第6章实数全章学案
期末复习第六章实数资料
9.一般来说，被开放数扩大（或缩小） 倍，算术平方根扩大（或缩小） 倍，例如 .
题型规律总结：
1、平方根是其本身的数是；算术平方根是其本身的数是和；立方根是其本身的数是和。
（5）应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如： 等；无理数也不一定带根号，如：
（6）有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③ 、④π、⑤ 、⑥ 、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号）
8. ________
10.使式子 有意义的条件是。
11．当 时， 有意义。
12．若 有意义，则 的取值范围是。
13．已知 ，则 的取值范围是。
14．当 时，
。
15.如果一个数的平方根为a+1和2a－7,这个数为________
16、— 的绝对值是；
17.任何实数a,可用[a]表示不超过a的最大整数,如[4]=4,[ ]=1.现对72进行如下操作:
负分数____________________________
无理数____________________________
考点二：平方根、立方根、 的化简
1．判断下列说法是否正确
（1） 的算术平方根是-3；
（2） 的平方根是±15.
2021届浙江省数学学案第六章补上一课平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题含解析
2021届浙江省高考数学一轮学案：第六章补上一课平面向量中的极化恒等式及有关最值（范围）问题含解析平面向量中的极化恒等式及有关最值（范围)问题知识拓展1。
极化恒等式：a·b＝错误向量表达式中字母参数的最值（或范围）.题型突破题型一极化恒等式的应用【例1】（1）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则错误!·错误!＝________。
(2）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则错误!·错误!的取值范围是________。
解析（1）因为M是BC的中点，由极化恒等式得错误!·错误!＝AM2－错误!BC2＝9－错误!×100＝－16.(2）取AB的中点D，连接CD,因为三角形ABC为正三角形,所以O 为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2,所以CD＝3，AB＝23。
又由极化恒等式得错误!·错误!＝PD2－错误!AB2＝PD2－3,因为P在圆O上，所以当P在点C处时，PD max＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，PD min＝1，所以错误!·错误!∈［－2，6]。
答案(1)－16（2)［－2,6］【训练1】（1)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点,则错误!·错误!的值为________.(2）若点O和点F分别为椭圆错误!＋错误!＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则错误!·错误!的最大值为(）A。
新人教第6章《实数》复习学案
第6章《实数》复习学案（一）什么是实数？例1、把下列各数分别填入相应的集合里：2272π∙-1.9.有理数集合：｛｝；无理数集合：｛｝；正实数集合：｛｝；负实数集合：｛｝；（二）怎么运用实数？1.求根（平方根与立方根）(()00⎧+⎧⎪⎪⎨-⎪⎩⎪⎪→⎨⎪→⎪⎪⎩算术平方根）正数算术平方根的相反数平方根负数没有平方根00→+⎧⎪→⎨⎪→-⎩正数立方根负数例2、①36的平方根是；的算术平方根是；②8的立方根是；＝；2.1a bab-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩作差法：与“”的大小比较两个数的大小作商法：与“”的大小平方（立方）法(目的：去根号）例3、比较下列数的大小.（183（2433.找无理数的整数和小数部分.（逼近法）例4a，小数部分为b，求2a b+.4.已知一个数的平方根，求与此数有关的问题.（平方或立方，找原数）例5、已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的平方根为±4，求a+2b的平方根.例6、若一个数的平方根为3x-2和2x+1，求这个数.25am n⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩绝对值“”.非负数根号平方“（)；开平方时，被开方数不能为负数.例6、当x为何值时，下列各式有意义？233p-+-+⑵12x-例7、已知21(2)0a c++=，求2()a b c++的值.6.求未知数的值.例8.求下列各式中x的值.⑴211802x-=⑵21(1)802x--=⑶2x3=-14⑷3(x-1)3-81=0.0.101001000π⎧⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎭⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数分数实数负分数带有“”无理数含有无限不循环小数如7.规律探索问题.例9……⑴写出满足规律的第4、5个式子；⑵写出满足上述各式规律的一般式子.例10、 1.652 5.225,分别求下式中a 的值：⑴a =⑵a =0.1652 522.58.计算问题：2(0)a a = a例11、实数a 、b例12、计算：⑴-⑵233p -+-+练习：一、选择题（每小题3分，共24分）1.在实数,2π,0.123456…, 0(5)π-中，其中无理数的个数是（ ） A .2 B .3C .4D .52.下列各式中，无意义的是（ ）A B C D3.|x －1|+ ）A .±8B .8C .与x 的值无关D .无法确定4.在Rt △ABC 中，∠C =90°,c 为斜边，a 、b 为直角边，则化简2|c －a －b |的结果为（ ）A .3a +b －cB .－a －3b +3cC .a +3b －3cD .2a）A .B .C .D .6.下列各式中，正确的是（ ）A =±5B C 12 D .6÷23 7.以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是（ ）A 、32B 1C D二、填空题的算术平方根是______. 9.那么(x +3)2=______.______的倒数是______. 11.若xy =x －y 1,则(x +1)(y －1)=______.12.|b +2|是互为相反数，则(a －b )2=______. 13.若3a =4b ,的值是______.14.2002·2003=______. 15.若|124a -|+2(1)b -=0，则a =___.b =____16.若,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，则20032008()()a b cd ++=____ 17.已知y =18. 16的算术平方根是 平方根是 .19.探究与发现： 112=121； 1112=12321； 11112=1234321则111112= ；猜想= ；= ；= ；那么= .三.解答题 20.计算：⑴（12）－1－（－1） ⑵（-2）3+12（2004）0-|-12|21.若x 、y 都是实数，且y+8，求x +3y 的立方根. 22.=0，求实数a , b 的值.23.已知2x -1的平方根为±3，3x +y -1的算术平方根为4，求x +2y 的平方根.24.已知a ，5b ，求：⑴a +b 的值；⑵a －b 的值.25.若实数a满足2007,a a -求22007a -的值. 26.a 、b 满足b，求2a b -+.27.已知2x -1的平方根是±6，2x -y -1的算术平方根是5，求2x -3y +11的平方根．28.已知x=a 表示x 是a +b +2的平方根，y=2a b +表示y 是a +2b 的立方根，求a +3b 与4x +y 的和的平方根．⑴由上表你发现了什么规律？请你用语言叙述这规律．=1.517，，30. 1.432 3.7428.561分别求下式中a 143.2 a - 0.8561a31.求下列各式中的x ：⑴2x 2-18=0； ⑵64（x -1）3=125； ⑶4x 2=81；⑷（x -1）3+27=0） ⑸（x -2）2=36 ⑹（2x -1）3=-125．⑺3（x +2）3-81=0．。
实数大单元教学设计
《实数》单元教学设计学生在七年级上学期，已经系统学过有理数，对有理数的概念和运算有了较深刻的认识，特别是知道有理数能用数轴上的点来表示、绝对值、相反数以及乘方运算等知识，这些知识是学习实数的初步知识，为木章的学习奠定了良好的基础，使学生具备了继续学习本章知识的基本技能。
同时，七年级学生思维正处于从以具体形象思维为主向以抽象逻辑思维成分为主的转折期，因此，教学中必需留意具体性，形象性，同时还要有适当的抽象概况要求，从而促进学生的思维向高一阶段发展。
（一）教学目标1 .了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根.2 .了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求干以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。
3 .了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值.4 .能用有理数估计一个无理数的大致范围. （二）教学重点、难点 重点： 算术平方根、平方根的概念和求法以及实数的概念。
难点： 平方根和实数的概念。
（一）单元知识结构框架学情分析 单元目标 单元知识结构框架及课时安排版权声明21世纪教育网（以下简称“本网站”）系属深圳市二一教育科技有限责任公司（以下简称“本公司”）旗下网站，为维护本公司合法权益，现依据相关法律法规作出如下郑重声明：一、本网站上所有原创内容，由本公司依据相关法律法规，安排专项经费，运营规划，组织名校名师创作完成的全部原创作品，著作权归属本公司所有.二、经由网站用户上传至本网站的试卷、教案、课件、学案等内容，由本公司独家享有信息网络传播权，其作品仅代表作者本人观点，本网站不保证其内容的有效性，凡因本作品引发的任何法律纠纷,均由上传用户承担法律责任,本网站仅有义务协助司法机关了解事实情况.三、任何个人、企事业单位（含教育网站）或者其他组织，未经本公司许可，不得使用本网站任何作品及作品的组成部分（包括但不限于复制、发行、表演、广播、信息网络传播、改编、汇编、翻译等方式），一旦发现侵权，本公司将联合司法机关获取相关用户信息并要求侵权者承担相关法律责任.四、一旦发现侵犯本网站作品著作权的行为，欢迎予以举报。
实数复习学案
七年级数学下册第六章实数复习导学案班级：_________ 座号：______ 姓名：__________一、【复习目标】1.进一步掌握平方根、立方根的有关概念、表示方法和性质。
2.能熟练地进行开平方和开立方运算。
3.增强用类比的方法分析问题的能力。
二、【知识回顾】（一）数的开方： 算术平方根、平方根、立方根是如何定义的? （二）算术平方根、平方根、立方根的区别与联系算术平方根 平方根 立方根表示方法 aa ±3aa 的取值 性 质正数 0 负数是本身的数巩固练习：牛刀一试 填一填1.81的平方根_______；81的算术平方根______.2.81的平方根______；81的立方根________.3.27的立方根_______；—64的立方根________.4.16=______；254-=_______；100±=________. （三）实数: (a)实数的分类_________⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎧⎨⎬⎪⎩⎪⎭⎩______整数____________有限小数或循环小数______实数负分数____________________________________________巩固练习：牛刀二试填空：将下列各数分别填入下列的集合括号中33514197,,2,16,8,,,,,5,07493π---，-无理数集合：｛ … ｝ 有理数集合：｛ … ｝ 整数集合：｛ … ｝ 负实数集合：｛ … ｝(b)实数的性质：实数有哪些性质呢？（相反数、倒数、绝对值） 巩固练习：牛刀三试 填一填 (1)5-的相反数是_____,绝对值是_____;没有倒数的实数是______;(2)32-的相反数是_______;绝对值是_________.三、【课堂练习】 (一)判断题(1) 4的算术平方根是±2 (2) 4的平方根是2 (3) 8的立方是2 (4) 无理数就是带根号的数 (5) 不带根号的数都是有理数 (6) －1的立方根是－1（二）选择题1、2(3)-的算术平方根是（ ）A.无意义B.3±C. —3D.3 2、22| 3 |20, 2 x y x xy y -++=-+已知则的值是（）A.1B.5C.25D.不能确定 3、下列运算正确的是（ ） A.336 6 -=- B. 3.60.6= C.()2-1313=- D.366=±（三）填空题 1、化简下列各式： (1)49=______; 2(2)(7)-=______;2(3)5=______; 3(4)27=_______;33(5)3=______; 33(6)(3)-=________;（四）计算题 33(1)1441618+---- (2)223(32)--2(3)(2)21(21)-+--+四、【课堂小结】1、请同学们谈谈这节课你们收获了什么？2、请同学们谈谈这节课你们有什么疑惑？ 五、【作业布置】1、认真复习本节知识点，并完成提高作业2、完成活页P57-58页期中复习（实数）六、【提高升华】1.观察课堂练习中（三）填空题第3题，并完成下面几个基本公式：（注意字母a 的取值范围）2)(a =______ 2a =_______ 33a =_______33)(a =______ 3a -=_______变式1：2330,a a a <+(1)若求的值. 233()m n m n n m <-+-(2)若，求（）的值.2.已知,a b 为两个连续整数，且11a b <<,则a b +=_______3.1,2,0,x y xy x y ==>+=若且则__________.4.点A 在数轴上表示的数为5-，点B 在数轴上表示的数为35，则A ，B 两点的距 离为_________.5.比较下列各组数的大小：(1)3___2--;(2)4____15;(3)13____32; 3(4)26____ 3 11,a a -+6.已知一个数的平方根是2和求这个数。
专题实数学案
7、的平方根是（）
A．9 B．C．±9 D．±3
8、若实数满足|x|+x=0,则x是（）
A．零或负数B．非负数C．非零实数D.负数
、例题剖析
1、设a=－，b=2－，c=－1,则a、b、c的大小关系是（）
A．a＞b＞c B、a＞c＞b
C．c＞b＞a D．b＞c＞a
2、若化简|1－x|－ ，则x的取值范围是（）
A．X为任意实数B．1≤X≤4
C．x≥1 D．x＜4
3、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+ 其中a=9时”，得出了不同的答案，小明的解答：原式= a+ = a+(1－a)=1，小芳的解答：原式=a+(a－1)=2a－1=2×9－1=17
2、数轴上的点并不都表示有理数，如图l－2－2中数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）
A．代人法B．换无法C．数形结合D．分类讨论
3、（开放题）如图l－2－3所示的网格纸，每个小格均为正方形，且小正方形的边长为1，请在小网格纸上画出一个腰长为无理数的等腰三角形．
4、如图1－2－4所示，在△ABC中，∠B=90○,点P从点B开始沿BA边向点A以1厘米／秒的宽度移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，问几秒后，△PBQ的面积为36平方厘米？
五、课后作业
1、(1) (2)
2．一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的__________倍.
3．（1）已知 的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
（2）把下列无限循环小数化成分数：① ② ③
实数学案
鸡西市第十九中学学案班级姓名：学科数学课题实数课型新课时间2013年月日人教版七年级下学习目标1.解实数的不同分类法，并能在具体问题中将实数进行正确分类。
2.握实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，并会求一个实数的相反数、倒数、绝对值。
3.了解实数和数轴上的点的一一对应关系。
重点难点实数的分类。
会表示一个实数的相反数、倒数、绝对值。
学习内容【引入】1、填空：（有理数的两种分类）有理数有理数2、使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？3 ，35-，478，911，119，59【归纳】任何一个有理数都可以写成_______小数或________小数的形式。
反过来，任何______小数或____________小数也都是有理数通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的_____根和______根都是____________小数， ____________小数又叫无理数， 3.14159265π= 也是无理数。
结论： _______和_______统称为实数像有理数一样，无理数也有正负之分。
π是____无理数，π-是____无理数。
非0有理数和无理数都有正负之分。
想一想：实数可以怎么分类呢？<i>按定义分类：例1、 把下列各数填入相应的集合内：有理数集合{ }无理数集合{ }整数集合{ }分数集合{ }实数集合{ }例2、把下列各数分别填入相应的集合里： 332278,3, 3.141,,,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7378π-----正有理数{ }负有理数{ }正无理数{ }负无理数{ }【当堂检测】一、填空题1． 叫无理数， 统称实数．2．______与数轴上的点一一对应．3．把下列各数填入相应的集合：－1、3、π、－3.14、9、26-、22-、7.0 ． （1）有理数集合｛ ｝；（2）无理数集合｛ ｝；（3）正实数集合｛ ｝；（4）负实数集合｛ ｝．4．2的相反数是________；21-的倒数是________；35-的绝对值是________．5．如果一个数的平方是64，那么它的倒数是________．6．比较大小：（1）;233--________（2）.36________1253-- 二、判断正误7．实数是由正实数和负实数组成．（ ）8．0属于正实数．（ ）9．数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）10．如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是0或1．（ ）11．若,2||=x 则2=x （ ）三、选择题12．下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对D ．2是近似值，无法在数轴上表示准确13．下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数14．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（ ）A ．±1B ．0和1C ．0和－1D ．0和±1四、计算题15．32716949+- 16．2336)48(1÷---五、解答题17．天安门广场的面积大约是440000m 2，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到m ）18．38的平方根是______；－12的立方根是______．19．若,2||=x 则x ＝______．20．｜3.14－π｜＝______；=-|2332|______．21．若,5||=x 则x ＝______；若;12||+=x 则x ＝______．22．当a ______时，｜a －2 |＝a －2．23．若实数a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则式子3cd-＝______．+a+b24．在数轴上与1距离是的点2，表示的实数为______．二、选择题25．估计76的大小应在（）A．7～8之间B．8.0～8.5之间C．8.5～9.0之间D．9～10之间26．－27的立方根与81的算术平方根的和是（）A．0B．6C．6或－12D．0或627．实数76.2、和22的大小关系是（）A．77<<26.2226.2<<B．2C．222<6.2<7<D．726.2<28．一个正方体水晶砖，体积为100cm3，它的棱长大约在（）A．4～5cm之间B．5～6cm之间C．6～7cm之间D．7～8cm之间29．如图，在数轴上表示实数15的点可能是（）A．P点B．Q点C．M点D．N点实数练习题班级姓名：一、填空题1．22-的相反数是____________；32-的绝对值是______．2．大于17-的所有负整数是______．3．一个数的绝对值和算术平方根都等于它本身，那么这个数是______．二、选择题4．下列说法正确的是（）A．正实数和负实数统称实数B．正数、零和负数统称为有理数C．带根号的数和分数统称实数D．无理数和有理数统称为实数5．下列计算错误的是（）A ．2)2(33-=-B ．3)3(2=-C ．2)2(33-=--D ．39=三、用计算器计算（结果保留三位有效数字）6．32+7．2)26(-8．652-9．32π5.0+四、计算题10．233)32(1000216-++ 11．23)451(12726-+-12．32)131)(951()31(--+ 13．已知,0|133|22=--+-y x x 求x ＋y 的值．14．已知n m m n A -+-=3是n －m ＋3的算术平方根，322n m B n m +=++是m ＋2n 的立方根，求A －B 的平方根．综合、运用、诊断一、填空题15．如果｜a｜＝－a，那么实数a的取值范围是______．16．已知｜a｜＝3，,2b且ab＞0，则a－b的值为______．17．已知b＜a＜c，化简｜a－b｜＋｜b－c｜＋｜c－a｜＝______．二、选择题18．下列说法正确的是（）A．数轴上任一点表示唯一的有理数B．数轴上任一点表示唯一的无理数C．两个无理数之和一定是无理数D．数轴上任意两点之间都有无数个点19．已知a、b是实数，下列命题结论正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞｜b｜，则a2＞b2C．若｜a｜＞b，则a2＞b2D．若a3＞b3，则a2＞b2拓展、探究、思考20．若无理数a满足不等式1＜a＜4，请写出两个符合条件的无理数______．21．已知a是10的整数部分，b是它的小数部分，求（－a）3＋（b＋3）2的值．一、选择题（共20小题）1、（2009•济宁）山东省地矿部门经过地面磁测，估算济宁磁异常铁矿的内蕴经济资源量为10 800 000 000吨．这个数据用科学记数法表示为（）A、108×108吨B、10.8×109吨C、1.08×1010吨D、1.08×1011吨2、抽查了某校在六月份里5天的日用电量，结果如下：（单位；度）400 410 395 405 390根据以上数据，估算该校六月份的总用电量是（单位；度）（）A、12400B、12000C、2000D、4003、与方程x3﹣9=16的根最接近的是（）A、2B、3C、4D、54、如图在数轴上有O、A、B、C、D五点，根据图中各点所表示的数，判断在数轴上的位置会落在（）A、线段OA上B、线段AB上C、线段BC上D、线段CD上5、数轴上表示的点A的位置应在（）A、2与3之间B、3与4之间C、4与5之间D、7与8之间6、如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数﹣2，1，2，3，则表示的点P应在线段（）A、线段AB上B、线段BC上C、线段CD上D、线段OB上7、如图，数轴上的点P，表示的实数是（）A、﹣B、﹣C、D、﹣8、（2008•淮安）下列各式中，正确的是（）A、2＜＜3B、3＜＜4C、4＜＜5D、14＜＜169、通过估算，下列不等式成立的是（）A、＞3.85B、＜3.85C、＜3.8D、＜210、大于﹣2.5小于的整数有多少个（）A、4个B、5个C、6个D、7个11、（2011•遵义）若a、b均为正整数，且，则a+b的最小值是（）A、3B、4C、5D、612、（2011•徐州）估计的值（）A、在2到3之间B、在3到4之间C、在4到5之间D、在5到6之间13、（2011•天津）估计的值在（）A、1到2之间B、2到3之间C、3到4之间D、4到5之间14、（2011•台湾）下列哪一选项的值介于0.2与0.3之间？（）A、B、C、D、15、（2011•台湾）如图数在线有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，判断在数在线的位置会落在下列哪一线段上（）A、OAB、ABC、BCD、CD16、（2011•黔南州）估计20的算术平方根的大小在（）A、2与3之间B、3与4之间C、4与5之间D、5与6之间17、（2011•大连）实数的整数部分是（）A、2B、3C、4D、518、（2011•本溪）下列整数中与最接近的数是（）A、2B、4C、15D、1619、（2011•安徽）设，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A、1和2B、2和3C、3和4D、4和520、（2010•山西）估算的值（）A、在1和2之间B、在2和3之间C、在3和4之间D、在4和5之间二、填空题（共5小题）21、恰有28个连续自然数的算术平方根的整数部分相同（其小数部分不等于零），那么这个相同的整数是_________．22、给出下列关于的判断：①是无理数；②是实数；③是2的算术平方根；④1＜＜2．其中正确的是_________（请填序号）．23、在下图所示的数轴上，用点A大致表示，则点A在数_________和_________之间．24、在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是_________．25、若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是_________．三、解答题（共5小题）26、已知的整数部分为a，b是25的平方根，求ab的值．27、（1）（2）（3）求下列x的值．①x3﹣27=0②（x﹣1）2=4（4）已知：a是的整数部分，b是的小数部分，求a﹣b的值．28、比较下列两个数的大小：（1）；（2）﹣7．29、已知：在数﹣，﹣1.，π，3.1416，，0，42，（﹣1）2n，﹣1.424224222…中，（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“＜”连接．30、写出所有适合下列条件的数：（1）大于小于的所有整数；（2）绝对值小于的所有整数．答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、（2009•济宁）山东省地矿部门经过地面磁测，估算济宁磁异常铁矿的内蕴经济资源量为10 800 000 000吨．这个数据用科学记数法表示为（）A、108×108吨B、10.8×109吨C、1.08×1010吨D、1.08×1011吨考点：科学记数法—表示较大的数；估算无理数的大小。
届数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项和学案理含解析
第三节等比数列及其前n项和［最新考纲］［考情分析］［核心素养]1.理解等比数列的概念。
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系。
等比数列的基本运算,等比数列的判断与证明,等比数列的性质与应用仍是2021年高考考查的热点，三种题型都有可能出现，分值为5~12分.1.数学运算2.逻辑推理‖知识梳理‖1．等比数列的有关概念(1)定义①文字语言：从错误!第2项起，每一项与它的前一项的错误!比都等于错误!同一个常数．②符号语言：错误!错误!＝q（n∈N*，q为非零常数)．（2）等比中项：如果a，G,b成等比数列，那么错误!G叫做a 与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G26ab．2．等比数列的有关公式(1）通项公式：a n＝错误!a1q n－1．（2)前n项和公式3．等比数列的性质（1）通项公式的推广:a n＝a m·q n－m（m，n∈N＊）．（2）对任意的正整数m,n，p，q，若m＋n＝p＋q，则错误!a m·a n ＝错误a p·a q．特别地，若m＋n＝2p,则a m·a n＝a2p.(3）若等比数列前n项和为S n，则S m，S2m－S m,S3m－S2m仍成等比数列，即（S2m－S m)213S m（S3m－S2m）（m∈N＊，公比q≠1）．(4）数列｛a n｝是等比数列，则数列｛pa n}(p≠0，p是常数)也是错误!等比数列．(5)在等比数列{a n｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n，a n＋k,a n＋2k，a n＋3k，…为等比数列,公比为错误!q k．►常用结论1．若｛a n｝，｛b n}（项数相同)是等比数列，则{λa n｝（λ≠0),错误!，{a2，n}，{a n·b n｝,错误!仍是等比数列．2．一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．3．｛a n｝为等比数列，若a1·a2·…·a n＝T n，则T n，错误!，错误!，…成等比数列．4．当q≠0且q≠1时，S n＝k－k·q n（k≠0）是｛a n}成等比数列的充要条件，这时k＝错误!.5．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等，特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）．（1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．（)（2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac。
《实数》复习课教案
《实数》期末复习教案二中苏元实验学校 陈颍【教学分析】《实数》一章概念较多，且比较抽象，主要是学生对于无理数的认知还缺乏实际经验的积累，算术平方根和平方根概念混淆。
本节为复习课，学生有一定的知识储备，但是预计因理解不到位容易出错，所以这节课定位在：帮助学生构筑知识体系，通过学生自主学习和合作学习暴露学习中的知识性问题，加强理解，归纳典型问题的方法，领会数学思想在解决问题中的作用。
【复习目标】1. 进一步巩固算术平方根，平方根，立方根和实数的的相关概念及性质2. 熟练用根号表示并求数的平方根，立方根3. 能进行实数的简单四则运算，对实数的大小进行比较4. 掌握估算的方法，加强估算能力的培养5. 领会分类思想、类比迁移、数形结合等数学思想方法的运用【教学重点】平方根、算术平方根、立方根及实数的概念与性质，以及实数的运算，大小比较【教学难点】平方根和实数的概念，对符号的认识【教学准备】学案【教学过程】环节一：引导回顾，构筑知识框架师：在《实数》这一章，我们认识了哪些关于数的新知识？学生回忆，师生共同构筑知识线：()⎩⎨⎧−−−−−→←立方根开立方算术平方根平方根开平方开方乘方互为逆运算________ ⎩⎨⎧无理数有理数实数 （设计意图：本节概念较多，先建立知识框架，后面以题带点覆盖知识点）环节二：强化基础，巩固拓展，完善知识框架题组（一）：基本概念过关先让学生独立思考完成，老师巡视发现问题，然后学生小组讨论交流，找出易错点，消化部分呈现问题，接着先请每个小组派代表展示错点，归纳总结易错点，师生一起归纳和完善知识体系。
1. 16的算术平方根是______________.2. 2)9(-的平方根是x , 64的立方根是y ，则y x +=________.3. 式子1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________.4. 下列计算中：①2)7(-=－7；②2)2(2=-；③196=±14；④39-=－3；⑤25425=--；⑥2581-=59-；⑦）21)21(33±=，⑧5)5(2±=，正确的是 .（填序号即可） 5. 已知一个正数的平方根分别是13+a 和11+a ，则a 的值是_______.6. 下列实数：4-，3，113，2π，•7.1，38-，0.3737737773…(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)，其中属于无理数的是_____________________________________________________.7. 数轴上的点与______一一对应。
人教A版必修第二册 第6章 6.2.3 向量的数乘运算 学案
6.2.3向量的数乘运算学习目标核心素养1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(重点)2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点)3.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．(难点)4.理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点) 1.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，再过渡到数乘运算及数乘运算律，养成数学抽象和数学运算的核心素养.2.通过判断向量共线的学习，培养逻辑推理和数据分析的核心素养.1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μ a)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .2．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 思考：定理中把“a ≠0”去掉可以吗？[提示] 定理中a ≠0不能漏掉．若a ＝b ＝0，则实数λ可以是任意实数；若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ，使得b ＝λa .1．若|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 方向相同，则下列关系式正确的是( ) A ．b ＝2a B ．b ＝－2a C ．a ＝2bD ．a ＝－2bA [因a ，b 方向相同，故b ＝2a .]2．点C 是线段AB 靠近点B 的三等分点，下列正确的是( ) A.AB →＝3BC → B.AC →＝2BC →C.AC →＝12BC →D.AC →＝2CB → D [由题意可知：AB →＝－3BC →；AC →＝－2BC →＝2CB →.故只有D 正确．] 3．化简：2(3a ＋4b )－8a ＝________. －2a ＋8b [原式＝6a ＋8b －8a ＝－2a ＋8b .]4．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.2 [由向量加法的平行四边形法则知AB →＋AD →＝AC →. 又∵O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →，∴AB →＋AD →＝2AO →， ∴λ＝2.]向量的线性运算【例1】 (2)化简下列各式： ①3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；②12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ；③2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .(1)4b －3a [由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0，所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a .](2)[解] ①原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . ②原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.③原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解—把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．1．(1)化简23⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )；(2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .[解] (1)原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋13＋74b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b .(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝a ①，－4x ＋3y ＝b ②，由①×3＋②×2得，x ＝3a ＋2b ，代入①得3×(3a ＋2b )－2y ＝a ，所以y ＝4a ＋3b .所以x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .向量共线定理[探究问题]1．如何证明向量a 与b 共线？[提示] 要证明向量a 与b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)即可，一般地，把a 和b 用相同的两个向量m ，n 表示出来，观察a 与b 具有倍数关系即可．2．如何证明A ，B ，C 三点在同一直线上？[提示] 要证三点A ，B ，C 共线，只需证明AB →与BC →或AB →与AC →共线即可． 【例2】 (1)已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x＋y 的值．[思路探究] (1)表示出AB →与AD →→证明AB →＝λAD →→ A ，B ，D 三点共线(2)A ，B ，P 三点线→AP →＝λAB →→用OA →，OB →表示OP →→观察x ＋y 的值 [解] (1)证明：∵CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2， ∴BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2. 又AB →＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)， ∴AB →＝2BD →，∴AB →∥BD →. ∵AB 与BD 有交点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)， 所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →， 故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1.1．本例(1)中把条件改为“AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2”，则A ，B ，C ，D 中哪三点共线？[解] ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD →＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．2．本例(1)中条件“AB →＝2e 1－8e 2”改为“AB →＝2e 1＋k e 2”且A ，B ，D 三点共线，如何求k 的值？[解] 因为A ，B ，D 三点共线，则AB →与BD →共线．设AB →＝λBD →(λ∈R )， ∵BD →＝CD →－CB →＝2e 1－e 2－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∴2e 1＋k e 2＝λe 1－4λe 2.由e 1与e 2不共线可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2e 1＝λe 1，k e 2＝－4λe 2，∴λ＝2，k ＝－8. 3．试利用本例(2)中的结论判断下列三点是否共线. ①OP →＝13OA →＋23OB →； ②OP →＝－2OA →＋3OB →； ③OP →＝45OA →－15OB →.[解] ①中∵13＋23＝1，∴P ，A ，B 三点共线；②中∵－2＋3＝1，∴P ，A ，B 三点共线； ③中∵45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝35≠1，∴P ，A ，B 三点不共线．1．证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定A ，B ，C 三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得AB →＝λAC →(或BC →＝λAB →等)即可．(2)利用结论：若A ，B ，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →且x ＋y ＝1.2．利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a ＝λb (b ≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得λ的值．用已知向量表示未知向量【例3】 (1)如图，▱ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，则DE →＝( )A.12a －b B.12a ＋b C ．a ＋12bD ．a －12b(2)如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a ，b 分别表示DE →，CE →，MN →.[思路探究] 先用向量加减法的几何意义设计好总体思路，然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示．(1)D [DE →＝DC →＋CE →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AD →＝AB →－12AD →＝a －12b .](2)由三角形中位线定理，知DE 綊12BC ，故DE →＝12BC →，即DE →＝12a . CE →＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN →＝MD →＋DB →＋BN →＝12ED →＋DB →＋12BC →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .1．本例(1)中，设AC 与BD 相交于点O ，F 是线段OD 的中点，AF 的延长线交DC 于点G ，试用a ，b 表示AG →.[解] 因为DG ∥AB ， 所以△DFG ∽△BF A ，又因为DF ＝12OD ＝12×12BD ＝14BD ， 所以DG AB ＝DF BF ＝13，所以AG →＝AD →＋DG →＝AD →＋13AB →＝13a ＋b .2．本例(1)中，若点F 为边AB 的中点，设a ＝DE →，b ＝DF →，用a ，b 表示DB →.[解] 由题意⎩⎨⎧a ＝AB →－12AD →，b＝12AB →－AD →，解得⎩⎨⎧AB →＝43a －23b ，AD →＝23a －43b ，所以DB →＝AB →－AD →＝23a ＋23b.用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法．(2)方程法．当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系．2.如图所示，四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a ，b ，c 表示BC →，MN →.[解] BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋c ；MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12c －b ＋12a ＝12a －b －12c .1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．2．λa 几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍，向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．判断两个向量是否共线，关键是能否找到一个实数λ，使b ＝λa .若λ存在，则共线；λ不存在，则不共线．4．共线向量定理的应用①证明向量共线：对于向量a 与b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线(平行)．②证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A 、B 、C 三点共线． ③求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．特别注意：①证明三点共线问题，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．②若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0. 5．注意记住以下结论并能运用(1)若A ，B ，P 三点共线，则OP →＝xOA →＋yOB →且x ＋y ＝1. (2)在△ABC 中，若D 为BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)． (3)在△ABC 中，若G 为△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.1．判断正误(1)若b ＝λa ，则a 与b 共线．( )(2)若λa ＝0，则a ＝0.( )(3)(－7)·6a ＝－42a .( )(4)若AB →＝λCD →(λ≠0)，则A ，B ，C ，D 四点共线．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．对于向量a ，b 有下列表示：①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的有( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④ A [对于①，b ＝－a ，有a ∥b ；对于②，b ＝－2a ，有a ∥b ；对于③，a ＝4b ，有a ∥b ；对于④，a 与b 不共线．]3．设a ，b 是两个不共线的向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________.－4 [因为向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，所以k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒⎩⎪⎨⎪⎧2＝λk ，k ＝8λ⇒k ＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k ＜0)．] 4．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.[解] OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.。
2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案+作业：第六章 6.1 数列的概念与简单表示法 Word
姓名，年级：时间：§6。
1 数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式)．2。
了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.以考查S n与a n的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档。
1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式如果数列｛a n}的第n项a n与序号n之间的关系能用公式a n ＝f （n）表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列｛a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n叫做数列的前n项和2。
数列的表示方法列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表示递推公式使用初始值a1和a n＋1＝f （a n）或a1,a2和a n＋1＝f (a n,a n－1)等表示数列的方法n n若数列｛a n}的前n项和为S n,则a n＝错误!4．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1>a n其中n∈N＊递减数列a n＋1〈a n常数列a n＋1＝a n概念方法微思考1．数列的项与项数是一个概念吗？提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的通项公式a n＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？提示数列的通项公式a n＝3n＋5是特殊的函数,其定义域为N＊，而函数y＝3x＋5的定义域是R，a n＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ×）（2)所有数列的第n项都能使用公式表达．（×）(3）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．（√）(4)1,1，1，1，…不能构成一个数列．（×)题组二教材改编2．在数列{a n｝中,已知a1＝1，a n＋1＝4a n＋1，则a3＝________。
【推荐】七年级数学下册第六章实数6.1平方根学案新版新人教版.doc
Word文档，精心制作，可任意编辑平方根学习目标1.了解平方根、开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区别和联系.3.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系.学习过程：复习提问是2的算术平方根1.下列说法中不正确的是（） A.2B.2的平方根是2C.2的算术平方根是22.0的算术平方根是 0.25的算术平方根是引入新课平方等于4的数有几个，它们是多少？3的平方等于9，平方等于9的数还有吗？是多少？自主学习合作探究一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.而把正的平方根叫算术平方根。
表达式为:若x2=a，那么x叫做a的平方根. 记作：正数a有两个平方根，它们互为相反数例如:(±4)2 =16,则+4和-4都是16的平方根;即16的平方根是±4; 4是16的算术平方根.小组比赛展示探究结果例3求下列各数的平方根:(1)64；(2)；(3) 0.0004；(4)；(5) 11教材想一想课堂小结平方根与算术平方根关系2.正数的平方根的互为相反数一分钟记忆：平方根的定义及性质反馈检测 ： 1．下列说法中不正确的是（ ） A.2-是2的平方根 B.2是2的平方根C.2的平方根是2D.2的算术平方根是22．41的平方根是（ ） A.161 B.81 C.21 D.21±3．下列各式中，正确的个数是（ ）① 3.09.0= ②34971±= ③23-的平方根是－3 ④()25-的算术平方根是－5⑤67±是36131的平方根A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题4. 如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为________．5.如果正数m 的平方根为1x +和3x -，则m 的值是 ．6．16的算术平方根是 的平方根是 .三、解答题 求下列各式的值。
⑴225 ⑵0004.0- ⑶4112± ⑷ ()21.0-- 布置作业习题2.4教学反思教师反思：加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．。
中考数学实数的有关概念学案
(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上____________。
(3)有理数乘法法则：
①两数相乘，同号_____，异号_____，并把_________。任何数同0相乘，
都得________。
②几个不等于0的数相乘，积的符号由____________决定。当______________，
C．有最大的负数 D．有绝对值最小的有理数
3．在 这七个数中，无理数有（）
A．1个；B．2个；C．3个；D．4个
4．下列命题中正确的是（）
A．有限小数是有理数B．数轴上的点与有理数一一对应
C．无限小数是无理数D．数轴上的点与实数一一对应
5．近似数0.030万精确到位，有个有效数字，用科学记数法表示为万二：【经典考题剖析】
积为负，当_____________，积为正。
③几个数相乘，有一个因数为0，积就为__________.
(4)有理数除法法则：
①除以一个数，等于_______________________.__________不能作除数。
②两数相除，同号_____，异号_____，并把_________。 0除以任何一个
4. 的平方根是______
5.计算
(1) 32÷(－3)2+|－ |×(－ 6)+ ；(2)
二：【经典考题剖析】
1.已知x、y是实数，
2.请在下列6个实数中,计算有理数的和与无理数的积的差:
3.比较大小:
4.探索规律:31=3，个位数字是3；32=9，个位数字是9；33=27，个位数字是7；34=81，个位数字是1；35=243，个位数字是3；36=729，个位数字是9；…那么37的个位数字是；320的个位数字是；
精品学案：6_1_2 算术平方根的估算
人教版七年级数学下册《第六章 实数》导学案课题：6.1.2 算术平方根的估算◆【学习目标】1．会比较两个数的算术平方根的大小．2．会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识．3．会用计算器求一个数的算术平方根．◆【学习重、难点】学习重点: 夹值法及估计一个(无理)数的大小．学习难点：掌握算术平方根的估算及比较两个带根号的数大小的方法.◆【学习过程】第一环节 自主学习旧知链接： (1)8表示的意义是 ；(2)16和0的算术平方根分别是 、 . (3)=36 ； =--)4( .新知自研：1.自研课本P41—P44页的内容. 2.完成导学案自研自探的内容.自学指导：导入新课：我们生活中的数有整数、有限小数、无限循环小数都是能够直接表示出来的数，有没有这样的数，它无限且不循环而又能准确的表达出来？【学法指导1】自研课本第41-42页探究上面的内容,思考：1. 自制两个面积为1dm 2的正方形，并按课本中的方法沿着对角线裁开，拼成一个面积为2dm 2的大正方形， 你能求出这个大正方形的边长吗?依据是什么?3. 由1.42=1.96，1.52=2.25从而得到：1.4＜2＜1.5是因为 ；那么我们比较一个带根号的数和一个有限数的大小就是比较 如：；4.归纳估计一个有理数的算术平方根的近似值的方法.5.无限不循环小数指 .6.是否所有的带根号的数都是无限不循环小数？请举例说明..【自研自探】1.例2用计算器求算术平方根有条件的课后求.2.猜想：≈1.414 ， ≈1.732 ； ≈2.236.3.4＝ ，400＝ ，40000＝ ，4000000＝ ，04.0＝ ，0004.0＝ .由上面的结果可以发现被开方数与它的算术平方根的规律是：被开方数的小数点向右每移动 位,它的算术平方根的小数点就向右移动 位；被开方数的小数点向左每移动 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 位. 由上面的规律填空：5≈2.236则05.0≈ ； 500≈ .4.由b a 可以得到 .5. 25表示 ；25≈ .（保留两位小数）【例题导析】自研课本43页例3，思考：1.如果能够裁出小长方形，长和宽必须满足什么条件： .2.长宽比为3：2如何设未知数？ .3.本题的等量关系为： .4.50的整数部分为 ,为什么？因为 ；那么长方形纸片长503整数部分大于 ,所以5.你还其它的方法比较503和20的大小方法吗？第二环节 合作探究·启迪智慧对子学习相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.小组群学在小组长的带领下：A.近似值的推理过程、无理数、带根号的数的大小比较方法；B. 3、5近似值及被开方数扩大（缩小）100的情况；C.能否裁剪及比较长宽与纸片边长的大小及带根号数的比较方法；D.在组长的主持下，根据本组的展示内容学科组长做好分工，完成版面设计，做好展示前的预演. 第三环节展示提升·质疑评价方案预设1：主题：2有多大？①制作2个面积1平方分米拼一个面积为2的正方形，表示出对角线的长和边长；①推算2近似值的过程；（解读一个步骤，其它类比）①无理数概念、比较大小的方法.方案预设2：主题：自研自探①、3、5的近似值；①通过实例总结被开方数扩大（缩小）的关系；表示的意义及近似值.方案预设3：主题：例题3导析①经历“猜想”→“操作”→“探究”→“总结”的过程展示例3；①分析例3的解题思路，再现例3的解题过程于展示板，分析结果的实际意义.第四环节自主测评·追求卓越1.学生总结交流本节课的学习收获，进行课堂小结.2.安排学生爬板下面习题，其他同学独立完成.【自主测评】1、与51最接近的整数是()A．8B．7C．6D．52、已知2≈1.414，20≈4.472，求2.0≈；200≈；02.0≈；2000≈；3、若两个连续整数x，y满足x＜23＜y，则x＋y的值是（）A．5B．7C．9D．114、（拓展题）通过估算比较下列各组数的大小：（1）5与1.9；(2)6＋12与1.5 .【随堂笔记】1、≈，≈，≈；2、用计算器求一个正有理数的算术平方根的方法：大多数计算器都有键，用它可以求出任意一个正有理数的算术平方根(或其近似值)．先按ON键开机，再按键、、＝，即可显示“算术平方根”．3、被开方数的小数点向右每移动位,它的算术平方根的小数点就向右移动位；被开方数的小数点向左每移动位,它的算术平方根的小数点就向左移动位.。
名师学案七年级下册数学电子版2021
名师学案七年级下册数学电子版20215.1 相交线5.1.1 相交线5.1.2 垂线5.1.2 垂线-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】5.1.3 同位角、内错角、同旁内角5.1.3 同位角、内错角、同旁内角-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线5.2.1 平行线-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版5.2.2 平行线的判定5.2.2 平行线的判定-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质5.3.1 平行线的性质-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版5.3.2 命题、定理、证明5.3.2 命题、定理、证明-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版5.4 平移5.4 平移-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版本章复习与测试进阶测评(一) [5. 1～5.2]-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版进阶测评(二) [5. 3～5.4]-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第六章实数6.1 平方根6.1.1 算术平方根-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版6.1.2 平方根-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版进阶测评(三) [6. 1～6.2]-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版6.2 立方根6.2 立方根-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版6.3 实数6.3.1 实数的概念-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版6.3.2 实数的运算-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版本章复习与测试第6章学业水平测评卷-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期末复习（2）实数-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版备考集训(二) 实数-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第6章变式专题算术平方根与面积问题-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第6章易错(混)专題开方运算及无理数判断中的易错题-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第6章核心素养整合与提升-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第七章平面直角坐标系7.1 平面直角坐标系7.1.1 有序数对7.1.1 有序数对-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版7.1.2 平面直角坐标系7.1.2 平面直角坐标系-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版7.2 坐标方法的简单应用7.2.1 用坐标表示地理位置7.2.1 用坐标表示地理位置-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版7.2.2 用坐标表示平移7.2.2 用坐标表示平移-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版本章复习与测试第7章学业水平测评卷-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期末复习（3）平面直角坐标系-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版备考集训(三) 平面直角坐标系-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第7章方法专题平面直角坐标系中与几何圜形的面积有关的计算-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第7章拓展专题平面直角坐标系中点的坐标规律探究-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第7章核心素养整合与提升-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期末专题复习（4）与平面直角坐标系有关的问题-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第八章二元一次方程组8.1 二元一次方程组8.1 二元一次方程组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版进阶测评(四) [8. 1～8.3]-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版8.2 消元——解二元一次方程组8.2.1 用代入消元法解二元一次方程组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版8.2.2 用加减消元法解二元一次方程组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版8.3 实际问题与二元一次方程组8.3.1 实际问题与二元一次方程组（一）-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版8.3.2 实际问题与二元一次方程组（二）-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版*8.4 三元一次方程组的解法8.4 三元一次方程组的解法-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版本章复习与测试期末复习（4）二元一次方程组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第8章学业水平测评卷-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版【免费】第8章变式专题行程问题-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第8章方法专题解含参数的二元一次方程组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第8章基础专题二元一次方程组的解法-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第8章突破专题二元一次方程组的运用-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第8章核心素养整合与提升-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版备考集训(四) 二元一次方程组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第九章不等式与不等式组9.1 不等式9.1.1 不等式及其解集9.1.1 不等式及其解集-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版9.1.2 等式的性质9.1.2 不等式的性质-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版9.2 一元一次不等式9.2.1 一元一次不等式的解法-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版9.2.2 一元一次不等式的应用-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版9.3 一元一次不等式组9.3 一元一次不等式组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版本章复习与测试第9章方法专题不等式(组)与参数-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期末复习（5）不等式与不等式组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第9章学业水平测评卷-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第9章核心素养整合与提升-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第9章基础专题一元一次不等式(组)的解法-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版备考集训(五) 不等式与不等式组-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第十章数据的收集、整理与描述10.1 统计调查10.1.1 全面调查-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版10.1.2 抽样调查-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版10.2 直方图10.2 直方图-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版103 课题学习从数据谈节水10.3 课题学习从数据谈节水-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版本章复习与测试备考集训(六) 数据的收集、整理与描述-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第10章基础专题从图表中获取信息-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期末复习（6）数据的收集、整理与描述-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第10章核心素养整合与提升-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版第10章学业水平测评卷-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版综合复习与测试七年级第一次月考试题-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版七年级第二次月考试题-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期末专题复习（1）平行线的性质与判定的应用-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期中学业水平测评卷-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期末专题复习（2）拐点问题-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版期末专题复习（3）方程组与不等式(组)的应用-2020-2021学年七年级下册初一数学【名师学案】人教版。
(最新)数学七年级下册《第6章第3节 实数》省优质课一等奖教案
6.3 实数（第二课时）一、教学内容解析1.内容实数相反数、绝对值、加、减、乘、除、乘方与开方运算2.内容解析本节在实数第一课时的基础上，通过了解有理数相反数、绝对值、加、减、乘、除、乘方与开方运算对实数同样适用，这时之后代数运算的基础.学生在七年级上学期学习了有理数，学生学习中可以对运算中的无理数通过替换，回归到有理数运算辅助理解实数的运算，学生对实数的认识是逐步加深的.基于以上分析本节课的教学重点是：掌握实数求相反数、绝对值、加、减、乘、除、乘方与开方运算.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握求实数相反数、绝对值运算；（2）掌握实数加、减、乘、除、乘方与开方运算.2.目标达成目标（1）的标志：给学生一些实数（包括代数式形式）可以求其相反数、绝对值运算；达成目标（2）的标志：给学生一些实数（包括代数式形式）算式可以求其加、减、乘、除、乘方与开方的混合运算；三、教学诊断分析学生表面上可以理解有理数的运算推广到实数，但遇到无理数参加运算时，总会出现“自创”运算的情况，与学生对无理数比较陌生，和不重视无理数的定义有关.基于以上分析，本节的教学难点是：对无理数的认识.四、教学过程设计1.复习引入有理数和无理数统称实数实数与数轴上的点一一对应预案：学生复习第一课时内容；师生活动：教师指示，学生完成学案复习.设计意图：让学生复习第一课时内容基础上进行本届内容学习.2.介绍新知，巩固练习有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.思考的相反数是_______，π-的相反数是________，0的相反数（1是_________.（2=_______，π-=_______，0=_______.数a的相反数是a-，这里a表示任意一个实数.一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即设a 表示一个实数，则,0;0,0;,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩当时当时当时.例1（1）分别写出 3.14π-的相反数；（2）指出-分别是什么数的相反数；（3（4.解：（1）因为(()3.14 3.14,ππ-=--=-所以， 3.14π-的相反π-.（2）因为)11-=-=所以-1的相反数.（34,==-4 4.=-=（4==或预案：教师介绍实数相反数、绝对值运算，学生学习运算定义，巩固练习.师生活动：教师介绍实数相反数与绝对值的运算，学生练习，教师尤其注意学生在描述无理数，及使用实数相反数与绝对值运算定义时，是否出现臆测的情形，纠正使之了解规范.设计意图：是学生了解并巩固求实数相反数与绝对值的运算.3.继续学习，巩固练习实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算， 而且正数及0可以进行开平方运算，任何一个实数可以进行开立方运算.在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.例2 计算下列各式的值：（1）（2）解()10===()(232=+=在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.例3 计算（结果保留小数点后两位）(1π(2解：((1 2.236 3.142 5.38;2 1.732 1.414 2.45.π+≈+≈≈⨯≈预案：教师介绍实数加、减、乘、除、乘方、开方运算，学生学习运算定义，巩固练习.师生活动：教师介绍实数加、减、乘、除、乘方、开方运算，学生练习，教师尤其注意学生在描述无理数，及使用加、减、乘、除、乘方、开方运算法则时，是否出现臆测的情形，纠正使之了解规范. 设计意图：使学生了解并巩固加、减、乘、除、乘方、开方运算，介绍近似计算的方法.4.巩固强化练习1.求下列各数的相反数与绝对值：2.5,2,02π-2.求下列各式中的实数x ：()21;3x = ()20;x = ()3x ()4.x π=3.计算()1 (2+预案：巩固练习实数相反数、绝对值运算，加、减、乘、除、乘方与开方运算.师生活动：学生练习巩固练习实数相反数、绝对值运算，加、减、乘、除、乘方与开方运算，教师尤其注意学生在描述无理数，及使用加、减、乘、除、乘方、开方运算法则时，是否出现臆测的情形，纠正使之了解规范.设计意图：学生了解并巩固练习实数相反数、绝对值运算，加、减、乘、除、乘方与开方运算.5.课堂测试测试1. 实数2的相反数是__________，绝对值是_________.2.计算(1(2()3+设计意图：课堂测试，检验学习漏洞，讲解提升.班级：40名同学，满分25人，部分正确13人，全部错误2人，错误集中在抄写错误，绝对值的运算两个部分，已经面向全体进行了反馈和讲解.6.小结、作业.有理数关于相反数、绝对值、加、减、乘、除、乘方、开方运算的规则对实数同样适用设计意图：小结内容，布置作业.7.反思为下次可准别的复习：计算()(12计算下列各式的值：()12;(2;设计意图：承上启下，衔接下一节的内容.五、时间安排本节时间安排如图所示.。
2022数学第六章数列6.2等差数列及其前n项和学案文含解析新人教A版
6.2 等差数列及其前n 项和必备知识预案自诊知识梳理1.等差数列（1)定义:一般地，如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d 表示.数学语言表示为a n+1—a n =d (n ∈N ＊），d 为常数。
（2）等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是 ，其中A 叫做a ，b 的 。
(3)等差数列{a n ｝的通项公式：a n = ，可推广为a n =a m +（n —m ）d.(4)等差数列的前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d.2。
等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 (1)a n =a 1+（n —1)d 可化为a n =dn+a 1-d 的形式。
当d ≠0时,a n是关于n 的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列.（2）数列｛a n ｝是等差数列，且公差不为0⇔S n =An 2+Bn (A ，B 为常数)。
1.已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n项和.（1）在等差数列｛a n}中，当m+n=p+q时,a m+a n=a p+a q(m,n,p，q∈N*).特别地，若m+n=2p，则2a p=a m+a n(m,n,p∈N＊）.（2）a k,a k+m，a k+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m ∈N＊).（3)S n,S2n-S n,S3n—S2n，…也成等差数列，公差为n2d。
（4)若{a n},{b n｝是等差数列,则｛pa n+qb n}也是等差数列.(5）若项数为偶数2n，则S2n=n(a1+a2n）=n（a n+a n+1)；S偶-S奇=nd；S奇S偶=a na n+1。
（6)若项数为奇数2n—1,则S2n—1=（2n—1）a n；S奇—S偶=a n;S奇S偶=nn-1。
新教材人教A版数学必修第二册学案：第6章6.1 平面向量的概念Word版含解析
6.1平面向量的概念学习任务核心素养1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)1．从物理背景、几何背景入手，从矢量概念引入向量的概念，提升数学抽象的核心素养．2．类比实数在数轴上的表示，给出向量的几何意义，培养数学抽象和直观想象的核心素养．3．通过相等向量和平行向量的学习，提升逻辑推理的核心素养．高尔夫球是一项非常有趣的运动，这项运动需要全身器官的整体协调，而击球的关键在于两个“D”，即方向(Directio n)和距离(Distance)，初学者中有不少人只想把球打远，而忽视方向的重要性，其实，把球打直要比打远更重要！所以擅长打高尔夫的人都会谨记这样一个原则：“方向比距离更重要”．方向走对了，哪怕走得慢却能一步一步靠近成功；可倘若走错了方向，不仅白忙活一场，更可能离成功越来越远．问题：你能从数学的角度来解释高尔夫球运动中“方向比距离更重要”的原因吗？(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．1．海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，那么海拔是向量吗？温度也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？[提示]海拔不是向量，它只有大小没有方向．温度也是只有大小没有方向，不是向量．海拔的正负、温度的零上或零下都只是相对规定的标准来说的，不是指方向．1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中是向量的有________．(填序号)②③④⑤[质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量．速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，所以是向量．]知识点2 向量的几何表示 (1)具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量可以用有向线段AB →来表示．向量AB →的大小称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|．向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：AB →，CD →．2．(1)向量可以比较大小吗？(2)有向线段就是向量吗？[提示] (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．2．如图，B 、C 是线段AD 的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出________个向量．12[由向量的几何表示，知可以写出12个向量，它们分别是AB →，AC →，AD →，BC →，BD →，CD →，BA →，CA →，DA →，CB →，DB →，DC →．]知识点3 向量的有关概念 零向量长度为0的向量，记做0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量．向量a ，b 平行，记作a ∥b ．规定：零向量与任意向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量．a与向量b相等，记作a＝b3．“向量平行”与“几何中的直线平行”一样吗？[提示]向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行包括所在直线重合的情况，故也称向量共线．3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)长度为0的向量都是零向量．()(2)零向量的方向都是相同的．()(3)单位向量的长度都相等．()(4)单位向量都是同方向．()(5)任意向量与零向量都共线．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×(5)√4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________．(填序号)(1)AD→与BC→；(2)OB→与OD→；(3)AC→与BD→；(4)AO→与OC→．(1)(4)[由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：AD→＝BC→，OB→≠OD→，AC→≠BD→，AO→＝OC→．]类型1向量的有关概念【例1】判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．[解](1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件，可得a ＝b ．(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不定．1．理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向．2．共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．[跟进训练]1．给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若单位向量的起点相同，则终点相同；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是________．③[①错误．若b ＝0，则①不成立；②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的； ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上．]类型2 向量的表示及应用【例2】 (对接教材P 5－T 1)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°；(2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东；(3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°．[解](1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．用有向线段表示向量的基本思路是什么？[提示]用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定有向线段的终点．必要时，需依据三角形的相关知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量．[跟进训练]2．飞机从A 地按北偏西15°的方向飞行1 400 km 到达B 地，再从B 地按南偏东75°的方向飞行1 400 km 到达C 地，那么C 地在A 地的什么方向上？C 地距A 地多远？[解] 如图所示，AB →表示飞机从A 地按北偏西15°方向飞行到B 地的位移，则|AB →|＝1 400 km ．BC →表示飞机从B 地按南偏东75°方向飞行到C 地的位移，则|BC →|＝1 400 km ．所以AC →为飞机从A 地到C 地的位移．在△ABC 中，AB ＝BC ＝1 400 km ，且∠ABC ＝75°－15°＝60°，故△ABC 为等边三角形，所以∠BAC ＝60°，AC ＝1 400 km ．60°－15°＝45°， 所以C 地在A 地北偏东45°方向上，距离A 地1 400 km ．类型3 相等向量和共线向量【例3】 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ．(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？[提示] 不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．2．若AB →∥CD →，则从直线AB 与直线CD 的关系和AB →与CD →的方向关系两个方面考虑有哪些情况？[提示] 分四种情况→与CD→同向；(1)直线AB和直线CD重合，AB→与CD→反向；(2)直线AB和直线CD重合，AB→与CD→同向；(3)直线AB∥直线CD，AB→与CD→反向．(4)直线AB∥直线CD，AB→，BC→，AO→，FE→．[解](1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→．(2)与a共线的向量有EF→，DO→，CB→；与b相等的向量有DC→，EO→，F A→；与c(3)与a相等的向量有EF相等的向量有FO→，ED→，AB→．(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线．(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．[跟进训练]3．如图所示，△ABC 的三边长均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →长度相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．[解] (1)∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF ∥BC ，∴与EF →共线的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →．(2)∵E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点，∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC ，∴EF ＝BD ＝DC ．∵AB ，BC ，AC 均不相等，∴与EF →长度相等的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →．(3)与EF →相等的向量为DB →，CD →．1．正n 边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则这n 个向量( )A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等D [因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．]2．汽车以120 km/h 的速度向西走了2 h ，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h ，则下列命题中正确的是( )A ．汽车的速度大于摩托车的速度B ．汽车的位移大于摩托车的位移C ．汽车走的路程大于摩托车走的路程D ．以上都不对C [速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．]3．(多选题)下列条件，能使a ∥b 成立的有( )A ．a ＝bB ．|a|＝|b|C ．a 与b 方向相反D ．|a|＝0或|b|＝0ACD [若a ＝b ，则a 与b 大小相等且方向相同，所以a ∥b ；若|a|＝|b|，则a 与b 的大小相等，方向不确定，因此不一定有a ∥b ；方向相同或相反的向量都是平行向量，若a 与b 方向相反，则有a ∥b ；零向量与任意向量都平行，所以若|a|＝0或|b |＝0，则a ∥b ．]4．如图，在圆O 中，向量OB →，OC →，AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量C [由题图可知，三向量方向不同，但长度相等，即这三个向量的模相等．]5．如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为始点与终点的向量中，(1)与DA →平行的向量有________；(2)与DA →模相等的向量有________．[答案] (1)AD →，BC →，CB → (2)AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)向量的概念是什么？如何用有向线段表示一个向量？(2)如何区别零向量、单位向量、平行向量与相等向量的概念？。
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第六章实数6.1 平方根（第1课时）学习目标1. 了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性. 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根．自主预习1. 81的算术平方根是_______ ，的值是_______ ，的算术平方根是_______.2.0.64-的算术平方根是_______的算术平方根是______0.01的算术平方根是________10的算术平方根是_____ .3. 算术平方根等于它本身的是______ .合作探究探究一算术平方根的定义填表:正方形归纳：1.如果一个正数x的平方等于a,即x²＝a, 那么正数x叫做a的，记为，a叫做，0的算术平方根是 .2.在等式2x=a (x≥0)中，规定x =a. a≥0即a为非负数.探究二算术平方根的非负性1.a呢？_________.3.（2012广东省中考）若x，y为实数，且满足x3-，则2012xy⎛⎫⎪⎝⎭的值是．归纳：1.算术平方根有意义的条件？2.几个非负数的和为0的条件？探究三估计无理数的大小1.（2012·浙江义乌中考）一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在( )A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间2.介于整数38和之间，它的整数部分是________,小数部分是 .归纳：1.被开方数越大，对应的算术平方根也___________.这个结论对所有__________都成立.2.估计一个无理数大小的方法：重点题型题型一比较大小1.比较下列各组数的大小（填上＞、＜或= ) (1；(2；；（412.81 819题型二 估计无理数的整数范围2.（2012·广西钦州中考）的值（ ） A ．2和3之间 B ．3和4之间 C ．4和5之间 D ．5和6之间随堂训练(1)49； (2) 1625；(3) 169； (4)1600；(5) 0.3. 16的算术平方根是等于 的算术平方根等______．4. a 的算术平方根是4，b 是25的算术平方根，则a+b=______.5. (－4)2的算术平方根是______.6. 164+的算术平方根是 .8.,则x 一定是 ( ) A.正数 B. 负数C. 非负数D. 非正数9.下列各数中，不一定有算术平方根的是（ ） A.x 21 D.|a|-1 10.已知：｜2(5)0y z +=,求x-3y+4z 的值.拓展提升1.（1）填空：___,==____,=____.==（2）观察被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样呢？（3）应用：若＝，则300732.13= ，＝30000 ，＝0003.0，若1732=a ，则a= . 2.计算：222___.===___.（3）根据上面计算，你能猜测2和各为多少吗？（4） 3,=则a=______.中考链接 1.（2012·四川绵阳中考）4的算术平方根是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D 2.(2012·山东德州中考 ______12．（填“>”、 “<”或“=”）3.（2012·广州中考）已知，10a -+=，则a+b=（ ）A. －8B. －6C. 6D.8 4. （2012·湖南常德中考）规定用符号[m]表示一个实数m 的整数部分，例如： [32]=0，[3.14]=3.按此规定 [110+]的值为第六章 实数6.1 平方根（第2课时）学习目标1．了解平方根，会用根号表示.2．了解平方与开平方互为逆运算,会用平方的运算求某些数的平方根.自主预习1.求下列各数的平方根： （1）0.25 （2）916（3）196 （42.下列各数：0、-2(2)、-22、-（-5）中，没有有平方根的是_______3.一个数的平方根是-3和3，则这个数是_______.4. 求下列各式中的x. （1）-=29x 250;（2）-=24(2x 1)36.合作探究探究一 平方根的定义1. 已知一个数的平方等于9,那么这个数是多少?2. 什么数的平方等于 ？3.填表 归纳：(1)什么是平方根（或二次方根）？(2)怎样表示 ？(3)被开方数指的是什么？(4)什么是开平方？平方与开平方是什么关系？4.求下列各数的平方根. （1）100 （2）916（3）0.25探究二 平方根的性质 思考1．4的平方根是什么？ 2．0 的平方根是多少？3．-4有没有平方根？为什么？ 从以上你发现平方根有什么特点？ 归纳：(1)平方根性质：正数有 个平方根，它们 .0的平方根是 ，负数 (2)被开方数取值范围是什么？ 4.求下列各式的值.（1（2）（3重点题型题型一 求一个数的平方根 1.求下列各式的平方根.（1）49 （2）425 （3）6110（4）0.0016题型二 用平方根解方程2.求下列各式中x 的的值：(1) 2x =25; (2) 2x -81=0; (3)2(1)x -=36.随堂训练1. 0.04的平方根是________; 2(4)-的平方根是14_________;_________.2.下列说法中不正确的是（ ）A.6是36的平方根B.-6是36的平方根C.36的平方根±6D.36的平方根是6 3.下列说法中正确的有（ ）①一个数的算数平方根一定是正数；②一个正数有两个平方根，它们互为相反数；③15的平方根记为7的平方根.A ．1个B . 2个 C.3个 D.4个 4. 下列说法中不正确的是（ ）2的平方根 B.2的平方根C.25.下列计算正确的是（ ）=±5 B.=3=±3 D.=±46.一个自然数的算术平方根是n ，则比它大下一个自然数的平方根是（ ） A. +n 1 B. +2n 11 D.7.求下列各式的值.（1）2(1)x +=49; （2）252x -64=0（x ＜0）.8.若某个正数的两个平方根为2m-3和4m-5，求这个正数的值.拓展提升若31a -和3a -是一个数的平方根，则这个数是多少？中考链接1.（2012·江苏镇江中考）若2x =9，则x= . 2.（2012·湖北恩施中考）2的平方根是________.3.（2012·江苏盐城中考）4的平方根是( )A ．2B ．16C ．2±D ．16±数学广角失之毫厘，谬以千里1967年8月23日，苏联的联盟一号宇宙飞船在返回大气层时，突然发生了恶性事故——减速降落伞无法打开。
苏联中央领导研究后决定：向全国实况转播这次事故。
当电视台的播音员用沉重的语调宣布，宇宙飞船在两小时后将坠毁，观众将目睹宇航员弗拉迪米·科马洛夫殉难的消息后，举国上下顿时被震撼了，人们都沉浸在巨大的悲痛之中。
在电视上，观众们看到了宇航员科马洛夫镇定自若的形象。
他面带微笑地对母亲说：“妈妈，您的图像我在这里看得清清楚楚，包括您头上的每根白发，您能看清我吗?” “能，能看清楚。
儿啊，妈妈一切都很好，你放心吧!” 这时，科马洛夫的女儿也出现在电视屏幕上，她只有12岁。
科马洛夫说：“女儿，你不要哭。
”“我不哭……”女儿已泣不成声，但她强忍悲痛说：“爸爸，你是苏联英雄，我想告诉你，英雄的女儿会像英雄那样生活的!”科马洛夫叮嘱女儿说：“你学习时，要认真对待每一个小数点。
联盟一号今天发生的一切，就是因为地面检查时忽略了一个小数点……”时间一分一秒地过去了，距离宇宙飞船坠毁的时间只有7分钟了。
科马洛夫向全国的电视观众挥挥手说：“同胞们，请允许我在这茫茫的太空中与你们告别。
”即使是一个小数点的错误，也会导致永远无法弥补的悲壮告别。
古罗马的恺撒大帝有句名言：“在战争中，重大事件常常就是小事所造成的后果。
”换成我们中国的警句大概就是“失之毫厘，谬以千里”吧。
第六章实数6.2 立方根学习目标1.了解立方根的概念，会用符号表示数的立方根.2.会求一个数的立方根.3.通过类比、讨论、总结出立方根与平方根之间的异同.自主预习1.(1)23=8,所以______是________的立方根.(2) (－5)3=－125,所以_____是____的立方根.(3) ( )3=－27,所以－27的立方根是_____.(4) ( )3=4,所以4的立方根是______.2.（2012=．3．正方体的体积是27cm3，则它的棱长是_______cm．_____，64的平方根的立方根是_____.合作探究探究一立方根的概念1.问题: 要做一个体积为8 3cm的正方体模型，它的棱长要取多少？你是怎么知道的？2.填写下表：归纳：一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a 的__________，也叫做a的____________．3.数a的立方根如何表示？怎样读？被开方数是什么？什么是根指数？什么是开立方？探究二立方根的性质1.求下列各数的立方根(1) 27; (2)-27; （3）127; (4)-0.064;(5) 0.2.思考：通过上面的计算回答下列问题：正数有立方根吗？如果有，有几个? 负数呢？零呢？归纳：（1）正数的立方根是________;(2) 负数的立方根是________; (3) 0的立方根是_______.3.计算：因为所以因为=__________,=__________,所以________归纳：重点题型题型 一 求立方根1.求下列各式的值（1（2（3）-3278（4）-3001.0-题型 二 解方程2.如果5x+19的立方根是4，求2x+7的平方根.3..求满足下列各式得x 的值：（1）8x 3+27=0; （2）(1+x)3=64.随堂训练1.判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)25的平方根是5 ( ) (2)-64没有立方根( )(3) 0的平方根和立方根都是0 ( )(4) -4的平方根是±2( )2. 使3x -2有意义的字母x 的取值范围是（ ）A.x ≥2B. x ≤3C. x ≠2D. 一切实数 3.下列说法不正确的是( )A.－1的立方根是－1B.－1的平方是1C.－1的平方根是－1D.1的平方根是±1 4.下列说法中正确的有( )①±2都是8的立方根 ; ②x x =33; ③81的立方根是3 ; ④38--=2.A.1个B.2个C.3个D.4个 5.填空：（1）若3n =81,则n= ; （2）一个数的立方根为4，则它的平方根是 ; （3）—81的立方根是 ，28的立方根是的立方根是 _____ ;（4）如果一个有理数的平方根与立方根相同，那么这个数是 .6.一个体积为64cm 3的正方体放在桌子上，则它盖住的桌子面面积为多少？7.求下列各式的值（1）3125-; 31000)2( ; （3） 31- ;（4） 3001.0-+01.0; （5）3641.8.求下列各式中的x(1)(2x-1)3+216=0 (2)41(2x+3)3=16拓展提升已知m+n 一5的算术平方根是3，m-n+4的立方根是-2，试求的值．中考链接1.（20122.（2012江苏常州中考）计算：=3.（2012湖南怀化中考）64 的立方根是( ) A.4 B.4± C.8 D.8±第六章 实数6.3实数学习目标1．理解无理数的概念，掌握实数分类.2．会用数轴表示实数，会求实数的绝对值、相反数．自主预习1. 在-11124π,..0.23,3.1，3中，是无理数的有： ；是有理数的有： . 2. （2012云南中考）写出一个大于2且小于4的无理教_________.3.是 的相反数,绝对值是 ， π-3.14的相反数是 .课堂探究探究一 无理数的概念1.我们知道有理数包括 和 ，请把下列分数写成小数的形式，你有什么发现？ 3，53-，847，119，911，950.2.如果把整数看成小数点后是0的小数（例如8看成8.0），那么任何一个有理数都可以写成 小数或 小数的形式.反之，任何 的 小数或 小数也都是有理数.3.什么是无理数？试举几例. 无理数如何分类？归纳： 有理数： 无理数：探究二 实数的概念及分类1. 数和 数统称实数.2.实数的分类（两种）：3.判断：(1) 实数不是有理数就是无理数; （ ） (2) 无理数都是无限不循环小数; （ ） (3) 无理数都是无限小数; （ ） (4) 带根号的数都是无理数; （ ） (5) 无理数一定都带根号. （ ） 探究三 实数与数轴上的点之间的关系1.我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？你能在数轴上表示2和2-吗？2. 有理数或无理数与数轴上的点是一一对应的吗？实数呢？探究四 实数的运算及性质1.当数从有理数扩充到实数以后,有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.数a 的相反数是 ，一个正实数的绝对值是 ，一个负实数的绝对值是 ，0的绝对值是 . 2.2的相反数是 ，π-的相反数是 ；2= ，π-= ，0= .重点题型题型一 实数的分类 1.在722，3，38-，0.101，3π，39，64， 320，..121.2，1691，⋅⋅⋅3737737773.0中，有理数有： ， 无理数有： .题型二 实数的运算2.___.___；π-3.14的相反数是 .π|=________. 5.比较大小16;3. .课堂训练1.下列命题中正确的是( )A.有限小数不是有理数B.无限小数是无理数C.数轴上的点与有理数一一对应D.数轴上的点与实数一一对应2.下列四个实数中是无理数的是( )A.2.5B.103C.πD.1.414 3.有下列说法:①带根号的数是无理数;•②不带根号的数一定是有理③负数没有立方根;④是17的平方根,正确的有( )A. 0个B. 1个C.2个D.3个 4.-53、-2π四个数中,最大的数是( ) A.-532π5.在实数范围内,下列各式一定不成立的有( )(1)=0;(2)+a=0;12a -=0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.( 2012·浙江宁波中考) 已知实数x,y 满足x-2 +（y+1）2=0,则x-y 等于（ ）A.3B. -3C. 1D. -17.（2012·湖南湘潭中考）文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1结果为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 8.如图所示，数轴上表示2C 、B ，点C 是AB 的中点，则A 表示数是（）A.242拓展提升值.中考链接1.（2012贵州毕节中考）下列四个数中，无理数是（ ）B.13C. 0D. π2．(2012四川广安中考)实数m 、n 在数轴上的位置如图所示，则| n - m | =__________．3. （2012湖南常德中考）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是【 】A.a b 0+>B.ab 0>C.a b 0+<D.a b 0->4. （2012湖南常德中考）规定用符号[m]表示一个实数m 的整数部分，例如： [32]=0，[3.14]=3。