2017-2018年福建省福州一中九年级上学期期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年福建省福州一中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）抛物线y=2（x+3）2﹣5的顶点坐标是（）A．（﹣3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（3，5）2．（4分）在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径为（）A．10 B．6 C．5 D．43．（4分）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（）A．v=320t B．v=C．v=20t D．v=4．（4分）如图，有一个边长为4cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的最小直径是（）A．4cm B．8cm C．2cm D．4cm5．（4分）如图，以坐标原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P 是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（si nα，cosα）D．（cosα，sinα）6．（4分）若点（﹣m，n）在反比例函数y=的图象上，那么下列各点中一定也在此图象上的点是（）A．（m，n）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n）D．（﹣n，﹣m）7．（4分）下列四组图形中，一定相似的图形是（）A．各有一个角是30°的两个等个等腰三角形B．各有一个角是120°的两个等腰三角形C．各有一个角是直角的两个三角形D．有两边之比都等于2：3的两个三角形8．（4分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．若=，则的值为（）A．B．C．1 D．9．（4分）圆心角为60°的扇形面积为S，半径为r，则下列图象能大致描述S与r的函数关系的是（）A．B．C．D．10．（4分）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y=上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（）A．x1•x2＜0 B．x1•x3＜0 C．x2•x3＜0 D．x1+x2＜0二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O 的位置关系为点A 在圆O．12．（4分）圆心角为75°的扇形的弧长是2.5π，则扇形的半径为．13．（4分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=50°，则∠BAC=．14．（4分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，则楼高CD为m．15．（4分）已知▱ABCD的面积为4，对角线AC在y轴上，点D在第一象限内，且AD∥x轴，当双曲线y=经过B、D两点时，则k=．16．（4分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF 长度的最小值为．三、解答题（共86分）17．（8分）（1）2x2﹣5x+2=0（配方法）（2）2sin60°﹣cos45°﹣3tan30°+tan45°．18．（9分）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．（1）用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置（不用写作法，保留作图痕迹）．（2）若A点的坐标为（0，4），连接MA、MC，将扇形AMC卷成一个圆锥，则此圆锥的高为．19．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的切线与半径OB的延长线交于点D，∠A=30°，求∠BCD的度数．20．（8分）热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高？21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB边上一点，⊙O交AB于E，F两点，BC切⊙O于点D，且CD=EF=1．（1）求证：⊙O与AC相切；（2）求图中阴影部分的面积．22．（9分）如图，一次函数y1=kx1+b与反比例函数y2=（x＞0）的图象交于A （m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式．（2）根据图象直接写出k1x+b=的x的值．（3）求△AOB的面积．23．（10分）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y 件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？24．（12分）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f．（1）求证：△OBP≌△OCP．（2）设OP=AC，求∠CPO的正弦值．（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围．25．（12分）如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．2017-2018学年福建省福州一中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）抛物线y=2（x+3）2﹣5的顶点坐标是（）A．（﹣3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（3，5）【解答】解：∵抛物线y=2（x+3）2﹣5，∴顶点坐标为：（﹣3，﹣5）．故选：A．2．（4分）在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径为（）A．10 B．6 C．5 D．4【解答】解：连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=3，在Rt△OAC中，∵OC=4，AC=3，∴OA==5，即⊙O的半径为5cm．故选：C．3．（4分）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（）A．v=320t B．v=C．v=20t D．v=【解答】解：由题意vt=80×4，则v=．故选：B．4．（4分）如图，有一个边长为4cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的最小直径是（）A．4cm B．8cm C．2cm D．4cm【解答】解：解：∵正六边形的边长是4cm，∴正六边形的半径是4cm，∴这个圆形纸片的最小直径是8cm．故选：B．5．（4分）如图，以坐标原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P 是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（sinα，cosα）D．（cosα，sinα）【解答】解：作PC⊥OB于C，在Rt△POC中，OC=OP×cosα=cosα，PC=OP×sinα=sinα，∴点P的坐标为（cosα，sinα），故选：D．6．（4分）若点（﹣m，n）在反比例函数y=的图象上，那么下列各点中一定也在此图象上的点是（）A．（m，n）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n）D．（﹣n，﹣m）【解答】解：∵点（﹣m，n）在反比例函数y=的图象上，∴k=﹣mn，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣mn的点在函数图象上；A、k=mn，故本选项错误；B、k=mn，故本选项错误；C、k=﹣mn，故本选项正确；D、k=mn，故本选项错误．故选：C．7．（4分）下列四组图形中，一定相似的图形是（）A．各有一个角是30°的两个等个等腰三角形B．各有一个角是120°的两个等腰三角形C．各有一个角是直角的两个三角形D．有两边之比都等于2：3的两个三角形【解答】解：A、各有一顶角或底角是30°的两个等腰三角形相似，故本选项错误；B、各有一个角是120°的两个等腰三角形相似，故本选项正确；C、两个直角三角形不一定相似，故本选项错误；D、有两边之比都等于2：3的两个三角形不一定相似，故本选项错误；故选：B．8．（4分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．若=，则的值为（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵点E为线段AB中点，AD=DF，∴DE为△ABF的中位线，∴ED=BF．∵∠DAE=∠BCE（同弦的圆周角相等），∠AED=∠CEB，∴△AED∽△CEB，∴=，又∵=，ED=BF，∴=．故选：D．9．（4分）圆心角为60°的扇形面积为S，半径为r，则下列图象能大致描述S与r的函数关系的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵圆心角为60°的扇形面积为S，半径为r，∴S==，∴S是r的二次函数，且r＞0，∴C、D错误；∵r=1时，S=＜1；r=2时，S=≈2.09，故选：A．10．（4分）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y=上的三点，若x 1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（）A．x1•x2＜0 B．x1•x3＜0 C．x2•x3＜0 D．x1+x2＜0【解答】解：∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，∴k＜0，∴点A、B在第三象限，点C在第一象限，∴x1＜x2＜0＜x3．故选：A．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O 的位置关系为点A 在圆O内．【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内，故答案为：内．12．（4分）圆心角为75°的扇形的弧长是2.5π，则扇形的半径为6．【解答】解：依题意得：=2.5π，解得r=6．故答案是：6．13．（4分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=50°，则∠BAC=25°．【解答】解：连接OB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°﹣∠P﹣∠PAO﹣∠PBO=130°，∵OA=OB，∴∠BAC=25°．14．（4分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，则楼高CD为10.5m．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．故答案为10.5．15．（4分）已知▱ABCD的面积为4，对角线AC在y轴上，点D在第一象限内，且AD∥x轴，当双曲线y=经过B、D两点时，则k=2．【解答】解：由题意可画出图形，设点D的坐标为（x，y），∴AD=x，OA=y，∵▱ABCD的面积为4，∴AD•AC=2AD•OA=4，∴2xy=4，∴xy=2，∴k=xy=2，故答案为：216．（4分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD 最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×=，由垂径定理可知EF=2EH=．故答案为：．三、解答题（共86分）17．（8分）（1）2x2﹣5x+2=0（配方法）（2）2sin60°﹣cos45°﹣3tan30°+tan45°．【解答】解：（1）移项得2x2﹣5x=﹣2方程两边同时除以2得x2﹣x=﹣1，配方得，x2﹣x+（﹣）2=﹣1+（﹣）2，即（x﹣）2=，方程两边直接开方得，x﹣=±，解得x1=2，x2=；（2）2sin60°﹣cos45°﹣3tan30°+tan45°=2×﹣×﹣3×+1=﹣1﹣+1=0．18．（9分）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．（1）用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置（不用写作法，保留作图痕迹）．（2）若A点的坐标为（0，4），连接MA、MC，将扇形AMC卷成一个圆锥，则此圆锥的高为．【解答】解：（1）如图1所示：点M即为所求；（2）如图1所示：连结AC，∵A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），M（0，2），∴AM2=22+42=20，MC2=22+（6﹣2）2=20，AC2=62+（2﹣4）2=40，∴AM2+MC2=AC2，∴△AMC为直角三角形，∠AMC=90°，∴扇形AMC的面积==5π；如图2，设圆锥底面圆的半径为r，根据题意得•2π•r•=5π，解得r=，所以圆锥的高==．故答案为：．19．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的切线与半径OB的延长线交于点D，∠A=30°，求∠BCD的度数．【解答】解：如图，连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠A=30°，∴∠COB=2∠A=60°，∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB=60°，∴∠BCD=90°﹣∠OCB=30°．20．（8分）热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高？【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，∴BD=AD•tan30°=120×=40 m，在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，∴CD=AD•tan60°=120×=120 m，BC=40 +120 =160=277.12≈277.1m．答：这栋楼高约为277.1m．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB边上一点，⊙O交AB于E，F两点，BC切⊙O于点D，且CD=EF=1．（1）求证：⊙O与AC相切；（2）求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OD，过点O作OH⊥AC于点H，∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC．∵∠C=90°，∴∠OHC=∠ODC=∠C=90°，∴四边形OHCD是矩形．∵CD=EF，∴OH=EF=OE．∵OH⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵OD=EF=1，CD=1，∠DOH=90°，=1×1﹣=1﹣π．∴S阴影22．（9分）如图，一次函数y1=kx1+b与反比例函数y2=（x＞0）的图象交于A （m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式．（2）根据图象直接写出k1x+b=的x的值．（3）求△AOB的面积．【解答】解：（1）∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y2=（x＞0）的图象上，∴6m=3n=6，∴m=1，n=2，∴A（1，6），B（3，2）．又∵点A（1，6），B（3，2）两点在一次函数y1=kx1+b的图象上，∴，解得：，则该一次函数的解析式为：y=﹣2x+8；（2）根据图象可知使k1x+b=的x的值是x=1或x=3；（3）如图，分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．令﹣2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．∵A（1，6），B（3，2），∴AE=6，BC=2，=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8．∴S△AOB23．（10分）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y 件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？【解答】解：（1）y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100．（2）设每星期利润为W元，W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750．∴x=55时，W最大值=6750．∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，当x=52时，销售300+30×8=540，当x=58时，销售300+30×2=360，∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．24．（12分）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f．（1）求证：△OBP≌△OCP．（2）设OP=AC，求∠CPO的正弦值．（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围．【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵AC∥OP，∴∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，∴∠COP=∠BOP，∵PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠OBP=90°，在△POC与△POB中，，∴△COP≌△BOP，∴∠OCP=∠OBP=90°，∴PC是⊙O的切线；（2）过O作OD⊥AC于D，∴∠ODC=∠OCP=90°，CD=AC，∵∠DCO=∠COP，∴△ODC∽△PCO，∴=，∴CD•OP=OC2，∵OP=AC，∴AC=OP，∴CD=OP，∴OP•OP=OC2∴=，∴sin∠CPO==；（3）连接BC，作AG⊥CM于G，BH⊥CM于H．∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，∵AC=9，AB=15，∴BC==12，∵S=•AC•BC=•CM•AG+•CM•BH，△ABC∴d+f=，当CM⊥AB时，CM的值最小，CM的最小值=，当点M与B重合时，CM的值最大，CM的最大值为12，∴d+f的最大值为15，最小值为9，∴d+f的取值范围是：9≤d+f≤15．25．（12分）如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．【解答】解：（1）令y=mx2﹣16mx+48m=m（x﹣4）（x﹣12）=0，则x1=12，x2=4，∴A（12，0），即OA=12，又∵C（0，48m），∴当△OAC为等腰直角三角形时，OA=OC，即12=48m，∴m=；（2）由（1）可知点C（0，48m），∵对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，∴必有E（0，﹣48m），设直线AE的解析式为y=kx+b，将E（0，﹣48m），A（12，0）代入，可得，解得，∴直线AE的解析式为y=4mx﹣48m，∵点D为直线AE与抛物线的交点，∴解方程组，可得或（点A舍去），即点D的坐标为（8，﹣16m）；（3）当∠ODB=∠OAD，∠DOB=∠AOD时，△ODB∽△OAD，∴OD2=OA×OB=4×12=48，∴OD=4，又∵点D为线段AE的中点，∴AE=2OD=8，又∵OA=12，∴OE==4，∴D（6，﹣2），把D（6，﹣2）代入抛物线y=mx2﹣16mx+48m，可得﹣2=36m﹣96m+48m，解得m=，∴抛物线的解析式为y=（x﹣4）（x﹣12），即y=（x﹣8）2﹣，∵点P（x0，y0）为抛物线上任意一点，∴y0≥﹣，令t=﹣4my02﹣12y0﹣50=﹣2y02﹣12y0﹣50=﹣2（y0+3）2+4，则当y0≥﹣时，t=﹣2（﹣+3）2+4=，最大值若要使n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，则n+≥，∴n≥3，∴实数n的最小值为．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。