用动态园轨迹法处理带电粒子在有界磁场中的运动问题

0 P P r 2 r cos 30 43.7cm 1 2
P1
s
N
P2
b
针对训练．如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁 场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多 质量为m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面 内的各个方向,由小孔O射入磁场区域,不计重力,不计粒 子间的相互影响.下列图中阴影部分表示带电粒子可能经 过的区域,其中R=mv/qB.哪个图是正确的 A?
解析：由牛顿第二定律可求得粒子在磁场中运动的半径． v2 mv0 0 － qv0B＝m ，R ＝ ＝5.0×10 2 m. R qB 由于 R>r ， 要使粒子在磁场中运动的时间最 长， 则粒子在磁场中运动的圆弧所对应的弧长最 长，从图中可以看出，粒子以直径 ab 为弦、R 为半径所做的圆周运动，所用时间最长， 2πm 又 T＝ ， qB 2α 2α· m 运动时间 tm ＝ ×T ＝ ， 2π qB r 3 37π 又 sin α ＝ ＝ ，α ＝37° ＝ ， R 5 180 － 代入数据得 tm ≈6.5×10 8 s.
用动态园轨迹法处理 带电粒子在有界磁场中的运动问题
◆带电粒子在半无界磁场中的运动
例1．如图,真空室内存在匀强磁 场,磁场方向垂直于纸面向里,磁 感应强度的大小B=0.60T,磁场 内有一块平面感光板ab,板面与 磁场方向平行,在距ab的距离 L=16cm处,有一个点状的放射 源S,它向各个方向发射α粒子,α 粒子的速度都是v=4.8x106 m/s, 已知α粒子的电荷与质量之比 q/m=5.0x107C/kg现只考虑在图 纸平面中运动的α粒子,求ab上 被α粒子打中的区域的长度.
2RMBiblioteka 2RORN
◆带电粒子在圆形磁场区域中的运动
3．如图所示，在真空中半径r＝3.0×10－2 m的 圆形区域内，有磁感应强度B＝0.2 T、方向如 图所示的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速 度v0＝1.0×106 m/s，从磁场边界上直径 ab的 一端 a 沿着各个方向射入磁场，且初速度方向 与磁场方向都垂直，该批粒子的比荷为 q/m ＝ 1.0×108 C/kg，不计粒子重力．求： 粒子在磁场中运动的最长时间．
2R
M
2R
O
R
N
◆带电粒子在圆形磁场区域中的运动
3．如图所示，在真空中半径r＝3.0×10－2 m的 圆形区域内，有磁感应强度B＝0.2 T、方向如 图所示的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速 度v0＝1.0×106 m/s，从磁场边界上直径 ab的 一端 a 沿着各个方向射入磁场，且初速度方向 与磁场方向都垂直，该批粒子的比荷为 q/m ＝ 1.0×108 C/kg，不计粒子重力．求： 粒子在磁场中运动的最长时间．
2、带电粒子（不计重力）在匀强磁场中的运动
①圆心的确定 基本思路：圆心一定在与速度方向垂直 的直线上，通常有两种方法： a、两个速度方向垂直线的交点。 O （常用在有界磁场的入射与出射方向 已知的情况下）
V
b、一个速度方向的垂直线和一条弦的 中垂线的交点
O
2)半径的确定
主要由三角形几何关系求出（一般是三角形的边边关系、 边角关系、全等、相似等）。例如：已知出射速度与水平方向 夹角θ ，磁场宽度为d，则有关系式r=d/sinθ ，如图所示。再 例如：已知出射速度与水平方向夹角θ 和圆形磁场区域的半径r， 则有关系式R=rcot ,如图所示。 2
③运动时间的确定
先确定偏向角。带电粒子射出磁场的速度方向对射入磁场的 速度的夹角θ，即为偏向角，它等于入射点与出射点两条半径间 的夹角（圆心角或回旋角）。由几何知识可知，它等于弦切角 的2倍，即θ=2α=ωt,如图所示。 然后确定带电粒子通过磁场的时间。粒子在磁场中运动一周 m 的时间为 T 2qB ,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ 时， 其运动时间由下式表示：
两角相同
◆带电粒子在半无界磁场中的运动
例1．如图,真空室内存在匀强磁 场,磁场方向垂直于纸面向里,磁 感应强度的大小B=0.60T,磁场 内有一块平面感光板ab,板面与 磁场方向平行,在距ab的距离 L=16cm处,有一个点状的放射 源S,它向各个方向发射α粒子,α 粒子的速度都是v=4.8x106 m/s, 已知α粒子的电荷与质量之比 q/m=5.0x107C/kg现只考虑在图 纸平面中运动的α粒子,求ab上 被α粒子打中的区域的长度.
B e v0
d
B
变化2：若初速度向下与边界成 α = 60 0，则初速度有什么要求？
变化3：若初速度向上与边界成 α = 60 0，则初速度有什么要求？
◆带电粒子在矩形磁场区域中的运动
①速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出； ②速度在某一范围内时从侧面边界飞出； ③速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。
0 P P r 2 r cos 30 43.7cm 1 2
P1
s
N
P2
b
针对训练．如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁 场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多 质量为m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面 内的各个方向,由小孔O射入磁场区域,不计重力,不计粒 子间的相互影响.下列图中阴影部分表示带电粒子可能经 过的区域,其中R=mv/qB.哪个图是正确的 A?
θ v a b ①速度较小时粒子作部分圆周 运动后从原边界飞出；②速度 在某一范围内从侧面边界飞； ③速度较大时粒子作部分圆周 运动从另一侧面边界飞出。
解析：由牛顿第二定律可求得粒子在磁场中运动的半径． v2 mv0 0 － qv0B＝m ，R ＝ ＝5.0×10 2 m. R qB 由于 R>r ， 要使粒子在磁场中运动的时间最 长， 则粒子在磁场中运动的圆弧所对应的弧长最 长，从图中可以看出，粒子以直径 ab 为弦、R 为半径所做的圆周运动，所用时间最长， 2πm 又 T＝ ， qB 2α 2α· m 运动时间 tm ＝ ×T ＝ ， 2π qB r 3 37π 又 sin α ＝ ＝ ，α ＝37° ＝ ， R 5 180 － 代入数据得 tm ≈6.5×10 8 s.
v
S S
v
圆心在过入射点跟边 圆心在过入射点跟速 度方向垂直的直线上 界垂直的直线上
①速度较小时，作圆周运动通过射入点； ②速度增加为某临界值时，粒子作圆周 运动其轨迹与另一边界相切；③速度较 大时粒子作部分圆周运动后从另一边界 飞出
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态．
变化1：若电子的电量e，质量m，磁感应强度B 及宽度d已知，若要求电子不从右边界穿出，则 初速度V0有什么要求？
t T 或t T 360 2

4.带电粒子在不同边界磁场中的运动 a．直线边界(进出磁场具有对称性，如下图)
b．平行边界(存在临界条件，如下图)
、圆形边界（沿径向射入 必沿径向射出）
C
对着圆心飞入
来去一心
二线定心
如对着圆心来，必背离圆心去 三线中任二线交于圆心 速度偏转角一定等于转过的圆心角
直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场,
穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹
角为300.求: (1)电子的质量 m (2)电子在磁场中的运动时间t B e v
θ θ
v
3qBd m v
30 d t T 360 3v
d
变化1：在上题中若电子的电量e，质量m，磁感 应强度B及宽度d已知，若要求电子不从右边界穿 出，则初速度V0有什么要求？
e B v0
d
B
变化2：若初速度向下与边界成 α = 60 0，则初速度有什么要求？
变化3：若初速度向上与边界成 α = 60 0，则初速度有什么要求？
◆带电粒子在矩形磁场区域中的运动
v
o
圆心在磁场原边界上 B
d
B
①速度较小时粒子作半圆 运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧 面边界飞出；③速度较大 时粒子作部分圆周运动从 对面边界飞出。 量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
◆带电粒子在矩形磁场区域中的运动
2θ θ
V0
2θ
◆带电粒子在三角形磁场区域中的运动
例4．如图所示，在边长为2a的等边三角形△ABC内存 在垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场，有一带电 量为q、质量为m的粒子从距A点 3a 的D点垂直于AB方 向进入磁场。若粒子能从AC间离开磁场，求粒子速率 应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出？
.
a
L
s
b
解:粒子带正电,故在磁场中沿逆 时针方向做匀速圆周运动,用R表 示轨道半径,有
L
a
mv r 16cm qB
因朝不同方向发射的α粒子的圆轨 迹都过S,由此可知,某一圆轨迹在 图中ab上侧与ab相切,则此切点P1 就是该粒子能打中的上侧最远点. 再考虑ab的下侧.任何α粒子在运动中 离S的距离不可能超过2R,以2R为半径、 S为圆心作圆,交ab于ab下侧的P2点,此 即下侧能打到的最远点.
答案：要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率 应满足粒子从距Ａ点 G 的EG 间射出 (2 3 3)a ~ 3a
F
3(2 3)aqB 3aqB v m m
E
o 2
R1
R2
o 1
v1
D
总结
• 1.V大小不变而方向变化，则轨迹圆形状不 变但是绕入射点旋转，结合磁场形状确定 满足题意的临界轨迹圆。 • 2.V方向不变而大小变化，则轨迹圆形状变 但是绕入射点扩大，结合磁场形状确定满 足题意的临界轨迹圆。 • 3.V大小方向变化
答案：(1)5.0×10－2 m (2)6.5×10－8 s
◆带电粒子在平行直线边界磁场区域中的运动
Q P B P Q Q
v
S