分段函数的实际应用-教案
新人教版九年级数学《分段函数》教案
新人教版九年级数学《分段函数》教案一、教学目标1. 了解分段函数的定义和特点。
2. 能够根据给定的函数图像和定义，确定其函数表达式。
3. 掌握分段函数的图像绘制方法。
4. 能够应用分段函数解决实际问题。
二、教学内容1. 分段函数的概念和定义。
2. 分段函数的图像绘制方法。
3. 分段函数的应用实例。
三、教学重难点1. 学生理解和掌握分段函数的定义和特点。
2. 学生能够根据给定的函数图像和定义确定其函数表达式。
3. 学生能够灵活运用分段函数解决实际问题。
四、教学过程第一节：分段函数的概念和定义教学内容：1. 介绍分段函数的概念和定义。
2. 分析分段函数在数学和实际生活中的应用。
教学步骤：1. 引入分段函数的概念，让学生了解其基本定义。
2. 呈现一些实际问题，引导学生思考如何用分段函数来描述和解决。
3. 给出一些例子，让学生通过观察图像和函数表达式，归纳分析分段函数的特点。
第二节：分段函数的图像绘制方法教学内容：1. 讲解分段函数的图像绘制方法。
2. 给出一些例题和练，巩固学生的图像绘制能力。
教学步骤：1. 介绍如何根据分段函数的定义绘制函数图像。
2. 演示一些例题的图像绘制过程，引导学生掌握方法和技巧。
3. 让学生进行练，检验他们的图像绘制能力。
第三节：分段函数的应用实例教学内容：1. 利用分段函数解决实际问题的应用实例。
2. 培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。
教学步骤：1. 提供一些实际问题，让学生思考如何建立并求解相应的分段函数。
2. 引导学生分析问题的关键点和解题思路。
3. 给出一些实际应用实例的解题步骤和方法，让学生进行练。
五、教学评价1. 课堂参与情况和学生的讨论能力。
2. 学生的作业完成情况和正确率。
3. 学生在应用实例解题中的能力表现。
六、教学资源1. 教案和课件。
2. 分段函数的相关练题和题册。
七、拓展延伸1. 学生可以进一步探究其他类型的函数，如绝对值函数和指数函数的分段定义和图像特点。
分段函数的实际应用-教案
分段函数的实际应用清远工贸职业技术学校数学组教师：陈学军班级：15春数控1班课时安排：1课时课程分析职业高中数学课程教学是专业建设与专业课程体系改革的一部分，应与专业课教学融为一体，立足于为专业课服务，解决实际生活中常见问题，结合中职学生的实际，强调数学的应用性，以满足学生在今后的工作岗位上的实际应用为主，这也体现了新课标中突出应用性的理念。
分段函数的实际应用在本课程中的地位：（1）函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中，分段函数在科技和生活的各个领域有着十分广泛的应用。
（2）本节所探讨学习分段函数在生活生产中的实际问题上应用，培养学生分析与解决问题的能力，养成正确的数学化理性思维的同时，形成一种意识，即数学“源于生活、寓于生活、用于生活”。
教材分析教材使用的是中等职业教育课程改革国家规划教材，分段函数内容安排在第三章函数的最后一部分讲解。
本节内容是在学生熟知函数的概念，表示方法和对函数性质有一定了解的基础上研究分段函数，同时深化学生对函数概念的理解和认识，也为接下来学习指数函数和对数函数作了良好铺垫。
由生活生产中的实际问题入手，求得分段函数此部分知识以学生生活常识为背景，可以引导学生分析得出，分段函数作图可以略讲由学生自己完成。
学情分析（1）知识层面：学生在初中学习了一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数这些基本初等函数图像和性质，对函数有一定程度的认识和理解；在本学期对函数知识又进一步系统的学习，加深学生对函数概念和性质的理解，为学习分段函数奠定良好的基础。
（2）能力层面：学生对函数具有一定的理解，在此基础上能够建立简单实际问题的分段函数的关系式，通过分段函数的应用，培养学生分析与解决问题的能力，了解什么是数学建模，提高学生基本科学素质。
教学目标（1）知识目标：能够根据简单的实际问题，建立分段函数的关系式，会画分段函数的图象并求简单的分段函数的定义域和值域。
（2）能力目标：引导学生理解数学建模的方法，培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会分类讨论思想以及从一般到特殊等学习数学的方法；加强学生对实际生活中的数学背景知识及应用的认知，学生不仅可以将其应用到专业学习上，更能从数学的角度提升对各种问题知识感性认识和理解分析能力。
分段函数教学设计
分段函数教学设计一、教学目标1.知识与技能：学生能够掌握分段函数的概念和性质，理解分段函数的图像表示，能进行相关的运算和求解问题。
2.过程与方法：通过引导学生分析实际问题，从中得出分段函数的数学表示方式，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生的数学思维能力和实际应用问题的解决能力，增强他们学习数学的兴趣和信心。
二、教学重难点1.教学重点：分段函数的概念和性质，图像表示和求解问题的方法。
2.教学难点：将实际问题转化为分段函数的数学表示方式，培养学生的应用问题解决能力。
三、教学过程设计1.导入新知利用一个实际问题引导学生思考，例如：商场的销售员工资规定如下：月销售额不超过500元，销售员的月工资是销售额的10%；月销售额超过500元但不超过1000元，月工资是销售额500元加上超出500元的20%；月销售额超过1000元，月工资是销售额1000元加上超出1000元的30%。
学生分小组，讨论如何将这个问题转化为数学的表示方式。
2.概念讲解通过引导学生的讨论，引出分段函数的概念，并给出分段函数的定义。
3.性质讲解讲解分段函数的性质，如定义域、值域、奇偶性等。
4.图像表示给出几个具体的例子，让学生绘制对应的分段函数图像，并进行解读和分析。
5.运算和求解问题给出一些运算和求解问题的例子，引导学生使用分段函数进行运算和解答问题。
6.拓展和深化引导学生分析更加复杂的实际问题，将其转化为分段函数的数学表示方式，并解答问题。
四、教学方法及学具准备1.教学方法：提问法、探究式教学法、案例分析法。
2.学具准备：板书、投影仪、计算器等。
五、教学评价1.对学生的评价：通过观察学生的参与和解答问题的程度，进行个别和集体评价。
2.对教学效果的评价：结合学生的表现、作业和考试成绩，评估教学效果。
高中数学讲解分段函数教案
高中数学讲解分段函数教案
一、教学目标：
1. 理解分段函数的概念；
2. 能够根据图像和定义求分段函数的值；
3. 能够解决实际问题中涉及到分段函数的计算和应用。
二、教学重点与难点：
重点：掌握分段函数的概念及应用方法；
难点：理解分段函数的图像和定义。
三、教学过程：
1. 概念引入
示意图展示，引导学生思考分段函数的概念，并举例说明分段函数的应用场景。
2. 分段函数的定义
通过简单的例题，引导学生理解分段函数的定义，并让学生学会根据定义求分段函数的值。
3. 分段函数的图像
通过绘制分段函数的图像，让学生直观感受分段函数的特点，掌握函数图像的变化规律。
4. 分段函数的计算与应用
练习题目，让学生熟练掌握分段函数的求解方法，并能够灵活运用于实际问题中。
四、教学总结：
总结分段函数的概念和应用方法，强调分段函数在解决实际问题中的重要性和实用性。
五、课后作业：
1. 完成练习题目，并总结解题方法；
2. 梳理课堂知识点，做好笔记。
六、扩展拓展：
扩展分段函数的应用领域，如金融、经济等领域中的分段函数应用案例，激发学生对分段函数的兴趣和学习积极性。
高中数学分段方程教案
高中数学分段方程教案
一、教学目标：
1. 掌握分段函数的概念和性质。
2. 能够准确地画出分段函数的图像。
3. 能够解决与分段函数相关的问题。
二、教学重点：
1. 理解分段函数的定义。
2. 掌握绘制分段函数图像的方法。
三、教学难点：
1. 解决包含分段函数的复杂问题。
2. 熟练运用分段函数的概念。
四、教学准备：
1. 教科书、课件和习题册。
2. 黑板、彩色粉笔。
3. 计算器。
五、教学步骤：
1. 引入分段函数的概念：让学生观察一个简单的分段函数，讨论其性质和特点。
2. 讲解分段函数的定义和性质：讲解分段函数的定义，解释其在实际问题中的应用。
3. 案例分析：通过几个实例来解释分段函数的应用和特性。
4. 练习：让学生自行计算并绘制几个分段函数的图像。
5. 总结：总结分段函数的性质和应用，强化重点知识。
6. 作业：布置一些与分段函数相关的题目，让学生巩固所学知识。
六、教学反馈：
1. 学生对分段函数的理解和应用情况。
2. 学生解题能力和图像绘制水平。
七、教学延伸：
1. 给学生更多的分段函数练习题，提高他们的解题能力。
2. 引入更多实际问题，让学生更好地理解分段函数的应用。
八、教学评估：
1. 学生解题情况和答题水平。
2. 学生对分段函数的理解和应用情况。
初中数学分段函数教案
初中数学分段函数教案教学目标：1. 理解分段函数的概念和特点；2. 能够正确理解和运用分段函数的解析式；3. 能够解决与分段函数相关的实际问题。
教学内容：1. 分段函数的概念和特点；2. 分段函数的解析式的表示方法；3. 分段函数的实际应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾函数的概念，复习常量与变量的含义；2. 提问：我们已经学过函数的概念和表示方法，那么有没有遇到过一种函数，它的表达式不是一直不变的呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解分段函数的概念：分段函数是一种特殊的函数，它的定义域被划分为几个区间，每个区间上函数的表达式可能不同；2. 举例说明分段函数的特点：每个区间上的函数表达式可以是不同的，且在每个区间的边界点上，函数值是连续的；3. 讲解分段函数的解析式的表示方法：用分段的方式来表示函数的表达式，通常使用区间符号来表示不同区间的函数表达式。
三、实例分析（15分钟）1. 给出一个实际问题：一个物体从静止开始做直线运动，加速度为常数a，求物体在任意时刻t的速度v；2. 引导学生分析问题：物体在不同的时间段内速度的变化可能不同，需要分段来考虑；3. 引导学生列出分段函数的解析式：根据物体的运动方程，可以得到速度v与时间t的分段函数解析式。
四、练习与讨论（15分钟）1. 给学生发放练习题，让学生独立完成；2. 组织学生进行小组讨论，共同解决问题；3. 选取几个学生的解答进行讲解和分析。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结分段函数的概念和特点；2. 提问：分段函数在实际应用中有什么作用？如何解决与分段函数相关的问题？教学准备：1. 教学PPT；2. 练习题。
教学评价：1. 学生能够理解分段函数的概念和特点；2. 学生能够正确理解和运用分段函数的解析式；3. 学生能够解决与分段函数相关的实际问题。
高教版数学说课稿分段函数的实际应用说课稿
•••••••••••••••••高教版数学说课稿分段函数的实际应用说课稿高教版数学说课稿分段函数的实际应用说课稿作为一名教职工，编写说课稿是必不可少的，说课稿可以帮助我们提高教学效果。
我们该怎么去写说课稿呢？下面是小编帮大家整理的高教版数学说课稿分段函数的实际应用说课稿，仅供参考，希望能够帮助到大家。
各位评委：下午好！今天我说课的课题高教版《数学》基础模块上册，第三章第3节的内容——分段函数的实际应用。
随着我国职业教育改革不断向纵深推进，“以服务为宗旨，以就业为导向，以能力为本位，以学生为主体”的现代职教新理念指导数学教学改革。
<新课标>强调在课堂中要营造和谐发展的教学氛围，培养学生主动学习的习惯和能力，实现学生自主发展，本节课的设计以拼客消费活动为背景，在课堂教学中力求实施开放性、活动性教学，通过开展丰富多彩的课堂活动，充分发挥学生的主体性作用，让学生体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力。
下面我从教材分析，教法设计，学法设计、教学过程、教学反思五个方面对本节课进行说明。
一、教学分析《分段函数的实际应用》是一节应用性、实践性极强的课，既是初中“函数”知识的直接延伸，也是函数一般知识在生活中的具体运用，是解决可转化为分段函数问题的数学问题，并将问题解决方式用来处理生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。
职高学生数学基础普遍较弱且参差不齐，且不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大，这对高中数学教学带来了负面影响。
在教学实践中，我以学生的认知能力和心理特征为切入口，以“拼客”消费活动为任务背景激发学生学习兴趣，以“拼客”消费任务解决驱动自主发展教学，循序渐进地推进数学教学活动的展开。
在教学过程中结合学生的认知规律和自身特点，将分段函数的实际应用知识点分为概念性质初步应用与图像深入应用两课时。
本节课作为概念性质初步应用第一课时，确立教学目标如下：知识与技能目标：通过丰富的生活实例，体会函数的变量关系，理解分段函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，理解分段函数的概念；会建立简单实际问题的分段函数的关系式。
分段函数的实际应用说课稿（共5则范文）
分段函数的实际应用说课稿（共5则范文）第一篇：分段函数的实际应用说课稿（共）“分段函数”说课稿映射一、说教材《分段函数》人教版《数学》必修1，第一章，第2节的内容--分段函数。
是一节应用性、实践性极强的课，既是初中“函数”知识的直接延伸，也是函数一般知识在生活中的具体运用，是解决生活中可转化为分段函数的数学问题，并将问题解决方式用来处理生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。
知识与技能目标：通过丰富的生活实例，体会函数的变量关系，理解分段函数的概念；会建立分段函数的解析式。
会求定义域和函数值；二、说学生学情三、说教学目标根据新课标的理念和学生已有的认知结构确定本课确定本节课的教学目标为：（1）知识与技能：让学生理解分段函数的含义，掌握用分段函数描述实际问题的方法。
（2）过程与方法：在教学过程中，将实际问题抽象为数学问题，通过探索、分析、解决，让学生学习到解决问题的一般方法。
（3）情感、态度与价值观：通过学习，让学生体验任务活动的探索过程，锻炼合理分析问题的意识，激发学习数学的兴趣，形成良好的合作学习态度。
本节课的教学重点是：分段函数概念理解；教学难点是：建立实际问题的分段函数关系四、说教法学法五、说教学过程（1）创设情境，导入新知本节课我先从复习函数的概念和函数的表示法的形式激发学生的学习兴趣和求职欲望，从而引出今天的新课。
（2）发现问题，探索新知通过多媒体展示例题，引导学生观察分析，逐步引出分段函数，归纳出分段函数的定义。
在此过程中让学生理解什么是分段函数，如何求分段函数的定义域和值域，如何画分段函数的图像。
通过课本上其它例题的学习让学生了解分段函数在现实生活中的应用，认识到我们所学的数学知识是与生活紧密相联系的。
再进一步通过多媒体展示更深层次的练习题让学生思考，巩固加深了对分段函数的理解。
认识到处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段从而选取相应的对应法则。
五、教学反思：本节课的教学，力求体现“以学生发展为本”的教学理念。
分段函数教案
分段函数教案一、教学目标1. 知识与技能：了解和理解分段函数的概念和性质，掌握绘制分段函数图像的方法。
2. 过程与方法：通过讲解、示例和练习，帮助学生从实际问题中抽象出分段函数，并正确绘制其图像。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学思维的兴趣和探索精神，增进对分段函数在实际问题中应用的认识和理解。
二、教学重难点1. 教学重点：分段函数的概念和性质，分段函数图像的绘制方法。
2. 教学难点：从实际问题中抽象分段函数，正确绘制分段函数图像。
三、教学过程1. 导入新知识：通过一个实际问题引入分段函数的概念。
例如：小明买东西总共花费了60元，如果货物单价小于等于10元，他要支付的运费是5元；如果货物单价大于10元，他要支付的运费是2元。
那么买货物的单价x和小明支付的总费用y之间的关系可以用一个分段函数来表示。
2. 介绍分段函数的定义和表示方法。
例如：一个分段函数可以写成f(x) = {x^2, x ≥ 0； 1/x, x < 0}。
3. 结合具体的实例，让学生通过思考和讨论，从实际问题中抽象出分段函数的定义和表示方法。
例如：一个池塘里有鱼，如果鱼的数量小于等于50条，鸟儿每天吃10条鱼；如果鱼的数量大于50条，鸟儿每天吃20条鱼。
那么鱼的数量x和鸟儿每天吃的鱼的数量y之间的关系可以用一个分段函数来表示。
4. 讲解分段函数图像的绘制方法。
例如：对于一个分段函数f(x) = {2x + 1, x ≥ 0；-x + 1, x < 0}，可以先分别绘制两个子函数的图像，然后将两个子函数的图像连接起来，形成整个分段函数的图像。
5. 示例演练：给出一个分段函数的例子，让学生根据定义和绘图方法，绘制出该函数的图像。
例如：f(x) = {2x + 1, x ≥ 0；-x + 1, x < 0}。
6. 课堂练习：让学生根据实际问题，抽象出分段函数，并正确绘制出该函数的图像。
7. 总结与拓展：对学生进行总结回顾，巩固已学知识。
高中数学分段方程问题教案
高中数学分段方程问题教案
教学目标：
1. 了解分段函数的概念；
2. 掌握分段函数的图像和性质；
3. 能够应用分段函数解决实际问题。
教学重点：
1. 分段函数的概念；
2. 分段函数图像的绘制；
3. 分段函数在实际问题中的应用。
教学难点：
1. 应用分段函数解决实际问题；
2. 理解分段函数的性质。
教学准备：
1. 教师准备ppt或板书；
2. 教师准备分段函数相关的练习题；
3. 学生准备纸笔。
教学环节：
一、导入（5分钟）
教师通过引入一个实际问题来引起学生的兴趣，让学生思考如何使用分段函数解决这个问题。
二、讲解分段函数的概念（10分钟）
1. 介绍分段函数的定义和用途；
2. 讲解如何表示和绘制分段函数的图像；
3. 解释分段函数的性质。
三、例题讲解（15分钟）
1. 给出一个简单的分段函数问题，并讲解如何解决；
2. 带着学生一起解决一个稍复杂一点的分段函数问题。
四、练习与巩固（15分钟）
1. 学生独立完成课堂练习；
2. 学生相互交流答案并讨论问题。
五、实际问题应用（10分钟）
1. 给出一个实际问题，并让学生尝试使用分段函数进行求解；
2. 学生讨论解决方案并写出答案。
六、总结与展望（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，并展望下节课的学习内容。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握分段函数的基本概念和应用能力，能够灵活运用分
段函数解决实际问题。
同时，教师应该注重引导学生思维，培养学生独立解决问题的能力。
初中分段函数教案
初中分段函数教案教学目标：1. 知识与技能：理解分段函数的概念，能够正确判断一个函数是否为分段函数，掌握分段函数的解析式及其应用。
2. 过程与方法：通过实例探究，培养学生的观察、思考和解决问题的能力，学会用分段函数描述实际问题。
3. 情感、态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力，感受数学在生活中的应用。
教学重难点：1. 重点：理解分段函数的概念，掌握分段函数的解析式。
2. 难点：判断一个函数是否为分段函数，以及如何运用分段函数解决实际问题。
教学准备：1. 教学工具：黑板、粉笔、多媒体课件。
2. 教学素材：分段函数实例。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾函数的概念，复习一次函数、二次函数的性质。
2. 提问：同学们，你们知道函数可以有多种形式吗？今天我们将学习一种特殊的函数，叫做分段函数。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解分段函数的概念：分段函数是一种函数解析式，它在不同的定义域内有不同的表达式。
2. 举例说明：例如，定义在实数集R上的分段函数f(x)可以表示为：f(x) = {ax + b, x < cdx + e, x ≥ c}其中，a、b、c、d、e为常数，a、d不为0。
3. 分析分段函数的性质：分段函数在不同区间内可能有不同的单调性、奇偶性等性质。
三、实例探究（15分钟）1. 给出实例：某商店进行促销活动，商品原价y（元）与购买数量x（件）的函数关系为： y = {x, x ≤ 52x - 10, x > 5}2. 分析实例：让学生观察这个函数在不同区间内的表达式，讨论如何求解某个购买数量对应的商品原价。
四、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固分段函数的概念和应用。
2. 练习题：a) 判断下列函数是否为分段函数，若为分段函数，写出它的解析式。
1. f(x) = x^2, x ≤ 02. g(x) = |x|, x ≥ 0b) 已知函数h(x) = {x, x < 0-x, x ≥ 0}，求h(3)的值。
分段函数教案
一、复习预习回顾一次函数、二次函数、指数函数、对数函数及幂函数的定义域、值域、奇偶行及单调性。
二、知识讲解本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点分析考点1分段函数定义在定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数。
2.对应关系：对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其对应关系不同，但分段函数是一个函数.3.定义域：分段函数定义域为各段定义域的并集.4.值域：分段函数值域为各段函数值的并集.考点2分段函数的图像及求值 1.分段函数图像（1）画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象. （2）由分段函数的图象确定函数解析式的方法1)定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型. 2)设函数式：设出函数的解析式.3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程(组)，求出该段内的解析式. 4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.2.分段函数求值分段函数函数值的方法：1.先确定要求值的自变量属于哪一段区间.2.然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止. 注：当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.考点3分段函数求解实际应用问题(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言. (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型.(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法.三、例题精析【例题1】【题干】求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.【答案】()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 【解析】作图，利用“数形结合”可知。
【例题2】【题干】已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f . 【答案】134【解析】因为311222()|1|2f =--=-, 所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-. 【例题3】【题干】在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称,现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）222(10).()2(02)x x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩222(10).()2(02)x x x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩222(12).()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩226(12).()3(24)x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩【答案】A【解析】当[2,0]x ∈-时,121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)()2(02)xx x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 【例题4】【题干】判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.【答案】()f x 在R 上是单调递增函数.【解析】显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.【例题5】【题干】判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.【答案】对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.【解析】当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时, (0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->,22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=,所以()f x 为偶函数.四、课堂运用【基础】yx1.画出函数y=|x|的图象.2.已知函数y=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<-≤+.4,2,40,2,0,42x x x x x x x(1)求f{f ［f(5)］}的值; (2)画出函数的图象.3.已知奇函数()f x (x R ∈)，当x >0时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。
九年级数学下册《分段函数的应用问题》教案、教学设计
4.探究性问题：鼓励学生思考分段函数在其他学科领域的应用，如物理学中的速度与时间关系、经济学中的成本分析等。
示例题目：
-请思考并举例说明分段函数在物理学中的一个应用场景，并建立相应的数学模型。
示例题目：
-选择题：下列哪个选项是关于分段函数的正确描述？
-填空题：已知分段函数f(x) = { x+1 (x<0), 2x (x≥0) }，则f(-2) = ______，f(3) = ______。
2.应用题：布置一些与分段函数相关的实际问题，要求学生建立分段函数模型，并解决问题。这些题目可以涉及生活中的例子，如购物优惠、交通工具票价等。
九年级数学下册《分段函数的应用问题》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解分段函数的定义，掌握分段函数的表示方法和性质。
-学生能够描述分段函数在实际问题中的应用场景，如气温变化、税率调整等。
-学生能够运用数学符号准确地表示分段函数，并识别各段的定义域和值域。
-学生能够通过数形结合，分析分段函数的连续性、单调性等性质。
2.分步骤引导，逐步深入。
-教学过程中，应由浅入深，先从简单的分段函数开始，让学生逐步理解其定义和性质，然后过渡到复杂的多段函数。
3.多元化教学方法，促进理解。
-结合小组讨论、案例研究、数学实验等多种教学方法，让学生在互动中学习和理解分段函数。
4.强调数形结合，提高解题能力。
-在教学中，教师要强调数形结合的重要性，引导学生通过绘制和观察图像来辅助分析问题，提高解题效率。
分段函数教案
分段函数教案(总8页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2,x[0,5]f x3,x(5,10]4,x(10,15]6,x[0,3]x6 1.2(3),x(3,)公里时，哪种方式更省钱呢？f元114巩固篇15分钟拓展篇15分钟2116+1.2113=15.6y f（—）元【教师】:故意忽略乘车人数问：选择公交车去服装城最省钱？对吗？【学生】:这时已经有细心的学生发现了问题：方式一中的公交车是按照人数来收费，而方式二中的出租车则是按整体计费，因此，方式一中的总费用应该是4X4=16元。
结论：小鲁等人选择出租车出行最省钱！【教师】:对猜对结果的团队和最先算对的团队分别授予勋章。
----------------------------------------------------------------------★三.团队任务，重点知识再巩固【学生】：采用团队竞赛的方式，每个团队各派出一名代表，在黑板上完成，首先正确完成的团队会获得一枚“巩固勋章”。
★任务一：根据“微课视频一”的学习，方式二中分段函数6,x[0,3]6 1.2(3),x(3,)y f xx(1)求函数的定义域(2) 求1,3,20f f f的值★任务二：根据“微课视频一”的学习画出以上两个分段函数的图像。
【教师】:学生完成后，教师利用“几何画板”工具，进行作图演示。
【教师】:讲解评价。
为最先完成任务的团队授予“巩固勋章”。
对学生的鼓励，可以使学生保持更长时间的学习积极性和主动性。
团队竞赛的方式，调动了学生的积极性，提高了课堂效率。
此环节主要是对“微课视频一”的检测和强化。
是对本节重点内容的巩固,借助几何画板，更加直观形象的帮助学生理解分段函数的图像和性质。
检测篇20分钟检测篇20分钟★四.情境延续，拓展应用破难点（情境主线：③恰逢服装城优惠活动。
）(动画演示)小鲁一行到了服装城以后，恰逢服装城周年庆典有如下活动，规定一次性付款总额：（1）如果不超过300元，不予优惠；（2）超过300元，不超过500元，按标价给予9折优惠；（3）如果超过500元，500以内按照第二条优惠，超出500的部分按照8折优惠。
分段函数的实际应用-教案
分段函数的实际应用清远工贸职业技术学校数学组教师：陈学军班级：15春数控1班课时安排：1课时课程分析职业高中数学课程教学是专业建设与专业课程体系改革的一部分，应与专业课教学融为一体，立足于为专业课服务，解决实际生活中常见问题，结合中职学生的实际，强调数学的应用性，以满足学生在今后的工作岗位上的实际应用为主，这也体现了新课标中突出应用性的理念。
分段函数的实际应用在本课程中的地位：（1）函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中，分段函数在科技和生活的各个领域有着十分广泛的应用。
（2）本节所探讨学习分段函数在生活生产中的实际问题上应用，培养学生分析与解决问题的能力，养成正确的数学化理性思维的同时，形成一种意识，即数学“源于生活、寓于生活、用于生活”。
教材分析教材使用的是中等职业教育课程改革国家规划教材，分段函数内容安排在第三章函数的最后一部分讲解。
本节内容是在学生熟知函数的概念，表示方法和对函数性质有一定了解的基础上研究分段函数，同时深化学生对函数概念的理解和认识，也为接下来学习指数函数和对数函数作了良好铺垫。
由生活生产中的实际问题入手，求得分段函数此部分知识以学生生活常识为背景，可以引导学生分析得出，分段函数作图可以略讲由学生自己完成。
学情分析（1）知识层面：学生在初中学习了一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数这些基本初等函数图像和性质，对函数有一定程度的认识和理解；在本学期对函数知识又进一步系统的学习，加深学生对函数概念和性质的理解，为学习分段函数奠定良好的基础。
（2）能力层面：学生对函数具有一定的理解，在此基础上能够建立简单实际问题的分段函数的关系式，通过分段函数的应用，培养学生分析与解决问题的能力，了解什么是数学建模，提高学生基本科学素质。
教学目标（1）知识目标：能够根据简单的实际问题，建立分段函数的关系式，会画分段函数的图象并求简单的分段函数的定义域和值域。
（2）能力目标：引导学生理解数学建模的方法，培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会分类讨论思想以及从一般到特殊等学习数学的方法；加强学生对实际生活中的数学背景知识及应用的认知，学生不仅可以将其应用到专业学习上，更能从数学的角度提升对各种问题知识感性认识和理解分析能力。
分段函数教案
分段函数教案分段函数是数学中的一个重要概念，它在实际生活中的应用非常广泛。
为了帮助学生更好地理解和掌握分段函数，下面将介绍一种教学方法和教案设计。
一、教学目标1. 理解分段函数的定义和性质；2. 能够根据给定的函数图像确定其对应的分段函数；3. 能够利用分段函数解决实际问题。
二、教学准备1. 教师准备白板、黑板报告等教学工具；2. 学生准备笔记本和教科书。
三、教学过程步骤一：引入1. 教师先通过一个生活实例引入分段函数的概念。
比如讲述一个小车在行驶过程中的速度变化情况，引导学生思考速度是否一直保持不变。
2. 引入函数的概念，提醒学生函数是变量之间的一种对应关系。
3. 引入分段函数的概念，解释分段函数是函数的一种特殊形式。
步骤二：定义与示例1. 教师在黑板上写出分段函数的定义，并解释其中的符号和含义。
2. 通过举例来说明分段函数的特点和用法。
比如给出一个具体的函数图像，要求学生根据图像确定该函数的表达式。
步骤三：性质与图像1. 教师介绍分段函数的一些性质，如定义域、值域、奇偶性等。
2. 引导学生观察分段函数的图像特点，如函数曲线的分段断开点、拐点等。
步骤四：应用与解决问题1. 教师给出一些实际问题，要求学生利用分段函数解决。
2. 引导学生分析问题，确定变量与函数关系，并建立相应的分段函数。
3. 让学生根据分段函数求解问题，并向同学进行展示和讨论。
步骤五：总结与拓展1. 教师引导学生总结分段函数的特点和应用场景。
2. 提出一些拓展问题，让学生更深入地思考和应用分段函数。
四、教学反思本教案设计注重理论知识的引入与实际应用的结合，通过生动的示例和实际问题来激发学生的学习兴趣和思维能力。
同时，通过引导学生观察和分析函数图像的特点，进一步加深对分段函数的理解。
通过小组合作解决问题，可以促进学生之间的交流和合作能力发展。
总的来说，本教案设计旨在通过生动的教学方法和实际问题的应用，帮助学生掌握分段函数的基本概念和解决问题的方法，培养学生的数学思维能力和应用能力。
全国优质课一等奖高中数学《分段函数的实际应用》教学设计方案
分段函数的实际应用课程分析数学课程教学是专业建设与专业课程体系改革的一部分，应与专业课教学融为一体，立足于为专业课服务，解决实际生活中常见问题，结合中职学生的实际，强调数学的应用性，以满足学生在今后的工作岗位上的实际应用为主，这也体现了新课标中突出应用性的理念。
分段函数的实际应用在本课程中的地位：函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中，分段函数在科技和生活的各个领域有着十分广泛的应用。
本节所探讨学习分段函数在生活生产中的实际问题上应用，培养学生分析与解决问题的能力，养成正确的数学化理性思维的同时，形成一种意识，即数学“源于生活、寓于生活、用于生活”。
教材分析本节课使用的教材是XX教育出版社，由XXX老师主编的《数学上册》。
《函数》是本书的第三章，是贯穿整个中职数学课程的主线之一，《函数的实际应用举例》是本章的第三节，是本章的重要内容，是对函数知识的巩固与提高，本节内容与生活息息相关，学好本节有助于提高学生分析与解决实际问题的能力。
由于函数的应用相当广泛，本节课集中探讨分段函数的实际应用。
学情分析（1）认知：已熟知函数的概念，表示方法和对函数性质有一定了解的基础，并具有一定的生活经验，但缺少思维上升。
（2）能力：动手操作能力强，但数学抽象思维能力较弱。
（3）心理：热爱表现合作，但缺乏数学自信心。
教学目标（1）认知目标：理解分段函数的概念与图像；了解实际问题中的分段函数问题。
（2）能力目标：能够根据简单的实际问题，建立分段函数的关系式，提高学生分析与解决实际生活问题的能力。
（3）情感目标：通过参与数学活动，让学生感知数学源于生活，用于生活；学生在愉快的团队合作探究学习中，不断体验成功感。
教学重难点教学重点：掌握并理解分段函数的概念。
教学难点: 建立实际问题的分段函数关系式及解决实际生活问题。
其中，关键是学生能从实际问题中抽象出数学模型。
教学方法为了突出教学重点，化解教学难点，我在教学过程中主要采取任务驱动法：让学生完成3个教学任务：（1）设计合理的水费分段定价收费方案；（2）如何计算服装优惠问题；（3）出租车计费问题。
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分段函数的实际应用
清远工贸职业技术学校数学组
教师：陈学军 班级：15春数控1班 课时安排：1课时
课程分析
职业高中数学课程教学是专业建设与专业课程体系改革的一部分，应与专业课教学融为一体，立足于为专业课服务，解决实际生活中常见问题，结合中职学生的实际，强调数学的应用性，以满足学生在今后的工作岗位上的实际应用为主，这也体现了新课标中突出应用性的理念。
分段函数的实际应用在本课程中的地位：
（1）函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中，分段函数在科技和生活的各个领域有着十分广泛的应用。
（2）本节所探讨学习分段函数在生活生产中的实际问题上应用，培养学生分析与解决问题的能力，养成正确的数学化理性思维的同时，形成一种意识，即数学“源于生活、寓于生活、用于生活”。
教材分析
教材使用的是中等职业教育课程改革国家规划教材，分段函数内容安排在第三章函数的最后一部分讲解。
本节内容是在学生熟知函数的概念，表示方法和对函数性质有一定了解的基础上研究分段函数，同时深化学生对函数概念的理解和认识，也为接下来学习指数函数和对数函数作了良好铺垫。
由生活生产中的实际问题入手，求得分段函数此部分知识以学生生活常识为背景，可以引导学生分析得出，分段函数作图可以略讲由学生自己完成。
学情分析
（1）知识层面：学生在初中学习了一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数这些基本初等函数图像和性质，对函数有一定程度的认识和理解；在本学期对函数知识又进一步系统的学习，加深学生对函数概念和性质的理解，为学习分段函数奠定良好的基础。
（2）能力层面：学生对函数具有一定的理解，在此基础上能够建立简单实际问题的分段函数的关系式，通过分段函数的应用，培养学生分析与解决问题的能力，了解什么是数学建模，提高学生基本科学素质。
教学目标
（1）知识目标：能够根据简单的实际问题，建立分段函数的关系式，会画分段函数的图象并求简单的分段函数的定义域和值域。
（2）能力目标：引导学生理解数学建模的方法，培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会分类讨论思想以及从一般到特殊等学习数学的方法；加强学生对实际生活中的数学背景知识及应用的认知，学生不仅可以将其应用到专业学习上，更能从数学的角度提升对各种问题知识感性认识和理解分析能力。
（3）情感态度与价值观：引导学生将实际问题用数学语言抽象概括，建立相应的数学模型，培养学生分析问题及概括总结的能力，形成主动探求知识、合作交流的意识与品质。
教学重难点
重点： 1、根据数学建模的方法，建立实际问题的分段函数关系式，解决问题。
2、分段函数图像的做法。
难点： 建立实际问题的分段函数关系式。
教学方法
讲、议结合，根据实际例子讲解分段函数的应用，通过学生的学习反思，引出重要的数学方法—数学建模，课堂注重学生合作学习与自主探究。
教学用具
多媒体课件、三角板、学生用表板书设计
分段函数的实际应用
一、用水收费
二、出租车计费
学生演板区域
教学过程的设计
教学过程教师活动学生活
动设计意
图
一、课前复习
1．分段函数的定义。
2．作出以下分段函数的图像，分别求出f(-2), f(0), f(3)的值。
提问：
回忆下什么是
分段函数，求
值并作出所给
出的函数的图
像。
(让学生
黑板作出，并
用PPT讲解)
回忆分段函
数定义；在
练习本上作
练习。
复习上节课
所学知识，
为本节课内
容奠定基
础。
二、新课讲解
应用1:用水收费问题
我国是一个缺水的国家，很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平．为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准：
用水量不超过
10部分
超过10
部分
收费
（元／）
1.30
2.00
污水处理
费
（元／）
0.300.80
问题1:若用水8 m3应交水费是多少?
问题2:若用水10 m3应交水费是多少?
问题3:若用水12 m3应交水费1．首先提问
学生当用水量
分别是8 m3 ，
10m3，12m3
时应缴多少水
费？
2．引导学生
思考若用水量
设为x ，应交
水费设为y，
怎样写出函数
的解析式？
3．利用多媒
体进行用水量
的动态演示分
析，引导学生
寻找发现y与x
规律，同时注
重培养学生的
分类讨论的思
想。
4．提问：学
学生回答问
题的。
学生读题，
分析思考。
分类讨论，
分析二种情
况的收费情
况。
学生练习。
选取一个简
单的生活实
例，带领学
生进入“分
段函数的实
际应用“的
学习中，引
导学生理解
实际问题的
意思，建立
相应的函数
解析式。
同时培养学
生应用分类
讨论的思想
和从特殊到
一般等数学
的方法解决
问题的能
力。
是多少?
那么，每户每月用水量x 与应交水费y之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？生思考的结果，并让学生在黑板写出答案，画出该函数的图象。
5．教师点评。
回顾反思
1、应用函数解决实际问题的方法步骤。
2、了解什么是数学建模；怎样利用数学建模方法分析解决问题。
总结归纳上题
的思路方法，
讲解重要的数
学方法—数学
建模，及它在
实际问题中的
应用。
学生思考总
结；
利用具体实
例渗透数学
建模思想；
团队学习1：计算水费根据一张供水缴费通知单计算水费。
提供“供水缴
费通知单”，
让学生具体应
用所学知识计
算。
根据“供水
缴费通知
单”，分小
组讨论水
费。
用一个简单
的实例，培
养学生分析
解决实际问
题的能力。
应用2:出租车计费问题某城市出租汽车收费标准为：当行程不超过3km时，收费7元；行程超过3km，但不超过10km时，在收费7元的基础上，超过3km的部分每公里收费1.0元；超过
10km时，超过10km部分每公里收费1.5元.试求车费
y（元）与x（km）之间的函数解析式，并作出函数图像.思考当行程是12公里时，出租车费用是多少？提问：按照行
程不同，可分
为几种收费情
况？
分析（PPT动
态演示）：根
据行程的范
围，分别写出
相应的函数解
析式。
思考：
①根据实际
问题，应列
哪种函数模
型。
（分段
函数）
②根据行程
不同，可分
为几种收费
情况？（三
种）
③每种情况
的函数解析
式是什么？
让学生再次
体会分段函
数的应用，
由数学实例
升华到数学
模型，再应
用其解决实
际问题的过
程，激发学
生对新事物
的学习兴
趣。
④思考当行程是12公里时，出租车费用是多少？
团队学习2:出租车费用一位旅客由大学城乘出租车到小市约行驶21公里，根据本地出租车计费办法，试求出旅客应付多少费用？启发式引导学
生用数学建模
方法解决实际
问题。
提示：①清远
市出租车起步
价（3km内6
元）。
②超过
3km每公里收
费情况（2.4
元/公里）。
提问学生回答
结果。
分小组思考
讨论问题，
根据实际情
况求解。
培养学生分
析解决实际
问题能力，
加深学生对
分段函数的
理解和应
用。
三、本课小结
一个模型：分段函数
一个方法：数学建模方法一种意识：数学“源于生活、寓于生活、用于生活”教师归纳总
结。
学生与教师
共同回顾本
节课所学内
容。
对于本节课
的知识进行
归纳概括，
使学生明确
所要掌握的
内容。
四、作业
1．课本作业P80:练习2,3 2．阅读课本P82“个人所得税计算方法解析”,进一步了解我国有关个人所得税的相关决定教师布置作业学生练习将探究学习
顺利延伸到
课外。