2015届高考苏教版数学(理)大一轮配套课时训练73 矩阵及其变换]
2015高考数学一轮配套课件：15-2矩阵与变换
【训练 3】已知 a∈R，矩阵 A＝1a 12对应的线性变换把点 P(1,1) 变成点 P′(3,3)，求矩阵 A 的特征值以及每个特征值的一个 特征向量． 解 由题意1a 1211＝a＋3 1＝33， 得 a＋1＝3，即 a＝2，矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)＝λ－－21 λ－－21＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)， 令 f(λ)＝0，所以矩阵 A 的特征值为 λ1＝－1，λ2＝3.
诊断·基础知识
突破·高频考第五点页，编辑于星培期五养：十·解三点题五能十九力分。
(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量 x，y 的二元一次方
程组acxx＋＋dbyy＝＝nm， 的系数矩阵 A＝ac db可逆，那么该方程组
有唯一解xy＝ac db－1mn ，
d
－b
其中 A－1＝ad－－bcc
ad－bc a
.
ad－bc ad－bc
诊断·基础知识
突破·高频考第六点页，编辑于星培期五养：十·解三点题五能十九力分。
• 3．二阶矩阵的特征值和特征向量
• (1)特征值与特征向量的概念
• 设A是一个二阶矩λ阵，如果对于实数λα，存
在(2)一特征个多非项零式与向特量征α方，程使得Aα＝λα，那么 称为A 的 的设一一λ 是个个二特特阶矩征征阵值向A，量＝而．ac db的称一为个特A的征值一，个属于特征值λ
用下变换为曲线 C2，求 C2 的方程． 解 设 P(x，y)为曲线 C2 上任意一点，P′(x′，y′)为曲线 x2＋2y2＝1 上与 P 对应的点， 则10 21xy′ ′＝xy，即xy＝＝xy′′＋2y′， ⇒xy′ ′＝ ＝xy－ . 2y， 因为 P′是曲线 C1 上的点， 所以 C2 的方程为(x－2y)2＋y2＝1.
2015高考数学(理)复习配套-五年高考真题分类汇编：第十三章 矩阵与变换
五年高考真题分类汇编：矩阵与变换1．（2013•江苏高考）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12， 从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －20 3. 2．（2013•福建高考理）已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.①求实数a ，b 的值； ②若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，求点P 的坐标． 解：(1)本小题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．①设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由⎝ ⎛⎭⎪⎫x 'y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 20 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1. ②由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.故点P 的坐标为(1,0)．3．（2012•江苏高考）已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值． 解：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，于是矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.4．（2012•福建高考理）设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 0b 1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)求A 2的逆矩阵．解：(1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是P ′(x ′，y ′)．由⎝⎛⎭⎫x ′y ′＝⎝⎛⎭⎫a 0b 1⎝⎛⎭⎫x y ＝⎝⎛⎭⎫ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y . 又点P ′(x ′，y ′)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1， 整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. 因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1. (2)由(1)知，A ＝⎝⎛⎭⎫1 01 1，A 2＝⎝⎛⎭⎫1 01 1⎝⎛⎭⎫1 01 1＝⎝⎛⎭⎫1 02 1，所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎝⎛⎭⎫1 0－2 1.5．（2011•福建高考理）设矩阵M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00 b (其中a ＞0，b ＞0)． (Ⅰ)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(Ⅱ)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．解：(Ⅰ)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1 y 1x 2 y 2， 则MM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1. 又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 00 3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2 00 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1 y 1x 2 y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1， 所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 00 13. (Ⅱ)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00 b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′， 又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1， 则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 又a ＞0，b ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 6．（2011•江苏高考）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. 解：A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.。
江苏省2015届高考数学模拟试题分类汇编：第15章-矩阵与变换
目录（基础复习部分） 第十五章 矩阵与变换 (1)第01课 几种常见的变换 ........................................................................................................................ 1 第02课 矩阵的复合、乘法与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量 . (6)第十五章 矩阵与变换 第01课 几种常见的变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2b 13属于特征值λ的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤ 1－1 ．（1）求实数b ，λ的值；（2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下，得到的曲线为C '：x 2＋2y 2＝2，求曲线C 的方程．解：（1）因为矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2b 13属于特征值λ的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤ 1－1，所以⎣⎡⎦⎤2b 13⎣⎡⎦⎤ 1－1＝λ⎣⎡⎦⎤ 1－1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－b －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－λ． ……………………… 3分 从而⎩⎨⎧2－b ＝λ，－2＝－λ．解得b ＝0，λ＝2． ………………………… 5分（2）由（1）知，A ＝⎣⎡⎦⎤2013．设曲线C 上任一点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用后变为曲线C '上一点P (x 0，y 0)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤2013⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x x ＋3y ， 从而⎩⎨⎧x 0＝2x ，y 0＝x ＋3y ．…………………………… 7分因为点P 在曲线C '上，所以x 02＋2y 02＝2，即(2x )2＋2(x ＋3y )2＝2， 从而3x 2＋6xy ＋9y 2＝1．所以曲线C 的方程为3x 2＋6xy ＋9y 2＝1． ……………………………… 10分已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程． 解：设A NM =则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………………………3分 设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ， 则 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ……………………………7分 又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴ 21()22x y -=，即218y x =．………………………………10分已知矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵1AB -对应的变换把直线l 变为直线':20l x y +-=，求直线l 的方程．21.B .解：∵1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴11201B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ∴1101212020102AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………………5分 设直线l 上任意一点(,)x y 在矩阵1AB -对应的变换下为点(,)x y ''．1202x x y y '-⎤⎤⎡⎤⎡⎡=⎥⎥⎢⎥⎢⎢'⎣⎦⎣⎣⎦⎦，∴2,2,x x y y y '=-⎧⎨'=⎩ 代入:(2)(2)20l x y y '-+-=，化简后得:2l x =． ………………10分 求曲线1x y +=在矩阵M 10103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．解：设点00(,)x y 为曲线1x y +=上的任一点，在矩阵10103M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则由0010103x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，………………………………………………………………3分得：00,1,3x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ 即00,3,x x y y '=⎧⎨'=⎩ ………………………………………………………5分 所以曲线1x y +=在矩阵10103M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的曲线为31x y +=， ………………………………………………………………………………8分所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯=． …………………………………10分（南京盐城模拟一）求直线10x y --=在矩阵2222M -⎥=⎥⎥⎣⎦的变换下所得曲线的方程．解：设(,)P x y 是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为(,)Q x y ''，则,,x y x x y y ''=''+=解得),),x x y y y x ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩ (5)分代入10x y ''--=))10x y y x +--=，化简可得所求曲线方程为x =. (10)分（扬州期末）A ．（本小题满分10分，矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1在矩阵A=10102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 对应的变换作用下得到曲线C 2：2214x y +=，求曲线C 1的方程． 设(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，点(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点(,)P x y '''，则有10102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥' ⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即,1.2x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ ……5分又因为点(,)P x y '''曲线222:14x C y +=上， 故22()()14x y ''+=，从而22()()142x y +=， 所以曲线1C 的方程是224x y +=．（镇江期末）已知矩阵1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式． 解：MN =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦1021⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=10202⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， ……4分 即在矩阵MN 变换下11022022x x x x y y y y ⎡⎡⎤⎤'⎡⎡⎡⎤⎤⎤⎢⎢⎥⎥→==⎢⎢⎢⎥⎥⎥⎢⎢⎥⎥'⎦⎦⎦⎣⎣⎣⎢⎣⎦⎦⎣， ……6分 12x x '=，2y y '=， ……8分 代入得：1sin 22y x ''=， 即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =． ……10分（苏北四市期末） 已知,a b R ∈，矩阵 1 3a A b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的变换A T 将直线10x y --=变换为自身，求a ,b 的值。
高考数学(理)一轮复习课件选修系列第二节 矩阵与变换(苏教版江苏专用
令 β＝ mα1＋ nα2， 将具体数据代入有 m＝ 4， n＝－ 3， M4β＝ M4(4α1－ 3α2) ＝ 4(M4α1)－ 3(M4α2) ＝ 4(λ41α1)－ 3(λ42α2) 1 1 4 4 ＝ 4× 3 － 3×(－ 1) 1 －1 321 ＝ . 327
3．逆变换与逆矩阵 (1)设TM是一个线性变换，如果存在线性变换TN， 使得TMTN＝TNTM＝I，则称变换TM________ 可逆 ，并且称 逆变换 ． TN是TM的________ (2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使 可逆 ，或称矩阵A是 得AB＝BA＝E，则称A______ 可逆矩阵 ，并且称B是A的_______ 逆矩阵 ．若二阶矩阵 _________ 惟一的 ．通常记A的 A存在逆矩阵B，则逆矩阵是_______ 逆矩阵为A－1.一般地，对于二阶可逆矩阵A＝ (ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝ .
1 2 1 3．已知 M＝ ，β＝ ，求 M4β. 2 1 7
λ－1 －2 解：矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝ ＝ －2 λ－1
λ －2λ－3＝0，所以 λ1＝3，λ2＝－1， 1 1 对应的一个特征向量分别为 α1 ＝ ， α 2＝ ， 1 －1
(4)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则 也存在逆矩阵 ，且(AB)－1＝B－1A－1. AB________________ 二阶矩阵 a b A＝ 可逆，当且仅当 detA＝ad－ bc≠ 0. c d a b － 1 当矩阵 A＝ 可 逆 时 ， A ＝ c d －b d detA detA . －c a detA detA
(5)如果关于变量 x，y 的二元一次方程组 (线性方
江苏省一轮复习数学试题选编7：矩阵与变换(学生版).pdf
江苏省2014届一轮复习数学试题选编37：矩阵与变换 填空题 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））设矩阵的逆矩阵为,a+b+c+d=_________________. 解答题 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—2:矩阵与变换) 已知矩阵的一个特征值为,其对应的一个特征向量为,已知,求. ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）B 选修4 - 2:矩阵与变换若矩阵有特征值,,它们所对应的特征向量分别为和,求矩阵. ．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）B.选修4-2:(矩阵与变换)已知二阶矩阵M有特征值=3及对应的一个特征向量,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵M. ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-2:矩阵与变换 已知,若矩阵所对应的变换把直线:变换为自身,求. ．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-2:矩阵与变换设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为,求矩阵M的逆矩阵. ．（2010年高考（江苏））矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0,k∈R,M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求实数k的值 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-2:矩阵与变换 已知曲线,在矩阵M对应的变换作用下得到曲线,在矩阵N对应的变换作用下得到曲线,求曲线的方程. ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）[选修4—2 :矩阵与变换]若圆在矩阵对应的变换下变成椭圆求矩阵的逆矩阵.．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））(本小题满分l4分) 已知二阶矩阵M属于特征值一1的一个特征向量为,属于特征值2的一个特征向量为,求矩阵M及其逆矩阵. ．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）[选修4 - 2:矩阵与变换]已知矩阵 有特征值及对应的一个特征向量,求曲线在的作用下的新曲线方程. ．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）B.选修4—2:矩阵与变换设a>0,b>0,若矩阵A=把圆C:x2+y2=1变换为椭圆E:+=1.(1)求a,b的值;(2)求矩阵A的逆矩阵A-1.．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-2:矩阵与变换)求曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程,其中 , .．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）选修4 - 2:矩阵与变换已知矩阵,向量.求向量,使得.．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）选修4—2:矩阵与变换 已知矩阵,若矩阵属于特征值6的一个特征向量为,属于特征值1的一个特征向量为.求矩阵的逆矩阵.．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—2:矩阵与变换) 求曲线:在矩阵对应的变换下得到的曲线的方程. ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—2:矩阵与变换) 已知,,在矩阵对应变换的作用下,得到的对应点分别为,,,求矩阵.．（2012年江苏理）已知矩阵的逆矩阵,求矩阵的特征值. ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-2:矩阵与变换已知,点A在变换T:作用后,再绕原点逆时针旋转90o,得到点、B.若点B的坐标为(-3,4),求点A的坐标. ．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷） ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）选修4—2:矩阵与变换已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(0, 2),B(1,1),C(1,3).若△ABC在一个切变变换T作用下变为△A1B1C1,其中B(1,1) 在变换T作用下变为点B1(1,-1).(1)求切变变换T所对应的矩阵M;(2)将△A1B1C1绕原点O按顺时针方向旋转30后得到△A2B2C2.求△A2B2C2的面积.．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—2:矩阵与变换) 本小题满分10分)已知矩阵的一个特征值为,求其另一个特征值. ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—2:矩阵与变换已知矩阵M=对应的变换将点A(1,1)变为A' (0,2),将曲线C:xy=1变为曲线C'.(1)求实数a,b的值;(2)求曲线C' 的方程.．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）B.[选修4-2:矩阵与变换]设,,试求曲线在矩阵变换下的曲线方程. ．（2009高考(江苏)）的逆矩阵. ．（2013江苏高考数学）B.[选修4-2:矩阵与变换]本小题满分10分.已知矩阵,求矩阵.．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知矩阵A属于特征值的一个特征向量为α1，属于特征值的一个特征向量为α2．A，并写出A的逆矩阵． ．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）(选修4—2:矩阵与变换) 已知矩阵的一个特征值为3, 求的另一个特征值及其对应的一个特征向量. ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(矩阵与变换)设矩阵,若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为,属于特征值2的一个特征向量为,求实数的值. ．（2011年高考（江苏卷））已知矩阵,向量,求向量,使得江苏省2014届一轮复习数学试题选编37：矩阵与变换参考答案 填空题 0 解答题 选修4 - 2:矩阵与变换解.设,由 得,即,, 所以 B.选修4-2:(矩阵与变换)设,则,故 ,故 联立以上两方程组解得,故=对于直线上任意一点,在矩阵对应的变换作用下变换成点,则,因为,所以, 所以解得所以, 所以 【解】设曲线上任一点在矩阵对应的变换下的像是,由,得因为在圆上,所以,化简可得 依题意可得,或而由可得 故, ，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。
高考数学一轮配套学案讲解：《矩阵与变换》(苏教版)
§14.2 矩阵与变换1．乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则： [a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律． 即(AB )C ＝A (BC )， AB ≠BA ，由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C .一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．常见的平面变换(1)恒等变换：如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1； (2)伸压变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12；(3)反射变换：如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1；(4)旋转变换：如⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0；(6)切变变换：如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1(k ∈R ，且k ≠0)． 3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵； (2)若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. 4．特征值与特征向量设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．5．特征多项式设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 是一个二阶矩阵，λ∈R ，把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ，称为A 的特征多项式．1．在切变变换M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－21作用下，直线y ＝2x －1变为________．答案 y ＝－12．将椭圆x 23＋y 24＝1绕原点顺时针旋转45°后得到新的曲线方程为________________．答案 7x 2＋7y 2＋2xy －24＝0 3．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 010对应的线性变换作用下，圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1变为________________． 答案 y ＝x (－2≤x ≤0)4．计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 32 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 0 4＝________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 13－2 185．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0的逆矩阵是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0题型一求变换矩阵例1已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A ′(0,3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T .解 设T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ，则T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤30→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤03，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1；T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤21→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，d ＝－3，综上可知，T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －3.思维升华 知道变换前后的坐标，求变换对应的矩阵，通常用待定系数法求解．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2c ＝3d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4.(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x ′－y ′＝4， 所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，整理得x ＋y ＋2＝0，所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0. 题型二 求逆矩阵例2求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312的逆矩阵．解 设逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2.所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2. 思维升华 求逆矩阵的方法： (1)待定系数法设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，AB ＝BA ＝E 2；(2)公式法|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ≠0，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |. (2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B . 解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.题型三 特征值与特征向量例3已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－1 3，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 1 1 λ－3＝(λ－3)2－1＝0， 解得λ1＝2，λ2＝4.设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0x －y ＝0，可见，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0x ＋y ＝0，可见，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量.思维升华 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，求特征值和特征向量，其步骤：(1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ； (2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．已知二阶矩阵A 有特征值λ1＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11和特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，试求矩阵A . 解 设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，这里a ，b ，c ，d ∈R ，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A 的属于λ1＝1的特征向量， 则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－a －b －c 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ①又因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10是矩阵A 的属于λ2＝2的特征向量，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－a －b －c 2－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ②根据①②，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－a －b ＝0，－c ＋1－d ＝0，2－a ＝0，－c ＝0，从而a ＝2，b ＝－1，c ＝0，d ＝1，因此A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －10 1.用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程典例：(10分)二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换T 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．思维启迪 (1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解． (2)知道直线l 在变换T 作用下的直线m ，求原直线，可用坐标转移法． 规范解答解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，[2分]所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2c ＝3d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4.[5分](2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x ′－y ′＝4，所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4， 即x ＋y ＋2＝0，∴直线l 的方程是x ＋y ＋2＝0.[10分]温馨提醒 (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法．(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误.方法与技巧1．二阶矩阵与平面列向量乘法：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax ＋cy bx ＋dy ，这是所有变换的基础． 2．证明两个矩阵互为逆矩阵时，切记从两个方向进行，即AB ＝E 2＝BA .3．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2相应的矩阵方程为AX ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1a 2 b 2为系数矩阵，X 为未知数向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 1c 2为常数向量． 4．若某一向量在矩阵变换作用下的象与原象共线，则称这个向量是属于该变换矩阵的特征向量，相应共线系数为属于该特征向量的特征值． 失误与防范1．矩阵的乘法不满足交换律，即在矩阵乘法的运算中，一般不能随意将AB 写成BA . 2．矩阵乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )．3．矩阵的乘法不满足消去律，即对于二阶矩阵A 、B 、C ，当A ≠0，且AB ＝AC 时，不一定有B ＝C .A 组 专项基础训练1．(2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B .解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.2．(2012·江苏)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 34 12 －12，求矩阵A 的特征值．解 因为A －1A ＝E 2，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 34 12 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3 －2 λ－1＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3．在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O (0,0)，A (2,0)，B (1，2)，求△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122022. 解 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1. 可知O ，A ，B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O ′(0,0)，A ′(2,0)，B ′(2，－1)．可知△O ′A ′B ′的面积为1.4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 2.(1)求满足条件AM ＝B 的矩阵M ；(2)矩阵M 对应的变换将曲线C ：x 2＋y 2＝1变换为曲线C ′，求曲线C ′的方程． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，AM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a b a ＋c b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a ＋c ＝3，b ＝2，b ＋d ＝2，∴a ＝0，b ＝2，c ＝3，d ＝0.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0.(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y 3x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ′，3x ＝y ′，即⎩⎨⎧y ＝x ′2，x ＝y ′3，代入曲线C ：x 2＋y 2＝1，得(x ′2)2＋(y ′3)2＝1.∴曲线C ′的方程是x 24＋y29＝1.5．已知矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2a 0，Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1b 0，若矩阵PQ 对应的变换把直线l 1：x －y ＋4＝0变为直线l 2：x ＋y ＋4＝0，求实数a 、b 的值．解 因为PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2a 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1b 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b 00 a ， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b 00 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2bx ay ，在直线l 1：x －y ＋4＝0上任取一点(x ，y )， 则点(2bx ，ay )在直线l 2：x ＋y ＋4＝0上，即2bx ＋ay ＋4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝12.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M＝⎣⎡⎦⎤k 00 1，N ＝⎣⎡⎦⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值．解 由题设得MN ＝⎣⎡⎦⎤k 00 1⎣⎡⎦⎤0 11 0＝⎣⎡⎦⎤0 k 1 0. 由⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－20＝⎣⎡⎦⎤0－2，⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－21＝⎣⎡⎦⎤k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)． 计算得△ABC 的面积是1，△A1B 1C 1的面积是|k |，由题设知|k |＝2×1＝2，所以k 的值为－2或2.B 组 专项能力提升1．设数列{a n }，{b n }满足a n ＋1＝2a n ＋3b n ，b n ＋1＝2b n ，且满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋4b n ＋4＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ，求二阶矩阵M . 解 依题设有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ， 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2，则M ＝A 4， A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4. M ＝A 4＝(A 2)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16 96 0 16. 2．(2012·福建)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b1(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是P ′(x ′，y ′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1， 整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1.所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1. 3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)．(1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量．解 (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3，所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1－4 1， 令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝(λ－1)2－4＝0. 解得A 的特征值为λ＝－1或3.当λ＝－1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝04x －2y ＝0得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，当λ＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝04x ＋2y ＝0得矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.4．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a 2b 的两个特征值分别为λ1＝－1和λ2＝4.(1)求实数a ，b 的值；(2)求直线x －2y －3＝0在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程．解 (1)矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a 2 b 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －a －2 λ－b ， ∴f (λ)＝(λ－2)(λ－b )－2a ＝λ2－(b ＋2)λ＋2b －2a ， 由已知得λ1＝－1，λ2＝4为f (λ)＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋4＝b ＋2，－1×4＝2b －2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.(2)由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1. 设直线x －2y －3＝0上任意一点(x ，y )在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象是(x ′，y ′)， 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3y 2x ＋y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝x ′，2x ＋y ＝y ′，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－x ′＋3y ′4，y ＝x ′－y ′2，代入x －2y －3＝0得－x ′＋3y ′4－2×x ′－y ′2－3＝0，即5x ′－7y ′＋12＝0，于是点(x ′，y ′)必在直线5x －7y ＋12＝0上．由(x ，y )的任意性可知，直线x －2y －3＝0在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为5x －7y ＋12＝0.。
江苏省2015高考理科数学二轮专题整合：7-2矩阵与变换(选做部分)
第2讲 矩阵与变换1．(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12 －12，求矩阵A 的特征值．解 因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321， 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3 －2 λ－1＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.2．(2011·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤112 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.解 A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3，设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2α＝β得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎨⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 3．求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M .解 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n p q ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2435＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ，则⎩⎨⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5⇒⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5. 4．(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值． 解 由题设得，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －2 －20 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 0 k 0 －2 －2，可知A 1(0,0)、B 1(0，－2)、C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知：|k |＝2×1＝2.所以k 的值为2或－2.5．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，试计算A 5β的值．解 由题设条件可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎩⎨⎧ 2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4，得矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4.矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6，令f (λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，得m ＝3，n ＝1，∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.6．(2014·南京，盐城模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤213 4.(1)求矩阵M 的逆矩阵；(2)求矩阵M 的特征值及特征向量． 解 (1)设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd .则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 134＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋3b a ＋4b 2c ＋3d c ＋4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，∴⎩⎨⎧2a ＋3b ＝1，2c ＋3d ＝0，a ＋4b ＝0，c ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝45，b ＝－15，c ＝－35，d ＝25，∴M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤45 －15－35 25.(2)矩阵A 的特征多项式为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －3 λ－4＝(λ－2)·(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程⎩⎨⎧－x －y ＝0，－3x －3y ＝0，得x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝5时，由二元一次方程⎩⎨⎧3x －y ＝0，－3x ＋y ＝0，得3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13.。
高考江苏数学大一轮精准复习课件矩阵与变换
旋转变换
利用三维旋转矩阵，可将 空间图形绕某一轴旋转一 定角度。
缩放变换
通过三维缩放矩阵，可将 空间图形沿某一方向进行 缩放。
利用矩阵求解几何问题举例
点线距离问题
01
通过构造点线距离的矩阵表达式，可快速求解点到直线的距离
。
点面距离问题
02
利用点面距离的矩阵表达式，可便捷地求解点到平面的距离。
直线与直线、直线与平面的位置关系问题
克拉默法则应用条件
系数矩阵A的行列式D≠0，即A满秩。若D=0，则克拉默法则不适用，需采用其他方法 求解。
03
特征值与特征向量
特征值与特征向量定义及性质
特征值定义
设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维 列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A的 特征值，x是A的对应于特征值λ的特征向 量。
VS
特征向量性质
矩阵数乘与乘法运算
矩阵数乘
一个数与矩阵中的每一个元素相乘，得到的结果按照原矩阵的形状排列，即为该数与该矩阵的数乘。
矩阵乘法
设A为$m times p$的矩阵，B为$p times n$的矩阵，那么称$m times n$的矩阵C为矩阵A与B的乘 积，记作C=AB。其中，矩阵C中的第i行第j列元素可以表示为A的第i行元素与B的第j列对应元素乘积 之和。需要注意的是，两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
03
矩阵表示方法：矩阵通常用大写的英文字母表示，如A、B 、C等。矩阵的维度用“行×列”表示，如$3 times 3$矩 阵表示该矩阵有3行3列。
矩阵相等与加减法运算
矩阵相等
两个矩阵的行数相等、列数相等且对应位置上的元素相等，则称这两个矩阵相 等。
2015届高考苏教版数学大一轮复习配套课件：第14章 第1节 矩阵及其变换
故将曲线xy＝1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程 为y22－x22＝1.
数学
首页
上一页
下一页
末页
第二十六页，编辑于星期五：十点 三十三分。
第一节 矩阵及其变换 结束
2．已知a，b为实数，如果A＝
a
0
1
b
所对应的变换T把直线x－y＝
1变换为自身，试求a，b的值． 解：设点(x，y)是直线x－y＝1上任意一点．在变换T作用下的 对应点为(x′，y′)，
2．(2014·福建龙岩模拟)已知点A在变换T：xy →xy′′＝x＋y 2y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B，若点B的坐
标为(－3,4)，求点A的坐标．
解：10
－11 0 0
12＝01
－21.
设A(a，b)，则由10 －21ab＝－ 4 3，得－a＋b＝2b－＝34，.
所以ab＝ ＝－ 3 2 ，即A(－2,3)．
地，矩阵s0 01可以用来表示 水平 伸缩变换． (4)旋转变换：把点A(x，y)绕着坐标原点逆时针旋转α角的
变换，对应的矩阵是csions
α α
－sin cos α
α.
数学
首页
上一页
下一页
末页
第四页，编辑于星期五：十点 三十三分。
第一节 矩阵及其变换 结束
(5)切变变换：
1 0
s 1
x y
＝
数学
首页
上一页
下一页
末页
第八页，编辑于星期五：十点 三十三分。
第一节 矩阵及其变换 结束
待定系数法在平面变换中的应用 通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐 标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注 意待定系数法的应用．
2015年-高考试卷及答案解析-数学-理科-江苏(精校版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏理）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1.已知集合{}1,2,3A =，{}2,4,5B =，则集合A B 中元素的个数为______.2.已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+(i 是虚数单位)，则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为_______.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 .6.已知向量()()2,1,1,2a b ==- .若()()9,8,ma nb m n R +=-∈，则m n -的值为 .7.不等式224x x-<的解集为 .8.已知()1tan 2,tan 7ααβ=-+=，则tan β的值为 . 9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 .10.在平面直角坐标系xOy 中，以点()0,1为圆心且与直线()20mx y m m R --=∈相切的所有园中，半径最大的圆的标准方程为 .11.设数列{}n a 满足11a =，且()*11n n a a n n N +-=+∈，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点.若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 .11823Pr int S I WhileI S S I I End While S←←<←+←+13.已知函数()ln f x x =，()20,01,42,1x g x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩，则方程()()1f x g x +=实根的个数为 .14.设向量()c o s,s i n c o s 0,1,2,,12666k k k k a k πππ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，则()1110k k k a a +=⋅∑的值为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)在ABC V 中，已知2,3,60AB AC A ===o. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值.16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1,AC BC BC CC ⊥=.设1AB 的中点为11,D B C BC E = . 求证：(1)11//DE AAC C 平面； (2)11BC AB ⊥.17.(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12,l l ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，,M N 为C 的两个端点，测得点M 到12,l l 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中,a b 为常数）模型. (1)求,a b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.17.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A B 、两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程.19.(本小题满分16分)已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. (1)试讨论)(x f 的单调性；(2)若a c b -=(实数c 是与a 无关的常数)，当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.20. (本小题满分16分)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为()0d d ≠的等差数列. (1)证明：31242,2,2,2aaaa依次构成等比数列；(2)是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n k a a a a +++依次构成等比数列？并说明理由.附加题、、、四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，21.【选做题】本题包括A B C D若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤..A [选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆O e 的弦AE 交BC 于点D . 求证：ABD ∆:AEB ∆.B [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属于特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值..C [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径..D [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)解不等式|23|2x x ++≥.A（第21—A 题）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====.(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长.23.(本小题满分10分)已知集合*{1,2,3},{1,2,3,.....,}()n X Y n n N ==∈，设{(,)|,,}n n S a b a b a a X b Y =∈∈整除或整除，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.(1)写出(6)f 的值；(2)当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.2015年普通高等学校招生全国统一考试答案（江苏理）1.答案：5解析：集合{}1,2,3,4,5A B = ，故A B 有5个元素. 2.答案：6解析：由平均数公式可得这组数据的平均数为46587666+++++=.3.解析：设复数,,z a bi a b R =+∈,则222234,,z a b abi i a b R =-+=+∈，则223,,24a b a b R ab ⎧-=∈⎨=⎩，解得2112a b b a ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或，则()2z i =±+，故z =. 4.答案：7解析：该伪代码运行3次，故输出的S 为7. 5.答案：56解析：从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为56. 6.答案：3-解析：由向量()()2,1,1,2a b ==- ，得()()2,29,8m a n b m n m n +=+-=-，则2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得25m n =⎧⎨=⎩，故3m n -=-. 7.答案：()1,2- 解析：不等式2224212x xx x x -<⇔-<⇔-<<，故原不等式的解集为()1,2-.8.答案：3解析：()()()12tan tan 7tan tan 321tan tan 17αβαβαβααβα++-=+-===⎡⎤⎣⎦++-. 9.解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高位8的圆柱的总体积为221196542833πππ⨯⨯+⨯⨯=.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则22212819648333r r r ππππ⨯⨯+⨯⨯==，解得r =10.答案：()2212x y -+=解析：因为直线()210mx y m m R ---=∈恒过点()2,1-，所以当点()2,1-为切点时，半径最大，此时半径r =()2212x y -+=.11.答案：2011解析：有11a =，且()11n n a a n n N *+-=+∈得，()()()()12132111232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+=，则()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和1011111120212122310111111S ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.12.答案：2解析：直线10x y -+=与双曲线221x y -=的一条渐近线0x y -=平行，这两条平行线之间的距离为2，又P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则2c ≤，即实数c 的最大值为2. 13.答案：4解析：当01x <≤时，()()ln ,0f x x g x =-=，此时方程()()1f x g x +=即为ln 1x =或ln 1x =-，故x e =或1x e =，此时1x e=符合题意，方程有1个实根.当12x <<时，()()22ln ,422f x x g x x x ==--=-，方程()()1f x g x +=即为2ln 21x x +-=或2ln 21x x +-=-，即2l n 10x x +-=或2ln 30x x +-=，令2l n 1y x x =+-，则0y '<，函数2ln 1y x x =+-在()1,2x ∈上单调递减，且()10y =，所以当12x <<时，方程2ln 10x x +-=无解；同理，函数2ln 3y x x =+-在()1,2x ∈上单调递减，且()()120,2ln210y y =>=-<，所以当12x <<时，方程2ln 30x x +-=有1个实根.当2x ≥时，()()22ln ,426f x x g x x x ==--=-，方程()()1f x g x +=即为22ln 70ln 50x x x x +-=+-=或，令2l n 7y x x =+-，则120y x x'=+>，函数2ln 7y x x =+-在[)2,x ∈+∞上单调递增，且()2ln230y =-<，()3ln320y =+>，所以当2x ≥时，方程2ln 70x x +-=有1个实根；同理方程2ln 50x x +-=在2x ≥时有1个实根.故方程()()1f x g x +=实根个数为4. 14.答案： 解析：由题意可得()06121,1a a a ==-=，17a a ==-⎝⎭，2811,22a a ⎛+==- ⎝⎭ ，()390,1a a ==-，511122a a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以016712a a a a ⋅=⋅=+ ，12781a a a a ⋅=⋅=，238912a a a a ⋅=⋅=，3491012a a a a ⋅=⋅=-，4510111a a a a ⋅=⋅=-+，56111212a a a a ⋅=⋅=-+故()1110k k k a a +=⋅=∑15.解析：(1)由余弦定理知,22212cos 4922372BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以BC =(2)由正弦定理知，sin sin AB BC C A =，所以sin sin 7AB C A BC =⋅== ． 因为AB BC <，所以C为锐角，则cos C ==．因此sin 22sin cos 2777C C C =⋅=⨯=. 16.解析：证明：(1)由题意知，E 为1B C 的中点， 又D 为1AB 的中点，因此//DE AC ．又因为DE ⊄平面11AA C C ，AC ⊂平面11AA C C ， 所以//DE 平面11AA C C ．(2)因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以1CC ⊥平面ABC ．因为AC ⊂平面ABC ，所以1AC CC ⊥．又因为AC BC ⊥，1CC ⊂平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，1BC CC C = ， 所以AC ⊥平面11BCC B ．又因为1BC ⊂平面11BCC B ，所以1B C AC ⊥．因为1BC CC =，所以矩形11BCC B 是正方形，因此11BC B C ⊥．因为AC ，1B C ⊂平面1B AC ，1AC B C C = ，所以1BC ⊥平面1B AC ． 又因为1AB ⊂平面1B AC ，所以11BC AB ⊥．17.解析：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．将其分别代入2a y x b =+，得4025 2.5400aba b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得1000a b =⎧⎨=⎩．(2)①由（1）知，21000y x =（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫⎪⎝⎭， 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，32000y x '=-， 则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得3,02t A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，230000,B t ⎛⎫⎪⎝⎭．故()f t ==[]5,20t ∈．②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t⨯'=-．令()0g t '=，解得t =当(t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()20t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数．从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =， 此时()min f t =答：当t =l的长度最短，最短长度为18.解析：(1)由题意，得2c a =且23a c c +=，解得a =1c =，则1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.(2)当AB x ⊥轴时，AB =，又3CP =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210kxk x k +-+-=，则1,2x=，C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且)22112k AB k+==+．若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而0k ≠，故直线PC 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而(()2223112k PC k k +=+．因为2PC AB =，所以(())222223111212k k k k k ++=++，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+．19.解析：(1)()232f x x ax '=+，令()0f x '=，解得10x =，223a x =-． 当0a =时，因为()230f x x '=>（0x ≠），所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 时，()0f x '>，2,03a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 时，()0f x '>，20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．(2)由(1)知，函数()f x 的两个极值为()0f b =，324327a f a b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 有三个零点等价于()32400327a f f b a b ⎛⎫⎛⎫⋅-=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而34027a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或304027a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩． 又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34027a a c -+<． 设()3427g a a a c =-+，因为函数()f x 有三个零点时，a 的取值范围恰好是 ()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则在(),3-∞-上()0g a <，且在331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上()0g a >均恒成立，从而()310g c -=-≤，且3102g c ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭，因此1c =． 此时，()()()3221111f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦，因函数有三个零点，则()2110x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根，所以()()22141230a a a a ∆=---=+->，且()()21110a a ---+-≠，解得()33,31,,22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．综上1c =．20.解析：(1)证明：因为()112221,2,32n n n na a a d a n ++-===是同一个常数，所以31242,2,2,2aa a a 依次构成等比数列．(2)令1a d a +=，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为,,,2a d a a d a d -++, (a d >，2a d >-，0d ≠）．假设存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列， 则()()34a a d a d =-+，且()()6422a d aa d +=+．令d t a =，则()()3111t t =-+，且()()64112t t +=+（112t -<<，0t ≠）， 化简得32220t t +-=（*），且21t t =+．将21t t =+代入（*）式，()()21212313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14t =-．显然14t =-不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列． (3)假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列，则()()()221112n kn k na a d a d +++=+，且()()()()32211132n kn kn k a d a d a d +++++=+．分别在两个等式的两边同除以()21n k a +及()221n k a+，并令1d t a =（13t >-，0t ≠）， 则()()()22121n kn k t t +++=+，且()()()()32211312n kn kn k t t t +++++=+．将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++， 且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++． 化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．再将这两式相除，化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（**）．令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1g t t t t t t t =++-++-++，则()()()()()()()()()()222213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦'=+++． 令()()()()()()()22213ln 13312ln 1231ln 1t t t t t t t ϕ=++-+++++， 则()()()()()()()613ln 13212ln 121ln 1t t t t t t t ϕ'=++-+++++⎡⎤⎣⎦．令()()1t t ϕϕ'=，则()()()()163ln 134ln 12ln 1t t t t ϕ'=+-+++⎡⎤⎣⎦． 令()()21t t ϕϕ'=，则()()()()212011213t t t t ϕ'=>+++．由()()()()1200000g ϕϕϕ====，()20t ϕ'>， 知()2t ϕ，()1t ϕ，()t ϕ，()g t 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调．故()g t 只有唯一零点0t =，即方程（**）只有唯一解0t =，故假设不成立． 所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列．21.解析：.A [选修4—1：几何证明选讲]证明：因为AB AC =，所以ABD C ∠=∠． 又因为C E ∠=∠，所以ABD E ∠=∠， 又BAE ∠为公共角，可知ABD ∆∽AEB ∆．.B [选修4—2：矩阵与变换]解：由已知，得2A αα=-，即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则122x y -=-⎧⎨=⎩，即12x y =-⎧⎨=⎩，所以矩阵1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦．从而矩阵A 的特征多项式()()()21fλλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．.C [选修4—4：坐标系与参数方程]解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ．圆C的极坐标方程为240ρθθ⎫+-=⎪⎪⎝⎭，化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=．则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=， 即()()22116x y -++=，所以圆C．.D [选修4—5：不等式选讲]解：原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或32332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩．解得5x ≤-或13x ≥-． 综上，原不等式的解集是153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或．22.解析：以{},,AB AD AP为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则各点的坐标为()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ．（1）因为AD ⊥平面PAB ，所以AD是平面PAB 的一个法向量，()0,2,0AD = ．因为()1,1,2PC =- ，()0,2,2PD =- ．设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则C 0m ⋅P = ，0m PD ⋅=，即20220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩．令1y =，解得1z =，1x =．所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量．从而cos ,3AD m AD m AD m⋅==，所以平面PAB 与平面PCD所成二面角的余弦值为3． （2）因为()1,0,2BP =- ，设()(),0,201BQ BP λλλλ==-≤≤， 又()0,1,0CB =- ，则()CQ ,1,2CB BQ λλ=+=-- ，又()0,2,2DP =-，从而cos ,CQ DP CQ DP CQ DP ⋅==设12t λ+=，[]1,3t ∈，则2222229cos ,5109101520999t CQ DP t t t ==≤-+⎛⎫-+⎪⎝⎭．当且仅当95t =，即25λ=时，cos ,CQ DP．因为cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP =255BQ BP ==． 23.解析：（1）()613f =．（2）当6n ≥时，()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩（t *∈N ）．下面用数学归纳法证明：①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立； ②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论：1）若16k t +=，则()615k t =-+，此时有()()12132323k k f k f k k --+=+=++++ ()111223k k k ++=++++，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有()()112123k kf k f k k +=+=++++ ()()()11111223k k k +-+-=++++，结论成立；3）若162k t +=+，则61k t =+，此时有()()11122223k k f k f k k --+=+=++++ ()()1211223k k k +-+=++++，结论成立； 4）若163k t +=+，则62k t =+，此时有()()2122223k k f k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++，结论成立；5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有()()1122223k kf k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++，结论成立； 6）若165k t +=+，则64k t =+，此时有()()1112123k k f k f k k -+=+=++++ ()()()11121223k k k +-+-=++++，结论成立．综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立．。
(完整word)2015年江苏省高考数学试卷答案与解析.doc
2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）（2015?江苏）已知集合A={1 , 2, 3}, B={2 , 4, 5},则集合AU B中元素的个数为 _考点:并集及其运算.专题:集合.分析：求出A U B,再明确元素个数解答：解：集合A={1 , 2, 3} , B={2 , 4, 5},则A U B={1 , 2, 3, 4,5}；所以AUB中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2.（5分）（2015?江苏）已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为_6_考点：众数、中位数、平均数.专题:概率与统计.分析：直接求解数据的平均数即可.解答：解：数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为：44-6+548+7^6 =6>6故答案为：6.点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查.3.（5分）（2015?江苏）设复数z满足z2=3+4i （ i是虚数单位），则z的模为一. 考点:复数求模.专题：数系的扩充和复数.分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可.解答：解：复数z满足z2=3+4i ,可得lzllzl=l3+4il=Jj莓梓巧，A lzl=^故答案为：•街点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力.4.（5分）（2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7WTulft Z<Sgg 4 2冲+ 3End ^hile Print S考点:伪代码.专题：图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I, S的值，当1=10时不满足条件IV 8,退出循环，输出S的值为7・解答：解：模拟执行程序，可得S = 1, 1=1满足条件1< 8, S=3, 1=4满足条件1< 8, S=5, 1=7满足条件I < 8, S=7, 1=1不满足条件1<8,退出循环，输出S的值为7.故答案为：7.点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题.5.（5分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为虫・考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可. 解答：解：根据题意，记白球为A,红球为B,黄球为Cl、C2,则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC 2、BC1、BC2、C1C2共6不申，其中2只球的颜色不同的是AB、AC 1、AC 2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P伞.故答案为：卫.点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目.6.(5 分)(2015?江苏)已知向量3= ( 2, 1) , b= ( 1, - 2)，若( 9, - 8) ( m, neR),则m - n的值为_H—考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题：平面向量及应用.分析: 解答: 直接利用向量的坐标运算，求解即可.解：向量-2），点评2n可得,解得m=2, n=5,考查计算能力.< 4的解集为（- 1, 2）.8. （5分）（2015?江苏）已知3 2, tan考点：指、对数不等式的解法.专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用.分析：利用指数函数的单调性转化为x2 - x< 2,求解即可.解答：x2 -K解；V2 <4,2・・・x - x< 2,7即x - x - 2< 0,解得：- 1< x<2故答案为：（- 1, 2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大.考点:两角和与差的正切函数.专题:三角函数的求值.分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可.解答：〒解：tan a = - 2, tan （ a + 3 ）'=,可知（an（ a + 0）L- tan ^ tanP =T,即l+2tan® = 7,解得tan B =3. 故答案为：3.点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查.7.9. （5分）（2015?江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个, 若将它们重新制作成总押只与高均保持不变, 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.2 11.（5 分）（2015?江）数列｛a 1｝足 a*),数列｛ 丄｝的前10的和 20—考点：数列的求和;数列推式.:等差数列与等比数列. 分析：務別J数歹 I ｛a n1n+1 n｝足 a =1,且 a a =n+l （n WN 利用“裂求和”即可得出. *）,利用“累加求和”可得an n解答:解：•* an=n二 当 n 》2 ,n (n+1)当n=l ,上式也成立,解答：解：由意可知，原来和柱的体和: 吉心5冗1, 0)心且与直 mx y(x 1) ?+y 2=2分析:求出心到直的距离 d 的解答::算；空位置关系与距离.分析：由 意求出原来柱和 的体，出新的柱和 的底面半径r,求出体，由前后体相等列式求得r.新和柱的底面半径 r,新和柱的体和： —X4K r 2+8^ r ?二竺仝 |3 3•••空£$竺,解得：rWr-33故答案：低 点：本 考了柱与 的体公式，是基的算.10. （ 5分）（2015?江）在平面直角坐系 xOy 中，以点（ 2m 1=0 （ mWR ）相切的所有中，半径最大的的准方程考点：的准方程；的切方程.:算；直与.故答案:(x1) +y=2 . 点：本 考所的准方程，考点到直的距离公式，考学生的算能力，比基.解：心到直的距离 x 1) +y =2.a n n. (n+1)2[(「扣20故答案为:n 项和公7 7 12. (5x -y+l=』-占)• ・・・数列｛ 1 ｝的前n 项的和S =n2n ~n+l数列｛—-)的前io 项的和为22.务1120点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前 查了推理能力与计算能力，属于中档题.右支上的一个动点，若点P 到直线x- y+l=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 丄 考点：双曲线的简单性质. 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：双曲线x - y =1的渐近线方程为 x±y=o, c 的最大值为直线 的距离. 解答：解：由题意，双曲线x 2- y 2=l 的渐近线方程为x±y=0 , 因为点P 到直线x- y+l=0的距离大于c 恒成立，所以c 的最大值为直线x-y+l=0与直线x- y=0的距离，即 故答案为：愛.|2点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础.a o<x<i13. ( 5分)(2015?江苏)已知函数亍(x) =llnxl , g ( x) 4.,则方程| x 24 | =2, X^>1If ( x) +g ( x) 1=1实根的个数为4 .考点：根的存在性及根的个数判断. 专题:综合题；函数的性质及应用.分析：：由lf(x)+g(x) 1=1可得g (x) = - f ( X)± 1 ,分别作出函数的图象，即可得出 结论. 解答：解：由 If ( x) +g ( x) 1 = 1 可得 g ( x) = - f ( X) ± 1 .g( X)与h ( x) = - f ( x) +1的图象如图所示，图象有两个交点；-4」Jg(x)与(f) ( x) = f(x) 1的象如所示，象有两个交点;•4_-S L所以方程lf( x) +g ( x) 1=1根的个数 4.故答案：4.点：本考求方程lf( x)+g(x)l=l根的个数，考数形合的数学思想，考学生分析解决的能力, 属于中档•—k开上兀fi G罠14.(5 分)(2015?江)向量=(cos ° , sin ° +cos ° ) ( k=0, 1, 2,…，12),11£ _皿_k=0( ak?ak+i)的・考数列的求和.点■等差数列与等比数列;平面向量及用.■■分利用向量数量运算性、两角和差的正弦公式、化和差公式、三角函数的周期性即可析得出.解解:=k 兀飞.k 冗 (k+1)冗 sin~g- cos-------------- ----kTT (k+1)兀kH(k+1) cos 可・cos p+sirr ---- 一 kTl . (k+1)兀kTl (k+n Kcos p sin 1GOJs QOS g2・3H ・咔・97T,+5开C05_T.¥开丄・11兀 sinrV 11兀丄 I -.13H 1-+化和差公6 | ・k 兀 k 兀、厂.(k+1)兀siri ——+cos —— J ( sm --------- ---- cos --6 6 6 6 7T —+JI_3、范・ 2k+1l 1 2H1TT二、解答（本大共 6小，共 90分，解答 写出文字明、明程或演算步）15. （ 14 分）（2015?江）在 AABC 中，已知 AB=2 , AC=3 , A=60 ° .（1） 求BC 的； （2） 求 sin2C 的.考点：余弦定理的用；二倍角的正弦. :解三角形.・ 2k+L 仃」/ _2k+l “丄 n .= COS"^S1 _— n+7； ^cos -17+COS —''分析：（1）直接利用余弦定理求解即可.（2）利用正弦定理求出C的正弦函数，然后利用一倍角公式求解即可.解答・•解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2 2AB ?ACcosA=4+8 2X2X3^： =7, 所以BC=听.（2）由正弦定理可得：••• AB < BC , C 角,16.( 14ABC -A [B则cosC=71- sin2C=^l -孑等•因此sin2C=2sinCcosC=2 ・7 7 7点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键.考点:直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质.专题：证明题；空间位置关系与距离.分析：(1)根据中位线定理得DE〃AC ,即证DE〃平面AA1C1C；(2)先由直三棱柱得出CC1丄平面ABC ,即证AC丄CC1；再证明AC丄平面BCC1B 1, 即证BC 1丄AC ；最后证明BC1丄平面B 1AC ,即可证出BC 1丄AB 1.解答：证明：(1)根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE〃AC；又因为DE ?平面AA 1C1C, AC ?平面AA 1C1C,所以DE 〃平面AA 1C1C；(2)因为棱柱ABC・A 1B1C1是直三棱柱，所以CC1丄平面ABC ,因为AC ?平面ABC ,所以AC丄CC1；又因为AC丄BC,CC1?平面BCC 1B1,BC ?平面BCC冷\BC ACC1=C,所以AC丄平面BCC 1B 1；又因为BC 1?平面平面BCC 1B1,所以BC 1丄AC ；因为BC=CC 1,所以矩形BCC 1B1是正方形，所以BC 1丄平面B1AC ；又因为AB 1?平面B1AC , 所以BC 1±AB 1.点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目.17.（14分）（2015?江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为11, 12,山区边界曲线为C,计划修建的公路为1,如图所示，M, N为C的两个端点，测得点M到11, 12的距离分别为5千米和40千米，点N到11, 12的距离分别为20千米和2.5千米，以12, 11在的直线分别为x, y轴，建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C符合函数尸」_,+b （其中a, b为常数）模型.（1）求a, b的值；（2）设公路1与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路1长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路1的长度最短？求出最短长度.考点:函数与方程的综合运用.专题:综合题；导数的综合应用.分析：（1）由题意知，点M, N的坐标分别为（5, 40） ,（20, 2.5）,将其分别代入yf ,x2+b 建立方程组，即可求a, b的值；（2）① 求出切线1的方程，可得A, B的坐标，即可写出公路1长度的函数解析式f（t）,并写出其定义域；、 2 4X105②设g （t） --- ,利用导数，确定单调性，即可求出当｛为何值时，公路1 的长度最短，并求岀最短长度.(20, 2.5),解答：解：（1）由题意知，点M, N的坐标分别为（5,(b= 0 =40 25+将其解得（2）v ,10QQ 2 X (5Wx W20):•寸-200・・・切y- 1000t 2_设在点PSt 2 ' .・・2=3t 2 +4XlQt e[5,②设g （t)t 4 6・，(t)iq/2）t e （ 5,o ,g（(t) <0,t ）是减函,20)时, g f( t) >x 2 y 218. （16分）（2015?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy^4,已知椭圆a 2+b 2=l （ a>b> 0）的离心率为 2 ,且右焦点F 到左准线1的距离为3.（1） 求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于 A, B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线1和AB 于点P,C,若PC=2琴鼻求直线 AB 的方程.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程. 专题:直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a, c 的方程，解得a, c,再由a, b, c 的关系,可得b,进而得到椭圆方程;（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和屮点坐标公式，即可得到所求直线的方程.1 0a= V2则b=l ,即有椭圆方程将AB 方程代入椭圆方程可得(CP=3,不合题意；(x - 1) , A (xi, yi) , B ( X2, y2), 2AB : y=k 22 2 -4k x+21) =0,2(k 2 L+2k 22 娠 tl+k 2) 1+2 k 2若k=0 ,则AB 的垂直平分线为 y 轴，与左从而IPCd |k|(1+丄(2k 2l+2P (- 2」共二解答：解：(l)由题意可得，e2且c+生3,解得c=l,c此时AB 的方程为 y=x - 1或y= - x+1.点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用， 属于中档题. 19. (16 分)(2015?江苏)已知函数 f ( x) -x'+ax'+b (a, beR). (1)试讨论f ( x)的单调性；(2)若b=c-a (实数c 是与a 无关的常数),当函数f ( x)有三个不同的零点时，a 的取值 范围恰好是(- g, - 3) U (1上)U (J, +8)，求c 的值.>2 2考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理. 专题:综合题；导数的综合应用.2(3k 2+ l)右+/4^2 <l+k 2) |k| (l+2k 2)~lt2k 2由 IPCI=2IABI,可得,解得k= ± 1,则Xl+X),且X1X2=严丿IABI =分析: (1)求导f (x)的单2a). _3 ?2(2)由(1)知，函数f ( X)的两个极值为f ( 0) =b, f (-+b,则函a=0 时，f ' ( x) > 0,・・・ f(X)在a> 0 时, xe (- )U( 0,・・・函数f2a(X)在(-8,-,(0, +8)a< 0 时, xe ( - < 0, ・・・函数f(X)在(-8,0), 2*(2)由 (1)知，函数f ( x)的两个极值为 f ( 0)二b, f (-2a-詈)上单调递减; 4 3+b,则函f( X)有三2a f ( o) f(・爷)=b(寻「27 +b) < 0, T b=c - a, 4 3・•・a> 0时，设 g ( a) 一 a+c, •・・函数8,U (T +°・••在(- 8,- 3)上，g+ 8)上g (a) > 0均恒成f ( x)有三个不同的零点等价于 f ( 0) f ( - g?) =b (吕 J +b) < 0,进一步转化为3274 14 T4 3a> 0 时，—a ' - a+c> 0 或 a V 0 时，—a" - a+c< 0・设 g ( a )- a+c,利用条件即可求c 的值.解答：解：(1) V f ( x) =x ^+ax^+b ,f z(x) =3x +2ax,令 f' (x) =0 ,可得 x=0 或3< 0,立，• • C = 1 y,f‘( x)此时f ( x) =x、+ax +1 - a= ( x+l ) [x + ( a - 1) x+1 - a],•・・函数有三个零点，9x_+ (a - 1) x+1 - a=0有两个异于-1的不等实根，•••△=( a 一1) z - 4 ( 1 - a) > 0,且(一1) — ( a - 1) +1 - aHO,20. ( (1) 证(2015?辽苏)设 a , a , ",2 幻，2 ", 22 al 1 2 ,，d,使得a , a (3)是否存在 说明理由.解答： 解解得 aG (- 8, 一 3) U ( 1,虽)U +8),2综上C = 1・点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大.12 3 4a ・a 是各项为正数且公差为 d ( dHO)的等差数列.5依次构成等比数列； as 3, a/依次构成等比数列？并说明理由； nn+kn+2k n+3kai, d 及正整数n, k,使得ai , a2 , a3, a4依次构成等比数列？并考点:等比关系的确定；等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列.分析：(1)根据等比数列和等差数列的定义即可证明；7 3 4(2) 利用反证法，假设存在 an d 使得ai, a22, a3', af 依次构成等比数列，推岀矛 盾，否定假设，得到结论；(3) 利用反证法，假设存在 ai, d 及正整数n, k,使得ai a2n+k , a 3 n +2k, a 4n+3k 依 次构成等比数列,得到 ai n( al+2d ) n+2k 二(al+2d )2 n+k,且(al+d) n+k( al+3d )n+3k(ai+2d) 2(n+2k),利用等式以及对数的性质化简整理得到g( i +3t ) In ( l+2t) +3In (l+2t) In ( 1+t) =4In (l+3t) In ( 1+t) ,( ** ),多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立.n 監十1 . ——=2^n &a =2d, (n=l , 2, 3,)是同一个常数，/. 2 '】，2叫,2 %,2幻依次构成等比数列；(2) 令 al+d=a,则 al, a2, a3, a4 分别为 a - d, a, a+d, a+2d ( a> d, a> - 2d, d#0)假设存在ai i 22, a33, a4°依次构成等比数列，・d 便却a ・、43624则 a = ( a - d) ( a+d),且(a+d) =a ( a+2d),令 t=—，则 1= (1 - t ) ( 1+t ) 3，且(1+t) 6= ( l+2t) 4 ,(t< 1, tHO), 化简得 t ^+2t 2 - 2=0 ( * )，且 t^=t+l ,将 t^=t+l 代入(*)式，t ( t+I ) +2 ( t+l ) - 2=t^+3t=t4-14-3t=4t4-l =0 ,贝!J t= -显然匸-寺是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，7 34因此不存在ai, d,使得ai, a2 ,町',昭 依次构成等比数列. (3) 假设存在ai i n , a2n+K , a3n+2K , a4n+3K ^次构成等比数,d 及正整数n, k,使得a列，( ) ( ) rmi n / 小八 n+2K ( 小八 2 n+K 口 / 八 n+K z “、n+3K ( c i 、2 n+2K 则 ai ( ai+2d) = ( ai+2d) ,且(ai+d) ( ai+3d ) = ( ai+2d ) ,2 ' n+k ?2 ' n+2k ?d_ 1分别在两个等式的两边同除以=a 1 , ai ,并令吨;，(t> "3, tHO),则（l+2t ）n+2k=（ 1O (/ n-In ( (1+t 1+t ) ]=],+2t)In ( l++31n ( 1+t) , 则 g‘ z2[(l+3t) _ln ( (1+t) (l+2t) (l+3t)29 l+3t) - 3 ( l+2t) In ( l+2t)7 (1+t ) In ( 1+t ),则' (t 令 1号)-4)'> o,0) 1 (t), 2 2再将这两式相除，化简得,三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括 21・24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤【选修 4-1：几何证明选讲】21. （ 10分）（2015?江苏）如图，在AABC 中，AB=AC , △ ABC 的外接圆OO 的弦AE 交 BC 于点D.求证：△ ABD s △ AEB •考点：相似三角形的判定. 专题：推理和证明.分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似.解答：证明：・/AB=AC ,・\ ZABD= ZC,又 T Z C=Z E, A Z ABD= Z E,又 Z BAE 是公共 角，22. （ 10分）（2015?江苏）已知~ax1 y 三R,向量X 1特征值-2的-1y 0是矩阵的属于分析: 通过令矩解答： 解：由已知，可得【选修P +2 P sin ( 7T -4=0,求可知：△ ABD s △ AEB .点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力.考点:特征值与特征向量的计算.-1 1・・.矩阵A =L2 0一从而矩阵A 的特征多项式f （入）=（入+2） （ x - 1）, ・・・矩阵A 的另一个特征值为1.点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于屮档题.考点:简单曲线的极坐标方程. 专题：计算题；坐标系和参数方程.分析：先根据X 二p cos H , y= PsinB,厂求岀圆的直用坐标方程，求出半径. 解答：2寸空-y2解：圆的极坐标方程为 P +2 P sin （ H -） - 4=0 ,可得 P - 2 P cos B +2 P sin B -4=0 ,2 2化为直角坐标方程为 x +y - 2x+2y - 4=0 , 化为标准方程换（x- 1） ?+（ y+i ）2=6, 圆的半径r=.点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x= P cos B , y= P sin 0 ,比较基础,［选修4・5：不等式选讲】24. ( 2015?江苏)解不等式 X +I2X +3I N2.考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式.【选修4-2：矩阵与变换】 -个特征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值. 矩阵和变换.I a 利用A = - 2--- *1 ---- -- a a分析：思路1 (公式法)：利用If ( X) I2g ( X) ? f ( X) 2g ( X)，或f (x) W - g ( x); 思路2 (零点分段法)：对x的值分“XV0”进行讨论求解.2 2解答：解法1： x+l2x+引22变形为I2x+引22 - X,得2X+3M2 - X,或2x+3 2 -( 2 -x) , BP-i ,或xW - 5,3即原不等式的解集为(xlX 2— 3,或XW - 5}・3解法2：令I2x+：3I=O,得只=一卫.2①当寸，原不等式化为x+ ( 2x+3) 22,即x>-l,2 3所以x± -丄；3②x< 一爭'原不等式化为X・(2x+3 ) 22,即xW・5,所以xW - 5.综上，原不等式的解集为{xlx事-丄，或xW - 5}.3点评：本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号.若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：If ( x) I2g (x) ? f (x) Mg ( x),或f ( x) W ・ g (x) ； If ( x) iWg (x) ?-g( x) Wf ( x) Wg ( x).可简记为：大于号取两边，小于号取中间.使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集.【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤ABCD为直角梯形, ZABC=25.( 10分)(2015?江苏)如图，在四棱锥P - ABCD中，已知PA丄平面ABCD ,且四边形TT2[(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算. 专题:空间位置关系与距离；空间角.分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A - xyz . ( 1 ) 所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝3•・・PG1, - 2) ,PD= (0, 2,・ 2),x, y, z),cos < AD,・・・平设1+2 7 则COS入t [1, 3],2t 2<CQ,_______ 2 ______ F9_g (丄一知t /*9,icos<CQ ,.DP> I 的最人值为10勺F-10t+9因为 y=co对值，计算即可；(2)利用换元法可得COS 2<CQ, DP> 总，结合函数y=cosx 在(0,—)上的单调10 2性，计算即得结论.解答：解：以A 为坐标原点，以 AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系A - xyz 如 图，由题可知 B ( 1, 0, 0) , C (1, 1, 0) , D ( 0, 2, 0) , P ( 0, 0, 2).(1 ) VAD 丄平面PAB ,・••石二(0, 2, 0),是平面PAB 的一个法向量，(0, - i, o),贝CQ=CB+BQ=( - 入，(0, - 2, 2),从而 cos<C0，DP> =兀)上是减函数，此时直线 CQ 与DP 所成角取得最小值. 又•・・B P £] 2 + 2? 並,・•・BQ# BP=由巨逻专得 广K +卩- 2z=01 n\ • PD 二 0] ^2y — 2z 二Q设平面PCD 的法向量为IT取 y== 1,得 IF ( 1 ‘ 1,1),(2)0,当且点：本 考求二面角的三角函数，考用空向量解决 的能力，注意解方法的累，属于中档.*26. ( 10 分)(2015?江)已知集合 X={1 , 2, 3), Yn={l , 2, 3,…，n) (n^N ), Sn={( a, b) 或整除a, aex, B ey n },令f( n)表示集合Sn 所含元素的个数.(1) 写出f(6)的；(2) 当26，写出f(n)的表达式，并用数学 法明.la 整除b考点：数学法.:合；点列、数列与数学法. 分析•( 1) f (6) =6+2+ +|=咼；(2)根据数学法的明步，分，即可明・ 角军答： 口 •解：(1) f(6) =6+2+3；(2)当 n>6 , f(n)=n+24-〔专申 f «=6t n+2f,n=6t+ln n _ 2n+2+ (刁—-—)« n-6t+2 z Jn+24-〔二^丄 晋)，n=6t43 n+2f (詈 4^二)• n=61+4 n+2f (”；1 l "；2) , n=6H5下面用数学法明：①"6, f( 6) =6+2++購成立;②假n=k( k>6),成立，那么n=k+l , Sk+i 在Sk 的基上新增加的元素在(1, k+1 (2, k+1 ),(3, k+1 )中生，分以下情形： 1)若 k+l=6t , k=6 (t1)+5 ,此有 f( k+l)=f (k) +3=( k+l)+2+― ),1 k+132)若 k+l=6t+l ,则 k=6t+l ,此时有 f ( k+1 ) =f ( k) +l=k+2+—2T1=(k+1)+2+(k+1) 2-1(k+1) -1"nr"1,结论成立;3)若 k+l=6t+2 ,则 k=6t+l ,此时有 (k+1=f(k) +2=k+2+ □ +k-l^3~+2= ( k+1 ) +2+k+1 (k+1 )-2 ~2,结论成立;4)若 k+l=6t+3 ,则 k=6t+2 ,此时有 (k+1 =f ( k)+2=k+2+g ¥2 3+2= ( k+1(k+1) "1 k+1 2 」3,结论成立;+2+5)若 k+l=6t+4 ,则 k=6t+3 ,此时有 (k+1 =f ( k)k - 1 k+2=k +2+— E+2= ( k+1+2+吐 1 (k+1)~2,结论成立;6)若 k+l=6t+5 ,则 k=6t+4 ,此时有 (k+1 =f ( k) +2= ( k+1+2+ (k+1〕- 1 (k+1) " 2" * 3n26的自然数n 均成立.2 | ' 综上所述，结论对满足,结论成立.点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键.。
高考数学苏教版理科一轮复习配套课件14.1矩阵及其变换
－1 (2)反射变换：因为 0
－x 0 x ＝ y ，该变换把点(x，y) 1 y
－1 0 变成(－x，y)，故矩阵 表示关于y轴的反射变换；类似 1 0 1 0 0 ， － 1 0 ， 1 0 －1 － 1 0 1 0 分别表示关于x轴、直线y 地， ， ，
－1 . 2
0 设A(a，b)，则由 1 a＝－2 所以 b＝3
－1 －b＝－3， a －3 b＝ ，得 2 4 a＋2b＝4.
，即A(－2,3)．
待定系数法在平面变换中的应用 通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐 标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注 意待定系数法的应用．
－2 .求AB和AC. 1
2 解：AB＝ －4 2 AC＝ －4
Hale Waihona Puke －3 8 5 6 4 1 ＝ 5 －2
－7 ， 14 －7 . 14
－3 5 6 3
－2 1 ＝ 1 －2
第一节
矩阵及其变换
1．乘法规则 b11 (1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵 b 的乘法法则： 21
[a11
b11 a12] b ＝ 21
[a11b11＋a12b21] ．
a11 a12 x0 (2)二阶矩阵 与列向量 的乘法规则： a21 a22 y0 a11x0＋a12y0 a11 a12 x0 a x ＋ a y ＝ 21 0 22 0 . a 21 a22y0
[练一练]
1．(2014· 扬州模拟)已知矩阵
2015届高考数学(苏教,理科)复习课件：第十四章 矩阵与变换第二节 特征值与特征向量
1 3 －1 ∴M ＝ 0 2 3 又∵N＝ 0
数学
0 . 1 2 0 也为一伸缩变换对应的矩阵， 1 2
第二节
特征值与0 . 2
由矩阵的性质知 3 － － － (MN) 1＝N 1M 1＝2 0 1 0 3 20 0 1 0 1 2 ＝ 1 0 2 0 . 1
b 可逆，那么该方程组 d
ax＋by＝0， (2)推论：关于变量x，y的二元一次方程组 cx＋dy＝0.
其中a，b，c，d是不全为零的常数，有非零解的充分必要条 a b c d ＝0 件是系数矩阵的行列式 .
数学
第二节
特征值与特征向量
3．特征值和特征向量 a b 设矩阵A＝ c d ，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得
第二节
特征值与特征向量
第二节
特征值与特征向量
1．逆变换与逆矩阵
(1)逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ， 使得 σρ＝ρσ＝1 ，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．
(2)逆矩阵：设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵 B，使得 BA＝AB＝E2 ，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可 逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵．
λ－a 特征值λ的充分必要条件是方程 －c
－b ＝0有解． λ－ d
3．属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线．
数学
第二节
特征值与特征向量
2 3 0 3 0 ，求矩阵 MN 的逆矩阵． 1．若矩阵 M＝ 0 2，N＝ 1 0 2 3 0 解：法一 ∵M＝ 0 2为一伸缩变换对应的矩阵，
n
数学
第二节
特征值与特征向量
1．并不是每一个二阶矩阵都是可逆的：
2015江苏高考数学卷word版(理)及答案
2015江苏高考数学卷word版(理)及答案D1.2.结果S 为 ▲ ．3.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ．4.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为 ▲ ．5.不等式224x x-<的解集为 ▲ ．8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 ▲ ． 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ．10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ． 11.数列}{na 满足11=a，且11+=-+n a an n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x右支上的一个动点。
若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 ▲ ．13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数 为 ▲ ． 14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则∑=+⋅121)(k k ka a的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分） 在△ABC 中，已知2,3,60.AB AC A === (1)求BC 的长； （2）求sin2C 的值。
苏教版 高三数学 一轮复习---专项解析14.2 矩阵与变换
14.2 矩阵与变换解答题1. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程．解析 设P (x ，y )是椭圆4x 2＋y 2＝1上的任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎨⎧x ＝x ′2y ＝y ′.又因为点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝1上， 所以4(x ′2)2＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.故曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1.【点评】 线性变换是基本变换，解这类问题关键是由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得到点P ′(x ′，y ′)与点P (x ，y )的坐标关系．2．已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1,2)变成了点A ′(7,10)，点B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M . 解析 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤710，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24， 即⎩⎨⎧ a ＋2b ＝7，c ＋2d ＝10，2a ＝2，2c ＝4.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，c ＝2，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤132 4.3．求圆C ：x 2＋y 2＝4在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001的变换作用下的曲线方程． 解析 设P ′(x ′，y ′)是圆C ：x 2＋y 2＝4上的任一点， 设P (x ，y )是P ′(x ′，y ′)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1对应变换作用下新曲线上的对应点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ′ y ′， 即⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝x 2，y ′＝y .将⎩⎨⎧x ′＝x 2，y ′＝y代入x 2＋y 2＝4，得x 24＋y 2＝4，故方程为x 216＋y 24＝1.4．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值．解析 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)．A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′. 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －2 －2b ，所以点A ′的坐标为(－2，－2b )； ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8，所以点B ′的坐标为(－2a ，－8)． 由题意，点A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上， 所以⎩⎨⎧(－2)－(－2b )－4＝0，(－2a )－(－8)－4＝0.解得a ＝2，b ＝3.5．求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 1对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程．解析 设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点， 它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y )由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎨⎧x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y 2，y 0＝x ＋y 2.因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y 2＝1，即x 2－y 2＝4.所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4.6. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属 于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．解析 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11， 即6=+d c ；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23， 即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32. 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2，0)，C (－2,1)，设k 为非零实数，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k001，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．解析 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)． 计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2. 所以k 的值为－2或2. 8．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程． 解析 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，设(x ，y )是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y )在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x ′，y ′)， 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎨⎧x ＝x ′，y ＝－y ′.因为点(x ，y )在直线2x －y ＋1＝0上，从而2x ′－(－y ′)＋1＝0，即2x ′＋y ′＋1＝0， 所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.。
2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库：选修4 第2讲 矩阵与变换
第2讲矩阵与变换1．正如矩阵A＝错误!，向量β＝错误!.求向量α，使得A2α＝β.解∵A2＝错误!错误!＝错误!设α＝错误!，由A2α＝β,得错误!错误!＝错误!∴错误!解得错误!∴α＝错误!.2．在平面直角坐标系xOy中,设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝错误!对应的变换作用下得到曲线F,求F的方程．解设P(x0，y0）是椭圆上任意一点，点P(x0,y0)在矩阵A对应的变换下变为点P′（x′0，y′0)则有错误!＝错误!错误!，即错误!∴错误!又∵点P在椭圆上,故4x错误!＋y错误!＝1，从而x错误!＋y错误!＝1.∴曲线F的方程是x2＋y2＝1.3．已知矩阵M＝错误!,N＝错误!，且MN＝错误!.（1)求实数a、b、c、d的值；(2）求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．解（1)由题设得：错误!解得错误!（2)∵矩阵M对应的线性变换将直线变成直线（或点)，∴可取直线y＝3x上的两点（0,0),（1，3),由错误!错误!＝错误!，错误!错误!＝错误!,得点（0,0)，（1,3）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(0，0),(－2，2)．从而,直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y＝－x。
4．若点A（2,2)在矩阵M＝错误!对应变换的作用下得到的点为B（－2,2），求矩阵M的逆矩阵．解由题意，知M错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴错误!解得错误!∴M＝错误!。
由M－1M＝错误!，解得M－1＝错误!.5．已知二阶矩阵A＝错误!,矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a1＝错误!，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝错误!,求矩阵A.解由特征值、特征向量定义可知,Aa1＝λ1a1，即错误!错误!＝－1×错误!，得错误!同理可得错误!解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.因此矩阵A＝错误!。
6．已知矩阵M＝错误!，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解由矩阵M的特征多项式f（λ)＝错误!＝（λ－3）2－1＝0，解得λ1＝2,λ2＝4，即为矩阵M的特征值．设矩阵M的特征向量为错误!，当λ1＝2时,由M错误!＝2错误!，可得错误!可令x＝1,得y＝1，∴α1＝错误!是M的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M错误!＝4错误!,可得错误!取x＝1，得y＝－1，∴α2＝错误!是M的属于λ2＝4的特征向量．7．求曲线C:xy＝1在矩阵M＝错误!对应的变换作用下得到的曲线C1的方程．解设P（x0,y0)为曲线C：xy＝1上的任意一点，它在矩阵M＝错误!对应的变换作用下得到点Q（x，y）由错误!错误!＝错误!，得错误!解得错误!因为P(x0，y0）在曲线C：xy＝1上，所以x0y0＝1。
高考数学(苏教,理)一轮课件：第14章 14.2 矩阵与变换
§14.2 矩阵与变换
第十四章 系列4选讲
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1.乘法规则
(1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵bb1211的乘法规则：
[a11 a12]bb1211＝ [a11×b11＋a12×b21]
.
(2)二阶矩阵aa1211 aa1222与列向量xy00的乘法规则：
a11×x0＋a12×y0
a11 a21
aa1222xy00＝
a21×x0＋a22×y0
.
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：
a11 a12b11 b12
a21 a22b21 b22
＝aa1211××bb1111＋＋aa1222××bb2211
db＝10
01，
题型分类·深度剖析
题型二
求逆矩阵
【例 2】 求矩阵 A ＝21 32的逆矩阵.
解析
思维升华
2a＋3c＝1， 得a2＋b＋2c3＝d＝0，0，
b＋2d＝1.
a＝2， 解得cb＝＝－－13，，
d＝2.
所以 A－1＝－21
－32.
题型分类·深度剖析
题型二
求逆矩阵
【例 2】 求矩阵 A ＝21 32的逆矩阵.
上的点 A(3,0)，B(2,1)分别 T：21→xy′′＝ab 变换为点 A′(0,3)，B′(1， ＝－11，
cd21＝22ab＋＋cd
－1)，试求变换 S 对应的矩 阵 T.
解得cd＝＝1－，3， 综上可知， T＝01 －13.
题型分类·深度剖析
题型一
高考数学大一轮复习 课时训练73 矩阵及其变换 理 苏教版
课时跟踪检测(七十三) 矩阵及其变换1．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 6 p －q p ＋q 5，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy －11 x ＋y ，若M ＝N ，求x ，y ，p ，q .2．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．3．求出曲线y 2＝4x 依次经过矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 00 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下变换得到的曲线方程x 2＝2y ，求实数t .4．已知曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 对应的变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求矩阵M .5．如果曲线x 2＋4xy ＋3y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1的作用下变换得到曲线x 2－y 2＝1，求a ＋b 的值．6．若一个变换所对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002，求抛物线y 2＝－4x 在这个变换下所得到的曲线的方程．7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b0，直线l 1：x －y ＋4＝0经矩阵A 所对应的变换得到直线l 2，直线l 2又经矩阵B 所对应的变换得到直线l 3：x ＋y ＋4＝0，求直线l 2的方程．8．二阶矩阵M 对应变换将点(1,2)和(2,1)分别变换成(5,1)和(4，－1)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 将圆x 2＋y 2＝1变换后的方程．答 案1．解析：∵M ＝N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝6，x ＋y ＝5，p －q ＝－1，p ＋q ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，p ＝0，q ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，p ＝0，q ＝1.2．解：设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线C 1上与P 对应的点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .∵P ′是曲线C 1上的点， ∴C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1. 3．解：由已知得BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤t001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1t 0. 任取曲线y 2＝4x 上一点P (x 0，y 0)，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，即有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1t 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，则有⎩⎪⎨⎪⎧－y 0＝x ′，tx 0＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝－x2，2tx 0＝2y ′.∵P ′在曲线x 2＝2y 上，∴x ′2＝2y ′. 即y 20＝2tx 0，① y 20＝4x 0，②比较①②得2t ＝4⇒t ＝2.4．解：在曲线C 上任取一点P (x ，y )，点P 在矩阵M 作用下得点P ′(x ′，y ′)，设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy .由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，∴a ＝2，b ＝0，c ＝0，d ＝1，∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001. 5．解：在曲线x 2＋4xy ＋3y 2＝1上任取一点P (x ，y )，设点P (x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b1的作用下变换得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ay bx ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .则(x ＋ay )2－(bx ＋y )2＝1. 化简，得(1－b 2)x 2＋2(a －b )xy ＋(a 2－1)y 2＝1. 从而⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝1，a －b ＝4，a 2－1＝3.解得a ＝2，b ＝0，所以a ＋b ＝2.6．解：设P (x ，y )为y 2＝－4x 上任意一点，P ′(x ′，y ′)为变换后所得曲线上对应P的点，由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－x ′，y ＝y ′2.∴⎝⎛⎭⎪⎫y ′22＝－4(－x ′)，即y ′2＝16x ′.∴抛物线y 2＝－4x 经变换后的曲线方程为y 2＝16x .7．解：BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1a 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 00 b ， 设P (x ，y )是l 1上的任意一点，其在BA 所对应的变换作用下的像为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2ax ，y ′＝by .由题意可得，点(x ′，y ′)在直线l 3上，所以2ax ＋by ＋4＝0即为直线l 1：x －y ＋4＝0，故a ＝12，b ＝－1.此时B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1 0，同理可设Q (x 0，y 0)为l 2上的任意一点，其在B 所对应的变换作用下的像为(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 2－10⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝2y 0，y ′0＝－x 0.，又(x ′0，y ′0)在直线l 3上，所以2y 0－x 0＋4＝0，故直线l 2的方程为2y －x ＋4＝0，即x －2y －4＝0.8．解：(1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤51和M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝5，c ＋2d ＝1，2a ＋b ＝4，2c ＋d ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝－1，d ＝1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 1. (2)设点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，变换后的点为P ′(x ′，y ′)， 则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝－x ＋y ，从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′－2y ，y ＝13x ′＋y，代入x 2＋y 2＝1并化简得 (x ′－2y ′)2＋(x ′＋y ′)2＝9， 即(x －2y )2＋(x ＋y )2＝9.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时跟踪检测(七十三) 矩阵及其变换
1．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 6 p －q p ＋q 5，N ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
xy －11 x ＋y ，若M ＝N ，求x ，y ，p ，q .
2．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 20
1的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．
3．求出曲线y 2＝4x 依次经过矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 00 1，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0 －11 0作用下变换得到的曲线方
程x 2＝2y ，求实数t .
4．已知曲线C ：x 2
＋y 2
＝1在矩阵M 对应的变换作用下得到曲线C ′：x 24
＋y 2
＝1，求
矩阵M .
5．如果曲线x 2＋4xy ＋3y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 a b
1的作用下变换得到曲线x 2－y 2＝1，求a ＋b 的值．
6．若一个变换所对应的矩阵是⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
－1
00
2，求抛物线y 2＝－4x 在这个变换下所得到的曲线的方程．
7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0 1a
0，B ＝⎣⎢
⎡
⎦
⎥⎤0 2b 0，直线l 1：x －y ＋4＝0经矩阵A 所对应的变换得到
直线l 2，直线l 2又经矩阵B 所对应的变换得到直线l 3：x ＋y ＋4＝0，求直线l 2的方程．
8．二阶矩阵M 对应变换将点(1,2)和(2,1)分别变换成(5,1)和(4，－1)． (1)求矩阵M ；
(2)求矩阵M 将圆x 2＋y 2＝1变换后的方程．
答 案
1．解析：∵M ＝N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
xy ＝6，x ＋y ＝5，
p －q ＝－1，
p ＋q ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，
y ＝3，p ＝0，
q ＝1，
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝2，p ＝0，q ＝1.
2．解：设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点， P ′(x ′，y ′)为曲线C 1上与P 对应的点， 则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 20
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′＋2y ′y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝x －2y ，y ′＝y .
∵P ′是曲线C 1上的点， ∴C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1. 3．解：由已知得
BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 00 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0 －1t 0.
任取曲线y 2＝4x 上一点P (x 0，y 0)，
它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，
即有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1t 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ′y ′，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
－y 0＝x ′，tx 0＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧
y 20＝(－x ′)2
，2tx 0＝2y ′.
∵P ′在曲线x 2＝2y 上，∴x ′2＝2y ′. 即y 20＝2tx 0， ① y 20＝4x 0，
②
比较①②得2t ＝4⇒t ＝2.
4．解：在曲线C 上任取一点P (x ，y )，点P 在矩阵M 作用下得点P ′(x ′，y ′)，
设M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a b c d ，则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x ′y ′， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy . 由题意⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12x ′，y ＝y ′，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝y ，
∴a ＝2，b ＝0，c ＝0，d ＝1，∴M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
00
1.
5．解：在曲线x 2
＋4xy ＋3y 2
＝1上任取一点P (x ，y )，设点P (x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 a b 1的作用
下变换得到点P ′(x ′，y ′)，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ′y ′. 所以⎣⎢
⎡⎦⎥⎤x ＋ay bx ＋y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x ′y ′， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝x ＋ay ，y ′＝bx ＋y . 则(x ＋ay )2－(bx ＋y )2＝1. 化简，得
(1－b 2)x 2＋2(a －b )xy ＋(a 2－1)y 2＝1.
从而⎩⎪⎨⎪
⎧
1－b 2
＝1，2(a －b )＝4，
a 2－1＝3.解得a ＝2，
b ＝0，
所以a ＋b ＝2.
6．解：设P (x ，y )为y 2＝－4x 上任意一点，P ′(x ′，y ′)为变换后所得曲线上对应P
的点，由题意⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝－x ，
y ′＝2y ，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－x ′，
y ＝y ′2
.
∴⎝⎛
⎭
⎫y ′22
＝－4(－x ′)，即y ′2＝16x ′. ∴抛物线y 2＝－4x 经变换后的曲线方程为y 2＝16x . 7．解：BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b
0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1a 0＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2a 00 b ， 设P (x ，y )是l 1上的任意一点，其在BA 所对应的变换作用下的像为(x ′，y ′)，则⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤x ′y ′，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝2ax ，y ′＝by . 由题意可得，点(x ′，y ′)在直线l 3上，所以2ax ＋by ＋4＝0即为直线l 1：x －y ＋4＝0，故a ＝1
2
，b ＝－1.
此时B ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤ 0 2－1
0，同理可设Q (x 0，y 0)为l 2上的任意一点，其在B 所对应的变换作用
下的像为(x ′0，y ′0)，
则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ 0 2－1
0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ′0y ′0， 得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′0＝2y 0，y ′0＝－x 0.，又(x ′0，y ′0)在直线l 3上，所以2y 0－x 0＋4＝0，故直线l 2的方程为2y －x ＋4＝0，即x －2y －4＝0.
8．解：(1)设矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
a b c
d ，
则由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤51和M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1，得
⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋2
b ＝5，
c ＋2
d ＝1，2a ＋b ＝4，
2c ＋d ＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝2，
c ＝－1，
d ＝1，
所以M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤ 1
2－1 1. (2)设点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，变换后的点为P ′(x ′，y ′)，
则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ′y ′， 所以⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝x ＋2y ，y ′＝－x ＋y ，
从而⎩⎨⎧
x ＝1
3(x ′－2y ′)，y ＝1
3(x ′＋y ′)，
代入x 2＋y 2＝1并化简得
(x ′－2y ′)2＋(x ′＋y ′)2＝9， 即(x －2y )2＋(x ＋y )2＝9.。