区间。
下面用人工方法——放缩法， 来缩小根存在的区间。
下面用人工方法——放缩法， 来缩小根存在的区间。
• 数与形，本是相依倚，
• 因为f(2)=ln2-2<lne-2=-1<0，f(3)=ln3>lne=1>0
• 所以f(2)f(3)<0…………………………………………………..条件1
• 又f(x)=lnx+2x-6在区间[2,3]内连续………………..…条件2
• 所以lnx+2x-6=0在区间(2,3)内存在实根。……...结论1
高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第三章 3.1.1方程的根与函数的零点
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达标检测
1.函数y＝x的零点是( B )
A.(0,0)
B.x＝0
C.x＝1
D.不存在
1 23 45
答案
2.函数f(x)＝x2－2x的零点个数是( C )
A.5
答案
1 23 45
3.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则 下列说法正确的是( C ) A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
总是
比别人
学得慢
一看就懂 一做就错 看得懂，但不会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识
速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方 式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备习
惯
积极 主动
2018-2019学年人教A版高中数学必修一教学课件：3.1.1方程的根与函数的零点
1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐 标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．在函数零点存在性定理中，要注意三点： (1)函数是连续的； (2)定理不可逆； (3)至少存在一个零点．
3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种： (1)用定理； (2)解方程； (3)用图象． 4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化 为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是 函数与方程思想的基础．
判断函数零点个数的方法 判断函数零点的个数主要有以下几种方法． 方法一：直接求出函数的零点进行判断； 方法二：结合函数图象进行判断； 方法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间 [a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单 调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个 零点，如图所示．
)
A.23，1
B．12，23
C.13，12
D．0，13
解析：构造函数 f(x)＝12x－x13 . 由于 f13＝1213 －1313 >0， f12＝1212 －1213 <0，
2．判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代：将区间端点代入函数求出函数的值． (2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断． (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该 区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有 一个零点．
2．(1)使得函数 f(x)＝ln x＋12x－2 有零点的一个区间是
(2)解析：构造函数 f(x)＝ex＋x－2，由 f(0)＝－1，f(1)＝e －1>0，显然函数 f(x)是单调函数，有且只有一个零点，则函数 f(x)的零点在区间(0,1)上，所以方程 ex＋x＝2 的解在区间(0,1) 上．
2018-2019学年高中数学人教A版必修一：3.1.1 方程的根与函数的零点
(B)(0,1)
(C)(1,2)
(D)(2,3)
解析:(2)构造函数f(x)=ex-x-3,
由上表可得f(-1)=0.37-2=-1.63<0,
f(0)=1-3=-2<0,
f(1)=2.72-4=-1.28<0,
f(2)=7.39-5=2.39>0,
f(3)=20.08-6=14.08>0,
f(1)·f(2)<0,所以方程的一个根所在区间为(1,2),故选C.
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【备用例2】 (2017·青州市高一月考)函数f(x)=|x|-k有两个零点,则( )
(A)k=0 (B)k>0 (C)0≤k<1
(D)k<0
解析:因为函数f(x)=|x|-k有两个零点, 所以函数y=|x|的图象与函数y=k的图象有两个交点,如图所示. 数形结合可得,当k>0时,函数y=|x|的图象与函数y=k的图象有两个交点, 故k的范围是(0,+∞).故选B.
注意使变量的取值有实际意义.
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3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点
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课标要求
1.理解函数零点的定义,会求函数的零点. 2.理解函数的零点与方程的根的联系. 3.掌握函数零点存在的条件,会判断函数零点的个数.
即时训练2-1:(1)函数f(x)=x2+4x+4在区间[-4,-1]上( )
(A)没有零点
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题型一 函数零点的概念及求法
【例 1】 1 (1)函数 y＝1＋x 的零点是( B．x＝－1 D．x＝0 )
A．(－1,0) C．x＝1
(2)设函数 f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数 f(x) 的零点与 g(x)的零点之和为________． (3)若 3 是函数 f(x)＝x2－mx 的一个零点，则 m＝________.
题型二 确定函数零点的个数
【例 2】 判断下列函数零点的个数．
2
3 5 (1)f(x)＝x －4x＋8；
3 3 5 5 2 解 (1)由 f(x)＝0，即 x －4x＋8＝0，得 Δ＝ －4 －4×8＝
2
(2)f(x)＝ln x＋x2－3.
31 －16<0， 3 5 所以方程 x －4x＋8＝0 没有实数根，即 f(x)零点的个数为
知识点2 函数零点的判断 连续不断 (1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__________ f(a)· f(b) 的一条曲线；②__________<0. (2) 结 论 ： 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 (a ， b) 内 有 零 点 ， 即 存 在 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根． c∈(a，b)，使得________
2
0.
(2)法一
函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点
的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数． 在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而 方程ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有 几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而
判定零点的个数． (3) 结合单调性，利用零点存在性定理，可判定 y ＝ f(x) 在 (a，b)上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题．
1 【训练 2】 函数 f(x)＝ln x－ 的零点的个数是( x －1 A．0 C．2 B．1 D．3
§3.1 函数与方程
3.1.1
学习目标
方程的根与函数的零点
1. 理解函数零点的定义，会求某些函数的零点 ( 重
点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与
方程的根的联系(重点)．
预习教材 P86－P88，完成下面问题： 知识点 1 函数的零点
f(x)＝0 的实数 x. (1)概念：函数 f(x)的零点是使__________
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间 是( ) B．(－3，－1)和(－1,1) A．(－3，－1)和(2,4)
)
1 解析 如图画出 y＝ln x 与 y＝ 的 x－1 1 图象，由图知 y＝ln x 与 y＝ (x>0， x－1 且 x≠1)的图象有两个交点． 故函数 f(x) 1 ＝ln x－ 的零点有 2 个． x－1
答案 C
题型三 判断函数零点所在的区间
【例3】 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x y －3 6 －2 m －1 －4 0 －6 1 －6 2 －4 3 n 4 6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析
1 (1)令 1＋x ＝0，
解得 x＝－1，故选 B． (2)令 f(x)＝21－x－4＝0 解得 x＝－1， 即 f(x)的零点为－1， 令 g(x) ＝1－log2(x＋3)＝0，解得 x＝－1，所以函数 f(x)的零点与 g(x) 的零点之和为－2. (3)由 f(3)＝32－3m＝0 解得 m＝3.
bx2－ax的零点是________．
解析 ∵函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点是 2，∴2a＋b＝0⇒b ＝－2a，∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，∵－ 1 ax(2x＋1)＝0⇒x＝0，x＝－2，∴函数 g(x)＝bx2－ax 的零点 1 是 0，－2.
答案
1 0，－2
答案 (1)B (2)－2 (3)3
规律方法
函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程 f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函
数存在零点，否则函数不存在零点．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交 点的横坐标即为函数的零点．
【训练 1】
函数f(x)＝ax ＋ b有一个零点是 2，那么函数 g(x) ＝
法二 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0， f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
所以f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的， 所以f(x)在(1,2)上必有零点， 又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
规律方法 判断函数零点个数的四种常用方法
(2)函数的零点与函数的图象与 x 轴的交点、对应方程的根 的关系：
【预习评价】
(1)函数f(x)＝x2－4x的零点是________．
(2)若2是函数f(x)＝a·2x－log2x的零点，则a＝________.
解析 (1)令 f(x)＝0，即 x2－4x＝0，解得 x＝0 或 x＝4，所
以 f(x)的零点是 0 和 4. 1 (2)由 f(2)＝4a－1＝0 得 a＝4. 1 答案 (1)0 和 4 (2)4
提示
(1)×
1 由于 f(x)＝ x 的图象在[－1,1]上不是连续不断的
曲线，所以不能得出其有零的结论． (2)× (3)× 反例：f(x)＝x2－2x，区间为(－1,3)，则 f(－1)· f(3)>0. 反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1,3)，满足条件，
但 f(x)在(－1,3)内有 0,1,2 三个零点．
【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
1 1 (1)设 f(x)＝x ，由于 f(－1)f(1)<0，所以 f(x)＝x在(－1,1)内有 零点( ) )
(2)若函数 f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)f(b)<0.(
(3)若函数 f(x)的图象在区间[a， b]上是一条连续不断的曲线， 且 f(a)· f(b)<0，则 f(x)在(a，b)内只有一个零点．( )